正弦定理练习（参考答案）
一、选择题. 1. C 【解析】
21bc sin A = 163，∴ sin A =2
1，A = 30° ，或 150° . 2. D 【解析】
b a =3sin 2A ，∴ 3
sin 2sin sin A B A =
，∴ sin B =23，∴ B =3π，或32π. 3. C 【解析】 ①sin (A + B )+ sin C = 2sin C ，不一定为常数. ②cos (B + C )+ cos A = - cos A + cos A = 0，
③tan ???
? ??+2B A tan 2C = tan ??? ??
-?290C tan 2C = cot 2C tan 2C = 1. ∴ ②和③为常数.
4. C 【解析】 A = B ?sin A = sin B ，若sin A = sin B ，又∵ A + B ＜π，∴ A = B.
5. C 【解析】 原式可化为 a 2
+ ab + b 2
- c 2
= 0，∴ cos C =ab c b a 2222-+= -2
1
，∴ C ＝120°.
6. C 【解析】 ①∵ b sin A = 10×sin 30° = 5，且4＜5，∴ △ABC 不存在. ②∵ b sin A = 10×sin 30° = 5，且5＜6＜10，∴ △ABC 有两解. 错误！未找到引用源。∵ ∠A = 150° 且a ＜b ， ∴ △ABC 不存在. ④∵ ∠A = 150° 且a ＞b ，∴ △ABC 有一解.
⑤ 由已知，得∠C = 105°，当??
?
??b c a c ＞,
＞时，各边有正数解，∴ △ABC 有一解，∴ ④⑤符合题条件.
7. B 【解析】 sin (A + B )sin (A - B )= sin 2 C ，∴ sin C sin (A - B )= sin 2 C . ∵ C ∈(0，π)，∴ sin (A - B )= sin C = sin (A + B ). ∴ sin A cos B - cos A sin B = sin A cos B+ cos A sin B ， ∴ cos A sin B = 0，∴ A =2
π
，∴ △ABC 为直角三角形.
8. A 【解析】 ∵ 2b = a + c ，∴ 4b 2
= a 2
+ c 2
+ 2ac ，∴ cos B =ac b c a 2222-+= 1 +ac
b 232
.
∴ 2b = a + c ≥2ac ，∴ ac ≤b 2，∴ cos B ≥
23
- 1=21，∴ B ∈ ????
?3π 0，.
9. A 【解析】 cos A cos B = cos (120o- B )cos B =(-2
1
cos B +23sin B )cos B
= -
41(1 + cos 2B )+43sin 2B =21sin (2B - 30o)-4
1
，
∵ B ∈(0o，120o)，∴ -30°＜2B - 30°＜210°，∴ 由图象知cos A cos B ∈??
?
???-41 21，.
10. C 【解析】 由题知21ab sin C =41(a 2 + b 2 - c 2
)，∴ sin C =ab c b a 2222-+= cos C ，∴ C =4
π.
二、填空题. 1. -4
1
.【解析】 因为sin A : sin B : sin C = a : b : c = 2 : 3 : 4，所以设 a = 2k ，b = 3k ，c = 4k . cos C =ab c b a 2222-+=32216
94??-+= -41.
2. 等腰.【解析】 ∵ sin A = sin (B + C )= 2sin C cos B ，∴ sin B cos C + cos B sin C = 2 sin C cos B ， ∴tan B = tan C ，∵ B ，C ∈(0，π)，∴ B = C ，即为等腰三角形.
3. 46；26.【解析】 ∵ cos α =542495422??-+= -51，∴ sin α =
5
2
6，∴ S =
21
×4×5×5
26= 46.
∵ 642)754(=?++r ，∴ 2
6
=r . 4.
2
1.【解析】 ∵ C + A = 2B ，∴ B =3π。设A =3π- x ，C =3π
+ x ，则
cos 2 A + cos 2 C = cos 2（
3π- x ）+ cos 2（3π+ x ）=（21cos x +23sin x ）2 +（2
1
cos x -23sin x ）2
=21cos 2 x+23sin 2 x =21+ sin 2 x ≥2
1.
