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解一元二次方程练习题(配方法)
1．用适当的数填空：
①、x 2+6x+ =（x+ ）2； ②、x 2－5x+ =（x － ）2；
③、x 2+ x+ =（x+ ）2； ④、x 2－9x+ =（x － ）2
2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2
-ax+1可变为（2x-b ）2
的形式，则ab=_______．
4．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2
=b 的形式为______，?所以方程的根为_______．
5．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 6．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ）
A ．（a-2）2+1
B ．（a+2）2-1
C ．（a+2）2+1
D ．（a-2）2-1 7．把方程x+3=4x 配方，得（ ）
A ．（x-2）2=7
B ．（x+2）2=21
C ．（x-2）2=1
D ．（x+2）2=2 8．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ）
A ．2
B ．-2
C ．
D ．
9．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（ ）
A ．总不小于2
B ．总不小于7
C ．可为任何实数
D ．可能为负数 10．用配方法解下列方程：
（1）3x 2-5x=2． （2）x 2+8x=9 （3）x 2+12x-15=0 （4）
4
1 x 2
-x-4=0
7、01842=+--x x 8、0222=-+n mx x 9、()00222>=--m m mx x
11.用配方法求解下列问题
（1）求2x 2-7x+2的最小值 ； （2）求-3x 2+5x+1的最大值。
一．填空题：
1．关于x 的方程mx 2-3x= x 2-mx+2是一元二次方程,则m___________．
2．方程4x(x-1)=2(x+2)+8化成一般形式是______________,二次项系数是____,一次项系数是_____,常数项是____.
3．方程x 2=1的解为______________.
4．方程3 x 2=27的解为______________； x 2+6x+____=(x+____)2； a 2±____+4
1
=(a ±____ )2 5．关于x 的一元二次方程(m+3) x 2+4x+ m 2- 9=0有一个解为0 , 则m=______. 二．选择题：
6．在下列各式中
①x 2
+3=x; ②2 x 2
- 3x=2x(x- 1) – 1 ; ③3 x 2
- 4x – 5 ; ④x 2
=- x
1+2 是一元二次方程的共有( )
A 0个
B 1个
C 2个
D 3个 8．一元二次方程的一般形式是( )
A x 2+bx+c=0
B a x 2+c=0 (a ≠0 )
C a x 2+bx+c=0
D a x 2+bx+c=0 (a ≠0) 9．方程3 x 2
+27=0的解是( )
A x=±3
B x= -3
C 无实数根
D 以上都不对 10．方程6 x 2- 5=0的一次项系数是( ) A 6 B 5 C -5 D 0
11．将方程x 2- 4x- 1=0的左边变成平方的形式是( )
A (x- 2)2
=1 B (x- 4)2
=1 C (x- 2)2
=5 D (x- 1)2
=4
三.。将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项
五. 用配方法或公式法解下列方程.：
(10) x 2
－6x+9 =0 （1）x 2
+ 2x + 3=0 （2）x 2
+ 6x －5=0 (3) x 2
－4x+ 3=0
(4) x 2
－2x －1 =0 (5) 2x 2
+3x+1=0 (6) 3x 2
+2x －1 =0
(7) 5x 2－3x+2 =0 (8) 7x 2－4x －3 =0 (9) -x 2-x+12 =0
韦达定理：对于一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么
1212,b c
x x x x a a
+=-=
说明：（1）定理成立的条件0?≥ （2）注意公式重12b
x x a
+=-的负号与b 的符号的区别 根系关系的三大用处 （1）计算对称式的值
例 若12,x x 是方程2
220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：
(1) 22
12x x +； (2)
12
11x x +； (3) 12(5)(5)x x --；
(4) 12||x x -．
解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-
(1) 2222
121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=
(2)
1212121122
20072007
x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-
(4) 12||x x -=
===说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：
222121212()2x x x x x x +=+-，
121212
11x x x x x x ++=，22
121212()()4x x x x x x -=+-，
12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，
33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．
【课堂练习】
1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22
的值为_________
2．已知x 1，x 2是方程2x 2
－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，
（x 1－x 2）2
＝
3．已知方程2x 2
－3x+k=0的两根之差为212
，则k= ;
4．若方程x 2
+(a 2
－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;
5．若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2
=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;
6． 设x 1,x 2是方程2x 2
－6x+3=0的两个根，求下列各式的值： (1)x 12x 2+x 1x 22
(2) 1x 1 －1x 2
7．已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
2221x 1
x 1+
（2）构造新方程
理论：以两个数为根的一元二次方程是。
例 解方程组 x+y=5
xy=6 解：显然，x ，y 是方程z 2
-5z+6＝0 ① 的两根 由方程①解得 z 1=2,z 2=3 ∴原方程组的解为 x 1=2,y 1=3
x 2=3,y 2=2 显然，此法比代入法要简单得多。 （3）定性判断字母系数的取值范围
例 一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k 的取值范围。
解：设此三角形的三边长分别为a 、b 、c ，且a 、b 为的两根，则c=2
由题意知
△＝k 2
-4×2×2≥0，k ≥4或k ≤-4
∴
为所求。
【典型例题】
例1 已知关于x 的方程2
2
1(1)104
x k x k -++
+=，根据下列条件，分别求出k 的值． (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．
分析：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是120x x =>，二是12x x -=，所以要分类讨论． 解：(1) ∵方程两实根的积为5
∴ 2
22121[(1)]4(1)034
,41215
4
k k k k x x k ??=-+-+≥???≥=±?
