例1下列函数中，属于增函数的是 [ ]
解 D
例2若一次函数y=kx+b(k≠0)在(-∞，+∞)上是单调递减函数，则点(k，b)在直角坐标平面的 [ ]
A．上半平
面 B．下半平面
C．左半平
面 D．右半平面
解 C 因为k＜0，b∈R．
例3函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4)上是减函数，则实数a的取值范围是 [ ]
A．a≥
3
B．a≤-3
C．a≤
5
D．a=-3
解 B 因抛物线开口向上，对称轴方程为x=1-a，所以1-a≥4，即a≤-3．
例4已知f(x)=8+2x-x2，如果g(x)=f(2-x2)，那么g(x)
[ ]
A．在区间(-1，0)内是减函数
B．在区间(0，1)内是减函数
C．在区间(-2，0)内是增函数
D．在区间(0，2)内是增函数
解 A g(x)=-(x2-1)2+9．画出草图可知g(x)在(-1，0)上是减函数．
+bx在(0，+∞)上是______函数(选填“增”或“减”)．
解 [-2，1]
已知函数的定义域是-5≤x≤1．设
u=-x2-4x+5=-(x+2)2+9
可知当x∈[-5，-2]时，随x增大时，u也增大但y值减小；当x∈[-2，1]时，随x增大时，u减小，但y值增大，此时y是x的单调增函数，即
注在求函数单调区间时，应先求函数的定义域．
例7 y=f(x)在定义域上是单调递增函数，且f(x)＞0，那么在同
函数；y=[f(x)]2是单调______函数．
解递减；递减；递增．
例8 (1)证明函数f(x)=x2-1在(-∞，0)上是减函数；
解 (1)任取x1＜x2＜0，则
所以 f(x1)＞f(x2)．
故f(x)在(-∞，0)上递减．
(2)任取0＜x1＜x2，则
当x2＞x1＞1时，f(x2)＞f(x1)；当1＞x2＞x1＞0时，f(x2)＜f(x1)．
所以函数在(0，1]上是减函数，在[1，+∞)上是增函数．
例9已知f(x)=-x3-x+1(x∈R)，证明y=f(x)是定义域上的减函数，且满足等式f(x)=0的实数值x至多只有一个．
解设x1，x2∈R，且x1＜x2，则
所以f(x1)＞f(x2)．所以y=f(x)是R上的减函数．
假设使f(x)=0成立的x的值有两个，设为x1，x2，且x1＜x2，则
f(x1)=f(x2)=0
但因f(x)为R上的减数，故有f(x1)＞f(x2)．矛盾．所以使f(x)=0成立的x的值至多有一个．
例10定义域为R的函数y=f(x)，对任意x∈R，都有f(a+x)=f(a-x)，其中a为常数．又知x∈(a，+∞)时，该函数为减函数，判断当x∈(-∞，a)时，函数y=f(x)的单调状况，证明自己的结论．
解当x∈(-∞，a)时，函数是增函数．
设x1＜x2＜a，则2a-x1＞2a-x2＞a．
因为函数y=f(x)在(a，+∞)上是减函数，所以
f(2a-x1)＜f(2a-x2)
注意到对任意x∈R，都有f(a+x)=f(a-x)，可见对于实数a-x1，也有f[a+(a-x1)]=f[a-(a-x1)]，即f(2a-x1)=f(x1)．
同理f(2a-x2)=f(x2)．
所以f(x1)＜f(x2)，所以函数y=f(x)在(-∞，a)上是增函数．
例11设f(x)是定义在R+上的递增函数，且
f(xy)=f(x)+f(y)
(2)若f(3)=1，且f(a)＞f(a-1)+2，求a的取值范围．
(2)因为f(3)=1，f(9)=f(3)+f(3)=2，于是
由题设有
函数的基本性质——单调性与最大(小)值 【教学目标】 1．知识与技能：了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思 2．过程与方法：理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间 3．情感、态度与价值观：掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性 【教学重难点】 教学重点：函数的单调性的概念。 教学难点：利用函数单调的定义证明具体函数的单调性 【教学过程】 一、复习引入。 1 分别画函数2x y =和3x y =的图象。2 x y =的图象如图1，3x y =的图象如图2． 2．引入：从函数2x y = 的图象（图1）看到： 图象在y 轴的右侧部分是上升的，也就是说，当x 在区间[0，+∞）上取值时，随着x 的增大，相应的y 值也随着增大，即如果取21,x x ∈[0，+∞），得到1y =)(1x f ，2y =)(2x f ，那么当 1x ＜2x 时，有1y ＜2y 。 这时我们就说函数y =)(x f =2x 在[0，+∞）上是增函数。图象在y 侧部分是下降的，也就是说，当x 在区间（－∞，0）上取值时，随着x 的增大，相应的y 值反而随着减小，即如果取21,x x ∈（－∞，0），得到1y =)(1x f ， 2y =)(2x f ，那么当1x ＜2x 时，有1y >2y 。
