证明不等式的常用技巧
证明方法有比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法、换元法、构造法等。作差比较法：根据a-b>0↔a>b，欲证a>b，只需证a-b>0。换元法：换元的目的就是减少不等式中变量的个数，以使问题化难为易，化繁为简。
1不等式证明方法
比较法
①作差比较法：根据a-b>0↔a>b，欲证a>b，只需证a-b>0；
②作商比较法：根据a/b=1，当b>0时，得a>b；当b>0时，欲证a>b，只需证a/b>1；当b<0 时，得 a 综合法 由因导果。证明不等式时，从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形推导出要证明的不等式. 合法又叫顺推证法或因导果法。 分析法 执果索因。证明不等式时，从待证命题出发，寻找使其成立的充分条件. 由于”分析法“证题书写不是太方便，所以有时我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用”综合法“进行表述。 放缩法 将不等式一侧适当的放大或缩小以达到证题目的。 数学归纳法 证明与自然数n有关的不等式时，可用数学归纳法证之。 用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。 在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。 反证法 证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。 换元法 换元的目的就是减少不等式中变量的个数，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。 构造法 通过构造函数、图形、方程、数列、向量等来证明不等式。 2基本不等式 基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。 在使用基本不等式时，要牢记“一正”“二定”“三相等”的七字真言。“一正”就是指两个式子都为正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指当且仅当两个式子相等时，才能取等号。 一、常用基本不等式 我们先来看几种平均数： 常用基本不等式 这四种平均数满足Hn ≤ Gn ≤ An ≤ Qn，即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数。我们平时做题时，遇到的不等式相关问题，基本都离不开以上几种平均数大小关系的比较。 特别地，当n=3时，均值不等式：设a、b、c∈R＋，则 当且仅当a＝b＝c时等号成立。 一、证明不等式常用思路： 不等式的证明思路和方法有：比较法、综合法、分析法、放缩法、反证法；换元法、常数代换法、几何法、数学归纳法、构造函数法等。（换元法是一个需要专门讨论的方法，这里暂不举例） 1、比较法：比较法证明不等式的一般步骤：作差（作商）—变 形—判断—结论． 作差法：差与“0”比较。为了判断作差后的符号，经常需要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，判断其正负． 作商法：商与“1”相比较。作商时，需要满足两者均为正数。 2、综合法（顺推）：综合法是指从已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后得到结论，其特点是“执因索果”，即由“已知”，利用已经证明过的不等式或不等式的性质逐步推向“未知”。 综合法证明不等式的逻辑关系是：A B1B2…Bn B，及从已知条件 A 出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论 B. 3、分析法（逆推）：从求证的结论出发，分析使这个结论成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即“执果索因”．即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。 4、放缩法：要证明不等式 A 放缩法证明不等式的理论依据主要有：①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较． 常用的放缩技巧有：①应用均值不等式进行放缩；②舍掉(或加进)一些项；③在分式中放大或缩小分子或分母。 5、反证法：即从正难则反的角度去思考，要证明不等式A>B，先假设A≤B，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定A>B. 凡涉 及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不可能”、“不存在”等词语时，可以考虑用反证法． 6、常数代换法 常数代换是指利用某些带有常数项的恒等式，把常量化为变量代入到所求证的式子中，以到达化繁为简的目的。 常用的带有常数项的恒等式，可由题目中的条件变形得到，也可用常用的公式或公式变形。 7、几何法 通过构造几何图形，利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为几何法。 8、换元法 9、数学归纳法：当不等式是一个与自然数 n 有关的命题， 可以利用数学归纳法进行证明． 