?=+=?? 所以，当4k =时，方程两实根的积为5． (2) 由12||x x =得知： ①当10x ≥时，12x x =，所以方程有两相等实数根，故3
02
k ?=?=
； ②当10x <时，12120101x x x x k k -=?+=?+=?=-，由于
3
02
k ?>?>
，故1k =-不合题意，舍去．
综上可得，3
2
k =
时，方程的两实根12,x x 满足12||x x =． 说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足0?≥．
例2 已知12,x x 是一元二次方程2
4410kx kx k -++=的两个实数根．
(1) 是否存在实数k ，使12123
(2)(2)2
x x x x --=-
成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．
(2) 求使
12
21
2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 解：(1) 假设存在实数k ，使12123
(2)(2)2
x x x x --=-成立．
∵ 一元二次方程2
4410kx kx k -++=的两个实数根
∴ 2
40
0(4)44(1)160
k k k k k k ≠??
又12,x x 是一元二次方程2
4410kx kx k -++=的两个实数根
∴ 1212114x x k x x k +=???+=??
∴ 222
121212121212(2)(2)2()52()9x x x x x x x x x x x x --=+-=+-
939
425
k k k +=-
=-?=，但0k <．
∴不存在实数k ，使12123
(2)(2)2
x x x x --=-成立．
(2) ∵ 222121212211212()44
224411
x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-
++
∴ 要使其值是整数，只需1k +能被4整除，故11,2,4k +=±±±，注意到0k <，
要使
12
21
2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为2,3,5---． 说明：(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在．
(2) 本题综合性较强，要学会对
4
1
k +为整数的分析方法．
一元二次方程根与系数的关系练习题
A 组
1．一元二次方程2
(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )
A ．2k >
B ．2,1k k <≠且
C ．2k <
D ．2,1k k >≠且
2．若12,x x 是方程2
2630x x -+=的两个根，则
12
11
x x +的值为( ) A ．2
B ．2-
C ．
12
D ．
92
3．已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程
22(21)30x m x m +-++=的根，则m 等于(
)
A ．3-
B ．5
C ．53-或
D ．53-或
4．若t 是一元二次方程2
0 (0)ax bx c a ++=≠的根，则判别式2
4b ac ?=-和完全平方式2
(2)M at b =+的
关系是( )
A ．M ?=
B ．M ?>
C ．M ?<
D ．大小关系不能确定
5．若实数a b ≠，且,a b 满足2
2
850,850a a b b -+=-+=，则代数式11
11
b a a b --+--的值为( )
A ．20-
B ．2
C ．220-或
D ．220或
6．如果方程2
()()()0b c x c a x a b -+-+-=的两根相等，则,,a b c 之间的关系是 ______
7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程2
2870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______ ．
8．若方程2
2(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．
9．设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程2
0x qx p ++=的两实根，则p =
_____ ，q = _____ ．
10．已知实数,,a b c 满足2
6,9a b c ab =-=-，则a = _____ ，b = _____ ，c = _____ ．
11．对于二次三项式2
1036x x -+，小明得出如下结论：无论x 取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由．
12．若0n >，关于x 的方程2
1(2)04x m n x mn --+=有两个相等的的正实数根，求m
n
的值．
13．已知关于x 的一元二次方程2
(41)210x m x m +++-=． (1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为12,x x ，且满足
121112
x x +=-，求m 的值．
14．已知关于x 的方程2
2
1(1)104
x k x k -+++=的两根是一个矩形两边的长． (1) k 取何值时，方程存在两个正实数根？
(2)
k 的值．
B 组
1．已知关于x 的方程2
(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x ． (1) 求k 的取值范围； (2) 是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请您说明理由．
2．已知关于x 的方程2
30x x m +-=的两个实数根的平方和等于11．求证：关于x 的方程
22(3)640k x kmx m m -+-+-=有实数根．
3．若12,x x 是关于x 的方程2
2
(21)10x k x k -+++=的两个实数根，且12,x x 都大于1．
(1) 求实数k 的取值范围；
(2) 若
121
2
x x =，求k 的值．
一元二次方程试题
一、选择题
1、一元二次方程2
210x x --=的根的情况为（ ）B Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根
Ｄ．没有实数根
2、若关于z 的一元二次方程02.
