中心极限定理 无论随机变量12,,,, n X X X 服从什么分布，当n 充分大时，其和的极限分布是正 态分布，这就是我们今天要讲的中心极限定理。 定理 5.5（独立同分布中心极限定理）设随机变量12,,,,n X X X 相互独立,服从同一 分布,且具有数学期望和方差2 (),()0,i i E X D X μσ==>1,2,i =,则随机变量之和1 n i i X =∑的标 准化变量 n i n X n Y μ -= ∑ 的分布函数()n F x 对于任意X 满足 2/2lim ()lim d ()n i x t n n n X n F x P x t x μΦ-→∞→∞ ?? -??? =≤==????? ∑? 定理 5.5表明,对于均值为,μ方差为2 0σ>的独立同分布的随机变量的和1 n i i X =∑的标准 化随机变量,不论12,,,, n X X X 服从什么分布,当n 充分大时,都有 ~(0,1)n i n X n Y N μ-= ∑近似 , 从而,当n 充分大时 21 ~(,)n i i X N n n μσ=∑近似. 定理5.5′ 设随机变量列12,,,,n X X X 相互独立,服从同一分布,且具有数学期望和方差2(),()0,i i E X D X μσ==>1,2, i =,令1 1n n i i X X n == ∑,则当n 充分大时 ~(0,1)N 近似 ,即2~(,/)n X N n μσ近似. 例5.3 一盒同型号螺丝钉共有100个,已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量,期望值是100 g,标准差是10 g,求一盒螺丝钉的重量超过10.2 kg 的概率. 解 设i X 为第i 个螺丝钉的重量,,100,,2,1 =i Y 为一盒螺丝钉的重量,则
重庆三峡学院毕业设计（论文）大数定律与中心极限定理及其应用 分院数学与统计学院 专业数学与应用数学（师范） 班级 10数本1班 学号201006034109 姓名张永东 指导教师陈飞翔 (讲师) 2014年5月10日
目录 摘要.................................................................................................................................................. I ABSTRACT. ..................................................................................................................................II １大数定律的应用 .. (3) 1.1引言 (3) 1.2预备知识 (3) 1.2.1相关定义 (3) 1.2.2切比雪夫不等式及其应用 (4) 1.3几类重要的大数定律的应用 (4) 1.3.1切比雪夫大数定律及其在测绘方面的应用 (4) 1.3.2伯努利大数定律及其在重复事件方面的应用 (6) 1.3.3辛钦大数定律及其在数学分析方面的应用 (6) 1.4大数定律的意义 (8) 2 中心极限定理的应用 (8) 2.1前言 (8) 2.2几类重要的中心极限定理的应用 (9) 2.2.1林德伯格定理及其在保险方面的应用 (9) 2.2.2列维定理及其在极限求解方面的应用 (10) 2.2.3棣莫弗-拉普拉斯定理及其在实际生活方面的应用 (11) 2.2.4 李雅普诺夫中心极限定理及其在具体分布方面的应用 (14) 3 大数定律和中心极限定理的比较应用 (15) 3.1大数定律和中心极限定理的比较应用 (15) 结论 (16) 致谢 (17) 参考文献 (18)
青岛农业大学本科生课程论文 题目：中心极限定理及其应用姓名： 学院： 专业： 班级： 学号： 指导教师： 2012 年06 月27 日
青岛农业大学课程论文任务书 论文题目中心极限定理及其应用 要求完成时间 2012年 07 月 02 日 论文内容（需明确列出研究的问题）：研究中心极限定理的目的就是为了更深入的了解中心极限定理，更好的了解中心极限定理的作用，更好地使用它解决现实生活中的问题。 资料、数据、技术水平等方面的要求论文要符合一般学术论文的写作规范，具备学术性、科学性和一定的创造性。文字要流畅、语言要准确、论点要清楚、论据要准确、论证要完整、严密，有独立的观点和见解。内容要理论联系实际，计算数据要求准确，涉及到他人的观点、统计数据或计算公式等要标明出处，结论要写的概括简短。参考文献的书写按论文中引用的先后顺序连续编码。 指导教师签名：年月日
中心极限定理及其应用 信息与计算科学专业（学生姓名） 指导教师（老师姓名） 摘要：中心极限定理在概率论与数理统计中占有重要地位，本文阐述了中心极限定理的内容并简单介绍了它在实际中的应用。 关键词：中心极限定理；正态分布；随机变量
Central limit theorem and its application Student majoring in Information and Computing Science Specialty （学生英文名） Tutor （老师英文名） Abstract:The central limit theorem in probability theory and mathematical statistics plays an important role,this paper expounds the content of the central limit theorem and briefly introduces its application in practice. Key words: Central limit theorem Normal distribution Random variable