这时我们就说函数y =)(x f =2x 在（－∞，0）上是减函数。函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的。 二、讲解新课。 1．增函数与减函数。 定义：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值 21,x x ，（1）若当1x ＜2x 时，都有)(1x f ＜)(2x f ，则说)(x f 在这个区间上是 增函数（如图3）；（2）若当1x ＜2x 时，都有)(1x f >)(2x f ，则说)(x f 在这个区间上是减函数（如图4）。 说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数。例如函数2 x y =（图1），当x ∈[0，+∞）时是增 函数，当x ∈（－∞，0）时是减函数。 2．单调性与单调区间。 若函数y=f （x ）在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 说明：（1）函数的单调区间是其定义域的子集； （2）应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在21,x x 那样的特定位置上，虽然使得)(1x f >)(2x f ， （3）除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“)(1x f ＜)(2x f 或)(1x f >)(2x f ，”改为“)(1x f )(2x f 或) (1x f ≥ )(2x f ，”即可； （4）定义的内涵与外延： 内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况； 外延①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减。 ②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数。 三、讲解例题。
2005－2006学年度上学期 高中学生学科素质训练 高一数学同步测试（5）—反函数与函数的单调性 说明：本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，第I 卷60分，第II 卷90分，共150分；答题时间150分钟． 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．函数)5(51 -≠+=x x y 的反函数是 （ ） A ．)0(51 ≠-=x x y B ．)(5R x x y ∈+= C ．)0(51 ≠+=x x y D ．)(5R x x y ∈-= 2．已知函数)(x f y =有反函数，且)1(+=x f y 的图象经过点)2,0(，则下列函数中可能 是)(x f y =的反函数的一个函数是 （ ） A ．)20(42 ≤≤-= x x y B ．)20(412≤≤-+=x x y C ．)20(422 ≤≤--=x x y D ．)22(412 ≤≤---=x x y 3．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,2 1 )1(f x f x f f +=+= 则=)5(f （ ）A ．0 B ．1 C ．2 5 D ．5 4．函数f x x ax ()=--2 23在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是 （ ） A ．a ∈-∞(,]1 B ．a ∈+∞[,)2 C ．a ∈[,]12 D ．a ∈-∞?+∞(,][,)12 5．若f(x)=-x 2+2ax 与1 )(+=x a x g 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的值范围是 （ ） A ．)1,0()0,1(?- B ．]1,0()0,1(?- C ．（0，1） D ．]1,0( 6．函数),1(,1 1 ln +∞∈-+=x x x y 的反函数为 （ ）
1 第二讲 函数的性质（一） 一、函数的单调性 1．单调函数的定义 增函数 减函数 定义 设函数f (x )的定义域为I .如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2 当x 1 反函数与函数的图像变换 一、反函数 当一个函数是一个一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数。比如，指数函数2x y =与对数函数2log x 互为反函数。函数()y f x =的反函数用1()y f x -=表示。 设函数()y f x =()x A ∈的值域是C ，根据这个函数中,x y 的关系，我们可以用y 把x 表示出来，得到()x y ?=，若对于y 在C 中每一个值，都只有唯一的x A ∈与它对应，那么()x y ?=就表示以y 为自变量，x 为因变量的一个函数，这样的函数()x y ?