5. 【解析】 ?
=
?30sin 45sin BC
AC ，BC =21×2×60 = 302.
6. 40°.【解析】 )
sin(sin C B BC
C AB +=， ∴ BC =?
+?50sin )50sin(B l ≤?50sin l
，∴ sin (50° + B )= l 时，BC 最长，此时 B = 40°.
三、解答题.
1. 【解】在△ABC 中，∠BAD = 150o- 60o= 90o，∴ AD = 2sin 60o =3. 在△ACD 中，AC 2 =(3)2＋12－2×3×1×cos150o= 7，∴ AC =7. ∴ AB = 2cos 60° = 1，S △ABC =2
1×1×3×sin60°=343
.
2. 【解】由A + B + C = 180°，A = 45°，可得 B = 60°，C = 75°.由正弦定理，R =?
75sin 210
= 5(6－2).
由面积公式，S =21bc sin A = 2
1c · 2R sin B sin A = 75－253.
3. (1)【解】由2
7
2cos 2sin 42
=-+A C B 及A + B + C = 180°
，得2［1-cos (B + C )］-2cos 2 A + 1 =27， ∴ 4(1 + cos A )- 4cos 2 A = 5，即4 cos 2 A - 4cos A + 1= 0，∴ cos A =
2
1
，∵ 0°＜A ＜180°，∴ A = 60°. (2)【解】由余弦定理，得bc a c b A 2cos 222-+=，∵ cos A =21
，∴ bc a c b 2222-+=21，∴ (b + c )2 - a 2 = 3bc .
将a =3，b + c = 3代入上式，得bc = 2，由?????==+，，23bc c b 得??
?
??==21c b ，
或
??
?
?
?==.12c b ，
4.【解】如图，过点B 作BD ⊥AE 且交AE 于D . 由已知，AC = 8，∠ABD = 75o，∠CBD = 60o. 在Rt △ABD 中，AD = BD · tan ∠ABD = BD · tan 75o. 在Rt △CBD 中，CD = BD · tan ∠CBD = BD · tan 60o. ∴ AD - CD = BD (tan 75o- tan 60o)= AC = 8， ∴ BD =
?
-?60tan 75tan 8
= 4＞3.8.
∴ 该军舰没有触礁的危险.
111正弦定理第1课时https://www.doczj.com/doc/8816694085.html,work Information Technology Company.2020YEAR
1.1.1 正弦定理（第1课时） 湖北省天门中学胡圣兵 一、教学设计 1、教学内容解析 本节课作为正弦定理的第一课时，主要包括章引言、正弦定理的发现、探索、证明和简单应用。正弦定理与初中学习的三角形的边角关系有着密切的联系，是解三角形的重要工具之一，既是三角函数知识的应用。又是初中解直角三角形内容的直接延伸，在日常生活、工业生产、天文、航海、航天、测量等领域中都有着广泛应用，对培养学生应用教学的意识起到重要作用。本节课让学生从已有的知识出发，通过探究得到正弦定理的内容，并能运用正弦定理解题。 根据以上分析，本节课的教学重点确定为：正弦定理的探索发现及其初步应用。 2、学生学情诊断 学生在初中已经学习了解直角三角形的内容，在必修四中又学习了三角函数的基础知识和平面向量的有关内容，对解直角三角形、三角函数、平面向量已形成初步的知识框架，这就为探索任意三角形的边角关系提供了基础。学生的困难在于如何将直角三角形中的正弦定理迁移到斜三角形中，特别是用向量的方法证明正弦定理的思路也是学生难以想到的。 根据以上分析，本节课的教学难点确定为：正弦定理的探索和证明。 3、教学目标设置
（1）知识与技能目标：掌握正弦定理的内容及证明；能初步应用正弦定理解题。 （2）过程与方法目标：使学生懂得认识事物有一个逐步深入的过程，对于三角形的边角关系从定性分析上升到定量分析；了解从特殊到一般的归纳方法以及分类讨论解决问题的方法。 （3）情感、态度和价值观目标：通过对正弦定理的探究发现的过程，培养学生的探索精神和创新意识；通过对正弦定理在各个领域中应用的了解，体会数学的科学价值、应用价值，进而领会数学的人文价值、美学价值，激发对数学的情感，培养学习数学的兴趣，不断提高自身的文化素质。4、教学策略分析 本节课将以学生熟悉的生活实例，创设问题情境，带领学生进入解三角形内容的学习，激起学生的求知欲；在正弦定理的探究过程中，采用从直角三角形出发，通过学生的合作交流，得到任意三角形中的结论，并让学生归纳整理，完成正弦定理的再创造过程，用向量的方法，几何的方法证明正弦定理，分层递进，逐步深入探究，让学生在不断的猜想与解决中体会合作的乐趣。从而熟悉正弦定理的内容，并能初步应用。在教学中采用多媒体辅助教学，使得信息技术与教学内容的整合过程完美自然，课堂容量大而不失层次。 教学流程：
正弦定理练习含答 案
课时作业1 正弦定理 时间：45分钟 满分：100分 课堂训练 1．(2013·湖南理，3)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A.π 12 B.π 6 C.π4 D.π3 【答案】 D 【解析】 本题考查了正弦定理由a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝3 2， ∴∠A ＝π 3. 2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知∠A ＝π 3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( ) A ．1 B ．2 C.3－1 D. 3 【答案】 B 【解析】 由正弦定理a sin A ＝b sin B ， 可得3sin π3＝1sin B ，sin B ＝12， 故∠B ＝30°或150°，
