湖南省常德一中2014-2015学年高一下学期期中数学试卷
一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分．每小题只有一个选项符合题意）1．sin（﹣60°）的值等于（）
A．B．C．D．
2．已知||=1，||=，且向量（﹣）和垂直，则?的值为（）
A．0B．1C．D．﹣
3．已知在等差数列{a n}中，a2与a6的等差中项为5，a3与a7的等差中项为7，则数列{a n}的通项公式a n=（）
A．2n B．2n﹣1 C．2n+1 D．2n﹣3
4．已知=（1，2），=（2x，﹣3）且∥，则x=（）
A．﹣3 B．C．0D．
5．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）A．5B．4C．3D．2
6．则与的夹角为120°，则的值为（）
A．﹣5 B．5C．D．
7．已知{a n}是等比数列，有a3?a11=4a7，{b n}是等差数列，且a7=b7，则b5+b9=（）
A．4B．8C．0或8 D．16
8．已知数列{a n}的前n项和为S n=a n﹣1（a为不为零的实数），则此数列（）
A．一定是等差数列
B．一定是等比数列
C．或是等差数列或是等比数列
D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列
9．在△ABC中，若，则△ABC的形状（）
A．直角三角形B．等腰或直角三角形
C．不能确定D．等腰三角形
10．函数y=sinxcosx+sinx+cosx取最大值时x的值为（）
A．2kπ+B．2kπ﹣C．2kπ+D．2kπ﹣
二、填空题（本题包括5小题，每空5分，共25分）
11．函数y=cos（﹣x）的最小正周期是．
12．已知tanα=2，则=．
13．tan3°tan27°+tan3°tan60°+tan60°tan27°=．
14．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°处，A、B两船间的距离为km，则B船到灯塔C的距离为．
15．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1=1，第2个五角形数记作a2=5，第3个五角形数记作a3=12，第4个五角形数记作a4=22，…，若按此规律继续下去，则a5=，若a n=145，则n=．
三、计算题（本题包括6小题，第16、17、18题12分，第19、20、21题13分，共75分）
16．已知=（1，2），=（﹣3，2）．
（1）求及||；
（2）若k与垂直，求实数k的值．
17．已知=（sinθ，1），=（1，cosθ），θ∈（﹣，）
（1）若⊥，求θ的值；
（2）求|+|的最大值．
18．已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，，求△ABC的面积．
19．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2csinA．
（Ⅰ）确定角C的大小；
（Ⅱ）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．
20．在等比数列{a n}中，a n＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），且a1a5+2a3a5+a2a8=25，又a3和a5的等比中项为2．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，求数列{S n}的通项公式；
（3）当+++…+最大时，求n的值．
21．已知数列{a n}满足a1+2a2+4a3+…+2n﹣1a n=9﹣6n．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设，探求使恒成立的m的最大整数值．
湖南省常德一中2014-2015学年高一下学期期中数学试卷
一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分．每小题只有一个选项符合题意）1．sin（﹣60°）的值等于（）
A．B．C．D．
考点：三角函数的化简求值．
专题：计算题．
分析：由诱导公式可得sin（﹣60°）=﹣sin（60°），而sin60°的值易知，从而得到所求的结果．
解答：解：由诱导公式可得sin（﹣60°）=﹣sin（60°）=﹣，故选D．
点评：本题考查利用诱导公式进行化简求值，属于容易题．
2．已知||=1，||=，且向量（﹣）和垂直，则?的值为（）
A．0B．1C．D．﹣
考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．
专题：平面向量及应用．
分析：由于向量（﹣）和垂直，可得=0．展开即可得出．
解答：解：∵向量（﹣）和垂直，∴==0．
∴=．
故选：B．
点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的数量积运算，属于基础题．
3．已知在等差数列{a n}中，a2与a6的等差中项为5，a3与a7的等差中项为7，则数列{a n}的通项公式a n=（）
A．2n B．2n﹣1 C．2n+1 D．2n﹣3
考点：等差数列的性质．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：由等差中项的定义结合等差数列的性质可得a4=5，a5=7，进而可得数列的首项和公差，可得通项公式．
解答：解：由题意可得a2+a6=5×2=10，a3+a7=7×2=14，
