一元二次方程的概念及解法和讲义
知识点一：一元二次方程的概念
(1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的整式方程．．．．就是一元二次方程。
(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax
(3)四个特点：
(1)只含有一个未知数；
(2)且未知数次数最高次数是2；
(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，则这个方程就为一元二次方程．
（4）将方程化为一般形式：02=++c bx ax 时，应满足（a ≠0）
例1：下列方程①x 2+1=0；②2y(3y-5)=6y 2+4；③ax 2+bx+c=0 ；④0351=--x x
，其中是一元二次方程的有 。
变式:方程：①13122=-x x ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y 中一元二次程的是 。
例2：一元二次方程12)3)(31(2+=-+x x x 化为一般形式为： ，二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。
变式1：一元二次方程3（x —2）2＝5x －1的一般形式是 ，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。
变式2：有一个一元二次方程，未知数为y ，二次项的系数为－1，一次项的系数
为3，常数项为－6，请你写出它的一般形式______________。
例3：在关于x 的方程(m-5)x m-7+(m+3)x-3=0中:当m=_____时，它是一元二次方程；当m=_____时，它是一元一次方程。
变式1：已知关于x 的方程(m+1)x 2－mx+1=0，它是（ ）
A ．一元二次方程
B ．一元一次方程
C ．一元一次方程或一元二次方程
D ．以上答案都不对
变式2：当m 时，关于x 的方程5)3(72=---x x m m
是一元二次方程
知识点二：一元二次方程的解
（1）概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
（2）应用：利用根的概念求代数式的值；
【典型例题】
1. 已知2x =是一元二次方程220x mx ++=的一个解，则m 的值是（ ）
A ．3-
B ．3
C ．0
D ．0或3 2. 已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
3. 若x=a 是方程x 2-x-2015=0的根，则代数式2a 2-2a-2015值
4. 关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
5. 已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足0=+-c b a ，则此方程必有一根为 。
【举一反三】
1. 已知关于x 的方程260x kx --=的一个根为3x =，则实数k 的值为（ ）
A ．1
B ．1-
C ．2
D ．2-
5. 若x=1是关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 一个根,求代数式2007(a+b+c)的值
知识点三：解一元二次方程
一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.
一：直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如2()x m n +=的一元二次方程。根据平方根的定
义可知，x m +是n 的平方根，当0n ≥时，x m +=x m =-n<0
时，方程没有实数根。用直接开平方法解一元二次方程的理论根据是平方根的定义，达到降次转化之目的。
（1）形如)0(2≥=p p x 的方程的解是x=p=0时，==x x 210
（2）形如()()02≥=+p p n mx 的方程的解为 形如()02=+-n m
a x 的方程可先化成()2n x a m
-=-的形式，再用直接开平方法解。
【例题讲解】
1、方程（x-2）2=9的解是（ ）
A ．x 1=5，x 2=-1
B ．x 1=-5，x 2=1
C ．x 1=11，x 2=-7
D ．x 1=-11，x 2=7
2、若方程x 2=m 的解是有理数，则实数m 不能取下列四个数中的（ ）
A ．1
B ．4
C ．
14 D ．12 3、对于形如p x =2的一元二次方程，能直接开平方的条件是___________________。
4、方程0162=-x 的根是________________________。
5、用直接开平方法解下列方程：
（1）81162=x （2）
243
22=m
( 3)02592=-x （4）()0364
122
=--x
【同步训练】 1、用直接开平方法解方程（x-3）2=8，得方程的根为（ ）
A ．．x 1x 2
C ．．x 1x 22、方程12
（x-3）2=0的根是（ ） A ．x=3 B ．x=0 C ．x 1=x 2=3 D ．x 1=3，x 2=-3
3、方程()900622=+x 的根是________________________。
4、方程()16922
=-t 的根是_____________________。 5、用直接开平方法解下列方程：
（1）
()072=-x （2）()1282112
=+y
（3）09)13(42=--x （4）9161642=++x x
二：配方法
配方法：将形如20(0)ax bx c a ++=≠的一类方程，化为2()mx n p +=形
式求解的方法叫做配方法。
一般步骤： （1）把常数项移到方程右边；
（2）方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；
（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方；
（4）原方程变形为2()x m n +=的形式；
5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如
果右边是负数，则一元二次方程无解．
【例题讲解】
1、用配方法解关于x 的一元二次方程x 2-2x-3=0，配方后的方程可以是（ ）
A ．（x-1）2=4
B ．（x+1）2=4
C ．（x-1）2=16
D ．（x+1）2=16
2、若一元二次方程式x 2
-2x-3599=0的两根为a 、b ，且a ＞b ，则2a-b 之值为何？（ ）
A ．-57
B ．63
C ．179
D ．181
3、用适当的数填空：
①、x 2+6x+ =（x+ ）2 ②、x 2－5x+ =（x － ）2；
③、x 2+ x+ =（x+ ）2 ④、x 2－9x+ =（x － ）2
4、将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________．