由a >b ，得∠A >∠B . ∴∠B ＝30°，故∠C ＝90°， 由勾股定理得c ＝2，故选B. 3．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝5 6π，BC ＝1，则AB ＝________. 【答案】 102 【解析】 ∵tan A ＝13，且A 为△ABC 的内角，∴sin A ＝10 10.由正弦定理得AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin 56π 1010 ＝10 2. 4．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的周长． 【分析】 本题是已知两边及其一边所对的角，要求其周长，自然要考虑去寻求第三边BC ，但BC 的对角∠A 未知，只知道∠B ，可结合条件由正弦定理先求出∠C ，再由三角形内角和定理求出∠A . 【解析】 由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝32. ∵AB >AC ，∴∠C >∠B ， 又∵0°<∠C <180°，∴∠C ＝60°或120°. (1)如图(1)，当∠C ＝60°时，∠A ＝90°，BC ＝4，△ABC 的周长为6＋23；
教学准备 教学目标 1. 知识目标：理解并掌握正弦定理，能初步运用正弦定理解斜三角形；技能目标：理解用向量方法推导正弦定理的过程，进一步巩固向量知识，体现向量的工具性情感态度价值观：培养学生 在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力； /难点教学重点2. 重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判 断解的个数。教学用具 3. 多媒体标签 4. 正弦定理 教学过程 讲授新课在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角 根据锐BC=a,AC=b,AB=c, ABC．与边的等式关系。如图11-2，在Rt中，设角三角函数中正弦函数的定义，有 . ，又，则，中，ABC从而在直角三角 形．
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： ，根上的高是CDABC1（证法一）如图．1-3，当是锐角三角形时，设边AB CD=据任意角三角函数的定义，有，则. . 同理可得，从而
是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后ABC类似可推出，当自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 ] 理解定理[）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系 数为同1 （ ；使一正数，即存在正数k，，
等价于2（），，。从而知正弦定理的基本作用为： ；①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 . 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。． 评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。 2（1）题。）、（页练习第第随堂练习[]511
正弦定理练习题 1．在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 6 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 D.323 3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) A ．1 B.12 C ．2 D.14 4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( ) A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对 5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A. 6 B ．2 C. 3 D. 2 6．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定 7．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 8．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3 ，则A ＝________. 9．在△ABC 中，已知a ＝433 ，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 10．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 11．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解． 12 . 判断满足下列条件的三角形个数 （1）b=39,c=54,? =120C 有________组解 （2）a=20,b=11,?=30B 有________组解 （3）b=26,c=15,?=30C 有________组解 （4）a=2,b=6,?=30A 有________组解 正弦定理 1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 6 解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin B sin A ＝ 6. 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 D.323 解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝4 6. 3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )
正 余 弦 定 理 1.在ABC ?中，A B >是sin sin A B >的 （ ） Ａ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 Ｄ.既不充分也不必要条件 2、已知关于x 的方程2 2 cos cos 2sin 02 C x x A B -?+=的两根之和等于两根之积的一半， 则ABC ?一定是 ( ) （A)直角三角形(Ｂ）钝角三角形(C ）等腰三角形（Ｄ)等边三角形. 3、 已知ａ,ｂ，ｃ分别是△ABC 的三个内角A,B,Ｃ所对的边，若a=１,b=3, A ＋C=2Ｂ,则ｓinC= . 4、如图,在△AB Ｃ中，若b = 1,c =3，23 C π ∠=,则a= 。 5、在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别为a ，b ,ｃ，若2a =,2b =，sin cos 2B B +=, 则角A 的大小为 ． ６、在?ABC 中,,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且2 7 4sin cos 222 B C A +-= （1）求A ∠的度数 (２）若3a =,3b c +=，求b 和c 的值 ７、 在△A ＢＣ中已知acosB=b ｃosA,试判断△ABC 的形状. 8、如图，在△ABC 中，已知3= a ，2= b ，B=45? 求Ａ、Ｃ及 c . 1、解:在ABC A B ?>中，2sin 2sin sin sin a b R A R B A B ?>?>?>,因此，选C ． 2、【答案】由题意可知：211cos cos cos 2sin 222 C C A B -= ??=，从而2cos cos 1cos()1cos cos sin sin A B A B A B A B =++=+- A B 3 23 π
正弦定理和余弦定理 高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查． 学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合． 1． 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝ c 2R 等形式，解决不同的三角形问题． 2． 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形： cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2 (a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、 r . 4． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： [1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC ；在锐角三角形中，cos A 《解三角形》 一、 正弦定理：sin sin sin a b c A B C ===2R 推论：(1) ::sin :sin :sin a b c A B C = (2) a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC (3) sin =,sin =,sin = 222a b c A B C R R R 1. 在△中，若，则= 2. 在△中，a =b=6, A=300 ,则B= 3. 【2013山东文】在中，若满足，，，则 4.【2010山东高考填空15题】在△ABC 中a ，b=2，sinB+cosB ，则A=？ 5.【2017全国文11】△ABC 中，sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c ，则C =？ 6. 在△ABC 中, C =90o , 角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c.则 a b c +的取值范围是？ 二、余弦定理：222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-? 推论 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=?? +-?=???+-= ?? 1. 在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，求cos C 的值 2. 在△ABC 中，若则A= 3. 【2012上海高考】在中，若，则的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 4.【2016山东文科】ABC △中角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ，,b c = 22 2(1sin )a b A =-, 则A =? （A ）3π4 （B ）π3 （C ）π4 （D ）π6 第1课时 正弦定理 A 级 基础巩固 一、选择题 1．在△ABC 中，已知2B ＝A ＋C ，则B ＝( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 解析：由2B ＝A ＋C ?3B ＝A ＋B ＋C ＝180°，即B ＝60°. 答案：C 2．在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3 D.32 解析：利用正弦定理解三角形． 在△ABC 中，AC sin B ＝BC sin A ， 所以AC ＝BC ·sin B sin A ＝32×223 2 ＝2 3. 答案：B 3．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( ) A ．－223 B.223 C ．－63 D.63 解析：利用正弦定理：a sin A ＝b sin B ，1532 ＝10sin B ，所以sin B ＝33 ，因为大边对大角(三角形中)，所以B 为锐角，所以cos B ＝1－sin 2 B ＝63 . 答案：D 4．在△ABC 中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是( ) A ．a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C B ．a ＝b ?sin 2A ＝sin 2B C.a sin A ＝b ＋c sin B ＋sin C D ．