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初中数学教材中“例习题的推广与变式”教学研究
教材中例题是数学问题的精华，而对这些题目的推广与变式对培养学生的创造性思维，创新能力都将起到积极的作用，因此教师在教学中要善于“借题发挥”，进行一题多解，一题多变，引导学生去探索数学问题的规律性和方法，以达到“做一题，通一类，会一片”的教学效果，让学生走出题海战术，真正做到轻负高质。
例题的推广与变式教学是指相对于某种范式（即数学教材中具体的数学思维成果，含基础知识、知识结构、典型问题、思维模式等）的变式形式，就是不断变更问题的情境或改变思维的角度，在保持事物的本质特征不变的情况下，使事物的非本质属性不断迁移的变化方式。变式有多种形式，如“形式变式”、“内容变式”、“方法变式”等。变式是模仿与创新的中介，是创新的重要途径。变式既是一种重要的思想方法，又是一种重要的教学途径。通过变式方式进行技能与思维的训练叫做变式训练；采用变式方式进行教学叫做变式教学。变式教学要求在课堂上通过变式展示知识的发生、发展、形成的过程，因此，变式教学有利于培养学生探究问题的能力，是“三”基教学、思维训练和创新能力培养的重要途径。
一．例习题的推广与变式的几种形式：
1.一题多变，适当变式，培养学生思维的探索性和深刻性。
通过变式教学，不是解决一个问题，而是解决一类问题，遏制“题海战术”，开拓学生解题思路，培养学生的探索意识，实现“以少胜多”。
案例：一道中考试题引发的思考：
2012年连云港市中考试题第8题：小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点E 处，还原后，再沿过点E 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点F 处，这样就可以求出67.5°角的正切值是【 】
A ．3＋1
B ．2＋1
C ．2.5
D ． 5
本题以轴对称的性质为切入点，以矩形翻折问题为背景，以对学生以“动中取静”抓住作者承诺：本文系本人所作，如有
抄袭等违法违规行为，文责自负。
初中数学中的几道变式训练题一、已知：点O是等边△ABC内一点, OA=4，OB=5，OC=3 求∠AOC的度数。 变式1：在△ABC中，AB=AC，∠ OA=4，OB=6，OC=2 求∠AOC的度数。 变式2：如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°, ∠BOC=135°试问:(1)以OA、OB、OC为边能否构成一个三角形?若能,请求出三角形各内角的度数;若不能,请说明理由. (2)如果∠AOB的大小保持不变,那么当∠BOC等于多少度时, 以OA、 OB、OC为边的三角形是一个直角三角形? 二、已知：C为AB上一点，△ACM和△CBN为等边三角形（如图所示） 求证：AN=BM A B C O A C A B C O
（分析：如对此题多做一些引申，既可以培养学生的探索能力，又可培养学生的创新素质） 探索一：设CM 、CN 分别交AN 、BM 于P 、Q ，AN 、BM 交于点R 。问此题中还有其他的边相等以及特殊角、特殊图形吗？给予证明。 探索二：△ACM 和△BCN 如在AB 两旁，其它条件不变，AN=BM 成立吗？ 探索三：△ACM 和△BCN 分别为以AC 、BC 为底且顶角相等的等腰三角形，其它条件不变，AN=BM 成立吗？ 探索四：A 、B 、C 三点不在一条直线上时，其它条件不变，AN=BM 成立吗？ 三、轴对称：已知直线l 及同侧两点A 、B ，试在直线l 上选一点C ，使点C 到点A 、B 的距离和最小。 变式1：如图，请你设计出两种方案的路线和最短的行走路线（画图 并说明理由） 方案1：小华由家先去河边，再去姥姥家； M A C B B A l
课题名称：初中数学概念的变式教学研究阶段报告 研究容：初三阶段数学概念的变式教学研究 关键词：数学概念变式教学 一、问题提出： （一）问题提出的背景： 十年来，我一直担任初中数学的教学工作，也做了很多全国各地中考题和辅导书上的练习题，慢慢发现很多题实际上考查的知识点都是同一个容，只是题目的立意，创设的情景不同而已。在平时的教学中，我们认为学生已经很熟知的知识，但只要对问题的背景或情景做一些改变，学生就做不出来了。现在社会需要的是创新人才，需要有独立解决问题能力的人才，为了培养学生思维习惯，提高学生的应变能力，我在实际的教学中进行了“关于初中数学概念的变式教学研究”的课题研究。 针对以上背景，也为了进一步提高我校数学教师的整体教学水平，为进一步适应时代的要求，着眼学生的终身学习，着眼学生的发展，让学生积极主动地参与学习活动，在主动参与的过程中掌握学习的方法与技能，进一步提高学生数学的综合素养，我们组全体成员以饱满的热情、高度的责任感和使命感，围绕这一研究课题展开工作。 （二）研究的目的、意义 1、研究的目的： （1）学生能够更好的理解数学中的重要概念以及相关概念的联系和区别，熟悉概念在解题中的运用。 （2）提高我校初三学生的自主探究能力，优化学生的思维能力，提高课堂教学质量。同时，提高教师的专业水平。 2、研究的意义： 数学概念的学习是学生学习数学知识的起点，变式教学是提高学生解题能力的一种重要途径，而数学概念的变式教学能够更好的帮助学生理解所学的知识，以及利用概念来解决相关的问题，使教学过程成为一种有利于学生积极探究的过程，提高学生的学习效能。 传统的数学教学模式早已不适合现代的教学节奏，一些有识之士已经对于数学变式教学进行过研究。如：形式变式、容变式和方法变式等。结合我校实际，我的研究课题，力求在数学概念的变式教学研究中，找到符合知识体系，符合学生发展认知规律的课堂教学模式。 （三）、概念界定： 1、变式教学是指在教学过程过变更概念非本质的特征、改变问题的条件或
