一元二次方程韦达定理的应用
知识点：
一元二次方程根的判别式：
当厶＞0时 _______ 方程 ____________
当厶=0 时________ 方程有 _______________ ，
当厶＜0时 _______ 方程 ____________ .
韦达定理的应用：
1?已知方程的一个根，求另一个根和未知系数
2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值
3?已知方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值
4. 已知两数的和与积，求这两个数
2 2
例1.关于x的一元二次方程x 2mx 3m 8m 4 0 .求证：当m＞2时，原方程永远有两个实数根
例2.已知关于x的方程kx22(x 1)x k 1 0有两个不相等的实数根.
(1) 求k的取值范围；
(2) 是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k的值;若不存在，说明理由.
例3.已知关于x的方程x22(k 3)x k2 4k 1 0
(1)若这个方程有实数根，求k的取值范围；(2)若这个方程有一个根为1，求k的值;
2 1
例4.已知关于x的一元二次方程x2 (m 2)x -m 3 0
2
(1)求无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。
⑵若这个方程的两个实数根NX 满足2X1 X2 m 1，求m的值。
例5.当m为何值时，方程8x2 (m 1)x m 7 0的两根：
(1)均为正数；(2)均为负数；(3)—个正数，一个负数；(4)一根为零；(5)互为倒数；⑹都大于2.
2 2
例6.已知a,b,c,是△ ABC的三边长，且关于X的方程b(x 1) 2ax c(x 1) 0有两个相等的实根,
求证：这个三角形是直角三角形。
2
课堂练习：
1.下列一兀二次方程中， 没有实数根的是（） A. x 2 2x 1 0
B. x 2 2 2x 2 0
C. x 2 ,2x 1 0
D. x 2 x 2 0
2 1 1
2.已知X 1,X 2是方程x 3x 1 0的两个根，则
的值是（）
x ]
x 2
11.解下列方程:
例
7.若n>0，关于x
2
的方程x (m 2n)x
丄mn 0有两个相等的正的实数根,
4
(1) (2x 1)2 16 2 ‘
小
⑵ x 4x 3
⑶ 5x 2 3x 2
12.关于x 的方程 ax 2 (2 a 1)x (a
3) 0有实数根， 求a 的取值范围。
13.设x j ,X 2是方程2x
4x 1 0的两根,
利用根与系数关系求下列各式的值:
A.3
B.-3 C
D .1
3?关于 的二次方程（m 1)x 2 x m 2
2m
3 0的一个根为 0, 则m
的值为
A.1
B.-3
C.1 或一3
D.不等于1
的实数
4方程 2 2
x (k 25)x （k 2） 0的两根互为相反数,
k 的值为（） A. k =5 B. k =5
C. k = -5
D.以上都不对 5.若方程x mx 4 0的两根之差的平方为
48, m 的值为（）
A. ± 8
B.8
C.-8
D. ±4
6.已知关于 x 的方程 2
10x (m 3)x m 7 0 , 若有一个根为 0 ,则m=
,这时方程的另
一个根是
若两根之和为
3
5
,这时方程的两个根为
2
7.已知方程 x px 1 0的一个根为
、5 ,可求得p=
8.若2
5是关于x 的方程2x 2
8x
0的一个根，则另一个根为
2
9.方程2x 6x 5
0两根为a,
,(
)2 =
2
10.要使 9a n 4n 6 与3a n
是同类项,
n=
X i X2 2 2
(1) (x i 1)( X2 1)；(2) ；(3) X1 X2 .
X2X-I
14?关于x的方程x2 (2a 1)x (a 3) 0 ,试说明无论a为任何实数，方程总有两个不等实数根。
15.已知关于x的方程x22(m 1)x 3m211 0，
(1)m为何值时，方程有两个相等的实数根？
(2)是否存在实数m，使方程的两根—+ —1?若存在，求出方程的根；若不存在，请说明理
x2 x1
由。
16?关于x—元二次方程(c b)x2 2(b a)x a b 0有两个相等的实数根，其中a, b, c是三角形三边的长，试判断这个三角形的形状。
17.已知Rt A ABC 中,两直角边长为方程x2(2 m7)x 4m(m 2) 0 的两根,且斜边长为13，求S ABC的值.
韦达定理的应用测试题
日期：月日满分：100分姓名：得分
1.关于x的方程ax2x 1 0中，如果a<0 , 那么根的情况是（)
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.不能确定
2
2.将方程x 4x10的左边变成平方的形式是（)
2 A. (x 2) 1
B
.
