数学分析中不等式证明的若干方法
作者学号：0700000
（巢湖学院数学系安徽巢湖 238000）
摘要：不等式的证明问题在高等数学通用教材数学分析中经常会遇到，是数学分析课程学习中的一个重要内容，灵活的运用函数的单调性、最值、凹凸性，以及微分中值定理，泰勒公式、赫尔德不等式、柯西、施瓦兹不等式等数学知识对不等式问题进行分析、构造与转化，是解决不等式证明的常用方法。本文通过对几个不等式例题的解答，对这些常用的不等式证明方法进行简单的论述。
关键字：不等式；单调性；中值定理；泰勒公式
Several Methods of Proof of Inequalities in
Mathematical Analysis
Zhou Lina StuNo：0700000
（Department of Mathematics,Chaohu College,Chaohu Anhui 238000）
Abstract: We often encounter the problem of inequality proof in higher mathematics which is an important part in the mathematical analysis. There are some methods for proving inequalities by using the monotonicity of function, maximum and minimum, convexity, differential mean value theorem, Taylor formula, H?lder's inequality, Cauchy inequality and Schwarz inequality. In this paper, we utilize several examples to review these methods.
Keywords: inequality;Monotonicity;mean value theorem;Taylor formula
引言
不等式这部分知识，渗透在数学分析的各部分内容中，有着十分广泛的应用。不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识融汇贯通，起到了很好的促进作用。在解决不等式的证明问题时，要依据题目、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的证明。
不等式在数学中占有重要地位，由于其本身的完美性及证明的困难性，使不等式成为各类考试中的热门试题。本文通过灵活运用函数的单调性、极值、最值、凸性函数、以及中值定理与泰勒公式、柯西不等式、赫尔德不等式、施瓦兹不等式等数学知识, 借助实例对不等式问题进行分析、构造、转化，总结几种常见的不等式证明方法，举例如下。
一、利用函数单调性证明不等式
函数不等式是函数之间的大小关系，应用函数单调性的判别法可证明一些函数的不等式。
定义1[1,pp.17]若函数()y
f x =在[,]a b 上单调递增，则有()()()
f a f x f b ≤≤；若函数
()y f x =在[,]a b 上单调递减，则有()()()f a f x f b ≥≥。
例1 证明当02
x π<<
时，3
tan 3
x
x x >+
。
证明：令
3
()tan 3
x
f x x x =--
，则(0)0f =，而
'
2
2
()sec 1(tan )(tan )f x x x x x x x --=+-。
当0
2
x π<<
时，tan 0x x +>。记()tan g x x x =-，有(0)0g =
又2
2
()sec 1tan 0
g x x x '=-=>，所以()g x 单调递增，有()(0)0,(0,
)2
g x g x π>
=∈，从而
'
()0,()
f x f x >单调递增。又有
()(0)0,(0,
)
2
f x f x π>=∈，即有3
tan
,(0,
)
3
2
x
x x x π>+
∈
另外，也可以利用辅助函数的单调性来证明不等式。辅助函数方法比较常用，其主要思想是将不等式通过等价变形，寻找到一个辅助函数，通过求导确定辅助函数在所给区间上的单调性，即可证明出结论。常用的辅助函数构造方法是，直接将不等号右端项移到不等号左端，令不等号右端为零，左端即为所求辅助函数。
例2 设,b
a e >>证明不等式a
b ba
>成立。
分析：要证ab
ba
>，只需要证明ln ln aa bb
>或者ln ln b a
a b
>。
解法一：构造辅助函数
()ln ,f x xx x e
=>，则有'
()1ln 20()f x x x x e =-<>，因此()
f x 单调递减。故当b
a e
>>时 有ln ln aa
bb
>，即ab ba
>。
解法二：构造辅助函数()ln ln ()f x x a a x x a =-≥。因为
'
()ln 10()
f x a ax ax x a =-=-≥≥，
所以()f x 在x a
≥时单调递增，因此当b
a
>时，有()()0f b f a >=，即有ln ln b a a b
>，
即ab ba
>。
二、利用函数的最值证明不等式
定理1(最大、最小值定理)函数f
在闭区间[,]a b 上连续，则
f
在[,]a b 上有最大值
与最小值[1,pp.76]。
函数()
y
f x =在闭区间[,]a b 上连续，根据最值定理可知，函数必在该闭区间上取
得最大值和最小值。当函数取得最小值m 时，对任意的[,]x a b ∈，有()f x m
≥，当函数
取得最大值M 时，对任意的[,]x a b ∈，有
()f x M
≤
例3若1p
>，证明不等式1
11(1)
,[0,1]2
p
p
p x x x -≥+-≥
∈成立
[2]
。
证明：设
()(1),[0,1]p
p
f x x x x =+-∈，则
'
()(1),[0,1]
p
p
f x px p x x =--∈。令
'
()0f x =，得12
x =
。又因为
111
()(1),(0)1,(1)122
p f p f f -=>==，可得 1
1m ax ()1,m in ()2
p f x f x -==
。
所以有1
11(),[0,1]2
p f x x -≥
≥
∈，即不等式1
11(1)
,[0,1]2
p
p
p x x x -≥+-≥
∈成立。
例4 设,p q 是大于1 的常数，且111,p
q
+
≥证明对任意的0x >，不等式
11p
x x
p
q
+
≥恒成立。
证明：令
11()p
f x x
x p
q
=
+
-，则'
1
''2
()1,()(1)p p f x x
f x p x
---==。令'
()0f x =，得
''
1,(1)1x f p ==-。所以当1x =时，函数取得极小值，即最小值，从而对于任意的
0,()(1)0x f x f >≥=，有
11p
x x
p
q +
≥恒成立。
注：由上例可以看出，将待证明的不等式换成它的等价的形式，从而使问题得以简化，也就是说，在证明一些不等式时，将不等式进行适当的变形是很必要的。
三、利用函数的凹凸性证明不等式
定义2[1,pp.148]如果),()(b a x f 在内存在二阶导数()
f x ''，则
(1) 若对(,)()0x a b f x ''?∈>有，则函数)(x f 在),(b a 内为凸函数。 (2) 若对(,)()0x a b f x ''?∈<有，则函数
)
(x f 在),(b a 内为凹函数。
定义3[1,pp.151]若函数),()(b a x f 在内是凸(或凹)函数时，对),(,,,21b a x x x n ∈? 及
∑
==n
i i 1
1λ，有Jensen(琴森)不等式
∑
∑
∑∑====??
