第二章随机变量及其分布
在随机试验中，人们除对某些特定事件发生的概率感兴趣外，往往还关心某个与随机试验的结果相联系的变量. 由于这一变量的取值依赖于随机试验结果，因而被称为随机变量. 与普通的变量不同，对于随机变量，人们无法事先预知其确切取值，但可以研究其取值的统计规律性. 本章将介绍两类随机变量及描述随机变量统计规律性的分布.
第一节随机变量的概念
内容要点:
一、随机变量概念的引入
为全面研究随机试验的结果, 揭示随机现象的统计规律性, 需将随机试验的结果数量化，即把随机试验的结果与实数对应起来.
1. 在有些随机试验中, 试验的结果本身就由数量来表示.
2. 在另一些随机试验中, 试验结果看起来与数量无关,但可以指定一个数量来表示之.
二、随机变量的定义
定义设随机试验的样本空间为S, 称定义在样本空间S上的实值单值函数)
X=
(e
X
为随机变量.
随机变量与高等数学中函数的比较:
(1) 它们都是实值函数,但前者在试验前只知道它可能取值的范围,而不能预先肯定它将取哪个值;
(2) 因试验结果的出现具有一定的概率,故前者取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.
三、引入随机变量的意义
随机变量的引入,使得随机试验中的各种事件可通过随机变量的关系式表达出来.
由此可见,随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内.也可以说,随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则以动态的观点来研究之.其关系类似高等数学中常量与变量的关系.
随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件. 引入随机变量后,对随机现象统计规律的研究,就由对事件及事件概率的研究转化为随机变量及其取值规律的研究,使人们可利用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛而深入的研究.
随机变量因其取值方式不同, 通常分为离散型和非离散型两类. 而非非离散型随机变量中最重要的是连续型随机变量. 今后，我们主要讨论离散型随机变量和连续型随机变量.
例题选讲：
例1(讲义例1)在抛掷一枚硬币进行打赌时, 若规定出现正面时抛掷者赢1元钱, 出现反面时输1元钱, 则其样本空间为
S{正面, 反面},
=
记赢钱数为随机变量X, 则X作为样本空间S的实值函数定义为
?
??=-==.,1,,1)(反面正面e e e X
例2 (讲义例2) 在将一枚硬币抛掷三次, 观察正面H 、反面T 出现情况的试验中, 其样
本空间
};,,,,,,,{TTT TTH THT HTT THH HTH HHT HHH S = 记每次试验出现正面H 的总次数为随机变量X , 则X 作为样本空间S 上的函数定义为
1112223X TTT
TTH THT HTT THH HTH HHT HHH e
易见, 使X 取值为})2({2=X 的样本点构成的子集为
},,,{THH HTH HHT A = 故 ,8/3)(}2{===A P X P 类似地，有
.8/4},,,{}1{==≤TTT TTH THT HTT P X P
例3 (讲义例3) 在测试灯泡寿命的试验中, 每一个灯泡的实际使用寿命可能是),0[+∞中任何一个实数, 若用X 表示灯泡的寿命（小时），则X 是定义在样本空间}0|{≥=t t S 上的函数，即t t X X ==)(，是随机变量.
课堂练习
1. 一报童卖报, 每份0.15元,其成本为0.10元. 报馆每天给报童1000份报, 并规定他不得把卖不出的报纸退回. 设X 为报童每天卖出的报纸份数, 试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.
第二节 离散型随机变量及其分布函数
内容要点:
一、离散型随机变量及其概率分布
定义 设离散型随机变量X 的所有可能取值为),2,1( =i x i , 称
,2,1,}{===i p x X P i i
为X 的概率分布或分布律, 也称概率函数.
常用表格形式来表示X 的概率分布:
n i n p p p p x x x X 2121
二、常用离散分布
退化分布 两点分布 n 个点上的均匀分布 二项分布 几何分布 超几何分布
泊松分布：泊松分布是概率论中最重要的几个分布之一. 实际问题中许多随机现象都服从或近似服从泊松分布.
三、二项分布的泊松近似
定理1 (泊松定理) 在n 重伯努利试验中, 事件A 在每次试验中发生的概率为n p (注意
这与试验的次数n 有关), 如果∞→n 时, λ→n np (0>λ为常数), 则对任意给定的k , 有
λλ-∞
→=
e k p n k b k
n n !
),,(lim .
例题选讲：
离散型随机变量及其概率分布
例1 (讲义例1) 某篮球运动员投中篮圈的概率是0.9, 求他两次独立投篮投中次数X 的概率分布.
例2 (讲义例2) 设随机变量X 的概率分布为:
0,,2,1,0,!
}{>===λλ k k a
K X P k
.
试确定常数a .
二项分布
例3 (讲义例3) 已知100个产品中有5个次品, 现从中有放回地取3次, 每次任取1个, 求在所取的3个中恰有2个次品的概率.
例4 (讲义例4) 某人进行射击, 设每次射击的命中率为0.02, 独立射击400次, 试求至少击中两次的概率.
例5 (讲义例5) 设有80台同类型设备, 各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01, 且一台设备的故障能由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法, 其一是由4人维护, 每人负责20台; 其二是由3人共同维护80台. 试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小. 几何分布
例6 (讲义例6) 某射手连续向一目标射击, 直到命中为止, 已知他每发命中的概率是p , 求所需射击发数X 的概率分布. 泊松分布
例7 (讲义例7) 某一城市每天发生火灾的次数X 服从参数8.0=λ的泊松分布, 求该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率. 二项分布的泊松近似
例8 (讲义例8) 某公司生产的一种产品300件. 根据历史生产记录知废品率为0.01. 问现在这300件产品经检验废品数大于5的概率是多少?
例9 (讲义例9) 一家商店采用科学管理,由该商店过去的销售记录知道, 某种商品每月的销售数可以用参数5=λ的泊松分布来描述, 为了以95%以上的把握保证不脱销, 问商店在月底至少应进某种商品多少件?
例10 (讲义例10) 自1875年至1955年中的某63年间, 上海市夏季(5—9月)共发生大暴雨180次, 试建立上海市夏季暴雨发生次数的概率分布模型.
