概率论与数理统计》课程教案（按章编写）
刘琼荪
第一章 随机事件及其概率电子书
一．本章的教学目标及基本要求
(1) 理解随机试验、样本空间、随机事件的概念;
(2) 掌握随机事件之间的关系与运算,；
(3) 掌握概率的基本性质以及简单的古典概率计算; 学会几何概率的计算；
(4) 理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性以及概率的统计定义。了解概率的公理化定义。
二．本章的教学内容及学时分配
第一节 随机事件及事件之间的关系 2学时
第二节 事件的概率
1．古典概率及几何概率 2学时
2．概率的性质、概率的统计定义和公理化定义
综合案例 2学时
三．本章教学内容的重点和难点
1） 随机事件及随机事件之间的关系；
2） 古典概型及概率计算；
3）概率的性质；
四．本章教学内容的深化和拓宽
归纳一类的古典概型的概率计算问题，例如计算“30位同学的生日都不在同一天”的概率，归结于“30个球随机放入365个盒中，盒子的装球数不超过1”的概率计算问题。
五．教学过程中应注意的问题
1） 使学生能正确地描述随机试验的样本空间和各种随机事件；
2） 注意让学生理解事件,,,,,A B A B A B A B AB A ???-=Φ…的具体含义，理解
事件的互斥关系；
3） 让学生掌握事件之间的运算法则和德莫根定律；
4） 古典概率计算中，为了计算样本点总数和事件的有利场合数，经常要用到排列和组
合，复习排列、组合原理；
5） 讲清楚抽样的两种方式——有放回和无放回；
六．思考题和习题
思考题：1. 集合的并运算 和差运算－是否存在消去律？
2. 怎样理解互斥事件和逆事件？
3. 古典概率的计算与几何概率的计算有哪些不同点？哪些相同点？
习题：P20-21, 第1、2、3、8、9、11、14、17、25、19、20、26、27、28题
第二章 条件概率与事件的独立性
一．本章的教学目标及基本要求
(1) 理解条件概率和事件的独立性的概念;
(2) 掌握条件概率公式、加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式以及运用
这些公式进行各种概率计算；
（3）理解重复独立试验的概念和二项概率公式的问题背景，会使用事件的独立性和
二项概率公式进行各种概率计算。
二．本章的教学内容及学时分配
第一节 条件概率
条件概率定义、乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式 2学时
第二节 事件的独立性
两个事件的独立性、多个事件的独立性、独立重复试验、二项概率公式
2学时
第三节 例子与应用（包括第一、二章习题评讲） 2学时
三．本章的教学内容的重点和难点
a) 各种概率公式的理解与运用；
b) 事件之间的独立性；
四．本章教学内容的深化和拓宽
两个事件之间的加法公式和乘法公式推广到任意n 个事件时间的加法公式和乘法公式，并且注意条件的放宽。
五．教学过程中应注意的问题
a) 使学生理解条件概率，注意区分()P A 与(|)P A B ，(|)P A B 与()P AB ；
b) 应用全概率公式解决实际问题的关键是从已知条件中找到有限个事件构成样本空
间的一个分割，体现“各个击破”，“分而食之”的解题策略。
c) 事件之间的互斥与事件之间的独立性是两个不同的概念，不要混淆；
d) 注意抽样方式与独立性的关系，n 个事件之间的两两独立不能推出它们相互独立；
六．思考题和习题
思考题：1. 体育比赛中抽签决定先后次序的机会是均等的吗？试用乘法公式给予解释。
2. 试用贝叶斯公式解释医生看病诊断出错的概率。
3. 条件概率公式的性质有哪些？加法公式成立吗？
4．举例说明二项公式的应用。
习题：P36-39, 第4、5、7、9、10、11、12、14、17、18、19题
第三章 一维随机变量及其分布
一．本章的教学目标及基本要求
(1) 理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质, 理解离散型和连续 型随机变量的概率分布及其性质，会运用概率分布计算各种随机事件的概率；
(2) 熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的分布律或密度函数及性质；
(3) 掌握求简单随机变量函数的概率分布。
二．本章的教学内容及学时分配
第一节 随机变量及分布函数 2学时
第二节 离散型随机变量及其分布
离散随机变量及分布律、分布律的特征、常见分布（0-1分布、二项分布、泊
松分布和几何分布） 2学时
第三节 连续型随机变量及其分布
连续随机变量及密度函数、密度函数的性质、常见分布（均匀分布、指数分布、
正态分布）及概率计算 2学时
第四节 随机变量的函数的分布
已知X 的分布率p i 或密度函数()X x ?，例如求
2,,||Y aX b Y X Y X =+==的分布率或密度函数()Y x ?。函数()Y f X =分单值和非单值。 2学时
三．本章教学内容的重点和难点
a) 随机变量的定义、分布函数及性质；
b) 离散型、连续型随机变量及其分布律或密度函数，如何用分布律或密度函数求任何
事件的概率；
c) 六个常见分布(二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布)；
四．本章教学内容的深化和拓宽
a) 离散型分布和连续型分布是两种重要的分布，但并不是所有的分布都是这两种分
布；可能存在混合性随机变量。
b) 归纳当随机变量X 的连续型时，随机变量函数()Y f X =的密度函数的一般公式：
11()|(())'|(())Y X y f y f y ??--=；
五．教学过程中应注意的问题
a) 注意分布函数(){}F x P X x =<的特殊值及左连续性概念的理解；
b) 构成离散随机变量X 的分布律的条件，它与分布函数()F x 之间的关系； c) 构成连续随机变量X 的密度函数的条件，它与分布函数()F x 之间的关系；
d) 连续型随机变量的分布函数()F x 关于x 处处连续，且()0P X x ==，其中x 为任
意实数，同时说明了()0P A =不能推导A =Φ。
e) 注意正态分布的标准化以及计算查表问题；
六．思考题和习题
思考题：1. 函数
,0()1,0x x e x F x e x -?