?
?
?≥
???
??≤??
?
??n
i n
i i i n
i i i i i n
i i i x f x f x f x f 1
1
11)()( 或 λλλλ。
等号当且仅当n x x x === 21时成立。
例5 证明下列不等式
),2,1,0(11121212
1
n i a n
a a a a a a a a a n
i n
n
n n
=>+++≤
?≤
+
++
分析：上式只要能证明
),2,1,0(2121n i a n
a a a a a a i n
n
n =>+++≤
? ，
如果用前面所述的几种方法来证明显然不合适，因为对它求导后不等式会更复杂。而这里的i a 可以看作是同一函数的多个不同函数值，设x
x f ln )(=那么就可以用Jensen 不
等式来证明它。然后只要令
x
x f 1ln
)(=，同理可得
n
n n
a a a a a a n
212
1
111?≤
+
++。
证明：令)0(ln )(>=x x x f 。因为
1)(2
<-
=''x
x f ，所以),0()(+∞在x f 是凹
函数，则对),0(,,,21+∞∈?n a a a 有
[])()()(1)(12121n n a f a f a f n a a a n f
+++≥??
?
???+++ ， 即
[]n n a a a n a a a n ln ln ln 1)(1ln
2121+++≥??
?
???+++ ， 又因为
[]n
n
n a a a a a a n
2121ln
ln ln ln
1?=+++，
所以
n
a a a a a a n
n
n +++≤
? 2121。
令
x
x f 1ln
)(=，则同理可得
n
n n
a a a a a a n
212
1
111?≤
+
++
),2,1,0(11121212
1
n i a n
a a a a a a a a a n
i n
n
n n
=>+++≤
?≤
+
++ 。
例6证明不等式3
()a b c a
b
c a b c a b c ++≤，其中,,a b c
均为正数。
证明：设
()ln ,0
f x x x x =>。由
()
f x 的一阶和二阶导数
1()ln 1,()f x x f x x
'''=+=
可见，
()ln f x x x
=在0
x
>时为严格凸函数，依詹森不等式有
1(
)(()()())3
3
a b c
f f a f b f c ++≤
++，
从而
1ln
(ln ln ln )3
3
3
a b c
a b c
a a
b b
c c ++++≤++，
即
(
)
3
a b c
a
b
c
a b c
a b c ++++≤，
3
a b c
++≤
，所以3
()
a b c a b c
a b c a b c ++≤。
四、利用微分中值定理和泰勒公式证明不等式
定理2（微分)(Lagrange 中值定理
[1, pp.120]
）若)(x f 满足以下条件：
(1) )(x f 在闭区间],[b a 内连续， (2) )
(x f 在开区间),(b a 上可导，
则
()()
(,)()f b f a a b f b a
ξξ-'?∈?=
-。
例7若)()(1,01
1
y x py
y
x y x py
p x y p p
p
p -<-<-><<--则
分析：因为,0x y <<则原不等式等价于1
1
--<--<
p p
p
p px
y
x y
x
py
)
1(>p 。令
p
t x f =)(，则我们容易联想到Lagrange
中值定理y
x y f x f y x f --=
-)
()())(('
ξ。
证明：设p t t f =)(，显然],[)(x y t f 在满足Lagrange 中值定理的条件
,)
()()(),(y
x y f x f f x y --=
'?∈?ξξ 即y
x y
x
p p
p
p ---＝
1
ξ
。
1
1
1
,),(---<<∴<<∴∈p p p px
p py x y x y ξ
ξξ
)()(1
1
y x py
y
x
y x py
p p
p
p -<-<-∴--
例8设
)
(x f 在],[b a 上连续可导，且
()()0f a f b ==，则 dx
x f a b x f b
a
b
x a ?
-≥
≤≤)()
(4)(max 2
'
证明：设)(max 'x f M b
x a ≤≤=，则由中值公式，当),(b a x ∈时，有
))(())(()()(11a x f a x f a f x f -'=-'+=ξξ )
)(())(()()(22b x f b x f b f x f -'=-'+=ξξ
其中12(,),(,)a x x b ξξ∈∈。由此可得
)
()()()(x b M x f a x M x f -≤-≤及
所以
4
)
()()()()()(2
2
2
2
2
a b M dx x b M dx a x M dx
x f dx x f dx x f b
a a
b b a b
a
b
a a
b b a -=
-+
-≤
+
=
?
?
?
?
?
++++
即
?