10、构造法：在不等式的证明中，可根据不等式的结构特点，恰当的构造一个与不等式相关的数学模型，如构造函数、方程、数列、向量等，实现问题的转化，从而使不等式得到证明． 说明：其中8换元法，有专题研究，本文不做详细讨论，9和10不属于必修一内容，本文也暂且不做讨论。 三、不等式证明方法对应练习及规律方法 3.1、比较法 3.1.1、比较法（做差法） 3.1.2、比较法（作商法）： 3.2、综合法 3.3、分析法 规律方法：用分析法论证“若 A 则B”这个命题的模式是：欲证命题 B 为真，只需证明命题 B1 为真，从而又只需证明命题B2 为真，从而又……只需证明命题 A 为真，今已知 A 真，故 B必真．简写为：BB1 B2… Bn A. 重要领悟：只要含有根号或绝对值，我们就可以通过平方或者适当变形后平方，来去掉根号或绝对值。 3.4、放缩法 规律方法：利用不等式的传递性。要证 A>B，可适当选择一个 C，使得C≥B，那么A>B,反之亦然．放缩技巧有： ①分式放缩：固定分母，放缩分子；固定分子，放缩分母．常用于分式类不等式的证明； ②添舍放缩：视情况丢掉或增多一些项进行放缩，常见于整式或根式配方后需要放缩的不等式的证明． 不等式的证明技巧[共五篇] 第一篇：不等式的证明技巧 不等式的证明策略不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本难点着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.●难点磁场[例1]．已知a＞0，b＞0，且a+b=1.求证：(a+ 1125)(b+)≥.ba 4［例2］求使x+y≤ax+y(x＞0，y＞0)恒成立的a的最小值.知识依托：该题实质是给定条件求最值的题目，所求a的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有 关性质把a呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值.解法一：由于a的值为正数，将已知不等式两边平方，得：x+y+2xy≤a2(x+y)，即2xy≤(a2－1)(x+y)，∴x，y＞0，∴x+y≥2xy，①② 当且仅当x=y时，②中有等号成立.比较①、②得a的最小值满足a2－1=1，∴a2=2，a=2(因a＞0)，∴a的最小值是2.解法二：设u= x+y (x+y)2== x+yx+y x+y+2xy2xy .=1+ x+yx+y ∵x＞0，y＞0，∴x+y≥2xy(当x=y时“=”成立)，∴ 2xy2xy ≤1，的最大值是1.x+yx+y 从而可知，u的最大值为+1=2，又由已知，得a≥u，∴a的最小值为2.解法三：∵y＞0，∴原不等式可化为 x +1≤ayx +1，y 设 xπ=tanθ，θ∈(0，).y 2∴tanθ+1≤atan2θ+1；即tanθ+1≤asecθ∴a≥sinθ+cosθ=2sin(θ+ π 4)，③ 又∵sin(θ+π 4)的最大值为1(此时θ=π4).由③式可知a的最小值为2.●锦囊妙计 1.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法.(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述；如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证.(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野. 2.不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法、增量代换法，‘1’代换法等，换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性.放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.●歼灭难点训练 一、填空题 ab1.已知x、y是正变数，a、b是正常数，且+=1，x+y的最小值为__________.xy2.设正数a、b、c、d满足a+d=b+c，且|a－d|＜|b－c|，则ad与bc的大小关系是__________.3.)若m＜n，p＜q，且(p－ 不等式的证明方法 不等式是数学中一类重要的数学不等关系，它在各个领域中都有广泛 的应用。证明不等式的方法有很多，下面介绍几种常见的方法。 1.数学归纳法 数学归纳法是一种常用的证明不等式的方法。当不等式对于一些特定 的n成立时，我们可以证明当n+1时，不等式也成立。具体步骤如下：（1）首先验证当n=1时不等式成立； （2）假设当n=k时不等式成立，即不等式表达式为Pk(k)，其中 Pk(k)表示当n=k时不等式的表达式； （3）利用假设的条件，证明当n=k+1时不等式也成立，即证明 Pk(k+1)； （4）由(1)(2)步骤可知，不等式对于n=1成立，又由(3)步骤可知， 当n=k+1时不等式也成立，综上可得，不等式对于所有的n成立。 2.数学推理 数学推理是一种常用的证明不等式的方法，它主要是通过运用已知的 数学定理、性质和等式进行逻辑推理，从而得出结论。例如，可以利用已 知的三角函数性质、代数运算等进行推理，通过一系列推导和等价变形得 出需要证明的不等式。 3.