实验十三二项分布的计算与中心极限定 [实验目的] 1.研究用Poisson逼近与正态逼近进行二项分布近似计算的条件 2.检验中心极限定理 §1 引言 二项分布在概率论中占有很重要的地位。N次Bernoulli实验中正好出现K次成功的概 率有下式给出b k;n,p C n k p k1p n k ,k=0,1,2,……..n.二项分布的 值有现成的表可查，这种表对不同的n及p给出了b(k;n.p)的数值。在实际应用中。通常可用二项的Poisson逼近与正态逼近来进行二项分布的近似计算。在本实验中，，我们来具体地研究在什么条件下，可用Poisson逼近与正态逼近来进行二项分布的近似计算。 在概率论中，中心极限定理是一个很重要的内容，在本实验中，我们用随即模拟的方法来检验一个重要的中心极限定理——Liderberg-Levi中心极限定理。 §2 实验内容与练习 1．1二项分布的Poisson逼近 用Mathematica软件可以比较方便地求出二项分布的数值。例如n=20;p=0,1;Table[Binomial[n,k]*p^k*(1-p)(n-k),{k,0,20}]给出了b(k;20,0.1)(k=0,1,2,…..,20)的值。 联系 1 用Mathematica软件给出了b(k;20,0.1),b(k;20,0.3)与 b (k;20,0.5)(k=0,1,2,…..,20)的值。 我们可用Mathematica软件画出上述数据的散点图，下面的语句给出了b(k;20.0.1)的（连线）散点图（图13。1）： LISTpOLT[table[Binomi al[20,k]*0.1^k*0.9^(20-k), {k,0,20}],PlotJoined->True] 图13.1 b(k;20,0.1) b k;n,p C n k p k1p n k (k=1,1,2,……,20)的散点图 练习2绘出b(l;20,0.3)与b(k;20,0.5)(k=0,1,2,…,20)的散点图 根据下面的定理，二项分布可用Poisson分布来进行近似计算。 定理13。1 在Bernoulli实验中，以P n 代表事件A在试验中出现的概率，它与试验总数有关. 如果np n→→λ，则当n→∞时，b k;n,p k k e 。 由定理13，1在n很大，p很小，而λ=np大小适中时，有 b k;n.p c k n p k1p n k k k e
中心极限定理的涵和应用 在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的涵及其在生活实践中的应用。 一、独立同分布下的中心极限定理及其应用 在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1： 定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记 n n X Y n i i n σμ-= ∑=1 则对任意实数y ，有 {}?∞--∞→=Φ=≤y t n n t y y Y P .d e π21)(lim 22 （1） 证明：为证明(1)式，只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。由定理可知：只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。为此,设μ-n X 的特征函数为)(t ?，则n Y 的特征函数为 n Y n t t n ??????=)()(σ?? 又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0?'=0，2)0(σ?-=''。于是，特征函数)(t ?有展开式 )(2 11)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σ???? 从而有 =??????+-=+∞→+∞→n n Y n n t o n t t n )(21lim )(lim 22?22t e - 而22 t e -正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证。
验证大数定理： 1、实验原理： 证明大数定理即证明样本均值趋近于总体均值。 2、实验步骤： ①在excel中，用公式 =RAND( )*9+1 生成2000个1到10之间的随机数。 ②选择样本的前50个，前100个，前150个…前2000个，分别求出均值。 ③利用excel作出上述求出值的样本均值折线图（图一）和总体均值折线图（图二）： 图一 图二 从图一和图二中可以看出样本均值最终趋于水平，即趋于总体均值，大数定理得证。
验证中心极限定理： 1、实验原理： 证明中心极限定理即证明N个独立同分布的随机变量和的极限分布为正态分布。本次实验采用独立同分布于0-1分布B(1,0.5)的随机变量序列E k，k=1,2,3······来验证中心极限定理。因为E k， k=1,2,3······之间是独立同分布，所以 )5.0, ( ~ E n 1 k k n B ∑ =。由中心极 限定理可知，当n的取值足够大时，∑ = n 1 k k E 这一随机变量的分布与正太分 布具有很好的近似，下面用MATLAB软件分别画出n取不同值时∑ = n 1 k k E 的分 布及对应的正太分布的图像，通过对比这两条曲线的相似度来验证中心极限定理。 2、实验步骤： ①当n=10时，对应正态分布为N（5，2.5）。 MATLAB结果图：
MATLAB源程序： MATLAB结果图：
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MATLAB源程序： ⑤观察得出，当N足够大时，其密度函数服从正态分布，即满足 中心极限定理。
