一元二次方程的概念和根的意义
一、 知识点：
1、 概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。一般形式：
ax 2+bx+c=0(a 、b 、c 是已知数，a )0≠其中a 、b 、c 分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项。
二、例题：
题型一、以一元二次方程的概念构建考题
例1.已知k 2x 2-(2k+1)x+1=0是关于x 的一元二次方程，则有（ ）。（北京市中考题）
A 、k>0
B 、k<0
C 、k≠0
D 、为任意实数
答案：C
解析：由一元二次方程的概念知，k 2≠0. 即 k≠0，选C 。一元二次方程定义中，要注意二次项系数a≠0这一条件。 例2、方程013)2(=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则（ ）
A 、2±=m
B 、2=m
C 、2-=m
D 、2≠m
答案：B
解析：由一元二次方程的概念可知：方程的最高次数是，所以只有|m|=2,解之得2±=m ，但是要注意，二次项系数（m+2）≠0，所以m ≠-2,可知B 是正确答案。
题型二、以一元二次方程根的定义构建考题
例3.已知方程x 2+kx-6=0有一根是2，则k=________.（南京市中考题）
解：将x=2代入方程，得 22+2k-6=0, ∴ k=1。
例4.已知关于x 的方程5x 2+kx-6=0的一个根是2，设另一根是x 1，则k=_____, x 1=______。（河南省中考题） 答案：x 1=-，k=-7.
解析：可以将x=2代入求k,也可以由根与系数的关系：2＋x 1=-
，2x 1=-，解得x 1=-，k=-7. 这类考题小而活，主要考查根的定义及根与系数关系的综合应用能力。
三、练习：
1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）
A ()()12132+=+x x
B 02112=-+x x
C 02=++c bx ax
D 1222+=+x x x 2、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。
3、若方程()112=∙+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。
4、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
5、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
6、关于x 的一元二次方程x 2
＋bx ＋c ＝0的两个实数根分别为1和2，则b ＝______；c ＝______． 7、已知x ＝1是一元二次方程2
400ax bx +-=的一个解，且a b ≠，求22
22a b a b --的值. 提高部分：
1、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）
A.m=n=2
B.m=2,n=1
C.n=2,m=1
D.m=n=1
2、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。
3、已知b a ,是方程042
=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根，则m 的值为 。 4、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。
5、若=∙=-+y x 则y x 324,0352 。
四、作业：
1、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程
31
1=-+x x 的解相同。 ⑴求k 的值；
⑵方程的另一个解。
2、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2 。
3、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。
4、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ） A 1- B 1 C c b - D a -
5、已知x 是一元二次方程x 2＋3x －1＝0的实数根，那么代数式235(2)362
x x x x x -÷+---的值为＿＿＿＿
《一元二次方程根与系数的关系》说课稿 一、教材分析 一元二次方程根与系数的关系的知识内容主要是以前一单元中的求根公式为基础的。教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式根x1、2的值，得出一元二次方程根与系数的关系，以及以数x1、x2为根的一元二次方程的求方程模型。然后是通过4个例题介绍了利用根与系数的关系简化一些计算的知识。例如，求方程中的特定系数，求含有方程根的一些代数式的值等问题，由方程的根确定方程的系数的方法等等。 二、说教学目标的确立 1、理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系。 2、能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知数。 3、会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差 4、在推导过程中，培养学生“观察——发现——猜想——证明”的研究问题的思想与方法。 