一元二次方程的解法和定义
一、一元二次方程的解法和定义
1、一元二次方程的定义
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）。并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2、解一元二次方程
（1）直接开平方法
我们知道如果$x^2$=25，则$x$=≠$\sqrt{25}$，即$x$=±5，像这种利用平方根的定
义通过直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。一般地，对于方程
$x^2$=$p$，
①当$p$>0时，方程有两个不等的实数根$x_1$=$\sqrt{p}$ ，$x_2$=$-\sqrt{p}$。
②当$p$=0时，方程有两个相等的实数根$x_1$=$x_2$=0。
③当$p$<0时，因为对任意实数$x$ ，都有$x^2\geqslant$0，所以方程无实数根。
（2）配方法
通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。用配方法解方程是
以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解一元二次方程的方法。
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①化二次项系数为1。
②移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。
③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，原方程变为$(x+n)^2$=$p$的形式。
④直接开平方：如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。
（3）公式法
①公式法的定义
解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式$ax^2$+$bx$+$c$=0（$a$≠0）。当
$b^2-$$4ac\geqslant$0时，方程$ax^2$+$bx$+$c$=0（$a$≠0）的实数根可写为
$x$=$\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$的形式，这个式子叫做一元二次方程
$ax^2$+$bx$+$c$=0（$a$≠0）的求根公式。利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根。
②一元二次方程根的个数与根的判别式的关系
一般地，式子$b^2-$$4ac$叫做方程$ax^2$+$bx$+$c$=0（$a$≠0）的根的判别式，通常用希腊字母$\mathit{Δ}$表示，即$\mathit{Δ}=$$b^2-$$4ac$。
当$\mathit{Δ}=$$b^2-$$4ac>0$时，一元二次方程$ax^2$+$bx$+$c$=0（$a$≠0）有两个不相等的实数根。即$x_1$=$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2$=$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
当$\mathit{Δ}$=$b^2-$$4ac=0$时，一元二次方程$ax^2$+$bx$+$c$=0（$a$≠0）有两个相等的实数根。即$x_1$=$x_2$=$-\frac{b}{2a}$。
当$\mathit{Δ}$=$b^2-$$4ac<0$时，一元二次方程$ax^2$+$bx$+$c$=0（$a$≠0）无实数根。
③利用公式法解一元二次方程$ax^2$+$bx$+$c$=0（$a$≠0）的一般步骤：
将一元二次方程整理成一般形式。
确定公式中$a$，$b$，$c$的值。
求出$b^2-4ac$的值。
当$b^2-4ac\geqslant$0时，将$a$，$b$，$c$的值及$b^2-4ac$的值代入求根公式即可；当$b^2-4ac<0$时，方程无实数根。
④一元二次方程根的判别式的应用
一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况：
不解方程，由根的判别式的正负性及是否为0可直接判定根的情况。
根据方程根的情况，确定方程中字母系数的取值范围。
应用判别式证明方程根的情况（有实根、无实根、有两个不相等实根、有两个相等实根）。
（4）因式分解法
①因式分解法的定义
将一元二次方程先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
②用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
移项——将方程的右边化为0。
化积——将方程的左边分解为两个一次式的乘积。
转化——令每个一次式分别为零，得到两个一元一次方程。
求解——解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
二、一元二次方程的解法的相关例题
用配方法解方程$x^2-$$2x-$$1=0$时，配方后所得的方程为___
A．$（x+1）^2$=0 B．$（x-1）^2$=0
C．$（x+1）^2$=2 D．$（x-1）^2$=2
答案：D
解析：$x^2-2x-1=0$，移项得$x^2-2x=1$。配方得$x^2-2x+1^2=$$1+1^2$，即$(x-1)^2$=2。
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知识点一、一元二次方程的有关概念 1．一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式： 3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 知识点二、一元二次方程的解法 1．直接开方法； 2．配方法； 用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方；求出方程的解；如果右边是一个负数，则判定此方程无 实数解. 3．公式法；