课堂练习
1.某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0.2, 求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率.
2.一汽车沿一街道行驶, 需要通过三个均设有红绿信号灯的路口, 每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立, 且红绿两种信号灯显示的时间相等. 以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数, 求X 的概率分布.
第三节 随机变量的分布函数
当我们要描述一个随机变量时，不仅要说明它能够取哪些值，而且还要指出它取这些值的概率. 只有这样，才能真正完整地刻画一个随机变量, 为此，我们引入随机变量的分布函数的概念.
内容要点：
一. 随机变量的分布函数
定义 设X 是一个随机变量, 称
)()()(+∞<<-∞≤=x x X P x F
为X 的分布函数.有时记作)(~x F X 或)(x F X .
分布函数的性质
1. 单调非减. 若21x x <, 则)()(21x F x F ≤；
2. ;1)(lim )(,0)(lim )(==+∞==-∞+∞
→-∞
→x F F x F F x x
3. 右连续性. 即).()(lim 00
x F x F x x =+→
二、离散型随机变量的分布函数
设离散型随机变量X 的概率分布为
n i n p p p p x x x X 2121
则X 的分布函数为
∑∑≤≤===≤=x
x i x
x i i i p x X P x X P x F )()()(.
例题选讲：
随机变量的分布函数
例1（讲义例1）等可能地在数轴上的有界区间],[b a 上投点, 记X 为落点的位置(数轴上的坐标) , 求随机变量X 的分布函数.
例2（讲义例2）判别下列函数是否为某随机变量的分布函数?
??
?
??≥<≤+<=??
?
??≥<≤<=???
??≥<≤--<=.2/1,1,
2/10,2/1,0,0)()3(;,1,0,sin ,0,0)()2(;0,1,
02,2/1,2,0)()1(x x x x x F x x x x x F x x x x F ππ
离散型随机变量的分布函数
例3（讲义例3）设
,2
/16/13/12
10i p X 求)(x F .
例4 X 具有离散均匀分布, 即
,,,2,1,/1)(n i n x X P i ===
求X 的分布函数.
例5（讲义例4）设随机变量X 的分布函数为
???????≥<≤<≤<=.3,
1,32,19/15,21,19/9,1,
0)(x x x x x F
求X 的概率分布.
课堂练习
1．设随机变量X 的概率分布为
4
/12/14/14
21i p X -,
求X 的的分布函数，并求
{},2/1≤X P {},2/52/3≤ .32≤≤X P 第四节 连续型随机变量及其概率密度 内容要点： 一、 连续型随机变量及其概率密度 定义 如果对随机变量X 的分布函数)(x F ,存在非负可积函数)(x f ,使得对于任意实数x 有 .)(}{)(? ∞ -= ≤=x dt t f x X P x F 则称X 为连续型随机变量, 称)(x f 为X 的概率密度函数,简称为概率密度或密度函数. 关于概率密度的说明 1. 对一个连续型随机变量X ,若已知其密度函数)(x f ,则根据定义,可求得其分布函数)(x F , 同时, 还可求得X 的取值落在任意区间],(b a 上的概率: ?=-=≤ a dx x f a F b F b X a P )()()(}{ 2. 连续型随机变量X 取任一指定值)(R a a ∈的概率为0. 3. 若)(x f 在点x 处连续, 则 )()(x f x F =' (1) 二、常用连续型分布 均匀分布 定义 若连续型随机变量X 的概率密度为 ?? ? ??<<-=其它,0,1 )(b x a a b x f 则称X 在区间),(b a 上服从均匀分布, 记为),(~b a U X . 指数分布 定义 若随机变量X 的概率密度为 0.,0,0,)(>? ??>=-λλλ其它x e x f x 则称X 服从参数为λ的指数分布.简记为).(~λe X 正态分布 定义 若随机变量X 的概率密度为 .,21 )(2 22)(∞<<∞-= --x e x f x σμσ π 其中μ和)0(>σσ都是常数, 则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布. 记为).,(~2σμN X 注: 正态分布是概率论中最重要的连续型分布, 在十九世纪前叶由高斯加以推广, 故又常称为高斯分布. 一般来说，一个随机变量如果受到许多随机因素的影响，而其中每一个因素都不起主导作用（作用微小），则它服从正态分布. 这是正态分布在实践中得以广泛应用的原因. 例如, 产品的质量指标, 元件的尺寸, 某地区成年男子的身高、体重, 测量误差, 射击目标的水平或垂直偏差, 信号噪声、农作物的产量等等, 都服从或近似服从正态分布. 标准正态分布 正态分布当1,0==σμ时称为标准正态分布, 此时, 其密度函数和分布函数常用)(x ?和)(x Φ表示: ,21)(2 2 x e x -= π ? ? ∞ -- =Φx t dt e x 2 221)(π 标准正态分布的重要性在于, 任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布. 定理 设),,(~2σμN X 则).1,0(~N X Y σ μ -= 标准正态分布表的使用： （1）表中给出了0>x 时)(x Φ的数值, 当0 );(1)(x x Φ-=-Φ （2） 若),1,0(~N X 则 );()(}{a b b X a P Φ-Φ=≤< （3）若),(~2σμN X , 则),1,0(~N X Y σ μ -= 故X 的分布函数 ;}{)(?? ? ??-Φ=??????-≤-=≤=σμσμσμx x X P x X P x F ??????-≤<-=≤<σμσμb Y a P b X a P }{.?? ? ??-Φ-??? ??-Φ=σμσμa b 例题选讲： 连续型随机变量及其概率密度 例1 设随机变量X 的密度函数为 ?? ? ??≤≤--=其它,011,12 )(2x x x f π 求其分布函数)(x F . 例2（讲义例1）设随机变量X 具有概率密度 ???? ???≤≤-<≤=., 0,43,22,30, )(其它x x x kx x f }.2/71{)3();()2(;)1(≤ 例3（讲义例2）设随机变量X 的分布函数为 ?? ? ??<≤<≤=x x x x x F 1,110,0, 0)(2 求 (1) 概率}7.03.0{< 常用连续型分布 均匀分布 例4 （讲义例3）某公共汽车站从上午7时起, 每15分钟来一班车, 即7:00, 7:15, 7:30, 7:45等时刻有汽车到达此站, 如果乘客到达此站时间X 是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率. 指数分布 例5（讲义例4）某元件的寿命X 服从指数分布, 已知其平均寿命为1000小时，求3个这样的元件使用1000小时, 至少已有一个损坏的概率. 正态分布 例6（讲义例5）设)4,1(~N X , 求 .}2|1{|},6.10{),5(≤-≤ 例8（讲义例6）将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器整定在d ℃，液体的温度X （以℃计）是一个随机变量，且 )5.0,(~2d N X (1) 若 09=d ℃，求X 小于89℃ 的概率； (2) 若要求保持液体的温度至少为80℃的概率不低于0.99，问d 至少为多少？ 