什么？
3. 均匀分布与几何概率有何联系？
4. 讨论指数分布与泊松分布之间的关系。
5．列举正态分布的应用。
习题：P61-63, 第1、2、5、6、8、9、10、12、15、16、17、18、19、21、22、23、24、26、28、29、31、32、33题
第四章 二维随机变量及其分布
一．教学目标及基本要求
(1) 了解二维随机变量概念及其联合分布函数概念和性质，了解二维离散型和连续
型随机变量定义及其概率分布和性质，了解二维均匀分布和正态分布。
(2) 会用联合概率分布计算有关事件的概率，会求边缘分布。
(3) 掌握随机变量独立性的概念，掌握运用随机变量的独立性进行概率计算。
(4) 会求两个独立随机变量的简单函数(如函数X+Y , max(X, Y), min(X, Y))的分布。
二．教学内容及学时分配
第一节 二维随机变量的分布函数
离散型随机变量及其分布律、连续型随机变量及其密度函数、它们的性质、
二维均匀分布和正态分布的特征 2学时
第二节 边缘分布与条件分布
边缘分布律、边缘密度函数、条件分布 2学时
第三节 随机变量的独立性 2学时
第四节 二维随机变量的函数的分布
已知(X,Y)的分布率p ij 或密度函数(,)x y ?，求(,)Z f X Y =的分布律或密度
函数()Z z ?。特别如函数形式：,max(,),min(,)Z X Y Z X Y Z X Y =±==。
2学时
三．本章教学内容的重点和难点
a) 二维随机变量的分布函数及性质，与一维情形比较有哪些不同之处；
b) 边缘密度函数的计算公式：()(,)X x x y dy
??+∞
-∞=?的运用，特别是积分限的确定和
变量x 的取值范围的讨论；
c) 随机变量独立性的判定条件以及应用独立性简化计算，如由边缘分布律或密度函数
可以确定联合分布律或联合密度函数；
d) 推导Z X Y =+的密度函数的卷积公式：
()(,)X Y t x t x dx ??+∞
+-∞=-?，正确使用卷
积公式； e) 在X ，Y 独立性的条件下，推导max(,),min(,)Z X Y Z X Y ==的密度函数，注
意它们在可靠性方面的应用。
四．本章教学内容的深化和拓宽
a) 将二维随机变量的分布(,)F x y 推广到n 维随机变量的分布12(,,...,)n F x x x ，并且
将二维密度函数在独立性的条件下满足的性质：
(,)()()X Y x y x y ???=推广到如下公式：121(,,...,)()
i n n X i i x x x x ??==∏；
b) 卷积公式的推广：()(,
)aX bY t ax t x dx b ??+∞
+-∞-=?
c) 将确定max(,),min(,)Z X Y Z X Y ==的密度函数的方法拓宽到确定
121max(,,...,),min(,,)n n Z X X X Z X X == 的密度函数的方法。
d) 将二项分布、泊松分布和正态分布的两个变量的线性可加性拓展到n 个变量的线性
可加性。例如，设1,,n X X 独立同分布于正态分布
2(,)N a σ，则
21~(,)n i i X
N na n σ=∑。
五．教学过程中应注意的问题
a) 注意联合分布函数能决定任意随机变量X 或Y 的分布（边缘分布），反之则不能确
定(X ，Y)的联合分布，由正态分布可以说明；
b) 在判断两个随机变量是否独立过程中，如果存在某点00(,)x y ，使得：
0000(,)()()P X x Y y P X x P Y y ==≠==或0000(,)()()X Y x y x y ???≠，则称变量X 与Y 不独立；
c) 一般计算概率使用如下公式：
(,)((,))
(,)x y G P X Y G x y d x d y ?∈∈=??，注意二重积分运算知识点的复习。 d) 二维均匀分布的密度函数的具体表达形式。
六．思考题和习题
思考题：1. 由随机变量,X Y 的边缘分布能否决定它们的联合分布？
2. 条件分布是否可以由条件概率公式推导？
3. 事件的独立性与随机变量的独立性是否一致？
4．如何利用随机变量之间的独立性去简化概率计算，试举例说明。
习题：P94-96, 第2、3、4、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、17、19、20题
第五章 随机变量的数字特征
一．教学目标及基本要求
(1) 理解数学期望和方差的定义并且掌握它们的计算公式；
(2) 掌握数学期望和方差的性质与计算，会求随机变量函数的数学期望，特别是利用期望或方差的性质计算某些随机变量函数的期望和方差。
(3) 熟记0-1分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的数学期 望和方差；
(4) 了解矩、协方差和相关系数的概念和性质，并会计算。
二．教学内容及学时分配
第一节 数学期望
离散型、连续型随机变量的数学期望、随机变量函数的数学期望、数学期望
的应用、数学期望的性质 3学时
第二节 方差
方差的概念及计算、方差的性质、常见分布的数学期望及方差简单归纳
2学时
第三节 协方差与相关系数(包括矩的概念) 1学时
三．本章教学内容的重点和难点
a) 数学期望、方差的具体含义；
b) 数学期望、方差的性质，使用性质简化计算的技巧；特别是级数的求和运算。 c) 期望、方差的应用；
四．本章教学内容的深化和拓宽
将数学期望拓展到数学期望向量和数学期望矩阵；协方差及相关系数概念和公式拓宽到n 维随机变量的协方差矩阵和相关系数矩阵。
五．教学过程中应注意的问题
a) 一个随机变量并不一定存在数学期望和方差，也有可能数学期望存在，而方差不存
在，如柯西分布是最著名的例子；
b) 数学期望的一个具体的数字，不是函数；
c) 由方差的定义知，方差是非负的；
d) 独立性和不相关性之间的关系，一般地，X 与Y 独立，则X 与Y 不相关，反之则
不然，但对于正态分布，两者却是等价的；
六．思考题和习题
思考题：1. 假定一个系统由5个电子元件组装而成，假定它们独立同服从于指数分布，
将它们串接起来，求系统的平均寿命，若将它们并行连接，其系统的平均
寿命是多少？并比较其优劣。
2. 方差的定义为什么不是||E X EX -？
3. 工程上经常遇到计算误差，它是否与方差是同一个概念？
4．协方差与相关系数有什么本质上的区别？
5．随机变量X 与Y 独立可以推导cov(,)0X Y =，反之呢？对正态分布又如
何呢？
习题：P115-117, 第1、4、5、6、8、9、12、13、14、16、17、18、19、20、23、24、
27、29题。
第六章 大数定律和中心极限定理
一．教学目标及基本要求
了解切比雪夫不等式、大数定律和中心极限定理。
二．教学内容及学时分配
第一节切比雪夫不等式
第二节大数定律
第三节中心极限定理1~2学时三．本章教学内容的重点和难点
大数定律和中心极限定理的含义；
四．本章教学内容的深化和拓宽
中心极限定理的条件拓宽。
五．教学过程中应注意的问题
1）大数定律的变形，大数定律的证明关键是使用了切比契夫不等式；
2）注意中心极限定理的条件和结论，如何使用这一结论解决应用题；
六．思考题和习题
思考：用c语言编程实现中心极限定理的一个极限过程，观察的结果用图形呈现出来。
习题：P126, 第1、2、6、7题。
第七章数理统计的基本概念
一．教学目标及基本要求
(1)理解总体、样本和统计量的概念;了解经验分布函数和直方图的概念
(2)掌握样本均值、样本方差及样本矩的计算。
(3)了解卡方分布、t-分布和F分布的定义及性质，了解分位数的概念并会查表计算
概率。
(4)掌握在正态总体下样本均值、样本方差、t统计量的分布及性质。
二．教学内容及学时分配
(1)
第一节总体与样本
第二节统计量
第三节顺序统计量、经验分布函数和直方图(合计：3学时)
第四节抽样分布
(2) 几个重要分布（正态分布，2 -分布，t-分布，F-分布）、抽样分布定理、分位数