-≥
b
a
dx x f a b M )()
(42
所以
dx
x f a b x f b
a
b
x a ?
-≥
'≤≤)()
(4)(max
2
。
在论证涉及到函数导数的不等式时, 常常需要利用泰勒公式来证明。看下面的例子。
例9证明: ).11(,3
2
)1ln(3
2
<<-+
-
≤+x x
x
x x
证明：设)
11)1ln()(<<-+=x x x f （
则
)
(x f 在0=x 处有带有拉格朗日余项三阶泰勒公式
)
11()
1(43
2
)1ln(4
4
3
2
<<-+-
+
-
=+ξξ x
x
x
x x
0)
1(44
4
≤+-
ξx
3
2
)1ln(3
2
x
x
x x +
-
≤+∴
由以上证明可知，用泰勒公式证明不等式，首先构造函数，选取适当的点0x 在0x 处展开，然后判断余项)(x R n 的正负，从而证明不等式。
五、利用柯西不等式证明不等值
定理3设i a ，i b 为任意两组实数)
,,2,1(n i =
有
∑∑∑===?≤??
?
??n
i i
n
i i
i n i i b a b a 1
21
22
1 （1）
其中等号当且仅当i a 与i b 成比例时成立，(1)式称为Cauchy 不等式。
用柯西不等式证明不等式，关键是要根据题目的结构特点，构造出适当的两组实
数，可以变形、拆项、添项，还要会用隐形的1及拆分(如1
11n
i n
==∑
)，同时，与其他定
理的应用一样，对柯西不等式也既要正用，又要逆用、变用、连用和巧用。
例10设A B C ?与111A B C ?的边长分别为a 、b 、c 与1a 、1b 、1c ，面积分别为S 与1S ,证明
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1111111()()2()16a b c a b c a a b b c c SS ++++-++≥。
等号成立当且仅当111A B C
A B C ??∽
证明：由柯西不等式和三角形面积公式
2
222444
16()2()
S
a b c a b c =++-++
得
2
2
2
2
2
2
11112
2
2
2
2
111
2
2
2
2
2
2
11116S S +2(a a +b b +c c )441()()
S S a b c a b c =++
+
<
=++++故
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1111111()()2()16a b c a b c a a b b c c SS ++++-++≥
等号成立当且仅当
2221
44S S =
=
=
111A B C A B C ???∽。
六、利用积分理论证明不等式
利用积分理论证明不等式，下面介绍几个重要的不等式，并利用它们来作简单的举例论述。
(一) 赫尔德和施瓦茨不等式 定义4 设,p q 是大于1的常数，且
111,p q
+=又设(),()(,),f x g x R a b ∈则有
1
1
()()(())(())
b b b p
q
a
a
a
f x
g x d x f x p d x g x q d x ≤?
?
?
称为连续形式的赫尔德不等式。
当2
p
q ==时，上述不等式称为施瓦兹不等式。Cauchy 不等式的积分形式即为施
瓦兹不等式。它可以通过积分定义，直接由柯西不等式推得：
1
1
2
2
22
()()(())(())b b b
a
a
a f x g x d x f x d x g x d x ≤?
?
?
施瓦兹不等式是高等数学中的一个重要不等式，当所要求的不等式中含有
2
())
b a
f x dx ?
，2
()b a
g x d x
?
，()()b b
a
a f x d x g x d x ?
?，
以及能够转化为此形式的，均可考虑应用该不等式来证明。
例11已知()y
f x =在[,]a b 上连续，且()0f x ≥，()1b a
f x dx =?
，试证：
22
(()sin )(()cos )1
b b a
a
f x xdx f x xdx λλ+≤?
?
证明：
22
2
(()sin )()
()()sin ()sin b b a
a
b b a a
b a
f x xdx xdx f x dx f x xdx
f x xdx
λλλλ=≤?=
?
?
??
?
同理
2
2
()cos ()cos b b a
a
f x xdx f x xdx
λλ≤
?
?
22
2
2
2
2
(()sin )(()co s )
()sin ()co s ()(sin co s )()1
b b a
a
b b a a b a b a
f x xd x f x xd x f x xd x f x xd x
f x x x d x f x d x λλλλλλ∴+≤+
=+=
=??
??
??
当积分中出现被积函数的方幂或出现积分的方幂时，可考虑施瓦兹不等式。
例12[3]
求证：1ln
0p p q p
q -≤<≤。
证明：当p q
=时，不等式显然成立；当p
q >时，取
1(),()1f x g x x
=
=。由施瓦兹
不等式，有
2
2
211
()()()p p p
q
q
q p q d x d x d x x
x
p q
-≤
?=?
?
?
则
2
2
(1)(ln
),p p q p q
-≤
于是有
1ln 0p p q p
q -≤<≤。
例13 设
)
(x f 在[]b a ,上有连续的导函数，
)(=a f ，试证：
()dx x f a b dx x f x f b
a
b
a
??
'-≤
'2
)(2
)()( 证明：令
dt
x f x g x
a
?
'=
)()( （b
x a
≤≤）
则)
()(x f x g '=
'。由
)(=a f 知
)
()()()()()(x g dt t f dx t f a f x f x f x
a
x
a
≡'≤
'=
-=?
?
。
因此
()
()
2
2
2
2
()()()()11()()()
()2
2
1
1
1()1()()2
2
2
b b a
a b b a
a
b b b
b a
a
a
a
f x f x d x
g x g x d x b g x d g x g x f t d t
a
b a f t d t
d x f t d t f t d t
''≤
'=
=
=
-'''=
?≤
?≤
?