例9（讲义例7）某企业准备通过招聘考试招收300名职工,其中正式工280人, 临时工20人; 报考的人数是1657人, 考试满分是400分. 考试后得知, 考试总平均成绩, 即166=μ分, 360分以上的高分考生31人. 某考生B 得256分, 问他能否被录取? 能否被聘为正式工? 例10（讲义例8）在电源电压不超过200伏，在200~240伏和超过240伏三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2. 假设电源电压X 服从正态分布N (220，252 )，试求： (1) 该电子元件损坏的概率α; (2) 该电子元件损坏时，电源电压在200~240伏的概率β. 课堂练习 1.已知)5.0,8(~2N X ，求 (1) );7(),9(F F (2) }105.7{≤≤X P ; (3) };1|8{|≤-X P (4) }.5.0|9{|<-X P 2.某种型号电池的寿命X 近似服从正态分布),(2σμN , 已知其寿命在250小时以上的概率和寿命不超过350小时的概率均为92.36%, 为使其寿命在x -μ和x +μ之间的概率不小于0.9, x 至少为多少? 第五节 随机变量函数的分布 讲解注意： 一、 随机变量的函数 定义 如果存在一个函数)(X g , 使得随机变量Y X ,满足: )(X g Y =, 则称随机变量Y 是随机变量X 的函数. 注: 在微积分中,我们讨论变量间的函数关系时, 主要研究函数关系的确定性特征, 例如:导数、积分等.而在概率论中, 我们主要研究是随机变量函数的随机性特征, 即由自变量X 的统计规律性出发研究因变量Y 的统计性规律. 一般地, 对任意区间I , 令})(|{I x g x C ∈=, 则 },{})({}{C X I x g I Y ∈=∈=∈ }.{})({}{C X P I x g P I Y P ∈=∈=∈ 注: 随机变量Y 与X 的函数关系确定,为从X 的分布出发导出Y 的分布提供了可能. 二、离散型随机变量函数的分布 设离散型随机变量X 的概率分布为 ,2,1,}{===i p x X P i i 易见, X 的函数)(X g Y =显然还是离散型随机变量. 如何由X 的概率分布出发导出Y 的概率分布? 其一般方法是：先根据自变量X 的可能取值确定因变量Y 的所有可能取值, 然后对Y 的每一个可能取值,,2,1, =i y i 确定相应的},)(|{i j j i y x g x C ==于是 },{})({}{i i i i C X y x g y Y ∈==== .}{}{}{∑∈== ∈==i j C x j i i x X P C X P y Y P 从而求得Y 的概率分布. 三、 连续型随机变量函数的分布 一般地, 连续型随机变量的函数不一定是连续型随机变量, 但我们主要讨论连续型随机变量的函数还是连续型随机变量的情形, 此时我们不仅希望求出随机变量函数的分布函数, 而且还希望求出其概率密度函数. 设已知X 的分布函数)(x F X 或概率密度函数)(x f X , 则随机变量函数)(X g Y =的分布函数可按如下方法求得: }.{})({}{)(y Y C X P y X g P y Y P y F ∈=≤=≤= 其中}.)(|{y x g x C y ≤= 而}{y C X P ∈常常可由X 的分布函数)(x F X 来表达或用其概率密度函数)(x f X 的积分来表达: ? =∈y C X y dx x f C X P )(}{ 进而可通过Y 的分布函数)(x F Y , 求出Y 的密度函数. 定理1 设随机变量X 具有概率密度),(),(+∞-∞∈x x f X ,又设)(x g y =处处可导且恒有0)(>'x g (或恒有0)(<'x g ), 则)(X g Y =是一个连续型随机变量,其概率密度为 ? ??<<'=其它,0|,)(|)([)(βαy y h y h f y f Y 其中)(y h x =是)(x g y =的反函数, 且 )).(),(max()),(),(min(+∞-∞=+∞-∞=g g g g βα 例题选讲： 离散型随机变量函数的分布 例1（讲义例1）设随机变量X 具有以下的分布律, 试求2)1(-=X Y 的分布律. 4 .01.03.02.02 101i p X - 连续型随机变量函数的分布 例2（讲义例2）对一圆片直径进行测量, 其值在[5, 6]上均匀分布, 求圆片面积的概率分布密度. 例3（讲义例3）设? ??<<=其它,04 0,8/)(~x x x f X X , 求82+=X Y 的概率密度. 例4 设)1,0(~N X , 求2X Y =的密度函数. 例5（讲义例4）已知随机变量X 的分布函数)(x F 是严格单调的连续函数, 证明)(X F Y =服从]1,0[上的均匀分布. 例6（讲义例5）的线性函数试证明设随机变量X N X ).,(~2σμb aX Y +=)0(≠a 也服从正态分布. 例7 （讲义例6） 设随机变量X 在)1,0(上服从均匀分布, 求X Y ln 2-=的概率密度. 例8 （讲义例8） (对数正态分布) 随机变量X 称为服从参数为2,σμ的对数正态分布, 如果X Y ln =服从正态分布),(2σμN . 试求对数正态分布的密度函数. 注： 在实际中, 通常用对数正态分布来描述价格的分布, 特别是在金融市场的理论研究中, 如著名的期权定价公式（Black —Scholes 公式）, 以及许多实证研究都用对数正态分布来描述金融资产的价格. 设某种资产当前价格为0P , 考虑单期投资问题, 到期时该资产的价 格为一个随机变量, 记作1P , 设投资于该资产的连续复合收益率为r , 则有 r e P P 01= 从而 010 1 ln ln ln P P P P r -== 注意到0P 为当前价格, 是已知常数,因而假设价格1P 服从对数正态分布实际上等价于假设连续复合收益率r 服从正态分布. 例9（讲义例7）设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 求}2,min{X Y =的分布函数. 课堂练习 1. 设X 的分布列为 10 /310/110/110/15/12 /52101i p X - 试求: (1) 2X 的分布列; (2) 2X 的分布列. 2. 设随机变量X 的概率密度为 ? ??<<=.,0, 0,/2)(2其它ππx x x f 求X Y sin =的概率密度. 概率论与数理统计期末复习资料 一 填空 1．设A ，B 为两个随机事件，若A 发生必然导致B 发生，且P (A )=0.6，则P (AB ) =______． 2．设随机事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.7，P (A -B )=0.3，则P (B ) = ______． 3．己知10件产品中有2件次品，从该产品中任意取3件，则恰好取到一件次品的概率等于______． 4．已知某地区的人群吸烟的概率是0.2，不吸烟的概率是0.8，若吸烟使人患某种疾病的概率为0.008，不吸烟使人患该种疾病的概率是0.001，则该人群患这种疾病的概率等于______． 5．设连续型随机变量X 的概率密度为? ??≤≤=,,0; 10,1)(其他x x f 则当10≤≤x 时，X 的分布函数F (x )= ______． 6．设随机变量X ～N (1，32 )，则P{-2≤ X ≤4}=______．(附：)1(Φ=0.8413) 7．设二维随机变量(X ，Y )的分布律为 则P {X <1,Y 2≤}=______． 8．