不等式证明的几种方法
刘丹华
余姚市第五职业技术学校
摘 要： 不等式的证明可以采用不同的方法，每种方法具有一定的适用性，并有一定的规律可循。通过对不等式证明方法和例子的分析和总结，可以掌握其中的要领，灵活运用。 关键词： 不等式 ；证明方法；分析问题
引言
证明不等式一般没有固定的程序，方法因题而异，灵活多变，技巧性强。有时一个不等式的证明方
法不止一种，而一种证法又可能要用到好几个技巧，但基本思想总是一样的，即把原来的不等式变为明显成立的不等式。下面介绍几种证明不等式的方法。
一、构造法
构造法是数学中一种富有创造性的思维方法。当一个数学问题需要解决时，常常通过深入分析问题
的结构特征和内在规律，概括抽象构造出一个新的关系，使问题等价转化为与之有关的函数、方程和图形等，再进行求解。构造法也是数学解题中的一种重要的思维方法。 （一） 、构造方程证明不等式
某些不等式问题，可以根据它的条件或结论的特征构造一个一元二次方程，然后利用根的判别式来
证明。
例1 如果x ，y ，z 均为实数，且x y z a ++=，2
2
2
2
12
x y z a ++= (0)a >. 求证：203x a <≤
，23o y a ≤≤， 203
z a ≤≤. 证明：由已知的两个等式中消去x ，得
2
2
2
21()2a y z y z a --++= ⇒ 222
22()2202
a y a z y z az --+-+
= 因为 y R ∈， 所以 22
4()4(2)0a z z a ∆=---≥ 所以 (32)0z z a -≤
所以 203z a ≤≤
同理可证： 203x a ≤≤， 2
03
y a ≤≤.
（二） 、构造函数证明不等式
根据欲证不等式结构的特点，引入一个适当的函数，运用函数的性质来加以证明。
例2 已知a ，b ，c 为ABC ∆的三边，求证：
111a b c a b c
<<+++. 证明： 从结论形式看，各项均具有1M
M
+的形式，于是可构造函数 ()1x f x x
=
+， 易证 ()f x 在R +
上为增函数 因为a ，b ，c 为ABC ∆的三边
所以 a b c <+ 所以 ()()f a f b c <+ 即
111111a b c b c b c a b c b c b c b c
+<=+<++++++++++. 又如： 求证
111a b a b a b
a
b
+≤
+
++++ 可用类似方法证明。
（三） 、构造几何图形证明不等式
把欲证的不等式的数量关系所反映的几何背景找出来，然后根据几何图形性质证明不等式成立。
例3 已知实数a ，b 满足1a b +=，求证：22
25(2)(2)2
a b +++≥
. 分析：原式左边可看作点(,)a b 与点(2,2)--间距离的平方，则可在直角坐标系中，构造点
P (2,2)--，Q (,)a b ，其中Q 是直线1x y +=与两坐标轴的交点A ，B 连线段上点，
如图1所示
图 1
原式左边就是2
PQ ，设AB 中点C 11(,)22
因为 2
25
2
PC =
， 又PAB ∆为等腰∆ 所以 PC AB ⊥
故 PQ PC ≥， 即2
2
252
PQ PC ≥= 所以 2
2
25(2)(2)2
a b +++≥. （四） 、构造复数证明不等式
时，可联想构造复数，使复数的模与根式的表达式形式相同，然后再利用复数模的性质加以证明。 例4 已知为a ，b ，c 非负实数，求证：
)a b c ≥
++.
此题用别的方法较繁，若能转化为复数模的问题，就变得十分简捷。
分析：a ，b ，c 非负实数，a b c a b c ++=++，这样，不等式左右各项和复数模表示相似
于是可构造复数：
1z a bi =+， 2z b ci =+， 3z c ai =+ .
则 123z z z =++
123z z z ≥++ ()(1)a b c i =+++
1()i a b c =+++)a b c =++ 从而命题得证.