2
(x 2) 1 C. (x - 2) 2 =5 D. (x 2)25
3.设为必是方程2x2
2 2
6x 3 0的两根，则为
2
X2 的值是（）
A.15
B.12
C.6
D.3
2
4?已知x方程mx nx k 0（m 0）有两个实数根，则下列关于判别式的判断正确的是（）
2 2 2 2
A. n 4mk 0 0
B. n 4mk 0 c. n 4mk 0 D. n 4mk 0
2
5. 若关于x的一元二次方程kx 6x 9 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（）
A. k<1
B.k 工0
C. k>0
D. k<1 且k^0
2
6. 关于x的方程（a 2）x 2ax a 1 0有两个不相等的实数根，a的值为（）
A. a<-2
B. - 2 C. a>-2 且a 工2 D. a ^-2 且a 工2 2 7. ________________________________________________________________ 设n为方程x mx n 0（n 0）的一个根，贝U m n等于___________________________________________________ 2 2 8. 如果一元二次方程x 4x k _______ 0有两个相等的实数根，那么k= 9. 如果关于x的方程2x2（4k 1）x 2k2 1 0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是___________ 2 10. 已知为必是方程x 5x 2 0的两根，贝U： (1)为X2 =.；(2)为X2 == ；(3)(捲X2)= 11.解下列一兀二次方 程: 2 (1) 2x 3x 1 0r 2 (2) 7x4x 3 0⑶x2 '6x 20 12.已知关于x的方程2x2(m1)x1 m0的一个根为4, 求m值及此方程的另一-个根。 13.已知：关于x的兀二次方程 2 x2(2m3)x 4m214m8 0 ,若m > 0, 求证：方程有两个不相等的实数根。 14.若规定两数a, b通过“※运算，得到4ab,即玄※b=4ab.例如2探6=4x 2X 6=48. （1）求3探5的值；（2）求乂※x+2※^※4=0中x的值。 15.求证：不论k 取什么实数，方程x2 (k 6)x 4(k 3) 0 一定有两个不相等的实数根 元二次方程韦达定理的应用参考答案 知识点： 17 元二次方程根的判别式 当厶>0 时b 2 4ac 0方程有两个不相等的实数根, 当厶=0 时b 2 4ac 0方程有有两个相等的实数根, 当厶<0 时b 2 4ac 0方程没有实数根. 韦达定理的应用： 1?已知方程的一个根，求另一个根和未知系数 2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值 3?已知方程两根满足某种关系， 确定方程中字母系数的值 4.已知两数的和与积， 求这两个数 2 2 例1.关于x 的一元二次方程 x 2mx 3m 8m 4 0 .求证：当m>2时，原方程永远有两个实数根 分析： b 2 4a c ( 2m)2 4 1 (8m 4) 配方法论证 例2.已知关于x 的方程kx 2 2(k 1)x k 1 0有两个不相等的实数根. (1) 求k 的取值范围； (2) 是否存在实数 k ，使此方程的两个实数根的倒数和等于 0?若存在， 求出k 的值;若不存在， 说明理 由. 1 (1) k -且k 0 (2)不存在，k=-1时无实数根 3 2 2 例3.已知关于x 的方程x 2 2(k 3)x k 2 4k 1 0 (1)若这个方程有实数根， 求k 的取值范围；(2)若这个方程有一个根为 1，求k 的值； (1)k < 5 (2) k 3 3 2 1 例4.已知关于 x 的一元二次方程 x 2 (m 2)x -m 3 2 (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。 ⑵若这个方程的两个实数根 为公2满足2X 1 X 2 m 1 ,求m 的值。 (1) ■ 2 / _x 2 . 1 亠、 2 亠 16 2 b 4a c (m 2) 4(一 m 2 3) m 6m (m 3) 7 0 (2) 2x 1 x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 m 2 m 1 , x 1 2m 1 X 1 2m 1，代入方程求 m 的值，g c 12 0,m 2 例5.当m为何值时，方程8x2 (m 1)x m 7 0的两根: 17 ⑵ 均为正数；（2）均为负数；（3）—个正数， 一个负数；（4）一根为零；（5）互为倒数； ⑹都大于2. 2 2 b 4ac (m 1) 4 8 (m 7) 两根之和和两根之积去判断。 x ] x 2 证明： b 2 4ac 4a 2 4(b c)(b c) 0 2 2 . 2 a c b 例7.若n>0，关于 x 的方程x 2 （m 2n )x 1 mn 4 0有两个相等的正的实数根， 2 分析： （m 2n ） mn (m n )(m 4n) 0 -1,4 n 课堂练习： 1.下列一兀二次方程中， 没有实数根的是 (C ) 2 A. x 2x 1 B. x 2 2 2x 2 0 C. x 2 、2x 1 0 D . x 2 x 2 2.已知x 1,x 2是方程x 3x 1 0的两个根，则 1 1 的值是（A ） 这个三角形是直角三角 形。 求证: 求—的值。 n 分析: 例6?已知a,b,c,是厶ABC 的三边长, 且关于x 的方程 b(x 2 1) 2ax c(x 2 1) 0有两个相等的实根, A.3 B.-3 C 1 C.— 3 D .1 3.关于 的二次方程（m 2 2 1)x x m 2m 3 0的一个根为 0， 的值为 A.1 B.-3 C.1 或一3 D.不等于1 的实数 4方程 x 2 (k 2 25)x （k 2） 0的两根互为相反数, k 的值为（C ） A. k =5 B. k =5 C. k = -5 D.以上都不对 5.若方程x mx 4 0的两根之差的平方为 48, m 的值为（A ） A. ± 8 B.8 C.-8 D. ±4 6.已知关于 x 的方程 10x 2 (m 3)x 若有一个根为0 ,则m=__7 ,这时方程的另 一个根是 0__ 若两根之和为 则m=_-9_,这时方程的两个根为 7.已知方程 x 2 px 1 0的一个根为 J5,可求得p=_人 8 , x 2 1 5 8.若2 .3是关于x 的方程2x 2 8x 0的一个根，则另一个根为 2 3 , k = 2 9.方程2x 6x 5 0两根为a, 2 2 14,( )2=__19 ⑵均为正数；（2）均为负数；（3）—个正数，一个负数；（4）一根为零；（5）互为倒数； ⑹都大于2.2 n 4n 6 10.要使9a与3a n是同类项, 则n= 11.解下列方程: 2 (1) (2x 1) 16⑵x2 4x 3 0(3) 5x23x 2 0 5 3 2 d X1 , X2X1"I, X2 3X,X2 1 2 25 12.关于x的方程ax2(2 a1)x (a 3)0有实数根，求a的取值范围。 2 13?设x!,x2是方程2x 4x 1 0的两根,利用根与系数关系求下列各式的值: (1) (X1 1)(X2 1)； x1 ⑵— X2 X X I ⑶xj 2 X2 (1) (2)6 (3)3 2 14?关于X的方程X(2a 1)X (a 3) 0，试说明无论a为任何实数, 方程总有两个不等实数根。分析: (2 a 1)24(a 3) 4a2 11 15.已知关于x的方程2(m 1)x 2 3m 11 0 ， m为何值时, 方程有两个相等的实数根? 由。是否存在实数使方程的两根+ X2 1?若存在，求出方程的根; X2 X1 若不存在，请说明理 (1) 2 2 4(m 1)24(3m211) 2 8m 8m 48 0，m12, m2 3 (2) X2X-! (% x2)2 X f x2x1x? 1，可得3m24m 7 0 ,解得m17, m 3 16.