5、已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．
6、将x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为___ ____，•所以方程的根为_________．
7、若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是
8、用配方法解下列方程： （1）015122=-+x x （2）982=+x x （3）2532=-x x
（4）0444
12=--x x （5）0342=--x x （6）x x 7422=-
9、用配方法求解下列问题
（1）求2x 2-7x+2的最小值 ； （2）求-3x 2+5x+1的最大值。
【举一反三】
1．把方程x+3=4x 配方，得（ ）
A ．（x-2）2=7
B ．（x+2）2=21
C ．（x-2）2=1
D ．（x+2）2=2
2．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ）
A ．2．-2．．3. 用配方法解下列一元二次方程
（1）9642=-x x （2）0542=--x x
（3）01322=-+x x （4）07232=-+x x
三：公式法
（1）公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
由配方法得2222b c b x a a a ⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，化简：22224b c b x a a a ⎛⎫+=-+⇒ ⎪⎝
⎭
22224244b ac b x a a a ⎛⎫+=-+⇒ ⎪⎝⎭ 222424b b ac x a a -⎛⎫+=⇒ ⎪⎝⎭
2b x a +=
2b x a =-⇒x = 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b a
ac b b x
1x =，2x = 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里a 为一次项系数，b 为二次项系数，c 为常数项。
【典型例题】
例1：一般地，对于一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0），当b 2
-4ac ≥0时，它的根是_____，当b-4ac<0时，方程_________．
例2：用公式法解方程x 2=-8x-15，其中b 2-4ac=_______，x 1=_____，x 2=________． 例3：一元二次方程x 2-2x-m=0可以用公式法解，则m=（ ）．
A ．0
B ．1
C ．-1
D ．±1
例4：不解方程，判断所给方程：①x 2+3x+7=0；②x 2+4=0；③x 2+x-1=0中，有实数根的方程有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 例5：方程（x+1）（x-3）=5的解是（ ）
A ．x 1=1，x 2=-3
B ．x 1=4，x 2=-2
C ．x 1=-1，x 2=3
D ．x 1=-4，x 2=2
A.
例8：用公式法解下列方
（1）23520x x --+=； （2）22330x x ++=； （3）2210x x -+=；
【举一反三】
1. 用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac=_______，x1=_____，x2=________．
2. 用公式法解方程4y2=12y+3，得到（）
A．．． D．
3. 不解方程，判断所给方程：①x2+3x+7=0；②x2+4=0；③x2+x-1=0中，有实数根的方程有（）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4. 用公式法解方程
(1)x2+15x=-3x; (2)x2+x-6=0; (3)3x2-6x-2=0; (4)4x2-6x=0
四：因式分解法
因式分解法的步骤是：
（1）将方程右边化为0；
（2）将方程左边分解为两个一次因式的乘积：
（3）令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.
例题讲解：
(1) x 2＋12x ＝0； (2)4x 2－1＝0； （3）042)2(2=+++x x ；
练习巩固：
(2)x 2－4x －21＝0； (3)(x －1)(x ＋3)＝12； (3)3x 2＋2x －1＝0；
(4)10x2－x－3＝0；(5)(x－1)2－4(x－1)－21＝0．
练习巩固
用适当方法解下列方程
(1)x2－4x＋3＝0； (2)(x－2)2＝256；（3）x2－3x＋1＝0；(4)x2－2x－3＝0；（5） (2t＋3)2＝3(2t＋3)； (6)(3－y)2＋y2＝9；
(7)7－2x 2=－15 （8）030222=--x x (9)2x 2－8x ＝7
(10) 5x 2－(52＋1)x ＋10＝0； (11)(
x ＋5)2－2(x ＋5)－8＝0．
知识点四：判定根的情况（韦达定理）
根的判别式及应用（Δ=240b ac -≥）
判定一元二次方程根的情况：
Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；
Δ＝0，方程有两个相等的实数根；
Δ＜0，方程没有实数根.
确定字母的值或取值范围：应用根的判别式，其前提为二次项系数不为0.
韦达定理：实系数一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）存在实数解x 1，x 2，那么x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a
.这是在初中时韦达定理的定义，但在高中时应用就更为广阔.由代数基本定理可推得：任何一元n 次方程在复数集中必有根，因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积形式，两端比较系数即得韦达定理，所以韦达定理在复数范围内同样适用.
一元二次方程ax 2
+bx+c=0（a≠0）在有解的情况下，两个解为x 1
x 2=2b a
-x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a . 例 1、 已知关于x 的一元二次方程x 2-2x +k =0
（1）方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；
（2）在（1）中当k 取最大整数时，求所得方程的实数根.
2、已知关于x 的方程kx 2
-2=0有两个不相等的实数根．．．．．．．．．
，求k 的取值范围.
例 2已知x 1，x 2是方程2x 2+14x －16=0的两实数根，求
2112
x x x x +的值.
练习：1.已知x 1,x 2是方程3x 2+2x -1=0的两个实数根，求2212x x +的值.
2.设α，β是一元二次方程x 2+3x -7=0的两个实数根，求α2+4α+β的值.