由等差数列的性质可得2a4=a2+a6=10，2a5=a3+a7=14
可解得a4=5，a5=7，进而可得数列的公差d=a5﹣a4=2
所以a1=a4﹣3d=5﹣3×2=﹣1，
故a n=﹣1+2（n﹣1）=2n﹣3．
故选：D．
点评：本题考查等差数列的通项公式和等差中项的定义，属基础题．
4．已知=（1，2），=（2x，﹣3）且∥，则x=（）
A．﹣3 B．C．0D．
考点：平行向量与共线向量．
专题：计算题．
分析：根据平面向量的共线定理的坐标表示（x1y2﹣x2y1=0）代入即可求解．
解答：解：∵，且∥
∴1×（﹣3）﹣2×（2x）=0
∴x=﹣
故选B
点评：本题主要考查了平面向量共线的坐标表示．解题的关键是要牢记平面向量共线的坐标表示x1y2﹣x2y1=0．
5．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）A．5B．4C．3D．2
考点：等差数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：写出数列的第一、三、五、七、九项的和即5a1+（2d+4d+6d+8d），写出数列的第二、四、六、八、十项的和即5a1+（d+3d+5d+7d+9d），都用首项和公差表示，两式相减，得到结果．
解答：解：，
故选C．
点评：等差数列的奇数项和和偶数项和的问题也可以这样解，让每一个偶数项减去前一奇数项，有几对得到几个公差，让偶数项和减去奇数项和的差除以公差的系数．
6．则与的夹角为120°，则的值为（）
A．﹣5 B．5C．D．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：根据题目条件得出=1×2×cos120°=﹣1，展开
=2||22，即可求解．
解答：解：∵，与的夹角为120°，
∴=1×2×cos120°=﹣1，
∴2×12+2×22+（﹣5）=5，
故选：B．
点评：本题考察了平面向量的运算，向量的混合运算，数量积的运用，属于基础题，准确化简计算即可．
7．已知{a n}是等比数列，有a3?a11=4a7，{b n}是等差数列，且a7=b7，则b5+b9=（）
A．4B．8C．0或8 D．16
考点：等差数列的性质；等比数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：根据等差数列和等比数列的通项公式进行求解即可．
解答：解：在等比数列中，有a3?a11=4a7，
即a7?a7=4a7，
则a7=4，
在等差数列中，b7=a7=4，
则b5+b9=2b7=8，
故选：B．
点评：本题主要考查等比数列和等差数列的性质，利用相应的通项公式进行求解是解决本题的关键．
8．已知数列{a n}的前n项和为S n=a n﹣1（a为不为零的实数），则此数列（）
A．一定是等差数列
B．一定是等比数列
C．或是等差数列或是等比数列
D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列
考点：数列的应用．
专题：计算题．
分析：由题意可知，当a=1时，a n﹣a n﹣1=0；当a≠1时，，所以
数列{a n}或是等差数列或是等比数列．
解答：解：当a=1时，
a1=a﹣1=0，
a n=S n﹣S n﹣1=（a n﹣1）﹣（a n﹣1﹣1）=0，
a n﹣1=S n﹣1﹣S n﹣2=（a n﹣1﹣1）﹣（a n﹣2﹣1）=0，
∴a n﹣a n﹣1=0，
∴数列{a n}是等差数列．
当a≠1时，
a1=a﹣1，
a n=S n﹣S n﹣1=（a n﹣1）﹣（a n﹣1﹣1）=a n﹣a n﹣1，
a n﹣1=S n﹣1﹣S n﹣2=（a n﹣1﹣1）﹣（a n﹣2﹣1）=a n﹣1﹣a n﹣2，
，
∴数列{a n}是等比数列．
综上所述，数列{a n}或是等差数列或是等比数列．
故选C．
点评：本题考查数列的概念，解题时要注意a=0的情况，避免丢解．
9．在△ABC中，若，则△ABC的形状（）
A．直角三角形B．等腰或直角三角形
C．不能确定D．等腰三角形
考点：正弦定理；三角形的形状判断．
专题：计算题．
分析：由正弦定理==2R可得=，与已知条件结合即可判断△ABC的形状．
解答：解：在△ABC中，由正弦定理==2R可得=，又，
∴=，
∴sin2A=sin2B，
∴A=B或2A=π﹣2B，
∴A=B或A+B=．
∴△ABC为等腰或直角三角形．
故选B．
点评：本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理的应用及两角差的正弦公式的应用，属于中档题．
10．函数y=sinxcosx+sinx+cosx取最大值时x的值为（）
A．2kπ+B．2kπ﹣C．2kπ+D．2kπ﹣
考点：同角三角函数基本关系的运用．
专题：三角函数的求值．
分析：设sinx+cosx=t，利用两角和与差的正弦函数公式化简，求出t的范围，表示出设sinxcosx，表示出y与t的关系式，利用二次函数的性质求出y最大值时t的值，即可确定出此时x的值．
解答：解：设sinx+cosx=t，
即sin（x+）=t，则t∈[﹣，]，sinxcosx=，
∴y=+t=（t+1）2﹣1，
易知当t=时，y取得最大值，
即sin（x+）=，
故x+=2kπ+（k∈Z），
∴x=2kπ+（k∈Z）．
故选：C．
点评：此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．二、填空题（本题包括5小题，每空5分，共25分）
11．函数y=cos（﹣x）的最小正周期是5π．