3学时三．本章教学内容的重点和难点
a)数理统计与概率论在研究问题和方法上的根本区别；
b)总体、样本的概念；
c) 统计量的定义和常用的统计量；
d) 正态分布以及由正态分布导出的三大统计分布，抽样分布定理，分位数的概念。
e) 2χ-分布、t -分布和F -分布的定义
四．本章教学内容的深化和拓宽
对抽样分布定理的深入理解，构造某些统计量并推导该统计量的分布；
五．教学过程中应注意的问题
a) 正态分布的标准化：若2~(,)X N a σ，则~(0,1)X a
N σ-；
b) “独立正态变量之和仍为正态变量”和中心极限定理的应用；
c) 对三大统计分布定义深入分析，补充例子加以说明，如
14,,X X 取自正态总体2(0,2)N ，的一个样本，令
221234(2)(34)Y a X X b X X =-+-，求系数,a b ，使Y 服从2χ-分布，并求自由度；
d) 查常用分布数值表是实际计算中不可缺少的一步，务必掌握；
e) 掌握统计学的思想应该从正态总体出发，因为数理统计学的许多基本理论是在正态
总体的假定下建立起来的；
六．思考题和习题
思考题：1. 样本平均值、中位数、众数的定义和区别。
2．样本1,,n X X 是相互独立且具有相同分布的，那么顺序统计量
(1)(),,n X X 是否也是独立同分布的？
3. 经验分布函数是统计量吗？
4. 什么叫上侧分位数？
习题：P146-148, 第5-9、13、16、17题。
第八章 参数估计
一．本章的教学目标及基本要求
(1) 理解总体参数的点估计和区间估计的概念;
(2) 掌握求点估计的方法——矩估计法和极大似然法;
(3) 了解估计量的评选标准（无偏性、有效性、一致性）。
(4) 会求单个正态总体的均值和方差的置信区间;
二．本章的教学内容及学时分配
第一节点估计量的求解方法——矩估计法和极大似然法2学时
第二节估计量的评选标准（无偏性、有效性、一致性）2学时
第三节区间估计1学时三．本章教学内容的重点和难点
a)点估计量的求解方法——矩估计法和极大似然法；
b)估计量评价标准——无偏性；
c)置信区间的求解方法；
四．本章教学内容的深化和拓宽
1）求极大似然估计实际上是一个最优化问题，因此要从优化的角度去思考问题；理解参数取什么样的值才能使概率达到最大。
2）设
2
1
,,~(,)
n
X X N aσ
，求使{}0.05
P X A
>=的参数A的极大似然估计。该
问题的解决要用到极大似然估计的函数也是极大似然估计。
五．教学过程中应注意的问题
a)要善于比较矩估计法和极大似然法各自的优良性；
b)强调极大似然函数的正确书写步骤以及典型例子分析步骤；
c)强调估计量的无偏性的实际含义，提出对不满足无偏性的估计量进行修正，讲解修
正的方法；
d)讲清楚区间估计方法的实际含义；
六．思考题和习题
思考题：1. 设X服从如下分布：
利用总体的样本观测值：3，1，3，0，3，1，2，3，求参数θ的矩估计和极大似然估计，如何求？
2．利用参数的置信区间，如何求样本容量n？
3. 比例参数p的置信区间如何求？
习题：P165-166, 第1、2、3、4、6、8、9、10、12、13、14、15题。
第九章假设检验
一．本章的教学目标及基本要求
(1)理解显著性假设检验的基本思想;
(2)掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误。
(3)掌握单个正态总体的均值和方差的假设检验，了解两个正态总体的均值和方差的
假设检验。
二．本章的教学内容及学时分配
第一节假设检验的基本思想
基本概念与两类错误、假设检验的基本原理和主要步骤2学时第二节参数假设检验(着重讲一个正态总体的均值、方差的检验) 2学时三．本章教学内容的重点和难点
假设检验的基本思想和基本检验步骤；
四．本章教学内容的深化和拓宽
由参数假设检验问题及方法拓宽到非参数假设检验问题和方法。
五．本章教学过程中应注意的问题
a)通过举例叙述假设检验的思想；
b)强调典型例子分析，使学生理解假设检验的步骤；
c)对实际问题提出假设(特别是单侧检验)比计算更难；
六．思考题和习题
思考题：1. 怎样计算两类错判概率？列举生活中遇到的1~2个错判事件。
2．为什么说假设检验的基本思想是数学上的反证法？
3. 比例参数p的假设检验怎样进行？
习题：P194-197, 第1~6、7、9-18题。
第十章回归分析
一．本章的教学目标及基本要求
(1)理解回归分析的概念;
(2)掌握确定回归系数的最小二乘估计方法及其性质；
(3)掌握一元线性回归模型的建立、基本计算方法以及应用。
二．本章的教学内容及学时分配
第一节一元线性回归
一元线性回归模型、最小二乘估计方法、回归模型的推断2学时三．本章教学内容的重点和难点
回归模型的建立与分析
四．本章教学内容的深化和拓宽
将一元线性回归模型拓展到多元线性回归模型。
五．教学过程中应注意的问题
明确回归模型的基本任务是：1）模型未知参数的估计；2）模型检验；3）预测与控制；六．思考题和习题
思考题：1. 模型中未知参数的估计为什么采用最小二乘法？
2．最小二乘估计具有什么样的优良性质？与极大似然估计相同吗？
习题：P237, 第5、6题。
总复习
归纳知识点和典型例题 2学时
评讲往年考题 2学时
数三《概率论与数理统计》教学大纲 教材：四川大学数学学院邹述超、何腊梅：《概率论与数理统计》，高等教育出版社出，2002年8月。 参考书：袁荫棠：《概率论与数理统计》（修订本），中国人民大学出版社。 四川大学数学学院概率统计教研室：《概率论与数理统计学习指导》 总学时：60学时，其中：讲课50学时，习题课10学时。 学分：3学分。 说明： 1.生源结构：数三的学生是由高考文科生和一部分高考理科生构成。有些专业全是文科生或含极少部分理科生（如：旅游管理，行政管理），有些专业约占1/4～1/3的理科生（国贸，财政学，经济学），有些专业全是理科生（如：国民经济管理，金融学）。 2.高中已讲的内容：高中文、理科都讲了随机事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率，即教材第一章除条件概率以及有关的内容以外，其余内容高中都讲了。高中理科已讲离散型随机变量的概率分布（包括二项分布、几何分布）和离散型随机变量的期望与方差，统计基本概念、频率直方图、正态分布、线性回归。而高中文科则只讲了一点统计基本概念、频率直方图、样本均值和样本方差的简单计算。 3.基本要求：学生的数学基础差异大，不同专业学生对数学课重视程度的差异大，这就给讲授这门课带来一定的难度，但要尽量做到“分层次”培养学生。高中没学过的内容要重点讲解，学过的内容也要适当复习或适当增加深度。讲课时，既要照顾数学基础差的学生，多举基本例子，使他们掌握大纲要求的基本概念和方法；也要照顾数学基础好的学生，使他们会做一些综合题以及简单证明题。因为有些专业还要开设相关的后继课程（如：计量经济学），将用到较多的概率统计知识；还有一部分学生要考研，数三的概率考研题往往比数一的难。 该教材每一章的前几节是讲述基本概念和方法，习题(A)是针对基本方法的训练而编写的，因此，这一部分内容须重点讲解，并要求学生必须掌握；每一章的最后一节是综合例题，习题(B)具有一定的综合性和难度，可以选讲部分例题，数学基础好的学生可选做(B)题。 建议各章学时分配(+号后面的是习题课学时)： 第一章随机事件及其概率 一、基本内容 随机事件的概念及运算。概率的统计定义、古典定义及公理化定义。概率的基本性质、加法公式、条件概率与乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。事件的独立性，独立随机试验、