=()y C ∈叫做函数()y f x =()x A ∈的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=。 1f -是对应法则，1()y f x -=是表示反函数的符号，是一个整体。 1f -表示的对应是f 的逆对应，11()() f x f x -≠。 ()y f x =也是1()y f x -=的反函数，()y f x =、1()y f x -=互为反函数。 只有当()y f x =是一一映射时，()f x 才有反函数。 特例：2x y =，2log x y →=，2log y x →=， 一般：()y f x =，1()x f y -→=，1()y f x -→=。 例1 求下列函数的反函数： （1）21x y -=+()0x >；（2）211,()11,x x f x x x ≤-?+=?>--+?。 二、互为反函数的两个函数的性质： 指数函数2x y =与对数函数2log x 的图像关于直线y x =对称。 根据反函数的定义，如果点(),a b 在函数()y f x =上，则点(),b a 在函数1()y f x -=上，从而可知函数()y f x =的图像与函数1()y f x -=的图像关于直线y x =对称。 指数函数2x y =与对数函数2log y x =都是增函数，一般的， ()y f x =与1()y f x -=的单调性一致。 例2 函数()y f x =反函数是自己本身，请写出一个这样的函数。 思考：若函数()y f x =是奇函数，且有反函数，那么1()y f x -=是奇函数吗？ 奇函数一定有反函数吗？ 偶函数呢？ 函数单调性的判定方法 1.判断具体函数单调性的方法 对于给出具体解析式的函数，由函数单调性的定义出发，本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种： 1.1 定义法 首先我们给出单调函数的定义。一般地，设f 为定义在D 上的函数。若对任何1x 、 D x ∈2，当21x x <时，总有 (1))()(21x f x f ≤，则称f 为D 上的增函数，特别当成立严格不等)()(21x f x f <时，称f 为D 上的严格增函数； (2))()(21x f x f ≥,则称f 为D 上的减函数，特别当成立严格不等式)()(21x f x f > 时，称f 为D 上的严格减函数。 给出函数单调性的定义，我们就可以利用函数单调性的定义来判定及证明函数的单调性。用单调性的定义判断函数单调性的方法叫定义法。利用定义来证明函数 )(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤： （1）设元，任取1x ,D x ∈2且21x x <； （2）作差)()(21x f x f -； （3）变形（普遍是因式分解和配方）； （4）断号（即判断)()(21x f x f -差与0的大小）； （5）定论（即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性）。 例1.用定义证明)()(3R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数。 证明：设1x ,),(2+∞-∞∈x ，且21x x <，则 ).)(()()()(212 221123132323121x x x x x x x x a x a x x f x f ++-=-=+--+-=- 由于04 3)2(2 2221212221>++ =++x x x x x x x ，012>-x x 则0))(()()(212 2211221>++-=-x x x x x x x f x f ，即)()(21x f x f >，所以)(x f 在() +∞∞-,上是减函数。 例2.用定义证明函数x k x x f + =)()0(>k 在),0(+∞上的单调性。 证明：设1x 、),0(2+∞∈x ，且21x x <，则 )()()()(221121x k x x k x x f x f +-+ =-)()(2 121x k x k x x -+-= )( )(211221x x x x k x x -+-=)()(212121x x x x k x x ---=))((2 12121x x k x x x x --=， 又210x x <<所以021<-x x ，021>x x ， 当1x 、],0(2k x ∈时021≤-k x x ?0)()(21≥-x f x f ，此时函数)(x f 为减函数； 当1x 、),(2+∞∈k x 时021>-k x x ?0)()(21<-x f x f ，此时函数)(x f 为增函数。 综上函数x k x x f + =)()0(>k 在区间],0(k 内为减函数；在区间),(+∞k 内为增函数。 此题函数)(x f 是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时通常需要进行因式分解，由于k x x -21与0的大小关系)0(>k 不是明确的，因此要分段讨论。 