考点：三角函数的周期性及其求法．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：由条件利用y=Acos（ωx+φ）的周期等于T=，可得结论．
解答：解：函数y=cos（﹣x）=cos（x﹣）的最小正周期是=5π，
故答案为：5π．
点评：本题主要考查诱导公式、三角函数的周期性及其求法，利用y=Acos（ωx+φ）的周期等于T=，属于基础题．
12．已知tanα=2，则=3．
考点：同角三角函数间的基本关系．
专题：计算题．
分析：把tanα=2，代入=，运算求得结果．
解答：解：===3，
故答案为3．
点评：本题考查同角三角函数的基本关系的应用，是一道基础题．
13．tan3°tan27°+tan3°tan60°+tan60°tan27°=1．
考点：两角和与差的正切函数．
专题：三角函数的求值．
分析：由条件利用两角和的正切公式，花简求得结果．
解答：解：tan3°tan27°+tan3°tan60°+tan60°tan27°=tan3°tan27°+（tan3°+tan27°）
=tan3°tan27°+tan（3°+27°）（1﹣tan3°tan27°）
=tan3°tan27°+（1﹣tan3°tan27°）=1，
故答案为：1．
点评：本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．
14．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°处，A、B两船间的距离为km，则B船到灯塔C的距离为1．
考点：解三角形的实际应用．
专题：解三角形．
分析：先求出∠ACB的值，然后在△ABC中应用余弦定理可求得|BC|的值．
解答：解：由题意可知|AC|=2，|AB|=，∠ACB=40°+80°=120°，
设|BC|=x，x＞0
在△ABC中由余弦定理可得|AB|2=|AC|2+|BC|2﹣2|AC||BC|cos∠ACB，
∴7=4+x2﹣2×2x×（﹣），
即x2+2x﹣3=0，
解得x=1或x=﹣3（舍去）
∴|BC|=1km
故答案为：1．
点评：本题主要考查余弦定理的应用，考查根据解三角形的有关定理来解决实际问题的能力．
15．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1=1，第2个五角形数记作a2=5，第3个五角形数记作a3=12，第4个五角形数记作a4=22，…，若按此规律继续下去，则a5=35，若a n=145，则n=10．
考点：归纳推理．
专题：图表型；点列、递归数列与数学归纳法．
分析：仔细观察法各个图形中实心点的个数，找到个数之间的通项公式，再求第5个五角星的中实心点的个数及a n=145时，n的值即可．
解答：解：第一个有1个实心点，
第二个有1+1×3+1=5个实心点，
第三个有1+1×3+1+2×3+1=12个实心点，
第四个有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1=22个实心点，
…
第n个有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1+…+3（n﹣1）+1=+n个实心点，
故当n=5时，+n=+5=35个实心点．
若a n=145，即+n=145，解得n=10
故答案为：35，10．
点评：本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察每个图形并从中找到通项公式．
三、计算题（本题包括6小题，第16、17、18题12分，第19、20、21题13分，共75分）16．已知=（1，2），=（﹣3，2）．
（1）求及||；
（2）若k与垂直，求实数k的值．
考点：平面向量数量积的运算；向量的模．
专题：平面向量及应用．
分析：（1）利用向量的坐标运算法则和模的计算公式即可得出．
（2）?=0，即可得出．
解答：解：（1）∵=（1，2），=（﹣3，2），
∴=（4，0）．
∴==4．
（2）=k（1，2）+（﹣3，2）=（k﹣3，2k+2），
∵，
∴=（k﹣3，2k+2）?（4，0）=4（k﹣3）=0，
解得k=3．
点评：本题考查了向量的坐标运算法则和模的计算公式、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．
17．已知=（sinθ，1），=（1，cosθ），θ∈（﹣，）
（1）若⊥，求θ的值；
（2）求|+|的最大值．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：（1）利用?，即可解得结论；
（2）
==
，由，得，故
的最大值为1，即可得出结论．
解答：解：（1）由题意：，…
∴，∴，…∴，…
又∵，∴…
（2）
∴==
…
又∵，∴，
∴的最大值为1，…
∴的最大值为…
点评：本题主要考查向量垂直的性质及向量求模的运算，考查三角函数求最值等知识，属于中档题．
18．已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，，求△ABC的面积．
考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；正弦定理．
专题：解三角形．
分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公化简函数的解析式为sin（2x+），令2kπ﹣
≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可求得f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）由已知，可得sin（2A+）=，求得A=，再利用正弦定理求得b
的值，由三角形内角和公式求得C的值，再由S=ab?sinC，运算求得结果．
解答：解：（Ⅰ）=sin2xcos+cos2xsin+cos2x
=sin2x+cos2x=（sin2x+cos2x）=sin（2x+）．
令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，
函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．
（Ⅱ）由已知，可得sin（2A+）=，
因为A为△ABC内角，由题意知0＜A＜π，所以＜2A+＜，
因此，2A+=，解得A=．
由正弦定理，得b=，…
由A=，由B=，可得sinC=，…
∴S=ab?sinC==．
点评：本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，正弦函数的单调性，正弦定理以及根据三角函数的值求角，属于中档题．
19．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2csinA．
（Ⅰ）确定角C的大小；
（Ⅱ）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．
考点：余弦定理的应用；正弦定理．
专题：计算题．
分析：（1）通过正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得sinC的值，进而求得C．
（2）先利用面积公式求得ab的值，进而利用余弦定理求得a2+b2﹣ab，最后联立变形求得a+b的值．
解答：解：（1）由及正弦定理得：，
∵sinA≠0，∴
在锐角△ABC中，．
（2）∵，，
由面积公式得，即ab=6①
由余弦定理得，即a2+b2﹣ab=7②
由②变形得（a+b）2=25，故a+b=5．
点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．对于这两个定理的基本公式和变形公式应熟练记忆，并能灵活运用．
20．在等比数列{a n}中，a n＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），且a1a5+2a3a5+a2a8=25，又a3和a5的等比中项为2．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，求数列{S n}的通项公式；
（3）当+++…+最大时，求n的值．
考点：数列与不等式的综合；数列的求和．
专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．
分析：（1）根据等比数列的性质可知a1a5=a32，a2a8=a52化简a1a5+2a3a5+a2a8=25得到
a3+a5=5，又因为a3与a5的等比中项为2，联立求得a3与a5的值，求出公比和首项即可得到数列的通项公式；
（2）把a n代入到b n=log2a n中得到b n的通项公式，即可得到前n项和的通项s n；
（3）把s n代入得到，确定其正负，即可求n的值．
解答：解：（1）∵a1a5+2a3a5+a2a8=25，
∴a32+2a3a5+a52=25
又a n＞0，∴a3+a5=5 …
又a3与a5的等比中项为2，∴a3a5=4 …
而q∈（0，1），
∴a3＞a5，∴a3=4，a5=1，
∴q=，a1=16，∴a n=16×（）n﹣1=25﹣n．
（2）∵b n=log2a n=5﹣n，∴b n+1﹣b n=﹣1，
b1=log2a1=log216=log224=4，
∴{b n}是以b1=4为首项，﹣1为公差的等差数列，
∴S n=．…
（3）∵=，
∴n≤8时，＞0，n=9时，=0，n＞9时，＜0，
∴n=8或9时，+++…+最大…
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查前n项和的求法，解题时要认真审题，注意方法的合理运用．
21．已知数列{a n}满足a1+2a2+4a3+…+2n﹣1a n=9﹣6n．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设，探求使恒成立的m的最大整数值．
考点：数列递推式；数列的求和．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：（1）当n=1时，a1=9﹣6=3，当n≥2时，由a1+2a2+4a3+…+2n﹣1a n=9﹣6n可得2n﹣1a
n=﹣6，从而求数列{a n}的通项公式；
（2）由可得=；n≥2时，=﹣；从而再化恒成立问
题为最值问题即可．
解答：解：（1）当n=1时，a1=9﹣6=3，
当n≥2时，a1+2a2+4a3+…+2n﹣1a n=9﹣6n，①
a1+2a2+4a3+…+2n﹣2a n﹣1=9﹣6（n﹣1），②
①﹣②得，
2n﹣1a n=﹣6，
∴a n=﹣；
∴a n=，
（2）．∵，
∴b1=1?（3﹣log2）=3，=；
n≥2时，
=n（3﹣log2）=n（3﹣（2﹣n））
=n（n+1）；=﹣；
∴可化为：
+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＞；
即+﹣＞恒成立，
即﹣＞恒成立，
故＞成立，
故m的最大整数值为2．
点评：本题考查了数列的通项公式及求和方法的应用，同时考查了恒成立问题，属于中档题．