正弦值较大的角所对的边也较大 解析：在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，故a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ，故A 正确． 当A ＝30°，B ＝60°时，sin 2A ＝sin 2B ，此时a ≠b ，故B 错误． 根据比例式的性质易得C 正确． 大边对大角，故D 正确． 答案：B 5．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 解析：由正弦定理得：a sin A ＝b sin B ＝2R ， 由a ＝b sin A 得： 2R sin A ＝2R sin B ·sin A ， 正 余 弦 定 理 1．在ABC ?中，A B >是sin sin A B >的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2、已知关于x 的方程2 2 cos cos 2sin 02 C x x A B -?+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ?一定是 （ ） （A ）直角三角形（B ）钝角三角形（C ）等腰三角形（D ）等边三角形. 3、 已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= . 4、如图，在△ABC 中，若b = 1，c =3，23 C π ∠=，则a= 。 5、在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，2b =， sin cos 2B B +=，则角A 的大小为 ． 6、在?ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且2 7 4sin cos 222 B C A +-= （1）求A ∠的度数 （2）若3a =，3b c +=，求b 和c 的值 7、 在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状. 8、如图，在△ABC 中，已知3= a ，2= b ，B=45? 求A 、C 及 c . 1、解：在ABC A B ?>中，2sin 2sin sin sin a b R A R B A B ?>?>?>，因此，选C ． 2、【答案】由题意可知：211cos cos cos 2sin 222 C C A B -= ??=，从而2cos cos 1cos()1cos cos sin sin A B A B A B A B =++=+- A B 3 23 π 《正弦定理和余弦定理》典型例题透析 类型一：正弦定理的应用： 例1．已知在ABC ?中，10c =，45A =，30C =，解三角形. 思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a ，然后用三角形内角和求出角B ，最后用正弦定理求出边b . 解析：sin sin a c A C =， ∴sin 10sin 45102sin sin 30c A a C ?= == ∴ 180()105B A C =-+=， 又sin sin b c B C =， ∴sin 10sin1056220sin 75205652sin sin 304c B b C ?= ===?= 总结升华： 1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题； 2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式. 举一反三： 【变式1】在?ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9a cm =，解三角形。 【答案】根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=； 根据正弦定理，0 sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0 sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A 【变式2】在?ABC 中，已知075B =，0 60C =，5c =，求a 、A . 【答案】00000180()180(7560)45A B C =-+=-+=， 根据正弦定理5sin 45sin 60 o o a =，∴56a =【变式3】在?ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c 【答案】根据正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得::sin :sin :sin 1:2:3a b c A B C ==. 例2．在3,60,1ABC b B c ?= ==中，，求：a 和A ，C ． 思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角C ，然后用三角形内角和求出角A ，最后用正弦定理求出边a . 《正弦定理》第一课时 尊敬的各位专家、评委、老师们： 大家好！ 我是第号参赛选手，我今天说课的课题是：正弦定理 （选自人教A版新课程标准实验教材必修5第一章第一节第一课时） 这里我将从教学背景分析、教法学法分析两大块先谈谈我对本节课的教学认识，再以“教什么，怎么教，为什么这样教”的思路，来说明我的教学过程和设计，最后是教学评价。 首先是教学背景分析我分三小点来说明： 一、教学背景分析 1、教材分析 随着解三角形在实际测量和物理中的广泛使用，正弦定理作为解三角形最有力的工具之一，有着很高的学习价值，从知识上讲它又是函数知识和平面三角形知识的的交汇，是任意三角形边角关系准确量化的表示，通过本节课对定理的探索，无论在知识上，还是思想方法上对后续的学习都有重要的意义，因此我认为，本节课的重点是定理的发现和证明，及定理的简单运用。 2、学情分析 正弦定理是在学生已经学习三角形知识，解直角三角形、向量知识，三角函数等知识后对任意三角形边角关系的探索，学生有了一定的知识基础，但学生对知识的构建、论证能力还不强，探究过程中在思维上难免会受限，另外学生的合作交流意识、知识的运用能力还有待加强。