设随机变量X 的期望E (X )=2，方差D (X )=4，随机变量Y 的期望E (Y )=4，方差D (Y )=9，又E (XY )=10，则X ，Y 的相关系数ρ= ______． 9．设随机变量X 服从二项分布)3 1,3(B ，则E (X 2 )= ______． 10．中心极限定理证明了在很一般条件下，无论随机变量Xi 服从什么分布，当n →∞时，∑=n i i X 1 的极限分布是 _________________ 11．设总体X ～N (1，4)，x 1，x 2，…，x 10为来自该总体的样本，∑== 10 110 1 i i x x ，则)(x D = ______.· 12．设总体X ～N (0，1)，x 1，x 2，…，x 5为来自该总体的样本，则 ∑=5 1 2i i x 服从自由度为______ 的2χ分布． 15．对假设检验问题H 0：μ=μ0，H 1：μ≠μ0，若给定显著水平0.05，则该检验犯第一类错误的概率为______． 16．设A ，B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P （A ）=0.3，P （B ）=0.4，则P （A B ）=__________. 17．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的 概率为_________. 18．设随机变量X 的概率密度?? ???≤≤=,,0; 10 ,A )(2其他x x x f 则常数A=_________. 全国2011年4月自学考试概率论与数理统计（二） 课程代码：02197 选择题和填空题详解 试题来自百度文库 答案由王馨磊导师提供 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设A , B , C , 为随机事件, 则事件“A , B , C 都不发生”可表示为（ A ） A ．C B A B ．C B A C ．C B A D ．C B A 2．设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=5 1, P (B )=5 3, 则P (A ∪B )= ( B ) A ．253 B ．2517 C ．5 4 D ．2523 3．设随机变量X ~B (3, 0.4), 则P {X ≥1}= ( C ) A ．0.352 B ．0.432 C ．0.784 D ．0.936 解：P{X ≥1}=1- P{X=0}=1-(1-0.4)3=0.784,故选C. 4．已知随机变量X 的分布律为 , 则P {-2＜X ≤4}= ( C ) A ．0.2 B ．0.35 C ．0.55 D ．0.8 解：P {-2＜X ≤4}= P {X =-1}+ P {X =2}=0.2+0.35=0.55，故选C. 5．设随机变量X 的概率密度为4 )3(2 e 2 π21)(+-= x x f , 则E (X ), D (X )分别为 ( ) A ．2,3- B ．-3, 2 C ．2,3 D ．3, 2 与已知比较可知：E(X)=-3，D(X)=2，故选B. 6．设二维随机变量 (X , Y )的概率密度为? ??≤≤≤≤=,,0, 20,20,),(其他y x c y x f 则常数 c = ( A ) A ．4 1 B ．2 1 C ．2 D ．4 解：设D 为平面上的有界区域，其面积为S 且S>0，如果二维随机变量 （X ，Y ）的概率密度为 则称 （X ，Y ）服从区域D 上的均匀分布， 《概率论与数理统计》课程教案 第一章随机事件及概率 一．本章的教学目标及基本要求 (1) 理解随机试验、样本空间、随机事件的概念; (2) 掌握随机事件之间的关系与运算,； (3) 掌握概率的基本性质以及简单的古典概率计算; 学会几何概率的计算； (4) 理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性以及概率的统计定义。了解概率的公理化定义。 (5) 理解条件概率、全概率公式、Bayes 公式及其意义。理解事件的独立性。 1）随机事件及随机事件之间的关系； 2）古典概型及概率计算； 3）概率的性质； 4）条件概率，全概率公式和Bayes公式 5）独立性、n 重伯努利试验和伯努利定理 四．教学过程中应注意的问题 1）使学生能正确地描述随机试验的样本空间和各种随机事件； 2）注意让学生理解事件的互斥关系； 3）让学生掌握事件之间的运算法则和德莫根定律； 4）古典概率计算中，为了计算样本点总数和事件的有利场合数，经常要用到排列和组合，复习排列、组合原理； 5）讲清楚抽样的两种方式——有放回和无放回； 五．思考题和习题 思考题： 1. 集合的并运算 和差运算－是否存在消去律？ 2. 怎样理解互斥事件和逆事件？ 3. 古典概率的计算与几何概率的计算有哪些不同点？哪些相同点？习题： 第二章随机变量及其分布 一．本章的教学目标及基本要求 (1) 理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质, 理解离散型和连续型随机变量的概率分布及其性质，会运用概率分布计算各种随机事件的概率； (2) 熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的分布律或密度函数及性质； 二．本章的教学内容及学时分配 学时 三．本章教学内容的重点和难点 a) 随机变量的定义、分布函数及性质； b) 离散型、连续型随机变量及其分布律或密度函数，如何用分布律或密度函数求任何事件的概率； c) 六个常见分布(二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布)。四．教学过程中应注意的问题 a) 注意分布函数的特殊值及左连续性概念的理解； b) 构成离散随机变量X的分布律的条件，它与分布函数之间的关系； c) 构成连续随机变量X的密度函数的条件，它与分布函数之间的关系； d) 连续型随机变量的分布函数关于x处处连续，且单点处概率为0，其中x为任意实数； e) 注意正态分布的标准化以及计算查表问题； 五．思考题和习题 思考题：1.会判别给定函数是否是某个随机变量的分布函数？ 2. 分布函数两种定义主要的区别是什么？ 3. 均匀分布与几何概率有何联系？ 4. 讨论指数分布与泊松分布之间的关系。 5．列举正态分布的应用。 第三章二维随机变量及其分布 一．教学目标及基本要求 (1) 了解二维随机变量概念及其联合分布函数概念和性质，了解二维离散型和连续 型随机变量定义及其概率分布和性质，了解二维均匀分布和正态分布。 (2) 会用联合概率分布计算有关事件的概率，会求边缘分布。 (3) 掌握随机变量独立性的概念，掌握运用随机变量的独立性进行概率计算。 (4) 会求两个独立随机变量的简单函数(如函数X+Y, max(X, Y), min(X, Y))的分布。 三．本章教学内容的重点和难点 概率论与数理统计（B ） 一．选择题 1. 设事件A 和B 的概率为 12 (),()23 P A P B == 则()P AB 可能为（） (A) 0; (B) 1; (C) 0.6; (D) 1/6 2. 从1到5中等可能地、有放回地接连抽取两个数字,则这两个数字不相同的概率为（） (A) 12; (B) 225; (C) 4 25 ; (D)以上都不对 3．投掷两个均匀的骰子，已知点数之和是偶数，则点数之和为6的概率为（ ） (A) 518 ; (B) 13; (C) 12 ; (D) 536 4. 设随机变量 X 满足：E(2x )=8，D(X)=4，EX>0，则 EX=（ ） (A) 1 ; (B) 2 ; (C) 3 ; (D) 4; 5．一口袋中有3个红球和2个白球，某人从该口袋中随机摸出一球，摸得红球 得5分，摸得白球得2分，则他所得分数的数学期望为（ ） (A) 2.5; (B) 3.5; (C) 3.8; (D)4; 6. 