用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数21,x x 当 21x x <时，容易得出)(1x f 与)(2x f 大小关系的函数。在解决问题时，定义法是最直 接的方法，也是我们首先考虑的方法，虽说这种方法思路比较清晰，但通常过程比较繁琐。 1.2 函数性质法 函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我 高中数学必修1函数的基本性质 1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 注意： ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○ 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 2．单调性 （1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 反函数定义 一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x表示出，得到x= g(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= g(y)，x在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x= g(y)就表示y是自变量，x是因变量y的函数，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^-1(x). 反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域. 反函数性质 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称； 函数及其反函数的图形关于直线y=x对称 （2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射； （3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； （4）大部分偶函数不存在反函数（唯一有反函数的偶函数是f(x)=a^x,x∈{0}，但是y=k（常数）无法通过水平线测试，所以没有反函数。）。奇函数不一定存在反函数。被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。 (5)一切隐函数具有反函数； (6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性； （7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】。 （8）反函数是相互的且具有唯一性 （9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反） (10)原函数一旦确定，反函数即确定（三定）(在有反函数的情况下，即满足（2）） 例：y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5 y=2^x的反函数是y=log2 x 例题：求函数3x-2的反函数 解：y=3x-2的定义域为R，值域为R. 由y=3x-2解得 x=1/3(y+2) 将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是 y=1/3(x+2)（x属于R） （11）反函数的导数关系：如果X=F(Y）在区间I上单调，可导，且F‘（Y）不等于0，那么他的反函数Y=F’（X）在区间S={X|X=F(Y),Y属于I }内也可导，且[F‘（X)]'=1\[F’（Y）]'。 反函数说明 ⑴在函数x=f’(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f‘(y)中的字母x,y，把它改写成y=f’(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。 反函数的八个性质及应用 浙江周宇美 反函数是函数一章中的重要内容，在历年的高考数学试题和各地的模拟试题中与反函数有关的问题频频出现，且大多是小巧灵活的客观性试题．许多学生在解答这些问题时小题大作，耗时费力，隐含潜在失分的危险．为便于同学们复习、巩固、解决好这类问题，下面给出由反函数的概念得到的几个性质，再举例分类解析，供参考． 