关于x 一元二次方程(c b)x2 2(b a)x b 0有两个相等的实数根，其中a, b, c是三角形三边的长，试判断这个三角形的形状。 解答: 2 4(b a) 4(a b)(c b) 4(a b)(a c) 0，a b 或a c 等腰三角形 17.已知Rt A ABC 中,两直角边长为方程X2(2m 7)x 4m(m 2) 0 的两根,且斜边长为13，求 S ABC 的值. 答案：m 5,S ABC 30 韦达定理的应用测试题 日期： _____ 月 _______ 日 满分： ________ 100分姓名： _______ 得分： __________ 2 1?关于x 的方程ax 2x 1 0中，如果a<0，那么根的情况是（C ） A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.不能确定 2 2?将方程x 4x 1 0的左边变成平方的形式是（D ） A. (x 2)2 1 B.( x 2)2 1 C. (x - -2) 2 =5 D. (x 2)2 5 3.设 为，x 2是方程 2x 2 2 6x 3 0的两根， 贝 y X 1 X 2 2 2的值是（C ） A.15 B.12 C.6 D.3 4.已知 x 方程mx 2 nx k 0(m 0）有两个实数根， 则下列关于判别式的判断正确的是（D ） 2 A. n 4mk 0 0 B 2 .n 4mk 0 C. 2 n 4mk 2 0 D. n 4mk 0 5若关 于 2 :x 的一兀二次方程kx 6x 9 0有两个不相等的实数根， 贝U k 的取值范围为（D ） A. k<1 B.k 工 0 C. k>0 D . k<1 且 20 6.关于 x 的方程（a 2)x 2 2ax a 1 0有两个不相等的实数根， a 的值为（C ） A. a<-2 B. - 2 C. a>-2 且 a 工2 D. a 》-2且 a 工2 7.设n 为方程x 2 mx n 0(n 0) 的一个根，则m n 等于 -1 2 2 8?如果一元二次方程 x 4x k 0有两个相等的实数根， 那么k=_±2 2 2 2 (1) 2x 3x 1 0 (2) 7x 4x 3 0 (3) x 6x 2 0 2 2 x 的方程2x （4k 1）x 2k 1 0有两个不相等的实数根, 那么k 的取值范围是 k 9 8 10.已知x ,, x 2是方程 x 2 5x 2 0的两根 (1) x-i x 2 = -5 ；(2) x . X 2 == 则： 2 2— ； (3) (X 1 X 2)=___17 ________ 9.如果关于 11.解下列一元二次方程： 1 x 1 -,x 2 2 1 訂2 1 12.已知关于 x 的方程2x 2 (m 1)x 1 m 0的一个根为4,求m 值及此方程的另一个根。 29 6 m ,洛 — 5 5 13.已知： 关于x 的一元二次方程 x 2 2(2m 3)x 4m 2 14m 8 0,若m >0,求证: 个不相等的实数根。 14?若规定两数 a, b 通过“※运算，得到4ab,即玄※b=4ab.例如2探6=4x 2X 6=48. (1)求3探5的值； (2)求乂※x+2※^※4=0中x 的值。 (1) 4x3x5=60 (2) x 1 4, x 2 2 方程x 2 (k 6)x 4(k 3) 0 一定有两个不相等的实数根 分析： b 2 4a c (k 6)2 16(k 3) 0 (2x 1)(x 1) 0 (7x 3)(x 1) 0 3 -7 方程有两 15.求证：不论k 取什么实数, 韦达定理（根与系数的关系) 韦达定理:对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠,如果方程有两个实数根12,x x ,那么 1212,b c x x x x a a +=-= 说明:定理成立的条件0?≥ 练习题 一、填空： 1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ,2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = ． 2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x ＋2x = ，1x 2x = . 3、方程01322=--x x 的两根为1x ,2x ,那么1x +2x ＝ ,1x 2x ＝ ． 4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m ＝ ;如果两根互为倒数，那么n ＝ . 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和-４,那么m = ，n = . 6、以1x ，2x 为根的一元二次方程(二次项系数为1）是 . 7、以13+,13-为根的一元二次方程是 . 8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 . ９、以23+和23-为根的一元二次方程是 . １0、若两数和为4,两数积为3,则这两数分别为 . １1、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ,2x ,那么2212x x += ． 12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ,m 的值是 . 13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数,则k ＝ ,若两根互为倒数，则k = . 14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3,那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 . 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 1212,b c x x x x a a +=-= 说明：（1）定理成立的条件0?≥ （2）注意公式重12b x x a +=-的负号与b 的符号的区别 已知x1，x2是方程2x 2-x-5=0的两个根 考点：根与系数的关系．专题：应用题． 分析：利用根与系数的关系，分别求得x1+x2，x1/x2的值，整体代入所求的代数式即可． 解：∵x1，x2是方程2x 2-x-5=0的两个根 ∴x1+x2=-b/a=12，x1×x2=c/a=-5/2 本题考查了一元二次方程根与系数的关系．要掌握根与系数的关系式：x1+x2=-b/a ，x1×x2=c/a ． （1）计算对称式的值 例一 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值： (1) 2212x x +； (2) 1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -． （2）定性判断字母系数的取值范围 例二 一个三角形的两边长是方程 的两 根，第三边长为2，求k 的取值范围。 例三 已知关于x 的方程221(1)104 x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值． (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =． 例四 已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根． (1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2 x x x x --=-成立若存在，求出k 的值；若 一元三次方程求根公式的解法 一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。 