三、说教材重难点的确定 一元二次方程根与系数的关系是重点，让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，以及由一个已知方程求作新方程，使新方程的根与已知的方程的根有某种关系，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。 三、说教法与学法 （一）教法 1、充分以学生为主体进行教学，让学生多实践，从实践中反思过程，让学生经历韦达定理的发生发展过程，并从中体验成功的乐趣。 2、采用“实践（练习）——观察——发现——猜想——证明”的过程教学。引导学生发现问题，师生共同解决问题。 3、分小组讨论交流，多渠道信息反馈。 4、问题引探，启发诱导，进行创新教学。 （二）学法指导 1、引导学生实践、观察、发现问题、猜想并推理 2、指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径。 3、指导学生熟练掌握根与系数的关系，并将应用问题和规律归类。 六、说教学过程 活动1.展示目标 活动2.问题引探： 自主学习：问题1.在方程ax2+bx+c=0中，a的取值决定什么？b2-4ac的取值呢？同学们可知道a、b、c的取值与一元二次方程ax2+bx+c=0的根还有其它关系？今天我们进一步研究一元二次方程的这种关系 问题2.解方程x2-5x+6=0，并先指出a、b、c各是多少，然后再解方程，计算两根的和与积，你能发现什么结论（现象）？ 问题3.解下列方程： （1）2x2+5x+3=0 （2）3x2-2x-2=0 由此得出一元二次方程的根与系数的关系；还可以让学生用自己的语言表述这种关系，来加深理解和记忆。这个关系是一个法国数学家韦达发现的，所以也称之为韦达定理。
课题：一元二次方程 第一课时 教学目标：1、理解和掌握一元二次方程的概念及一般形式。 2.正确认识二次项系数、一次项系数及常数项． 3.会根据题意列一元二次方程，体会方程的模型思想。 教学重点：一元二次方程的概念及一般形式。 教学难点：1.由实际问题向数学问题的转化过程。 2.正确识别一般式中的“项”及“系数”。 教法:1.创设以学生为中心，采用小组讨论，大组竞赛等多种形式，合作探究。利用投影仪辅助 教学，突破教学难点2、让学生自己去尝试发现问题，总结方法，而不是被动的回答老师的问题、 接受老师的答案。3、授课中通过一系列问题，给学生充分的时间尝试和思考，充分表达自己的 想法，使学生自主学习真正成为可能,在此基础上解决问题并得出结论。 学法：本节课充分发挥学生的主观能动性。学生通过解决实际问题的解决中发现新问题，引发认 知冲突，进而通过独立思考、合作交流等方式，充分经历“观察——尝试——解决——归纳”的 全过程，学生充分体验到研究问题，解决问题，最后得出一般结论的过程，加深学生对一元二次 方程的认识及能力。同时也促进了学生的思维能力的提高。 一、导入新课：数学之所以其乐无穷，是因为它能解决许多实际问题，数学家迪卡尔就曾经提出 过一个伟大的设想：首先把宇宙万物的所有问题都转化为数学问题；其次，把所有的数学问题转 化为代数问题；最后，把所有的代数问题转化为方程问题。只要解决了方程，一切问题都将迎刃 而解，现在就让我们一起走入方程大家庭，重温我们那些熟悉的小伙伴。 【设计意图】以一个伟大的设想，引起学生的学习兴趣. 二、方程大家庭： ①2x+3=0,② 2x+3y=0,③53x 2=+ 这是我们学过的哪些方程？能够用元和次来描述的都是整式方程。其中一元一次方程：只含有 个未知数，未知数的次数是 次的方程 【设计意图】引导学生复习一元一次方程的概念,为后面学习一元二次方程的有关内容做好铺。 过渡语：下面让我们继续畅游在方程的大家庭中，不忘老朋友，结识新朋友。一起走近生活、 探 究新知、分享快乐。 三、走近生活 探究新知 分享快乐 1、问题1 请列出方程：幼儿园活动教室矩形地面的长为8m ，宽为5m ，现准备在地面正中间铺 设一块面积为182 m 的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？
初三数学一元二次方程根与系数的关系及其应用知识精讲 一元二次方程根与系数的关系及其应用 一元二次方程ax bx c a 2 00++=≠()的根x x 12、是由系数a 、b 、c 决定的，它们之 间有密切的关系。 x x b a x x c a 1212+=- =， 这就是根与系数的关系，也称为韦达定理。 反之，一元二次方程的两根也制约着这个方程的系数，当a =1时，有()b x x =-+12， c x x =12，从而有以两个数x x 12、为根的二次项系数为1的一元二次方程是 ()x x x x x x 212120-++=。 需要指出，韦达定理应该是在判别式大于等于零的前提下使用，即在保证一元二次方程有实数根的条件下使用。 一元二次方程的韦达定理，揭示了根与系数的一种必然联系，利用这个关系，我们可以解决诸如已知一根求另一根，求根的代数式的值，构造方程，确定系数等问题，它是中学数学中的一个有用的工具。 例（2002·南京）已知：关于x 的方程x kx 2 20--= （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的两根为x x 12、，如果()21212x x x x +>，求k 的取值范围。 解： （1）证明： ∆=-=+>b ac k 2 2 480 ∴原方程有两个不相等的实数根 （2） x x k x x 12122+==-， 又() 21212x x x x +> ∴>-∴>-22 1 k k 说明：本题侧重考察对基本知识点的掌握，难度不大，可以说是中考中的送分题，同学们应该把这类题的分数拿到手。 例（2000上海） 已知关于x 的一元二次方程()mx m x m m 2 21200--+-=>() （1）求证：这个方程有两个不相等的实数根； （2）如果这个方程的两个实数根分别为x x 12、，且()()x x m 12335--=，求m 的值。 解： （1）证明：()[] ()∆=----21422 m m m =-+-+=+4414841 22m m m m m
