定积分与微积分基本定理
基础热身
1．已知f (x )为偶函数，且
??0
6f(x)d x ＝8，则?
?6－6f(x)d x ＝( )
A ．0
B ．4
C ．8
D ．16 2． 设f(x)＝???
x 2，x ∈[0，1]，
1
x ，x ∈
1，e ]
(其中e 为自然对数的底数)，则??0
e
f(x)d x 的值为( )
B ．2
C ．1
3．若a ＝??0
2x 2d x ，b ＝??0
2x 3d x ，c ＝??0
2sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关
系是( )
A ．a B ．a C ．c D ．c 4．如图K 15－1 ) 图K 15－1 A ．2 3 B ．2－ 3 能力提升 5．设函数f(x)＝ax 2＋1，若??0 1f(x)d x ＝2，则a ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．由直线x ＝－π3，x ＝π 3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( ) B ．1 ￥ 7．一物体以v ＝＋(单位：m /s )的速度自由下落，则下落后第二个4 s 内经过的路程是( ) A ．260 m B ．258 m C ．259 m D ． m 8．若??0 k (2x －3x 2)d x ＝0，则k 等于( ) A ．0 B ．1 C ．0或1 D ．以上均不对 9．如果10 N 的力能使弹簧压缩10 cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm ，则力所做的功为( ) A ． J B ． J C ． J D ． J 10．设函数y ＝f(x)的定义域为R ＋，若对于给定的正数K ，定义函 数f K (x )＝? ?? ?? K ，f x ≤K ， f x ，f x >K ， 则当函数f (x )＝1 x ，K ＝1时，定积分??2 1 4f K (x)d x 的值为________． | (x －x 2)d x ＝________. 12． ∫π 20(sin x ＋a cos x)d x ＝2，则实数a ＝________. 13．由抛物线y 2 ＝2x 与直线x ＝12及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为________． 14．(10分)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象如图K 15－2所示，直线y ＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围 成的区域(阴影)面积为27 4，求f(x)的解析式． 图K 15－2 15．(13分)如图K 15－3所示，已知曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝－x 2＋2ax(a>1)交于点O 、A ，直线x ＝t(0 (1)写出曲边四边形ABOD(阴影部分)的面积S 与t 的函数关系式S ＝f(t)； (2)求函数S ＝f(t) 图K 15－3 难点突破 16．(12分)已知点P 在曲线y ＝x 2－1上，它的横坐标为a(a>0)，由点P 作曲线y ＝x 2的切线PQ(Q 为切点)． (1)求切线PQ 的方程； (2)求证：由上述切线与y ＝x 2所围成图形的面积S 与a 无关． ； | ~ 参考答案： 【基础热身】 1．D [解析] ? ?6－6f(x)d x ＝2??0 6f(x)d x ＝2×8＝16. 2．A [解析] 根据积分的运算法则，可知∫e 0f(x)d x 可以分为两段， 即∫e 0f(x)d x ＝? ?0 1x 2d x ＋∫e 11x d x ＝13x 3??????10＋ln x e 1＝13＋1＝43，所以选A . 3．D [解析] a ＝??02x 2 d x ＝13x 3??? 20＝83，b ＝??02x 3d x ＝14x 4 ??? 20＝4，c ＝??0 2 sin x d x ＝－cos x ??? 2 0＝1－cos 2<2， ∴c 4．C [解析] ??1－3(3－x 2 －2x)d x ＝? ?? ??3x －13x 3－x 2??? 1－3＝32 3. 【能力提升】 5．C [解析] ??0 1f(x)d x ＝? ?0 1(ax 2＋1)d x ＝ax 3 3＋x ??? 10＝a 3＋1＝2，解 得a ＝3. 6．D [解析] 根据定积分的相关知识可得到：由直线x ＝－π 3，x ＝π 3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为： ) ???S ＝∫π3－π3cos x d x ＝sin x π3－π3＝sin π3－sin ? ?? ??－π3＝3， 故选D . 7．D [解析] ??4 8 ＋d t ＝＋??? 8 4＝×64＋×8－×16－×4＝＋52－－26＝. 8．C [解析] ??0 k (2x －3x 2 )d x ＝??0 k 2x d x －??0 k 3x 2 d x ＝x 2??????k 0－x 3k 0＝k 2－ k 3＝0，∴k ＝0或k ＝1. 9．D [解析] 由F(x)＝kx ，得k ＝100，F(x)＝100x ，错误!100x d x ＝(J )． 10．2ln 2＋1 [解析] 由题设f 1 (x)＝??? 1，1 x ≤1， 1x ，1 x >1， 于是定积分? ?21 4 f 1(x )d x ＝??1141x d x ＋? ?1 21d x ＝ln x ??? 114＋x ??? 21＝2ln 2＋1. [解析] ??0 1 (x －x 2 )d x ＝ ???? ????23x 32－13x 310＝13. 12．1 [解析] ∫π 20(sin x ＋a cos x)d x ＝(a sin x －cos x)错误!＝错误!－ a sin 0＋cos 0＝a ＋1＝2，∴a ＝1. [解析] 如图所示，因为 y 2 ＝2x ，x ∈???? ?? 0，12， ???所以V ＝π∫1202x d x ＝πx 212 0＝π4. } 14．[解答] 由图象过点(0,0)知c ＝0，又由图象与y ＝0在原点处相切知b ＝0，则有f (x )＝x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x 3＋ax 2＝0，可得x ＝0或x ＝－a (－a >0，即a <0)．可以得到图象与x 轴交点为(0,0)，(－ a,0)，故∫－a 0－f (x )d x ＝ ? ??? ????－x 44－ax 33－a 0＝－a 44＋a 43＝a 412＝274，a ＝－3， 所以f (x )＝x 3－3x 2. 15．[解答] (1)由????? y ＝x 2，y ＝－x 2＋2ax ，解得????? x ＝0，y ＝0或? ???? x ＝a ， y ＝a 2 . ∴O (0,0)，A (a ，a 2)．又由已知得B (t ，－t 2＋2at )，D (t ，t 2)， ∴S ＝? ?0 t (－x 2＋2ax )d x －12t ×t 2＋1 2(－t 2＋2at －t 2)×(a －t ) ＝? ????－13x 3＋ax 2??? t 0 －12t 3 ＋(－t 2＋at )×(a －t ) ＝－13t 3＋at 2－12t 3＋t 3－2at 2＋a 2 t ＝16t 3－at 2＋a 2t . 故S ＝f (t )＝16t 3 －at 2＋a 2t (0 (2)f ′(t )＝12t 2 －2at ＋a 2， 令f ′(t )＝0，即1 2t 2－2at ＋a 2＝0， 解得t ＝(2－2)a 或t ＝(2＋2)a . — ∵0 ①若(2－2)a ≥1，即a ≥1 2－2 ＝2＋22， ∵0 ＝a 2 －a ＋16.