2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）C A ．m
3、一元二次方程x 2
＋x ＋2＝0的根的情况是（ ）C A ．有两个不相等的正根 B ．有两个不相等的负根 C ．没有实数根 D ．有两个相等的实数根 4、用配方法解方程2
420x x -+=，下列配方正确的是（ ）A A ．2
(2)2x -=
B ．2
(2)2x +=
C ．2
(2)2x -=-
D ．2
(2)6x -=
5、已知函数2
y ax bx c =++的图象如图（7）所示，那么关于x 的方程
220ax bx c +++=的根的情况是（ ）D
A ．无实数根
B ．有两个相等实数根
C ．有两个异号实数根
D ．有两个同号不等实数根
6、关于x 的方程2
0x px q ++=的两根同为负数，则（ ）A A ．0p >且q >0 B ．0p >且q <0 C ．0p <且q >0 D ．0p <且q <0
7、若关于x 的一元二次方程22430x kx k ++-=的两个实数根分别是12,x x ,且满足1212x x x x +=.则k 的值为（ ）C
（A ）－1或
34 （B ）－1 （C ）3
4
（D ）不存在
图（7）
8、下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）D
（A ）x 2
＋4＝0 （B ）4x 2
－4x ＋1＝0 （C ）x 2
＋x ＋3＝0 （D ）x 2
＋2x －1＝0 9、某商品原价200元，连续两次降价a ％后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）B A ：200(1+a%)2
=148 B ：200(1－a%)2
=148 C ：200(1－2a%)=148 D ：200(1－a 2
%)=148 10、下列方程中有实数根的是（ ）C
（A ）x 2
＋2x ＋3＝0 （B ）x 2
＋1＝0 （C ）x 2
＋3x ＋1＝0 （D ）
1
11
x x x =
-- 11、已知关于x 的一元二次方程2
2x m x -= 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( ) A A ． m ＞－1 B ． m ＜－2 C ．m ≥0 D ．m ＜0
12、如果2是一元二次方程x 2
＝c 的一个根，那么常数c 是（ ）。C
A 、2
B 、－2
C 、4
D 、－4
二、填空题
1、已知一元二次方程01322
=--x x 的两根为1x 、2x ，则=+21x x 2
3 2、方程()412
=-x 的解为 。31=x ，12-=x
3、阅读材料：设一元二次方程2
0ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，则两根与方程系数之间有如下关系：
12b x x a +=-，12c
x x a
=．根据该材料填空：
已知1x ，2x 是方程2
630x x ++=的两实数根，则
21
12
x x x x +的值为______ 10 4、关于x 的一元二次方程x 2
＋bx ＋c ＝0的两个实数根分别为1和2，则b ＝______；c ＝______． －3,2 5、方程2
20x x -=的解是 ．1x ＝0，2x ＝2 6、已知方程2
30x x k -+=有两个相等的实数根，则k = 94
7、方程x 2
+2x=0的解为 1x ＝0，2x ＝－2
8、已知方程()0332
=+-+x a x 在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于1小于2，则的取值范围
是 ．
2
1
1-<<-a 或323-=a
9、已知x 是一元二次方程x 2
＋3x －1＝0的实数根，那么代数式
235(2)362
x x x x x -÷+---的值为＿＿＿＿1
3
10、已知1x =-是关于x 的方程2
2
20x ax a +-=的一个根，则a =_______．
11、若关于x 的一元二次方程2
20x x k +-=没有实数根，则k 的取值范围是 ．
a
12、写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：__________________。
13、已知2-2
40x x c -+=的一个根，则方程的另一个根是 ． 2+三、解答题
1、解方程：2
410x x +-=．
2、解方程：x 2
＋3＝3(x ＋1)．
3、已知x ＝1是一元二次方程2
400ax bx +-=的一个解，且a b ≠，求22
22a b a b
--的值.
4、已知关于x 的一元二次方程x 2
＋4x ＋m －1＝0。
(1)请你为m 选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根；
(2)设α、β是(1)中你所得到的方程的两个实数根，求α2＋β2
＋αβ的值。
5、据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2008年的利用率提高
到60%，求每年的增长率。(≈1.41)
解：设我省每年产出的农作物秸杆总量为a ，合理利用量的增长率是x ，由题意得：
30%a （1＋x ）2=60%a ，即（1＋x ）2
=2…………5分 ∴x 1≈0.41，x 2≈－2.41(不合题意舍去)。……7分 ∴x ≈0.41。
即我省每年秸秆合理利用量的增长率约为41%。………8分
6、黄金周长假推动了旅游经济的发展．下图是根据国家旅游局提供的近年来历次黄金周旅游收入变化图．
(1)根据图中提供的信息．请你写出两条结论；
(2)根据图中数据，求2002年至2004年的“十一”黄金周全国旅游收入平均每年增长的百分率(精确到0．1) 解：（1）①历年春节旅游收入低于“五一”和“十一”旅游收入；
②黄金周旅游收入呈上升趋势。┉┉
（2）设平均每年增长的百分率为x ，则300（1＋x ）2
＝400，
解得：1x ＝－12x ＝－1，
所以，x ＝－10.155，
答：平均每年增长的百分率为15.5%。
7、已知x 1，x 2 是关于x 的方程（x －2）（x －m ）=（p －2）（p －m ）的两个实数根．
（1）求x 1，x 2 的值；
（2）若x 1，x 2 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m ，p 满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．
解：（1） 原方程变为：x 2
－（m + 2）x + 2m = p 2
－（m + 2）p + 2m ，
∴ x 2
－p 2
－（m + 2）x +（m + 2）p = 0， （x －p ）（x + p ）－（m + 2）（x －p ）= 0， 即 （x －p ）（x + p －m －2）= 0， ∴ x 1 = p ， x 2 = m + 2－p ． （2）∵ 直角三角形的面积为
)2(212121p m p x x -+==p m p )2(2
1
212++- =)]4)2(()22(
)2([212
22+-+++--m m p m p =8
)2()22(212
2+++--m m p ，
∴ 当2
2+=m p 且m ＞－2时，以x 1，x 2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为
8)2(2+m 或2
2
1p ．