一元二次方程教学设计（精选6篇） 一元二次方程教学设计1 一、教学内容分析 华师版九年级（上）23章《一元二次方程的根的判别式》一节，教材中作为阅读材料。从推导到应用都比较简单。但是它在整个中学数学中占有重要的地位。 从知识的发展来看，学生通过对一元二次方程的根的判别式的学习，可以巩固已学过实数、整式、二次根式、一元一次不等式、一元二次方程的相关概念、一元二次方程的解法等知识，既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况，又可以为今后研究二次函数的图像与x轴交点情况，二次三项式以及二次曲线等奠定基础，并且用它可以解决许多其它综合性问题。 通过这一节的学习，使学生会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等，培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力，并向学生渗透分类的数学思想，感受数学的简洁美。 教学重点：根的判别式的正确理解和运用 教学难点：含字母系数的一元二次方程根的判别式的运用。
二、学情分析 学生已经学过一元二次方程的四种解法，并对的作用已经有所了解，在此基础上来进一步研究作用，它是前面知识的深化与总结。 九年级学生的认识水平渐渐由具体直觉占优势过渡到抽象思维占优势。教师的指导方法应适应他们的认知特点和相应规律。 从数学思想方法上来说，学生对分类讨论、归纳总结的数学思想已经有所接触。所以可以通过让学生动手、动脑来培养学生探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力。 三、教学目标 知识和技能目标： 1、能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证； 2、会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围； 过程和方法目标： 1、经历一元二次方程的根的判别式的产生的过程；
第二十二章一元二次方程 22．1 一元二次方程 教学内容 一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念． 教学目标 了解一元二次方程的概念；一般式ax2+b x+c=0（a≠0）及其派生的概念；•应用一元二次方程概念解决一些简单题目． 1．通过设置问题，建立数学模型,•模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义． 2．一元二次方程的一般形式及其有关概念． 3．解决一些概念性的题目． 4．通过生活学习数学,并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情． 重难点关键 1．•重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题． 2．难点关键:通过提出问题,建立一元二次方程的数学模型,•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念． 教学过程 一、复习引入学生活动：列方程． 问题（1）古算趣题:“执竿进屋” 笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭。 有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足。 借问竿长多少数,谁人算出我佩服. 如果假设门的高为x•尺，•那么，•这个门的宽为_______•尺，长为_______•尺， •根据题意，•得________． 整理、化简，得：__________． 问题（2）如图，如果,那么点C叫做线段AB的黄金分割点． 如果假设AB=1,AC=x，那么BC=________,根据题意,得：________． 整理得：_________． 问题（3）有一面积为54m2的长方形,将它的一边剪短5m,另一边剪短2m,恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？ 如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________,宽是_____，根据题意，得：_______．整理，得：________． 老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理． 二、探索新知 学生活动：请口答下面问题． （1）上面三个方程整理后含有几个未知数？ （2）按照整式中的多项式的规定,它们最高次数是几次？ (3)有等号吗？还是与多项式一样只有式子? 老师点评:（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3)•都有等号，是方程．因此，像这样的方程两边都是整式,只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 一般地,任何一个关于x的一元二次方程,•经过整理,•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 一个一元二次方程经过整理化成a x2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数;bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 例1．