第二章 函数、导数及其应用 2.12 定积分与微积分基本定理练习 理
[A 组·基础达标练]
1．与定积分∫3π
1－cos x d x 相等的是( )
A .2∫3π0sin x 2
d x B .2∫3π
0?
??
?
??
sin x 2
d x C .????
??2∫3π0sin x
2
d x D ．以上结论都不对
答案 B
解析 ∵1－cos x ＝2sin 2x
2
，
∴∫3π
1－cos x d x ＝∫3π
2????
??sin x 2d x ＝2·∫3π0????
??sin x 2d x. 2．[2016·开封考试]若∫1
0(x 2
＋mx)d x ＝0，则实数m 的值为( )
A ．－13
B ．－23
C ．－1
D ．－2
答案 B
解析 由题意知，∫1
(x 2
＋mx)d x ＝? ??
??x 3
3＋mx 2
2| 1
0＝13＋m 2＝0，得m ＝－23.
3．[2015·山西四校联考]定积分??－2
2|x 2
－2x|d x ＝( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
答案 D
解析 |x 2
－2x|＝????
?
x 2
－2x ，－2≤x<0，－x 2
＋2x ，0≤x≤2，
??－22
|x 2
－2x|d x ＝??－20
(x 2
－2x)d x ＋??02
(－x 2
＋2x)d x
＝? ????13x 3－x 2???
－2
＋? ????－13x 3＋x 2??
?
2
＝8.
4．[2015·洛阳统考]利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“?
?a 0x 2
d x>
1
81
”发生的概率为( )
A .89
B .19
C .23
D .13
答案 C
解析 ∵?
?0
a x 2
d x ＝13x 3??
?
a
＝13a 3>181，∴a>13
， ∴P ? ??
??a>13＝1－1
31＝23.
5．[2015·淄博一模] 如图所示，曲线y ＝x 2
－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的
面积为( )
A .??0
2|x 2－1|d x
B .??????02 x 2
－1 d x
C .??02(x 2－1)d x
D .??0
1(x 2－1)d x ＋??1
2(1－x 2)d x
答案 A
解析 由曲线y ＝|x 2
－1|的对称性，所求阴影部分的面积与如右图所示的面积相等，即
??0
2|x 2
－1|d x. 6．[2015·贵阳期末]若任取x ，y∈[0,1]，则点P(x ，y)满足y≤x 12
的概率为( )
A .
22
B .13
C .12
D .23
答案 D
解析 如图，∵满足题意的图形的面积S 1＝?
?0
1x
1
2 d x ＝23x 32??
?
1
＝23，∴所求概率P ＝S 11×1
＝2
3
.
7. [2015·衡中三模]由曲线y ＝2－x 2
，直线y ＝x 及x 轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是( )
A .92
B .
423＋7
6 C .76
D .2＋1
答案 B
解析 把阴影部分分成两部分求面积． S ＝S 1＋S 2＝??－
2
(2－x 2)d x ＋??0
1(2－x 2
－x)d x
＝?
????2x －x 3
3???
0－2
＋?
????2x －x 33－x 2
2???
1
＝22－ 2 3
3＋2－13－1
2
＝
423＋76
. 8．[2014·湖北高考]若函数f(x)，g(x)满足??－1
1 f(x)g(x)d x ＝0，则称f(x)，g(x)为
区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：
①f(x)＝sin 12x ，g(x)＝cos 12x ；
②f(x)＝x ＋1，g(x)＝x －1； ③f(x)＝x ，g(x)＝x 2
.
其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
答案 C
解析 对于①，??－1
1sin 12x cos 12x d x ＝??－1
11
2
sin x d x ＝0，所以①是一组正交函数；
对于②，??－11 (x ＋1)(x －1)d x ＝??－1
1 (x 2
－1)d x≠0，
所以②不是一组正交函数； 对于③，??－11x·x 2
d x ＝??－1
1x 3
d x ＝0，
所以③是一组正交函数．选C .