二、反证法
反证法是数学证明的一种重要方法。因为命题“P ”与它的否定“非P ”的真假相反，所以要证一个命题为真，只要证它的否定为假即可。这种从证明矛盾命题（即命题的否定）为假进而证明命题为真的证明方法叫做反证法。
（一） 、推理的结果与已知的知识相矛盾
例5 对实数a ，b ，c ，A ，B ，C ，有20aC bB cA -+=.且2
0ac b ->.
求证： 2
0AC B -≤.
分析： 假设1a ，2a ， ，n a 中有正数且2
0aAC B ->， 则 2
0AC B >≥，
由题设，有 2
0ac b >≥， 相乘得 2
2
aAcC b B >，因为2aC cA bB +=.
所以 222()44aC cA b B aAcC +=<， 整理得 2()0aC cA -< ， 这与“任何实数的平方非负”矛盾.
（二） 、推理的结果与已知条件相矛盾
例6 已知数列1a ，2a ， ，n a (3)n ≥ 满足10n a a ==，且
112k k k a a a -++≥ (2,3,,1)k n =- .
求证： 1a ，2a ， ，n a 均是非正数.
分析： 假设p a 是数列1a ，2a ， ，n a 中出现的第一个正数，
则 1P >且 10p a -≤
由 112k k k a a a -++≥ 得 110p p p p a a a a +--≥->， 即 10p p a a +>>.
如此类推可得： 10n n p a a a ->>>>
与已知0n a = 矛盾.
（三） 、推出两个相互矛盾的结论
例7 设 k k k z x y i =+， ,k k x y R ∈， (1,2,,)k n = r 是 22212n z z z +++ 的平方根的实部绝对值. 求证： 12n r x x x ≤+++ . 分析： 设 2
21()n
k
k a bi z
=+=
∑， (,)a b R ∈
即 2
21
()()n
k
k k a bi x
y i =+=
+∑
比较两边的实部与虚部，有
222211
1
()(),,n n
k k k k n
k k k x y a b x y ab ===⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∑∑∑
假设 1
n
k
k r x
=>
∑ ， 即 1
n
k
k a x
=>
∑ ， 则
2
2
21
1(
)n
n
k
k k k a x
x ==>≥∑∑ ③
结合 ① 与 ③ 知 2
2
1
n
k
k b y
=>
∑， 从而
ab >
④
另一方面，由柯西不等式知， 1
n
k k k ab x y ==
≤
∑
与 ④ 矛盾 故 12n r x x x ≤+++ 成立 .
反证法是处理绝对值问题的强有力的工具，但单纯用反证法往往较难得出矛盾，必须与其他方法结合运用，有时还要通过构造等手段来表达目的。在得到两个相互矛盾的结果的过程中，一是根据假设进行推理，二是由条件进行推理，两个方面缺一不可。 （四） 、推理的结果与假设相矛盾 例8 已知 {}n a 是首项为2，公比为
1
2
的等比数列，是它的前n 项和， (1) 用n S 表示1n S -；
(2) 是否存在自然数c 和k ，使得
12k k S c
S c +->-成立.
分析： (1) 242n n S -=-， 11
22
n n S S -=
+； (2) 假设存在符合条件的自然数c 和k ，则
11242242k k k
k S c c
S c c
-+----=>---， 从而
114320422k
k
c c ----⨯<--⨯ （*） 令 4t c =-， 则由（*）式得 112232k k
t --⨯<<⨯
即 1
22
3k t -<⨯<， 由 ,c k R ∈ 知 t R ∈
上述不等式对任意,t k N ∈不成立. 故这样的自然数c 和k 不存在.
反证法证明不等式有两个明显的特点，一是前提中增加了新的条件，也就是结论的反面成立，并在证明过程中使用这个条件；二是反证法无需专门去证某个特定的结论，只需利用否定结论导出矛盾即可。
可以看到，反证法具有分析法的特点，它们都从问题的结论去着手考虑，但两者又是截然不同的。反证法是从否定结论中开始，到得出显然矛盾的结论而结束；分析法则是从肯定结论成立开始，到得出显然成立的结果。反证法实际上是否定式的分析法。
不等式的证明可以采用不同的方法，每种方法具有一定的适用性，并有一定的规律可循。通过对不等式证明方法和例子的分析和总结，可以掌握其中的要领，灵活运用。
参考文献：
[1] 唐为民. 构造法在证明不等式中的应用[J]. 数学教学通讯. 2001.9. 41-42. [2] 周顺钿. 用反证法证明不等式[J]. 中学数学研究. 2004.4. 35-36.