(1)一元二次方程求根公式： 一元二次方程，当时，. (2)一元二次方程根的判别式． ①当时，原方程有两个不等的实数根； ②当时，原方程有两个相等的实数根； ③当时，原方程没有实数根. (3)用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解； 若，则原方程无实根. 4．因式分解法； (1)用因式分解法解一元二次方程的步骤： ①将方程右边化为0； ②将方程左边分解为两个一次式的积； ③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. (2)常用因式分解法： 提取公因式法，平方差公式、完全平方公式. 知识点三、列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系；
第一讲：一元二次方程的概念和解法 一、知识点1: 1: 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的方程叫做一元二次方程? 2：一般形式： ax2 + bx+ c= 0(a、b、c 是已知数，a^0) 其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项. 3:相关练习： 1、下列方程中，是一元二次方程的是( ) 2 A、x =1 B、X——-_ =1 C、，x -1 x2 = 1 D、x‘ x 1 = 0 x 2 2 2、如果(m 3)x2 -mx ? 1 = 0是关于x的一元二次方程，则( ) A、m - 3 且 m = 0 B、m -j 3 C、m -j 0 D、m - 3 3、下列方程一定是关于x的一元二次方程的是( ) A、3x =4x m B、ax -8=0 C、x y =0 D、-6xy - y 7 = 0 4、关于x的方程kx23x2 1是一元二次方程，则k的取值范围是_____________ 。 5、判断下列方程是否为一元二次方程： (1 )、—3x2+2x+y2=0 (2)、xx2-2 ^x-x 2 (3)、y2 =0 (4)、2 x1 (2x3 x k 6、关于x的方程(k 1)x' kx ^0是一元二次方程，求k的值。 7、__________________________________________ x(2x- 1) — 3x(x- 2)=0 — 二次项系数：_____ ; 一次项系数：_______ 常数项： ______ ； 2x(x— 1)=3(x + 5) — 4 —_______________ 二次项系数：_____ ; 一次项系数：_____ 常数项：________ . &关于x的一元二次方程(a-1)x2? a2-仁0的一个根为0,则a的值为( ) 1 A、1 B、-1 C、-1或 1 D、- 2 9、已知关于x的一元二次方程(m-2) x2 + 3x+ m2— 4=0有一个解是0,则 m= 。 10、关于x的方程mx2— 3x=x2- mx+2是一元二次方程的条件是_____________ . 11、已知x2-x-1=0,求-x3 2x2 2009 的值 二、知识点2 一元二次方程的解法：
一元二次方程 一、一元二次方程的概念： （1）只含一个未知数x；（2）最高次数是2次的；（3）?整式方程． 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 例1．将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． 注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号. 例2．将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=?1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项． 练习: 判断下列方程是否为一元二次方程？ (1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2-5 x =0 (4) x2-4=(x+2) 2 (5) ax2+bx+c=0 例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程． 练习:一、选择题 1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．
①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-5 x =0 A．1个B．2个C．3个D．4个 2．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）． A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数 二、填空题 1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为_____，一次项系数为_______，常数项为______．2．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________． 三、综合提高题 1、关于x的方程（2m2+m）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？ 2、方程（2a—4）x2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方 程为一元一次方程？ 3、当m为何值时,方程(m+1)x／4m／-4+27mx+5=0是关于x的一元二次方程 二、一元二次方程的解： 复习：方程的解 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．（只含有一个未知数的方程的解，又叫方程的根）例1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4． 例2.若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值