原平市初中数学2011版课标测试题(卷） 一、填空题（每空1分，共35分） 1、义务教育阶段数学课程目标分为总目标和学段目标，从、、 、等四个方面加以阐述。 2、数学课程目标包括 和。 3、在各学段中，安排了四个部分的课程内容： “” “” “” “”。 “”内容设置的目的在于培养学生综合运用有关的知识与方法解决实际问题，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力。 4、在数学课程中，应当注意发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、、 和模型思想。为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的和。 5、教学活动是师生积极参与、、 的过程。 6、有效的数学教学活动是教师教与学生学的统一，应体现“”的理念，促进学生的。 7、数学课程标准包括前言、、 、四部分内容。 8、好的教学活动，应是学生和教师的和谐统一。 9、数学知识的教学，要注重知识的“”与 “”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好 的关系，引导学生感受数学的整体性，体会对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解。 10、评价结果的呈现应采用 与相结合的方式。11、学生的现实主要包括生活现实、、其他学科现实三个方面。 12、2011年版稿在总体目标中突出了 “ ”的改革方向及目标价值取向。 13、对学生的培养目标在具体表述上作了修改，提出了“两能”，即 的能力、 的能力。 14、教材一方面要符合数学的，另一方面要符合学生的。 二、选择题（每题2分，共20分） 1、义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，它不具有（） A、基础性 B、普及性 C、发展性 D、连续性 2、对于教学中应当注意的几个关系，下列说法中错误的是（）
初中数学分层教学案例 初中数学分层教学案例一一、学生分层。教师必须认真 研究全班学生的共同特点和个别差异，综合考虑全班每个学生的智力与非智力因素，主要根据成绩将全班学生相对分为优、中、差三个层次，即a、b、C三个组。a组为优生，b组为中等生，C 组为差生。分组后有利于教师组织教学，上课辅导，作业批改，信息反馈，充分调动不同层次学生的学习积极性和主动性，使不同层次的学生在掌握知识的同时，智力都得到不同程度的提高。 二、提问分层。为了能鼓励全体学生都能参与课堂活动，使课堂充满生机，教师应有意识地编拟三个层次的问题便于课堂提 问，有思维难度的问题让a层学生回答，简单问题优待C层学生，适中的问题的回答机会让给b层学生。学生回答问题有困难时，教师给予适当的引导、点拨。 三、作业分层。针对教学内容和学生的实际学习能力，教师 分层次选编基本巩固性习题、拓展性习题、综合性习题。C层学生紧扣课本，会做基础题;b层学生能完成书上全部习题;a层学生另外增加变式题和综合题。学生完成各层次相应作业后选做高一层次作业。这样可解决以往统一作业时，高层学生“吃不饱”、中层学生“吃不好”、低层学生“吃不了”的矛盾。 四、辅导分层。平时利用第二课堂对学生进行分类辅导。对C 层学
生辅导主要是调动非智力因素，培养师生和谐感情，激发学习兴趣，指导学习方法，面批部分作业，个别辅导重点突出，选题简单、基础；对b层学生增加综合性习题，鼓励拔尖；挑选a层学生进行数学竞赛辅导，主要是培养创造性思维与灵活应变能力。 五、测试分层。阶段性测试具有比较全面、及时反馈各层次学生阶段学习效果的作用和激励作用。把握试卷难度，按层次编制测试题，大部分为基础题，少部分为变式题、综合题，其中基 础题量占70%在一份试卷里分为必做题和选做题。必做题各层次学生都做，b层学生选做选做题，a层学生则做全部选做题。 六、评价分层。对学生进行分层评价，以其在原有知识水平上的进步和提高大小作为评价学生是否完成教学目标的一个基准，这是进行分层教学的一个重要的方面，也是衡量分层教学法是否有效的一个重要手段。教学过程中针对不同层次的提问、练习、作业等及时做出有效的、鼓励性的评价。教师针对阶段教学效果作自我反馈、自我调节。主要是在分层施教这一环节调整教学设 计，改进教学方法和教学手段，进一步使“教”适于“学”，提高课堂教学效率。 总之，分层教学能优化课堂教学结构，面向全体学生，开发潜能，提高素质，使不同层次学生能够学有所获，全面提升教学质量。 初中数学分层教学案例二一、初中数学分层教学法综述 初中数学中分层教学法的实质是根据学生对数学学习能力以及数学思维之间的差异，将学生进行分层，对不同层次的学生实施针对性的教学，以达到提升教学质量为最终目的的教学手段。
初中数学变式教学策略 从小学到高中，数学都是一门非常重要的学科，数学来源于生活，同时也在生活中有很广泛的应用，学好数学是非常重要的．不过，数 学的计算过程复杂，知识抽象性很强，尤其在初中阶段，学生的抽象 思维尚且不够完善，学习起来困难很大．变式教学是一门重要且效率 极大的数学教学方法，值得教师推广应用． 无论应用怎样的教学方法，教师都需要先了解其理论基础．数学 变式教学同样具备其独有的理论基础．对于人类的生长周期，我们能 够应用逻辑学中的“运算”实行划分，其中，人类的智力成长周期能 够分为四个阶段，依次是感触规律阶段、规律探索阶段、运算作用阶段、运算规律操作阶段．根据智力成长的周期特性，我们不难发现， 学习其实是需要准备的，尤其是对数学知识这种抽象性很强的知识， 更需要学生做出充分的准备和积极的探究．初中生的智力成长正在运 算作用阶段，逐渐向运算规律操作阶段发展，当然，这不是绝对的， 每个学生都不一样，有些学生水平较强已经发展到运算规律操作阶段，而有些学生则还处于规律探索阶段．所以，初中阶段，学生的思维水 平正在发展，对于学生理解水平的培养是非常重要的．数学中有很多 概念和符号都比较抽象，学生在理解时会出现很大难度，难以快速地 形成系统的知识框架．当前，很多初中数学教师在课堂教学中，应用 文字讲解加符号教学的方式实行教学，这对学生知识理解的协助作用 是微乎其微的．学生在难以理解知识的情况下，智力成长也会受到防