9．[2015·合肥模拟]设函数f(x)＝(x －1)x(x ＋1)，则满足??0
a f′(x)d x ＝0的实数a ＝
________.
答案 1
解析 ??0
a f′(x)d x ＝f(a)＝0，得a ＝0或1或－1，又由积分性质知a>0，故a ＝1.
10．???0
π
2
2sin ?
????x ＋π4d x ＝________.
答案 2
解析 依题意得???0
π2
2sin ?
????x ＋π4d x ＝???0
π2 (sin x ＋cos x)d x ＝(sin x －cos x)????
π
20
＝?
????sin π
2－cos π2－(sin 0－cos 0)＝2.
11．已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，??0
1f(x)d x ＝－2，
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．
解 (1)设f(x)＝ax 2
＋bx ＋c(a≠0)， 则f′(x)＝2ax ＋b. 由f(－1)＝2，f′(0)＝0，
得?
??
??
a －
b ＋
c ＝2，b ＝0，即?
??
??
c ＝2－a ，
b ＝0，
∴f(x)＝ax 2
＋2－a.
又??01f(x)d x ＝??0
1(ax 2
＋2－a)d x
＝??????13ax 3＋ 2－a x ??
?
1
＝2－2
3
a ＝－2，
∴a＝6，从而f(x)＝6x 2
－4. (2)∵f(x)＝6x 2
－4，x∈[－1,1]． ∴当x ＝0时，[f(x)]min ＝－4； 当x ＝±1时，[f(x)]max ＝2.
12. 在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2
.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的
面积S 1与S 2之和最小，并求最小值．
解 S 1面积等于边长分别为t 与t 2
的矩形面积去掉曲线y ＝x 2
与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t·t 2－?
?0
t x 2d x ＝23t 3.S 2的面积等于曲线y ＝x 2
与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面
积去掉矩形边长分别为t 2,
1－t 面积，
即S 2＝?
?t
1x 2d x －t 2
(1－t)＝23t 3－t 2＋13.
所以阴影部分的面积S(t)＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋1
3(0≤t≤1)．
令S′(t)＝4t 2
－2t ＝4t ? ????t －12＝0，得t ＝0或t ＝12.
t ＝0时，S(t)＝13；t ＝12时，S(t)＝14；t ＝1时，S(t)＝2
3.
所以当t ＝12时，S(t)最小，且最小值为1
4
.
[B 组·能力提升练]
1．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为(
)
A.14
B.15
C.16
D.17
答案 C
解析 根据题意，正方形OABC 的面积为1×1＝1，而阴影部分由函数y ＝x 与y ＝x 围
成，其面积为??0
1(x －x)d x ＝? ??
???23
x 3
2
－ ???x 2
2
1
＝1
6
，则在正方形OABC 中任取一点P ，点P 恰好取自阴影部分的概率为161＝1
6
.故应选C .
2．由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π
2所围成的平面图形(如图中的阴影部分
所示)的面积是(
)
A ．1
B .π4
C .
22
3 D ．22－2
答案 D
解析 解法一：由sin x ＝cos x ? ????x∈? ????0，π2，得x ＝π4.
故所求阴影部分的面积
S ＝???0
π4
(cos x －sin x)d x ＋?
???π4
π2 (sin x －cos x)d x
＝(sin x ＋cos x)????
π
4
＋(－cos x －sin x)????
π2π4
＝sin
π4＋cos π4－sin 0－cos 0＋??? ?
????－cos π2－sin π2－
?
??? ????－cos π4－sin π4＝22
－2.故选D .
解法二：由sin x ＝cos x ? ????x∈? ????0，π2，得x ＝π4.
根据图象的对称性，可知所求阴影部分的面积
S ＝2???0 π4 (cos x －sin x)d x ＝2(sin x ＋cos x)????
π
4
＝2? ????sin π4＋cos π4－sin 0－cos 0
＝22－2.故选D .
3．设函数f(x)＝ax 2
＋c(a≠0)，若??0
1f(x)d x ＝f(x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．
答案
33
解析 因为f(x)＝ax 2＋c(a≠0)，且? ????a 3x 3＋cx ′＝ax 2＋c ，所以??0
1f(x)d x ＝?
?0
1(ax 2
＋c)d x
＝? ??