综合练习
1、如果关于x的方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1·x2=q．请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于x的方程x2+mx+n=0（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数；
（2）已知a，b满足a2-15a-5=0，b2-15b-5=0，求a b
b a
的值；
（3）已知a，b，c均为实数，且a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．
2、 若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0的两根，则有x 1+x 2=b a -，x 1x 2=c a .这是一元二次方程根与系数的关系，我们可以利用它来解题.例如,已知x 1，x 2是方程x 2+6x -3=0的两根，求x 12+x 22的值.
解法如下：
∵x 1+x 2=-6，x 1x 2=-3，
∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=（-6）2-2×（-3）=42.
若x 1，x 2是方程x 2+2x -2007=0的两个根，试求下列各式的值：
(1) x 12+x 22； (2)12
11x x +； (3)( x 1-5)( x 2-5)； (4)12||x x -．
知识点一、一元二次方程的有关概念 1．一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式： 3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 知识点二、一元二次方程的解法 1．直接开方法； 2．配方法； 用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方；求出方程的解；如果右边是一个负数，则判定此方程无 实数解. 3．公式法；
(1)一元二次方程求根公式： 一元二次方程，当时，. (2)一元二次方程根的判别式． ①当时，原方程有两个不等的实数根； ②当时，原方程有两个相等的实数根； ③当时，原方程没有实数根. (3)用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解； 若，则原方程无实根. 4．因式分解法； (1)用因式分解法解一元二次方程的步骤： ①将方程右边化为0； ②将方程左边分解为两个一次式的积； ③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. (2)常用因式分解法： 提取公因式法，平方差公式、完全平方公式. 知识点三、列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系；
一元二次方程 一、一元二次方程的概念： （1）只含一个未知数x；（2）最高次数是2次的；（3）?整式方程． 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 例1．将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． 注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号. 例2．将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=?1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项． 练习: 判断下列方程是否为一元二次方程？ (1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2-5 x =0 (4) x2-4=(x+2) 2 (5) ax2+bx+c=0 例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程． 练习:一、选择题 1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．
①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-5 x =0 A．1个B．2个C．3个D．4个 2．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）． A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数 二、填空题 1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为_____，一次项系数为_______，常数项为______．2．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________． 三、综合提高题 1、关于x的方程（2m2+m）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？ 2、方程（2a—4）x2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方 程为一元一次方程？ 3、当m为何值时,方程(m+1)x／4m／-4+27mx+5=0是关于x的一元二次方程 二、一元二次方程的解： 复习：方程的解 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．（只含有一个未知数的方程的解，又叫方程的根）例1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4． 例2.若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值
班级 姓名 课题 一元二次方程定义及其解法（配方法） 一、目标导航 1. 掌握一元二次方程的定义及a,b,c 的含义； 2. 掌握配方法解一元二次方程的方法. 二、教学重难点 重点：1.掌握一元二次方程的定义及a,b,c 的含义； 2.掌握配方法解一元二次方程的方法. 难点：配方法解一元二次方程. 三、走进教材 知识点一：一元二次方程的定义 1.一元二次方程的定义：方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的方程叫做一元二次方程。 2. 一元二次方程的一般形式：()200ax bx c a ++=≠，其中2 ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数，bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。举例：2 230x x +-= 3. 一元二次方程的解：能使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也可以叫做一元二次方程的根。
自主练习： 下列方程中，是一元二次方程的有 。（填序号） ①25x =； ②30x y +-=； ③253302x x + -=； ④2(5)2x x x x +=-； ⑤23580x x -+=； ⑥204y y -=。 知识点二：配方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程的思路：降次，即把二次降为一次，把一元二次方程转化为一元一次方程，化未知为已知，化繁为简，这是转化思想的体现。 2. 配方法：利用配方法将一个一元二次方程的左边配成完全平方形式，而右边是一个非负数，即把一个方程转化成()2x n p +=（p ≥0）的形式，这样解方程的方法叫做配方法。 3. 配方法具体操作： （1）对于一个二次三项式，当二次项系数为1时，配上一次项系数一半的平方就可以将其配成一个完全平方式，举例：解方程2230x x +-=， （2）当二次项系数不为1时，首先把二次项系数化为1，方程两边除以二次项系数，然后再利用（1）的步骤完成配方。举例：解方程22230x x +-=。 4. ()2x n p +=（p ≥0）的解法：对于方程()2x n p +=（p ≥0），它的左边是一个完全平方式，右边是非负数，利用平方根的定义，可以将这个方程进行降次，降为两个一元一次方程，即x n p +=和x n p +=-，解两个一元一次方程即可。 自主练习： 题型一：直接开平方法 1.2(1)2x -= 2.2(2)(0)x a a +=≥ 题型二：配方法 （1）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ） A. ()216x += B. ()216x -= C. ()229x += D. ()2 29x -= （2）下列方程中，一定有实数解的是（ ）
一元二次方程概念与解法 教学目标 1?了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程 2?能够利用一元二次方程解决简单的实际问题。 教学重点 一元二次方程的三种解法：配方法、公式法、分解因式法。 教学难点 列一元二次方程解决实际问题。 知识点梳理： 一元二次方程知识框图： 1?一元二次方程：只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程，这样 的方程叫做一元二次方程。 2. —元二次方程的一般形式：a2x+bx+c=0(a丰0) 3?—元二次方程的解法 直接开平方法： 适用于(mx+n) 2=h (h > 0)的一元二次方程。 配方法： 适用于化为一般形式的一元二次方程。 关键：方程两边都加上一次项系数一半的平方。 公式法： -b b2 4ac x= (b2-4ac> 0) 2a 关键：b2-4ac>0时，方程才有解。 因式分解法： 适用于方程右边是0,左边是易于分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。 4 .一元二次方程ax2+bx+c=0 (a丰0)的根的判别式是_____________________ ，当 _______ 时，它有两个不相等的实数根；当_____________ 时，它有两个相等的实数根；当 ____________ 时，？它没有实数根. 5.根的判别式及应用(△ =b2-4ac) (1) 判定一元二次方程根的情况.