??
?
???
?
(二) 贝塞耳不等式
定义3贝塞耳不等式的内容：若函数
f
在[,]ππ-上可积，则
2
22
2
01
1
()(),2
n
n n a a
b f x d x ππ
π
∞
-=+
+≤
∑?
其中,n n a b 为
f
的傅里叶系数。
例14 设f
为[,]ππ-上可积函数。证明：若
f
的傅里叶级数在[,]ππ-上一致收敛
于
f
，则成立帕塞瓦尔等式：
2
2
22
01
1
[()](),2
n n n a f x d x a
b ππ
π
∞
-==
+
+∑?
这里,n n
a b 为
f
的傅里
叶系数。
证明：记
01
()(co s sin )2
n
n k
k k a S x a
kx b kx ==
+
+∑。
因为
f
的傅里叶级数在[,]ππ-上一致收敛于
f ?0,,N N m N ε+?>?∈>当时
恒有
|()()|
m
f x S x ε-<。由于
f
在[,]ππ-上可积?
2
f
也可积，由贝塞耳不等式推得：
22
2
2
1
2
2
2
0{[()]()}
2
[()()]2.
m
n
n n m a f x dx a
b f x S x dx dx ππ
πππ
π
ππ
επε-=--≤-
-+=
-≤
=∑??
?
由ε的任意性，及0
ε
→时，相应m
→+∞
，不等式恒成立，故有
2
2
22
01
[()][
()]0.2
n n n a f x d x a
b ππ
ππ
∞
-=-++=∑?
即
22
22
01
1
[()]().2
n n n a f x d x a
b ππ
π
∞
-==
+
+∑?
另外, 利用积分介值定理等也能证明许多不等式,这里不再一一赘述。
结束语：本文主要介绍了数学分析中几种不等式的证明方法，并通过具体的例题和相关的题型充分阐述了它们应用的重要性和广泛性。需要指出的是，不等式的证明方法灵活多变，并无严格固定的模式可循。
参考文献
[1]华东师范大学数学系.数学分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003. [2]豆俊梅.高等数学中几类不等式的证明[J].中国科技信息，2007，4(18):228-229.
[3]亓玖东，韩登利.浅析高等数学不等式的证明[J].阿坝师范高等专科学校学报，2009，22（3）：40-41.
'、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式； 2、掌握不等式证明的基本方法 、知识分析 定理1 若a，b为实数，贝当且仅当ab>0时，等号成 几何说明：（1）当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a 与一b的距离等于它们到原点距离之和。 （2）如果ab<0，则a，b分别落在原点两边，a与—b的距离严格小于a与b到原点距离之和（下图为ab<0, a>0, b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释）。 |a —b|表示a—b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。 定理2 设a，b，c为实数，贝等号成立，即b落在a，c之间 推论1 推论2 ［不等式证明的基本方法］ 1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到
判别式法证 2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。 所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述清楚，也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是 错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法：欲证A> B,可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得，，再利用传递性，达到证明的目的．这种方法叫做放缩法。 典型例题】 例1已知函数，设a、b€ R,且a^b,求证： 思路：本题证法较多,下面用分析法和放缩法给出两个证明： 证明： 证法一： ① 当ab< —1时，式①显然成立； 当ab>—1时，式①② b,A式②成立。故原不等式成立。 证法二：当a=—b 时，原不等式显然成立； 当a M— b 时, ???原不等式成立。
证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t
证明不等式的几种方法 淮安市吴承恩中学 严永飞 223200 摘要：不等式证明是中学数学的重要内容,证明方法多种多样.通常所用的公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,对于较难的问题则束手无策.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法,使解题容易,新颖独特. 关键词：不等式，公式法，构建模型法 前言 证明不等式是中学数学的重要内容之一,内容抽象，难懂，证明方法更是变化多端.通常所用的一些方法如公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,较难的问题则无法解决.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法. 这里所举的几种证明不等式的特殊方法看似巧妙,但如果认真思考,广泛联系,学以致用,一定能使问题得到很好的解决. 1 运用倒数变换证明不等式 这里所说倒数变换是根据具体的题目要求把不等式的部分进行倒数变换，通过化简后使不等式变得简单，更好更快的解决证明问题. 例1 设+∈R z y x ,,,且xyz =1 求证：)(13z y x ++)(13z x y ++)(13y x z +≥2 3 分析 如果先通分再去分母，则不等式将变得很复杂. 令A x =-1,B y =-1 ,C z =-1 ,则+∈R C B A ,,且1=ABC . 欲证不等式可化为 C B A +2+A C B +2+B A C +2≥23（*） 事实上,a 2+22b λ≥ab λ2 (+∈R b a ,,λ), 而当b >0时, a 2/b ≥b a 22λλ-. （*）式左边≥A λ2-2λ(C B +)+ B λ2-2λ(C A +)+C λ2-2λ(A B +) = λ2(λ-1)(C B A ++) ≥λ6(λ-1)3ABC = λ6(λ-1). 令λ=21时,C B A +2+A C B +2+ B A C +2 ≥6×21×(1-21)=23 得证. (这里用到二元平均不等式的变形和三元平均不等式.) 例 2 已知z y x ,,>0,n 为大于1的正整数，且n n x x +1+n n y y +1+n n z z +1=1 求证：n x x +1+n y y +1+n z z +1≤n n 12-