大数定律与中心极限定理 背景：概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理，称为大数定律。 1、定义：设X 1,X 2……X k 是随机变量序列，E(X k )存在，一、大数定律 1 1n i i X X n ==∑， 0,ε>若对于任意的有lim (X E(X ))=0 n n P ε→∞ - ≥lim (X E(X ))=1n n P ε→∞ -<则称随机变量｛X k ｝服从大数定律。设随机变量X 具有有限数学期望EX 和方差DX ，则对于任意正数 ，如下不等式成立。 {}2 DX P X EX εε -≥≤ ——切比雪夫不等式 2、切比雪夫（Chebyshev)不等式 ε3、Chebyshev 大数定理（样本平均数稳定性） 定理：设随机变量X 1，X 2，…，X n ，…相互独立，且服从同一分布，并具有数学期望及方差，则对于任意正数，恒有 εμ 2σ
1 1n i i x x n μ ==≈∑注：观测量X 在相同的条件下重复观测n 次，当n 充分大时，“观测值的算术平均值接近于期望” 是一大概率事件。 11lim 1n i n i P X n με→∞ =?? -<=???? ∑11lim 0n i n i P X n με→∞ =??-≥=???? ∑定理：设是n 次独立试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则对于任意正数恒有 lim 0n n P p n με→∞ ??-≥=???? 注：此定理说明可通过多次重复一个试验，确定事件A 在每次试验中出现的概率 ()n p P A n μ≈=4、伯努利大数定理（频率的稳定性） ε n μ
若{}n X 的分布函数序列{()}n F x 与X 的分布函数()F x 有，在任意连续点x ， lim ()()n n F x F x →∞ =。 依概率收敛 若0ε?>，有()0n n P X X ε→∞ ->???→。准确的表述是，0ε?>，0δ?>， ,N n N ?>，有()n P X X εδ-><成立 （3）几乎必然收敛 如果有(lim )1n n P X X →∞ ==。准确的表述是，除掉一个0概率集A ，对所有的\A ω∈Ω， 有lim ()()n n X X ωω→∞ =成立。这是概率空间上的点收敛。 定理1。（切贝雪夫大数律）{}n X 相互独立，且有相同的期望和方差，（不一定同分布） ()n E X u =2 ()n D X σ=，,n ? 记1 1n n i i Y X n ==∑，则P n Y u ??→。 统计发生——事物某方面的定量记录事前是不确定的，发生后的数据由真值和误差两部分构成，εμ+=X 。X 是数据，μ是真值，ε是误差。导致误差的原因有： 1． 系统性误差：偏离真值的本质性错误，有内在原因所致； 2． 随机性误差：偏离真值的偶然性错误，没有内在原因，是纯偶然因素所致。 总体就是一个特定的随机变量 通过抽样，获得样本，构造样本统计量，由此推断总体中某些未知的信息 从总体中抽样是自由的，且当总体数量足够大，有放回与无放回抽样区别不大，有理由认为，取得的抽样观察值是没有关系的。所以，样本在未抽取前它们是与总体X 同分布的随机变量，且是相互独立的，称此为随机样本。 定义2。设1,,n x x 是取自总体X 的一组样本值， 1(,,)n g x x 是Borel 可测函数，则称随机变量1(,,)n g X X 是一个样本统计量。
均匀分布中心极限定律的实现： clc clear n=200000; %/* ???′′?êy*/ k=100; %/* ?ù±???êy*/ mu=0; u=0; sigma=1/12; population=0:0.001:1; for i=1:n y = randsample(population,k,1); mu=[mu,mean(y)]; end mu=(mu-0.5)/(sqrt(sigma)/sqrt(k)); %hist(mu(2:end),1000) [f, x1] = ksdensity(mu(2:end)); plot(x1, f) hold on plot(x1,normpdf(x1,0,1),'r') hold off %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 两点分布的实现： clc clear n=10000; %/* ???′′?êy*/ k=100; %/* ?ù±???êy*/ mu=0; u=0; p=0.5; sigma=p*(1-p); population=0:1; for i=1:n y = randsample(population,k,1); mu=[mu,mean(y)]; end mu=(mu-p)/(sqrt(sigma)/sqrt(k)); %hist(mu(2:end),1000) [f, x1] = ksdensity(mu(2:end)); plot(x1, f) hold on plot(x1,normpdf(x1,0,1),'r') hold off %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 两点分布1以概率0.4发生
中心极限定理的仿真实验 目的：模拟投掷一枚骰子出现的点数的试验，重复进行104次，统计出现的点数和，并将数据标准化处理后，画出频率直方图，通过观察比较验证数据的正态性。 所用的软件：Microsoft EXCEL 步骤如下： 1 打开excel软件,在A2格子中输入=INT(6*RAND())+1，按回车就会产生一个1-6中的某一个随机整数，并且出现1-6中每一个整数的概率是相同的。 2鼠标点击A2格子，并移动到格子的右下角，出现”+”后往下拖动鼠标直到出现A501时停下来，这样就得到了500个随机数据，都是在1-6中随机取值的。（当然你越往下拖，产生的随机整数越多，试验效果越好） 3 在第二列重复第1步和第2步，第三列，第四列……直到CZ列都和第二列同样操作，这样产生了104列随机数据。 4 在DB列分别求出每行数据的和，用的函数是“SUM”，接着依次求出500行数据的和。 5 复制DB列到DC列，注意值复制数值。 6 对DC列数据进行排序， 7对DC列数据进行标准化处理，即每个数据减去平均值再除以标准差（均值函数为average,样本方差函数为var）