碍，从而导致学习效率无法提升，初中数学教学失去意义．在初中数 学变式教学中，其教学活动是围绕着培养学生理解水平这个主题展开的，通过教学知识的理论与应用，将传统的理论教学变成应用教学． 二、发挥变式教学的作用 在明确变式教学的理论基础后，还需要在实际的教学过程中实行 应用，充分发挥其作用．变式教学的基本教学思路是，在教学中增加 一题多变、一法多用、一题多解等模式的应用，通过培养学生的思维 理解水平，提供教学有效性．在初中数学变式教学中，对于某一知识 难点的理解，教师不能沿用过去硬性灌输的低效方法，理应将理论与 应用相结合，围绕同一理论知识，设计多种类型的题目，然后引导学 生在解题的过程中，理解其中蕴含的数学理论知识，这样学生能够对 数学理论知识有非常透彻的理解，将来无论遇到什么样的题型，学生 都能发掘其理论知识本质，从根本找出解决的方法．在变式教学中需 要用到非常多的例题，看起来与题海战术有相似之处，但两者的本质 是完全不同的，变式教学引用例题，不是为了让学生见到更多题型， 按套路解题，而是在教学抽象理论知识的时候，通过灵活多变的题目，将枯燥乏味的理论知识演绎出来，让学生运算规律操作得到充分的锻炼．在初中数学中应用变式教学，能够有以下三个作用． 其一，数学理论知识的变式突显教学的重点．变式教学能够很好 的促动数学理论知识教学．在初中数学变式教学中，对于数学抽象理 论知识的教学，无论是定理、概念、性质还是公式，都能够与其应用
《中学数学教材教法》试题库1(共十一份) 试题（一） 一填空 （1）有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式。 （2）《义务教育数学课程标准》的基本理念指出：义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，实现：人人学有价值的数学；人人都能获得必要的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。 。 （3）学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。 （4）《标准》中所陈述课程目标的动词分两类。第一类，知识与技能目标动词，包括了解或认识、理解、掌握、灵活运用.第二类，数学活动水平的过程性目标动词，包括经历或感受、体验或体会、探索。 二、简述《义务教育数学课程标准》（实验）的总体目标。（15分） 答：通过义务教育阶段的数学学习，学生能够： （1）获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方和必要的应用技能； （2）初步学会运用数学的思维方式支观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其它学科学习中的问题，增 强应用数学的意识； （3）体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心； （4）具有初步的创新精神和实践能力，要情感态度和一般能力方面都能得到充分发展。 三、简述： （1）初中数学新课程的教学内容体系。 1、要点：初中数学新课程的教学内容体系较以前有很大不同。按照新课程教学内容难易程度与学生的可接受性，将其称为第三学段，隶属于，具体有六个核心概念。四大学习领域：数与代数、空间与图
形、统计与概率、实践与综合应用。六个核心概念：数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识、推理能力。
随着基础教育课程改革的浪潮滚滚而来，新课程体系在课程功能、结构、内容、实施、评价和管理等方面都较原来的课程有了重大创新和突破。以“科研兴教、科研兴校”为宗旨。坚持以人为本，进一步转变观念，使我校的教育科研工作真正能促进教师专业成长和学生能力的发展，能为新课改的深入实施服务。 一、工作重点 1.认真组织课题组成员学习理论，本阶段主要学习《数学课程标准》、《常州市中学数学学科教学建议》和与本课题研究有关的论文，以及一些最新的课堂教学实践案例。紧密结合研究课探讨理论与实践的得失，促进理论的内化和吸收；从理论出发，积极在实际中运用验证。 2.把握新课程改革的动向，不断完善和补充本课题的研究内容，为学生素质的全面发展服务。新课程改革，赋予了我们课题研究新的内涵，我们不仅要从“研究内容”上来关注学生的发展，更要从学生的学习方式上来培养各个层次学生的创新意识和实践能力。本学期，以如何把该课题研究与目前的教科研一体化进行有机地整合为重点，力争使该课题研究更加完善和丰富。 3.保质保量的开好课题研究课。研究课是验证课题理论假设，探索理论在实践中如何具体操作的重要方式，是课题的生命所在。课堂教学是主渠道、主阵地，是教学科研工作的重中之重，扎实而有效地开展课堂教学，不仅为教师们才能的施展提供了一个自我挑战的舞台，更是培养、提高学生综合素质的学习实践基地。在充分学习理论的基础上，经过集体备课，由课题组教师开好研究课。课后要及时进行评议、研讨，以获得有益的经验和理论上的进步。 4.把本课题研究内容与学校的课程改革紧密结合起来，让老师们在对教材充分理解的基础上，结合本课题研究的重点——数学分层教学的实施细则。 5.积极邀请外校专家来校指导以及和其他兄弟学校进行课堂交流。 6.进行过程化管理。认真做好各种活动的记录，及时收好各种研究资料。期初定好工作计划，期末写好阶段性总结和研究论文。 二、具体工作安排 9月份 1. 制定好课题研究计划。 2. 围绕本学期的研究重点，组织课题组成员进行一次交流并完善研究计划。 3. 利用教研组这一活动基地开设好研究课。 10月份 1．进一步学习数学新课程标准，使课题组的每一位教师都明确本课题研究的目的、意义、要求和研究方向。 2．组织课题组成员写好阶段性研究报告，整理好各种资料，迎接中期评估。 11月份 1. 对环境和氛围的创设展开专题探讨，交流经验和困惑。 2．深入课堂对“初中数学分层教学”进行行动研究。 12月份 1．集中讨论数学课堂中环境和氛围创设的成功与困惑之处，结合课题研究要求进一步修改。 2．撰写有关研究总结和论文，提出下一步研究的计划。 3．记录研究过程，写好阶段性研究报告。 由于课题组老师对课题研究的具体可操作性还处于不断探索中，“初中数学分层教学研究”课题研究方案已经进入实质性研究阶段，我们边学习边借鉴、边消化边实践，同时也非常希望能得到其他课题组和兄弟学校的大力支持和帮助。我们相信：只要不断学习，努力实践，扎实工作，教科研工作一定会取得丰硕的成果