代入法 代入法是一种常用的证明不等式的方法，它主要是利用数值替换变量，通过对不等式成立条件的特殊取值进行代入，从而证明不等式成立。例如， 对于一个两个变量的不等式，可以分别取其中一个变量为0或1，然后对 不等式进行推导和比较，得出结论。 4.反证法 反证法是一种常用的证明不等式的方法，它通过假设所要证明的不等 式不成立，然后从假设出发推导出与已知矛盾的结论，从而证明原不等式 成立。具体步骤如下： （1）假设不等式不成立，即存在一些条件使得不等式不成立，这个 条件可以是一个数、一个式子等； （2）利用假设条件进行推导，推导出与已知矛盾的结论； （3）由于假设条件导致与已知矛盾，所以假设不成立，即原不等式 成立。 5.AM-GM不等式（算术平均数-几何平均数不等式） AM-GM不等式是一种常用的证明不等式的方法。它断言，若a1， a2，...，an是n个非负实数，则有(a1+a2+...+an)/n ≥ √(a1*a2*...*an)，等号成立的条件是a1=a2=...=an。通过这个不等式，我们可以证明很多其他不等式。具体的证明方法是： （1）将n个非负实数的乘积开方，即√(a1*a2*...*an)； （2）寻找一个具有n个元素的数列x，使得其算术平均数和几何平 均数相等，即(a1+a2+...+an)/n = x； （3）通过计算，证明√(a1*a2*...*an) ≤ x，从而得出不等式成立。 不等式证明的几种方法 刘丹华 余姚市第五职业技术学校 摘 要： 不等式的证明可以采用不同的方法，每种方法具有一定的适用性，并有一定的规律可循。通过对不等式证明方法和例子的分析和总结，可以掌握其中的要领，灵活运用。 关键词： 不等式 ；证明方法；分析问题 引言 证明不等式一般没有固定的程序，方法因题而异，灵活多变，技巧性强。有时一个不等式的证明方 法不止一种，而一种证法又可能要用到好几个技巧，但基本思想总是一样的，即把原来的不等式变为明显成立的不等式。下面介绍几种证明不等式的方法。 一、构造法 构造法是数学中一种富有创造性的思维方法。当一个数学问题需要解决时，常常通过深入分析问题 的结构特征和内在规律，概括抽象构造出一个新的关系，使问题等价转化为与之有关的函数、方程和图形等，再进行求解。构造法也是数学解题中的一种重要的思维方法。 （一） 、构造方程证明不等式 某些不等式问题，可以根据它的条件或结论的特征构造一个一元二次方程，然后利用根的判别式来 证明。 例1 如果x ，y ，z 均为实数，且x y z a ++=，2 2 2 2 12 x y z a ++= (0)a >. 求证：203x a <≤ ，23o y a ≤≤， 203 z a ≤≤. 证明：由已知的两个等式中消去x ，得 2 2 2 21()2a y z y z a --++= ⇒ 222 22()2202 a y a z y z az --+-+ = 因为 y R ∈， 所以 22 4()4(2)0a z z a ∆=---≥ 所以 (32)0z z a -≤ 所以 203z a ≤≤ 同理可证： 203x a ≤≤， 2 03 y a ≤≤. 不等式证明的几种方法 1.直接证明法 直接证明法是最常用的证明方法之一、该方法是通过运用数学定义、 公理和已知条件，直接推导出要证明的不等式。例如，要证明 a+b≥2√ab，我们可以通过平方两边的方式将不等式变形为(a-b)^2≥0 的形式，再通过数学运算的方式得出结论。 2.反证法 反证法是常用的证明方法之一，尤其适用于不等式证明。该方法是先 假设要证明的不等式为假，然后通过推导得出与已知条件矛盾的结论，从 而证明所假设的不等式为真。例如，要证明3√ab≥2(a+b)不成立，我们 可以先假设不等式成立，然后通过运算推导出与已知条件不符的结果。由 此可知，不等式不成立。 3.数学归纳法 数学归纳法适用于一类特殊的不等式，即对于其中一自然数n，当 n=1时不等式成立，且当n=k时不等式成立，则当n=k+1时不等式也成立。通过反证法证明。例如，要证明n^2<2^n，首先当n=1时，不等式成立。 假设当n=k时，不等式也成立，即k^2<2^k成立。我们需要证明当n=k+1时，不等式也成立，即(k+1)^2<2^(k+1)成立。通过反证法推导出与已知 条件矛盾的结果，即可证明不等式成立。 4.几何法 几何法可以通过将不等式转化为几何问题来证明。例如，要证明 a^2+b^2≥2ab，可以将不等式转化为平面上两点的距离的问题。通过建立 几何模型，可以直观地看出不等式成立的原因。例如，可以将两个正方形 的面积进行比较，或者使用勾股定理来解决问题。 5.代数方法 代数方法是通过将不等式转化为代数方程或函数的性质来证明。例如，要证明3a^2+3b^2+2c^2≥4ab+4bc+4ca，可以通过将不等式整理为一个二 次函数的形式，然后通过对函数进行研究来得出结论。 以上是几种常见的不等式证明方法，其中每种方法都有其独特的适用 范围和优势。在实际应用中，根据具体的题目和情况选择合适的证明方法 可以更高效地解决问题。 证明不等式的常用技巧 证明方法有比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法、换元法、构造法等。作差比较法：根据a-b>0↔a>b，欲证a>b，只需证a-b>0。换元法：换元的目的就是减少不等式中变量的个数，以使问题化难为易，化繁为简。 