8处理后的数据放在DE列。根据最大值和最小值，把数据分到20个区间，这里数据范围从-2.7到2.7，故每个区间长度为0.27，这样得到（-2.7，-2.43],……,(2.43,2.7)共20个区间(也可以分15个区间，这时区间长度为0.36）。 9统计每个区间里的数据个数，用函数countif(区域，条件），详见EXCEL文件。 10 画出频率直方图，大家可以看到，投掷104次骰子后出现的点数和数据标准化后出现标准正态分布的特征。 请大家按照以上方法，产生200列数据，每列1000个数据，按照以上步骤做好中心极限定理的仿真实验。按个步骤写出实验过程，并将计算结果或图标截图后放在每个步骤后面，完整一份实验报告。
心极限定理（上） 骰子和生日 了解中心极限定理 马克.吐温讽刺道：有三种避免讲zhenxiang的方式：谎言，该死的谎言和统计数据。这个笑话很中肯，因为统计信息频繁地看似一个黑匣子——了 解统计定理怎样让通过数据取得结论变成可能，这是有难度的。 但因为不论是喷气发动机可靠性还是安排我们平日看的电视节目的流程，数据分析，类似的任何事情中都扮演着重要角色，所以至少获取对统 计基本理解是重要的。要了解其中一个重要概念是中心极限定理。 在这篇文章中，我们将解释中心极限定理，通过普通的例子，诸如掷骰子和美国职业棒球联赛球员生日来展示如何操作它。 定义中心极限定理 某典型课本对中心极限定理的定义如下：
当样本容量增加时，样本均值X的分布接近均值等于μ，标准差σ/√n 注： μ是总体均值 σ是总体标准差 n是样本大小 换句话说，如果我们多次采用大小为n的独立随机抽样，那么当n足够大的时，样本平均值的分布就接近正态分布。 那么多大才是足够大呢？一般来说，样本容量大于或者等于30认为是足够大，此时中心极限定理起作用。如果总体分布越要接近正态分布，那么需要更多的样本来使用该定理。对于严重不对称的或者有几个模板的总体来说，也许要求更大的样本。 为什么有关呢 从一个总体中收集所有的数据是很难操作或者不可行的，统计学就是基于这个情况产生的。换种方式来做，我们可以从总体中获取数据的子集，然后对这个样本进行统计分析，以得到总体的结论。 举例来说，我们可以从工业生产流程中收集多个随机样本，然后使用各个样本的平均值来推断整个过程的稳定性。 2个常用于解释总体的特征值分别是平均值和标准差。当数据遵循正态分布，均值表示分布的中心位置，标准差揭示分布情况。
毕业论文 题目中心极限定理的应用 学生姓名张世军学号1109014148 所在院(系) 数学与计算机科学学院 专业班级数学与应用数学专业(统计类)11级2班指导教师程小静 2015 年 5 月 25 日
中心极限定理的应用 张世军 （陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业2011级数应2班，陕西汉中 723000） 指导教师：程小静 [摘要]中心极限定理是概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类重要定理。本文首先从中心极限定理的内容出发，给出几种常见的中心极限定理并对其进行了证明；其次讨论了中心极限定理在供应电力、器件价格、商场管理、烟卷制造业、社会生活、军事问题等这几个方面的实际应用；最后总结分析了中心极限定理在应用上的优缺点。 [关键词]随机变量；中心极限定理；正态分布；概率论；近似计算 Central Limit Theorem of Application Zhang Shijun (Grade11,Class02,Major Mathematics and Applied Mathematics Specialty，Mathematics and computer scienceDept.，Shaanxi University of Technology，Hanzhong 723000，Shaanxi) Tutor: Cheng Xiaojing Abstract：The central limit theorem is an important limit theorem in probability theory to discuss a set of random variables and the distribution of the normal distribution. Firstly starting from the content of the central limit theorem, given several common central limit theorems and its proofs; Second central limit theorem is discussed in the electric power supply, prices, market management, cigarette manufacturing, social life, the practical application of this a few aspects such as military questions; Summarized and analyzed the advantages and disadvantages of central limit theorem on the application. Keywords：Random variables; Central limit theorem; Normal distribution; Probability theory;Approximate calculation