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= 20x x A ≤≤???（ 0）其他，则A=（ ） (A) 1/4; (B) 1/2; (C) 1; (D) 2; 二．填空题 7.设 X~N(μ,2 σ) ，且概率密度2 (2)6f ()x x --=，则μ=_______，σ=________ 8.若事件 A 与B 相互独立，且 P(A)=0.4，P(A ∪B)=0.6， 则 P(B)_______，P(AB)=________ 9.设随机变量~(,), ()3, () 1.2B n p E D ξξξ==，则n=________ 10.若随机变量 X 服从泊松分布，且 P{X=1}=P{X=2}，则 P{X=3}=_________ 11.二维随机变量(X,Y)的联合分布律为：P{X=i x ,Y=j y }=1/12,(i=1,2,3,4; j=1,2,3)，则 P{X=1x }=_________ 12.设随机变量 X 服从(1,3)上的均匀分布，则，13 ()22 P x ≤≤=___________ 三.计算题 1.某射手有 3 发子弹，射一次命中的概率为 2/3，如果命中了就停止射击，则一直独立地射到 子弹用尽，求（1）耗用子弹 X 的分布列；（2）EX 。 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 （1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ 例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜 色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序） 例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件 例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ 例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？ 商学院课程考核试卷参考答案与评分标准 （B ）卷 课程名称： 概率论与数理统计 学 分： 4 考核班级： 本部各本科专业 考核学期： 一、填空（每小题3分，共30分） 1.0.2； 2. 0.4（2/5）； 3. 9 16； 4.（0.5，2）； 5.2； 6. 13； 7. 7； 8. 16 ； 9. 45； 10.32 。 二、单项选择（每小题3分，共15分） 1. C .； 2. A .； 3. B .； 4. A .； 5. D .。 三、计算题（第1题10分，其余5小题每题9分，共55分） 1. 设A A ,分别表示生产情况正常和不正常，B 表示产品为次品。那么 8.0)(=A P ，2.0)(=A P ；03.0)|(=A B P ，2.0)|(=A B P 2分 （1）由全概率公式 064.02.02.003.08.0)|()()|()()(=?+?=+=A B P A P A B P A P B P ； 6分 （2）由Bayes 公式 375.0064 .003 .08.0)()|)(()|(=?== B P A B A P B A P 10分 2.（1）由于1)(,0)0(=+∞=F F ，可得1,1-==B A ?? ?≤>-=-0 1)(2x x e x F x 3分 （2）21)1()1(}11{--=--=<<-e F F X P 6分 （3）?? ?≤>='=-0 2)()(2x x e x F x f x 9分 3. （1）14),(== ? ? +∞∞-+∞ ∞ -c dxdy y x f ，所以，4=c 3分 （2）3 24)(1 1 2==??ydy dx x X E ；3 24)(1 21 ==??dy y xdx Y E 9 44)(1 021 2= =? ? dy y dx x XY E 6分 （3）0)()()(),(=-=Y E X E XY E Y X Cov 9分 4.先求他等车超过10分钟的概率}10{1}10{≤-=>X P X P 25110 051 1--=- =? e dx e x 3分 所以Y 服从5=n ，2-=e p 的二项分布,),5(~2-e B Y 6分 52)1(1}0{1}1{---==-=≥e Y P Y P 9分 第1章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 称满足以下三个条件的试验为随机试验： （1）在相同条件下可以重复进行； （2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果； （3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点 样本空间 随机事件 随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。 样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。 随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本 空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。 样本空间的子集称为随机事件，简称事件。 在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算 （1）包含关系 B A ?，即事件A 发生，导致事件B 发生； （2）相等关系 B A =，即B A ?且A B ?； （3）和事件（也叫并事件） B A C ?=，即事件A 与事件B 至少有一个发生； （4）积事件（也叫交事件） B A AB C ?==，即事件A 与事件B 同时发生； （5）差事件 AB A B A C -=-=，即事件A 发生，同时，事件B 不发生； （6）互斥事件（也叫互不相容事件） A 、 B 满足φ=AB ，即事件A 与事件B 不同时发生； （7）对立事件（也叫逆事件） A A -Ω=，即φ=Ω=?A A A A ,。 1.4 事件的运算律 （1）交换律 BA AB A B B A =?=?,； （2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =??=??,； （3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ??=??=?,； （4）幂等律 A AA A A A ==?, ； （5）差化积 B A AB A B A =-=-； （6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ?==?=?=?,。 1.5 概率的公理化定义 设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足： （1）1)(0≤≤A P ； （2）1)(=ΩP ； （3）若事件 ，，， ，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=????)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。 