定积分与微积分基本定理(理)
基础巩固强化
1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??0
1(x 2-x )d x
B .S =??0
1(x -x 2)d x
C .S =??0
1(y 2-y )d y
D .S =??0
1(y -
y )d y
[答案] B
[分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图形的面积S =??0
1(x -x 2)d x .
2.如图,阴影部分面积等于( )
—
A .2 3
B .2-3
[答案] C
[解析] 图中阴影部分面积为
S =??-3
1 (3-x 2-2x )d x =(3x -13x 3-x 2)|1-3
=32
3.
4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π
[答案] C
[解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, /
∴S =1
4×π×22=π.
4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( )
A .在t 1时刻,甲车在乙车前面
B .在t 1时刻,甲车在乙车后面
C .在t 0时刻,两车的位置相同
D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A
[解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后
的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分,即速度函数v (t )的图象与t 轴以及时间段围成区域的面积.从图象知:在t 0时刻,v 甲的图象与t 轴和t =0,t =t 0围成区域的面积大于v 乙的图象与t 轴和t =0,t =t 0围成区域的
面积,因此,在t 0时刻,甲车在乙车的前面,而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度,所以选项C ,D 错误;同样,在t 1时刻,v 甲的图象与t 轴和t =t 1围成区域的面积,仍然大于v 乙的图象与t 轴和t =t 1围成区域的面积,所以,可以断定:在t 1时刻,甲车还是在乙车的前面.所以选A.
5.向平面区域Ω={(x ,y )|-π
4≤x ≤π
4,0≤y ≤1}内随机投掷一点,该点落在曲线y =cos2x 下方的概率是( ) [
-1
[答案] D
[解析] 平面区域Ω是矩形区域,其面积是π
2,在这个区
6.的值是( )
A .0 C .2 D .-2 [答案] D
[解析] 2
(cos sin )
2x x π
π---=2(cos sin )2
x x π
π---
=-2. 7.??0
2(2-|1-x |)d x =________.
[答案] 3
)
[解析] ∵y =?
????
1+x 0≤x ≤1
3-x 1 ∴??0 2(2-|1-x |)d x =??0 1(1+x )d x +??1 2(3-x )d x =(x +12x 2)|10+(3x -12x 2)|21=32+3 2=3. 9.已知a =20 (sin cos )x x dx π +? ,则二项式(a x -1x )6 的展开式中含 x 2项的系数是________. [答案] -192 [解析] 由已知得a =2 (sin cos )x x dx π +?=(-cos x +sin x )|π20=(sin π 2 -cos π 2)-(sin0-cos0)=2, (2x -1x )6 的展开式中第r +1项是T r +1=(-1)r ×C r 6×2 6-r ×x 3-r ,令3-r =2得,r =1,故其系数为(-1)1×C 16×25 =-192. 10.有一条直线与抛物线y =x 2相交于A 、B 两点,线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于4 3,求线段AB 的中点P 的轨迹方程. [解析] 设直线与抛物线的两个交点分别为A (a ,a 2),B (b ,b 2),不妨设a 则直线AB 的方程为y -a 2=b 2-a 2b -a (x -a ), / 即y =(a +b )x -ab . 则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S =??a b [(a +b )x -ab -x 2]d x =(a +b 2x 2-abx -x 33)|b a =1 6(b -a )3, ∴16(b -a )3=43, 解得b -a =2.设线段AB 的中点坐标为P (x ,y ), 其中??? x =a +b 2, y =a 2 +b 2 2. 将b -a =2代入得? ???? x =a +1, y =a 2 +2a +2. 消去a 得y =x 2+1. ∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y =x 2+1. 能力拓展提升 11.等比数列{a n }中,a 3=6,前三项和S 3=??0 34x d x ,则公比q 的值 为( ) A .1 B .-12 》 C .1或-1 2 D .-1或-1 2 [答案] C [解析] 因为S 3=?? 3 4x d x =2x 2|30=18,所以 6q +6 q 2+6=18,化简 得2q 2 -q -1=0,解得q =1或q =-1 2,故选C. 12.已知(x ln x )′=ln x +1,则??1 e ln x d x =( ) A .1 B .e C .e -1 D .e +1 [答案] A [解析] 由(x ln x )′=ln x +1,联想到(x ln x -x )′=(ln x +1)-1=ln x ,于是??1 e ln x d x =(x ln x -x )|e 1=(e ln e -e )-(1×ln1-1)=1. 13.抛物线y 2=2x 与直线y =4-x 围成的平面图形的面积为________. [答案] 18 [解析] 由方程组????? y 2=2x , y =4-x , 解得两交点A (2,2)、B (8,-4),选 y 作为积分变量x =y 2 2、x =4-y , ` ∴S =? ?