[3] 翁耀明，毛家俊. 某些不等式的概率方法证明[J]. 上海电力学院学报. 2003.3. 57-59. [4] 徐群芳. 高等数学中证明不等式的几种方法[J]. 太原教育学院学报. 2004.9. 48-50. [5] 华东师范大学数学系. 数学分析（上册）[M]. 北京. 高等教育出版社. 1991.3.
昭通学院 学生毕业论文 论文题目证明不等式的几种方法 姓名 学号 201103010128 学院数学与统计学院 专业数学教育 指导教师 2014年3月6日
证明不等式的几种方法 摘 要：证明不等式就是要推出这个不等式对其中所有允许值都成立或推出数值不等式成立。本文主要归纳了几种不等式证明的常用方法。 关键词：不等式; 证明; 方法 1.引言 在定义域中恒成立的不等式叫做恒不等式，确认一个不等式为恒不等式的过程为对该不等式进行证明。证明不等式的主要方法是根据不等式的性质和已有的恒不等式进行合乎逻辑的等价变换。主要方法有：比较法、综合法、分析法、反证法、归纳法、放缩法、构造法、导数法、均值不等式性质证明不等式等方法。 2.不等式证明的常用方法 2.1 比较法 比较法是直接作出所证不等式，两边的差（或商）然后推演出结论的方法。具体地说欲证B A >)(B A <,直接将差式B A -与0比较大小；或若当+∈R B A ,时，直接将商式 B A 与1比较大小[]1。 差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“若0≥-b a ,则b a ≥;若0≤-b a ,则 b a ≤.”其一般步骤为： 1.作差：观察不等式左右两边构成的差式，将其看成一个整体。 2.变形：把不等式两边的差进行变形，或变形成一个常数，或为若干个因式的积，或一个或几个平方和。其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的方法。 3.判断：根据已知条件与上述变形结果判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求不等式成立的结论。 应用范围：当被证的不等式两端是多项式，对于分式或对数式时，一般使用差值比较法。 商值比较法的理论依据是：“∈b a ,+R ，若b a 1≥则b a ≥;若b a 1≤则b a ≤.”其一 般步骤为： 1.作商：将左右两端作商。 2.变形：化简商式到最简形式。
不等式常见的三种证明方法 渠县中学 刘业毅 一用基本不等式证明 设c b a ,,都是正数。求证：.c b a c ab b ac a bc ++≥++ 证明：.22c b ac a bc b ac a bc =?≥+ .22b c ab a bc c ab a bc =?≥+ .22a c ab b ac c ab b ac =?≥+ ).(2)(2c b a c ab b ac a bc ++≥++ .c b a c ab b ac a bc ++≥++ 点评：可用综合法分析乘积形式运用不等式可以转化为所求。 思维训练：设c b a ,,都是正数。求证： .222c b a c b a a c b ++≥++ 二 放缩法证明不等式 已知，对于任意的n 为正整数，求证： 1+221+321+K +n 21<4 7 分析：通过变形将数列{n 21 }放缩为可求数列。 解：Θ n 21=n n ?1<)1(1-n n =11-n —n 1（n ≥2） ∴1+221+321+K +n 21<1+2 21+231?+341?+K +)1(1-n n =1+ 41+(21—31+31—41+K +11-n —n 1) =45+21—n 1 =47—n 1 点评：放缩为可求和数列或公式是高考重要思想方法。 思维训练：设c b a ,,都是正数，a+b>c,求证：a a +1+b b +1>c c +1
三 构造函数法证明 证明不等式3ln 3121112ln <+++++ 不等式证明的几种方法 刘丹华 余姚市第五职业技术学校 摘 要： 不等式的证明可以采用不同的方法，每种方法具有一定的适用性，并有一定的规律可循。通过对不等式证明方法和例子的分析和总结，可以掌握其中的要领，灵活运用。 关键词： 不等式 ；证明方法；分析问题 引言 证明不等式一般没有固定的程序，方法因题而异，灵活多变，技巧性强。有时一个不等式的证明方 法不止一种，而一种证法又可能要用到好几个技巧，但基本思想总是一样的，即把原来的不等式变为明显成立的不等式。下面介绍几种证明不等式的方法。 一、构造法 构造法是数学中一种富有创造性的思维方法。当一个数学问题需要解决时，常常通过深入分析问题 的结构特征和内在规律，概括抽象构造出一个新的关系，使问题等价转化为与之有关的函数、方程和图形等，再进行求解。构造法也是数学解题中的一种重要的思维方法。 （一） 、构造方程证明不等式 某些不等式问题，可以根据它的条件或结论的特征构造一个一元二次方程，然后利用根的判别式来 证明。 