??a 3x 3＋cx | 1 0＝a 3＋c ＝ax 2
0＋c ，解得x 0＝33或x 0＝－33(
舍去)．
4．[2016·重庆模拟] 已知二次函数f(x)＝ax 2
＋bx ＋c ，直线l 1：x ＝2，直线l 2：y ＝－t 2
＋8t(其中0≤t≤2，t 为常数)．若直线l 1，l 2与函数f(x)的图象以及l 2，y 轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如图阴影所示．
(1)求a ，b ，c 的值；
(2)求阴影面积S 关于t 的函数S(t)的解析式．
解 (1)由题图可知二次函数的图象过点(0,0)，(8,0)，并且f(x)的最大值为16， 则?????
c ＝0，
a×82
＋b×8＋c ＝0，4ac －b 2
4a ＝16，
解得????
?
a ＝－1，
b ＝8，
c ＝0.
(2)由(1)得f(x)＝－x 2
＋8x ，
由?????
y ＝－t 2
＋8t ，
y ＝－x 2
＋8x ，
得x 2
－8x －t(t －8)＝0，
所以x 1＝t ，x 2＝8－t. 因为0≤t≤2，
所以直线l 2与f(x)的图象的交点坐标为(t ，－t 2
＋8t)． 由定积分的几何意义知
S(t)＝??0t [(－t 2
＋8t)－(－x 2
＋8x)]d x ＋??t
2[(－x 2
＋8x)－(－t 2
＋8t)]d x ＝
?????? －t 2＋8t x－? ????－x 3
3＋4x 2???
t
＋??????? ????－x 3
3＋4x 2－ －t 2
＋8t x ???
2
t
＝－43
t 3＋10t 2
－
16t ＋403.所以S(t)＝－43t 3＋10t 2
－16t ＋403
(0≤t≤2)．
一、教学目标：1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：?b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义： （1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分?b a dx x f )(的几何意义是：y=f （x ）与x=a ，x= b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.?b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x= b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号. 在图（1）中：0s dx )x (f b a >=?，在图（2）中：0s dx )x (f b a <=?，在图（3）中：dx )x (f b a ?表示 函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于?b a dx x f )(，仅当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于?b a dx x f )(. 3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积） （1）???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ （2）??=b a b a dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数） （3）???+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( （4）若在区间［a ， b ］上，?≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 推论：（1）若在区间［a ，b ］上，??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则 （2）??≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| （3）若f （x ）是偶函数，则??=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(，若f （x ）是奇函数，则0)(=?-a a dx x f 4. 微积分基本定理： 一般地，若)()()(],[)(),()('a F b F dx x f b a x f x f x F b a -==?上可积，则在且 注：（1）若)()('x f x F =则F （x ）叫函数f （x ）在区间［a ，b ］上的一个原函数，根据
定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·山东日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A ．a 1．求 导：（1）函数 y= 2cos x x 的导数为 -------------------------------------------------------- （2）y ＝ln(x ＋2)-------------------------------------；(3)y ＝(1＋sin x )2------------------------ ---------------------- (4)y ＝3x 2＋x cos x ------------------------------------ ；(5)y ＝x 2cos(2x －π 3 )---------------------------------------- ． (6)已知y ＝ln 3x e x ，则y ′|x ＝1＝________. 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． (A)．5 4 (B)．5 2 (C)．5 1 (D)． 5 3 3．