第五章作业题解 5.1 已知正常男性成人每毫升的血液中含白细胞平均数是7300, 标准差是700. 使用切比雪 夫不等式估计正常男性成人每毫升血液中含白细胞数在5200到9400之间的概率. 解：设每毫升血液中含白细胞数为，依题意得，7300)(==X E μ，700)(==X Var σ 由切比雪夫不等式，得 )2100|7300(|)94005200(<-=< 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。 概率课感想与心得体会 笛卡尔说过：“有一个颠扑不破的真理，那就是当我们不能确定什么是真的时候，我们就应该去探求什么是最最可能的。”随机现象在日常生活中随处可见，概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提供了理论基础。 概率起源于现实生活，应用于现实生活，如我们讨论了摸球问题，掷硬币正反面的试验，拍骰子问题等等。都是接近生活实践的概率应用实例。 同时，通过概率课还了解了概率的意义，概率是用来度量随机事件发生可能性大小的一个量，而实际结果是事件发生或不发生这两种情况中的一种。但是我们不能根据随机事件的概率来断定某次试验出现某种结果或者不出现某种结果。同时，我们还可以利用概率来判定游戏规则，譬如，在各类游戏中，如果每个人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的，这就是说，要保证所制定的游戏规则是公平的，需要保证每个人获胜的概率相等。概率教学中的试验或游戏结果，如果不进行足够多的次数，是很难得出比较接近概率的频率的，也就是说当试验的次数很多的时候，频率就逐渐接近一个稳定的值，这个稳定的值就是概率。我们说，当进行次数很多的时候，时间发生的次数所占的总次数的比例，即频率就是概率。换句话说，就是时间发生的可能性最大。 概率不仅在生活上给了我们很大的帮助，同时也能帮我们验证某些理论知识，譬如投针问题： ()行直线相交的概率． 平的针，试求该针与任一一根长度为线，向此平面上任意投的一些平行平面上画有等距离为a L L a < 我们解如下： 平行线的距离； ：针的中心到最近一条 设：X 此平行线的夹角．：针与? 上的均匀分布；， 服从区间则随机变量?? ? ?? ? 20a X []上的均匀分布；服从区间随机变量π?,0相互独立．与并且随机变量?X ()的联合密度函数为 ，所以二维随机变量?X ()??? ??≤≤≤≤=. , 02 02 其它，，π?π?a x a x f {} 针与任一直线相交设：=A , . sin 2? ?? ???<=?L X A 则所以， ()? ?????<=?sin 2L X P A P 的面积的面积 D A =.22 sin 20 a L a d L ππ??π == ? 湖北汽车工业学院 概率论与数理统计考试试卷 一、（本题满分24，每小题4分）单项选择题（请把所选答案填在答题卡指定位置上）： 【C 】1．已知A 与B 相互独立，且0)(>A P ，0)(>B P ．则下列命题不正确的是 )(A )()|(A P B A P =． )(B )()|(B P A B P =． )(C )(1)(B P A P -=． )(D )()()(B P A P AB P =． 【B 】2．已知随机变量X 的分布律为 则)35(+X E 等于 )(A 8． )(B 2． )(C 5-． )(D 1-． 【A 】3．设随机变量X 与Y 均服从正态分布2~(,4)X N μ，2~(,5)Y N μ，而 }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则 )(A 对任何实数μ，都有21p p =． )(B 对任何实数μ，都有21p p <． )(C 只对μ的个别值，才有21p p =． )(D 对任何实数μ，都有21p p >． 【C 】4．在总体X 中抽取样本,,,321X X X 则下列统计量为总体均值μ的无偏估计量的是 )(A 3213211X X X ++= μ． )(B 2223212X X X ++=μ． )(C 3333213X X X ++=μ． )(D 4 443214X X X ++=μ． 【D 】5. 设)(~n t X ，则~2 X )(A )(2n χ． )(B )1(2χ． )(C )1,(n F ． )(D ),1(n F ． 【B 】6．随机变量)1,0(~N X ，对于给定的()10<<αα，数αu 满足αα=>)(u u P ， 若α=<)(c X P ，则c 等于 )(A 2αu ． )(B )1(α-u ． )(C α-1u ． )(D 21α-u ． 二、（本题满分24，每小题4分）填空题（请把你认为正确的答案填在答题卡指定位置上）： 1. 设样本空间{},2,3,4,5,6 1=Ω，{},21=A ,{},32=B ,{},54=C ,则=)(C B A {},3,4,5,61. 2. 某班级学生的考试成绩数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，这两门都不及格的占 3%。已知一学生数学不及格，那么他语文也不及格的概率是 5 1 . 3. 设离散型随机变量X 的分布列为{}k a k X P ?? ? ??==31， ,3,2,1=k ，则=a 2. 4. 已知2)(-=X E ，5)(2 =X E ，那么=-)32015(X D 9. 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第六章 随机变量数字特征 一．填空题 1. 若随机变量X 的概率函数为 1 .03.03.01.02.04 3211p X -，则 =≤)2(X P ；=>)3(X P ；=>=)04(X X P . 2. 若随机变量X 服从泊松分布)3(P ，则=≥)2(X P 8006.0413 ≈--e . 3. 若随机变量X 的概率函数为).4,3,2,1(,2)(=?==-k c k X P k 则=c 15 16 . 4．设A ,B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P (A )=，P (B )=,则()P AB =____________.（） 5．设事件A 、B 互不相容，已知()0.4=P A ，()0.5=P B ，则()=P AB 6． 盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为____________.（ 13 ） 7．设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布，则()E X ＝____________.（ 12 ） 8．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则概率密度函数为 __. （k 3 3(=,0,1,2k! P X k e k -==L ）） 9．某种电器使用寿命X （单位：小时）服从参数为1 40000 λ=的指数分布，则此种电器的平 均使用寿命为____________小时.（40000） 10在3男生2女生中任取3人，用X 表示取到女生人数，则X 的概率函数为 11.若随机变量X 的概率密度为)(,1)(2 +∞<<-∞+= x x a x f ，则=a π1 ；=>)0(X P ；==)0(X P 0 . 12.若随机变量)1,1(~-U X ，则X 的概率密度为 1 (1,1) ()2 x f x ?∈-? =???其它 福州大学概率论与数理统计试卷A (20130702) 附表： (Φ 2.5)=0.9937, (Φ3)=0.9987，09.2)19(025.0=t 一、 单项选择(共18分,每小题3分) 1．设随机变量X 的分布函数为()F x ，则以下说法错误的是( ) （A ）()()F x P X x =≤ （B ）当12x x <时，12()()F x F x < （C ）()1,()0F F +∞=-∞= （D ）()F x 是一个右连续的函数 2.