一元二次方程跟与系数关系（韦达定理）的应用 一 教材分析 本节教学内容为“韦达定理的应用”，此内容是学生学习“一元二次方的根与系数的关系”中解决一些简单问题的重要方法。韦达定理联系了方程根与系数的关系，是学生在解决应用问题中的重要工具，具有广泛的应用价值，根据教材内容，由学生已知的认知结构及原由的知识水平，制定如下教学目标: 二 教学目标 1、巩固上一节学习的韦达定理，并熟练掌握韦达定理的应用。 2、提高学生综合应用能力 三 教学重难点 重点:运用韦达定理解决方程中的问题 难点:如何运用韦达定理 四 教学过程 (一 ) 回顾旧知，探索新知 上节课我们学习了韦达定理，我们回忆一下什么是韦达定理? 如果)0(02 ≠=++a c bx ax 的两个根是21,x x 那么a c x x a b x x =?- =+2121, {老师:由韦达定理我们可知，韦达定理表示方程的根与系数的关系，如果在方 程中遇到需要求解根的情况，我们是否能用韦达定理来解决呢?今天我们将来探讨这个问题。) (二) 举例分析 例 已知方程0652 =-+kx x 的一根是2，求它的另一根及k 的值。 请同学们分析解题方法: 思路:应用解方程的方法，带入法 解法一:把X=2代入方程求的K=-7 把K=-7代入方程:06752 =--x x 运用求根公式公式解得5 3,221- ==∴x x 提问:同学们还有没有其它方法呢? 启发学生，我们已知方程一根，求另一根，我们否能用韦达定理建立一个关系，求解方程。
解法二:设方程的两根为21,x x ，则21,2x x =是未知数 用韦达定理建立关系式 5 3 ,5622 2-=∴-=x x 7 ,5 3 ,27 ,5 2212-=-==∴-=∴-=+k x x k k x 对比分析，第二种方法更加简单 总结:在解方程的根时，利用韦达定理会使求解过程更为简单，且不用解方程，直接求某 些代数式的值 例2 不解方程，求一元二次方程2x 2＋3x －1＝0两根的 （1）平方和；（2）倒数和 方法小结: (1)运用韦达定理求某些代数式的值，关键是将所求的代数式恒等变形为用2121,x x x x ?+的代数式表示。 (2)格式、步骤要求规范: ①将方程的两根设为。 ②求出2121,x x x x ?+的值 。 ③将所求代数式用2121,x x x x ?+的代数式表示 。 ④ 将2121,x x x x ?+的值代人并求值。 三 综合运用 巩固新知 1、求一个一元二次方程，使它的两根分别是 解 ： 2、设 2 1,x x 是方程03422 =-+x x 的两根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。
一元二次方程根与系数的关系培优训练 例1．已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程0)1(4422=+-+m x m x 的两个非零实数根，问：1x 与2x 能否同号？若能同号请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。 例2．已知1x 、2x 是一元二次方程01442=++-k kx kx 的两个实数根。 （1）是否存在实数k ，使23)2)(2(2121- =--x x x x 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。 （2）求使 21221-+x x x x 的值为整数的实数k 的整数值。 例3.已知关于x 的一元二次方程 有两个相等的实数根。求证：（1）方程 有两个不相等的实数根； （2）设方程 的两个实数根为 ，若 ，则 .
例4.在等腰三角形ABC 中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知a=3，b和c是关于x的方程的两个实数根，求△ABC的周长． 例5．在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－2。这个方程的根应该是什么? 例6．已知x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1、x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，求常数p、q的值。
练习：1.先阅读下列第(1)题的解法，再解答第(2)题． (1)若α、β是方程x2-3x-5=0的两个实数根，求α2+2β2-3β的值； 解：∵α、β是方程x2-3x-5=0的两个实根， ∴α2-3α-5=0，β2-3β-5=0，且α+β=3． ∴α2=3α+5，β2=3β+5 ∴α2+2β2-3β=3α+5+2(3β+5)-3β=3α+3β+15=3(α+β)+15=24． (2)已知x 1、x 2 是方程x2+x-7=0的两个实数根，不解方程求的值． 2.已知关于X的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两实数根为α,β， 若ｓ＝1 α ＋ 1 β ，求ｓ的取值范围。 3．如果关于x的实系数一元二次方程x2+2(m+3)x+m2+3=0有两个实数根α、β，那么(α－1)2+(β－1)2的最小值是多少? 4．已知关于x的方程x2－(2a－1)x+4(a－1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。
z一元二次方程应用题经典题型汇总 一、增长率问题 例1恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率. 解设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）. 答这两个月的平均增长率是10%. 说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n. 二、商品定价 例2益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？ 解根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0， 解这个方程，得a1＝25，a2＝31. 因为21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去. 所以350－10a＝350－10×25＝100（件）. 答需要进货100件，每件商品应定价25元. 说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.
例3王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税） 解设第一次存款时的年利率为x. 则根据题意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理，得90x2+145x－3＝0. 解这个方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63.由于存款利率不能为负数，所以将x2≈－1.63舍去. 答第一次存款的年利率约是2.04%. 说明这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税. 四、趣味问题 例4一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？ 解设渠道的深度为x m，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m. 则根据题意，得(x+0.1+x+1.4+0.1)·x＝1.8，整理，得x2+0.8x－1.8＝0. 解这个方程，得x1＝－1.8（舍去），x2＝1. 所以x+1.4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5. 答渠道的上口宽2.5m，渠深1m. 说明求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.
