创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者： 别如克*
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【学习目标】
1、学会用韦达定理求代数式的值。
2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。
3、理解并掌握应用韦达定理构造方程，解方程组。
4、能应用韦达定理分解二次三项式。 知识框图
求代数式的值 求待定系数 一元二次 韦达定理 应用 构造方程
方程的求 解特殊的二元二次方程组 根公式 二次三项式的因式分解 【内容分析】
韦达定理：对于一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么
1212,b c x x x x a a
+=-=
说明：（1）定理成立的条件0?≥ （2）注意公式重12b
x x a
+=-的负号与b 的符号的区别 根系关系的三大用处 （1）计算对称式的值
例 若12,x x 是方程2
220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：
(1) 22
12x x +；
(2)
12
11x x +； (3) 12(5)(5)x x --；
(4)
12||x x -．
解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-
(1) 2222
121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=
(2)
1212121122
20072007
x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=- (4)
22212121212||()()4(2)4(2007)22008x x x x x x x x -=-=+-=---=
说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：
222121212
()2x x x x x x +=+-，
121212
11
x x x x x x ++=，
22121212()()4x x x x x x -=+-，
2121212||()4x x x x x x -=+-，2212121212()x x x x x x x x +=+，
33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．
【课堂练习】
1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22
的值为_________
2．已知x 1，x 2是方程2x 2
－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，
（x 1－x 2）2
＝
3．已知方程2x 2
－3x+k=0的两根之差为212
，则k= ;
4．若方程x 2
+(a 2
－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;
5．若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2
=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;
6． 设x 1,x 2是方程2x 2
－6x+3=0的两个根，求下列各式的值： (1)x 12x 2+x 1x 22
(2) 1x 1 －1x 2
7．已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
22
21x 1
x 1+
（2）构造新方程
理论：以两个数为根的一元二次方程是。
例 解方程组 x+y=5
xy=6
解：显然，x，y是方程z2-5z+6＝0 ①的两根
由方程①解得 z1=2,z2=3
∴原方程组的解为 x1=2,y1=3
x2=3,y2=2
显然，此法比代入法要简单得多。
（3）定性判断字母系数的取值范围
例一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k的取值范围。
解：设此三角形的三边长分别为a、b、c，且a、b为的两根，则c=2 由题意知
△＝k2-4×2×2≥0，k≥4或k≤-4
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∴为所求。
【典型例题】
例 1 已知关于x 的方程2
2
1(1)104
x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．
(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．
分析：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是120x x =>，二是
12x x -=，所以要分类讨论．
解：(1) ∵方程两实根的积为5
∴ 2
22121[(1)]4(1)034
,41215
4
k k k k x x k ??=-+-+≥???≥=±?
?=+=?? 所以，当4k =时，方程两实根的积为5． (2) 由12||x x =得知： ①当10x ≥时，12x x =，所以方程有两相等实数根，故3
02
k ?=?=
； ②当10x <时，12120101x x x x k k -=?+=?+=?=-，由于
3
02
k ?>?>
，故1k =-不合题意，舍去．
综上可得，3
2
k =
时，方程的两实根12,x x 满足12||x x =． 说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足0?≥．
例2 已知12,x x 是一元二次方程2
4410kx kx k -++=的两个实数根．
(1) 是否存在实数k ，使12123
(2)(2)2
x x x x --=-
成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．
(2) 求使
12
21
2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 解：(1) 假设存在实数k ，使12123
(2)(2)2
x x x x --=-成立．
∵ 一元二次方程2
4410kx kx k -++=的两个实数根
∴ 2
40
0(4)44(1)160
k k k k k k ≠??
?=--?+=-≥?，
又12,x x 是一元二次方程2
4410kx kx k -++=的两个实数根
∴ 1212114x x k x x k +=???+=??
∴ 222
121212121212(2)(2)2()52()9x x x x x x x x x x x x --=+-=+-
939
425
k k k +=-
=-?=，但0k <．
∴不存在实数k ，使12123
(2)(2)2
x x x x --=-
成立．
(2) ∵ 222121212211212()44
224411
x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-
++
∴ 要使其值是整数，只需1k +能被4整除，故11,2,4k +=±±±，注意到
0k <，
要使
12
21
2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为2,3,5---． 说明：(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在．
(2) 本题综合性较强，要学会对
4
1
k +为整数的分析方法．
一元二次方程根与系数的关系练习题
A 组
1．一元二次方程2
(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )
A ．2k >
B ．2,1k k <≠且
C ．2k <
D ．2,1k k >≠且
2．若12,x x 是方程2
2630x x -+=的两个根，则
12
11x x +的值为( ) A ．2
B ．2-
C ．
12
D ．
92
3．已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于
x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，则m 等于(
)
A ．3-
B ．5
C ．53-或
D ．53-或
4．若t 是一元二次方程2
0 (0)ax bx c a ++=≠的根，则判别式2
4b ac ?=-和完
全平方式2
(2)M at b =+的关系是( ) A ．M ?= B ．M ?>
C ．M ?<
D ．大小关系不
能确定
5．若实数a b ≠，且,a b 满足2
2
850,850a a b b -+=-+=，则代数式11
11
b a a b --+
--的值为( )
A ．20-
B ．2
C ．220-或
D ．220或
6．如果方程2
()()()0b c x c a x a b -+-+-=的两根相等，则,,a b c 之间的关系是 ______
7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程2
2870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______ ．
8．若方程2
2(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．
9．设12,x x 是方程2
0x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程
20x qx p ++=的两实根，则p = _____ ，q = _____ ．
10．已知实数,,a b c 满足2
6,9a b c ab =-=-，则a = _____ ，b = _____ ，c = _____ ．
11．对于二次三项式2
1036x x -+，小明得出如下结论：无论x 取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由．
12．若0n >，关于x 的方程2
1
(2)04
x m n x mn --+=有两个相等的的正实数根，求m
n
的值．
13．已知关于x 的一元二次方程2
(41)210x m x m +++-=． (1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为12,x x ，且满足
121112
x x +=-，求m 的值．
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14．已知关于x 的方程2
2
1(1)104
x k x k -+++=的两根是一个矩形两边的长． (1) k 取何值时，方程存在两个正实数根？ (2)
k 的值．
B 组
1．已知关于x 的方程2
(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x ． (1) 求k 的取值范围； (2) 是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请您说明理由．
2．已知关于x 的方程2
30x x m +-=的两个实数根的平方和等于11．求证：关于x 的方程2
2(3)640k x kmx m m -+-+-=有实数根．
3．若12,x x 是关于x 的方程2
2
(21)10x k x k -+++=的两个实数根，且12,x x 都大于1． (1) 求实数k 的取值范围； (2) 若
121
2
x x =，求k 的值．
答案
A 组 1．
B 2． A 3．A 4．A
5．A
6．2,a c b b c +=≠且 7． 3
8． 9或3-
9．1,3p q =-=- 10．3,3,0a b c ===
11．正确
12．4
13．2
1(1)1650 (2)2
m m ?=+>=- 14．3
(1) (2)22
k k ≥=
B 组
1．13
(1)112
k k <≠且
(2) 不存在 2．1m = (1)当3k =时，方程为310x +=，有实根；(2) 当3k ≠时，0?>也
有实根． 3．(1) 3
14
k k ≥≠且 ； (2) 7k =．
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