因此我认为本节课的难点是定理的发现、证明及已知两边和一边对角时的解三角形。 根据上述教材、学情的分析，我制定如下教学目标： 3、教学目标 （1）知识和技能 引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法； 简单运用正弦定理解三角形。 (2)过程和方法 通过对定理的探究，培养学生发现数学规律的思维方法和能力； 通过对定理的证明和运用，培养学生独立解决问题的能力、体会分类讨论和数形结合的思想方法. （3）情感态度价值观 通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物的规律，培养探索精神和创新意识，体会数学的使用价值。 为了使学生能够达到本节课设定的教学目标，我再从教法和学法上进行分析。（首先是教法分析） 二、教法学法分析 1、教法分析 根据教材的内容和编排的特点，本讲我将以“教师为主导，以学生为主体”，'采用“师生互动"为基础的“启发——探究式课堂教学模式”，用层层深入的话题将学生引入对定理的发现证明运用过程中，使教师始终站在学生思维和兴趣的最近发展区上，有效的组织教学。 正弦定理练习 课时作业1正弦定理 时间：45分钟 满分：100分 课堂训练 1. （2013湖南理，3）在锐角△ ABC 中，角A , B 所对的边长分别 为a , b.若2asinB = 3b ，则角A 等于（ ） A. T2 【答案】 D 【解析】 本题考查了正弦定理由s^a A =S^B ，得sinA ^23, 1 1 n - sinB , SinB = 2, 3 故ZB = 30 或 150 ° 2.在△ ABC 中，角 A 、B 、 C 的对边分别为a 、b 、c ,已知/ A n = 3, a= .3, b = 1,则c 等于（ C. 3— 1 D/3 【答案】 【解析】 a 由正弦定理 sinA - si nB ‘ 可得匚3 sin ： 由 a>b ,得/A>ZB. /.z B = 30 ° 故ZC = 90 ° 由勾股定理得c = 2,故选B. 1 5 3 .在厶 ABC 中，若 tanA = 3 , C = g n, BC = 1 ,贝S AB = 【答案】 弓0 【解析】 1 J10 ??tanA = 3,且 A 为/△ABC 的内角，二 sinA^^0.由正 10 4.在△ ABC 中，若Z B = 30° AB = 2 3, AC = 2,求厶 ABC 的 周长. 【分析】 本题是已知两边及其一边所对的角，要求其周长，自 然要考虑去寻求第三边 BC ,但BC 的对角Z A 未知，只知道Z B ,可 结合条件由正弦定理先求出Z C ,再由三角形内角和定理求出Z A. 【解 析】 由正弦定理，得sinC =AE AnB = 23 . VAB>AC ,AZ C>ZB , 又 TO ° 习题课 正弦定理与余弦定理 双基达标 (限时20分钟) 1．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是 ( )． A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0， 即sin(A －B )＝0，∴A ＝B . 答案 C 2．在△ABC 中，若a 2＝bc ，则角A 是 ( )． A ．锐角 B ．钝角 C ．直角 D ．60° 解析 cos A ＝b 2＋c 2－a 2 2bc ＝ b 2＋ c 2 －bc 2bc ＝ ????b －c 22＋3c 2 4 2bc ＞0，∴0°＜A ＜90°. 答案 A 3．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于 ( )． A.21 B.106 C.69 D.154 解析 设BC ＝a ，则BM ＝MC ＝a 2. 在△ABM 中， AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM cos ∠AMB ， 即72＝14a 2＋42－2×a 2×4·cos ∠AMB ① 在△ACM 中， AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos ∠AMC 即62＝42＋14a 2＋2×4×a 2·cos ∠AMB ② ①＋②得：72＋62＝42＋42＋1 2 a 2， ∴a ＝106. 答案 B 4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为________． 解析 ∵a 2＋c 2－b 2＝3ac ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，∴B ＝π 6. 答案 π 6 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________． 解析 由sin B ＋cos B ＝2sin ????B ＋π 4＝2得 sin ????B ＋π4＝1，∴B ＝π 4. 由正弦定理a sin A ＝b sin B 得 sin A ＝a sin B b ＝ 2sin π 4 2 ＝12 ， ∴A ＝π6或56 π. ∵a ＜b ，∴A ＜B ，A ＝π 6. 答案 π6 6．在△ABC 中，内角A 、B 、C 成等差数列，其对边a ，b ，c 满足2b 2＝3ac ，求A . 解 由A 、B 、C 成等差数列及A ＋B ＋C ＝180°得B ＝60°，A ＋C ＝120°. 由2b 2＝3ac 及正弦定理得 2sin 2B ＝3sin A sin C ， 故sin A sin C ＝12 . cos(A ＋C )＝cos A cos C －sin A sin C ＝cos A cos C －1 2， 即cos A cos C －12＝－1 2， cos A cos C ＝0， cos A ＝0或cos C ＝0， 正弦定理 教学重点：正弦定理 教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用,边角转化。多解问题 1.正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等， 即 A a s i n = B b sin =C c sin 2. 