高等数学中不等式的证明方法 摘要：各种不等式就是各种形式的数量和变量之间的相互比较关系或制约关系，因此， 不等式很自然地成为分析数学与离散数学诸分支学科中极为重要的工具，而且早已成为 专门的研究对象。高等数学中存在大量的不等式证明，本文主要介绍不等式证明的几种 方法，运用四种通法，利用导数研究函数的单调性，极值或最值以及积分中值定理来解 决不等式证明的问题。我们可以通过这些方法解决有关的问题，培养我们的创新精神， 创新思维，使一些较难的题目简单化、方便化。 关键词：高等数学；不等式；极值；单调性；积分中值定理 Abstract: A variety of inequality is the various forms of high-volume and variable comparison between the relationship or constraints. Therefore, Inequality is natural to be a very important tool in Analysis of discrete mathematics and various bran（https://www.doczj.com/doc/5711642191.html, 毕业论文参考网原创论文）ches of mathematics .It has been a special study.Today there are a large number of inequalities in higher mathematics .This paper introduces the following methods about Proof of Inequality ,such as the using of several general methods, researching monotone function by derivative, using extreme or the most value and Integral Mean Value Theorem . We can resolve the problems identified through these methods. It can bring up our innovative spirit and thinking and some difficult topics may be more easy and Convenient , Keyword: Higher Mathematics; Inequality; Extreme value Monotonicity; Integral Mean Value Theorem 文章来自：全刊杂志赏析网(https://www.doczj.com/doc/5711642191.html,) 原文地址： https://www.doczj.com/doc/5711642191.html,/article/16be7113-df3a-4524-a9c3-4ba707524e72.htm 【摘要】不等式证明是高等数学学习中的一个重要内容，通过解答考研数学中出现的 不等式试题，对一些常用的不等式证明方法进行总结。 【关键词】不等式；中值定理；泰勒公式；辅助函数；柯西 施瓦茨；凹凸性 在高等数学的学习过程当中，一个重点和难点就是不等式的证明，大多数学生在遇到不 等式证明问题不知到如何下手，实际上在许多不等式问题都存在一题多解，针对不等式的证 明，以考研试题为例，总结了几种证明不等式的方法，即中值定理法、辅助函数法、泰勒公
不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数，求证： a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ，0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证： 31222≥ ++c b a 证：2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 ： ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明：∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+
绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法 一、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式； 2、掌握不等式证明的基本方法 二、知识分析 定理1 若a，b为实数，则，当且仅当ab≥0时，等号成立。 几何说明：（1）当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a与－b的距离等于它们到原点距离之和。 （2）如果ab<0，则a，b分别落在原点两边，a与－b的距离严格小于a与b到原点距离之和（下图为ab<0，a>0，b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释）。 |a－b|表示a－b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。 定理2 设a，b，c为实数，则，等号成立 ，即b落在a，c之间。 推论1
推论2 ［不等式证明的基本方法］ 1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。 2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。 所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述清楚，也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法：欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得，，再利用传递性，达到证明的目的．这种方法叫做放缩法。 【典型例题】 例1、已知函数，设a、b∈R，且a≠b，求证：
不等式和绝对值不等式 一、不等式 1、不等式的基本性质： ①、对称性： 传递性：_________ ②、 ，a+c ＞b+c ③、a ＞b ， ， 那么ac ＞bc ； a ＞b ， ，那么ac ＜bc ④、a ＞b ＞0， 那么，ac ＞bd ⑤、a>b>0，那么a n >b n .（条件 ） ⑥、 a ＞b ＞0 那么 （条件 ） 2、基本不等式 定理1 如果a, b ∈R, 那么 a 2+b 2≥2ab. 当且仅当a=b 时等号成立。 定理2（基本不等式） 如果a ，b>0，那么 当且仅当a=b 时，等号成立。即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。 结论：已知x, y 都是正数。（1）如果积xy 是定值p ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值 ； （2）如果和x+y 是定值s ，那么当x=y 时，积xy 有最大值 小结：理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求最值时， 一 定要满足“一正二定三相等”的条件。 3、三个正数的算术-几何平均不等式 二、绝对值不等式 1、绝对值三角不等式 实数a 的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a 的点A 到原点的距离： a b b a c a c b b a >?>>,R c b a ∈>,0>c 0
高中数学不等式的几种常见证明方法 摘 要：不等式是中学数学的重要知识，考察学生对不等式理论熟练掌握的程度也是衡量学生数学水平的重要方面，同时，不等式也是高中数学的基础，因此，在每年的数学高考题中，有关不等式的相关题目都有所出现，本文介绍了几种不等式的证明方法，并举例进一步加强对各种不等式的理解. 关键字：不等式；数学归纳法；均值；柯西不等式 一、比较法 所谓比较法，就是通过两个实数a 与b 的差或商的符号（范围）确定a 与b 大小关系的方法，即通过“0a b ->，0a b -=，0a b -<；或1a b >，1a b =，1a b <”来确定a ，b 大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法. 例 1 设,x y R ∈，求证：224224x y x y ++≥+. 证明： 224224x y x y ++-- ＝2221441x x y y -++-+ ＝22(1)(21)x y -+- 因为 2(1)0x -≥， 2(21)0y -≥ ∴ 22(1)(21)0x y -+-≥ ∴2242240x y x y ++--≥ ∴224224x y x y ++≥+ 例 2 已知：a ＞b ＞c ＞0, 求证：222a b c a b c ??＞b c a c b c a b c +++??. 证明：222a b c b c a c b c a b c a b c +++????＝222a b c b a c c b c a b c ------?? ＞222a b c b a c c b c c c c ------??