一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下： （1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到 （2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3)) （3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为 x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得 （4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知 (5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得 （6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3 （7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A 和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即 （8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a (9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a (10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为 y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a) y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a) 可化为 (11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2) y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2) 将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得 (12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2) B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2) (13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得 (14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3) 一、(14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。由于计算太复杂及这个问题历史上已经解决，我不愿花过多的力气在上面，我做这项工作只是想考验自己的智力，所以只要关键的问题解决了另两个根我就没有花力气去求解。 二、我也曾用类似的方法去求解过一元四次方程的解，具体就是假设一元四次方程的根的形式为x=A^(1/4)+B^(1/4)+C^(1/4),有一次我好象解出过，不过后来多次求解好象说明这种方法求解一元四次方程解不出。不过我认为如果能进一步归纳出A、B、C的形式，应该能求出一元四次方程的求根公式的。由于计算实在太复杂及这个问题古人已经解决了，我后来一直没能完成这项工作。 三、通过求解一元三次方程的求根公式，我获得了一个经验，用演绎法（就是直接推 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 【学习目标】 1、学会用韦达定理求代数式的值。 2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。 3、理解并掌握应用韦达定理构造方程，解方程组。 4、能应用韦达定理分解二次三项式。 知识框图 求代数式的值 求待定系数 一元二次 韦达定理 应用 构造方程 方程的求 解特殊的二元二次方程组 根公式 二次三项式的因式分解 【内容分析】 韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 说明：（1）定理成立的条件0?≥ （2）注意公式重12b x x a +=- 的负号与b 的符号的区别 根系关系的三大用处 （1）计算对称式的值 例 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值： (1) 2212x x +； (2) 1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -． 解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=- (1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---= (2) 121212112220072007 x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=- (4) 22212121212||()()4(2)4(2007)22008x x x x x x x x -=-=+-=---=说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： 222121212()2x x x x x x +=+-， 12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-， 2121212||()4x x x x x x -=+-2212121212()x x x x x x x x +=+， 1、韦达定理（根与系数的关系） 韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 1212,b c x x x x a a +=-= 说明：定理成立的条件0?≥ 练习题 一、填空： 1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = . 2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = . 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = . 6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 . 7、以13+，13-为根的一元二次方程是 . 8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 . 9、以23+和23-为根的一元二次方程是 . 10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 . 11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += . 12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 . 13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = . 14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 . 一元三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式” 一元三次方程的一般形式是 x3+sx2+tx+u=0 如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消 去。