中心极限定理证明 一、例子 高尔顿钉板试验. 图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有排钉子,从入口中处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率滚向左边,也以的概率滚向右边.如果较大,可以看到许多珠子从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布. 如果定义:当第次碰到钉子后滚向右边,令;当第次碰到钉子后滚向左边,令.则是独立的,且 那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想象,当越来越大时接近程度越好.由于时,.因此,显然应考虑的是的极限分布.历史上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布.研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理. 二、中心极限定理 设是独立随机变量序列,假设存在,若对于任意的,成立 称服从中心极限定理. 设服从中心极限定理,则服从中心极限定理,其中为数列. 解:服从中心极限定理,则表明 其中.由于,因此
故服从中心极限定理. 三、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理 在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则 用频率估计概率时的误差估计. 由德莫佛—拉普拉斯极限定理, 由此即得 第一类问题是已知,求,这只需查表即可. 第二类问题是已知,要使不小于某定值,应至少做多少次试验这时利用求出最小的. 第三类问题是已知,求. 解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,则利用,可得如下估计:. 抛掷一枚均匀的骰子,为了至少有的把握使出现六点的概率与之差不超过,问需要抛掷多少次 解:由例4中的第二类问题的结论,.即.查表得.将代入,便得.由此可见,利用比利用契比晓夫不等式要准确得多. 已知在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则服从二项分布: 的随机变量.求. 解:
电子科技大学概率论与数理统计MOOC 第5章 习题课：大数定律和中心极限定理 主讲人：龚丽莎
12100,, X X X 1. 设噪声电压相互独立且都服从区间(0, 6) 上的均匀分布(单位：伏特），用切比雪夫不等式估计叠加后的总噪声电压 1001 k k Y X ==∑在260伏到340伏之间的概率。 解: 由题意知100 1()1003300,k k E Y E X =??==?= ???∑21001 6()()10030012k k D Y D X ===?=∑{}{}260340()40P Y P Y E Y ≤≤=-≤第五章大数定律和中心极限定理 D Y 2()40≥１－1316=
2.设{X k }为相互独立的随变量序列，且 {}{}1/2,1,2, k k P X k P X k k αα===-= =0α≤{}k X 证明：当时，服从大数定律。 证明：{X k }为相互独立的随变量序列，且 ,2,1,02 121)(==-=k k k X E k αα),0(1)(2 1)()(2222≤≤=+==ααααk k k X E X D k k 即期望存在，方差一致有界，满足切比雪夫大数定律的条件，故{X k }服从大数定律。
3. 某快餐店出售四种快餐套餐，价格分别为6元，10元，15元，18元。已知这四种套餐售出的概率分别为0.25, 0.45, 0.2, 0.1。若某天该店售出套餐500份，试用中心极限定理计算：(1) 当天营业额至少为5500元的概率；(2) 15元套餐至少售出80份的概率。 是售出的第i 份套餐价格(i =1,…,500)，则 解：设X i X i 6101518 p0.250.450.20.1 且X 相互独立。 i
题目：中心极限定理及意义 课程名称：概率论与数理统计 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2012年5月25日 摘要： 本文从随机变量序列的各种收敛与他们的关系谈起，通过对概率经典定理——中心极限定理在独立同分布和不同分布两种条件下的结论做了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性。经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布用正态分布来表示的理论依据。同样中心极限定理的内容也从独立分布与独立不同分布两个角度来研究。同时通过很多相关的正反例题，进行说明这些定理所给出的条件是否是充要条件；签掉在实际问题中灵活的应用和辨别是否服从我们给出的定理条件。最后了解一些简单简便的中心极限定理在数理统计、管理决策、仅是计算以及保险业务等方面的应用，来进一步的阐明了中心极限定理分支学课中的中重要作用和应用价值。
关键词： 随机变量，独立随机变量，特征函数，中心极限定理 引言： 在客观实际中有许多随机变量，他们是由大量的相互独立的随机因数的综合 影响所形成的，而其中每一个别因数在总的影响中所起的作用都是渺小的，这种随机变量往往近似地服从正态分布，这种现象就是中心极限定理的客观背景。 中心极限定理自提出至今，其内容已经非常丰富。在概率论中，把研究在什么条件下，大量独立随机变量和的分布以正态分布为极限的这一类定理称为中心极限定理。但其中最常见、最基本的两个定理是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。 一、三个重要的中心极限定理 1.独立同分布的中心极限定理 设随机变量??????,,,,21n X X X 相互独立，服从统一分布，具有数学期望和方差 ()()),2,1(0,2???=>==k X D X E k k σμ，则随机变量之和∑=n k k X 1 的标准化变量， σ μ n n X X D X E X Y n k k n k k n k k n k k n -=?? ? ????? ??-=∑∑∑∑====1 111 的分布函数)(x F n 对于任意x 满足， ()x dt e x n n X P x F t x n k k n n n Φ==????????? ?? ??? ≤-=-∞-=∞→∞→?∑2/1221lim )(lim πσμ 2.李雅普诺夫定理 设随机变量??????,,,,21n X X X 相互独立，它们具有数学期望和方差 ()()),2,1(0,2 ???=>==k X D X E k k k k σμ，