＝0c ＝1 222a b c b c a c b c a b c a b c +++??∴??＞1 ∴222a b c a b c ??＞b c a c b c a b c +++?? 二、分析法 分析法：从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立. 例 3 求证3< 证明： 960+>> 5456<成立运用分析法时，需积累一些解题经验，总结一些常规思路，这样可以克服无目的的乱写，从而加强针对性，较快地探明解题的途径. 三、综合法 从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式，这种证明方法叫做综合法. 例 4 已知,a b R +∈，1a b +=，求证：221125()()2 a b a b +++≥ 证明：∵ 1a b += ∴ 1=22222()22()a b a b ab a b +=++≤+ ∴ 221 2 a b +≥
选修4-5 第二节 不等式证明的基本方法例题 1．已知a 、b 、x 、y 均为正实数，且1a >1 b ，x >y . 求证： x x ＋a > y y ＋b . 证明：∵ x x ＋a － y y ＋b ＝ bx －ay x ＋a y ＋b ， 又1a >1 b ，且a 、b 均为正实数， ∴b >a >0. 又x >y >0， ∴bx >ay . ∴ bx －ay x ＋a y ＋b >0，即x x ＋a >y y ＋b . 2．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2 ＋(1a ＋1b ＋1c )2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立． 证明：法一：因为a ，b ，c 均为正数，由平均值不等式得 a 2＋ b 2＋ c 2 ≥3(abc )23 ，① 1 a ＋1 b ＋1 c ≥3(abc )1 3-，② 所以(1 a ＋1 b ＋1c )2 ≥9(abc ) 2 3-. 故a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＋(1a ＋1b ＋1 c )2 ≥3(abc ) 23 ＋ 9(abc ) 23 - . 又3(abc ) 23 ＋9(abc ) 23 -≥227＝63，③ 所以原不等式成立． 当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc ) 23 ＝9(abc ) 23 - 时，③式 等号成立． 即当且仅当a ＝b ＝c ＝314 时，原式等号成立． 法二：因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得
a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac. 所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，① 同理1 a2＋ 1 b2 ＋ 1 c2 ≥ 1 ab ＋ 1 bc ＋ 1 ac ，② 故a2＋b2＋c2＋(1 a ＋ 1 b ＋ 1 c )2≥ab＋bc＋ac＋ 3 1 ab ＋3 1 bc ＋3 1 ac ≥6 3.③ 所以原不等式成立． 当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立． 即当且仅当a＝b＝c＝31 4时，原式等号成立． 3．(2012·豫南九校联考)已知x，y均为正数，且x＞y，求证：2x＋1 x2－2xy＋y2 ≥2y ＋3. 解：因为x＞0，y＞0，x－y＞0， 2x＋ 1 x2－2xy＋y2 －2y＝2(x－y)＋ 1 x－y2 ＝(x－y)＋(x－y)＋ 1 x－y2 ≥33 x－y2 1 x－y2 ＝3， 所以2x＋ 1 x2－2xy＋y2 ≥2y＋3. 4．已知正实数a，b，c满足 1 a ＋ 2 b ＋ 3 c ＝1，求证：a＋ b 2 ＋ c 3 ≥9.证明：因为a，b，c均为正实数， 所以 1 a ＋ 2 b ＋ 3 c ≥3 31 a · 2 b · 3 c .同理可证： a＋ b 2 ＋ c 3 ≥3 3 a· b 2 · c 3 . 所以(a＋ b 2 ＋ c 3 )( 1 a ＋ 2 b ＋ 3 c )≥ 3 3 a· b 2 · c 3 ·3 31 a · 2 b · 3 c ＝9. 因为 1 a ＋ 2 b ＋ 3 c ＝1，所以a＋ b 2 ＋ c 3 ≥9， 当且仅当a＝3，b＝6，c＝9时，等号成立．
证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用． 一、反证法 如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理． 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的． 用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A≤B不成立，而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效． 例1 设a、b、c、d均为正数，求证：下列三个不等式：①a＋b＜c＋d； ②(a＋b)(c＋d)＜ab＋cd；③(a＋b)cd＜ab(c＋d)中至少有一个不正确． 反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a、b、c、d都是正数，所以
不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④ 由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤( 2 b a +)2 ·(c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b)(c ＋d)， 综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜31 ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜ 34ab ，即a 2＋b 2＜－3 2 ab ，显然矛盾． ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确． 例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0， c ＞0． 证明：反证法 由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0， 又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0， 从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾． ∴假设不成立，从而a ＞0， 同理可证b ＞0，c ＞0． 例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2． 证明：反证法 假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8， ∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2． 故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)， 又p ＞0，q ＞0 ? p ＋q ＞0， ∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾．