所以我们只要考虑形如 x3=px+q 的三次方程。 假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。 代入方程，我们就有 a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q 整理得到 a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q 由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时， 3ab+p=0。这样上式就成为 a3-b3=q 两边各乘以27a3，就得到 27a6-27a3b3=27qa3 由p=-3ab可知 27a6 + p = 27qa3 这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。进而可解出b和根x. 除了求根公式和因式分解外还可以用图象法解，中值定理。很多高次方程是无法求得精确解的，对于这类方程，可以使用二分法，切线法，求得任意精度的近似解。参见同济四版的高等数学。 一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。 一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。我归纳出来的形如x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下： （1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到 （2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3)) （3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为 x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得 （4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知(5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得 （6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3 韦达定理及其应用 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988） 韦达定理及其应用 【内容综述】 设一元二次方程有二实数根，则 ，。 这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。其逆命题也成立。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。 【要点讲解】 1．求代数式的值 应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。 ★★例1若a，b为实数，且，，求的值。 思路注意a，b为方程的二实根；（隐含）。 说明此题易漏解a=b的情况。根的对称多项式，， 等都可以用方程的系数表达出来。一般地，设，为方程的二根，，则有递推关系。 其中n为自然数。由此关系可解一批竞赛题。 附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a，b值进而求出所求多项式值，但计算量较大。 ★★★例2若，且，试求代数式的值。 思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。 2．构造一元二次方程 如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。 ★★★★例3设一元二次方程的二实根为和。 （1）试求以和为根的一元二次方程； （2）若以和为根的一元二次方程仍为。求所有这样的一元二次方程。 3．证明等式或不等式 根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式。 ★★★例4已知a，b，c为实数，且满足条件：，，求证a=b。 说明由“不等导出相等”是一种独特的解题技巧。另外在求得c=0后，由恒等式可得，即a=b。此方法较第一种烦琐，且需一定的跳跃性思维。 4．研究方程根的情况 将韦达定理和判别式定理相结合，可以研究二次方程根的符号、区间分布、整数性等。关于方程的实根符号判定有下述定理： ⑴方程有二正根，ab<0，ac>0； ⑵方程有二负根，ab>0，ac>0； ⑶方程有异号二根，ac<0； ⑷方程两根均为“0”，b=c=0，； ★★★例5设一元二次方程的根分别满足下列条件，试求实数a的范围。 ⑴二根均大于1； ⑵一根大于1，另一根小于1。 思路设方程二根分别为，，则二根均大于1等价于和同时为正；一根大于1，另一根小于是等价于和异号。 初中数学竞赛：韦达定理 一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。 韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在： 运用韦达定理，求方程中参数的值； 运用韦达定理，求代数式的值； 利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。 韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。 韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。 【例题求解】 【例1】 已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 。 思路点拨：所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例 【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么 b a a b +的值为( ) A 、22123 B 、22125或2 C 、22125 D 、22123或2 思路点拨：可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。 注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧： (1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。 【例3】 已知关于x 的方程：04)2(2 2 =---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。 (2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x 。 思路点拨：对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手。 【例4】 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值?并求出这个最小值。 一元三次方程求根问题 一元三次方程求根问题是一个曾经困扰了人们许多年的问题，后来数学家们在经过非常多的计算后，用巧妙的方法将其解决了。目前，我还不知道一元三次方程求根公式和其推导过程，下面，我就尝试将这个问题解决。 显然，所有的一元三次方程都可以转化为 x 3+bx 2+cx +d =0的形式， 先从一些三次多项式的公式入手，其中有这样一个公式 ()()()B A AB B A AB B A B A B A +-+=--+=+3333 22333 在这里令x =A+B ，m =-3AB ，n =-(A 3+B 3)，则上述公式转为 x 3+mx+n=0 这便是一个特殊的一元三次方程。 