设,A B 独立，则下面错误的是( ) (A) B A ,独立 (B) B A ,独立 (C) )()()(B P A P B A P = (D)φ=AB 3. 设X 与Y 相互独立，且3 1 )0()0(= ≥=≥Y P X P ，则=≥)0},(max{Y X P ( ) （A ）91 （B ）95 （C ）98 （D ）3 1 4. 设128,,,X X X K 和1210,,,Y Y Y L 分别是来自正态总体()21,2N -和()2,5N 的样本，且相互独立，21S 和22S 分别为两个样本的样本方差，则服从(7,9)F 的统计量是( ) （A ）222152S S （B ） 212254S S （C ）222125S S （D ）2 22 145S S 5. 随机变量)5.0,1000(~B X ，由切比雪夫不等式估计≥<<)600400(X P ( ) (A)0.975 (B)0.025 (C)0.5 (D) 0.25 6.设总体),(~2 σμN X ，n X X X ,,,21Λ为X 的一组样本， X 为样本均值，2 s 为样本 方差，则下列统计量中服从)(2n χ分布的是（ ）. (A) 1--n s X μ (B) 2 2)1(σs n - (C) n s X μ - (D) ∑=-n i i X 1 22)(1μσ 学院 专业 级 班 姓 名 学 号 《概率论与数理统计》教学大纲 一、内容简介 《概率论与数理统计》是从数量侧面研究随机现象规律性的数学理论，其理论与方法已广泛应用于工业、农业、军事和科学技术中。主要包括：随机事件和概率，一维和多维随机变量及其分布，随机变量的数字特征，大数定律与中心极限定理，参数估计，假设检验等内容。 二、本课程的目的和任务 本课程是理工学科和社会学科部分专业的基础课程。课程内容侧重于讲解概率论与数理统计的基本理论与方法，同时在教学中结合各专业的特点介绍性地给出在科研、生产、社会等各领域中的具体应用。课程的任务在于使学生建立随机现象的基本概念和描述方法，掌握运用概率论和统计学原理对自然和人类社会的现象进行观察、描述和预言的方法和能力。为学生树立基本的概率论和统计思维素养，以及进一步在相关方向深造，打下基础。 三、本课程与其它课程的关系 学生在进入本课程学习之前，应学过：高等数学、线性代数。这些课程的学习，为本课程提供了必需的数学基础知识。本课程学习结束后，学生可具备进一步学习相关课程的理论基础，同时由于概率论与数理统计的理论与方法向各基础学科、工程学科的广泛渗透，与其他学科相结 合发展成不少边缘学科，所以它是许多新的重要学科的基础，学生应对本课程予以足够的重视。 四、本课程的基本要求 概率论与数理统计是一个有特色的数学分支，有自己独特的概念和方法，内容丰富，结果深刻。通过对本课程的学习，学生应该建立用概率和统计的语言对随机现象进行描述的基本概念，熟练掌握概率论与数理统计中的基本理论和分析方法，能熟练运用基本原理解决某些实际问题。具体要求如下： （一）随机事件和概率 1、理解随机事件的概念，了解样本空间的概念，掌握事件之间的关系和 运算。 2、理解概率的定义，掌握概率的基本性质，并能应用这些性质进行概率 计算。 3、理解条件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公 式、贝叶斯公式，并能应用这些公式进行概率计算。 4、理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算。 5、掌握伯努利概型及其计算。 （二）随机变量及其概率分布 1、理解随机变量的概念 2、理解随机变量分布函数的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律 及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质，会应用概率分 《概率论与数理统计》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程编号：450006 课程名称：概率论与数理统计 课程类别：公共基础课（必修） 学时学分：理论48学时/3学分 适用专业：计算机、自动化、经管各专业 开课学期：第一学期 先修课程：高等数学 后续课程： 执笔人： 审核人： 制（修）订时间：2015.9 二、课程性质与任务 概率论与数理统计是研究随机现象客观规律性的数学学科，是高等学校理、工、管理类本科各专业的一门重要的基础理论课。通过本课程的教学，应使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机事件的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。 三、课程教学基本要求 本课程以课堂讲授为主，致力于讲清楚基本的概率统计思想，使学生掌握基本的概率、统计计算方法。注意培养基本运算能力、分析问题和解决实际问题的能力。讲授中运用实例来说明本课程应用的广泛性和重要性。每节课布置适量的习题以巩固所学知识，使学生能够运用概率统计思想和方法解决一些实际问题。 四、课程教学内容及各教学环节要求 （一）概率论的基本概念 1、教学目的 理解随机现象、样本空间、随机事件、概率等概念，掌握事件的关系与运算，掌握古典概犁及其计算、条件概率的计算、全概率公式和贝叶斯公式的应用。 2、教学重点与难点 （1）教学重点 ① 概率、条件概率与独立性的概念； ② 加法公式；乘法公式；全概率公式；贝叶斯公式。 （2）教学难点 ① 古典概型的有关计算；② 全概率公式的应用； ③ 贝叶斯公式的应用。 3、教学方法 采用传统教学方式，以课堂讲授为主，课堂讨论、多媒体演示、课下辅导等为辅的教学方法。加强互动教学，学生对课程的某一学术问题通过检索资料、实际调查来提高自学能力和实践应用能力。 4、教学要求 （1）理解随机试验、样本空间、随机事件等基本概念；熟练掌握事件的关系及运算 （2）理解频率和概率定义；熟练掌握概率的基本性质 （3）理解等可能概型的定义性质；,会计算等可能概型的概率 （4）理解条件概率的定义；熟练掌握加法公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式（5）理解事件独立性概念,掌握应用独立性进行概率计算 （二）随机变量及其分布 1、教学目的 了解随机变量的概念；理解离散型随机变量的分布律和连续型随机变量的概率密度的概念及性质，会利用性质确定分布律和概率密度；理解分布函数的概念及性质，会利用此概念和性质确定分布函数，会利用概率分布计算有关事件的概率；掌握正态分布、均匀分布、指数分布、0-1分布、二项分布、泊松分布，会求简单的随机变量函数的分布 2、教学重点与难点 （1）教学重点 ① 随机变量及其概率分布的概念； ② 离散型随机变量分布律的求法； 概论论与数理统计 习题参考解答 习题一 8.掷3枚硬币,求出现3个正面的概率. 解:设事件A ={出现3个正面} 基本事件总数n =23,有利于A 的基本事件数n A =1,即A 为一基本事件, 则.125.08 121)(3====n n A P A 9.10把钥匙中有3把能打开门,今任取两把,求能打开门的概率. 解:设事件A ={能打开门},则为不能打开门 A 基本事件总数,有利于的基本事件数,210C n =A 27C n A =467.0157910212167)(21027==××?××==C C A P 因此,.533.0467.01(1)(=?=?=A P A P 10.一部四卷的文集随便放在书架上,问恰好各卷自左向右或自右向左的卷号为1,2,3,4的概率是多少?解:设A ={能打开门},基本事件总数,2412344=×××==P n 有利于A 的基本事件数为,2=A n 因此,.0833.012 1)(===n n A P A 11.100个产品中有3个次品,任取5个,求其次品数分别为0,1,2,3的概率. 