证明不等式的13种方法 咸阳师范学院基础教育课程研究中心安振平 不等式证明无论在高考、竞赛，还是其它类型的考试里，出现频率都是比较高，证明难度也是比较大的.因此，有必要总结证明不等式的基本方法，为读者提供学习时的参考资料.笔者选题的标准是题目优美、简明，其证明方法基本并兼顾巧妙. 1．排序方法 对问题的里的变量不妨排出大小顺序，有时便于获得不等式的证明. 例1已知,,0a b c ≥，且1a b c ++=，求证： ()22229 1. a b c abc +++≥2．增量方法 在变量之间增设一个增量，通过增量换元的方法，便于问题的变形和处理.例2设,,a b c R + ∈，试证：2222 a b c a b c a b b c c a ++++≥+++.3．齐次化法 利用题设条件，或者其它变形手段，把原不等式转换为齐次不等式. 例3设,,0,1x y z x y z ≥++=，求证： 2222222221.16 x y y z z x x y z +++≤4．切线方法 通过研究函数在特殊点处的切线，利用切线段代替曲线段，来建立局部不等式.例4已知正数,,x y z 满足3x y z ++=，求证： 323235 x y +≤++.. 5．调整方法 局部固定，逐步调整，探究多元最值，便能获得不等式的证明. 例5已知,,a b c 为非负实数，且1a b c ++=，求证：13.4 ab bc ca abc ++-≤ 6．抽屉原理
在桌上有3个苹果，要把这3个苹果放到2个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放2个苹果.这一简单的现象，就是人们所说的“抽屉原理”.巧用抽屉原理，证明某些不等式，能起到比较神奇的效果. 例6（《数学通报》2010年9期1872题）证明：在任意13个实数中，一定能找到两个实数,x y ，使得0.3.10.3x y x ->+7．坐标方法 构造点坐标，应用解析几何的知识和方法证明不等式. 例7已知a b c R ∈、、，a 、b 不全为零，求证： ()()()22 22222 22.a b ac a b bc a b c a b +++++≥+++8．复数方法 构造复数，应用复数模的性质，可以快速证明一些无理不等式. 例8（数学问题1613，2006，5）设,,,0,a b c R λ+ ∈≥求证：9．向量方法 构造向量，把不等式的证明纳入到向量的知识系统当中去. 例9已知正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证： 4 ≤. 10．放缩方法 不等式的证明，关键在于恒等变形过程中的有效放大、或者缩小技巧,放和缩应当恰到好处. 例10已知数列{}n a 中，首项132 a = ，且对任意*1,n n N >∈，均有 11n n a a +=++()211332.42 n n n a -+<
12. 4 证明不等式的基本方法 T 懈不评式证明的基車方诜：比较法,综合建、井析媒 ttMK MMM ■■座用它们证明一些简 厲的不等式. Kiff <年斋号悄况来看.本讲尼岛号血埶的一个热点一 fO 灿讪卜将芸号僧：：1；与躺碓不零式结, 证 期不等式:2>M 破立，探索性问題结合,ttaAMML 厲中档題團L E 基础知识过关 ［知识梳理］ 1. 证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 2. 三个正数的算术-几何平均不等式 (1) 定理：如果a , b , c € R +那么a + ?+1需辰，当且仅当a = b = c 时，等号 a + b + c Q 成立.即三个正数的算术平均 3 不小于它们的几何平均Vabc. (2) 基本不等式的推广 对于n 个正数a i , a 2, , , a ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数, 即a 〔 + 汁‘ + 》^a 1a 2,—，当且仅当 a 1 = a 2 =, = a n 时，等号成立. n 3. 柯西不等式 (1)设 a , b , c , d 均为实数，则(a 2 + b 2)(c 2 + d 2)>(ac + bd)2，当且仅当 ad = bc 时等号成立. f n 「n J 「n ' ⑵若a i, b(i € N *)为实数，贝则 18 15 A l^a b i 2,当且仅当 I "八=1丿 T =1丿 (当a i = 0时，约定b i = 0, i = 1,2, , , n)时等号成立. (3) 柯西不等式的向量形式：设 a B 为平面上的两个向量，则|如3》|a ? (3当 且仅当a, 3共线时等号成立. 善纲解谨 君向预测 b^_ b2_ a 1 a 2 b n =a ；
昭通学院 学生毕业论文 论文题目证明不等式的几种方法 姓名 学号 201103010128 学院数学与统计学院 专业数学教育 指导教师 2014年3月6日
证明不等式的几种方法 摘 要：证明不等式就是要推出这个不等式对其中所有允许值都成立或推出数值不等式成立。本文主要归纳了几种不等式证明的常用方法。 关键词：不等式; 证明; 方法 1.引言 在定义域中恒成立的不等式叫做恒不等式，确认一个不等式为恒不等式的过程为对该不等式进行证明。证明不等式的主要方法是根据不等式的性质和已有的恒不等式进行合乎逻辑的等价变换。主要方法有：比较法、综合法、分析法、反证法、归纳法、放缩法、构造法、导数法、均值不等式性质证明不等式等方法。 2.不等式证明的常用方法 2.1 比较法 比较法是直接作出所证不等式，两边的差（或商）然后推演出结论的方法。具体地说欲证B A >)(B A <,直接将差式B A -与0比较大小；或若当+∈R B A ,时，直接将商式 B A 与1比较大小[]1。 差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“若0≥-b a ,则b a ≥;若0≤-b a ,则 b a ≤.”其一般步骤为： 1.作差：观察不等式左右两边构成的差式，将其看成一个整体。 2.变形：把不等式两边的差进行变形，或变形成一个常数，或为若干个因式的积，或一个或几个平方和。其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的方法。 3.判断：根据已知条件与上述变形结果判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求不等式成立的结论。 应用范围：当被证的不等式两端是多项式，对于分式或对数式时，一般使用差值比较法。 商值比较法的理论依据是：“∈b a ,+R ，若b a 1≥则b a ≥;若b a 1≤则b a ≤.”其一 般步骤为： 1.作商：将左右两端作商。 2.变形：化简商式到最简形式。