三角形面积公式 在任意斜△ABC 当中S △ABC =A bc B ac C ab sin 2 1sin 2 1sin 2 1== 3.正弦定理的推论： A a sin = B b sin =C c sin =2R （R 为△ABC 外接圆半径） 4.正弦定理解三角形 1）已知两角和任意一边，求其它两边和一角； 2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。 3）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况:（多解情况） ○ 1若A 为锐角时: ??? ?? ? ?≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a 已知边a,b 和∠A 有两个解 仅有一个解无解 CH=bsinA 2、ΔABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sin A=，b=sin B，则a等于 ( D ) A．3B．C． D． 1. 在ABC ?中，若sin 2sin 2A B =，则ABC ?一定是( ) 3.在Rt △ABC 中，C= 2 π ，则B A sin sin 的最大值是_______________. [解析] ∵在Rt △ABC 中，C= 2 π ，∴sin sin sin sin( )2 A B A A π =-sin cos A A = 1sin 22A = ，∵0,2A π<<∴02,A π<<∴4A π=时，B A sin sin 取得最大值12 。 4. 若ABC ?中，10 10 3B cos ,21A tan == ，则角C 的大小是__________ 解析 11 tan ,cos ,sin tan 23A B O B B B π==<<∴=∴= tan tan 3tan tan()tan()1,tan tan 14 A B C A B A B O C C A B π ππ+∴=--=-+= =-<<∴=- 7.在△ABC 中，已知2a b c =+，2 sin sin sin A B C =，试判断△ABC 的形状。 解：由正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C ===得：sin 2a A R =，sin 2b B R =， sin 2c C R = 。 所以由2sin sin sin A B C =可得：2()222a b c R R R =?，即：2 a bc =。 又已知2a b c =+，所以224()a b c =+，所以24()bc b c =+，即2()0b c -=， 因而b c =。故由2a b c =+得：22a b b b =+=，a b =。所以a b c ==，△ABC 为等边三角形。 ６．在ABC ?中， b A a B sin sin <是B A >成立的 ( C ) Ａ．必要不充分条件 Ｂ．充分不必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 1.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c =2，b =6，B =120°,则 a 等于 （ ） A.6 B.2 C.3 D.2 答案 D 3.下列判断中正确的是 （ ） 《正弦定理》 §2.1《正弦定理》——第一课时（教学设计） 一、教学目标 1、知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探究，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 2、过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。使学生进一步体会数形结合的思想；通过例题与练习提高学生动手能力、分析问题解决问题的能力以及其知识迁移能力。 3、情感、态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 二、教学重点和难点 重点：正弦定理的探究和证明及其基本应用 难点：正弦定理的实际应用 三、教学方法：问题牵引、启发引导、合作探究 四、教学手段：多媒体辅助教学 五、教学过程 本节的教学过程由以下几个环节构成： 六、教学设计 1.正弦定理的建构 （1）创设情境—感知定理 ①视频情境 播放今年第12号台风海葵给我国吴山带来的伤害，让学生再一次感受大自然力量的强大，引 导学生如何利用科学知识预防自然灾难，引出本节课的内容——正弦定理。 设计意图: 由实际生活入手，让学生感受数学来源于生活，同时又服务于生活。 （2）观察证明—形成定理 ① 通过特殊三角形的研究，观察它的角和边之间的关系，猜想它们之间的联系。 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 sin a A c =，sin b B c =，又=sin 1C , A 则 sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c A B C = = (图1．1) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析） 方法一、利用三角形的高证明正弦定理 Ⅰ、当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有 =sin CD a B ,sin CD b A =。 由此，得 sin sin a b A B =，同理可得 sin sin c b C B =， 故有 sin sin a b A B =sin c C =.从而这个结论在锐角三角形中成立. Ⅱ、当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点 D ，根据锐角三角函数 的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 = ∠sin sin a b A ABC ， 同理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由Ⅰ、Ⅱ可知，在?ABC 中， sin sin a b A B = sin c C = 成立. 