△ >0 有两个不相等的实数根 △ =0 有两个相等的实数根 △ <0 没有实数根； △ > 0 有实数根? 6.根与系数的关系(韦达定理)的应用 b c 韦达定理：如果一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a 工的两根为X 1、X 2，则X 1+X 2=- ,X 1 X 2=. a a (1) 已知一根求另一根及未知系数； (2) 求与方程的根有关的代数式的值 ； (3) 已知两根求作方程； (4) 已知两数的和与积，求这两个数； (5) 确定根的符号：(X i ,X 2是方程两根). 0, 一元二次方程的应用 解应用题的关键是把握题意 是否符合实际意义? 例题讲解1： 一元二次方程基本概念 (1) mf-3x+x 2=0是关于X 的一元二次方程的条件是 A m=1 B m 丰-1 C m 丰0 D m 为任意实数 (2) (k-1 ) x 2-kx+仁0是关于x 的一元二次方程的条件是 Js 丰1_. 有两正根 X , x 2 x ,x 2 0 0, 有两负根 有一正根一负根 0, X 1 x 2 x 1x 2 0, 0, X 1X 2 0 有一正根一零根 0, X 1 X 2 0 X 1X 2 0 有一负根一零根 0, X 1 x 2 0 X 1=X 2=0 0, X i X 2 ，找准等量关系，列出方程?？最后还要注意求出的未知数的值
一元二次方程的概念及解法 一、一元二次方程的概念： 问题（1）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？ 如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______． 整理，得：________． 归纳： （1）只含一个未知数x；（2）最高次数是2次的；（3）?整式方程． 因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 例1．将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． 注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号. 例2．将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=?1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项． 练习:判断下列方程是否为一元二次方程？ (1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2-5 x =0 (4) x2-4=(x+2) 2(5) ax2+bx+c=0 例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程． 练习:一、选择题 1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）． ①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-5 x =0 A．1个B．2个C．3个D．4个 2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、?一次项系数和常数项分别为（）．A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6 3．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）． A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数 二、填空题 1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．
一元二次方程的概念及解法 知识图谱 1、一元二次方程 知识精讲 一．一元二次方程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高 次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元 二次方程 的一般形式： ax 2 c为常数项．bxc0(a0)，a为二次项系数，b为一次项系 数， 判断是一元二次方程的标准：①整式方 程 ②一元方程③二次方程
二．一元二次方程的解 一元二次方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．三点剖析 一．考点：一元二次方程的概念，一元二次方程的解． 1
二．重难点：一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解． 1.三．易错点： 确定方程是否为一元二次方程只需要检验最高次项—--二次项的系数是否为零即可； 2.注意对于关于x的方程ax 2 ，当a0时，方程是一元二次方程；当a0且b0 bxc0 时，方程是一元一次方程； 一元二次方程的系数一定要化为一般式之后再看． 题模精讲 题模一：概念 例以下方程中是关于x的一元二次方程的是〔〕 A．x210B． ax 2 x2bxc C．3x22x53x2D．x1x21 例方程(m2)x m3mx10是关于x的一元二次方程，那么m______ 例假设方程m1x2m x1是关于x 的一元二次方程，那么 m 的取值范围是__________． 例方程x422x13的二次项系数是______，一次项系数是_______，常数项是_______ 题模二：解 例关于x的一元二次方程 a 1x2x a2 1 0的一个根是0，那么a的值为 _________________． 例x1是关于x的方程x2mx n 0的一个根，那么m22mn n2的值为_______． 随堂练习 2 随练假设(m2)x m2x 3 0是关于x的一元二次方程，那么m的值为_________。 2