一、反函数的八个性质 ⑴原象与象的唯一互对性 设函数f(x)存在反函数1 f-(x)，若函数f(x)将定义域A中的元素a映射成值域为C中的元素b，则它的反函数f－1(x)恰好将值域C中的元素b 唯一还原成A中的元素a，即f(a)＝b?1 f-(b)＝a． ⑵定义域与值域的互换性 若函数f(x)的定义域为A，值域为C，则它的反函数1 f-(x)的定义域为C，值域为A，即反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域 ⑶图象的对称性 在同一直角坐标系中，互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x 对称，反之亦然． ⑷奇偶性 奇函数y＝f(x)(x∈A)若存在反函数，则它的反函数y＝1 f-(x)(x∈C)也是奇函数．定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数． ⑸单调性 若函数y ＝f (x )(x ∈A )是单调函数，则它的反函数y ＝1f -(x )(x ∈C )也是单调函数，且它们的单调性相同． ⑹ 对应法则互逆性 即有①1f -[f (x )]＝x ，x ∈A ，A 是f (x )的定义域； ②f [1f -(x )]＝x ，x ∈C ，C 是f (x )的值域． ⑺ 交点性质 函数y ＝f (x )与其反函数y ＝1f -(x )的图象交点，或者在直线y ＝x 上；或者关于直线y ＝x 对称． 当函数y ＝f (x )是单调增函数，则函数y ＝f (x )与它的反函数y ＝1f -(x )的图象的交点必定在直线y ＝x 上． ⑻ 自反函数性质 ①函数y ＝f (x )为自反函数的充要条件是f [f (x )]＝x ． ②函数y ＝f (x )为自反函数的充要条件是它自身的图象关于直线y ＝x 对称． 二、性质的应用举例 例1 函数),1(,11ln +∞∈-+=x x x y 的反函数（ ） (A) ),0(,1 1+∞∈+-=x e e y x x (B) ),0(,11+∞∈-+=x e e y x x (C) )0,(,11-∞∈+-=x e e y x x (D) )0,(,11-∞∈-+=x e e y x x 解析：本题无需利用求反函数的三步曲：反解——互换——表定义域，只要利用互为反函数的定义域和值域互换性即可．由x ∈(1，＋∞)，得y ＝ln 11x x +-＝ln(1＋21 x -)≥0，得反函数的定义域为(0，＋∞)，排除(C)、(D)，且反函数的值域为(1，＋∞)，故选(B)． 例2 若f (x )与其反函数1f -(x )是同一个一次函数y ＝ax ＋b ，求a 和b 高一数学函数的单调性和反函数人教版 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 函数的单调性和反函数 二. 学习目标： 1. 理解函数的单调性和函数单调增、减区间的意义，理解增减性的几何意义，能应用定义证明函数的单调性。 2. 能判断一些简单函数在给定区间的单调性。 3. 理解反函数的概念。 4. 明确原函数与其反函数的定义域和值域间的关系。 5. 能熟练地求一些函数的反函数。 【例题讲解】 [例1] 证明函数x x x f 1)(2 -=在（0，∞+）上是增函数。 证明：设1x 、2x 是（0，∞+）上任意两个值，且21x x < )1(1)()(12122212x x x x x f x f ---=-2 1212211)(x x x x -+-= 2112 1212))((x x x x x x x x -++-=)1)((2 11212x x x x x x ++-= 由12x x >，012 112>++x x x x ，则0)()(12>-x f x f ，即)()(12x f x f > 故x x x f 1)(2-=在区间（0，∞+）上是增函数。 [例2] 讨论函数1 )(2-=x ax x f 的单调性，并加以证明，其中0>a 。 解：11)()(21122212---=-x ax x ax x f x f ) 1)(1()1)((21222121--+-=x x x x x x a （1）当121-< 反函数性质的应用 只有定义域和值域一一对应的函数才有反函数，反函数是由原函数派生出来的，它的定义域、对应法则、值域完全由原函数决定。因此利用这一关系可以将原函数的问题与反函数的问题相互转化，使问题容易解决。现在看一下反函数性质的应用。 ⒈利用反函数的定义求函数的值域 例1：求函数y= 1 21 x x - +的值域。 分析：这种函数可以利用分离常数法或反函数法求值域，下面利用反函数法来求解。解：由 y= 1 21 x x - +得y(2x+1)=x-1 ∴(2y-1)x=-y-1 ∴x= 1 21 y y -- - ∵x是自变量，是存在的， ∴2y-1≠0，∴y≠1 2。 故函数y= 1 21 x x - +的值域为：{y│y≠ 1 2}。 点评：形如y=ax b cx d + +的函数都可以用反函数法求它的值域。 ⒉原函数与反函数定义域、值域互换的应用 例2：已知f(x)=4x-21x+，求f1-(0)。 分析：要求f1-(0)，只需求f(x)=0时自变量x的值。 解：令f(x)=0，得4x-21x+=0，∴2x（2x-2）=0， ∴2x=2或2x=0（舍）， ∴x=1。 故f1-(0)=1。 