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点 )0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1x =-，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为 （ ） (A)．4 (B)．5 (C)．－6 (D)．不确定 34.()34([0,1])1()1 () ()0 ()1 2 f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时， 底面边长为（ ）． (Ａ)．3V (Ｂ)．32V (Ｃ)．34V (D)．32V 6．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． (A)．18 (B)． 3 38 (C)． 3 16 (D)．16 7．曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1，则=a _________ 。 8．已知抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值． 9.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.(1)讨论)1(f 和 )1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;(2)过点)16,0(A 作曲线 )(x f y =的切线,求此切线方程. 定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝?? ?0 1(x 2－x )d x B ．S ＝?? ?0 1 (x －x 2)d x C ．S ＝?? ?0 1 (y 2－y )d y D ．S ＝??? 1 (y － y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图 形的面积S ＝?? ?0 1 (x －x 2)d x . 2．如图，阴影部分面积等于( ) A ．2 3 B ．2－3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为 S ＝??? -3 1 (3－x 2 －2x )d x ＝(3x －1 3x 3－x 2)|1 －3＝32 3. 4－x 2d x ＝( ) A ．4π B ．2π C ．π [答案] C [解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积， ∴S ＝1 4×π×22＝π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( ) A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面 B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面 C ．在t 0时刻，两车的位置相同 D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积 导数与微积分 导函数 导函数的概念涉及：的对于区间( , )上任意点处都可导，则在各点的导数也随x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数被称为的导函数，记作。 一、基本函数的导函数 C'=0(C 为常数) (x A n)'=nx A(n-1) (n € Q) (sinx)'=cosx (cosx)'=-sinx (eAx)'=eAx (aAx)'=(aAx)*lna [log(a,x)]' = 1/(x*lna) [lnx]'= 1/x 二、和差积商函数的导函数 [f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x) [f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x) [f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) [f(x)/g(x)]' = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)A2] 三、复合函数的导函数 设y=u(t) ，t=v(x) ，则y'(x) = u'(t)v'(x) = u'[v(x)] v'(x) 例：y = tA2 ，t = sinx ，则y'(x) = 2t * cosx = 2sinx*cosx = sin2x 一般定义 设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量△(点仍在该邻域内)时， 相应地函数取得增量△；如果△与△之比当△时的极限存在，贝y称函数在点处可导，并称 这个极限为函数在点处的导数，记为，即 也可记作，或。 邻域 数学分析的定义 以a 为中心的任何开区间称为点a 的邻域，记作U(a) 设3是任一正数，则在幵区间(a- 3, a+3 )就是点a的一个邻域，这个邻域称为点a 的3邻域，记作U(a, 3 )，即U(a, 3 )={x|a- 3 1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．a 高中数学~~定积分和微积分基本原理 1、求曲线、直线、坐标轴围成的图形面积 ? [ 高三数学] ? 题型:单选题 由曲线y =x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A. 310 B. 4 C. 3 16 D. 6 问题症结：大概知道解题方向了，但没有解出来，请老师分析 考查知识点： ? 定积分在几何中的应用 ? 用微积分基本定理求定积分值 难度:难 解析过程： 联立方程组,2 ???-==x y x y 得到两曲线的交点坐标为（4，2）， 因此曲线y =x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为： 3 16)]2([4 = --? dx x x . 