一元二次方程解法及其经典练习题 方法一：直接开平方法（依据平方根的定义） 平方根的定义：如果一个数 的平方等于a （ ），那么这个数 叫做a 的平方根 即：如果 a x =2 那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式 一、 用直接开平方法解下列一元二次方程。 1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4．.25)1(412=+x 5．(2x ＋1)2=(x －1)2． 6．(5－2x )2=9(x ＋3)2． 7．.063)4(22 =--x 方法二：配方法解一元二次方程 1. 定义：把一个一元二次方程的左边配成一个 ，右边为一个 ，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 2. 配方法解一元二次方程的步骤：（1） （2） （3） 4) (5) 二、用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232=- 39642=-x x 、 4、0542=--x x 5、01322=-+x x 6、07232=-+x x
方法三：公式法 1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法 2.公式的推导：用配方法解方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0） 解：二次项系数化为1，得 ， 移项 ，得 ， 配方, 得 ， 方程左边写成平方式 ， ∵a ≠0,∴4a 2 0,有以下三种情况： （1）当b 2-4ac>0时，=1x ， =2x （2）当b 2-4ac=0时，==21x x 。 （3）b 2-4ac<0时，方程根的情况为 。 3.由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因 （1）式子ac b 42-叫做方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）根的 ，通常用字母 “△” 表示。当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根； 当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根； 当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 实数根。 （2）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c = 0，当ac b 42-≥0时，?将a 、b 、c 代入式子=x 就得到方程的根．这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 4.公式法解一元二次方程的步骤：（1） （2） （3） （4） （5） 二、用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、22 314y y -= 3、y y 32132=+
一元二次方程的解法与韦达定理 【知识提要】1.一元二次方程你知道有哪些常用解法 2.还记得如何用配方法解方程吗配方时需要注意些什么 3.韦达定理是什么你能推导吗使用韦达定理的前提条件是什么 【典型例题】 例1 （1）一元二次方程的一般形式是____ ___.其解为1x =_ ______,2x =__ _____. （2）将方程x x 2)1(2=+化成一般形式为___ _______.其二次项是__________， 一次项是__________，常数项是_________. — 例2 用配方法解下列方程 (1)0152=-+x x (2)01422=+-x x (3)0364 12=+-x x 例3 用公式法解下列各方程 (1)01252=-+x x (2)061362=++y y (3)7962=++x x ! 例4 用因式分解法解下列方程 (1)022=+x x (2)22)12()1(-=+x x (3)4122=+-x x 例5 用适当方法解方程： 《 (1)x x 322=+ (2)232+=x x (3)02)3(2 =-+y (4) )2(3)2)(1(2+=++x x x x （5）)3(215)3(2 +-=+x x （6）01242=-+x x （7）0)12(532=++x x {
根与系数关系式 一、填空题与选择题： 1、一元二次方程0132=--x x 与032=--x x 的所有实数根的和等于____. 2、已知关于x 的方程0142=-+-k x x 的两根之差等于6，那么=k ______ 3、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ） A 、、3 C 、6 D 、9 ， 4、已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程048142=+-x x 的一根, 则这个三角形的周长为 ( ) 或19 二、解答题： 5、设21,x x 是一元二次方程01522=+-x x 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： （1）)3)(3(21--x x ； （2）2221)1()1(+++x x - （3）)31)(31(1221x x x x ++ 6、已知关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比它们的积大21，求m 的值. 《
集合期末复习题12.26 姓名 班级________________ 一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=-的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2 |20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A=}{ 12x x <<，B=}{ x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A }{ 2a a ≥ B }{1a a ≤ C }{1a a ≥ D }{ 2a a ≤ 9、 满足条件M U }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈， {}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 二、填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={} 22,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={}5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 15、已知集合A={x|20x x m ++=}, 若A ∩R=?，则实数m 的取值范围是 16、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人， 化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人.
一元二次方程应用题 1、某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ 解：设没件降价为x，则可多售出5x件，每件服装盈利44-x元， 依题意x≤10 ∴(44-x)(20+5x)=1600 展开后化简得：x2-44x+144=0 即(x-36)(x-4)=0 ∴x=4或x=36(舍) 即每件降价4元 2.游行队伍有8行12列，后又增加了69人，使得队伍增加的行、列数相同，增加了多少行多少列？ 解：设增加x (8+x)(12+x)=96+69 x=3 增加了3行3列 3.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现：单价每千克70元时日均销售60kg；单价每千克降低一元,日均多售2kg。在销售过程中,每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时,按一天计算）.如果日均获利1950元,求销售单价关系式 解: (1)若销售单价为x元,则每千克降低了(70-x)元,日均多售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元. 依题意得: y=(x-30)[60+2(70-x)]-500 =-2x^2+260x-6500 (30<=x<=70) (2)当日均获利最多时：单价为65元，日均销售量为60+2（70-65）＝70kg，那么获总利为1950*7000/70＝195000元,当销售单价最高时：单价为70元，日均销售60kg，将这批化工原料全部售完需7000/60约等于117天,那么获总利为（70-30）*7000-117*500＝221500 元,而221500>195000时且221500-195000=26500元. ∴销售单价最高时获总利最多,且多获利26500元. 4.现有长方形纸片一张，长19cm，宽15cm，需要剪去边长多少的小正方形才能做成底面积为77平方cm的无盖长方形的纸盒？ 解：设边长x 则(19-2x)(15-2x)=77 4x^2-68x+208=0 x^2-17x+52=0
1、韦达定理（根与系数的关系） 韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 1212,b c x x x x a a +=-= 说明：定理成立的条件0?≥ 练习题 一、填空： 1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = . 2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = . 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = . 6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 . 7、以13+，13-为根的一元二次方程是 . 8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 . 9、以23+和23-为根的一元二次方程是 . 10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 . 11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += . 12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 . 13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = . 14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .
一元二次方程应用题精选 一、数字问题 1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。 2、一个两位数，十位数字与个位数字之和是6，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是1008，求这个两位数． 二、销售利润问题 3、某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增 加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求： （1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案． 4.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家 电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？ 5.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?