点评：反函数的函数值都可以转化为求与之对应的原函数的自变量之值，反之也成立。 ⒊原函数与反函数的图像关于直线y=x对称的应用 例3：求函数y= 2 1 x x+（x∈(-1，+∞)）的图像与其反函数图像的交点。 分析：可以先求反函数，再联立方程组求解；也可以利用原函数与反函数的图像关于直线y=x 对称求解，这里用后一种方法求解。只要原函数与反函数不是同一函数，它们的交点就在直线y=x上。 解：由 2 1 x y x y x ? = ? + ? ?= ?得 x y = ? ? = ?或 1 1 x y = ? ? = ? ∴原函数和反函数图像的交点为（0，0）和（1，1）。 点评：利用利用原函数与反函数的图像关于直线y=x对称的性质，可以简化运算，提高准确率。但要注意原函数与反函数不能是同一函数，它们的交点才在直线y=x上。 ⒋原函数与反函数的单调性相同的应用 例4：已知f(x)=2x+1的反函数为f1-(x)，求f1-(x)<0的解集。 分析：因为f(x)=2x+1在R上为增函数，所以f1-(x)在R上也为增函数。又因为原函数与反函数定义域、值域互换，所以f1-(x)中的x的范围就是f(x)的范围。 解：由f(x)=2x+1>1得f1-(x)中的x>1。 又∵f1-(x)<0且f(x)=2x+1在R上为增函数， ∴f 1() f x - ?? ?? 常见函数性质汇总及简单评议对称变换 常数函数 f (x )=b (b ∈R) 1）、y=a 和 x=a 的图像和走势 2）、图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴）的直线 一次函数 f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R) 1)、两种常用的一次函数形式:斜截式—— 点斜式—— 2）、对斜截式而言，k 、b 的正负在直角坐标系中对应的图像走势： 3）、|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓 4）、定 义 域：R 值域：R 单调性：当k>0时 ；当k<0时 奇 偶 性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性； 反 函 数：有反函数（特殊情况下：K=±1并且b=0的时候）。 补充：反函数定义： 例题：定义在r 上的函数y=f （x ）; y=g （x ）都有反函数，且f （x-1）和g -1 (x)函数的图像关于y=x 对称，若g （5）=2016，求= 周 期 性：无 5）、一次函数与其它函数之间的练习 1、常用解题方法： x y b O f (x )=b x y O f (x )=kx +b R 2、与曲线函数的联合运用 反比例函数f(x)= x k (k≠0，k值不相等永不相交；k越大，离坐标轴越远) 图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f(x)的图象分别在第一、第三象 限；当k<0时，函数f(x)的图象分别在第二、第四象限； 双曲线型曲线，x轴与y轴分别是曲线的两条渐近线； 既是中心对成图形也是轴对称图形 定义域：) ,0( )0, (+∞ -∞ 值域：) ,0( )0, (+∞ -∞ 单调性：当k> 0时；当k< 0时周期性：无 奇偶性：奇函数 反函数：原函数本身 补充：1、反比例函数的性质 2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个——⑴直接带入，利用二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此） 3、反函数变形（如右图） 1）、y=1/（x-2）和y=1/x-2的图像移动比较 2）、y=1/(-x)和y=-（1/x）图像移动比较 3）、f(x)= d cx b ax + + (c≠0且d≠0)（补充一下分离常数） （对比标准反比例函数，总结各项容） 二次函数 一般式：)0 ( ) (2≠ + + =a c bx ax x f 顶点式：)0 ( ) ( ) (2≠ + - =a h k x a x f 两根式：)0 )( )( ( ) ( 2 1 ≠ - - =a x x x x a x f 图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为，顶点坐标为 ②当0 > a时，开口向上，有最低点当0 < a时。。。。。 ③当= >0时，函数图象与x轴有两个交点（）；当<0时，函数图象与x轴 有一个交点（）；当=0时，函数图象与x轴没有交点。 ④)0 ( ) (2≠ + + =a c bx ax x f关系)0 ( ) (2≠ =a ax x f 定义域：R值域：当0 > a时，值域为（）；当0 < a时，值域为（） 单调性：当0 > a时；当0 < a时. 