例1 如果x ，y ，z 均为实数，且x y z a ++=，2 2 2 2 12 x y z a ++= (0)a >. 求证：203x a <≤ ，23o y a ≤≤， 203 z a ≤≤. 证明：由已知的两个等式中消去x ，得 2 2 2 21()2a y z y z a --++= ⇒ 222 22()2202 a y a z y z az --+-+ = 因为 y R ∈， 所以 22 4()4(2)0a z z a ∆=---≥ 所以 (32)0z z a -≤ 所以 203z a ≤≤ 同理可证： 203x a ≤≤， 2 03 y a ≤≤. 证明不等式的常用技巧 证明方法有比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法、换元法、构造法等。作差比较法：根据a-b>0↔a>b，欲证a>b，只需证a-b>0。换元法：换元的目的就是减少不等式中变量的个数，以使问题化难为易，化繁为简。 1不等式证明方法 比较法 ①作差比较法：根据a-b>0↔a>b，欲证a>b，只需证a-b>0； ②作商比较法：根据a/b=1，当b>0时，得a>b；当b>0时，欲证a>b，只需证a/b>1；当b<0 时，得 a 用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。 在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。 反证法 证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。 换元法 换元的目的就是减少不等式中变量的个数，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。 构造法 通过构造函数、图形、方程、数列、向量等来证明不等式。 2基本不等式 基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。 在使用基本不等式时，要牢记“一正”“二定”“三相等”的七字真言。“一正”就是指两个式子都为正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指当且仅当两个式子相等时，才能取等号。 一、常用基本不等式 我们先来看几种平均数： 证明不等式的13种方法 咸阳师范学院基础教育课程研究中心 安振平 不等式证明无论在高考、竞赛，还是其它类型的考试里，出现频率都是比较高，证明难度也是比较大的.因此，有必要总结证明不等式的基本方法，为读者提供学习时的参考资料. 笔者选题的标准是题目优美、简明，其证明方法基本并兼顾巧妙. 1． 排序方法 对问题的里的变量不妨排出大小顺序，有时便于获得不等式的证明. 例1 已知,,0a b c ≥，且 1a b c ++=，求证： () 222 29 1.a b c abc +++≥ 证明：不妨设a b c ≤≤，则1 03 a ≤≤ ，从而有940a -<，于是 () 222 29a b c abc +++ ()222 2 2 2 2 2 2 22()(94)22(1)(94) 2122(1)(94) 2131 1. 4 a b c bc a b c a a a a a a a a a =+++-+?? ≥+-+- ??? -?? =+-+- ??? =+-≥ 2．增量方法 在变量之间增设一个增量，通过增量换元的方法，便于问题的变形和处理. 例2 设,,a b c R + ∈，试证： 2222 a b c a b c a b b c c a ++++≥+++. 证明： 令a b α=+，,b c c a βγ=+=+，则0,αβγ++=于是 ()()()()2222 2 2 2 2 2 42()22(), a b c a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b c a b b c c a a b c αβγαβγαβγ??++ ?+++?? ++++++= + + +++=+++++++ + +++≥++ 所以 2222 a b c a b c a b b c c a ++++≥+++. 说明：本题可以加强为：设,,a b c R + ∈，试证： () 2222 ()22a b c a b c a c a b b c c a a b c ++-++≥++++++. 3．齐次化法 利用题设条件，或者其它变形手段，把原不等式转换为齐次不等式. 例3 设,,0,1x y z x y z ≥++=，求证： 2 2 22 2 2 2 22 1.16 x y y z z x x y z +++≤ 证明：不妨设x y z ≥≥，则22y x ≤222,z yz y z yz ≤≤，于是 2 2 2 2 2 2 22x y y z z x x y z +++ 22222 2 22(), x y x z x yz x yz x y z ≤+++=+ （这里转化为齐次了！） 