一元二次方程的概念与方程的解 【知识点】： 1、一元二次方程的概念：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 2、一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax 2 +bx+c=0（a ≠0）．这 种形式叫做一元二次方程的一般形式．（其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数； c 是常数项．） 3、一元二次方程的解：使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫作根）． 【例题精讲】: 例1、下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是 。 ① k 2x + 5k + 6 = 0 ；②2x 2 － 4 3 x － 21= 0 ；③3x 2 + x 1 －2 = 0； ④3x 2 + 2x －2 = 0；⑤（3－x ）2 = －1；⑥（2x －1）2 = （x －1）（4x + 3）。 例2、若关于x 的方程m x m x m m 4)3()2(2 =+--是一元二次方程，求m 的值。 例3、关于x 的方程x （3x －3）－2x （x －1）－2 = 0，指出该方程的二次项系数、一次项系数和常数项。 例4、关于x 的一元二次方程（a －1）x 2 －x + a 2 －1 = 0的一根是0，则a 的值为（ ） A 、1 B 、－1 C 、1或－1 D 、 2 1。 【夯实基础练】： 一）、填空题： 1、方程（x －4）2 = 3x + 12的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。 2、（11滨州）若x=2是关于x 的方程2 2 50x x a --+=的一个根，则a 的值为______. 3、已知关于x 的方程5)3(1 =-+-x m mx m 是一元二次方程，则m 2 = 。 4、（2012惠山区）一元二次方程（a+1）x 2-ax+a 2-1=0的一个根为0，则a= ． 5、已知关于x 的方程ax 2 + bx + c = 0（a ≠0）的两根为1和－1，则a + b + c= ，a －b + c = 。 6、关于x 的方程（k 2－1）x 2 + 2（k －1）x + 2k + 2 =0，当k ≠ 时，为一元二次方程；当k = 时，为一元一次方程。 二）、选择题： 1、下列方程中，不是一元二次方程的是（ ） A 、01232 =++x x B 、 5 3 1212-=x C 、011.02=+-x x D 、)2)(1(2-+=+x x x x 2、方程53)3)(3()12(32++-+=-x x x x 化为一般形式后，a 、b 、c 的值分别为（ ） A 、a = 5，b = 3，c = 5 B 、a = 5，b = －3，c = －5 C 、a = 7，b = 3，c = 5 D 、a =8，b = 6，c = 1 三）、解答题：
一元二次方程的概念及解法和讲义 知识点一：一元二次方程的概念 (1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的整式方程．．．．就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax (3)四个特点： (1)只含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，假设是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，则这个方程就为一元二次方程． 〔4〕将方程化为一般形式：02=++c bx ax 时，应满足〔a ≠0〕 例1：以下方程①x 2+1=0；②2y(3y-5)=6y 2+4；③ax 2+bx+c=0 ；④0351 =--x x ，其中是一元二次方程的有 。 变式:方程：①13122 =-x x ②0522 2=+-y xy x ③0172=+x ④02 2=y 中一元二次程的是 。 例2：一元二次方程12)3)(31(2+=-+x x x 化为一般形式为： ，二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。 变式1：一元二次方程3〔x —2〕2＝5x －1的一般形式是 ，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。 变式2：有一个一元二次方程，未知数为y ，二次项的系数为－1，一次项的系数为3，常数项为－6，请你写出它的一般形式______________。 例3：在关于x 的方程(m-5)x m-7+(m+3)x-3=0中:当m=_____时，它是一元二次方程；当m=_____时，它是一元一次方程。 变式1：已知关于x 的方程(m+1)x 2－mx+1=0，它是〔 〕 A ．一元二次方程 B ．一元一次方程 C ．一元一次方程或一元二次方程 D ．以上答案都不对 变式2：当m 时，关于x 的方程5)3(7 2 =---x x m m 是一元二次方程 知识点二：一元二次方程的解 （1）概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 （2）应用：利用根的概念求代数式的值； 【典型例题】
第 讲 一元二次方程的概念及解法 理解一元二次方程的概念，并掌握几种解法 模块一 方程的概念及直接开方法解 1 .一元二次方程的定义： 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做 一元二次方程。一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ， 2.一元二次方程的解法 （1）、直接开平方法: （2）、配方法: （3）、公式法 （4）、因式分解法 一元二次方程的常见解法有四种：直接开平方法，配方法，公式法，分解因式法。优先选取顺序依次为：直接开平方法→分解因式法→公式法→配方法．学会选取最优方法，在解一元二次方程时可以省时省力.
