定积分与微积分基本定理
基础热身
1．已知f (x )为偶函数，且
??
?0
6f(x)d x ＝8，则?
?6－6f(x)d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．16
2． 设f(x)＝?
????
x 2
，x ∈[0，1]，1
x ，x ∈(1，e ](其中e 为自然对数的底数)，
则???
e
f(x)d x 的值为( )
A .43
B ．2
C ．1
D .23
3．若a ＝???0
2x 2
d x ，b ＝???0
2x 3d x ，c ＝??
?0
2sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( )
A ．a B ．a C ．c D ．c 4．如图K 15－1，阴影部分的面积是( ) 图15－1 A ．2 3 B ．2－ 3 C .323 D .35 3 能力提升 5．设函数f(x)＝ax 2＋1，若??? 1 f(x)d x ＝2，则a ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．由直线x ＝－π3，x ＝π 3 ，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭 图形的面积为( ) A .12 B ．1 C .3 2 D . 3 7．一物体以v ＝9.8t ＋6.5(单位：m /s )的速度自由下落，则下落 后第二个4 s经过的路程是( ) A．260 m B．258 m C．259 m D．261.2 m 8．若 ? ? ? k(2x－3x2)d x＝0，则k等于( ) A．0 B．1 C．0或1 D．以上均不对 9．如果10 N的力能使弹簧压缩10 cm，为在弹性限度将弹簧拉长6 cm，则力所做的功为( ) A．0.28 J B．0.12 J C．0.26 J D．0.18 J 10．设函数y＝f(x)的定义域为R＋，若对于给定的正数K，定义 函数f K(x)＝ ?? ? ??K，f(x)≤K， f(x)，f(x)>K， 则当函数f(x)＝ 1 x， K＝1时，定积分 ??2 1 4 f K(x)d x的值为________． 11. ? ? ? 1(x－x2)d x＝________. 12．∫ π 20 (sin x＋a cos x)d x＝2，则实数a＝________. 13．由抛物线y2＝2x与直线x＝ 1 2 及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为________． 14．(10分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象如图K15－2所示，直线y＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为 27 4 ，求f(x)的解析式． 图K15－2 15．(13分)如图K15－3所示，已知曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝－x2＋2ax(a>1)交于点O、A，直线x＝t(0 (1)写出曲边四边形ABOD(阴影部分)的面积S与t的函数关系式S＝f(t)； (2)求函数S＝f(t)在区间(0,1]上的最大值． 难点突破 16．(12分)已知点P在曲线y＝x2－1上，它的横坐标为a(a>0)，由点P作曲线y＝x2的切线PQ(Q为切点)． (1)求切线PQ的方程； (2)求证：由上述切线与y＝x2所围成图形的面积S与a无关． 参考答案： 【基础热身】 1．D [解析] ? ?6－6f(x)d x ＝2?? ?0 6 f(x)d x ＝2×8＝16. 2．A [解析] 根据积分的运算法则，可知∫e 0f(x)d x 可以分为两 段，即∫e 0f(x)d x ＝? ?? 1x 2d x ＋∫e 11x d x ＝13x 3??????10＋ln x e 1＝13＋1＝43，所以选A . 3．D [解析] a ＝??? 2x 2d x ＝13x 3??? 20＝83，b ＝? ??0 2x 3d x ＝14x 4??? 2 0＝4，c ＝??? 2 sin x d x ＝－cos x ??? 20＝1－cos 2<2， ∴c 4．C [解析] ??1－3(3－x 2 －2x)d x ＝? ?? ??3x －13x 3－x 2??? 1－3＝323. 【能力提升】 5．C [解析] ??? 1 f(x)d x ＝?? ?0 1 (ax 2 ＋1)d x ＝ax 33＋x ??? 10＝a 3 ＋1＝2， 解得a ＝3. 6．D [解析] 根据定积分的相关知识可得到：由直线x ＝－π 3 ， x ＝π 3 ，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为： ???S ＝∫π3－π3cos x d x ＝sin x π3－π3＝sin π 3－sin ? ?? ??－π3＝3， 故选D . 7．D [解析] ??? 4 8 (9.8t ＋6.5)d t ＝(4.9t 2 ＋6.5t)??? 8 4＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4＝313.6＋52－78.4－26＝261.2. 8．C [解析] ??? k (2x －3x 2 )d x ＝???0 k 2x d x －???0 k 3x 2 d x ＝x 2?????? k 0 －x 3k ＝ k 2－k 3＝0，∴k ＝0或k ＝1. 9．D [解析] 由F(x)＝kx ，得k ＝100，F(x)＝100x ，W ＝∫0.060 100x d x ＝0.18(J )． 10．2ln 2＋1 [解析] 由题设f 1 (x)＝???? ? 1，1 x ≤1，1x ，1 x >1， 于是定积分? ?2 14f 1(x )d x ＝??1141x d x ＋? ??1 2 1d x ＝ln x ??? 114＋x ??? 21＝2ln 2＋1. 11.13 [解析] ? ??0 1(x －x 2 )d x ＝ ? ??? ????23x 32－13x 310＝1 3. 12．1 [解析] ∫π 2 0(sin x ＋a cos x)d x ＝(a sin x －cos x)错误!＝错误!－ a sin 0＋cos 0＝a ＋1＝2，∴a ＝1. 13.π4 [解析] 如图所示，因为y 2 ＝2x ，x ∈? ?????0，12， ???所以V ＝π∫1202x d x ＝πx 2 12 0＝π4 . 14．[解答] 由图象过点y ＝0在原点处相切知b ＝0，则有f (x )＝x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x 3＋ax 2＝0，可得x ＝0或x ＝－a (－a >0，即a <0)．可以得到图象与x 轴交点为(0,0)， (－a,0)，故∫－a 0－f (x )d x ＝ ???? ????－x 44 －ax 33－a 0＝－a 44＋a 43＝a 4 12＝274，a ＝ －3，所以f (x )＝x 3－3x 2. 15．[解答] (1)由????? y ＝x 2 ，y ＝－x 2＋2ax ，解得????? x ＝0，y ＝0或? ???? x ＝a ， y ＝a 2 . ∴O (0,0)，A (a ，a 2)．又由已知得B (t ，－t 2＋2at )，D (t ，t 2)， ∴S ＝? ??0 t (－x 2＋2ax )d x －12t ×t 2＋12(－t 2＋2at －t 2 )×(a －t ) ＝? ????－13x 3＋ax 2? ?? t 0－12t 3 ＋(－t 2＋at )×(a －t ) ＝－13t 3＋at 2－12t 3＋t 3－2at 2＋a 2 t ＝16 t 3 －at 2＋a 2t . 故S ＝f (t )＝16t 3 －at 2＋a 2t (0 (2)f ′(t )＝12 t 2 －2at ＋a 2， 令f ′(t )＝0，即12t 2 －2at ＋a 2＝0， 解得t ＝(2－2)a 或t ＝(2＋2)a . ∵0 ①若(2－2)a ≥1，即a ≥12－2 ＝2＋2 2， ∵0 值是f (1)＝a 2 －a ＋16 .