将方程3x（x—1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． 分析:一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程3x（x—1）=5（x+2)必须运用整式运算进行整理,包括去括号、移项等． 解:略 注意：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号。 例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练）将方程（x+1）2+(x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项． 分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+(x—2）（x+2）=1化成a x2+bx+c=0（a≠0)的形式．解：略 三、巩固练习 教材P32练习1、2 补充练习：判断下列方程是否为一元二次方程？ (1)3x+2=5y—3 (2) x2=4 （3) 3x2—=0 （4) x2—4=(x+2) 2(5) a x2+bx+c=0
17.2 一元二次方程及其解法（一）教案 【学习目标】 1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式； 2．掌握直接开平方法和因式分解法解方程，会应用此判定方法解决有关问题； 3．理解解法中的降次思想，直接开平方法和因式分解法中的分类讨论与换元思想. 【要点梳理】 要点一、一元二次方程的有关概念 1．一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 要点诠释： 识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 2．一元二次方程的一般形式： 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常 数项． 要点诠释： (1)只有当时，方程才是一元二次方程； (2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 4.一元二次方程根的重要结论 （1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0. （2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0. （3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0. 要点二、特殊的一元二次方程的解法
一元二次方程数学教学教案 一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的多项式方程。一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax²+bx+c=0(a≠0)，其中ax²叫作二次项，a是二次项系数;bx叫作一次项，b是一次项系数;下面是小编为大家整理的一元二次方程数学教学教案5篇，希望大家能有所收获! 一元二次方程数学教学教案1 一、教材分析 1、教材的地位和作用 一元二次方程是中学教学的主要内容，在初中代数中占有重要的地位，在一元二次方程的前面，学生学了实数与代数式的运算，一元一次方程(包括可化为一元一次方程的分式方程)和一次方程组，上述内容都是学习一元二次方程的基础，通过一元二次方程的学习，就可以对上述内容加以巩固，一元二次方程也是以后学习(•指数方式，对数方程，三角方程以及不等式，函数，二次曲线等内容)的基础，此外，学习一元二次方程对其他学科也有重要的意义。 2、教学目标及确立目标的依据 九年义务教育大纲对这部分的要求是：“使学生了解一元二次方程的概念”，依据教学大纲的要求及教材的内容，针对学生的理解和接受知识的实际情况，以提高学生的素质为主要目的而制定如下教学目标。 知识目标：使学生进一步理解和掌握一元二次方程的概念及一元二次方程的一般形式。 能力目标：通过一元二次方程概念的教学，培养学生善于观察，发现，探索，归纳问题的能力，培养学生创造性思维和逻辑推理的能力。 德育目标：培养学生把感性认识上升到理性认识的辩证唯物主义的观点。 3、重点，难点及确定重难点的依据 “一元二次方程”有着承上启下的作用，在今后的学习中有广泛的应用，因此本节课做为起始课的重点是一元二次方程的概念，一元二次方程(特别是含有字母系数的)化成一般形式是本节课的难点。 二、教材处理
数学教案－一元二次方程根与系数关系一元二次方 程根与系数的关系 一元二次方程（一） 一、素质教育目标 （一）知识教学点：1．使学生了解一元二次方程及整式方程的意义；2．掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项．（二）能力训练点：1．通过一元二次方程的引入，培养学生分析问题和解决问题的能力；2．通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性． （三）德育渗透点：由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法，由此培养学生用数学的意识． 二、教学重点、难点 1．教学重点：一元二次方程的意义及一般形式． 2．教学难点：正确识别一般式中的“项”及“系数”． 三、教学步骤 （一）明确目标 1．