1不等式证明方法 比较法 ①作差比较法：根据a-b>0↔a>b，欲证a>b，只需证a-b>0； ②作商比较法：根据a/b=1，当b>0时，得a>b；当b>0时，欲证a>b，只需证a/b>1；当b<0 时，得 a 用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。 在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。 反证法 证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。 换元法 换元的目的就是减少不等式中变量的个数，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。 构造法 通过构造函数、图形、方程、数列、向量等来证明不等式。 2基本不等式 基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。 在使用基本不等式时，要牢记“一正”“二定”“三相等”的七字真言。“一正”就是指两个式子都为正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指当且仅当两个式子相等时，才能取等号。 一、常用基本不等式 我们先来看几种平均数： 证明不等式的13种方法 咸阳师范学院基础教育课程研究中心 安振平 不等式证明无论在高考、竞赛，还是其它类型的考试里，出现频率都是比较高，证明难度也是比较大的.因此，有必要总结证明不等式的基本方法，为读者提供学习时的参考资料. 笔者选题的标准是题目优美、简明，其证明方法基本并兼顾巧妙. 1． 排序方法 对问题的里的变量不妨排出大小顺序，有时便于获得不等式的证明. 例1 已知,,0a b c ≥，且 1a b c ++=，求证： () 222 29 1.a b c abc +++≥ 证明：不妨设a b c ≤≤，则1 03 a ≤≤ ，从而有940a -<，于是 () 222 29a b c abc +++ ()222 2 2 2 2 2 2 22()(94)22(1)(94) 2122(1)(94) 2131 1. 4 a b c bc a b c a a a a a a a a a =+++-+?? ≥+-+- ??? -?? =+-+- ??? =+-≥ 2．增量方法 在变量之间增设一个增量，通过增量换元的方法，便于问题的变形和处理. 例2 设,,a b c R + ∈，试证： 2222 a b c a b c a b b c c a ++++≥+++. 证明： 令a b α=+，,b c c a βγ=+=+，则0,αβγ++=于是 ()()()()2222 2 2 2 2 2 42()22(), a b c a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b c a b b c c a a b c αβγαβγαβγ??++ ?+++?? ++++++= + + +++=+++++++ + +++≥++ 所以 2222 a b c a b c a b b c c a ++++≥+++. 说明：本题可以加强为：设,,a b c R + ∈，试证： () 2222 ()22a b c a b c a c a b b c c a a b c ++-++≥++++++. 3．齐次化法 利用题设条件，或者其它变形手段，把原不等式转换为齐次不等式. 例3 设,,0,1x y z x y z ≥++=，求证： 2 2 22 2 2 2 22 1.16 x y y z z x x y z +++≤ 证明：不妨设x y z ≥≥，则22y x ≤222,z yz y z yz ≤≤，于是 2 2 2 2 2 2 22x y y z z x x y z +++ 22222 2 22(), x y x z x yz x yz x y z ≤+++=+ （这里转化为齐次了！） 而 1 ()24 x y z x y z ++??+≤= ???， 故有 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1.16 x y y z z x x y z +++≤ 等号在1 ,02 x y z == =时取得. 4．切线方法 通过研究函数在特殊点处的切线，利用切线段代替曲线段，来建立局部不等式. 例4 已知正数,,x y z 满足3x y z ++=，求证： 35 ≤. 利用导数证明不等式的八种方法 构造函数法---1研究其单调性 2 极值、最值与0的关系 张红娟学习所得 2012.10.18 1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。 2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法： 一、移项法构造函数 【例1】 已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有 x x x ≤+≤+-)1ln(1 11 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数 11 1)1ln()(-++ +=x x x g ，从其导数入手即可证明。 