解:设A i 为取到i 个次品,i =0,1,2,3, 基本事件总数,有利于A i 的基本事件数为5100C n =3 ,2,1,0,5973==?i C C n i i i 则w w w .k h d a w .c o m 课后答案网 00006.098 33512196979697989910054321)(006.0983359532195969739697989910054321)(138.098 33209495432194959697396979899100543213)(856.033 4920314719969798991009394959697)(5100297335100 39723225100 49711510059700=××==××?××××××××====××= ×××××?××××××××====×××=×××××××?××××××××=×===××××=××××××××===C C n n A P C C C n n A P C C n n A P C C n n A P 12.N 个产品中有N 1个次品,从中任取n 个(1≤n ≤N 1≤N ),求其中有k (k ≤n )个次品的概率.解:设A k 为有k 个次品的概率,k =0,1,2,…,n ,基本事件总数,有利于事件A k 的基本事件数,k =0,1,2,…,n ,n N C m =k n N N k N k C C m ??=11因此,n k C C C m m A P n N k n N N k N k k ,,1,0,)(11?===??13.一个袋内有5个红球,3个白球,2个黑球,计算任取3个球恰为一红,一白,一黑的概率.解:设A 为任取三个球恰为一红一白一黑的事件, 则基本事件总数,有利于A 的基本事件数为, 310C n =121315C C C n A =则25.04 12358910321)(310121315==×××××××===C C C C n n A P A 14.两封信随机地投入四个邮筒,求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率.解:设A 为前两个邮筒没有信的事件,B 为第一个邮筒内只有一封信的事件,则基本事件总数,1644=×=n 有利于A 的基本事件数,422=×=A n 有利于B 的基本事件数, 632=×=B n 则25.041164)(====n n A P A .375.083166)(====n n B P B w w w .k h d a w .c o m 课后答案网 精心整理 第一章 1.见教材习题参考答案. 2.设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ，C （1）A 发生，B ，C 都不发生； （2）A ， B ， C 都发生； （3）A ，B ，C （4）A ， B ， C 都不发生； （5）A ，B ，C （6）A ，【解】（1（B C (4)ABC B C (5)ABC ∪ABC ∪ABC ABC =AB BC AC 3. . 4.设A ，?B )=0.3，求P （. 【解】P 5.设A ，（A ）=0.6,P (B )=0.7, （1AB （2AB 【解】（1)()0.6AB P A ==,()P AB 取到最大值为（2）当()()()0.3P A P B P A B =+-= 6.设A ，B ，P （C ）=1/3P （AC ）至少有一事件发生的概率. )=0， 由加法公式可得 =14+14+13?112=34 7.52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？ 【解】设A 表示“取出的13张牌中有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花”， 则样本空间Ω中样本点总数为13 52n C =,A 中所含样本点533213131313k C C C C =,所求概率为 8. （1）求五个人的生日都在星期日的概率；（2）求五个人的生日都不在星期日的概率； （3）求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1）设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P （A 1）= 5 17 =（17）5（亦可用独立性求解，下同） （2）设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故 P （A 2）=5567=(67 )5 (3)设A 3={五个人的生日不都在星期日} P （A 3）=1?P (A 1)=1?(1 7 )5 9..见教材习题参考答案. 10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n 《概率论与数理统计》课程标准 一、课程概述 （一）课程定位 《概率论与数理统计》(Probability Theory and Mathematical Statistics)，由概率论和数理统计两部分组成。它是研究随机现象并找出其统计规律的一门学科，是广泛应用于社会、经济、科学等各个领域的定量和定性分析的科学体系。从学科性质讲，它是一门基础性学科，它为建筑专业学生后继专业课程的学习提供方法论的指导。 （二）先修后续课程 《概率论与数理统计》的先修课程为《高等数学》、《线性代数》等，这些课程为本课程的学习奠定了理论基础。 《概率论与数理统计》的后续课程为《混凝土结构设计》、《地基与基础》等课程。通过该课程的学习可为这些课程中的模型建立等内容的知识学习奠定良好的基础,在教学中起到了承上启下的作用。 二.课程设计思路 本课程的基本设计思路是极力用较为通俗的语言阐释概率论的基本理论和数理统计思想方法;理论和方法相结合，以强调数理统计理论的应用价值。总之,强调理论与实际应用相结合的特点,力求在实际应用方面做些有益的探索，也为其它学科的 进一步学习打下一个良好的基础。 三、课程目标 《概率论与数理统计》是一门几乎遍及所有的科学技术领域以及工农业生产和国民经济各部门之中。通过学习该课程使学生掌握概率、统计的基本概念，熟悉数据处理、数据分析、数据推断的各种基本方法，并能用所掌握的方法具体解决工程实践中所遇到的各种问题。 （一）能力目标 力求在简洁的基础上使学生能从整体上了解和掌握该课程的内容体系，使学生能够在实际工作中、其它学科的学习中能灵活、自如地应用这些理论。 （二）知识目标 1.理解掌握概率论中的相关概念和公式定理； 2.学会应用概率论的知识解决一些基本的概率计算； 3.理解数理统计的基本思想和解决实际问题的方法。 （三）素质目标 1.培养学生乐于观察、分析、不断创新的精神； 2.培养具有较好的逻辑思维、较强的计划、组织和协调能力； 3.培养具有认真、细致严谨的职业能力。 四、课程内容 根据能力培养目标的要求，本课程的主要内容是随机事件、随机变量、随机向量、数字特征、极限定理。具体内容和学时分配见表4-1。 表4-1 课程内容和学时分配 第二章随机变量及其分布第一节随机变量及其分布函数 一、随机变量 随机试验的结果是事件，就“事件”这一概念而言，它是定性的。要定量地研究随机现象，事件的数量化是一个基本前提。很自然的想法是，既然试验的所有可能的结果是知道的，我们就可以对每一个结果赋予一个相应的值，在结果(本事件)数值之间建立起一定的对应关系，从而对一个随机试验进行定量的描述。 例2-1 将一枚硬币掷一次，观察出现正面H、反面T的情况。这一试验有两个结果：“出现H”或“出现T”。为了便于研究，我们将每一个结果用一个实数来代表。比如，用数“1”代表“出现H”，用数“0”代表“出现T”。这样，当我们讨论试验结果时，就可以简单地说成结果是1或0。建立这种数量化的关系，实际上就相当于引入一个变量X，对于试验的两个结果，将X的值分别规定为1或0。