考点1 一元二次方程概念 1．判定是否为一元二次方程的方法： 一个方程是一元二次方程须满足三个条件： ①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2. 例题1 （1）下列方程中：①4x2=3x；①（x2﹣2）2+3x﹣1=0；①+4x﹣ =0；①x2=0；①=2；①6x（x+5）=6x2．其中一元二次方程的个数是（） A．1 B．2C．3 D．4 （2）已知关于x的方程（k﹣1）（k+3）x2+（k﹣1）x﹣k+3=0， 当k时，它是一元二次方程； 当k时，它是一元一次方程．
考点2 一元二次方程的根 例题2 （1）已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋x ＋k 2－1＝0有一个根为 0，则k 的值为 ______ （2）已知m 是关于x 的方程x 2－2x －3＝0的一个根， 则2m 2－4m ＝______ 考点3 直接开方法解一元二次方程 例题3 （1）判断下列哪个方程可以用直接开方法。 ①42=x ②062=--x x ③01322=++x x ④4)1(2=-x ⑤ 9)1(162=-x
一元二次方程概念及其解法 在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。 一元二次方程有四个特点： (1)只含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时，应满足（a≠0） 1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)^2=n (n≥0)的方程，其解为x=m±√n 例1．解方程（1）(3x+1)^2=7 （2）9x^2-24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)^2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。 （1）解：(3x+1)^2=7 ∴(3x+1)^2=7 ∴3x+1=±√7(注意不要丢解) ∴x= ... ∴原方程的解为x1=...,x2= ... （2）解：9x^2-24x+16=11 ∴(3x-4)^2=11 ∴3x-4=±√11 ∴x= ... ∴原方程的解为x1=...,x2= ... 2．配方法：例1 用配方法解方程3x^2-4x-2=0 解：将常数项移到方程右边3x^2-4x=2 将二次项系数化为1：x^2-x= 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x^2-x+( )^2= +( )^2 配方：
(x-)^2= 直接开平方得：x-=±∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= . 3．公式法：把一元二次方程化成ax^2+bx+c的一般形式，然后把各项系数a, b, c的值代入求根公式就可得到方程的根。当b^2-4ac>0时，求根公式为x1=[-b+√(b^2-4ac)]/2a,x2=[-b-√(b^2-4ac)]/2a（两个不相等的实数根）当b^2-4ac=0时，求根公式为x1=x2=-b/2a（两个相等的实数根）当b^2-4ac<0时，求根公式为x1=[-b+√(4ac-b^2)i]/2a,x2=[-b-√(4ac-b^2)i]/2a（两个虚数根）（初中理解为无实数根） 例3．用公式法解方程2x^2-8x=-5 解：将方程化为一般形式：2x^2-8x+5=0 ∴a=2, b=-8, c=5 b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0 ∴x= = = ∴原方程的解为x1=,x2= . 4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 例4．用因式分解法解下列方程：(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x^2+3x=0 (3) 6x^2+5x-50=0 (选学）(4)x^2-4x+4=0 （选学）(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得x^2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零) (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式) ∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。(2)解：2x^2+3x=0 x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) ∴
一元二次方程及其解法一、考点突破 二、重难点提示 一、知识结构 二、解题策略与方法 解一元二次方程的基本策略是：降次。降次的主要方法是因式分解法和开平方法。 1. 一元二次方程的概念 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 一般形式：（是常数，且）． 2. 一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 形如的方程，两边开平方，即可转化为两个一元一次方程来解，这种方法叫做直接开平方法． （2）配方法 把一元二次方程通过配方化成的形式，再用直接开平方法解，这种方法叫做配方法． 用配方法解一元二次方程（）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，也就是使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；④化原方程为的形式；⑤如果≥0就可通过两边开平方来求出方程的解；如果＜0，则原方程无解． （3）公式法 通过配方法可求得一元二次方程的求根公式：，用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法． 一元二次方程（是常数，且）的根的判别式是．利用根的判别式可以判定方程实根的个数；利用根的判别式也可以建立等式、不等式，求方程中的参数的值或取值范围；通过根的判别式可证明与方程有关的代数问题，也可运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题等。 用公式法解一元二次方程的一般步骤是：①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定的值；③求出的值；④若，则代入求根公式求方程的解；若，则方程无解． （4）因式分解法