圆的切线习题课（学案） 学习目的：1、熟练应用切线的判定定理和性质定理 2、熟悉常规图形的位置关系及数量关系 学习过程： 一、知识准备：1、切线判定定理（符号语言表示） 2、切线性质定理（符号语言表示） 二、常规图形 例1、如图，线段AB经过圆心O,交⊙O于点A、C，∠BAD＝∠B＝30o，边BD 交圆于点D， 求证：BD是⊙O的切线 分析图形特征： 1、6个三角形，其中等边三角形是 为等腰三角形是；直角三角形是 全等三角形有。 2、边角特征：①∠BAD＝∠B＝30o ②AD＝BD ③BC=OC=OA=OD=r，等价AB＝3 BC＝3 r ④BD是⊙O的切线
变式1如图，已知∠BAD＝30o，AD＝BD，（1）求证：BD是⊙O的切线，（2）若OA＝2，求BD、BC的长 变式2 如图，已知∠BAD＝30o，BC＝OC， （1）求证；BD是⊙O的切线；（2）求∠B度数 变式3：如图，已知∠B＝30o，BC＝OC （1）求证；BD是⊙O的切线；（2）求∠BAD度数 变式4：已知AD＝BD，BC＝OC，求证；BD是⊙O的切线
变式5：已知BD是⊙O的切线，∠B＝30o， （1）求∠A的度数（2）求证：BC＝OC 变式6：BD是⊙O的切线，探索∠BAD与∠B的数量关系。 中考真题体验： 1、（06厦门市）如图，AC为⊙O直径，B为AC延长线上的一点，BD交⊙O于点D，∠BAD=∠B=30° （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）请问：BC与BA有什么数量关系？写出这个关系式， 并说明理由．
2、(2007年韶关市中考) 如图3，AB是半⊙O的直径，弦AC与AB成30°的角，AC=CD.（1）求证：CD是半⊙O的切线；（2）若OA=2，求AC的长. [学生创作题] 变式7：已知BD是⊙O的切线，∠BAD＝30o， （1）求∠B的度数，（2）求证：BC＝OC 变式8：已知BD是⊙O的切线，且BC＝OC，求∠BAD，∠B的度数。 变式9：已知∠BAD＝22.5o，∠B＝45o， 求证：BD是⊙O的切线
初中数学教材例题与习题“二次开发”的策略研究 一、问题的提出 现实教学过程中，教师对教材例题与习题的处理都是简单的、表面的，对教材例题与习题“二次开发”的意识不强，在备课中不能对例题、习题进行深层次的挖掘、拓展、 再创造，在授课时也往往出现一笔带过、草草了事的教学现状。而教材例题与习题的“二次开发”能促使学生的学习方式由“重结论轻过程”向“过程与结果”并重的方向发展，使学生挖掘隐含问题的本质属性，从而达到“做一题，通一类，会一片”的解题境界。正如数学教育家波利亚指出的：“一个有责任心的教师穷于应付繁琐的数学内容和过量的题目， 还不如适当选择某些有意义但又不太复杂的题目去帮助学生发掘题目的各个方面，在指 导学生的解题过程中，提高他们的才智和解题能力。” 二、核心概念界定 教材例题与习题的“二次开发”：主要是指教师和学生在课程实施过程中依据课程标 准对教材中的例题与习题的背景、条件和结论、解法以及题目中的基本图形进行再度发 展和创新，从而使之更好地适应具体的教育教学情景和学生的学习需求。它以既有教材 为依托，基于教材，又超越教材，可以从三个向度上展开：一是对既有教材例题与习题 灵活地、创造性地、个性化地运用; 二是对其它教学素材资源的选择、整合和优化; 三是自主开发其它新的教学资源。 三、理论依据 1.再创造理论 荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔认为：数学知识既不是教出来的，也不是学出来的，而是研究出来的。他强调学生学习数学是一个经验、理解和反思的过程，强调以学生为 主体的学习活动对学生理解数学的重要性，强调激发学生主动学习的重要性，并认为做 数学是学生理解数学的重要条件。弗赖登塔尔说的“再创造”，其核心是数学过程再现，是通过教师精心设计、创设问题情景，通过学生自己动手实验研究、合作商讨，来探索 问题的结果并进行组织的学习方式。 2.波利亚解题思想 美国著名数学教育家G·波利亚认为：学习任何东西的最好的途径是自己去发现。为 了有效地学习，学生应当在给定的条件下，尽量多地自己发现要学习的材料。波利亚强 1