1、一仪器同时受到108个噪声信号X i ，设它们是相互独立的且都服从[0，4]上的均匀分布. 求噪声信号总量1081i i X X == >∑ 228的概率. 解：1081216i i EX EX ===∑，1081 144i i DX DX ===∑. 由中心极限定理 228216{228}11(1)0.1612P X -??>≈-Φ=-Φ= ???. 2、已知红黄两种番茄杂交的第二代结红果的植株与结黄果的植株的比率为1:4．现种植杂 交种10000株，试求结黄果植株介于1960到2040之间的概率．（用)(x Φ表示） 解： 设结黄果植株为X ，16005 45110000,20005110000=??==?=DX EX 2040200019602000(19602040)2(1)14040P X --????<<≈Φ-Φ=Φ- ? ????? 3、 某镇年满18岁的居民中20%受过高等教育。今从中有放回地抽取1600人的随机样本，求样本中受过高等教育的人在19%和21%之间的概率。（(1)0.8413Φ=） 解： 设X 表示抽取的1600人中受过高等教育的人数， 则~(1600,0.2)X B ，2320,DX=16EX = 则：{0.1916000.211600}P X ?≤≤? 304320320336320{}161612X P ---=≤<320{11}(1)(1)16 X P -=-≤<≈Φ-Φ-2(1)1=Φ- 20.841310.6826=?-=。 4、某商店负责供应某地区10000人所需商品，其中一商品在一段时间每人需要一件的概率 为0.8，假定在这一段时间内各人购买与否彼此无关，问商店应预备多少件这种商品，才能以97.5%的概率保证不会脱销？（(1.96)0.975Φ=.假定该商品在某一段时间内每人最多可以买一件）。 解： 设应预备n 件，并设X 表示某地区10000人需要件数， 则X~B （10000，0.8），由中心极限定理得8000{}0.97540n P X n -??≤≈Φ≥ ??? 由8000 1.96,8078.440 n n -≥≥，即应预备8079件。 5、某商店出售某种贵重商品。根据经验，该商品每周销售量服从参数为1=λ的泊松分布。假定各周的销售量是相互独立的。用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率。（用)(x Φ表示） 解：设 i X 为第i 周的销售量, 52,,2,1 =i i X )1(~P ， 则一年的销售量为∑==521i i X Y ， 52)(=Y E , 52)(=Y D 由独立同分布的中心极限定理，所求概率为
中心极限定理的内涵和应用 在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节内容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的内涵及其在生活实践中的应用。 一、独立同分布下的中心极限定理及其应用 在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1： 定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记 n n X Y n i i n σμ-= ∑=1 则对任意实数y ，有 {}?∞--∞→=Φ=≤y t n n t y y Y P .d e π21)(lim 22 （1） 证明：为证明(1)式，只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。由定理可知：只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。为此,设μ-n X 的特征函数为)(t ?，则n Y 的特征函数为 n Y n t t n ??????=)()(σ?? 又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0?'=0，2)0(σ?-=''。于是，特征函数)(t ?有展开式 )(2 11)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σ???? 从而有 =??????+-=+∞→+∞→n n Y n n t o n t t n )(21lim )(lim 22?22t e - 而22 t e -正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证。
中心极限定理证明 中心极限定理证明 中心极限定理证明 一、例子 高尔顿钉板试验. 图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有排钉子,从入口中处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率滚向左边,也以的概率滚向右边.如果较大,可以看到许多珠子从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布. 如果定义:当第次碰到钉子后滚向右边,令;当第次碰到钉子后滚向左边,令.则是独立的,且 那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想象,当越来越大时接近程度越好.由于时,.因此,显然应考虑的是的极限分布.历史上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布.研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理. 二、中心极限定理 设是独立随机变量序列,假设存在,若对于任意的,成立 称服从中心极限定理. 设服从中心极限定理,则服从中心极限定理,其中为数列. 解:服从中心极限定理,则表明 其中.由于,因此 故服从中心极限定理.