【解】1111)(+-=-+='x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数 当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数 故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞ 于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 现证左面，令111)1ln()(-+++=x x x g ， 2 2)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ， 即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数， 故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ， ∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即011 1)1ln(≥-++ +x x ∴111)1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(11 1,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ）， 那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证． 2、作差法构造函数证明 不等式证明常用方法 不等式是中学数学最基本内容之一,它有着丰富的实际背景，与生产实践联系十分密切；因此，无论普通高考，还是对口高考，不等式,历年都是考试的重点、热点,甚至难点。下面就不等式的证明，介绍几种常见方法，如有不对，敬请同行、同学们斧正. 一、作差法 例1、对于任意实数x ,求证：x x 232>+. 证明：∵x x 232-+=2)1(2+-x 0> ∴x x 232>+. 评注:1.作差法步骤:作差—变形—判断与0的关系—结论. 2.作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选用. 二、作商法 例2、设a ,b 均是正实数，求证：a b b a b a b a ≥. 证明：首先，由条件0>b a b a ,0>a b b a ， 其次， b a a b b a b a b a b a -=)(， ⑴当0>≥b a 时， 1≥b a ，0≥-b a ，∴1)(≥-b a b a . ⑵当0>>a b 时，10<-b a b a . 综合⑴、⑵：1)(≥-b a b a ，∴a b b a b a b a ≥. 评注:1.作商法步骤:作商—变形—判断与1的关系—结论. 2.作差法是通法，运用较广；作商法，要注意条件，不等式两边必须是正数。作商法常用于证幂、指数形式的不等式。 三、综合法 例3、设a ,b ,c 均是正实数,求证： c b a c ab b ca a bc ++≥++ 证明：∵a ,b ,c 均是正实数,∴a bc ,b ca ,c ab 也均是正实数. ∴2,2,2bc ca ca ab ab bc c a b a b b c c a +≥+≥+≥ 不等式证明的几种常用方法 一、比较法 （1）差值比较法 要证明a ＞b ,只要证明a -b ＞0。 ①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体； ②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变 形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段； ③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。 【例一】 求证：2 33x x +> 证明： ()() () 2 2 2 2 33223333 x x x x +-=-+ - + 2 333 0244x ? ?=-+≥ > ?? ? 2 33x x ∴+> (2)商值比较法 已知a ,b 都是正数，要证明a ＞b ,只要证明a/b ＞1 ①作商：将左右两端作商； ②变形：化简商式到最简形式； ③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。 应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。 【例二】 已知a,b>0，求证a b b a a b a b ≥ 证明： = ∵a,b>0+,当a ＞b 时，＞1,a-b ＞0，＞1; 当a≤b 时,≤1,a -b≤0, ≥1. ∴ ≥1, 即a b b a a b a b ≥ 二、综合法 利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：A-B1- B2- B3… Bn -B ，即从已知A 逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B 。重点：基本不等式 【例三】 已知a ,b ,c 是不全等的正数，求证 a (c 2+b 2)+b (a 2+c 2)+c (a 2+b 2)＞6abc . 证明： 2 2 2a b ab +≥ ，2 2 2a c ac +≥，2 2 2c b bc +≥ ()2 2 2a b c abc ∴+≥，()2 2 2b a c abc +≥，()2 2 2c a b abc +≥ ∴a (c 2+b 2 )+b (a 2 +c 2 )+c (a 2 +b 2 )≥6abc . 