而 1 ()24 x y z x y z ++??+≤= ???， 故有 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1.16 x y y z z x x y z +++≤ 等号在1 ,02 x y z == =时取得. 4．切线方法 通过研究函数在特殊点处的切线，利用切线段代替曲线段，来建立局部不等式. 例4 已知正数,,x y z 满足3x y z ++=，求证： 35 ≤. 不等式的证明方法 不等式的性质和基本不等式是证明不等式的理论依据，但是由于不等式的形式多样，因此不等式的证明方法也很多。我总结了一些不等式的证明方法 ，下面举例说明。 一. 比较法 例1 求证：2 23x +>x . 证明：因为()2 22 155232320222x x x x x ??+-=-+=-+≥> ??? 所以 2 23x +>x . 证明例1的方法称为作差比较法。用差与“0”比较大小。 例2 已知a >b>c>0,求证：() 3 a b c a b c a b c abc ++>。 证明：因为 () 2223 3 3 3 a b c b a c c a b a b c a b c a b c a b c abc ------++= 33 33 33 a b a c b a b c c a c b a b c ------+++= 3 3 3 a b a c b c a a b b c c ---?? ????= ? ? ??? ?? ?? 且a >b>0, 所以a -b>0, 1a b >，故3 1a b a b -??> ??? 。 同理可证 3 1a c a c -??> ???，3 1b c b c -??> ? ?? 。 所以 3 3 3 1a b a c b c a a b b c c ---??????> ? ? ??? ???? ，从而()3a b c a b c a b c a b c ++ >。 证明例2的方法称为求商比较法。用商与“1”比较大小。 二．反证法 例3 是无理数。 = q p ，p ≠0,且p,q 互素，则 所以， 222p q = ① 故2 q 是偶数，q 也必是偶数。 不等式证明常用方法 不等式是中学数学最基本内容之一,它有着丰富的实际背景，与生产实践联系十分密切；因此，无论普通高考，还是对口高考，不等式,历年都是考试的重点、热点,甚至难点。下面就不等式的证明，介绍几种常见方法，如有不对，敬请同行、同学们斧正. 一、作差法 例1、对于任意实数x ,求证：x x 232>+. 证明：∵x x 232-+=2)1(2+-x 0> ∴x x 232>+. 评注:1.作差法步骤:作差—变形—判断与0的关系—结论. 2.作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选用. 二、作商法 例2、设a ,b 均是正实数，求证：a b b a b a b a ≥. 证明：首先，由条件0>b a b a ,0>a b b a ， 其次， b a a b b a b a b a b a -=)(， ⑴当0>≥b a 时， 1≥b a ，0≥-b a ，∴1)(≥-b a b a . ⑵当0>>a b 时，10<-b a b a . 综合⑴、⑵：1)(≥-b a b a ，∴a b b a b a b a ≥. 评注:1.作商法步骤:作商—变形—判断与1的关系—结论. 2.作差法是通法，运用较广；作商法，要注意条件，不等式两边必须是正数。作商法常用于证幂、指数形式的不等式。 三、综合法 例3、设a ,b ,c 均是正实数,求证： c b a c ab b ca a bc ++≥++ 证明：∵a ,b ,c 均是正实数,∴a bc ,b ca ,c ab 也均是正实数. ∴2,2,2bc ca ca ab ab bc c a b a b b c c a +≥+≥+≥ 不等式的证明： 一、比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法，它常用的证明方法有两种： 1．作差比较法 方法：欲证A>B,只需要证A-B>0 步骤：“作差----变形----判断符号”。 使用此法作差后主要变形形式的处理： ○将差变形为常数或一个常数与几个平方和的形式常用配方法或实数特征a2≥0判断差的符号。 ○将差变形为几个因式的积的形式，常用因式分解法。 ○若变形后得到二次三项式，常用判别式定符号。 总之，变形的目的是有利于判断式子的符号，而变形方法不限定，也就是说，关键是变形的目标。 2．作商比较法 方法：要证A>B,常分以下三种情况： 若B>0，只需证明 1A B >； 若B=0，只需证明A>0； 若B<0，只需证明 1A B <。 （3）步骤：“作商-----变形-----判断商数与1的大小” 例：已知a , b , m 都是正数，并且a < b ，求证： b a m b m a >++ 解析：用作差比较法 ∵ ) () ()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-= ++-+=-++ ∵a ,b ,m 都是正数，并且a 0 , b - a > 0 ∴ 0) () (>+-m b b a b m 即： b a m b m a >++ 例：已知a>b>0,求证：()2 a b a b a b ab +> 解析：用作商比较法 ∵ () 2 2 2 2 2 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a a b a b b ab -++--- - -+??=== ??? 又∵a>b>0,() 2 2 1,01 2a b a b a b a a b a b b a b ab -+-??∴>>∴> ? ?? ∴> 例：已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较|)1(log | |)1(log |x x a a +-和的大小。 解析：法1：用作差比较法 [][])1(log )1(log )1(log )1(log |)1(log | |)1(log |22x x x x x x a a a a a a +---+-=+-- x x x a a +--=11l o g )1(l o g 2 ∵0 < 1 - x 2 < 1, 1110<+-< x x ∴011log )1(log 2>+--x x x a a ∴|)1(log | |)1(log |x x a a +>- 法2：用作商比较法 2 111111log 11log )1(log )1(log )1(log )1(log x x x x x x x x x x x a a -+=-=--=-=+-++++ )1(l o g 121x x --=+ ∵0 < 1 - x 2 < 1, 1 + x > 1, ∴0)1(log 21>--+x x ∴1)1(log 121>--+x x ∴|)1(log | |)1(log |x x a a +>- 二、综合法：用综合法证明不等式，就是利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证 不等式证明的几种常用方法 一、比较法 （1）差值比较法 要证明a ＞b ,只要证明a -b ＞0。 ①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体； ②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变 形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段； ③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。 【例一】 求证：2 33x x +> 证明： ()() () 2 2 2 2 33223333 x x x x +-=-+ - + 2 333 0244x ? ?=-+≥ > ?? ? 2 33x x ∴+> (2)商值比较法 已知a ,b 都是正数，要证明a ＞b ,只要证明a/b ＞1 ①作商：将左右两端作商； ②变形：化简商式到最简形式； ③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。 应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。 【例二】 已知a,b>0，求证a b b a a b a b ≥ 证明： = ∵a,b>0+,当a ＞b 时，＞1,a-b ＞0，＞1; 当a≤b 时,≤1,a -b≤0, ≥1. ∴ ≥1, 即a b b a a b a b ≥ 二、综合法 利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：A-B1- B2- B3… Bn -B ，即从已知A 逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B 。重点：基本不等式 【例三】 已知a ,b ,c 是不全等的正数，求证 a (c 2+b 2)+b (a 2+c 2)+c (a 2+b 2)＞6abc . 证明： 2 2 2a b ab +≥ ，2 2 2a c ac +≥，2 2 2c b bc +≥ ()2 2 2a b c abc ∴+≥，()2 2 2b a c abc +≥，()2 2 2c a b abc +≥ ∴a (c 2+b 2 )+b (a 2 +c 2 )+c (a 2 +b 2 )≥6abc . 又因为a ,b ,c 是不全等的正数 所以有a (c 2+b 2)+b (a 2+c 2)+c (a 2+b 2)＞6abc . 