一元二次方程的讲解 一元二次方程是数学中常见的一类方程，形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，且a ≠ 0。一元二次方程的求解是解析几何、物理学等学科中的重要基础知识之一。本文将从一元二次方程的定义、求解方法和应用等方面进行讲解。 一、一元二次方程的定义 一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程。它的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，且a ≠ 0。其中，a 称为二次项系数，b称为一次项系数，c称为常数项。 二、一元二次方程的求解方法 1. 因式分解法：当一元二次方程可以进行因式分解时，可以通过将方程两边的式子分解成乘积的形式，令每个因式等于0，再求解得到方程的根。 2. 完全平方公式法：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果a=1，可以使用完全平方公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)来求解方程的根。 3. 直接开平方法：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果方程的解可以通过开方得到，可以直接进行开平方运算求解。 4. 公式法：一元二次方程的解也可以通过求解一元二次方程的根公
式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)来得到。 三、一元二次方程的应用 一元二次方程在实际问题中具有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景。 1. 抛物线的建模：一元二次方程可以用来建立抛物线的数学模型。抛物线的形状由方程中的二次项决定，常数项则决定了抛物线的平移。 2. 物体运动的轨迹：一元二次方程可以用来描述物体在抛体运动中的轨迹。通过解一元二次方程，可以求得物体的落地时间、最高点高度等相关信息。 3. 经济学问题的分析：一元二次方程可以用来分析经济学中的一些问题，如成本、收益、利润等的关系。 4. 工程问题的求解：一元二次方程在工程问题的求解中也有重要应用，如电路中的电压、电流关系的建立等。 总结： 一元二次方程是数学中常见的一类方程，它的求解方法多种多样，常用的有因式分解法、完全平方公式法、直接开平方法和公式法。一元二次方程的应用广泛，包括抛物线建模、物体运动轨迹、经济学问题分析和工程问题求解等。掌握一元二次方程的求解方法和应
一元二次方程的解法和定义 一、一元二次方程的解法和定义 1、一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）。并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 2、解一元二次方程 （1）直接开平方法 我们知道如果$x^2$=25，则$x$=≠$\sqrt{25}$，即$x$=±5，像这种利用平方根的定 义通过直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。一般地，对于方程 $x^2$=$p$， ①当$p$>0时，方程有两个不等的实数根$x_1$=$\sqrt{p}$ ，$x_2$=$-\sqrt{p}$。 ②当$p$=0时，方程有两个相等的实数根$x_1$=$x_2$=0。 ③当$p$<0时，因为对任意实数$x$ ，都有$x^2\geqslant$0，所以方程无实数根。 （2）配方法 通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。用配方法解方程是 以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解一元二次方程的方法。 用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①化二次项系数为1。 ②移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。 ③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，原方程变为$(x+n)^2$=$p$的形式。 ④直接开平方：如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。 （3）公式法 ①公式法的定义 解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式$ax^2$+$bx$+$c$=0（$a$≠0）。当 $b^2-$$4ac\geqslant$0时，方程$ax^2$+$bx$+$c$=0（$a$≠0）的实数根可写为 $x$=$\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$的形式，这个式子叫做一元二次方程
班级 姓名 课题 一元二次方程定义及其解法（配方法） 一、目标导航 1. 掌握一元二次方程的定义及a,b,c 的含义； 2. 掌握配方法解一元二次方程的方法. 二、教学重难点 重点：1.掌握一元二次方程的定义及a,b,c 的含义； 2.掌握配方法解一元二次方程的方法. 难点：配方法解一元二次方程. 三、走进教材 知识点一：一元二次方程的定义 1.一元二次方程的定义：方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的方程叫做一元二次方程。 2. 一元二次方程的一般形式：()200ax bx c a ++=≠，其中2 ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数，bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。举例：2 230x x +-= 3. 一元二次方程的解：能使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也可以叫做一元二次方程的根。