用电脑演示下面的操作：一块长方形的薄钢片，在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就成为一个无盖的长方体盒子，演示完毕，让学生拿出事先准备好的长方形纸片和剪刀，实际操作一下刚才演示的过程．学生的实际操作，为解决下面的问题奠定基础，同时培养学生手、脑、眼并用的能力． 2．现有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在每个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm 的无盖的长方体盒子，那么应该怎样求出截去的小正方形的边长？ 教师启发学生设未知数、列方程，经整理得到方程x -70x+825=0，此方程不会解，说明所学知识不够用，需要学习新的知识，学了本章的知识，就可以解这个方程，从而解决上述问题． 板书：“第十二章一元二次方程”．教师恰当的语言，激发学生的求知欲和学习兴趣．
（二）整体感知 通过章前引例和节前引例，使学生真正认识到知识来源于实际，并且又为实际服务，学习了一元二次方程的知识，可以解决许多实际问题，真正体会学习数学的意义；产生用数学的意识，调动学生积极主动参与数学活动中．同时让学生感到一元二次方程的解法在本章中处于非常重要的地位． （三）重点、难点的学习及目标完成过程 1．复习提问 （1）什么叫做方程？曾学过哪些方程？ （2）什么叫做一元一次方程？“元”和“次”的含义？ （3）什么叫做分式方程？ 问题的提出及解决，为深刻理解一元二次方程的概念做好铺垫． 2．引例：剪一块面积为150cm 的长方形铁片使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？ 引导，启发学生设未知数列方程，并整理得方程x +5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x ＋70x＋825＝0加以观察、比较，得到整式方程和一元二次方程的概念． 整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程称为整式方程．一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程． 一元二次方程的概念是在整式方程的前提下定义的．一元二次方程中的“一元”指的是“只含有一个未知数”，“二次”指的是“未知数的最高次数是2”．“元”和“次”的概念搞清楚则给定义一元三次方程等打下基础．一元二次方程的定义是指方程进行合并同类项整理后而言的．这实际上是给出要判定方程是一元二次方程的步骤：首先要进行合并同类项整理，再按定义进行判断． 3．练习：指出下列方程，哪些是一元二次方程？ （1）x（5x-2）＝x（x＋1）＋4x ； （2）7x ＋6＝2x（3x＋1）； （3） （4）6x ＝x；
九 年级 数学 科辅导讲义（第 讲） 学生姓名： 授课教师： 授课时间： 一元二次方程的概念和根 第一部分 知识点梳理 一、一元二次方程的基本概念：只含有 个未知数，并且未知数的次数是 的 方程。 归纳：1、一元二次方程的一般形式是02=++c bx ax ,（a ，b ，c 是常数且a ≠0）,其中2 ax 叫做二次项，bx 叫做一次项，c 叫做常数项，a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。 2、一元二次方程的条件：（1）二次项系数a ≠0，（2）未知数最高次数必须为2 判断下列方程是不是一元二次方程： ① 3x 2 -13y=0；②253x -=1；③2xy-7=0；④3x=x 2+4；⑤232x -+5＝3x ； 【变式练习】 1、方程43)5)(31(+=+-x x x 化为一般形式为 ，它的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。 2、已知方程07)1()1(2 2=-++-x k x k ，（1）当k 为何值时，是一元二次方程。（2）当 k 为何值时，是一元一次方程？ 二、一元二次方程的根 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的根（也叫方程的解）。若1x 是02=++c bx ax 的根，则012 1=++c bx ax 例：已知x=1关于x 的一元二次方程0122=-+kx x 的根，求k 的值。
变式练习（1）：关于x 的方程2322+-=-mx x x mx 是一元二次方程的条件是 。 （2）：已知关于一元二次方程015)1(22=-++-m x x m 有一个根为0，则m= 。 第二部分 例题解析 例1：若043)2(22=+---x x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值是 。 变式练习1：已知关于 x 的方程02)3(21=+---x x a a 是一元二次方程，求a 的值。 例2、＝-3x 2+5中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 【变式练习】把关于x 的一元二次方程（m+1）x 2 -2m （1-x ）+1=0化成一般形式是 ，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 例3：已知关于x 的一元二次方程5)12(2=+--a x a x 的一个解为1，求a 【变式练习】 已知关于x 是一元二次方程043)2(22=-++-m x x m 有一个解是0，求m 的值。 第三部分 巩固练习