第二讲证明不等式的基本方法 课题：第01课时不等式的证明方法之一：比较法 一．教学目标 （一）知识目标 （1）了解不等式的证明方法——比较法的基本思想； （2）会用比较法证明不等式，熟练并灵活地选择作差或作商法来证明不等式；（3）明确用比较法证明不等式的依据，以及“转化”的数学思想。 （二）能力目标 （1）培养学生将实际问题转化为数学问题的能力； （2）培养学生观察、比较、抽象、概括的能力； （3）训练学生思维的灵活性。 （三）德育目标 （1）激发学习的内在动机； （2）养成良好的学习习惯。 二．教学的重难点及教学设计 （一）教学重点 不等式证明比较法的基本思想,用作差、作商达到比较大小的目的 （二）教学难点 借助与0或1比较大小转化的数学思想，证明不等式的依据和用途 （三）教学设计要点 1.情境设计 用糖水加糖更甜，实际是糖的质量分数增大这个生活常识设置问题情境，激发学生学习动机，通过将实际问题转化为不等式大小的比较，引入新课。 2.教学内容的处理 （1）补充一系列不同种类的用作差、作商等比较法证明不等式的例题。 （2）补充一组证明不等式的变式练习。 （3）在作业中补充何时该用作差法，何时用作商法的习题，帮助同学们更好地理解比较法。 3.教学方法 独立探究，合作交流与教师引导相结合。 三．教具准备 水杯、水、白糖、调羹、粉笔等 四．教学过程 (一)、新课学习： 1.作差比较法的依据： a b a >b ? > - a a =b b - ? = a a 不等式证明的基本方法
不等式证明的基本方法 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020
绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法 一、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式； 2、掌握不等式证明的基本方法 二、知识分析 定理1 若a，b为实数，则，当且仅当ab≥0时，等号成立。 几何说明：（1）当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a与－b的距离等于它们到原点距离之和。 （2）如果ab<0，则a，b分别落在原点两边，a与－b的距离严格小于a与b到原点距离之和（下图为ab<0，a>0，b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释）。 |a－b|表示a－b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。 定理2 设a，b，c为实数，则，等号成立 ，即b落在a，c之间。 推论1 推论2 ［不等式证明的基本方法］
1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。 2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。 所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述清楚，也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法：欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量， 使得，，再利用传递性，达到证明的目的．这种方法叫做放缩法。 【典型例题】 例1、已知函数，设a、b∈R，且a≠b，求证： 思路：本题证法较多，下面用分析法和放缩法给出两个证明： 证明： 证法一：
不等式常见的三种证明方法 渠县中学 刘业毅 一用基本不等式证明 设c b a ,,都是正数。求证：.c b a c ab b ac a bc ++≥++ 证明：.22c b ac a bc b ac a bc =?≥+ .22b c ab a bc c ab a bc =?≥+ .22a c ab b ac c ab b ac =?≥+ ).(2)(2c b a c ab b ac a bc ++≥++ .c b a c ab b ac a bc ++≥++ 点评：可用综合法分析乘积形式运用不等式可以转化为所求。 思维训练：设c b a ,,都是正数。求证： .222c b a c b a a c b ++≥++ 二 放缩法证明不等式 已知，对于任意的n 为正整数，求证： 1+221+321+K +n 21<4 7 分析：通过变形将数列{n 21 }放缩为可求数列。 解：Θ n 21=n n ?1<)1(1-n n =11-n —n 1（n ≥2） ∴1+221+321+K +n 21<1+2 21+231?+341?+K +)1(1-n n =1+ 41+(21—31+31—41+K +11-n —n 1) =45+21—n 1 =47—n 1 点评：放缩为可求和数列或公式是高考重要思想方法。 思维训练：设c b a ,,都是正数，a+b>c,求证：a a +1+b b +1>c c +1
三 构造函数法证明 证明不等式3ln 3121112ln <+++++ 本科毕业论文 不等式的几种证明方法及简单应用 姓名 院系数学与计算机科学学院 专业数学与应用数学 班级 学号 指导教师 答辩日期 成绩 及简单应用 不等式的几种证明方法 摘要 我们在数学的学习过程中,不等式很重要. 其中不等式的证明方法在不等式基础理论中非常重要.文中总结了部分证明不等式的常用方法：作差法、分析法、作商法、综合法、反证法、数学归纳法、放缩法等，和不等式的证明经常会利用函数极值、拉格朗日中值定理等，以及部分著名不等式，比如：均值不等式、柯西不等式等.进而使不等式证明方法变的更加的多样化，研究不等式证明、探索不等式的证明使不等式证明更加完善. 【关键词】：不等式，常用方法，函数，著名不等式 Method and application of several simple proof of inequality Abstract We are in the proces of learning mathamatics, inequallty is very importent which method Inequality Inequality Basic theory is very importent paper sumnarizes the common methods section proves inequallty: for differemce method, analysis, For Law, and Inequality synthesis method, contradiction, mathematical inductian, scaling methed often benefit With function extreme, Lagrange mean value theoren, as well as same well-knawn inequallties, such as: mean inequality, Ceuchy inequallty, eta. and thus make inequality proof becames more divorse, researah inequallty praved prabe Proof cable inequality makes inequality proved to be more perfect. 【Key Words】:inequality, the commonly used method, function, famous inequaliti es不等式的几种证明方法及简单应用
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