自主练习： 下列方程中，是一元二次方程的有 。（填序号） ①25x =； ②30x y +-=； ③253302x x + -=； ④2(5)2x x x x +=-； ⑤23580x x -+=； ⑥204y y -=。 知识点二：配方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程的思路：降次，即把二次降为一次，把一元二次方程转化为一元一次方程，化未知为已知，化繁为简，这是转化思想的体现。 2. 配方法：利用配方法将一个一元二次方程的左边配成完全平方形式，而右边是一个非负数，即把一个方程转化成()2x n p +=（p ≥0）的形式，这样解方程的方法叫做配方法。 3. 配方法具体操作： （1）对于一个二次三项式，当二次项系数为1时，配上一次项系数一半的平方就可以将其配成一个完全平方式，举例：解方程2230x x +-=， （2）当二次项系数不为1时，首先把二次项系数化为1，方程两边除以二次项系数，然后再利用（1）的步骤完成配方。举例：解方程22230x x +-=。 4. ()2x n p +=（p ≥0）的解法：对于方程()2x n p +=（p ≥0），它的左边是一个完全平方式，右边是非负数，利用平方根的定义，可以将这个方程进行降次，降为两个一元一次方程，即x n p +=和x n p +=-，解两个一元一次方程即可。 自主练习： 题型一：直接开平方法 1.2(1)2x -= 2.2(2)(0)x a a +=≥ 题型二：配方法 （1）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ） A. ()216x += B. ()216x -= C. ()229x += D. ()2 29x -= （2）下列方程中，一定有实数解的是（ ）
一元二次方程的概念及解法和讲义 知识点一：一元二次方程的概念 ⑴定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程就是一元二次方程。 ⑵一般表达式：ax2 bx c二0(a = 0) ⑶四个特点： (1)只含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是 2 ； (3)是整式方程?要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式 方程，若是，再对它进行整理?如果能整理为ax2 bx 0(a = 0)的形式， 则这个方程就为一元二次方程. (4)将方程化为一般形式：ax2 bx，c = 0时，应满足(aM 0) 例1:下列方程① x2+1=0;? 2y(3y-5)=6y 2+4;③ ax2+bx+c=0 ;④丄「5x「3 = 0, x 其中是一元二次方程的有______________ 。 变式：方程：① 2x2- 1 = 1 ② 2x2-5xy，y2 = 0 ③ 7x2 T=0 ④—=0 中一元3x 2 二次程的是______________ 。 例2:—元二次方程(1 3x)(^3^2x2 1化为一般形式为： _________________________ ，二次项系数为：______ ，一次项系数为：_____ ，常数项为：______ 。 变式1 : 一元二次方程3 ( x — 2 ) 2= 5x —1的一般形式是___ ，二次项系数是_________________________________ ，一次项系数 是_______ ，常数项是__________ 。 变式2:有一个一元二次方程，未知数为y,二次项的系数为—1, 一次项的系数为3，常数项为一6，请你写出它的一般形式 ____________________ 。 例3：在关于x的方程(m-5)x m-7+(m+3)x-3=0中：当m= ____ 时它是一元二次方 程；当m= ____ 时它是一元一次方程。 变式1:已知关于x的方程(m+1)x2—mx+仁0它是( ) A.—兀二次方程 B .—兀一次方程 C?一元一次方程或一元二次方程 D .以上答案都不对 变式2:当m _____ 时，关于x的方程(m-3)x m J-x=5是一元二次方程 知识点二：一元二次方程的解 (1)概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 (2)应用：利用根的概念求代数式的值； 【典型例题】 1. 已知x
一元二次方程概念与解法 教学目标 1?了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程 2?能够利用一元二次方程解决简单的实际问题。 教学重点 一元二次方程的三种解法：配方法、公式法、分解因式法。 教学难点 列一元二次方程解决实际问题。 知识点梳理： 一元二次方程知识框图： 1?一元二次方程：只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程，这样 的方程叫做一元二次方程。 2. —元二次方程的一般形式：a2x+bx+c=0(a丰0) 3?—元二次方程的解法 直接开平方法： 适用于(mx+n) 2=h (h > 0)的一元二次方程。 配方法： 适用于化为一般形式的一元二次方程。 关键：方程两边都加上一次项系数一半的平方。 公式法： -b b2 4ac x= (b2-4ac> 0) 2a 关键：b2-4ac>0时，方程才有解。 因式分解法： 适用于方程右边是0,左边是易于分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。 4 .一元二次方程ax2+bx+c=0 (a丰0)的根的判别式是_____________________ ，当 _______ 时，它有两个不相等的实数根；当_____________ 时，它有两个相等的实数根；当 ____________ 时，？它没有实数根. 5.根的判别式及应用(△ =b2-4ac) (1) 判定一元二次方程根的情况.