答案：C 规律方法： 首先求出曲线y=和直线y=x-2的交点，确定出积分区间和被积函数，然后利用导数和积分的关 系求解． 利用定积分知识求解该区域面积是解题的关键. 高二数学问题 ? [ 高一数学] ? 题型:简答题 曲线y=sinx （0≤x ≤π）与直线y=?围成的封闭图形面积是？ 问题症结：找不到突破口，请老师帮我理一下思路 考查知识点： ? 用定义求定积分值 难度:中 解析过程： 规律方法： 利用定积分的知识求解。 知识点：定积分和微积分基本原理 概述 所属知识点： [导数及其应用] 包含次级知识点： 定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用 知识点总结 本节主要包括定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用等知识点。对于定积分和微积分基本原理的理解和掌握一定要通过数形结合理解，不能死记硬背。只有理解了定积分的概念，才能理解定积分的几何意义。 高等数学测试题（二）导数、微分部分答案及解析 一、选择题（每小题4分，共20分） 1、 设函数0 ()10 2 x f x x ≠=??=?? 在0x =处（ B ） A 不连续 B 连续但不可导 C 二阶可导 D 仅一阶可导 2、若抛物线2y ax =与曲线ln y x =相切，则a 等于（ C ） A 1 B 12 C 12e D 2e 3、设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（ B ） A 1 B 2e C 2 e D e 4、设函数()f x 在点x a =处可导，则0 ()() lim x f a x f a x x →+--等于（ C ） A 0 B ()f a ' C 2()f a ' D (2)f a ' 5、设函数()f x 可微，则当0x ?→时，y dy ?-与x ?相比是（ ） A 等价无穷小 B 同阶非等价无穷小 C 低阶无穷小 D 高阶无穷小 二、填空题（每小题4分，共20分） 1、设函数()f x x x =，则(0)f '= 0 2、 设函数()x f x xe =，则(0)f ''= 2 3、 设函数()f x 在0x 处可导，且0()f x =0，0()f x '=1，则01 l i m ()n n f x n →∞ + = 4、 曲线2 28y x x =-+上点 处的切线平行于x 轴，点_____ 处的切线与x 轴正向的交角为 4 π。 x=1 23=x 5、 d = x e dx - x e -- 三、解答题 1、（7分）设函数()()() ,()f x x a x x ??=-在x a =处连续，求()f a ' ) ()(')(')()()(')(')()()('a x )()()()(a a f a a a a a f x a x x x f x x a x x f ???????=-+=-+==-=连续在又 2、（7分）设函数 ()a a x a x a f x x a a =++，求()f x ' 设a a m = a x n = x a t = a a a a aax a x a x f t a a n a a mx x f a a x x f x a a x a a t n m t n m x a a ln *ln ln )(')'(ln )'(ln )(')(1 1 1+++=++=++=---x a a x a a a a a aax a x a x f x a a *ln ln )('21 1 +++=-- 3、（8分）求曲线 sin cos 2x t y t =?? =? 在 6t π = 处的切线方程和法线方程 ∵sin cos 2x t y t =?? =? ∴122 +-=x y 6π=t 时 x=21 21=y 专题06 定积分与微积分基本定理 1．由曲线,直线轴所围成的图形的面积为（） A．B．4C．D．6 【答案】A 【解析】 联立方程得到两曲线的交点（4，2）， 因此曲线y，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为： S． 故选:A． 2．设f（x）=|x﹣1|，则=（） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【解析】 画出函数的图像如下图所示，根据定积分的几何意义可知，定积分等于阴影部分的面积，故定积分为 ，故选A. 3．曲线与直线围成的封闭图形的面积是（） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】 令，则，所以曲线围成的封闭图形面积为 ，故选D 4．为函数图象上一点，当直线与函数的图象围成区域的面积等于时，的值为 A．B．C．1D． 【答案】C 【解析】 直线与函数的图象围成区域的面积S dx ＝ ∴ 故选：C 5．由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为( ) A．B．1C．D． 【答案】B 【解析】 题目所求封闭图形的面积为定积分，故选B. 6．如图，矩形中曲线的方程分别是，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( ) A．B．C．D． 【答案】A 【解析】 依题意的阴影部分的面积，根据用几何概型概率计算公式有所求概率为，故选A. 7．（） A．B．-1C．D． 【答案】C 【解析】 解： ． 故选：C． 8．，则T的值为 A．B．C．D．1 【答案】A 【解析】 由题意得表示单位圆面积的四分之一，且圆的面积为π， ∴， ∴． 故选A． 9．下列计算错误 ．．的是（） A．B． C．D． 【答案】C 【解析】 在A中，， 在B中，根据定积分的几何意义，， 在C中，， 根据定积分的运算法则与几何意义，易知，故选C. 2020年全国高考数学 第15讲 定积分和微积分基本定理 考纲解读 1.了解定积分的实际背景、基本思想及概念. 2.了解微积分基本定理的含义. 命题趋势探究 定积分的考查以计算为主，其应用主要是求一个曲边梯形的面积，题型主要为选择题和填空题. 