三、分析法 分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。用分析法证明A-B 的逻辑关系为：B-B1-B2- B3 … Bn -A ，书写的模式是：为了证明命题B 成立，只需证明命题B1为真，从而有…，这只需证明B2为真，从而又有…，……这只需证明A 为真，而已知A 为真，故B 必为真。这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。 【例四】 求证：6 372+ < + 证明: 一个不等式的七种证明方法 证明不等式就是证明所给不等式在给定条件下恒成立.由于不等式的形式是多种多样的,因此,不等式的证明方法也可谓是千姿百态.针对不等式证明,要具体问题具体分析,灵活选用证明方法,提高代数变形,推理论证能力,一题多解,有助于我们对辩证唯物主义观点有进一步的认识. 题目：已知a ,b ,c ,d ∈R ,求证:ac +bd ≤))((2222d c b a ++ 分析一:用分析法 证法一:(1)当ac +bd ≤0时,显然成立. (2)当ac +bd >0时,欲证原不等式成立, 只需证(ac +bd )2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2) 即证a 2c 2+2abcd +b 2d 2≤a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2 即证2abcd ≤b 2c 2+a 2d 2 即证0≤(bc -ad )2 因为a ,b ,c ,d ∈R ,所以上式恒成立, 综合(1)、(2)可知:原不等式成立. 分析二:用综合法 证法二: (a 2+b 2)(c 2+d 2)=a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2 =(a 2c 2+2abcd +b 2d 2)+(b 2c 2-2abcd +a 2d 2) =(ac +bd )2+(bc -ad )2≥(ac +bd )2 ∴))((2222d c b a ++≥|ac +bd |≥ac +bd . 故命题得证. 分析三:用比较法 证法三:∵(a 2+b 2)(c 2+d 2)-(ac +bd )2=(bc -ad )2≥0, ∴(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2 ∴))((2222d c b a ++≥|ac +bd |≥ac +bd , 即ac +bd ≤))((2222d c b a ++. 分析四:用放缩法 证法四:为了避免讨论,由ac +bd ≤|ac +bd |, 可以试证(ac +bd )2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2). 由证法1可知上式成立,从而有了证法四. 分析五:用三角代换法 证法五:不妨设⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==ββ ααsin cos ,sin cos 2 211r d r c r b r a (r 1,r 2均为变量). 则ac +bd =r 1r 2cos αcos β+r 1r 2sin αsin β=r 1r 2cos （α-β） 又|r 1r 2|=|r 1|·|r 2|=))((22222222d c b a d c b a ++=+⋅+ 及r 1r cos （α-β）≤|r 1r 2| 所以ac +bd ≤))((2222d c b a ++. 分析六:用换元法 证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法,即比较法、综合法和分析法外,在不等式证明中,不仅要用比较法、综合法和分析法,根据有些不等式的结构,恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用． 一、反证法 如果从正面直接证明,有些问题确实相当困难,容易陷入多个元素的重围之中,而难以自拔,此时可考虑用间接法予以证明,反证法就是间接法的一种．这就是最"没办法"的时候往往又"最有办法",所谓的"正难则反"就是这个道理．反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的,在使用反证法时,必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论,缺少任何一种可能,则反证法都是不完全的． 