xx市基础教育教学研究项目 中期报告 立项编号xxxxxxxxxxxx 课题名称初中数学分层教学方式与策略研究 学科分类初中数学 主持人xxx 所在单位xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 时间 2016-12-06 《初中数学分层教学方式与策略研究》课题中期报告 “初中数学分层教学方式与策略研究”课题组2013年4月在xx县xx镇第一初级中学成立，并着手进行该课题的研究。2016年9月被xx市教育教研信息中心批准立项，立项编号:xxxxxxx。新课题组于2016年6月成立，参与研究的教师在原有xx县xxxx第一初级中学课题组教师的基础上，xx县实验中学xx丽老师，xx县xx镇第一初级中学xxxxxx老师也加入该课题组。经过课题组全体人员的实践与探索，已初见成效，现将实践研究过程及结果汇报如下： 一、课题的提出 自古以来，便有提倡“因材施教”，宋代朱熹在《论语》的注解中指出：“孔子教人，各因其材。”“因材施教”它的终极目标和我们现在要说的“分层递进教学”是一样的。分层递进教学的理论基础为布卢姆的掌握学习理论：“只要在提供恰当的材料和进行教学的同时，给每个学生提供适度的帮助和充分的时间，几乎所有的学生都能完成学习任务或达到规定的学习目标”。 新的课程标准指出，数学要面向全体学生，实现人人学有价值的数学，人人都能获得必要的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。而现行的教学方式为传统的“平行分班”，由于学生基础知识状况、兴趣爱好、智力水平、潜在能力、学习动机、学习方法等存在差异，接受教学信息的情况也就有所不同，而且一个班级里人数较多，如果按中等学生的水平授课，长期下来必然形成一部分学生“吃
初中数学教学典型案例分析 我仅从四个方面，借助教学案例分析的形式，向老师们汇报一下我个人数学教学的体会，这四个方面是： 1.在多样化学习活动中实现三维目标的整合； 2.课堂教学过程中的预设和生成的动态调整； 3.对数学习题课的思考； 4.对课堂提问的思考。 首先，结合《勾股定理》一课的教学为例，谈谈如何在多样化学习活动中实现三维目标的整合 案例1：《勾股定理》一课的课堂教学 第一个环节：探索勾股定理的教学 师（出示4幅图形和表格）：观察、计算各图中正方形A、B、C的面积，完成表格，你有什么发现？ A的面积B的面积C的面积 图1 图2 图3 图4 生：从表中可以看出A、B两个正方形的面积之和等于正方形C的面积。并且，从图中可以看出正方形A、B的边就是直角三角形的两条直角边，正方形C的边就是直角三角形的斜边，根据上面的结果，可以得出结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 这里，教师设计问题情境，让学生探索发现“数”与“形”的密切关联，形成猜想，主动探索结论，训练了学生的归纳推理的能力，数形结合的思想自然得到运用和渗透，“面积法”也为后面定理的证明做好了铺垫，双基教学寓于学习情境之中。 第二个环节：证明勾股定理的教学 教师给各小组奋发制作好的直角三角形和正方形纸片，先分组拼图探究，在交流、展示，让学生在实践探究活动中形成新的能力 (试图发现拼图和证明的规律：同一个图形面积用不同的方法表示)。 学生展示略 通过小组探究、展示证明方法，让学生把已有的面积计算知识与要证明的代数式联系起来，并试图通过几何意义的理解构造图形，让学生在探求证明方法的过程中深刻理解数学思想方法，提升创新思维能力。 第三个环节：运用勾股定理的教学 师（出示右图）：右图是由两个正方形 组成的图形，能否剪拼为一个面积不变的新 的正方形，若能，看谁剪的次数最少。 生（出示右图）：可以剪拼成一个面积 不变的新的正方形，设原来的两个正方形的 边长分别是a、b，那么它们的面积和就是 a2+ b2，由于面积不变，所以新正方形的面积 应该是a2+ b2，所以只要是能剪出两个以a、b 为直角边的直角三角形，把它们重新拼成一个 边长为 a2+ b2 的正方形就行了。
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/8c6706775.html, 初中数学变式教学的运用 作者：赖秀芬 来源：《中学教学参考·理科版》2015年第07期 [摘要]初中数学教学中采用变式教学的模式，可以在一定程度上提高学生学习数学的效率.变式数学是一种根据教学目的，对相关命题进行合理转化的教学模式.变式教学必须从一个或 几个原则进行重点考虑：有效原则、目标指导原则、创新性原则.主要分析了对初中数学变式 教学的认识与研究，为数学教学提供参考. [关键词]初中数学变式数学应用分析 [中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2015）200011 数学是一门最基础的学科，到了初中，学生对这门课程早已经不陌生了.它可以开拓学生 的思维，使学生的逻辑性更强，思维更宽广.然而，数学也是一门很枯燥的学科，学生学习数 学时并没有什么兴趣.因此，在初中数学教学过程中，应适当地采用一些合理有效的方式来提 高学生学习数学的效率.经过专家的不懈努力，变式教学的模式应运而生，并且在实际教学中 的应用得到了广大师生的肯定.可仍然有教师在数学教学中对变式教学模式不是很熟悉，没有 真正地去理解变式教学的具体含义和教学方式，在数学教学中没有充分发挥出变式教学模式的作用.因此，本文将探讨变式教学模式在初中数学教学中的应用研究，使其能更好地得到推广. 一、数学变式教学的含义 以往的数学教学工作，总是完全围绕课本或教学大纲进行.现如今，在新课程标准的引导下，数学的教学模式发生了改变，数学不再是完全局限在一个封闭的课本知识领域，而是让学生在对所学知识有了一定的理解后，运用变式教学的方法，进一步深化学习.这里所说的变 式，指的是教师要有目的地对数学概念和例题进行合理的转化，在保留概念或例题的本质内容的情况下，教师将其进行不断的变换.如变换内容、形式和结果等，从而让学生既学习、掌握 了该数学的概念，又让学生更好地掌握它的本质内容. 二、变式教学的分类应用 数学概念有很多，初中数学教学的秩序一般都是先从概念入手.教师进行概念的讲解，学 生学好数学的关键就是能否正确地理解数学的概念.所以，变式教学在数学概念教学中的应用 相对还是比较常见的.将变式教学方式运用到数学的概念教学中，学生的想象空间会更宽泛.学生明白了数学概念的同时，还可以与数学的变式知识联系到一起，这样学生在做数学题时的思维会更开放，对解数学题有很好的帮助，从而达到实现变式教学，提高初中生学习数学的兴趣和效率的目的.数学的魅力就在于难题被解开的那一瞬间，学生获得的成就感，这种成就感可 以增强学生的自信.对学生提高数学学习能力也是一种帮助.