因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式，否则会丢根． 能力提升类 例1 方程（m2－1）x2＋mx－5＝0 是关于x的一元二次方程，则m满足的条件是（） A. m≠1 B. m≠0 C. |m|≠1 D. m＝±1 一点通：该方程为关于x的一元二次方程，根据一元二次方程的定义中的条件可求。 答案：C 评析：根据一元二次方程中二次项的系数不为0这一条件可确定二次项系数中所含字母的取值范围. 例2 解关于的方程：． 评析：本题主要考查分类讨论思想。 例3 解关于的方程： 评析：本题主要考查分类讨论，一元二次方程的概念，根的判别式及一元二次方程的解法等知识，并强化分类讨论的思想方法。 综合运用类 例4 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（） A. 14 B. 12 C. 12或14 D. 以上都不对 一点通：解这个方程得，。结合三角形三边关系，第三边的范围是，所以不合题意，舍去。这个三角形的三边分别为3、4、5，故周长为12． 评析：这道题将构成三角形的条件与一元二次方程的解结合在一起，并考查了分类讨论的思想。 例5 解方程： 所以,． 评析：本题主要考查含绝对值符号的方程的解法。
一元二次方程概念和解法 一、概念理解 1、只含有（1）个未知数，并且未知数的最高次数是（2）的（整式方程）叫一元二次方程。 （1）当 a≠0 时，关于x的方程ax2+ bx+ c= 0是一元二次方程 （2）当 a＝0,b≠0时，关于x的方程ax2+ bx+ c= 0是一元一次方程 2 、一元二次方程的一般形式是ax2+ bx+ c= 0 ( a,b,c是常数且a≠ 0 )，其中ax2叫做二次项，bx叫做一次项，a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数 练习题 1、下列方程是一元二次方程的是（） A、x2- 3xy+ 7= 0 B、m3- 2m+ 3= 0 C、x2- 5= 0 D、5/x+x2= 4 2、下列方程不是一元二次方程的是（） A．x2+ 2x+1= 0 B．x2=1- 3x C．0.1x2- x+1= 0 D．x2+ x= (x+1)(x- 2) 3、已知方程(k2-1)x2+ (k+1)x- 5 = 0 ，（1）当k，是一元二次方程？ （2）当k，是一元一次方程？ 4、关于x的方程(m- 2)x2+ mx = 5，（1）当m，是一元二次方程？ （2）当m，是一元一次方程？ 5、关于x的方程(n- 2)xⁿ+ x = 5是一元二次方程，则n= 6、方程4x2=13 + 2x化为一般形式为，它的二次项系数是,一次项系数,常数项是 7、把一元二次方程(1- 3x)(x+ 3)= 2x2+1化成一般形式是，它的二次项是,一次项,常数项是 二、一元二次方程的解法
1、直接开方法：形如x2= p + n)2= p(p≥0)的一元二次方程， 两边同时直接开平方得±mx+ n 2、配方法一般步骤： （1）整理：整理成二次项系数为1的一般形式（2）移项：把常数项移到方程的右边； （3）配方：方程两边加上一次项系数的一半的平方（4）转化为（x+m）²=n的模式 （5）两边同时开平方 （6）解出答案 例如：2x²+16x-18=0 ⑴整理：x²+8x-9=0 ⑵移项：x²+8x=9 ⑶配方：x²+8x+4²=9+4² ⑷整理：（x+4）²=25 ⑸开方：x+4=±5 ⑹答案：x₁=1,x₂=﹣9 3、公式法的一般步骤 （1）整理：把原方程整理成 （2）确定a、b、c的值，（各项系数若有分数，通常化为整数）（3）计算的值，并判断这个值的正负 ①若b2- 4ac≥0，则写出公式求出x₁x₂ ②若b2- 4ac< 0，则方程没有实数根 4、因式分解法 （1）把方程整理成ax²+bx+c=0 （2）把方程左边分解成（ax+b）×（ax+c）=0 （3）令这两个一次因式分别等于0，得到两个一元一次方程； （4）分别解两个一元一次方程，求出每个方程的解；例如：5x²=4x (1)整理：5x²-4x=0 (2)分解：x(5x-4)=0 (3)（3）则：x=0 5x-4=0 (4)解得：x₁=0,x₂=4/5 练习题 1、用直接开方法解下列方程(x+ 3)2= 12(4x- 5)2= 18 x2- 9 = 0(2x-1)2- 4 = 0 2、用配方法解下列方程
一元二次方程及其解法 知识点一、一元二次方程的有关概念 1． 一元二次方程的概念：只含有 未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 (二次)的整式方 程，叫做一元二次方程。 2． 一元二次方程的一般形式： )0(02≠=++a c bx ax ，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中 二次项是 ，二次项系数是 ；一次项是 ，一次项系数是 ；常数项是 。 能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解〔或根〕。 课堂练习 1．方程3(1)0x x +=的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 . 2．关于x 的一元二次方程03)1()1(1=+-+++n x n x n n 中，那么一次项系数是 . 3．以下方程中是一元二次方程的有〔 〕 ①9 x 2 =7 x ②32y =8 ③ 3y(y-1)=y(3y+1) ④ x 2-2y+6=0 ⑤ 2( x 2+1)=10 ⑥ 24x -x-1=0 A ． ①②③ B. ①③⑤ C. ①②⑤ D. ⑥①⑤ 4．方程05)1(2 2=-+-mx x m 是关于x 的一元二次方程，那么m 满足的条件是〔 〕 A ． m ≠1 B. m ≠0 C. ∣m ∣≠1 D. m=±1 5．关于x 的方程q px nx x m mx x m +++=+232232( 其中 m ≠ 0)，经过化简整理, 化成02=++c bx ax 的形式，其中a ，b ，c 分别是( ) A. a = m －n , b = p, c = q B. a ＝m －n ， b ＝－p, c ＝q C ．a ＝m － n , b ＝ －p, c= －q D. a = m －n, b = p, c ＝ －q 6．以下方程中，无论a 取何值，总是关于x 的一元二次方程的是〔 〕 A. 02=++c bx ax B. x x ax -=+221 C. 0)1()1(222=--+x a x a D. 03 12=-++a x x 7．一元二次方程(m ＋2)x 2＋3m 2x ＋m 2－4＝0有一个根是0，那么2m 2－4m ＋3的值为 ； 8．如果6232+-x x 的值为8，那么代数式2312 x x -+的值为 ； 9．013642 2=+-++y x y x ，那么y x ＝ ； 10．m 是一元二次方程x 2－2005x ＋1＝0的一个不为零的根，那么代数式m 2－2004m ＋ 220051 m +的值为 ；
一元二次方程的概念及解法一、二 【知识要点】 1． 一元二次方程的概念 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。即一元二次方程必须满足以下三个条件：①它是整式方程；②它只含一个未知数；③方程中未知数的最高次数是2。 2． 一元二次方程的一般形式 02=++c bx ax （0≠a ）是一元二次方程的一般形式，即任何一个一元二次方程都可 以化成这样的形式。 2ax 称为一元二次方程的二次项，a 称为二次项系数；bx 称为一元二次方程的一次项，b 称为一次项系数；c 称为常数项。 在任何一个一元二次方程中，二次项是必不可少的项。 3．用直接开平方法解一元二次方程 形如()()02 ≥=-b b a x 的方程，可用直接开平方法，求得方程的根为： ()0≥±=b b a x 。 4．一般的一元二次方程，可用配方法求解。其步骤是： ①化二次项系数为1，并把常数项移项到方程的另一侧，即把方程化为q px x -=+2 的形式； ②方程两边都加上22⎪⎭⎫ ⎝⎛p ，把方程化为44222 q p p x -=⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ +； ③当042 ≥-q p 时，利用开平方法求解。 5．一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的求根公式是： () 04242 2≥--±-=ac b a ac b b x