用反证法证题的实质就是从否定结论入手,经过一系列的逻辑推理,导出矛盾,从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B,先假设A≤B,然后根据题设及不等式的性质,推出矛盾,从而否定假设,即A≤B不成立,而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有"至多"、"至少"、"均是"、"不都"、"任何"、"唯一"等特征字眼的不等式,若正面难以找到解题的突破口,可转换视角,用反证法往往立见奇效． 例1 设a、b、c、d均为正数,求证：下列三个不等式：①a＋b＜c＋d； ② 由不等式③得cd ＜ab 3＞8,即p 3＋q 3＋3pq ＞8, ∵p 3＋q 3= 2,∴pq ＞2． 故pq ＞2 = p 3＋q 3= < p 2－pq ＋q 2>, 又p ＞0,q ＞0 ⇒ p ＋q ＞0, ∴pq ＞p 2－pq ＋q 2,即 2 ＜0,矛盾． 故假设p ＋q ＞2不成立,∴p ＋q ≤2． 例4 已知)(x f = x 2＋ax ＋b,其中a 、b 是与x 无关的常数,求证： 不等式的几种证明方法及其应用 不等式的证明方法多种多样，常用的证法有初等数学中的综合法、分析法、比较法和数学概括 法等，高等数学中常用的方法是利用函数的单一性、凹凸性等方法．本文将对此中一些典型证法给 出系统的概括与总结，并以例题的形式展现这些方法的应用． 1利用结构法证明不等式 “所谓结构思想方法就是指在解决数学识题的过程中，为达成从条件向结论的转变，利用数学 问题的特别性设计一个新的关系结构系统，找到解决原问题的详细方法．利用结构思想方法不是直 接解决原问题，而是结构与原问题有关或等价的新问题．”[1](P52)在证明不等式的问题中，结构思想 方法常有以下几种形式： 1.1结构函数证明不等式 结构函数指依据所给不等式的特色，奇妙地结构合适的函数，而后利用一元二次函数的鉴别式 或函数的有界性、单一性、奇偶性等来证明不等式． 利用鉴别式 在含有两个或两个以上字母的不等式中，若依据题中所给的条件，能与一元二次函数有关或能 经过等价形式转变成一元二次函数的，都可考虑使用鉴别式法． 例1 设x,y,zR，证明x2 xy y2 3z(x yz)0成立． 解令f(x) x2 (y 3z)x y2 3yz 3z2为x的二次函数． 由(y 3z)2 4(y2 3yz 3z2) 3(y z)2知0，所以f(x)0． 故x2 xy y2 3z(x y z)0恒成立． 对于某些不等式，若能依据题设条件和结论，联合鉴别式的结构特色，经过结构二项平方和函 数f(x)=(a1xb1)2＋(a2x－b2)2＋＋(a n x b n)2，由f(x) 0得出0，从而即可得出所需证的不等式． 例2 设a,b,c,d R ，且a b c d 1，求证 4a 1 4b 1 4c 14d 1 6[2](P18)． 证明令f(x)=( 4a 1x－1)2＋( 4b 1x 1)2＋( 4c 1x1)2＋(4d1x1)2 不等式是高等数学中的一个重要工具。运用它可以对变量之间的大小关系进行估计，并且一些重要的不等式在现代数学的研究中发挥着重要作用。这里首先介绍几个常用的不等式，然后再介绍证明不等式的一些方法。 几个重要的不等式 1．平均值不等式 设 12,, ,n a a a 非负，令 111()(0) n r r r k k M a a r n =⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭∑（当r<0且至少有一0 k a =时，令()0r M a =）， 111()()n k k A a M a a n ===∑，112 ()()111n n H a M a a a a -== ++， 1 1()n n k k G a a =⎛⎫= ⎪ ⎝⎭∏，称r M 是r 次幂平均值，A 是算数平均值，H 是调和平均值，G 是几何平均值，则有()()()H a G a A a ≤≤，等式成立的充要条件是 12,n a a a == =；一般的，如果s>0，t<0，则有 ()()() t s M a G a M a ≤≤，等式成 立的充要条件是12,n a a a == =。 2．赫尔德（Holder ）不等式 设 ()0,0,1,2, ,,1,2, ,j i j a a i n j m >>==，且 1 1 m j j a ==∑，则 11111 1 1() () () ()m m n n n a a a a m m i i i i i i i a a a a ===≤∑∑∑， 等式成立的充要条件是 (1) () (1)()1 1 ,1,2,,m i i n n m k k i i a a i n a a ==== =∑∑。 3．柯西-许瓦兹（Cauchy-Schwarz ）不等式不等式证明的几种方法
证明不等式的常用技巧
证明不等式的13种方法
不等式的证明方法
不等式证明常用方法
不等式的八种证明方法及一题多证
不等式的几种证明方法
一个不等式的七种证明方法
证明不等式的几种常用方法
不等式几种证明方法及其应用
几个常用不等式证明不等式方法辛
相关主题
文本预览