又因为a ,b ,c 是不全等的正数 所以有a (c 2+b 2)+b (a 2+c 2)+c (a 2+b 2)＞6abc . 三、分析法 分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。用分析法证明A-B 的逻辑关系为：B-B1-B2- B3 … Bn -A ，书写的模式是：为了证明命题B 成立，只需证明命题B1为真，从而有…，这只需证明B2为真，从而又有…，……这只需证明A 为真，而已知A 为真，故B 必为真。这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。 【例四】 求证：6 372+ < + 证明: 不等式证明使用技巧 不等式证明是高中数学中的一个重要内容，掌握不等式证明的技巧对于解题和提升数学水平都有很大的帮助。下面我将介绍一些常用的不等式证明技巧。 一、代入法 代入法是一种常用的证明不等式的方法。我们可以先假设不等式成立，然后进行推导得出结论。如果得到的结论与原不等式一致，就证明了不等式的成立。 例如，我们要证明对于任意正实数a、b和c，有 $(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})\ge q 9$。我们可以假设$a\leq b\leq c$，然后代入得到： $a^2+b^2+c^2=2a^2+(b^2-a^2+c^2)\geq 2a^2=2(a\cdot a)\geq 2(ab)$， $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{1}{a^2}+\fra c{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq 3(\frac{1}{ab})=\frac{3}{ab}$。然后，将两个不等式代入原不等式得到： $(2ab)(\frac{3}{ab})=6\geq 9$。由此可见，原不等式成立。 二、放缩法 放缩法是另一种常用的证明不等式的方法。我们可以通过放缩不等式的各个部分来改变不等式的形式，从而得到更容易证明的形式。 例如，我们要证明对于任意正实数a、b和c，有 $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3$。我们可以通过放 缩的方法，将不等式的各个部分放缩至一个更容易证明的形式。我们注意到， $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2 }{bc}+\frac{c^2}{ca}\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}$。然后，我们可以通过平方展开和放缩的方法，得到： $\frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}\geq 3$。因此，原不等式成立。 三、数学归纳法 数学归纳法是一种常用的证明不等式的方法，特别适用于证明一些与正整数相关的不等式。 例如，我们要证明对于任意正整数n，有$2^n>n$。我们可以 通过数学归纳法证明。首先，当n=1时，显然成立。假设对 于n=k时，不等式成立，即$2^k>k$。那么当n=k+1时，我们 有$2^{k+1}=2\cdot 2^k>2\cdot k>k+1$。由此可见，当n=k+1时，不等式也成立。因此，不等式对于所有正整数n都成立。 以上是一些常用的不等式证明技巧。通过掌握这些技巧，我们可以更好地解决不等式证明的问题，并提升自己的数学水平。同时，这些技巧也可以帮助我们在解决其他数学问题时更加灵活地运用数学知识。所以，希望大家在学习和掌握这些技巧的同时，多多实践，提高自己的数学能力。 证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法,即比较法、综合法和分析法外,在不等式证明中,不仅要用比较法、综合法和分析法,根据有些不等式的结构,恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用． 一、反证法 如果从正面直接证明,有些问题确实相当困难,容易陷入多个元素的重围之中,而难以自拔,此时可考虑用间接法予以证明,反证法就是间接法的一种．这就是最"没办法"的时候往往又"最有办法",所谓的"正难则反"就是这个道理．反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的,在使用反证法时,必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论,缺少任何一种可能,则反证法都是不完全的． 用反证法证题的实质就是从否定结论入手,经过一系列的逻辑推理,导出矛盾,从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B,先假设A≤B,然后根据题设及不等式的性质,推出矛盾,从而否定假设,即A≤B不成立,而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有"至多"、"至少"、"均是"、"不都"、"任何"、"唯一"等特征字眼的不等式,若正面难以找到解题的突破口,可转换视角,用反证法往往立见奇效． 