1.6 概率的性质 （1）0)(=φP ； （2）若事件n A A A ，， ， 21两两不互相容，则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=??? ； （3）)(1)(A P A P -=； （4）)()()(AB P B P A B P -=-。 特别地，若B A ?，则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-； （5）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?。 定义若X的分布律为P（X=x i）=p i，i=1，2… 当级数绝对收敛时（即收敛） 就说是离散型随机变量X的说明：（1）若X取值为有限个x1，x2，…，x n 则 （2）若X取值为可列无限多个x1，x2，…，x n… 则 这时才要求无穷级数绝对收敛。 很明显，X的期望EX体现随机变量X取值的平均概念， 所以EX也叫X的均值。 4.1.2 下面介绍几种重要离散型随机变量的数学期望。 1.两点分布 随机变量X的分布律为 分布EX X～（0,1） X～B（n,p） X～P（λ） p np 4.1.3下面介绍离散型随机变量函数的数学期望。 定理4-1 设离散型随机变量X的分布律为 P{X=x k}=p k，k=1，2，…。 令Y=g（X），若级数绝对收敛，则随机变量Y的特别情形 4.1.4 连续型随机变量的期望 对于连续型随机变量的期望，形式上可类似于离散型随机 变量的期望给予定义，只需将和式中的x i改变x,p i改变 为f（x）dx（其中f（x）为连续型随机变量的概率密度函数） 以及和号“Σ”演变为积分号“∫”即可。 定义4-2 设连续型随机变量X的概率密度为f（x），若广义 积分绝对 收敛，则称该积分为随机变量X的数学期望（简称期望或均值），记为EX，即 1.均匀分布 设随机变量X在[a,b]上服从均匀分布，其概率密度为 则 在区间[a,b]上服从均匀分布的随机变量的期望是该区间中点。 2.指数分布 设随机变量X服从参数为λ>0的指数分布，其概率密度为 解：在微积分中有 即指数分布的数学期望为参数λ的倒数。 3.正态分布 设其概率密度为 则X的期望 E（X）=μ。（不证） 上面三种情况列表如下（可以作为公式使用） 分布EX X～U（a,b） X～E（λ） X～N（μ，σ2）μ 一、选 择 题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) (1)设A 、B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有( ) (A)0)(>A B P (B))()(A P B A P = (C)0)(=B A P (D))()()(B P A P AB P = (2)将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ ） 3311() () () ()32 8 168 A B C D (3)),4,(~2 μN X ),5,(~2 μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则( ) (A)对任意实数21,p p =μ （B ）对任意实数21,p p <μ (C)只对μ的个别值，才有21p p = （D ）对任意实数μ，都有21p p > (4)设随机变量X 的密度函数为)(x f ，且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数，则对任意 实数a 成立的是( ) （A ）? - =-a dx x f a F 0 )(1)( （B ）?-= -a dx x f a F 0 )(21)( （C ）)()(a F a F =- （D ）1)(2)(-=-a F a F (5)已知1250,,,X X X L 为来自总体()2,4X N :的样本，记50 11,50i i X X ==∑ 则 50 21 1()4i i X X =-∑服从分布为( ) （A ）4(2, )50N (B) 2 (,4)50 N （C ）()250χ (D) ()249χ 二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分) (1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=?B A P ,则___________)(=B A P (2) 设随机变量X 有密度? ??<<=其它01 0,4)(3x x x f , 则使)()(a X P a X P <=> 的常数a = (3) 设随机变量),2(~2 σN X ，若3.0}40{=< 概率论与数理统计复习 第一章 概率论的基本概念 一.基本概念 随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A ?B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. 2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德?摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n , P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ?B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n ()()() () +∑ + ∑ - ∑=≤<<≤≤<≤=n k j i k j i n j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 111 21 …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n ) 四.等可能(古典)概型 1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率 1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0). 2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)= ()()i n i i B A P B P ∑=1 概率论与数理统计课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：概率论与数理统计 所属专业：物理学 课程性质：必修 学分：3 （二）课程简介、目标与任务； 《概率论与数理统计》是研究随机现象规律性的一门学科；它有着深刻的实际背景，在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有广泛的应用。通过本课程的学习，使学生掌握概率与数理统计的基本概念，并在一定程度上掌握概率论认识问题、解决问题的方法。同时这门课程的学习对培养学生的逻辑思维能力、分析解决问题能力也会起到一定的作用。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 先修课程：高等数学。后续相关课程：统计物理。《概率论与数理统计》需要用到高等数学中的微积分、级数、极限等数学知识与计算方法。它又为统计物理、量子力学等课程提供了数学基础，起了重要作用。 （四）教材与主要参考书。 教材： 同济大学数学系编，工程数学–概率统计简明教程（第二版），高等教 育出版社，2012. 主要参考书： 1.浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编，概率论与数理统计（第四版）， 高等教育出版社，2008. 