而 ?????-=+-=n B A m B A 333 3327 所以由一元二次方程的韦达定理得A 3与B 3是方程 0273 2 =-+m ny y 的两根， 不考虑A 与B 之间的顺序，得 ???? ?????+--=++-=22742274223223m n n B m n n A 故3323 3 227422742m n n m n n B A x +--+++-=+= 在解二次方程时，可以通过配方的方法 将 ax 2+bx +c =0 转化为 04422=-+??? ??+a b ac 2a b x a 再将a b x 2+换元，以达到消去一次项的目的。 那么，在解x 3+bx 2+cx +d =0的过程中，是否也有类似的方法呢？ 我们可以尝试对其进行“配立方”来消去二次项， 得???? ??-+???? ??-+??? ??+=+++2733323 23b d x b c b x d cx bx x ???? ??+-+??? ??+???? ??-+??? ??+=2723333323 b b c d b x b c b x 这就转为x 3+mx+n=0的形式，带入刚才得到的其求根公式，得 3 2233b t n t n x ---++-= 其中108 441827274,3,27233 32223223c d b bcd c b d m n t b c m b bc d n ++--=+=-=+-= 以上只得出了一元三次方程一个根的求根公式，还不一定是实根，而一元三次方程一般有一或三个实根，原因可能是在上述求解过程中只在实数的范围内运算，并没有考虑到虚数。如果考虑虚数，在复数的范围内运算，一元三次方程应当有三个根。在上述方法中，另两个根可能要应用到虚数的一些概念和性质，若只考虑实数，无法将其解出。 接下来尝试一下在复数范围内，能否将另两个根解出。 设刚才求出的根为x 1=A +B,先考虑x 3+mx+n=0形式的方程， 一对一个性化辅导教师授课学案 学生姓名年级初三科目数学授课老师相老师总课时数第几次课 3 授课时间审核人 本次课课题一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练 教学目标韦达定理 授课内容 教学内容 对于一元二次方程，当判别式△＝ 时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么 则是的两根。一元二次方程的根与系数的关系，综合 性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还 常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式 存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程 的两个根，进而分解因式，即 。下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例 做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。 一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。 例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？ 分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。 说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而 筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。 二、判别一元二次方程两根的符号。 例1：不解方程，判别方程两根的符号。 分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。 说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。 下面几种方法仅供参考 1、可以用待定系数法来解决。根据高等数学中的理论，任何一个高次多项式,都可以分解 为若干个一次因式和判别式（B^2-4ac<0)的二次因式的乘积。所以你假设原始可以分解为（ax+b)(cx+d）（ex^2+fx+g）然后把这个式子展开，和你要分解的那个原式用对应系数相等的法则来求解出常数a，b，c,d，e,f,g 的值就可以了。 2、试根法 例如x^3-5x^2+17x—13 看看x等于什么可以使他等于0 显然x=1可以 所以有一个因式是x-1 所以x^3—5x^2+17x—13 =x^3—x^2—4x^2+4x+13x—13 =x^2（x—1）—4x(x-1）+13（x—1) =(x-1)（x^2-4x+13) 3一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的,用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型. 一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到,即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^（1/3)型,即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A 和B。方法如下: （1）将x=A^(1/3）+B^（1/3)两边同时立方可以得到 （2）x^3=(A+B）+3（AB）^（1/3）（A^(1/3）+B^(1/3)) （3）由于x=A^(1/3)+B^（1/3)，所以（2）可化为 x^3=(A+B)+3(AB）^（1/3)x，移项可得 （4）x^3－3(AB）^(1/3)x－（A+B)＝0,和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较,可知 （5）－3（AB)^（1/3）＝p，－（A+B)=q,化简得 (6)A+B＝－q，AB＝—（p/3)^3 （7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而（6)则是关于形如 ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即 （8）y1＋y2＝－(b/a),y1*y2=c/a （9)对比（6）和（8）,可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，—（p/3）^3＝c/a （10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为 y1＝－(b＋（b^2－4ac）^(1/2））/（2a） y2＝－（b－(b^2－4ac）^（1/2)）/（2a) 可化为 (11）y1＝－（b/2a)—（(b/2a）^2—(c/a))^（1/2) y2＝－（b/2a）+（(b/2a）^2—（c/a））^（1/2） 一元二次方程韦达定理、应用 一．选择题（共12小题） 1．（2020?邵阳）设方程x2﹣3x+2＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2的值为（）A．3B．﹣C．D．﹣2 2．若x1、x2是方程x2﹣5x+6＝0的两个解，则代数式（x1+1）（x2+1）的值为（）A．8B．10C．12D．14 3．关于x的一元二次方程x2﹣5x+2p＝0的一个根为1，则另一根为（） A．﹣6B．2C．4D．1 4．（2020?雅安）如果关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（）A．