三、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理 在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则 用频率估计概率时的误差估计. 由德莫佛—拉普拉斯极限定理, 由此即得 第一类问题是已知,求,这只需查表即可. 第二类问题是已知,要使不小于某定值,应至少做多少次试验?这时利用求出最小的. 第三类问题是已知,求. 解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,则利用,可得如下估计: . 抛掷一枚均匀的骰子,为了至少有0.95的把握使出现六点的概率与之差不超过0.01,问需要抛掷多少次? 解:由例4中的第二类问题的结论,.即.查表得.将代入,便得. 由此可见,利用比利用契比晓夫不等式要准确得多. 已知在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则服从二项分布: 的随机变量.求. 解: 因为很大,于是 所以 利用标准正态分布表,就可以求出的值.
第五章 大数定律与中心极限定理 §5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理 一、填空题 1．设2(),()E X D X μσ==，则由切比雪夫不等式有{||3}P X μσ-≥≤ 1/9 ； 2．设随机变量12,,,n X X X 相互独立同分布，且()i E X μ=，()8i D X =，(1,2,,)i n = ， 则由切比雪夫不等式有{} ||P X με-≥≤ 28n ε .并有估计{} ||4P X μ-<≥ 1 12n - ； 3．设随机变量n X X X ,,,21 相互独立且都服从参数为 λ 的泊松分布，则 lim n i n X n P x λ→∞?? -??? ≤=?? ???? ∑ ()x Φ ； 4．设随机变量X 和Y 的数学期望分别为2-和3，方差分别为1和4，而相关系数为0.5-，则根据切比雪夫不等式，{||6}P X Y +≥≤ ； 解：因为 ()()()22E X Y E X E Y +=+=-+= ， cov(.)0.51X Y ρ==-=-， ()()()2cov(.)142(1)3D X Y D X D Y X Y +=++=++?-=， 故由切比雪夫不等式，2 31{||6}{|()0|6}612 P X Y P X Y +≥=+-≥≤ =. 5．设随机变量12,,,n X X X 相互独立，都服从参数为2的指数分布，则n →∞时，2 1 1n n i i Y X n ==∑依概 率收敛于 。 解：因为 11 (),(),(1,2,,)24 i i E X D X i n = == ， 所以 22111 ()()()442 i i i E X D X E X =+=+=， 故由辛钦大数定律，对0ε?>，有{}2111lim ()lim 12n n n i n n i P Y E Y P X n εε→∞→∞=?? -<=-<=???? ∑，
中心极限定理及其应用 【摘要】中心极限定理的产生具有一定的客观背景，最常见的是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。它们表明了当n 充分大时，方差存在的n 个独立同分布的随机变量和近似服从正态分布，在实际中的应用相当广泛。本文讨论了中心极限定理的内容、应用与意义。 【关键词】：中心极限定理 正态分布 随机变量 一、概述 概率论与数理统计是研究随机现象、统计规律性的学科。随机现象的规律性只有在相同条件下进行大量重复的实验才会呈现出来，而研究大量的随机现象常常采用极限的形式，由此导致了对极限定理的研究。极限定理的内容很广泛，中心极限定理就是其中非常重要的一部分内容。中心极限定理主要描述了在一定条件下，相互独立的随机变量序列X1、X2、…Xn 、…的部分和的分布律：当n →∞时的极限符合正态分布。因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使得中心极限定理有了广泛的应用。 二、定理及应用 1、定理一（林德贝格—勒维定理） 若 ξ 1 ，ξ 2 ，…是一列独立同分布的随机变量，且 E k ξ=a, D k ξ = σ 2 ( σ 2 >0) ,k=1,2,…则有 dt e x n na p x t n k k n ? ∑∞ -- =∞ →= ≤-2 1 221)(lim π σξ 。 