如果与样本空间 { } {H,T}联系起来，那么，对于样本空间的不同元素，变量X可以取不同的值。因此，X是定义在样本空间上的函数，具体地说是 1,当 H X X( ) 0,当 T 由于试验结果的出现是随机的，因而X(ω)的取值也是随机的，为此我们称 X( )X(ω)为随机变量。 例2-2 在一批灯泡中任意取一只，测试它的寿命。这一试验的结果（寿命）本身就是用数值描述的。我们以X记灯泡的寿命，它的取值由试验的结果所确定，随着试验结果的不同而取不同的值，X是定义在样本空间 {t|t 0}上的函数 X X(t) t,t 因此X也是一个随机变量。一般地有 定义2-1 设 为一个随机试验的样本空间，如果对于 中的每一个元素 ，都有一个实数X( )与之相对应，则称X为随机变量。 一旦定义了随机变量X后，就可以用它来描述事件。通常，对于任意实数集合L,X在 L上的取值，记为{X L}，它表示事件{ |X( ) L}，即 。 {X L} { |X( ) L} 例2-3 将一枚硬币掷三次，观察出现正、反面的情况。设X为“正面出现”的次数，则X是一个随机变量。显然，X的取值为0，1，2，3。X的取值与样本点之间的对应关系如表2-1所示。 表2-1 表2-1 概率论与数理统计 学习报告 学院 学号： 姓名： 概率论与数理统计学习报告 通过短短一学期的学习，虽然学习、研究地并不深入，但该课程的每一处内容都有不同的奇妙吸引着我，让我对它在生活中饰演的角色充满遐想；它将我带入了一个由随机变量为桥梁，通过表面偶然性找出其内在规律性，从而与其它的数学分支建立联系的世界，让我对这种进行大量的随机重复实验，通过分析研究得出统计规律性的过程产生了极大地兴趣。我很喜欢这门课程，但也不得不说课后在它上面花的时间并不多，因此学得还不深入，但它真的深深地吸引了我，我一定会找时间进一步深入地学习它。 先简单地介绍一下概率论与数理统计这门学科。 概率论是基于给出随机现象的数学模型，并用数学语言来描述它们，然后研究其基本规律，透过表面的偶然性，找出其内在的规律性，建立随机现象与数学其他分支的桥梁，使得人们可以利用已成熟的数学工具和方法来研究随机现象，进而也为其他数学分支和其他新兴学科提供了解决问题的新思路和新方法。数理统计是以概率论为基础，基于有效的观测、收集、整理、分析带有随机性的数据来研究随机现象，进而对所观察的问题作出推断和预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议。 概率论与数理统计是研究随机现象及其规律性的一门数学学科。研究随机现象的规律性有其独特的思想方法，它不是寻求出现每一现象的一切物理因素，不能用研究确定性现象的方法研究随机现象，而是承认在所研究的问题中存在一些人们不能认识或者根本不知道的 随机因素作用下，发生随机现象。这样，人们既可以通过试验来观察随机现象，揭示其规律性，作出决策，也可根据实际问题的具体情况找出随机现象的规律，作出决策。 至今，概率论与数理统计的理论与方法已经广泛应用于自然科学、社会科学以及人文科学等各个领域中，并随着计算机的普及，概率论与数理统计已成为处理信息、制定决策的重要理论和方法。它们不仅是许多新兴学科，如信息论、控制论、排队论、可靠性论以及人工智能的数学理论基础，而且与其他领域的新兴学科的相互交叉而产生了许多新的分支和边缘学科，如生物统计、统计物理、数理金融、神经网络统计分析、统计计算等。 概率论应用随机变量与随机变量的概率分布、数字特征及特征函数为数学工具对随机现象进行描述、分析与研究，其前提条件是假设随机变量的概率分布是已知的；而数理统计中作为研究对象的随机变量的概率分布是完全未知的，或者分布类型已知，但其中的某些参数或某些数字特征是未知的。概率论研究问题的方法是从假设、命题、已知的随机现象的事实出发，按一定的逻辑推理得到结论，在方法上是演绎式的。而统计学的方法是归纳式的，从所研究地对象的全体中随机抽取一部分进行试验或观测，以获得试验数据，依据试验数据所获取的信息，对整体进行推断，是归纳而得到结论的。因此掌握它特有的学习方法是很重要的。 在学习的过程中，不论是老师提出的一些希望我们课后讨论的问题还是自己在做作业看书过程中遇到的一些问题都引发了我的一些 . 第七章 假设检验 设总体2(,)N ξμσ~，其中参数μ，2σ为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设： （1）0:0,1H μσ==； （2）0:0,1H μσ=>； （3）0:3,1H μσ<=； （4）0:03H μ<<； （5）0:0H μ=. 解：（1）是简单假设，其余位复合假设 设1225,,,ξξξL 取自正态总体(,9)N μ，其中参数μ未知，x 是子样均值，如对检验问题0010:,:H H μμμμ=≠取检验的拒绝域：12250{(,,,):||}c x x x x c μ=-≥L ，试决定常数c ，使检验的显着性水平为 解：因为(,9)N ξμ~，故9 (,)25 N ξμ~ 在0H 成立的条件下， 000 53(||)(||)53 521()0.05 3c P c P c ξμξμ-≥=-≥? ?=-Φ=??? ? 55( )0.975,1.9633 c c Φ==，所以c =。 设子样1225,,,ξξξL 取自正态总体2 (,)N μσ，20σ已知，对假设检验0010:,:H H μμμμ=>，取临界域12n 0{(,,,):|}c x x x c ξ=>L ， （1）求此检验犯第一类错误概率为α时，犯第二类错误的概率β，并讨论它们之间的关系； （2）设0μ=，20σ=，α=，n=9，求μ=时不犯第二类错误的概率。 解：（1）在0H 成立的条件下，2 00(, )n N σξμ~，此时 00000()P c P ξαξ=≥= 10 αμ-= ，由此式解出010c αμμ-= + 在1H 成立的条件下，2 0(, )n N σξμ~，此时 1010 10 ()(P c P αξβξμ-=<==Φ=Φ=Φ- 由此可知，当α增加时，1αμ-减小，从而β减小；反之当α减少时，则β增加。 （2）不犯第二类错误的概率为 10 0.9511(0.650.51(3) 0.2 1(0.605)(0.605)0.7274αβμμ--=-Φ-=-Φ- =-Φ-=Φ= 设一个单一观测的ξ子样取自分布密度函数为()f x 的母体，对()f x 考虑统计假设： 0011101 201 :():()00x x x H f x H f x ≤≤≤≤??==? ??? 其他其他 试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足2min αβ+=，并求其最小值。 解 设检验函数为 1()0x c x φ∈?=?? 其他（c 为检验的拒绝域） 知识要点 一 概念： 1 随机事件：用,,A B C 等表示 互不相容： AB =Φ 互逆： AB =Φ且A B ?=Ω ，此时，B A = 互逆 ?互不相容 ，反之不行 相互独立： ()()P A B P A =或()()()P AB P A P B = 2 随机事件的运算律： (1) 交换律 ：,A B B A AB BA ?=?= (2) 结合律 ：()(),()()A B C A B C AB C A BC ??=??= (3) 分配律 ： (),()()()A B C AB AC A BC A B A C ?=??=?? (4 ) De Morgen 律（对偶律） B A B A =? B A AB ?= 推广： 11 n n i i i i A A ===U I 1 1 n n i i i i A A ===I U 3 随机事件的概率：()P A 有界性 0()1P A ≤≤ 若A B ? 则()()P A P B ≤ 条件概率 () ()() P AB P A B P B = 4 随机变量： 用大写,,X Y Z 表示 . 