-4 2 [(4-y )-y 22]dy =(4y -y 22-y 36)|2-4=18. 14. 已知函数f (x )=e x -1,直线l 1:x =1,l 2:y =e t -1(t 为常数,且0≤t ≤1).直线l 1,l 2与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示,其面积用S 2表示.直线l 2,y 轴与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示,其面积用S 1表示.当t 变化时,阴影部分的面积的最小值为________. [答案] (e -1)2 [解析] 由题意得S 1+S 2=??0 t (e t -1-e x +1)d x +??t 1(e x -1-e t + 1)d x =??0t (e t -e x )d x +??t 1(e x -e t )d x =(xe t -e x )|t 0+(e x -xe t )|1t =(2t -3)e t +e +1,令g (t )=(2t -3)e t +e +1(0≤t ≤1),则g ′(t )=2e t +(2t -3)e t =(2t -1)e t ,令g ′(t )=0,得t =12,∴当t ∈[0,1 2)时,g ′(t )<0,g (t )是减函 数,当t ∈(12,1]时,g ′(t )>0,g (t )是增函数,因此g (t )的最小值为g (1 2)=e +1-2e 1 2=(e -1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e -1)2. 15.求下列定积分. (1)??1-1|x |d x; (2)??0 π cos 2 x 2d x ; (3)∫e +12 1x -1 d x . · [解析] (1)??1-1|x |d x =2? ?0 1x d x =2×12x 2|1 0=1. (2)??0π cos 2 x 2d x =??0 π 1+cos x 2d x =12x |π0+12sin x |π0=π2. (3)∫e +12 1x -1 d x =ln(x -1)| e +1 2=1. 16.已知函数f (x )=-x 3+ax 2+bx (a ,b ∈R )的图象如图所示,它与x 轴在原点处相切,且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为1 12,求a 的值. [解析] f ′(x )=-3x 2+2ax +b ,∵f ′(0)=0,∴b =0, ∴f (x )=-x 3+ax 2,令f (x )=0,得x =0或x =a (a <0). ∴S 阴影=??a 0[0-(-x 3+ax 2)]d x =(14x 4-13ax 3)|0a =112a 4=112, ∵a <0,∴a =-1. > 1.已知函数f (x )=sin 5x +1,根据函数的性质、积分的性质和积 分的几何意义,探求22 ()f x dx π π-?的值,结果是( ) +π 2 B .π C .1 D .0 [答案] B [解析] 2 2 ()f x dx π π - ? =22 π π-?sin 5 x d x +22 π π-?1d x ,由于函数y =sin 5x 是 奇函数,所以2 2 π π-?sin 5 x d x =0,而2 2 π π - ?1d x =x |π2-π 2=π,故选B. 2.若函数f (x )=??? -x -1 -1≤x <0 , cos x 0≤x <π 2, 的图象与坐标轴所围 成的封闭图形的面积为a ,则a 的值为( ) C .1 [答案] D [ [解析] 由图可知a =12+?? ??0 π2cos x d x =12+sin x |π20=3 2. 3.对任意非零实数a 、b ,若a ?b 的运算原理如图所示,则2???0 π sin x d x =________. [答案] 2 2 [解析] ∵??0 πsin x d x =-cos x |π0=2>2, ∴2???0 π sin x d x =2?2=2-12=22. 4.设函数f (x )=ax 2+c (a ≠0),若??0 1f (x )d x =f (x 0),0≤x 0≤1,则x 0的 值为________. [答案] 3 3 [解析] ??0 1f (x )d x =? ?0 1 (ax 2+c )d x =(ax 33+cx )|10=a 3+c ,故a 3+c =ax 20 +c ,即 ax 20= a 3, 又a ≠0,所以x 2 0=13,又0≤x 0≤1,所以x 0=33.故填33. 5.设n =??1 2 (3x 2 -2)d x ,则(x -2x )n 展开式中含x 2项的系数是 ________. [答案] 40 [解析] ∵(x 3-2x )′=3x 2-2, ∴n =??1 2(3x 2-2)d x =(x 3-2x )|21 =(23-2×2)-(1-2)=5. ∴(x -2x )5的通项公式为T r +1=C r 5x 5-r (-2x )r =(-2)r C r 5x 5-3r 2 ,令5-3r 2 =2,得r =2, ∴x 2项的系数是(-2)2C 25=40. 定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =?? ?0 1(x 2-x )d x B .S =?? ?0 1 (x -x 2)d x C .S =?? ?0 1 (y 2-y )d y D .S =??? 1 (y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图 形的面积S =?? ?0 1 (x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为 S =??? -3 1 (3-x 2 -2x )d x =(3x -1 3x 3-x 2)|1 -3=32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积 1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A .a1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版
定积分及微积分基本定理练习题及答案
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