从而得到：在任意三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即 sin sin a b A B = sin c C = . 设计意图：从具体到抽象，引导学生完成抽象与具体之间的相互转换。 ② 思考： 问题：您能用其他方法证明这一关系吗？ 方法二、向量法证明正弦定理 如图，以A 为原点，以射线AB 的方向为x 轴的正方向建立直角坐标系，C 点在y 轴上的射影为c '。 A B C D b a a b D A B C 正弦定理 复习 1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A. 6 B. 2 C. 3 D ．2 6 解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin B sin A ＝ 6. 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 D.32 3 解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝ a sin B sin A ＝4 6. 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝4 3，b ＝4 2，则角B 为( ) A ．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对 解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝ b sin A a ＝22 ，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°. 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定 解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝ 2，则c ＝( ) A ．1 B.1 2 C ．2 D.14 解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝c sin C 得c ＝ 2×sin 30° sin45° ＝1. 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin B sin A ， sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B 即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π 2. 7．已知△ABC 中，AB ＝ 3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( ) A.32 B.34 C.32 或 3 D.34或32 正弦定理和余弦定理的应用举例 考点梳理 1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①)． (2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等； (3)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数． 【助学·微博】 解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等． 解三角形应用题常有以下两种情形 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有 时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． 考点自测 1．(2012·江苏金陵中学)已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则三角形的面积等于________． 解析 记三角形三边长为a －4，a ，a ＋4，则(a ＋4)2＝(a －4)2＋a 2－2a (a －4)cos 120°，解得a ＝10，故S ＝12×10×6×sin 120°＝15 3. 答案 15 3 2．若海上有A ，B ，C 三个小岛，测得A ，B 两岛相距10海里，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝75°，则B ，C 间的距离是________海里． 解析 由正弦定理，知BC sin 60°＝AB sin (180°－60°－75°) .解得BC ＝56(海里)． 答案 5 6 3．(2013·日照调研)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为________海里/时． 解析 由正弦定理，得MN ＝68sin 120°sin 45°＝346(海里)，船的航行速度为3464＝ 176 2(海里/时)． 答案 176 2 4．在△ABC 中，若23ab sin C ＝a 2＋b 2＋c 2，则△ABC 的形状是________． 解析 由23ab sin C ＝a 2＋b 2＋c 2，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 相加，得a 2＋b 2＝ 2ab sin ? ????C ＋π6.又a 2＋b 2≥2ab ，所以 sin ? ????C ＋π6≥1，从而sin ? ????C ＋π6＝1，且a ＝b ，C ＝π3时等号成立，所以△ABC 是等边三角形． 答案 等边三角形 正弦定理 【基础知识点】 1. 三角形常用公式：A ＋B ＋C ＝π；S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝＝2 1ca sin B ； sin(A+B)=sinC, cos(A+B)=-cosC, sin(A+B)/2=cosC/2, cos(A+B)/2=sinC/2 2．三角形中的边角不等关系: A>B ?a>b,a+b>c,a-b解三角形高考典型例题汇编
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