k B．k且k≠0C．k且k≠0D．k 5．关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且α2+β2＝12，那么m的值为（）A．﹣1B．﹣4C．﹣4或1D．﹣1或4 6．（2020?如东县二模）若x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个根，则x1+x2﹣x1?x2的值是（）A．﹣5B．﹣1C．5D．1 7．（2020?仁寿县模拟）已知m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则＝（）A．3B．﹣3C．D．﹣ 8．（2020?烟台模拟）已知a、b是一元二次方程x2+x﹣c＝0的两根，且a+b﹣2ab＝5，那么c等于（）A．3B．﹣3C．2D．﹣2 9．（2019秋?潮州期末）已知x1，x2是一元二次方程x2+2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是（）A．x1≠x2B．x12+2x1＝0C．x1x2＝﹣2D．x1+x2＝﹣2 10．（2020?广州）直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0实数解的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．1个或2个 11．（2020?泰兴市一模）一元二次方程x2﹣4x+2＝0根的情况是（） A．无实数根B．有两个正根C．有一个正根，一个负根D．有两个负根12．（2020?文登区模拟）已知a，b是方程x2+3x﹣5＝0的两个实数根，则a2﹣3b+2020的值是（）A．2016B．2020C．2025D．2034 二．填空题（共4小题） 13．（2020?泰州）方程x2+2x﹣3＝0的两根为x1、x2，则x1?x2的值为． 14．（2020春?崇川区期末）若方程x2﹣3x+2＝0的两根是α、β，则α+αβ+β＝． 15．（2020春?九龙坡区校级期末）已知α、β是方程x2+3x﹣8＝0的两个实数根，则α2+β2的值为．16．（2020?眉山）设x1，x2是方程2x2+3x﹣4＝0的两个实数根，则+的值为． 三．解答题（共6小题） 17．解下列方程（1）x2﹣8x+15＝0；（2）﹣＝1． 一元二次方程及韦达定理 一、 求解一元二次方程的过程就是一个因式分解的过程 一元二次方程如果有解的话一定可以表示成：))((0212 x x x x a c bx ax --==++)0(≠a 其中：21,x x 就是方程的两个根；如果21x x =，就说方程有两个相等的根。 二、 一元二次方程求根的几种办法： 1. 十字相乘法： 2. 配方法： 3. 公式法： 4. 猜根+结合韦达定理。 三、 韦达定理 1、 韦达定理应用的前提是方程有实根！ 2、 韦达定理的正向运用： )0(02 ≠=++a c bx ax 如果有两个根21,x x （可以相等），那么： ?? ???=-=+a c x x a b x x 2121 ：得到的是各项系数之间的关系。 3、 若两个实数21,x x 满足a b x x - =+21，a c x x =?21， 则21,x x 必为方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根。 4、 可以通过韦达定理来判断两个根的符号： 1） 通过21x x ?来判断两根同号还是异号； 2） 通过21x x +来判断两根的正负。 基本题型解法及易错点 一、 求解一元二次方程的根：02=++c bx ax 1. 如果二次项前面有参数，要先讨论参数是否为0； 2. 有根的判断标准是：042 ≥-=ac b ?；所以，0 第三讲韦达定理及其应用 趣题引路】 韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣：常利用业余时间钻研数学.韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代生之父”历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提岀了一个45次的方程向各国数学家挑战.国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得岀一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）?消息传开，数学界为之震惊.同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。 韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达左理，你能利用韦达泄理解决下而的问题吗？已知：①0+2“一1=0,②夕一2沪一1=0日1 一c/HO.求（严a 的值。 解析由①知1 + 2丄一丄=0? a cr 即（丄尸+2丄一1 = 0,③a a 由②知（护）2一2沪一1=0,④ 由韦达泄理，得丄+ Z/=2丄，=一1 , a a ...严=［（* +町+ 乡「（2-1 严 62为一元二次方程2 -21-1 =0的两根。 点评本题的关键是构造一元二次方程X2-2A-1=0,利用韦达立理求解，难点是将①变形成③，易错点是忽视条件1 一ab2 #0,而把“，一夕看作方程/+加一1 =0的两根来求解. 知识延伸】 例1已知关于x的二次方程2x2+av-2z/+l= 0的两个实根的平方和为7丄，求“的值. 4 解析设方程的两实根为小，也，根据韦达泄理，有 一2“ +1 于是，Xj24-A22=（X14-X2）2-2.￥I%2 一元三次方程的解法 数教091班王超逸 48号 一元三次方程的标准形式为aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，将方程两边同时除以最高项系数a,三次方程变为x^3+(b/a)x^2+(c/a)x+d/a=0,所以三次方程又可简写为 X^3＋bX^2＋cX＋d=0． 一元三次方程的韦达定理 设方程为 ax^3+b^2x+cx+d=0 则有 x1*x2*x3=-d/a；x1*x2+x2*x3+x3*x1=c/a；x1+x2+x3=-b/a； 一元三次方程解法思想 一元三次方程解法思想是：通过配方和换元，使三次方程降次为二次方程求解． 一元三次方程解法的发现 三次方程解法的发现是在16世纪的意大利，那时，数学家常常把自己的发现秘而不宣，而是向同伴提出挑战，让他们解决同样的问题．想必这是一项很砥砺智力，又吸引人的竞赛，三次方程的解法就是这样发现的． 最初，有一个叫菲奥尔的人，从别人的秘传中学会了解一些三次方程，便去向另一个大家称为塔尔塔利亚的人挑战．塔尔塔利亚原名丰塔纳，小时因脸部受伤引起口吃，所以被人称为塔尔塔利亚（意为＂口吃者＂）。他很聪明，又很勤奋，靠自学掌握了拉丁文，希腊文和数学．这次他成功解出了菲奥尔提出的所有三次方程，菲奥尔却不能解答他提出的问题．当时很有名的卡尔丹于是恳求他传授解三次方程的办法，并发誓保守秘密，塔尔塔利亚才把他的方法写成一句晦涩的诗交给卡尔丹．后来卡尔丹却背信弃义，把这个方法发表在1545年出版的书里．在书中他写道：＂波伦亚的费罗差不多在三十年前就发现了这个方法，并把它传给了菲奥尔．菲奥尔在与塔尔塔利亚的竞赛中使后者有机会发现了它．塔尔塔利亚在我的恳求下把方法告诉了我，但保留了证明．我在获得帮助的情况下找出了它各种形式的证明．这是很难做到的．＂卡尔丹的背信弃义使塔尔塔利亚很愤怒，他马上写了一本书，争夺这种方法的优先权．他与卡尔丹的学生费拉里发生了公开冲突．最后，这场争论是以双方的肆意谩骂而告终的．三次方程解法发现的过程虽不愉快，但三次方程的解法被保留了下来，并被错误的命名为＂卡尔丹公式＂沿用至今．以下介绍的解法，就是上文中提到的解法． 一元三次方程的解法 一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax+bx+cx+d=0的标准型一元三次方程形式化为x+px+q=0的特殊型。 