（精品教案）一元二次方程根与系数的关系讲课稿 一元二次方程根与系数的关系讲课稿 在教学工作者实际的教学活动中，时常需要编写讲课稿，讲课稿能够帮助我们提高教学效果。这么你有了解过讲课稿吗？下面是小编收集整理的一元二次方程根与系数的关系讲课稿，欢迎大伙儿借鉴与参考，希翼对大伙儿有所帮助。 [教材分析] 中学时期我们研究的多项式函数中有二次函数，研究的几何图形中有二次曲线。所以一元二次方程便成为了方程中研究的重要内容。一元二次方程有根与系数关系，求根公式向我们揭示了两根与系数间的紧密关系，而根与系数还有更进一步的发觉，这一发觉在数学学科中具有极强的有用价值，本节内容既是代数式、一元一次方程和一元二次方程求根公式等知识的进一步深化，又蕴含有丰富的数学思想办法，也为学生们未来的学习打下了必要的基础。 [学生分析] 进入了初二下半学期，随着年龄的增长以及实验几何向论证几何的逐步推进，学生们的逻辑推理能力已有了较大提高。所以在学过了一元二次方程的解法后，自主探索其根与系数的关系是彻底也许的。再加上我所执教的学生，他们有着较强的认知力与求知欲， 基于以上考虑，我在设计中扩大了学生的智力参与度，也相对放大了知识探究的空间。 [教学目标] 在学生探求一元二次方程根与系数关系的活动中，记忆观看、分
析、概括的过程以及“实践——认识——再实践——再认识”的过程，得出一元二次方程根与系数的关系。 能利用一元二次方程根与系数的关系检验两数是否为原方程的根;已知一根求另一根及系数。 明白数学思想，体味代数论证的办法，感觉辩证唯物主义认识论的基本观点。 [教学重难点] 发觉并掌握一元二次方程根与系数的关系，包括知识从特别到普通的发生进展过程 [教学过程] 一、复习导入 请学生求解表格内的方程，完成解法的交流以及求根公式的复习，求根公式向我们揭示了两根与系数间的关系，这么一元二次方程根与系数间是否还有更深一层的联系呢?由此疑咨询，导入新课。 二、探求新知 数学学科中由数到式的结构编排，让我们想到了从两根运算上的最简组合：和差积商展开进一步研究。初探新知中，我将学生们分成两组，分不对二次项系数为1的一元二次方程两根举行和差积商的运算，之后将结果汇总展示，共同观看与系数的联系。我在这些方程中安排了两个无理根方程。当学生们发觉这两个无理根在求和，求积后，竟变成了有理数，而且每一组两根和(积)都与系数有着紧密的'联系，此刻的他们别难对两根和与两根积产生关注，记忆了对二次项系数为 1的一元二次方程两根和差积商的研究后，确定了课题并获得猜想：“两根和等于一次项系数的相反数,两根积等于常数项。”关于这一 猜想，会有学生提出别同看法，他们提出研究二次项系数非1的一元
【学习目标】 1.了解一元二次方程及有关概念； 九年级数学上册 第21 章《一元二次方程》知识点梳理 2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程； 3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法． 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、一元二次方程的有关概念 1.一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式： 3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释：
1 2 判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为 0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为 2. 对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为 0． 要点二、一元二次方程的解法 1. 基本思想 一元二次方程 −降−次 − → 一元一次方程 2. 基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 要点诠释： 解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法． 要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1. 一元二次方程根的判别式 一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 中， b 2 - 4ac 叫做一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的根的判别式， 通常用“ ∆ ”来表示，即∆ = b 2 - 4ac （1） 当△>0 时，一元二次方程有 2 个不相等的实数根； （2） 当△=0 时，一元二次方程有 2 个相等的实数根； （3） 当△<0 时，一元二次方程没有实数根. 2. 一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的两个实数根是 x ，x ， 那么 x + x = - b ， x x = c . 1 2 a 1 2 a 注意它的使用条件为 a≠0， Δ≥0. 要点诠释： 1. 一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题： (1) 不解方程判定方程根的情况；