【典型例题】 例1 判断下列方程是不是一元二次方程： （1）12=-y x （2） 11 4 2 =+x （3）01=-xy （4）322=+x x （5）()112=+-k x a （a 、k 是常数） （6）()()() ()1121122-+-=++-x x x x x x （7）032=++y x x （8）01=++y x （9）2 13122+=+x x （10）0512 =++x x 例2 当k 取何值时，方程()() 222 3267210k k x k k x k -+++-++= （1）是关于x 的一元二次方程？ （2）是关于x 的一元一次方程？ 例3 直接开平方法解方程： （1）()512 =-x （2）()162812 =-x （3）()()2 2 322+=-x x （4）01532 =-x
一元二次方程的解法 （1）一元二次方程的概念 一、考点、热点回顾 1、一元二次方程必须同时满足的三个条件: (1) (2) (3) 2、一元二次方程的一般形式: 二、典型例题 例1：判断下列方程是否为一元二次方程： ①12=+x x ②12=x ③0322=+-y x x ④)4)(1(32--=-x x x ⑤02=++c bx ax ⑥02=mx （ｍ是不为零常数） 例2：一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项. (5)3)2(2=+x (6)0)3)(3(=-+x x 例3：当m ________时，关于x 的方程（m+2）x |m|+3mx+1=0是一元二次方程。 三、课堂练习 1、下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ） 2222211.3(1)2(1) .20.0 .21 A x x B x y C ax bx c D x x x +=++-=++=+=- 2、用换元法解方程(x 2＋x)2＋(x 2＋x)＝6时，如果设x 2＋x ＝y ，那么原方程可变 形为（ ） A 、y 2＋y －6＝0 B 、y 2－y －6＝0 C 、y 2－y ＋6＝0 D 、y 2＋y ＋6＝0 2(2)510 2.20x x +-=2(4)30 x x +=2(1)109000 x x --=2(3)2150x -=
3、已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________. 4、已知关于x 的一元二次方程2(1)60x k x -+-=的一个根是2，求k 的值． 四、课后练习 1.将方程3(1)5(2)x x x -=+化成一元二次方程的一般形式，得 ；其中二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 . 2.方程2(4)5230k x x k -+++=是一元二次方程，则k 就满足的条件是 . 3. 已知m 是方程x 2-x-2=0的一个根，则代数式m 2-m=_____________ 4.在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为xcm ，则x 满足的方程是（ ） （A ） 213014000x x +-= （B ）2653500x x +-= （C ）213014000x x --= （D ）2653500x x --= 5．关于x 的方程 0)3(2=++-m nx x m ，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？ （2）--直接开方法 一、考点、热点回顾 1、了解形如x 2=a(a ≥0)或(x ＋h)2= k(k ≥0)的一元二次方程的解法 —— 直接开平方法 小结：如果一个一元二次方程具有n m x =+2)((0≥n )的形式，那么就可以用直接开平方法求解。（用直接开平方法解一元二次方程就是将一元二次方程的左边化为一个完全平方式，右边化为常数，且要养成检验的习惯）
一元二次方程的概念和解法 一．一元二次方程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项． 判断是一元二次方程的标准：①整式方程 ②一元方程 ③二次方程 二．一元二次方程的解 一元二次方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根． 题模一：概念 例1.1.1下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．22 1 0x x + = B ．20ax bx c ++= C ．223253x x x --= D ．()()121x x -+= 例1.1.2方程(2)310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，则m =______ 例1.1.3若()2 2230m m x x --+-=是关于x 的一元二次方程，则m 的值为_________ 例1.1.4已知关于x 的方程：2 (2)(1)60m m m x m x --+-+=是一元二次方程，试求m 的值_____．
例1.1.5若方程 ( )211 m x x -=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 __________． 例1.1.6方程()13242 +=+x x 的二次项系数是______，一次项系数是_______， 常数项是_______ 题模二：解 例1.2.1关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为_________________． 例 1.2.2已知方程()()2230x m x n +-++=的两根分别是2-、3-，则=-n m __________。 例1.2.3已知1x =是关于x 的方程20x mx n ++=的一个根，则222m mn n ++的值为_______． 随练1.1关于x 的方程023)1()1(2=++++-m x m x m ，当m __________时是一元一次方程；当m __________时是一元二次方程 随练1.2若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为_________ 随练 1.3已知方程()()2230x m x n +-++=的两根分别是2-、3-，则m n -=__________ 随练1.4若关于x 的一元二次方程为ax 2+bx+5=0（a ≠0）的解是x=1，则2013-a-b 的值是（ ） A ．2018 B ．2008 C ．2014 D ． 2012