△ >0 有两个不相等的实数根 △ =0 有两个相等的实数根 △ <0 没有实数根； △ > 0 有实数根? 6.根与系数的关系(韦达定理)的应用 b c 韦达定理：如果一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a 工的两根为X 1、X 2，则X 1+X 2=- ,X 1 X 2=. a a (1) 已知一根求另一根及未知系数； (2) 求与方程的根有关的代数式的值 ； (3) 已知两根求作方程； (4) 已知两数的和与积，求这两个数； (5) 确定根的符号：(X i ,X 2是方程两根). 0, 一元二次方程的应用 解应用题的关键是把握题意 是否符合实际意义? 例题讲解1： 一元二次方程基本概念 (1) mf-3x+x 2=0是关于X 的一元二次方程的条件是 A m=1 B m 丰-1 C m 丰0 D m 为任意实数 (2) (k-1 ) x 2-kx+仁0是关于x 的一元二次方程的条件是 Js 丰1_. 有两正根 X , x 2 x ,x 2 0 0, 有两负根 有一正根一负根 0, X 1 x 2 x 1x 2 0, 0, X 1X 2 0 有一正根一零根 0, X 1 X 2 0 X 1X 2 0 有一负根一零根 0, X 1 x 2 0 X 1=X 2=0 0, X i X 2 ，找准等量关系，列出方程?？最后还要注意求出的未知数的值
一元二次方程概念和解法 一、概念理解 1、只含有（1）个未知数，并且未知数的最高次数是（2）的（整式方程）叫一元二次方程。 （1）当 a≠0 时，关于x的方程ax2+ bx+ c= 0是一元二次方程 （2）当 a＝0,b≠0时，关于x的方程ax2+ bx+ c= 0是一元一次方程 2 、一元二次方程的一般形式是ax2+ bx+ c= 0 ( a,b,c是常数且a≠ 0 )，其中ax2叫做二次项，bx叫做一次项，a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数 练习题 1、下列方程是一元二次方程的是（） A、x2- 3xy+ 7= 0 B、m3- 2m+ 3= 0 C、x2- 5= 0 D、5/x+x2= 4 2、下列方程不是一元二次方程的是（） A．x2+ 2x+1= 0 B．x2=1- 3x C．0.1x2- x+1= 0 D．x2+ x= (x+1)(x- 2) 3、已知方程(k2-1)x2+ (k+1)x- 5 = 0 ，（1）当k，是一元二次方程？ （2）当k，是一元一次方程？ 4、关于x的方程(m- 2)x2+ mx = 5，（1）当m，是一元二次方程？ （2）当m，是一元一次方程？ 5、关于x的方程(n- 2)xⁿ+ x = 5是一元二次方程，则n= 6、方程4x2=13 + 2x化为一般形式为，它的二次项系数是,一次项系数,常数项是 7、把一元二次方程(1- 3x)(x+ 3)= 2x2+1化成一般形式是，它的二次项是,一次项,常数项是 二、一元二次方程的解法
1、直接开方法：形如x2= p + n)2= p(p≥0)的一元二次方程， 两边同时直接开平方得±mx+ n 2、配方法一般步骤： （1）整理：整理成二次项系数为1的一般形式（2）移项：把常数项移到方程的右边； （3）配方：方程两边加上一次项系数的一半的平方（4）转化为（x+m）²=n的模式 （5）两边同时开平方 （6）解出答案 例如：2x²+16x-18=0 ⑴整理：x²+8x-9=0 ⑵移项：x²+8x=9 ⑶配方：x²+8x+4²=9+4² ⑷整理：（x+4）²=25 ⑸开方：x+4=±5 ⑹答案：x₁=1,x₂=﹣9 3、公式法的一般步骤 （1）整理：把原方程整理成 （2）确定a、b、c的值，（各项系数若有分数，通常化为整数）（3）计算的值，并判断这个值的正负 ①若b2- 4ac≥0，则写出公式求出x₁x₂ ②若b2- 4ac< 0，则方程没有实数根 4、因式分解法 （1）把方程整理成ax²+bx+c=0 （2）把方程左边分解成（ax+b）×（ax+c）=0 （3）令这两个一次因式分别等于0，得到两个一元一次方程； （4）分别解两个一元一次方程，求出每个方程的解；例如：5x²=4x (1)整理：5x²-4x=0 (2)分解：x(5x-4)=0 (3)（3）则：x=0 5x-4=0 (4)解得：x₁=0,x₂=4/5 练习题 1、用直接开方法解下列方程(x+ 3)2= 12(4x- 5)2= 18 x2- 9 = 0(2x-1)2- 4 = 0 2、用配方法解下列方程
一元二次方程概念及其解法 在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。 一元二次方程有四个特点： (1)只含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时，应满足（a≠0） 1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)^2=n (n≥0)的方程，其解为x=m±√n 例1．解方程（1）(3x+1)^2=7 （2）9x^2-24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)^2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。 （1）解：(3x+1)^2=7 ∴(3x+1)^2=7 ∴3x+1=±√7(注意不要丢解) ∴x= ... ∴原方程的解为x1=...,x2= ... （2）解：9x^2-24x+16=11 ∴(3x-4)^2=11 ∴3x-4=±√11 ∴x= ... ∴原方程的解为x1=...,x2= ... 2．配方法：例1 用配方法解方程3x^2-4x-2=0 解：将常数项移到方程右边3x^2-4x=2 将二次项系数化为1：x^2-x= 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x^2-x+( )^2= +( )^2 配方：