2.J.L. Devore, Probability and Statistics(fifth ed.)概率论与数 理统计（第5版）影印版，高等教育出版社，2004. 二、课程内容与安排 第一章随机事件 1.1 样本空间和随机事件； 1.2 事件关系和运算。 第二章事件的概率 2.1概率的概念；2.2 古典概型；2.3几何概型；2.4 概率的公理化定义。第三章条件概率与事件的独立性 3.1 条件概率； 3.2 全概率公式； 3.3贝叶斯公式；3.4 事件的独立性； 3.5 伯努利试验和二项概率。 第四章随机变量及其分布 4.1 随机变量及分布函数；4.2离散型随机变量；4.3连续型随机变量。 第五章二维随机变量及其分布 5.1 二维随机变量及分布函数；5.2 二维离散型随机变量；5.3 二维连续随机变量；5.4 边缘分布； 5.5随机变量的独立性。 第六章随机变量的函数及其分布 6.1 一维随机变量的函数及其分布；6.2 多元随机变量的函数的分布。 第七章随机变量的数字特征 7.1数学期望与中位数； 7.2 方差和标准差； 7.3协方差和相关系数； *7.4大数律； 7.5中心极限定理。 第八章统计量和抽样分布 8.1统计与统计学；8.2统计量；8.3抽样分布。 第九章点估计 概率论与数理统计B 复习题 一、填空： 1、设A 、B 、C 是三个随机事件。试用A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生。 2）A 、B 、C 中恰有一个发生。 3）A 、B 、C 中最多有一个发生。 2、已知8.0)(,6.0)(,5.0)(===B A P B P A P ，则=)(B A P 。 3、若事件A 和事件B 相互独立,α=)(A P ，3.0)(=B P ，7.0)(=?B A P ，则α=。 4、设随机变量X ~),4(~),,2(p b Y p b ，若,1)(=X E 则=)(Y E 。 5、设随机变量).1,3(~),1,2(~N Y N X -且X 与Y 独立，若Y X Z 32-=则 ~Z （Z 服从何种分布）。 6、设,5.0,9)(,4)(===XY Y D X D ρ则D (3X －2Y ）= 。 7、设随机变量序列 ,2,1,)(,,,21==k X E X X X k n μ布，且相互独立并服从同一分， 则=? ?? ?? ?<∑-=∞ →εμn k k n X n P 11lim 。 8、设总体),(~2σμN X ，则样本容量为n 的样本均值X ~。 9、设估计量∧ θ是未知参数θ的无偏估计量，则=∧ )(θE 。 10、设总体),(~2σμN X ，现从总体X 中抽取一个容量为16的样本，算得2,10==s x 。若，2=σ 则μ的置信水平为0.95的置信区间是；若σ未知，则μ的置信水平为0.95的 单侧置信下限是，σ的置信水平为0.95的置信区间是。 二、10把钥匙中有3把能打开门，今任取两把，求:1、不能打开门的概率2、恰有一把能打开门的概率 三、仓库中有十箱同样规格的产品，已知其中有五箱、三箱、二箱依次为甲、乙、丙厂生产的，且甲厂， 乙厂、丙厂生产的这种产品的次品率依次为1/10,1/15,1/20.从这十箱产品中任取一件产品。 1、求取得次品的概率。 2、如果已知取到的是一件次品，求它是乙厂生产的概率。 《概率论与数理统计》 试卷A （考试时间：90分钟； 考试形式：闭卷） （注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。答案填写在试卷和草稿纸上无效） 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1、A ，B 为二事件，则A B = U () A 、A B B 、A B C 、A B D 、A B U 2、设A ，B ，C 表示三个事件，则A B C 表示( ) A 、A ， B ， C 中有一个发生 B 、A ，B ，C 中恰有两个发生 C 、A ，B ，C 中不多于一个发生 D 、A ，B ，C 都不发生 3、A 、B 为两事件，若()0.8P A B =U ，()0.2P A =，()0.4P B =， 则( )成立 A 、()0.32P A B = B 、()0.2P A B = C 、()0.4P B A -= D 、()0.48P B A = 4、设A ，B 为任二事件，则( ) A 、()()()P A B P A P B -=- B 、()()()P A B P A P B =+U C 、()()()P AB P A P B = D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是() A 、A 与 B 独立 B 、A 与B 独立 C 、()()()P AB P A P B = D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为 其分布函数为()F x ，则(3)F =() A 、0 B 、0.3 C 、0.8 D 、1 7、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1] ()0, cx x f x ?∈=??其它 ，则常数c = () A 、 15 B 、1 4 C 、4 D 、5 《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表英文中文 Probability theory 概率论 mathematical statistics 数理统计 deterministic phenomenon 确定性现象 random phenomenon 随机现象 sample space 样本空间 random occurrence 随机事件 fundamental event 基本事件 certain event 必然事件 impossible event 不可能事件 random test 随机试验 incompatible events 互不相容事件 frequency 频率 classical probabilistic model 古典概型 geometric probability 几何概率 conditional probability 条件概率 multiplication theorem 乘法定理 Bayes's formula 贝叶斯公式 Prior probability 先验概率 Posterior probability 后验概率 Independent events 相互独立事件 Bernoulli trials 贝努利试验 random variable 随机变量 probability distribution 概率分布 distribution function 分布函数 discrete random variable 离散随机变量distribution law 分布律hypergeometric distribution 超几何分布 random sampling model 随机抽样模型binomial distribution 二项分布 Poisson distribution 泊松分布 geometric distribution 几何分布 probability density 概率密度 continuous random variable 连续随机变量uniformly distribution 均匀分布exponential distribution 指数分布 numerical character 数字特征mathematical expectation 数学期望 variance 方差 moment 矩 central moment 中心矩 n-dimensional random variable n-维随机变量 two-dimensional random variable 二维离散随机变量joint probability distribution 联合概率分布 joint distribution law 联合分布律 joint distribution function 联合分布函数boundary distribution law 边缘分布律 《概率论与数理统计》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程编号：450006 课程名称：概率论与数理统计 课程类别：公共基础课（必修） 学时学分：理论48学时/3学分 适用专业：计算机、自动化、经管各专业 开课学期：第一学期 先修课程：高等数学 后续课程： 执笔人： 审核人： 制（修）订时间：2015.9 二、课程性质与任务 概率论与数理统计是研究随机现象客观规律性的数学学科，是高等学校理、工、管理类本科各专业的一门重要的基础理论课。