知识点精讲 基本概念 1.定积分的极念 一般地，设函效()f x 在区间[a ，b]上连续.用分点0121i i a x x x x x -=<<<< 微积分期末测试题及答 案 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) sin lim sin x x x x x →∞-=+. 31lim(1)x x x +→∞+=. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=? ,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求 dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞. 定积分与微积分基本定理习题 一、选择题 1． a ＝??02x d x ，b ＝??02e x d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）. （A ）4 24arctan 1x dx x π π-+? （B ）44 arcsin x x dx ππ-? （C ）112x x e e dx --+? （D ）()121sin x x x dx -+? 10．设() f x 为连续函数，则()1 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ） ()()11102f f -????（C ）()()1 202 f f -????（D ）()()10f f - 二．填空题（每题4分，共20分） 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3．21 x y x =-的垂直渐近线有条. 4． ()21ln dx x x = +?. 5． ()4 22 sin cos x x x dx π π - += ?. 第三节定积分和微积分基本定理 考纲解读 1?了解定积分的实际背景、基本思想及概念 ? 2?了解微积分基本定理的含义 . 命题趋势探究 定积分的考查以计算为主， 其应用主要是求一个曲边梯形的面积， 题型主要为选择题和填空 题? 知识点精讲 一、基本概念 1.定积分的极念 一般地，设函效 f (x )在区间［a , b ］上连续.用分点a = x 0 < x 2< L < x — < x b - a < L < X n 二b 将区间［a,b ］等分成n 个小区间，每个小区间长度为 D x ( D x = )， n n 在每个小区间［X i -^X i ］上任取一点\ i =1,2J||,n ，作和式：S^v f(i)C x =： i 二 n b _a f ( i )，当D x 无限接近于0 (亦即n —； ? ?)时，上述和式S n 无限趋近于常数 S ， i i n b 那么称该常数S 为函数f (x)在区间［a,b ］上的定积分?记为： S 二 f (x)dx , f (x)为 * a 被积函数，X 为积分变量， 需要注意以下几点： ［a, b ］为积分区间，b 为积分上限，a 为积分下限. b (1) 定积分 f(x)dx 是一个常数，即S n 无限趋近的常数S (n 时)，称为 a b f (x)dx ，而不是 S n . a (2) 用定义求定积分的一般方法 . b n ? b -^a a f(x)dx 二［imj f i -" a - i n b t 2 b (3)曲边图形面积：S = f x dx ；变速运动路程s 二 v(t)dt ;变力做功S = F(x) dx 2 ?定积分的几何意义 b 从几何上看，如果在区间［a ,b ］上函数f (x )连续且恒有f(x)_0，那么定积分a f x dx 表 示由直线 X =a,x =b(a =b), y =0和曲线y = f (x )所围成的曲边梯形(如图3-13中的阴影 ①分割：n 等分区间［a ,b ］；②近似代替：取点 n b — a i ?〔x 」，X i 丨；③求和：、? 口 f(i )； ◎ n ④取极限: 考点13 定积分与微积分基本定理 一、定积分 1．曲边梯形的面积 （1）曲边梯形：由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形(如图①)． （2）求曲边梯形面积的方法与步骤： ①分割：把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)； ②近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)； ③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和； ④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积． 2．求变速直线运动的路程 3．定积分的定义和相关概念 （1）如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续，用分点a =x 0 ()d b a f x x ? =1 lim ()n i n i b a f n ξ→∞ =-∑ . （2）在 ()d b a f x x ? 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ,b ]叫做积分区间，函数()f x 叫做被 积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 4．定积分的性质 （1）()()d d b b a a kf x x k f x x =??(k 为常数)； （2）[()()]d ()d ()d b b b a a a f x g x x f x x g x x ±=±? ??； （3） ()d =()d +()d b c b a a c f x x f x x f x x ? ??(其中a 一．选择题 1.若k x x f x x f x =?-?+→?)()(lim 000，则x x f x x f x ?-??