一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如 x+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A 和B。方法如下： 一元二次方程判别式及韦达定理 一、选择题 1.（2013湖北黄冈）已知一元二次方程x 2－6x ＋c ＝0有一个根为2，则另一根为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 2.（2013四川泸州）若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1k >- B ．1k <且0k ≠ C ． 1k ≥-且0k ≠ D ． 1k >-且0k ≠ 3. （2013四川泸州，）设12,x x 是方程2330x x +-=的两个实数根，则 2112 x x x x +的值为（ ） A ．5 B ．－5 C ．1 D ．－1 4. （2013福建福州，）下列一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A ．x 2＋3＝0 B ．x 2＋2x ＝0 C ．(x ＋1)2＝0 D ．(x ＋3)(x －1)＝0 5．（2013山东滨州，）对于任意实数k ，关于x 的方程程x 2－2(k +1)x －k 2+2k －1=0的根的情况为 A ．有两个相等的实数根 B ．没有实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．无法确定 6．（2013广东广州）若0205<+k ，则关于x 的一元二次方程042=-+k x x 的根的情况是（ ） A .没有实数根 B .有两个相等的实数根 C .有两个不相等的实数根 D .无法判断 7．（2013山东日照）已知一元二次方程032=--x x 的较小根为1x ,则下面对1x 的估计准确的是 A ．121-<<-x B ．231-<<-x C ．321< 精心整理 韦达定理与根与系数的关系练习题 一、填空题 1、关于x 的方程0322=+-m x x ，当时，方程有两个正数根； 当m 时，方程有一个正根，一个负根； 当m 时，方程有一个根为0。 2345、设6721x ?＝． 8910111213、已知关于x 的一元二次方程01)1()1(22=++--x a x a 两根互为倒数，则=a 。 14、已知关于x 的一元二次方程0)1(222=+--m x m x 。若方程的两根互为倒数，则=m ；若方程两 根之和与两根积互为相反数，则=m 。 15、一元二次方程)0(02≠=++p r qx px 的两根为0和－1，则=q p :。 16、已知方程0132=-+x x ，要使方程两根的平方和为9 13，那么常数项应改为。 17、已知方程0242=-+m x x 的一个根α比另一个根β小4，则=α；=β；=m 。 18、已知关于x 的方程032=+-k x x 的两根立方和为0，则=k 19、已知关于x 的方程0)1(232=-+-m mx x 的两根为1x 、2x ，且4 31121-=+x x ，则=m 。 20、若方程042=+-m x x 与022=--m x x 有一个根相同，则=m 。 21、一元二次方程01322=+-x x 的两根与0232=+-x x 的两根之间的关系是。 22 2324(2512、设34、5222 =x ，56、设：011632=--a a ，011632=--b b 且b a ≠，求b a -的值。 7、已知：βα、是关于x 的二次方程：04)4(2)2(2=-+-+-m x m x m 的两个不等实根。 (1)若m 为正整数时，求此方程两个实根的平方和的值；(2)若622=+βα时，求m 的值。 8、已知关于x 的二次方程012=-+mx x 的一个根是12-，求另一个根及m 的值． 9、已知方程01052=-+mx x 的一根是－5，求方程的另一根及m 的值。 关于一元三次方程通解的解法 章君、何敏捷 （福建师范大学数学系福建福州350108） 【摘要】本文主要讲解了针对于一元三次方程通解的解法，由一元二次方程通解解法，我们产生联想，可不可以先将一般的一元三次方程化为缺二次项的特殊一元三次方程，然后进行求解，并由此进一步推出一元三次方程根的判别式方法； 【关键词】一元三次方程、通解、一元二次方程、判别式 我们在中学已经学过对于一般的一元二次方程20 ax bx c ++=（0 a≠）的通解的解法，并且我们知道，针对于这样的一般性的一元二次方程，我们可以用多种解法来求得其解，比如，我们可以用求根公式法、因式分解法、配方法等等各种不同的做法来求得其解；这不禁让我们联想到，针对于一般的一元三次方程320 +++=（0 ax bx cx d a≠）我们是否也可以通过像求解一元二次方程的那些做法来求得其解呢？显然，事实证明，对于一般性的一元三次方程是不能用因式分解法、配方法来求解的，除非是比较明显的易于观察的一些方程，我们一眼就能发现它存在某一个特根，然后用多项式相除的办法进行将它分解，然而对于一般性的一元三次方程是不能这样做的，也不能直接给它配方，这就要求我们用其它的方法来求得其解集；由一元二次方程的求根公式法中用到的韦达定理，我们联想到，是否可以先把一元三次方程化成一元二次方程，然后也用韦达定理来求解，事实证明这种猜想是行得通的，以下，我将介绍这种做法的具体演算过程。 设有一般一元三次方程320 +++=（0 ax bx cx d a≠），我们对它先进行化简，目标是将它的二次项系数化为0，这种想法的由来是因为我们通过实践发现无 二次项的一元三次方程比较容易求解，因此，我们想到先除去二次项，然后再求解；具体做法是： 令x y k =+其中k 是一个待定的常数，将其代入原一般一元三次方程320ax bx cx d +++=（0a ≠）中，得到： 32()()()0a y k b y k c y k d ++++++= 展开并整理得到： 32232(3)(32)()0ay ka b y k a bk c y ak bk ck d +++++++++= ---------○ 1 取3b k a =- ，即 3b x y a =- -------○2 ， 将其代入原一般方程并整理得： 23322()()03273b b bc ay c y d a a a +-+-+= ， 两边同时除以a 得到： 3 0y py q ++= --------○3 其中 21()3b p c a a =- ， 3212()273b bc q d a a a =-+ 事实上，以上过程也证明了对于任意一个一元三次方程，我们都可以将它 化为上述○ 3的这种形式，这样我们就可以直接求不含二次项的一元三次方程的解了；接下来，我们只要将方程○ 3的解求出来，就可以自然的求得最原始的一般的一元三次方程的通解了； 我们再次将○3式作变换，令y u v =+（其中u 和v 是未知数），并将其代入 方程○ 3得到：3()()0u v p u v q ++++=，化简后得到： 33(3)()0u v q uv p u v +++++= --------○ 4 因为我们用两个未知数u 和v 代替了y ，因此为了减少○ 4中未知数的个数，我们不妨再要求(3)uv p +=0 -----○5，这样我们就可以得出3 p uv =-------○6，将其代入方程○4我们可以得到：330u v q ++=，从而我们就得到以下方程组： 333p uv u v q ?=-?? ?+=-?，即 3333327p u v u v q ?=-???+=-? 这样我们就可以利用韦达定理知道： 3u 和3v 可以看成是一元二次方程3 2027 p z qz +-=的两个根；初三上学期一元二次方程-韦达定理(根与系数的关系)全面练习题及答案
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