(x-)^2= 直接开平方得：x-=±∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= . 3．公式法：把一元二次方程化成ax^2+bx+c的一般形式，然后把各项系数a, b, c的值代入求根公式就可得到方程的根。当b^2-4ac>0时，求根公式为x1=[-b+√(b^2-4ac)]/2a,x2=[-b-√(b^2-4ac)]/2a（两个不相等的实数根）当b^2-4ac=0时，求根公式为x1=x2=-b/2a（两个相等的实数根）当b^2-4ac<0时，求根公式为x1=[-b+√(4ac-b^2)i]/2a,x2=[-b-√(4ac-b^2)i]/2a（两个虚数根）（初中理解为无实数根） 例3．用公式法解方程2x^2-8x=-5 解：将方程化为一般形式：2x^2-8x+5=0 ∴a=2, b=-8, c=5 b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0 ∴x= = = ∴原方程的解为x1=,x2= . 4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 例4．用因式分解法解下列方程：(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x^2+3x=0 (3) 6x^2+5x-50=0 (选学）(4)x^2-4x+4=0 （选学）(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得x^2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零) (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式) ∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。(2)解：2x^2+3x=0 x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) ∴
一元二次方程及其解法一、考点突破 二、重难点提示 一、知识结构 二、解题策略与方法 解一元二次方程的基本策略是：降次。降次的主要方法是因式分解法和开平方法。 1. 一元二次方程的概念 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 一般形式：（是常数，且）． 2. 一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 形如的方程，两边开平方，即可转化为两个一元一次方程来解，这种方法叫做直接开平方法． （2）配方法 把一元二次方程通过配方化成的形式，再用直接开平方法解，这种方法叫做配方法． 用配方法解一元二次方程（）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，也就是使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；④化原方程为的形式；⑤如果≥0就可通过两边开平方来求出方程的解；如果＜0，则原方程无解． （3）公式法 通过配方法可求得一元二次方程的求根公式：，用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法． 一元二次方程（是常数，且）的根的判别式是．利用根的判别式可以判定方程实根的个数；利用根的判别式也可以建立等式、不等式，求方程中的参数的值或取值范围；通过根的判别式可证明与方程有关的代数问题，也可运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题等。 用公式法解一元二次方程的一般步骤是：①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定的值；③求出的值；④若，则代入求根公式求方程的解；若，则方程无解． （4）因式分解法
因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式，否则会丢根． 能力提升类 例1 方程（m2－1）x2＋mx－5＝0 是关于x的一元二次方程，则m满足的条件是（） A. m≠1 B. m≠0 C. |m|≠1 D. m＝±1 一点通：该方程为关于x的一元二次方程，根据一元二次方程的定义中的条件可求。 答案：C 评析：根据一元二次方程中二次项的系数不为0这一条件可确定二次项系数中所含字母的取值范围. 例2 解关于的方程：． 评析：本题主要考查分类讨论思想。 例3 解关于的方程： 评析：本题主要考查分类讨论，一元二次方程的概念，根的判别式及一元二次方程的解法等知识，并强化分类讨论的思想方法。 综合运用类 例4 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（） A. 14 B. 12 C. 12或14 D. 以上都不对 一点通：解这个方程得，。结合三角形三边关系，第三边的范围是，所以不合题意，舍去。这个三角形的三边分别为3、4、5，故周长为12． 评析：这道题将构成三角形的条件与一元二次方程的解结合在一起，并考查了分类讨论的思想。 例5 解方程： 所以,． 评析：本题主要考查含绝对值符号的方程的解法。
第 讲 一元二次方程的概念及解法 理解一元二次方程的概念，并掌握几种解法 模块一 方程的概念及直接开方法解 1 .一元二次方程的定义： 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做 一元二次方程。一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ， 2.一元二次方程的解法 （1）、直接开平方法: （2）、配方法: （3）、公式法 （4）、因式分解法 一元二次方程的常见解法有四种：直接开平方法，配方法，公式法，分解因式法。优先选取顺序依次为：直接开平方法→分解因式法→公式法→配方法．学会选取最优方法，在解一元二次方程时可以省时省力.