+→?) ()2(lim 000等于( ) A.k 2 B.k C.k 2 1 D.以上都不是 2.若f （x ）=sinα－cosx ，则f ′(a )等于 ( ) A ．sinα B ．cosα C ．sinα+cosα D ．2sinα 3.f （x ）=ax 3+3x 2+2，若f ′(?1)=4,则a 的值等于( ) A ． 319 B ． 316 C ．3 13 D ．3 10 4.函数y =x sin x 的导数为( ) A ．y ′=2x sin x +x cos x B ．y ′= x x 2sin +x cos x C ．y ′= x x sin +x cos x D ．y ′=x x sin －x cos x 5.函数y =x 2cos x 的导数为( ) A ．y ′=2x cos x －x 2sin x B ．y ′=2x cos x +x 2sin x C ．y ′=x 2cos x －2x sin x D ．y ′=x cos x －x 2sin x 6.函数y =2 2x a x +（a >0）的导数为0，那么x 等于（ ） A ．a B ．±a C ．－a D ．a 2 7. 函数y =x x sin 的导数为（ ） A ．y ′=2 sin cos x x x x + B ．y ′= 2 sin cos x x x x - C ．y ′=2cos sin x x x x - D ．y ′=2 cos sin x x x x + 8.函数y = 2 )13(1 -x 的导数是（ ） A ． 3)13(6-x B ．2)13(6-x C ．－3 )13(6-x D ．－2)13(6 -x 导数、微积分 1、（2012德州二模）如图，在边长为π的正方形内的正弦曲线sin y x x =与轴围成的区 域记为M （图中阴影部分），随机往正方形内投一个点P ，则点P 落在区域M 内的概率是 A ．21π B ． 22π C ．23π D ．24π 答案：B 解析：区域M 的面积为：S M ＝0 sin xdx π ? ＝－cosx 0|π＝2，而正方形的面积为S ＝2 π，所 以，所求概率为P ＝ 22 π ，选B 。 2、（2012济南三模）已知函数2 ()321f x x x =++，若1 1 ()2()(0)f x dx f a a -=>? 成 立，则a ＝________. 答案：13 解析：因为??-11f(x)d x ＝??-1 1 (3x 2＋2x ＋1)d x ＝(x 3＋x 2＋x)|1－1＝4，所以2(3a 2 ＋2a ＋1)＝4 ?a ＝－1或a ＝1 3 . 3、（2012莱芜3月模拟）函数201 ()212 x x f x x x ?≤≤=?-≤≤?的图像与x 轴所围成的封闭图形 的面积为 . 【答案】56 【解析】 6 5)212(3 1)2()(21210 32 11 022 0=- += -+=???x x x dx x dx x dx x f 4、（2012济南三模）已知α、β是三次函数32 11()2(,)32 f x x ax bx a b R =++∈的两个 极值点，且(0,1)α∈，(1,2)β∈，则3 2 b a --的取值范围是（ ） A ．2(,)5 -∞ B ．2 (,1)5 C ．(1,)+∞ D ．2 (,)(1,)5 -∞?+∞ 答案：B 解析：因为函数有两个极值，则0)('=x f 有两个不同的 定积分与微积分基本定理 基础热身 1．已知f (x )为偶函数，且 ??0 6f(x)d x ＝8，则? ?6－6f(x)d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．16 2． 设f(x)＝??? x 2，x ∈[0，1]， 1 x ，x ∈1，e ] (其中e 为自然对数的底数)，则??0 e f(x)d x 的值为( ) B ．2 C ．1 3．若a ＝??0 2x 2d x ，b ＝??0 2x 3d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关 系是( ) A ．a A ．0 B ．1 C ．0或1 D ．以上均不对 9．如果10 N 的力能使弹簧压缩10 cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm ，则力所做的功为( ) A ． J B ． J C ． J D ． J 10．设函数y ＝f(x)的定义域为R ＋，若对于给定的正数K ，定义函 数f K (x )＝????? K ，fx ≤K ，fx ，fx >K ， 则当函数f (x )＝1x ，K ＝1时，定积分??214f K (x)d x 的值为________． (x －x 2)d x ＝________. 12． ∫π 20(sin x ＋a cos x)d x ＝2，则实数a ＝________. 13．由抛物线y 2 ＝2x 与直线x ＝12及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为________． 14．(10分)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象如图K 15－2所示，直线y ＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围 成的区域(阴影)面积为27 4，求f(x)的解析式． 图K 15－2 15．(13分)如图K 15－3所示，已知曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝－x 2＋2ax(a>1)交于点O 、A ，直线x ＝t (0 高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解 一、选择题 1．(2010·山东日照模考)a ＝??0 2x d x ，b ＝??02e x d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．a 高中数学导数及微积分练习题
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