专题讲座 初中数学试卷讲评课的教学研究 刘秀华北京教育学院丰台分院 对《初中数学试卷讲评课的教学研究》这部分内容的认识，将从以下五个方面展开。 一、试卷讲评课的意义、目的 二、试卷讲评课的现状 三、试卷讲评课的原则 四、试卷讲评课的几个环节 五、试卷讲评课应注意的几个问题 新课程标准指出：“评价的目的是全面考察学生的学习状况，激励学生的学习热情，促 进学生的全面发展。评价也是教师反思和改进教学的有利手段。” “对学生数学学习的评价，既要关注学生知识与技能的理解和掌握，更要关注他们情感 与态度的形成和发展；既要关注学生数学学习的结果，更要关注他们在学习过程中的变化和 发展。评价的手段和形式应多样化，要将过程评价与结果评价相结合，定性与定量相结合，充分关注学生的个性差异，发挥评价的激励作用，保护学生的自尊心和自信心。教师要善于利用评价所提供的大量信息，适时调整和改善教学过程。” 考试是定量评价的一种方式，考试结束后要将评价结果及时反馈给学生。而数学试卷讲评课是将考试结果及时反馈给学生的最好的手段。 一、试卷讲评课的意义、目的 （一）试卷讲评课的意义 试卷讲评课是各学科教学过程中的一种重要课型。它的意义在于： 1. 试卷讲评对学生的知识起着巩固、矫正、充实、完善、深化的作用。 2. 试卷讲评是对知识进行梳理、整合、再运用的过程。 3. 试卷讲评是师生共同进一步探讨解题思路方法、提炼数学思想、探寻总结解题规律、 提高分析问题和解决问题的能力、优化思维品质的重要手段。 （二）试卷讲评课的目的 1. 纠正错误，规范解题
通过试卷讲评纠正学生答题中的各种错误，掌握正确的解题方法，从而夯实基础，巩固、完善、深化所学知识和方法。 2. 分析得失，找出差距 通过试卷讲评引导学生分析自己的进步与不足，学会学习、学会自我评价。 还要通过试卷讲评使学生看到自身与他人的差距，认识到自身的学习实际与学习能力的 差距，明确努力的方向。 3. 提炼概括，融会贯通 通过试卷讲评对知识、解题方法作进一步的梳理、归纳，能够站到数学思想方法的高度 认识所学内容，并寻找适合自己的最佳学习途径。学会思考，举一反三，融会贯通。 4. 拓展思路，提升能力 通过试卷讲评，挖掘试题功能，一题多解、多解归一、一题多问、一题多变、小题大做、借题发挥，拓展解题思路，从而提高分析问题和解决问题的能力。 （三）试卷讲评课的任务 1. 引导学生进行自评。学生自评应分为两步：一是课外，二是课内。通过课外学生自 评，课内由教师组织学生进行讨论，澄清一些模糊认识，起到自我更新知识结构的调节作用。 2. 根据学生的讨论，由教师引导学生加以归纳提高，理清解题思路，进一步提高学生 分析问题、解决问题的能力。 二、试卷讲评课的现状 经常听老师们说：这个题都讲了好几遍了，考试时还是有这么多学生出错。 为什么会出现“老师反复纠错，学生重复出错”这种现象呢？究其原因是：我们对讲评课的认识不够，使得讲评课的效率偏低，没有真正起到帮助学生纠正错误，弥补缺漏，加深理 解，强化巩固的作用。目前，试卷讲评课的现状是： （一）阅卷不及时，讲评滞后，使得讲评失去了效果 1. 由于我们数学教师教学任务都比较重，压力较大，有些老师为了赶进度，考完试就 忙着上新课，往往把试卷讲评课安排在辅导时间、自习时间，使得试卷讲评滞后。 2. 不能及时阅卷或阅卷时间拖得较长。 3. 阅完卷后，统计分析工作又不及时。 由于讲评不及时，等到讲评时，学生早已把试题和自己的解题思路忘得差不多了，而且情绪懈怠，讲评课的效果就会大打折扣。
初中数学中的几道变式训练题 一、 已知：点O 是等边△ABC 内一点, OA=4，OB=5，OC=3 求∠AOC 的度数。 变式1： 在△ABC 中，AB=AC ，∠ OA=4，OB=6，OC=2 求∠AOC 的度数。 变式2：如图,点O 是等边△ABC 内一点,∠AOB=110°, ∠BOC=135° 试问:(1)以OA 、OB 、OC 为边能否构成一个三角形?若能,请求出三角 形各内角的度数;若不能,请说明理由. (2)如果∠AOB 的大小保持不变,那么当∠BOC 等于多少度时, 以OA 、 OB 、OC 为边的三角形是一个直角三角形? 二、已知：C 为AB 上一点，△ACM 和△CBN 为等边三角形（如图所示） 求证：AN=BM （分析：如对此题多做一些引申，既可以培养学生的探索能力，又可 A B C O A C A B C O M A C B
培养学生的创新素质） 探索一：设CM、CN分别交AN、BM于P、Q，AN、BM交于点R。问此题中还有其他的边相等以及特殊角、特殊图形吗？给予证明。 探索二：△ACM和△BCN如在AB两旁，其它条件不变，AN=BM成立吗？ 探索三：△ACM和△BCN分别为以AC、BC为底且顶角相等的等腰三角形，其它条件不变，AN=BM成立吗？ 探索四：A、B、C三点不在一条直线上时，其它条件不变，AN=BM 成立吗？ 三、轴对称：已知直线l及同侧两点A、B，试在直线l上选一点C，使点C到点A、B的距离和最小。 变式1：如图，请你设计出两种方案的路线和最短的行走路线（画图并说明理由） 方案1：小华由家先去河边，再去姥姥家； 方案2：小华由家先去姥姥家，再去河边； 小华家 河流 B A l
初中数学教材中例题的处理分析 数学教材中的例题都是许多专家学者经过无数次的权衡，最终编选出的最具代表性的习题，符合初中学生的认知规律和个人能力。教师如能够将例题的作用发掘出来，学生学习数学就不再成为难题。但这也对教师的个人教学水平以及对例题的处理能力提出了更高的要求。初中数学教材中例题的功能主要体现在以下几方面。 一、初中数学教材中例题的功能 首先，例题在结构方面体现了重要知识点与技能的结合，学生在解题或听教师讲解习题的过程中都是在掌握方法，获得知识，逐渐实现了学生从知识到能力的转化。因而处理例题是培养学生数学学习能力和数学核心素养的关键所在。 在功能性上，初中数学教材中的例题主要具有示范功能、教育功能和转化功能。这需要教师在处理例题时总结技巧，传授给学生方法，帮助他们找到例题的规律，从而能够掌握同类习题的解法。对于学生的解题方法和过程要在此过程中进行规范，让学生在掌握规律、方法的同时感受到数学的奇妙以及解题带来的成就感与乐趣。此外，初中阶段的重要数学概念、数学方法都融入了数学例题当中，学生巩固知识、延伸技能都需要通过解题来实现。教师在处理例题时应进行经验指导，将例题的功能和优势充分发挥出来。 二、初中数学教材中例题的处理策略 （一）处理例题，增强学生的逆向思维能力 逆向思维的形成能够让学生从不同的角度来思考问题。如题：甲乙二