奇偶性：b=/≠0 x y O f(x)= d cx b ax + + x y O f(x)=c bx ax+ + 2 高中数学函数单调性的判断方法 单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如我们常用求函数单调性的方法求函数的值域。那么，有哪些求函数单调性的方法呢？ 方法一：定义法 对于函数f(x)的定义域I 内某个区间A 上的任意两个值12,x x （1）当12x x <时，都有12()()f x f x <,则说f(x)在这个区间上是增函数； （2）若当12x x <时，都有12()()f x f x >,则说f(x) 在这个区间上是减函数。 例如：根据函数单调性的定义，证明：函数 在 上是减函数。 要证明函数f （x ）在定义域内是减函数，设任意1212,x x R x x ∈<且，则33221221212121()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++，12x x <因为 210x x ->所以，且在1x 与2x 中至少有一个不为 0，不妨设20x ≠，那么222222121123()24 x x x x x x x ++=++0>，12()()f x f x >所以，故 ()f x 在 (,)-∞+∞上为减函数。 方法二：性质法 除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性，则在区间B 上有： 1. f(x)与c?f(x)当c ＞0具有相同的单调性，当c ＜0具有相反的单调性； 2.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数； 3.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)?g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数； 例如，已知f （x ）在R 上是减函数，那么-5f （x ）为____函数。 这道题很简单，我们根据单调性的性质，很容易就能判断它是增函数。 方法三：同增异减法（处理复合函数的单调性问题） 对于复合函数y ＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)， 可令 t ＝g(x)，则三个函数 y ＝f(t)、t ＝g(x)、y ＝f [g(x)]中， 若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数； 高中学生学科素质训练 高一数学同步测试（5）—反函数与函数的单调性 说明：本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，第I 卷60分，第II 卷90分，共150分；答题时间150分钟． 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．函数)5(51 -≠+=x x y 的反函数是 （ ） A ．)0(51 ≠-=x x y B ．)(5R x x y ∈+= C ．)0(51 ≠+=x x y D ．)(5R x x y ∈-= 2．已知函数)(x f y =有反函数，且)1(+=x f y 的图象经过点)2,0(，则下列函数中可能 是)(x f y =的反函数的一个函数是 （ ） A ．)20(42 ≤≤-= x x y B ．)20(412≤≤-+=x x y C ．)20(422 ≤≤-- =x x y D ．)22(412 ≤≤--- =x x y 3．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,2 1 )1(f x f x f f +=+= 则=)5(f （ ）A ．0 B ．1 C ．2 5 D ．5 4．函数在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是 （ ） A ． B ． C ． D ． 5．若f(x)=-x 2+2ax 与1 )(+=x a x g 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的值范围是 （ ） A ．)1,0()0,1(?- B ．]1,0()0,1(?- C ．（0，1） D ．]1,0( 6．函数),1(,11 ln +∞∈-+=x x x y 的反函数为 （ ） A ．),0(,11+∞∈+-=x e e y x x B ．),0(,1 1 +∞∈-+=x e e y x x 第二章 函数 二 函数的性质与反函数 【考点阐述】函数的单调性.奇偶性．反函数．互为反函数的函数图像间的关系． 【考试要求】 （2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法． （3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数． 【考题分类】 （一）选择题（共21题） 1.