三、平均变化率问题增长率 （1）原产量+增产量=实际产量． （2）单位时间增产量=原产量×增长率． （3）实际产量=原产量×（1+增长率）． 6. 某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？ 7. 某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两个降价的百分数相同，求每次降价百分之几？ 四、形积问题 8、有一块长方形的铝皮，长24cm、宽18cm，在四角都截去相同的小正方形，折起来做成一个没盖的盒子，使底面积是原来面积的一半，求盒子的高． 9、如图，在一块长为32m，宽为20m长方形的土地上修筑两条同样宽度的道路，余下部分作为耕地要使耕地的面积是540m2，求小路宽的宽度．
初中数学竞赛：韦达定理 一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。 韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在： 运用韦达定理，求方程中参数的值； 运用韦达定理，求代数式的值； 利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。 韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。 韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。 【例题求解】 【例1】 已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 。 思路点拨：所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例 【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么 b a a b +的值为( ) A 、22123 B 、22125或2 C 、22125 D 、22123或2 思路点拨：可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。 注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧： (1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。 【例3】 已知关于x 的方程：04)2(2 2 =---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。 (2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x 。 思路点拨：对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手。 【例4】 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值?并求出这个最小值。
用因式分解法解一元二次方程 一.公因式： （一）1.解方程 x2-5x=0 x(x-1)=0 3x2=6x x2-5x=7x t(t＋3)＝28 x2＝7x x2＋12x＝0(1＋2)x2－(1－2)x＝0 (3－y)2＋y2＝9 （二）1.解方程 4x(x+3)+3(x+3)=0 3x(x+1)+4(x+1)=0 (2x＋1)2＋3(2x＋1)＝0 x(x－5)＝5－x (2t＋3)2＝3(2t＋3) 二、平方差,解方程： (x+5)(x-5)=0 x2-25=0 4x2－1＝0 (x－2)2＝256 0 1 92x 三、十字交叉,解方程： 4x2-4x+1=0 (x+3)(x+2)=0 x2-5x+6=0 x2-2x-3=0 x2－4x－21＝0 (x－1)(x＋3)＝12 3x2＋2x－1＝0 (x－1)2－4(x－1)－21＝0 5x2－(52＋1)x＋10＝0 四、完全平方,解方程： x2-6x+9=04X2-4X+1=0 (Y-1)2+2(Y-1)+1=0 五、三角形的一边长为10，另两边长为方程x2-14x+48=0的两个根，求三角形的周长？ 六、解关于x的方程(1)x2－2mx－8m2＝0；(2)x2＋(2m＋1)x＋m2＋m＝0 七、6．已知x2＋3xy－4y2＝0(y≠0)，试求 y x y x 的值 八、已知(x2＋y2)(x2－1＋y2)－12＝0．求x2＋y2的值． 九、已知x2＋3x＋5的值为9，试求3x2＋9x－2的值 十、一跳水运动员从10米高台上跳水，他跳下的高度h(单位：米)与所用的时间t(单位：秒)的关系式h＝－5(t－2)(t＋1)．求运动员起跳到入水所用的时间．
一元二次方程根与系数的关系 培优训练 欧阳光明（2021.03.07） 例1．已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程0)1(4422=+-+m x m x 的两个非零实数根，问：1x 与2x 能否同号？若能同号请求出相应的 m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。 例2．已知1x 、2x 是一元二次方程01442=++-k kx kx 的两个实数根。 （1）是否存在实数k ，使23)2)(2(2121-=--x x x x 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。 （2）求使21221-+x x x x 的值为整数的实数k 的整数值。 例3.已知关于x 的一元二次方程 有两个相等的实数根。求证：（1）方程 有两个不相等的实数根； （2）设方程 的两个实数根为 ，若 ，则 . 例4.在等腰三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a=3，b 和c 是关于x 的方程 的两个实数根，求△ABC 的周长．
例5．在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－2。这个方程的根应该是什么? 例6．已知x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1、x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，求常数p、q的值。 练习：1.先阅读下列第(1)题的解法，再解答第(2)题． (1)若α、β是方程x2-3x-5=0的两个实数根，求α2+2β2-3β的值； 解：∵α、β是方程x2-3x-5=0的两个实根， ∴α2-3α-5=0，β2-3β-5=0，且α+β=3． ∴α2=3α+5，β2=3β+5 ∴α2+2β2-3β=3α+5+2(3β+5)- 3β=3α+3β+15=3(α+β)+15=24． (2)已知x1、x2是方程x2+x-7=0的两个实数根，不解方程求 的值． 2.已知关于X的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两 实数根为α,β，若ｓ＝1 α ＋ 1 β ，求ｓ的取值范围。 3．如果关于x的实系数一元二次方程x2+2(m+3)x+m2+3=0有两个实数根α、β，那么(α－1)2+(β－1)2的最小值是多少? 4．已知关于x的方程x2－(2a－1)x+4(a－1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角形的面 积。
一元二次方程练习题 1. 用直接开平方法解下列方程： （1）2225x =； （2）2 1440y -=． 2. 解下列方程： （1）2 (1)9x -=； （2）2 (21)3x +=； （3）2 (61)250x --=． （4）2 81(2)16x -=． 3. 用直接开平方法解下列方程： （1）25(21)180y -=； （2）21 (31)644 x +=； （3）2 6(2)1x +=； （4）2 ()(00)ax c b b a -=≠，≥ 4. 填空 （1）28x x ++（ ）=（x + ）2 ． （2）22 3x x - +（ ）＝（x - ）2． （3）2b y y a -+（ ）＝（y - ）2 ． 5. 用适当的数（式）填空： 23x x -+ (x =- 2)； 2x px -+ ＝(x - 2) 23223(x x x +-=+ 2)+ ． 6. 用配方法解下列方程