例1 设a、b、c、d均为正数,求证：下列三个不等式：①a＋b＜c＋d； ② 由不等式③得cd ＜ab 3＞8,即p 3＋q 3＋3pq ＞8, ∵p 3＋q 3= 2,∴pq ＞2． 故pq ＞2 = p 3＋q 3= < p 2－pq ＋q 2>, 又p ＞0,q ＞0 ⇒ p ＋q ＞0, ∴pq ＞p 2－pq ＋q 2,即 2 ＜0,矛盾． 故假设p ＋q ＞2不成立,∴p ＋q ≤2． 例4 已知)(x f = x 2＋ax ＋b,其中a 、b 是与x 无关的常数,求证： 证明不等式的方法 1.比较法。在证明不等式的方法中，比较法是最基本、最重要的方法。比较法是利用不 等式两边的差是正还是负来证明不等关系的。利用不等式的性质对不等式进行变形，变形目 的在于判断差的符号，而不考虑值是多少。 2.综合法。综合法是由已知条件出发，推导出所要证明的不等式成立，即由已知逐步推 演不等式成立的必要条件得到结论。综合法是“由因导果”。 3.分析法。分析法也是证明不等式的一种常用的基本方法，当证题不知从何入手时，有 时可以用分析法获得解决。分析法是和综合法对立统一的两种方法，它是由结果步步寻求不 等式成立的充分条件，找寻已知，是“执果索因”。 分析法和综合法常常是不能分离的，如果使用综合法证明不等式，难以入手时常用分析 法探索证题的途径，之后用综合法形式写出它的证明过程。 4.作商法。将不等式左右两端作商、变形化简商式到最简形式，判断商与1的大小，应 用范围一般是被证式的两端都是正数，被证式子两端都是乘积形式或指数形式时常用此法。 5.判别式法，对于含有两个或两个以上字母的不等式，在使用比较法无效时，若能整理 成一边为零，而另一边为某个字母的二次式时，这时候可用判别式法。 6.代换法。代换法中常用的有两种：一种是三角代换法，一种是增量代换法。三角代换 法多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时候 可考虑三角代换，将两个变量都用同一个参数表示。此法可以把复杂的代数问题转化为三角 问题。要注意的是可能对引入的角有一定的限制，这一点要根据已知来定。增量代换法一般 是在对称式（任意互换两个字母，代数式不变）和给定字母顺序的不等式，常用增量法进行 代换，代换的目的是通过代换达到减元的目的，使问题化难为易，化繁为简。 7.构造函数法。函数思想是中学数学重要的思想方法之一，有些数学问题只要将其中某 些变化的量建立起联系，构造出函数，再利用函数的性质，就能解决问题。 8.反证法。用直接法证明不等式困难时，可考虑用反证法。用反证法证明不等式，其实 质是从否定结论出发，通过逻辑推理，导出与已知条件或公理、定理或某些性质相矛盾的结论，从而肯定原命题成立。 9.放缩法。放缩法是根据不等式两端的特点及已知条件，采取舍掉式中一些正项和负项，或者是在分式中放大或缩小分子、分母，还或者把式中各项或某项换以较大或较小的数，从 而达到证明不等式的目的。 以上证明不等式的方法，它们之间不是互相割裂的，而是互相联系的，因此要注意灵活 运用这些方法，不断地积累经验和技巧，使问题证得有声有色。1150 不等式的证明技巧 不等式是数学中常见的一种重要的数学关系。证明一个不等式一般有 以下几种常用的技巧： 1.分析前提条件：首先，我们需要对不等式中的前提条件进行仔细的 分析，了解这些条件约束下的数学性质。在证明过程中，有时可以通过对 前提条件的适当利用来简化证明过程，或者削弱不等式的限制，使得问题 更容易处理。 2.求导和函数分析：对于一些关于函数的不等式，我们可以通过函数 的导数来进行分析。在求导的过程中，我们可以得到函数的最大值、最小 值以及增减性质等重要的信息。根据这些信息，我们可以判断函数的取值 范围和不等式的成立条件。 3.数学归纳法：对于一些具有递推性质的不等式，可以使用数学归纳 法进行证明。首先，我们可以验证当n=1时不等式的成立，然后假设对于 一些n成立，即不等式成立，再通过证明当n+1时也成立来得出结论。 4.分割法：对于一些含有多个变量的不等式，我们可以通过分割法将 问题转化为多个单变量的不等式进行分析。通过分析这些单变量的不等式，可以帮助我们更好地理解原始不等式的性质和结论。 5.套用已知不等式：在证明过程中，我们可以尝试将一些已知的不等 式进行变形运用。通过套用已知的不等式，可以简化证明过程，加快解题 速度。尤其是一些经典的不等式如均值不等式、柯西-施瓦茨不等式等， 它们已经被广泛研究和应用，具有较强的普适性。 6.代入与化简：有时我们可以通过代入一些特殊的数值或者特定的变量取值，使得不等式变得更简单。这样可以进一步分析不等式的性质，加深对问题本质的理解，从而得出证明结论。 7.反证法：给定一个不等式，我们假设其不成立，然后通过一系列逻辑推导和推理来推导出矛盾的结论。这时我们可以得出原不等式的成立。 总之，证明不等式需要深入理解数学性质和灵活的数学思维。结合前述的证明技巧，可以帮助我们更好地解决不等式问题。最重要的是，需要积极锻炼数学证明的能力，通过练习和实践才能够提高。不等式的证明技巧[共五篇]
不等式的证明方法
不等式证明的几种方法
不等式证明的几种方法
证明不等式的常用技巧
证明不等式的13种方法
证明不等式的八种方法
不等式证明常用方法
不等式的几种证明方法
不等式证明使用技巧
证明不等式的几种常用方法
证明不等式的方法
不等式的证明技巧
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