（安徽卷理9）在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与x y e =的图象关于直线 y x =对称。而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，若()1f m =-，则m 的值是（ ） A ．e - B ．1 e - C ．e D ．1e 解：由题知()ln ,()ln(),g x x f x x ==-则1)ln(-=-m ，e m 1 -=选D 。 2.（安徽卷理11）若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()x f x g x e -=，则有（ ） A ．(2)(3)(0)f f g << B ．(0)(3)(2)g f f << C ．(2)(0)(3)f g f << D ．(0)(2)(3)g f f << 解： 用x -代换x 得： ()(),x f x g x e ----=即()()x f x g x e -+=-，解得： 2 )(,2)(x x x x e e x g e e x f +-=-=-，而)(x f 单调递增且大于等于0，1)0(-=g ，选D 。 3.（安徽卷文6）函数2 ()(1)1(0)f x x x =-+≤的反函数为 A ．1 ()11)f x x -=≥ B ． 1 ()11)f x x -=+≥ C ．1()12)f x x -=≥ D ． 1()12)f x x -=≥ 解：由原函数定义域是反函数的值域，1 ()0f x -≤，排除B,D 两个；又原函数x 不能取 1，()f x 不能取1，故反函数定义域不包括1，选C .(直接求解也容易) 4.（北京卷文5）函数2 ()(1)1(1)f x x x =-+<的反函数为（ ） A ．1 ()11)f x x -=> B ．1 ()11)f x x -=-> 函数的基本性质 一、单调性定义 1．单调性定义：设函数f(x)的定义域为A，区间M?A，若对于任意的x1，x2∈M，当x1 函数的单调性 知识点 1、增函数定义、减函数的定义： （1）设函数)(x f y =的定义域为A ，区间M ?A ，如果取区间M 中的任意两个值21,x x ,当改变量012>-=?x x x 时，都有0)()(12>-=?x f x f y ，那么就称函数)(x f y =在区间M 上是增函数，如图（1）当改变量012>-=?x x x 时，都有0)()(12<-=?x f x f y ，那么就称 函 数)(x f y =在区间M 上是减函数，如图（2） 注意：单调性定义中的x 1、x 2有什么特征：函数单调性定义中的x 1,x 2有三个特征,一是任意性，二是有大小，三是同属于一个单调区间． 1、 根据函数的单调性的定义思考：由f (x )是增(减)函数且f (x 1) 例1下列函数中，属于增函数的是 [ ] 解 D 例2若一次函数y=kx+b(k≠0)在(-∞，+∞)上是单调递减函数，则点(k，b)在直角坐标平面的 [ ] A．上半平 面 B．下半平面 C．左半平 面 D．右半平面 解 C 因为k＜0，b∈R． 例3函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4)上是减函数，则实数a的取值范围是 [ ] A．a≥ 3 B．a≤-3 C．a≤ 5 D．a=-3 解 B 因抛物线开口向上，对称轴方程为x=1-a，所以1-a≥4，即a≤-3． 例4已知f(x)=8+2x-x2，如果g(x)=f(2-x2)，那么g(x) [ ] A．在区间(-1，0)内是减函数 B．在区间(0，1)内是减函数 C．在区间(-2，0)内是增函数 D．在区间(0，2)内是增函数 解 A g(x)=-(x2-1)2+9．画出草图可知g(x)在(-1，0)上是减函数． +bx在(0，+∞)上是______函数(选填“增”或“减”)． 解 [-2，1] 已知函数的定义域是-5≤x≤1．设 u=-x2-4x+5=-(x+2)2+9 可知当x∈[-5，-2]时，随x增大时，u也增大但y值减小；当x∈[-2，1]时，随x增大时，u减小，但y值增大，此时y是x的单调增函数，即 注在求函数单调区间时，应先求函数的定义域． 例7 y=f(x)在定义域上是单调递增函数，且f(x)＞0，那么在同 函数；y=[f(x)]2是单调______函数． 解递减；递减；递增． 例8 (1)证明函数f(x)=x2-1在(-∞，0)上是减函数； 解 (1)任取x1＜x2＜0，则反函数与函数的图像变换
函数单调性的判定方法
高中数学必修1函数的基本性质
反函数定义
反函数的八个性质及应用
高一数学函数的单调性和反函数人教版知识精讲
高中数学第二章 反函数性质的应用 教案(北师大版必修1)
高中的常见函数图像及基本性质
高中数学函数单调性的判断方法
反函数与函数的单调性
2.2函数的性质与反函数
函数的基本性质
函数的单调性的题型分类及解析
函数的性质反函数·函数的单调性
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