通过本课程的教学，应使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机事件的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。 三、课程教学基本要求 本课程以课堂讲授为主，致力于讲清楚基本的概率统计思想，使学生掌握基本的概率、统计计算方法。注意培养基本运算能力、分析问题和解决实际问题的能力。讲授中运用实例来说明本课程应用的广泛性和重要性。每节课布置适量的习题以巩固所学知识，使学生能够运用概率统计思想和方法解决一些实际问题。 四、课程教学内容及各教学环节要求 （一）概率论的基本概念 1、教学目的 理解随机现象、样本空间、随机事件、概率等概念，掌握事件的关系与运算，掌握古典概犁及其计算、条件概率的计算、全概率公式和贝叶斯公式的应用。 2、教学重点与难点 （1）教学重点 ① 概率、条件概率与独立性的概念； ② 加法公式；乘法公式；全概率公式；贝叶斯公式。 （2）教学难点 ① 古典概型的有关计算；② 全概率公式的应用； ③ 贝叶斯公式的应用。 3、教学方法 采用传统教学方式，以课堂讲授为主，课堂讨论、多媒体演示、课下辅导等为辅的教学方法。加强互动教学，学生对课程的某一学术问题通过检索资料、实际调查来提高自学能力和实践应用能力。 4、教学要求 （1）理解随机试验、样本空间、随机事件等基本概念；熟练掌握事件的关系及运算 （2）理解频率和概率定义；熟练掌握概率的基本性质 （3）理解等可能概型的定义性质；,会计算等可能概型的概率 （4）理解条件概率的定义；熟练掌握加法公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式（5）理解事件独立性概念,掌握应用独立性进行概率计算 （二）随机变量及其分布 1、教学目的 了解随机变量的概念；理解离散型随机变量的分布律和连续型随机变量的概率密度的概念及性质，会利用性质确定分布律和概率密度；理解分布函数的概念及性质，会利用此概念和性质确定分布函数，会利用概率分布计算有关事件的概率；掌握正态分布、均匀分布、指数分布、0-1分布、二项分布、泊松分布，会求简单的随机变量函数的分布 2、教学重点与难点 （1）教学重点 ① 随机变量及其概率分布的概念； ② 离散型随机变量分布律的求法； 概率论与数理统计基本知识点 一、概率的基本概念 1．概率的定义: 在事件上的一个集合函数P ，如果它满足如下三个条件： （1）非负性 A A P ?≥,0)( （2）正规性 1)(=ΩP （3）可列可加性 若事件,...,2,1,=n A n 两两互斥 则称P 为概率。 2．几何概型的定义: 若随机试验的样本空间对应一个度量有限的几何区域S ，每一基本事件与S 内的点一一对应，则任一随机事件A 对应S 中的某一子区域D 。（若事件A 的概率只与A 对应的区域D 的度量成正比，而与D 的形状及D 在S 中的位置无关。）==（每点等可能性）则称为几何概型。 的度量 对应区域的度量 对应区域S D )()()(Ω=Ω= A m A m A P 3．条件概率与乘法公式： 设A,B 是试验E 的两个随机事件，且0)(>B P ,则称) () ()|(B P AB P B A P = 为事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率。（其中)(AB P 是AB 同时发生的概率） 乘法公式：)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P == 4．全概率公式与贝叶斯公式： （全概率公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则有∑== n i i i A B P A P B P 1 )|()()(。 （贝叶斯公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则∑== =?n k k k i i A B P A P A B P A P B A P n i 1 ) |()() |()()|(,,...,2,1。 5．事件的独立性： 两事件的独立性：（定义）设A 、B 是任意二事件，若P(AB)= P(A)P(B)，则称事件A 、B 是相互独立的。（直观解释）A 、B 为试验E 的二事件，若A 、 B 的发生互不影响。 二、随机变量和分布函数: 《概率论与数理统计》课程标准 一、课程概述 （一）课程定位 《概率论与数理统计》(Probability Theory and Mathematical Statistics)，由概率论和数理统计两部分组成。它是研究随机现象并找出其统计规律的一门学科，是广泛应用于社会、经济、科学等各个领域的定量和定性分析的科学体系。从学科性质讲，它是一门基础性学科，它为建筑专业学生后继专业课程的学习提供方法论的指导。 （二）先修后续课程 《概率论与数理统计》的先修课程为《高等数学》、《线性代数》等，这些课程为本课程的学习奠定了理论基础。 《概率论与数理统计》的后续课程为《混凝土结构设计》、《地基与基础》等课程。通过该课程的学习可为这些课程中的模型建立等内容的知识学习奠定良好的基础,在教学中起到了承上启下的作用。 二.课程设计思路 本课程的基本设计思路是极力用较为通俗的语言阐释概率论的基本理论和数理统计思想方法;理论和方法相结合，以强调数理统计理论的应用价值。总之,强调理论与实际应用相结合的特点,力求在实际应用方面做些有益的探索，也为其它学科的 进一步学习打下一个良好的基础。 三、课程目标 《概率论与数理统计》是一门几乎遍及所有的科学技术领域以及工农业生产和国民经济各部门之中。通过学习该课程使学生掌握概率、统计的基本概念，熟悉数据处理、数据分析、数据推断的各种基本方法，并能用所掌握的方法具体解决工程实践中所遇到的各种问题。 （一）能力目标 力求在简洁的基础上使学生能从整体上了解和掌握该课程的内容体系，使学生能够在实际工作中、其它学科的学习中能灵活、自如地应用这些理论。 （二）知识目标 1.理解掌握概率论中的相关概念和公式定理； 2.学会应用概率论的知识解决一些基本的概率计算； 3.理解数理统计的基本思想和解决实际问题的方法。 （三）素质目标 1.培养学生乐于观察、分析、不断创新的精神； 2.培养具有较好的逻辑思维、较强的计划、组织和协调能力； 3.培养具有认真、细致严谨的职业能力。 四、课程内容 根据能力培养目标的要求，本课程的主要内容是随机事件、随机变量、随机向量、数字特征、极限定理。具体内容和学时分配见表4-1。 表4-1 课程内容和学时分配概率论与数理统计期末复习资料(学生)
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