人相距4千米，二人同时出发，相向而行。甲按照7千米/小时的速度行进，乙按照6千米/小时的速度行进。其中甲在出发时携带了一只小狗，小狗以15千米/小时的速度向乙方跑去，在遇到乙时折返，直至甲乙二人相遇。求小狗在此过程中共跑动了多少千米。这一题目具有很强的抽象性，许多学生在读题后会陷入茫然。此时如教师能够引导学生应用逆向思维来思考，就能够轻松的解题。题目中已经给出了小狗的行进速度，只要能够求出其共跑动了多长时间就可得出跑动的总路长，也就是需要求出甲乙二人相遇所需的时间。设甲乙相遇所需的时间为x，列出方程7x+6x=4，求出x后乘以小狗的行进速度即可得出答案。这样的解题思维使得这样一个原本数量关系复杂，条件较多的例题迎刃而解了，而运用的正是逆向思维方法。可见，在学生思而不得其解时让他们尝试运用逆向思维，不仅能够提高他们的思维品质，还能够提高解题的效率。 （二）利用例题，增强学生的反思意识 反思能够让学生在解题过程中发现不足和错误之处，找到创新化的解题路径，实现再创造。如题，变式1：一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成？变式2：一件工作，甲单独做20小时完成，甲、乙合做7.5小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成？通过这样的变式教学，学生的思维被拓宽，巩固了知识点。教师要不断地询问学生问题的本质是什么？应从哪一点入手分析？哪一种方法更为便捷？从而使学生不断反思，提高对例题的处理能力和解题的效率。
《在中学数学教学中对学生合情推理能力培养的研究》 研究报告 一、课题的提出 新的课程标准指出，“学生通过义务教育阶段的数学学习，经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力。” 当今，教育领域正在全面推进，旨在培养学生创新能力的教学改革。但长期以来，中学数学教学十分强调推理的严谨性，过分渲染逻辑推理的重要性而忽视了生动活泼的合情推理，使人们误认为数学就是一门纯粹的演绎科学。事实上，数学发展史中的每一个重要的发现，除演绎推理外，合情推理也起重要作用，合情推理与演绎推理是相辅相成的。在证明一个定理之前，先得猜想、发现一个命题的内容，在完全作出证明之前，先得不断检验、完善、修改所提出的猜想，还得推测证明的思路。你先得把观察到的结果加以综合，然后加以类比，你得一次又一次地进行尝试，在这一系列的过程中，需要充分运用的不是论证推理，而是合情推理。合情推理的实质是“发现---猜想”，牛顿早就说过：“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现。”著名的数学教育学波利亚早在1953年就大声疾呼：“让我们教猜测吧！先猜后证──这是大多数的发现之道”。在解决问题时的合情推理的特征是不按逻辑程序去思考，但实际上是学生把自己的经验与逻辑推理的方法有机地整合进来的一种跳跃性的表现形式。因此在数学学习中，既要强调思维的严密性，结果的正确性，也要重视思维的直觉探索性和发现性，即应重视数学合情推理能力的培养。 二、课题的涵义 数学家波利亚说:“数学可以看作是一门证明的科学，但这只是一个方面，完成了数学理论，用最终形式表示出来，像是仅仅由证明构成的纯粹证明性。严格的数学推理以演绎推理为基础，而数学结论的得出及其证明过程是靠合情推理才得以发现的。”由一个或几个已知判断推出另一未知判断的思维形式，叫做推理。合情推理是根据已有的知识和经验，在某种情境和过程中推出可能性结论的推理。合情推理就是一种合乎情理的推理，主要包括观察、比较、不完全归纳、类比、猜想、估算、联想、自觉、顿悟、灵感等思维形式。合情推理所得的结果具有偶然性，但也不是完全凭空想象，它是根据一定的知识和方法做出的探索性的判断，因而在平时的课堂教学中如何教会学生合情推理，是一个值得探讨的课
《初中数学分层教学研究》结题报告 溧阳市光华初级中学方晓、宋国洪 一、课题的提出 新课程标准指出，数学要面向全体学生，实现人人学有价值的数学，人人都能获得必要的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。而现行的教学方式为传统的“平行分班”，由于学生的认知水平有很大的差异性，而且一个班级里人数较多，如果按中等学生的水平授课，长期下来必然形成一部分学生吃不饱，一部分学生吃不了，学优生学习没动力，冒不了尖，学困生最基本的也掌握不了，给其它学科的学习带来困难，不能实现每个学生在原有基础上得到最大限度的发展。因此我组决定探索一种新的教学方法——分层教学法，以激发学生的学习积极性，充分发挥个人的创造能力，激发创新思维。 二、理论依据 1、美国教育学家布鲁姆在掌握学习的理论中指出：“许多学生学习中未能取得优异成绩，主要不是学生智慧能力欠缺，而是由于未能得到适当的教学条件与合适的帮助造成的。” 2、原苏联心理学家科鲁捷茨基的研究实验表明，儿童的数学学习能力存在差异。数学分层教学的涵义就是把同一班级（年级）的学生，按照学习基础，能力的差异分成若干个层次，设定不同的教学目标、教学内容和评价标准来实施教学，以最大限度调动学生的学习积极性，使每个学生在各自的基础上得到最大限度的发展。 