1）．210x x +-= 2）．23610x x +-= 3）．21 (1)2(1)02 x x ---+= 7. 方程22 103 x x - +=左边配成一个完全平方式，所得的方程是 ． 8. 用配方法解方程． 23610x x --= 22540x x --= 9. 关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ，2x = ． 10. 关于x 的方程22220x ax b a +-+=的解为 11. 用配方法解方程 （1）210x x --=； （2）23920x x -+=． 12. 用适当的方法解方程 （1）2 3(1)12x +=； （2）2 410y y ++=； （3）2884x x -=； （4）2 310y y ++=． 13. 已知关于x 的一元二次方程2 2 (21)10m x m x +-+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ．
韦达定理练习 1、已知关于x的一元二次方程x+x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 5、已知x 1、x2是方程x+6x+3=0的两个实数根，则 6、如果关于x的一元二次方程x﹣6x+c=0没有实根，那么c 的取值范围是 _________ 、 7、已知关于x的一元二次方程x+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值是 8、方程x﹣2x﹣1=0的两个实数根分别为x1，x2，则= _________ 、 9、已知α，β是一元二次方程x﹣4x﹣3=0的两实数根，则代数式= _________ 、 10、已知x=2是方程x+mx﹣2=0的一个解，则方程的另一个解为 11、用指定的方法解方程 22﹣25=0 x+4x﹣5=0 [1**********]的值等于 ﹣10+25=04）2x﹣7x+3=0 12、+3+2=0 13、已知关于x的一元二次方程x+2x+m=0、
当m=3时，判断方程的根的情况； 当m=﹣3时，求方程的根、 14、当实数k为何值时，关于x的方程x﹣4x+3﹣k=0有两个相等的实数根？并求出这两个相等的实数根、 15、阅读材料：如果x1，x2是一元二次方程ax+bx+c=0的两根，那么有x1+x2=﹣，x1x2=、这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例x1，x2是方程x+6x﹣3=0的两根，求222222x1+x2的值、解法可以这样：∵x1+x2=6，x1x2=﹣3则x1+x2=﹣2x1x2﹣2×= 42、 请你根据以上解法解答下题：已知x1，x2是方程x﹣4x+2=0的两根，求： 的值； 222222222的值、 16、已知x1，x2是方程3x+2x﹣1=0的两根，求x1+x2的值、 17、已知关于x的一元二次方程x+kx﹣1=0， 求证：方程有两个不相等的实数根； 设方程的两根分别为x1，x2，且满足x1+x2=x1?x2，求k的值、 18、已知x 1、x2是一元二次方程2x﹣2x+1﹣3m=0的两个实数根，且x
1：某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ 解：设没件降价为x，则可多售出5x件，每件服装盈利44-x元， 依题意x≤10 ∴(44-x)(20+5x)=1600 展开后化简得：x2-44x+144=0 即(x-36)(x-4)=0 ∴x=4或x=36(舍) 即每件降价4元 要找准关系式 2.游行队伍有8行12列，后又增加了69人，使得队伍增加的行·列数相同，增加了多少行多少列？ 解：设增加x (8+x)(12+x)=96+69 x=3 增加了3行3列 3.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现：单价每千克70元时日均销售60kg；单价每千克降低一元,日均多售2kg。在销售过程中,每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时,按一天计算）.如果日均获利1950元,求销售单价 解: (1)若销售单价为x元,则每千克降低了(70-x)元,日均多售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元. 依题意得: y=(x-30)[60+2(70-x)]-500 =-2x^2+260x-6500 (30<=x<=70) (2)当日均获利最多时：单价为65元，日均销售量为60+2（70-65）＝70kg，那么获总利为1950*7000/70＝195000元,当销售单价最高时：单价为70元，日均销售60kg，将这批化工原料全部售完需7000/60约等于117天,那么获总利为（70-30）*7000-117*500＝221500 元,而221500>195000时且221500-195000=26500元. ∴销售单价最高时获总利最多,且多获利26500元.
- 1 - 解一元二次方程练习题(配方法) 步骤：（1）移项； （2）化二次项系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． 1．用适当的数填空： ①x 2+6x+ =（x+ ）2；② x 2－5x+ =（x － ）2； ③x 2 + x+ =（x+ ）2 ；④ x 2 －9x+ =（x － ）2 2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______． 4．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2 =b 的形式为_______，?所以方程的根为_________． 5．若x 2 +6x+m 2 是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 6．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ） A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-1 7．把方程x+3=4x 配方，得（ ） A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=2 8．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ） A ．2 B ．-2 C ． D ． 9．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（ ） A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数 10．用配方法解下列方程： （1）3x 2 -5x=2． （2）x 2 +8x=9 （3）x 2 +12x-15=0 （4）4 1 x 2-x-4=0 （5）6x 2-7x+1=0 （6）4x 2-3x=52 11.用配方法求解下列问题 （1）求2x 2-7x+2的最小值 ；（2）求-3x 2+5x+1的最大值。 12．将二次三项式4x 2－4x+1配方后得（ ） A ．（2x －2）2+3 B ．（2x －2）2－3 C ．（2x+2）2 D ．（x+2）2－3 13．已知x 2－8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式， 其中正确的是（ ） A ．x 2－8x+（－4）2=31 B ．x 2－8x+（－4）2=1 C ．x 2+8x+42=1 D ．x 2－4x+4=－11 14．已知一元二次方程x 2－4x+1+m=5请你选取一个适当的m 的值，使方程能用直接开平方法求解，并解这个方程。 （1）你选的m 的值是 ；（2）解这个方程． 15．如果x 2－4x+y 2 ，求（xy ）z 的值