若X 与Y 相互独立的充分必要条件是)()(),(y F x F y x F Y X = 若X 与Y 是连续随机变量且相互独立的充分必要条件是(,)()()X Y f x y f x f y = 若X 与Y 是离散随机变量且相互独立的充分必要条件是(,)()()X Y p x y p x p y = 若X 与Y 不相关，则cov(,)0X Y = 或 (,)0R X Y = 独立?不相关 反之不成立 但当X 与Y 服从正态分布时 ，则相互独立 ?不相关 相关系数：1),(≤Y X R 且当且仅当bX a Y +=时1),(=Y X R ，并且 ???<->=0,10 ,1),(b b Y X R 二 两种概率模型 古典概型 ：()M P A N = :M A 所包含的基本事件的个数 ；:N 总的基本事件的个数 伯努利概型 ： n 次独立试验序列中事件A 恰好发生m 次的概率 ()m m n m n n P m C p q -= n 次独立试验序列中事件A 发生的次数为1m 到2m 之间的概率 2 1 12()()m n m m P m m m P m =≤≤= ∑ n 次独立试验序列中事件A 至少发生r 次的概率 1 ()()1()n r n n m r m P m r P m P m -==≥==-∑∑ 特别的 ，至少发生一次的概率 (1)1(1)n P m p ≥=-- 三 概率的计算公式： 加法公式：()()()()P A B P A P B P AB ?=+- 若B A ,互不相容 ,则)()()(B P A P B A P +=+ 推论：)()(A P A P -=1 推广： )()()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++=?? 若B A ,，C 互不相容，则()()()()P A B C P A P B P C ++=++ 乘法公式：)()()(A B P A P AB P =或()()P B P A B = 若,A B 相互独立 ，()()()P AB P A P B = 推广：)()()()()(12121312121-=n n n A A A A P A A A P A A P A P A A A P ΛΛΛΛΛΛ 若它们相互独立，则1212()()()()n n P A A A P A P A P A =L L L L 2004年7月第1版 2008年4月第10次印刷 第一章 随机事件与概率 1.1 随机事件及其运算 1.1.1 随机现象 在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象.在相同条件下可以重复的随机现象又称为随机试验. 1.1.2 样本空间 随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，记为Ω={ω}，其中ω表示基本结果，又称为样本点.样本点是今后抽样的最基本单元. 1.1.3 随机事件 随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件. 1.1.4 随机变量 用来表示随机现象结果的变量称为随机变量. 1.1.7 事件域 定义1.1.1 设Ω为一样本空间，?为Ω的某些子集所组成的集合类.如果?满足： (1) Ω∈?； (2)若A ∈?，则对立事件A ∈?； (3)若A n ∈?,n =1,2,…，则可列并 A n ∞n =1∈?. 则称?为一个事件域，又称为σ代数. 在概率论中，又称(Ω,?)为可测空间. 1.2 概率的定义及其确定方法 1.2.1 概率的公理化定义 定义1.2.1设Ω为一样本空间，?为Ω的某些子集所组成的一个事件域.若对任一事件A ∈?，定义在?上的一个实值函数P (A )满足： (1)非负性公理 若A ∈?，则P A ≥0； (2)正则性公理 P Ω =1； (3)可列可加性公理 若A 1,A 2,…,A n 互不相容，有 P A i ∞i =1 = P A i ∞ i =1 则称P (A )为事件A 的概率，称三元素(Ω,?,P )为概率空间. 第二章 随机变量及其分布 2.1 随机变量及其分布 2.1.1 随机变量的概念 定义2.1.1 定义在样本空间Ω上的实值函数X =X (ω)称为随机变量. 2.1.2 随机变量的分布函数 定义2.1.2 设X 是一个随机变量，对任意实数x ，称 | | | | | | | | 装 | | | | | 订 | | | | | | 线 | | | | | | | | | 防灾科技学院 2010~2011学年 第二学期期末考试概率论与数理统计试卷（A ） 使用班级本科各班适用 答题时间120分钟 一 、 填空题（每题3分，共21分） 1、设“甲地发生春季旱情”=A 、“乙地发生春季旱情” =B 是两个随机事件，且4/1)(=A P ，3/1)(=A B P ，2/1)(=B A P ，则情” “甲或乙地发生春季旱=C 发生的概率为 1/3 ； 2、已知10张奖券中有2张有奖的，现有两人购买，每人买一张，则其中恰有一人中奖的概率为 16/45 ； 3、设某批电子元件的正品率为5/4，次品率为5/1，现对这批电子元件进行测试，只要测得一个正品就停止测试工作，则测试次数的分布律为 ,2,1,5 4 51}{1 =? ? ? ??==-k k X P k ； 4、某地警察每晚查获机动车醉驾的人数X 服从参数为20=λ泊松分布，则今晚某地警察查获至少一人醉驾的概率为201--e ； 5、设随机变量X 在]6,1[上服从均匀分布，则方程012 =++Xx x 有实根的概率为 4/5或0.8 ； 6、设X 和Y 相互独立，且分别服从参数为3和5的泊松分布，则Y X +服从参数为 8 的泊松分布； 7、设样本4321,,,X X X X 为来自总体)1,0(N 的样本，()3 /24 2322 1 X X X X Y ++= ，则Y 服 从)3(t 。 二、单项选择题（本大题共7小题，每题3分，共21分） 1、袋中有5个球（3个红球，2个白球），每次取1个，无放回地抽取两次，则第二次取到红球的概率为（ A ） (A) 53； (B) 43； (C) 21； (D) 10 3； 2、设随机变量X 的概率分布律为 ,2,1,0,}{=>==k b b k X P k λ，则参数=λ（ C ） (A) 0>λ的任意实数； (B) 1+=b λ； (C) 11+= b λ；(D) 1 1 -=b λ； 3、设随机变量X 的概率密度为+∞<<-∞+=x x x f ,) 1(1 )(2 π，则X Y 2=的概率密度为（ B ） （A ） )41(12y +π；（B ）；)4(22y +π（C ） ) 1(1 2 y +π；（D ） y arctan 1π； 4、设连续型随机变量X 的概率密度为???<≤≤=. 0,0, 10,3)(2x x x x f ，则=)(X E （ C ） (A) 0 ； (B) 1； (C) 4 3 ； (D) 3； 5、设随机变量X 与Y 相互独立，其方差分别为6和3，则=-)2(Y X D （ D ） （A ）9； （B ）15； （C ）21； （D ）27； 6、若)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体)2,1(2N 的简单随机样本，X 为样本均值，则下列统计量服从标准正态分布的是（C ） （A ） 21-X ； （B ）41-X ； （C ）n X /21-； （D ）2 1 -X ； 7、总体21,X X 是取自总体))(1,(未知μμN 的一个样本，下列四个估计量均为μ的无偏估计，则其中最有效的是 ( D ) )(A 1X ； )(B 213132X X +；)(C 214143X X +； )(D 212 121X X +.概率论与数理统计习题集及答案
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