当n 充分大时， n na n k k σξ ∑=-1 ~N （0,1），∑=n k k 1 ξ ~N （2 ,σn na ） 2、定理二（棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理） 在n 重伯努利试验中,事件A 在每次试验中出现的概率为错误！未找到引用源。, 错误！未 找到引用源。为n 次试验中事件A 出现的次数,则dt e x npq np p x t n n ?∞ -- ∞ →= ≤-2 2 21 )( lim π μ 其中1q p =-。这个定理可以简单地说成二项分布渐近正态分布，因此当n 充分大时，可
中心极限定理论文：中心极限定理及其简单应用 摘要：中心极限定理在概率论与数理统计中占有重要地位，本文阐述了中心极pH定理的内容并简单介绍了它在实际中的应用。关键词：中心极限定理正态分布随机变量一、概述概率论与数理统计是研究随机现象、统计规律性的学科。随机现象的规律性只有在相同条件下进行大量重复的实验才会呈现出来，而研究大量的随机现象常常采用极限的形式，由此导致了对极限定理的研究。极限定理的内容很广泛，中心极限定理就是其中非常重要的一部分内容。中心极限定理主要描述了在一定条件下，相互独立的随机变量序列X1、X2、…Xn、…的部分和的分布律：当n→∞时的极限符合正态分布。因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使得中心极限定理有了广泛的应用。二、定理及应用中心极限定理有多种形式：1、独立同分布下的中心极限定理定理 1[1]，设x1，X2，…，Xn，…是独立同分布随机变量，EXi=μDXi=σ2（i=1，2，…，n)则它表明当n充分大时，n个具有期望和方差的独立同分布的 随机变量之和近似服从正态分布。定理1也称为林德伯格定理或列维——林德伯格定理。其中上下同除n，分子中有xi，其在数理统计中可表示样本的均值，可见独立同分布的样本均值近似地服从正态分布。这使得中心极限定理在数理统计中有着广泛而重要的作用。而上述定理应用到伯努利实验序列的情形，我们可以得到如下定理。定理2[1](拉普拉斯定理)，在n重伯 努利试验中，事件A在每次实验中出现的概率P(0 2、同分布下中心极限定理的简单应用独立同分布的中心极限定理可应用于求随机变量之和Sn落在某区间的概率和已知随机变量之和Sn取值的概率，求随机变量的个数。 例1[3]，设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg，问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少? 解：设Xi(i=1，2，…，5000)表示第i个零件的重量X1， X2，…，X5000独立同分布且E(Xi)=0.5，D(Xi)=0.12。由独立同分布的中心极限定理可知=I-φ（1.414）=1-0.9215 =0.0785 例 2[3]，一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的且同分布，设每箱平均重50kg，标准差为5kg，若用最大载重为50吨的汽车承运，每辆车最多可以装多少箱才能保证不超载的概率大于0.977？解：设Xi(i=1，2，…，n)是装运第i箱的重量，n为所求箱数。由条件可把X1，X2，…，Xn看作独立同分布的随机变量，而n箱的总重量为Tn=X1+X2+…+Xn，是独立同分布的随机变量之和。由E(Xi)=50、D(Xi)=52得：E(Tn)=50n，D(Tn)=52n 根据独立同分布的中心极限定理：即最多可以装98箱。例3[2]，报名听 心理学课程的学生人数K是服从均值为100的泊松分布的随机变量，负责这门课的教授决定，如果报名人数不少于120，就分成两班，否则就一班讲授。问 该教授讲授两个班的概率是多少? 分析：该教授讲授两个班的情况出现当且仅当报名人数x不少于120，精确解为P（x≥120）=e-100100i/i！很难求解，如果利用泊松分布的可加性，想到均值为100的泊松分布随机变量等于 100个均值为1的独立泊松分布随机变量之和，即X=Xi，其中每个Xi具有参数1的泊松分布，则我们可利用中心极限定理求近似解。解：可知 E(X)=100，D(X)=100 ∴P（X≥120）=1-φ（）=1-φ（2）=0.023 即教授讲授两个班的概率是0.023。例4[1]，火炮向目标不断地射击，若每