三、研究内容及方法 主要内容是：通过课题的研究,探索如何在现行班级体制下实施分层教学——分层教学的模式，并通过实施分层教学提高全体参加实验同学对数学的学习兴趣和成绩。通过课题的研究，加强教师自身的学习，使他们树立正确的学生观和教育观，加强组内的合作交流意识，使教师教学的实践水平和理论水平有较大提高，力争做科研型教师。 本课题的研究主要采用实验研究的方法，通过学科教学实验来检验。 1．以本校作为课题实验研究基地，同时选择其中三个年级、部分班级作为参照班级进行对比研究，并定期进行检验。 2．实施实验前，分别对实验班级和参照班各个层次同学的情况进行多方位了解和调查摸底。 3. 实施过程中，积极学习先进教学理论，借鉴他人的成功经验，检验方案的实施落实情况。其中采用调查法、对比法、专题讲座、专家检验等手段，由相关备课组组织进行调研。针对实验过程中的实验问题进行研讨、分析，加强对变量的研究，不断改进操作方法，提高实验质量。 四、实验的具体操作 参加课题研究的教师，以备课组为单位进行集体备课。依据教材、教学大纲和新课程标准，准确把握各单元、各课的教学目标，确定重点、难点，并确定各个环节的教学方法和活
浅谈初中数学教学中的变式教学 内容摘要：变式教学是连接双基与创新的纽带。在数学课堂中被广泛应用。 新课程背景下充分运用变式教学，可拓展学生的思维．促使学生自觉将数学学 习技术内化为主体需要，使教学过程成为有利于学生积极探究的过程，提高学 生的学习效能。本文首先提出变式教学的本质含义、设计变式的原则，然后论 述变式在各种数学题型中的应用，最后强调变式教学的价值。 关键词：初中数学；变式教学；变式原则；有效教学 《数学新课程标准》指出：学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。数学教学过程不仅是课本知识的传授，更重要的是对学生能力的训练和情操的培养，尤其要重视学习能力和学习方法的培养。抓住典型习题，寻求多种解题途径，促使学生的思维向多层次、多方向发散。注重这种变式模式的教学，对提高学生分析问题和解决问题的能力大有裨益。 因此，在例题、习题教学中，当学生获得某种基本解法后，教师应引导学生发掘例、习题的潜在因素，通过改变题目的条件、探求题目的结论、改变情境等多种变式途径，强化学生对知识和方法的理解，帮助他们对问题进行多角度、多层次的思考。 一、数学变式教学的本质含义 数学变式教学，是指通过不同角度、不同的侧面、不同的背景，从多个方面变更所提供的数学对象或数学问题的呈现形式，使事物的非本质特征发生变化而本质特征保持不变的教学形式。
初中数学变式教学，对提高学生的思维能力、应变能力是大有益处。变式教学在教学过程中不仅是对基础知识、基本技能和思维的训练，而且也是有效实现新课程三维教学目标的重要途径。 二、变式教学中遵循的几个原则 2.1一题多解，触类旁通 通过一题多解，让学生从不同角度思考问题、解决问题，可以引起学生强烈的求异欲望，培养学生思维的灵活性。 【案例1】如何复原一个被墨迹浸渍的等腰三角形？ （只剩一个底角和一条底边） 学生给出的三种“补出”方法： ①量出∠C度数，画出∠B＝∠C，∠B与∠C的边相交得到顶点A； ②作BC边上的中垂线，与∠C的一边相交得到顶点A； ③“对折”。 看画出的三角形是否为等腰三角形，由此引发全等三角形判定定理的证明。 这道题从不同的角度进行多向思维，把三角形全等的知识点有机地联系起来，发展了学生的多向思维能力。 学生总结出该题的三种常规的办法：
浅析初中数学教材的处理 ： 摘要:新课程改革,其中一个重要的思想,就是提倡“用教材教而不是教教材”。对于教材,赋予了其三个身份,它只是一个媒介,是教师教学的参照物、启示物,是学生学习的一个载体。 关键词:浅析;数学教材;处理 同样的教材因为种种的不同,如教师的不同,学生的不同,材料的不同,客观条件的不同等等。往往需要教师对教材进行再创作,对教材的一些内容进行适当的增减。所以我认为,要较好地对教材进行处理,必须要注意“探究与接受”、“补充与舍弃”二个关系。 一、探究与接受 近年来探究教学很流行,大有非探究无以教学的势头。事实并非如此,在教法的选择上,教师一定要从教学内容实际出发,从学生学情出发,内容适宜学生探究的,就让学生探究,内容适宜教师讲授的,就让学生“接受”。只有多种教学方法取长补短,平衡互补、相辅相成,才能取得相得益彰的教学效果。 我在有理数加法法则和乘法法则的教学中,便采用了不同的方法。教学有理数加法时,我采用了探究的做法。首先引入了一个大家非常熟悉的实际问题:在足球比赛中,赢球数与输球数是具有相反意义的量,若我们规定赢球数为“正”,输球数为“负”,不输不赢为“0”,那么一足球队在一场比赛中的胜负可能有哪些不同的情形? 各小组充分讨论后,学生回答,教师板书: (1)上半场赢3球,下半场赢了2个球,那么全场共赢5个球,即(+3)+(+2)=+5。 (2)上半场输3球,下半场输了2个球,那么全场共输5个球,即(-3)+(-2)=-5。 由学生探求出两有理数相加的几种情况,然后总结法则。
而在有理数乘法的教学中,我则采用如下方法来说明的:由一系列算式 3x2=6 3xl=3 3xO=O 3x(-1)=? 3x(-2)=? 看出:3x(-1)=-33x(-2)=-6. 从而得出正数与负数相乘的结果。由此出发,进一步通过下列算式 (-3)x2=-6 (-3)xl=-3 (-3)xO=O (-3)×(-1)=? (-3)×(-2)=? 看出:(-3)×(-1)=3(-3)×(-2)=6 从而得出负数与负数相乘的结果,绝大部分学生都能得到正确答案。接着我告诉学生,这就是有理数相乘所遵循的规律――乘法法则。从以后学生的反馈信息中我可以看出,对于“接受”的知识他们理解和掌握得很好。 ： 新课程标准中要求教师利用新理念,改变过去过于强调的接受性学习,突出对问题的探究,但我们在实际教学中要防止从一个极端走到另一个极端,不能排除接受性学习的必要性和重要性。