一元一次方程（组）及其应用 考点分析考查内容:方程的概念；一元一次方程、一元二次方程的解法；一元二次方程根的判别式;一元二次方程根与系数的关系；列方程解决实际问题 考查形式：概念型题目多以选择题、填空题为主，方程的解法、方程的应用多以解答题呈现 考查趋向：探索一元二次方程根的情况、列方程解决实际问题 学情分析学生已经有了关于方程的计算能力和应用能力，但两方面的水平还不够高，本节课主要针对这两方面，在夯实其基础的同时，培养他们的能力。 教学目标1。了解一元一次方程的概念,会解一元一次方程 2.了解一元二次方程的概念,会用因式分解法、公式法、配方法解一元二次方程 3.能够根据具体问题中的数量关系，列出整式方程解决实际问题,并能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理 4。了解一元二次方程的判别式，会用根的判别式判断一元二次方程根的情况 教学重难点掌握一元二次方程的概念，并会解方程，会解有关应用题目。 教学准备多媒体投影、小黑板 教学课时一课时 教学过程 学习任务活动设计 一．课前热身 完成“赢在中考”33—34页三年真题集锦1-15题。 二、知识梳理 1。一元二次方程的概念 2。一元二次方程的解法 3.根的判别式，根与系数的关系 4.用一元二次方程解决问题课前热身作为课前作业完成，上课后老师核对答案，学生独立改错，并
三、典例解析 【考点一】考查概念问题通常是考查一元二次方程的定义，此时要注意二次项系数不为0，在讨论含字母系数的一元二次方程问题时，命题者常利用a≠0设计陷阱。 例1．（1)方程(m+1)x m2—2m—1 +7x-m=0是一元二次方程，则m= ．（2）若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0的常数项为0，则m等于（） A．1 B．2 C．1或2 D．0 【考点二】一元二次方程的解法要根据方程的特点，灵活选用具体方法。对于特殊的方程要通过适当的变换，使之转化为常规的一元二次方程，如用换元法。 例2．用适当的方法解一元二次方程 （1)x2=3x （2)（x—1)2=3 (3）x2—2x—99=0 (4）2x2+5x-3=0 例3．若（x2+y2)2—4(x2+y2)—5=0,则x2+y2=_________。 【考点三】一元二次方程的根的判别式可以用来:（1）不解方程，判断根的情况；（2）利用方程有无实数根，确定取值范围，解题时，务必分清“有实数根”、“有两个实数根”，“有两个相等实数根”, “有两个不相等实数根”等关键性的字眼。 例4.（1）一元二次方程x2—2x-1=0的根的情况为（） Ａ．有两个相等的实数根Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根Ｄ．没有实数根 （2）若关于x的一元二次方程kx2—2x-1=0有两不相等的实数根,则k的取值范围是（） A．k>—1 B。 k〉-1且k≠0 C. k〈1 D. k<1且k≠0 【考点四】列方程解应用题虽然是传统的题型，但一直是中考的热点,近年来热点又有新特点,注重考查了能力问题,表面文字比较复杂，但抽出本课时的知识点； 典例解析由学生独立完成后小组交流，之后老师补充要点。
《一元二次方程的解集及其根与系数的关系》课标解读 教材分析 本节的主要内容是一元二次方程的解集，它在整个中学教学中占有重要的地位，既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况，又为今后研究不等式、二次三项式、二次函数等奠定了基础，并且用它可以解决许多其他综合性问题. 本节的重点是一元二次方程根与系数的关系及其推导，难点是正确理解根与系数的关系.突破重点与难点的关键，首先要理解其含义，其次要结合具体实例进行体会. 这部分内容已经在初中有所涉及了，这里再次进行学习，是出于衔接初高中知识的目的.题目难度在初中的基础上有所加强，本节内容也是考试中的一个重点. 本节内容所涉及的主要数学核心素养有：数学抽象、数学运算、逻辑推理等. 学情分析 对学生而言，前面已经学习了等式的性质、方程的解集，有了前面的基础，学生学习本节课还是比较感兴趣的. 学生学习本节内容时要注意一元二次方程的求根公式是由系数表达的，一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程的两根的和、两根的积与系数的关系，它是以一元二次方程的求根公式为基础的.学了这部分内容，在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思想和方法，同时，也为今后进一步学习方程理论打下基础. 教学建议 教学时，先从二次项系数是1的一元二次方程入手，然后提出二次项系数不是1的情况，由此，猜想一般的一元二次方程的根与系数的关系，从而发现数字系数的一元二次方程的两根之和、两根之积与方程系数的关系.接下来引导学生去推导论证一元二次方程两根和、两根积与系数的关系，并进行初步应用.向学生渗透认识事物的规律是由特殊到一般，再由一般到特殊，体现了数学抽象的数学核心素养. 学科核心素养 目标与素养 1.掌握求各种形式的一元二次方程的解集的方法，达到数学运算核心素养学业质量水平一的层次. 2.结合实例，掌握一元二次方程的根与系数的关系，达到数学抽象核心素养学业质量水平一的层次. 3.通过实例，会对一元二次方程的根与系数的关系进行初步应用，达到逻辑
苏科课标版初中数学九年级上册第一章一元二次方程1.1一元二次
“一元二次方程（第1课时）”教学设计及反思 1教学内容与学情 本节课的教学内容是苏科版《义务教育教科书·数学》九年级上册第一章第1节“一元二次方程（第1课时）”． 在七、八年级先后学习了一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式（组）和分式方程，学生对“元”、“次”、“方程”、“解（根）”、“解方程”等概念已比较清晰，并且知道方程是刻画现实生活中数量关系的有效模型；一元二次方程是揭示现实世界数量关系的又一个重要的数学模型，它既是方程本身内容进一步丰实的需要，也是后续学习二次函数以及高中数学的基础． 2教学目标 （1）了解一元二次方程的概念，理解一元二次方程的解和解一元二次方程的意义； （2）能根据已知的一元二次方程编写相应的生活情境，也能根据实际问题中的数量关系列方程，从中感受一元二次方程是揭示现实世界数量关系的一个有效的数学模型； （3）经历一元二次方程概念的生成与逻辑