考点1 一元二次方程概念 1．判定是否为一元二次方程的方法： 一个方程是一元二次方程须满足三个条件： ①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2. 例题1 （1）下列方程中：①4x2=3x；①（x2﹣2）2+3x﹣1=0；①+4x﹣ =0；①x2=0；①=2；①6x（x+5）=6x2．其中一元二次方程的个数是（） A．1 B．2C．3 D．4 （2）已知关于x的方程（k﹣1）（k+3）x2+（k﹣1）x﹣k+3=0， 当k时，它是一元二次方程； 当k时，它是一元一次方程．
考点2 一元二次方程的根 例题2 （1）已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋x ＋k 2－1＝0有一个根为 0，则k 的值为 ______ （2）已知m 是关于x 的方程x 2－2x －3＝0的一个根， 则2m 2－4m ＝______ 考点3 直接开方法解一元二次方程 例题3 （1）判断下列哪个方程可以用直接开方法。 ①42=x ②062=--x x ③01322=++x x ④4)1(2=-x ⑤ 9)1(162=-x
一元二次方程的解法 (直接开平方法、配方法、公式法和分解法） 一元二次方程定义: 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程。一般形式：ax²+bx+c=0（a,b，c为常数，x为未知数,且a≠0）。 顶点式：y=a（x—h）²+k（a≠0,a、h、k为常数） 交点式：y=a（x—x₁）（x—x₂）（a≠0） ［有交点A(x₁，0）和B(x₂,0)的抛物线，即b²—4ac≥0］ . 直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。 用直接开平方法解形如（x-m)²=n（n≥0）的方程，其解为x=m± 配方法： 1。将此一元二次方程化为ax²+bx+c=0的形式(此一元二次方程满足有实根）2。将二次项系数化为1 3。将常数项移到等号右侧 4。等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方 5。将等号左边的代数式写成完全平方形式 6。左右同时开平方 7.整理即可得到原方程的根 公式法: 1。化方程为一般式：ax²+bx+c=0 （a≠0） 2。确定判别式，计算Δ（=b²—4ac)； 3。若Δ>0，该方程在实数域内有两个不相等的实数根:x= 若Δ=0，该方程在实数域内有两个相等的实数根：x₁=x₂= 若Δ〈0,该方程在实数域内无实数根 因式分解法： 因式分解法又分“提公因式法”；而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。 用因式分解法解一元二次方程的步骤 1. 将方程右边化为0； 2. 将方程左边分解为两个一次式的积；
3. 令这两个一次式分别为0,得到两个一元一次方程； 4. 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。 用待定系数法求二次函数的解析式 （1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:y=ax²+bx+c（a≠0). （2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大(小）值时,可设解析式为顶点式：y=a(x—h）²+k（a≠0）。 （3）当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式:y=a （x—x₁)（x—x₂）(a≠0）。 增减性 当a>0且y在对称轴右侧时，y随x增大而增大,y在对称轴左侧则相反，同增同减. 当a<0且y在对称轴右侧时,y随x增大而减小，y在对称轴左侧则相反，大小小大。 常用公式总结: ; 一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。 例1:已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时,方程（1）有整数解？ 分析：在同时满足方程（1）,(2)条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。解:∵方程(1)有两个不相等的实数根, ∴，解得； ∵方程（2)没有实数根∴，解得； 于是，同时满足方程(1）,（2）条件的的取值范围是
一元二次方程的解法 （直接开平方法、配方法、公式法和分解法） 一元二次方程定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程。一般形式:ax²+bx+c=0(a,b，c为常数，x为未知数，且a≠0）. 顶点式: y=a（x—h）²+k（a≠0，a、h、k为常数） 交点式：y=a（x—x₁）（x—x₂）(a≠0） ［有交点A（x₁，0)和B（x₂，0)的抛物线，即b²-4ac≥0］ . 直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。 用直接开平方法解形如(x—m）²=n(n≥0）的方程，其解为x=m± 配方法： 1.将此一元二次方程化为ax²+bx+c=0的形式（此一元二次方程满足有实根） 2.将二次项系数化为1 3.将常数项移到等号右侧 4。等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方 5.将等号左边的代数式写成完全平方形式 6。左右同时开平方 7.整理即可得到原方程的根 公式法: 1。化方程为一般式：ax²+bx+c=0 (a≠0） 2。确定判别式，计算Δ(=b²—4ac)； 3。若Δ〉0，该方程在实数域内有两个不相等的实数根：x= 若Δ=0,该方程在实数域内有两个相等的实数根:x₁=x₂= 若Δ〈0,该方程在实数域内无实数根 因式分解法: 因式分解法又分“提公因式法”;而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。 用因式分解法解一元二次方程的步骤 1. 将方程右边化为0; 2. 将方程左边分解为两个一次式的积;
一元二次方程的解法 <直接开平方法、配方法、公式法和分解法> 一元二次方程定义： 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程.一般形式：ax²+bx+c=0〔a,b,c为常数,x为未知数,且a≠0〕. 顶点式：y=a