一、韦达定理 如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是21,x x ， 那么a c x x a b x x =?- =+2121, 二、练习 1、若方程2x +(2 a －2)x －3=0的两根是1和－3，则实数a = __________ 2、设21,x x 是方程22x －6x ＋3＝0的两根，则2221x x +的值是（ ） （A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）3 3、不解方程，求一元二次方程2x 2＋3x －1＝0两根的（1）平方和；（2）倒数和。 4、设21,x x 是方程03422 =-+x x 的两根，利用根及系数的关系，求下列各式的值。 (1) ()()1121++x x (2) ()221x x - (3) 2 112x x x x + 5、求一个一元二次方程，使它的两根分别是25,310- 。 6、以方程2x ＋2x －3＝0的两个根的和及积为两根的一元二次方程是（ ） （A ） 2y +5y －6 = 0 （B ）2y +5y ＋6 = 0 （C ）2y －5y ＋6 = 0 （D ）2y －5y －6 = 0 7、已知方程0652=-+kx x 的一根是2，求它的另一根及k 的值。 8、已知关于x 的方程102x －(m+3)x + m －7= 0 ①若有一个根为0，则m=_________ ，这时，方程的另一个根是_________ ； ②若两根之和为53- ，则m=_________ ，这时方程的两个根分别为_____，_____。 8、已知方程032=+-m x x 的两根差的平方是17，求m 的值。 9、已知关于x 的二次方程x 2－2(a －2)x+a 2－5=0有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，求a 的值。 10、如果α和β是方程2x2+3x －1=0的两个根，利用根及系数关系，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别等于βα1+ 和αβ1+。 巩固练习：
★中考真题精练 1．（2014·玉林）、是关于的一元二次方程的两个实数根，是否存在实数使成立？则正确的结论是（A） A．时成立B．时成立 C．或2时成立D．不存在 2．（2014·呼和浩特）已知函数的图象在第一象限的一支曲线上有一点A（a，c），点B（b，c+1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程的两根、判断正确的是（C） A．，B．， C．，D．与的符号都不能确定 3．（2015·泸州）设、是一元二次方程的两实数根，则的值为27． 4．（2015·江西）已知一元二次方程的两根是m，n，则= 25． 5．（2014·德州）方程的两个实数根、满足，则k的值为1． 6．（2014·济宁）若一元二次方程的两个根分别是与，则= 4 ． 7．已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是原方程的两根，且，求m的值． （1）证明：△== =． 无论m取何值，，即． ∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）由韦达定理，得，， ∴= =，而， ∴，即， ∴或． 8．已知关于x的方程有两个实数根、． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 解：（1）由已知，得，即 ，∴． （2）∵，∴，∴． 而，， ∴，即， ∴或．而，∴． 9．请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，∴．
把代入已知方程，得，化简，得． 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读村料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）： （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为己知方程根的相反数，则所求方程为：； （2）己知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是己知方程根的倒数． 解：（1）设所求方程的根为y，则，∴． 把代入已知方程，得，∴所求方程为； （2）设所求方程的根为y，则（）， ∴（） 把代入方程，得，∴． 若，有，∴方程有一个根为0，不符合题意，∴． ∴所求方程为（）． 10．（2014?孝感）已知关于x的方程有两个不相等的实数根、． （1）求k的取值范围； （2）试说明，； （3）若抛物线与x轴交于A、B两点，点A、点B到原点的距离分别为OA、OB，且 ，求k的值． 解：（1）由题意，得，即 ，解得． （2）∵，∴， 而，∴，． （3）由题意，不妨设A（，0），B（，0）． ∴OA+OB=， ． ∵，∴， 解得或．而，∴．
实际问题与一元二次方程（3） 教学目标： 1、会列一元二次方程解应用题; 2、进一步掌握解应用题的步骤和关键; 3、通过一题多解使学生体会列方程的实 质，培养灵活处理问题的能力. 教学重点：列方程解应用题. 教学难点：会用含未知数的代数式表示题目里的中间量（简称关 系式）；会根据所设的不同意义的未知数，列出相应的方程。 教学过程： 一、复习引入 1、上一节，我们学习了解决“平均增长(下降)率问题”，现在，我们要学习解决“面积、体积问题。 2．直角三角形的面积公式是什么？?一般三角形的面积公式呢？ 3．正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？ 4．梯形的面积公式是什么？ 5．菱形的面积公式是什么？ 6．平行四边形的面积公式是什么？ 7．圆的面积公式是什么？ 二、探究： 要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何 设计四周边衬的宽度？ 解法一: 分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的矩形两 边之比也为9:7 设正中央的矩形两边分别为9xcm ，7xcm 依题意得 解得 故上下边衬的宽度为: 2331=x ),(2332舍去不合题意-=x 21274379??=?x x 8.143275422339272927≈-=?-=-x
左右边衬的宽度为: 解法二: 分析:这本书的长宽之比是9:7,正中央的矩形两边之比也为9:7,由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为9:7 设上下边衬的宽为9xcm ，左右边衬宽为7xcm 依题意得 解方程得 (以下同学们自己完成) 三、例题讲解： 用20cm 长的铁丝能否折成面积为30cm 2的矩形,若能够,求它的长 与宽;若不能,请说明理由. 解:设这个矩形的长为x cm,则宽为 cm, 即 x 2-10x+30=0 这里a=1,b=－10,c=30 ∴此方程无解. ∴用20cm 长的铁丝不能折成面积为30cm 2的矩形. 四、学生练习： 1.如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米? 2.如图,长方形ABCD,AB=15m,BC=20m, 四周外围环绕着宽度相等 4.14 3214222337212721≈-=?-=-x 212743)1421)(1827(??=--x x 4336±=x )220(x -30)220(=-x x 0 203014242)10(<-=??-=-∴-ac b