建构过程，体会由特殊到一般、分类和化归等数学思想方法，感受概念学习的基本方式，逐步形成数学经验体系． 3教学重点、难点 重点：了解一元二次方程的概念，感受一元二次方程是揭示现实世界数量关系的一个重要的数学模型； 难点：经历具体现实原型与抽象数学模型之间的数学化过程，用一元二次方程描述简单问题中数量之间的相等关系． 4教学过程设计 4．1 概念形成（是什么？） 概念形成一般经历4个阶段：“感知认识阶段”、“分化本质属性阶段”、“概括形成定义阶段”和“应用与强化阶段”． 4．1．1 感知认识 本节课我们开始学习“一元二次方程”，你能写出1个一元二次方程吗？你能再写出类型不同的一元二次方程吗？ 【有效性分析】学生对“元”、“次”、“方程”的概念已比较清晰，类比地写出几个一元二次方程，让学生形成直观感受；概念抽象需要典型实例，通过“类型不同”引发学生深度参与，逐步
专题21.1 一元二次方程的定义及解【八大题型】 【人教版】 【题型1 一元二次方程的识别】 (1) 【题型2 由一元二次方程的定义求字母的取值范围】 (2) 【题型3 由一元二次方程的定义求字母的值】 (2) 【题型4 一元二次方程的一般形式】 (2) 【题型5 由一元二次方程的解求字母的值】 (3) 【题型6 由一元二次方程的解求代数式的值】 (3) 【题型7 由一元二次方程的解求代数式的值（降次）】 (4) 【题型8 已知一元二次方程的根求另一方程的根】 (4) 【知识点1 一元二次方程的定义】 【题型1 一元二次方程的识别】 【例1】（2021秋•恩施市期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（） ①3x2+7＝0：①ax2+bx+c＝0；①（x﹣2）（x+5）＝x2﹣1；①3x−1 x =0． A．①B．①①C．①①①D．①①①①【变式1-1】（2021秋•蓬溪县期末）下列方程中，一元二次方程有（） ①3x2+x＝20；①2x2﹣3xy+4＝0；①x2−1 x =4；①x2＝1；①x2−x3+3=0 A．2个B．3个C．4个D．5个 【变式1-2】（2021秋•荥阳市校级月考）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的有（） ①x2＝0；①ax2+bx+c＝0；①a2+a﹣x＝0；①（x+1）2＝2x2﹣9；①x2﹣y2＝3． A．2个B．3个C．4个D．5个 【变式1-3】（2021秋•义马市期中）下列方程：①y2+2x＝0；①x2＝0；①（x2﹣1）2＝1；①3y2﹣2y＝﹣1；①2x2 ﹣5xy+3y2＝0；①ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数）；①1 x2+ 1 x −2＝0；①（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1．其中 属于一元二次方程的有（）个． A．2B．3C．4D．6
一元二次方程教材分析 二零一零年九月
一元二次方程教材分析 一. 本章主要内容分析 本章的主要内容包括：一元二次方程及其有关概念,一元二次方程的解法（配方法、公式法、因式分解法）,运用一元二次方程分析和解决实际问题。其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容。 方程是科学研究中重要的数学思想方法,也是后续内容学习的基础和工具,本章是对一元一次方程知识的延续和深化,同时为二次函数的学习作好准备. 数学建模思想的教学在本章得到进一步渗透和巩固. 二.课时安排： 22.1 一元二次方程 2课时 22.2 降次——解一元二次方程 7课时 *22.2.4 一元二次方程根与系数的关系 1课时 22.3 实际问题与一元二次方程 3课时 小结 2课时 四、 教学重难点 22.1 教学重点:一元二次方程及有关概念的理解. 教学难点:准确的化为一元二次方程的一般式 .
学法点拨： ◆ 理解一元二次方程的定义关键注意三点：整式、一个未知数、最高次 数为2。 ◆ 对一元二次方程理解时，一定注意“a ≠0”这一条件。 ◆ 把一个方程化为一般形式时应用了解一元一次方程的变形方法：去分 母---去括号---移项---合并同类项。 ◆ 注意:①当a 是负值时，一般转化为正数； ②多给出b=0或c=0或b 、c 同时为0的例子。如： 03,01,0222=+=-=x x x x 。 ◆ 会用“代入检验”的方法判断简单的一元二次方程得根。 易错点： 1) 判断方程是否为一元二次方程时，忽略二次项系数不为“0”. 如：下列关于x 的方程中，是一元二次方程的有 。 ① 02=++c bx ax ② 053 2=-+ x x ③ 0322=--x x ④ 0232=+-x x 2) 注意本单元在学习概念时，注意联系实际，加深对概念的理解与应用，避免就概念理解概念。 如：已知关于x 的方程（m-n ）x 2 + mx+n=0,你认为： ①当m 和n 满足什么关系时，该方程为一元二次方程？ ②当m 和n 满足什么关系时，该方程为一元一次方程？ 3) 没有化成一般形式，混淆a 、b 、c. 22.2 降次——— 解一元二次方程 直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法是一元二次方的基本解法，解二次方程的基本策略是将其转化为一元一次方程——降次。本单元首先通过简单的一元二次方程，引导学生认识直接开平方法解方程；然后讨论比较复杂的一元二次方程，通过对比已变为完全平方式的方程，使学生认识配方法的基本原理并掌握其具体方法；以配方法为基础推导一元二次方程的求根公式，于是得到公式法。最后讨论因式分解法。本节知识学习时，注意对相关知识的复习、联系，