正弦定理练习题
1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )
A.6
B. 2
C. 3 D ．2 6
2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )
A ．4 2
B ．4 3
C ．4 6 D.32
3
3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )
A ．45°或135°
B ．135°
C ．45°
D ．以上答案都不对
4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )
A ．1∶5∶6
B ．6∶5∶1
C ．6∶1∶5
D ．不确定
5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )
A ．1 B.12 C ．2 D.1
4
6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b
a
，则△ABC 是( )
A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )
A.32
B.34
C.32或 3
D.34或32
8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )
A. 6 B ．2 C. 3 D. 2
9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π
3
，则A ＝________.
10．在△ABC 中，已知a ＝43
3
，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.
11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.
12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．
13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋c
sin A ＋sin B ＋sin C
＝________，
c ＝________.
14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋c
sin A －2sin B ＋sin C
＝________.
15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝1
3
，S △ABC ＝43，则b ＝________.
16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．
17．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．
正弦定理
1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )
A.6
B. 2
C. 3 D ．2 6
解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin B
sin A
＝ 6.
2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )
A ．4 2
B ．4 3
C ．4 6 D.32
3
解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin B
sin A
＝4 6.
3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )
A ．45°或135°
B ．135°
C ．45°
D ．以上答案都不对
解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝2
2
，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°.
4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )
A ．1∶5∶6
B ．6∶5∶1
C ．6∶1∶5
D ．不确定
解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )
A ．1 B.12 C ．2 D.1
4
解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝c sin C 得c ＝2×sin 30°
sin45°
＝1.
6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b
a
，则△ABC 是( )
A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin B
sin A
，
sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B
即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π
2
.
7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )
A.32
B.34
C.32或 3
D.34或32
解析：选D.AB sin C ＝AC sin B ，求出sin C ＝3
2
，∵AB ＞AC ，
∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.
再由S △ABC ＝1
2
AB ·AC sin A 可求面积．
8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )
A. 6 B ．2 C. 3 D. 2
解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2
sin C
，
∴sin C ＝1
2
.
又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°， △ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.
9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π
3
，则A ＝________.
解析：由正弦定理得：a sin A ＝c
sin C
，
所以sin A ＝a ·sin C c ＝1
2
.
又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π
6
.
答案：π6
10．在△ABC 中，已知a ＝43
3，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.
解析：由正弦定理得a sin A ＝b
sin B
?sin B ＝b sin A a ＝4×12433
＝3
2
.
答案：3
2
11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.
解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，
由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×sin30°sin120°＝43， ∴a ＋c ＝8 3. 答案：8 3
12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．
解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ， 代入式子a ＝2b cos C ，得 2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ， 所以sin A ＝2sin B ·cos C ， 即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ， 化简，整理，得sin(B －C )＝0. ∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°， ∴－180°＜B －C ＜180°， ∴B －C ＝0°，B ＝C . 答案：等腰三角形
13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋c
sin A ＋sin B ＋sin C
＝________，
c ＝________.
解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴
1
2×12×sin60°×c ＝183，
∴c ＝6.
答案：12 6
14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋c
sin A －2sin B ＋sin C
＝________.
解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，
∴2R ＝a sin A ＝1
sin30°
＝2，
又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，
∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R sin A －2sin B ＋sin C
sin A －2sin B ＋sin C ＝2R ＝2. 答案：2
15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝1
3
，S △ABC ＝43，则b ＝________.
解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝1
2
ab sin C ＝43，
解得b ＝2 3. 答案：2 3
16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．
解析：∵b sin C ＝43×1
2
＝23且c ＝2，
∴c
17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？
解：在△ABC 中，BC ＝40×1
2
＝20，
∠ABC ＝140°－110°＝30°， ∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°， 所以∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°， 由正弦定理得
AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A
＝20sin30°sin45°
＝102(km)． 即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是10 2 km.
18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝1
4
，sin B sin C
＝cos 2A
2
，求A 、B 及b 、c .
解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝1
2
，
又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π
6.
由sin B sin C ＝cos 2A
2，得
sin B sin C ＝1
2
[1－cos(B ＋C )]，
即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，
即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得 cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，
即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π
6
(舍去)，
A ＝π－(
B ＋
C )＝2π
3.
由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c
sin C
，得
b ＝
c ＝a sin B
sin A ＝23×123
2
＝2.
故A ＝2π3，B ＝π
6
，b ＝c ＝2.
19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、
c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝10
10
.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．
解：(1)∵A 、B 为锐角，sin B ＝10
10
，
∴cos B ＝1－sin 2B ＝310
10.
又cos 2A ＝1－2sin 2A ＝35，∴sin A ＝55，cos A ＝25
5
，
∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝255×31010－55×1010＝22
.
又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝π
4
.
(2)由(1)知，C ＝3π4，∴sin C ＝2
2.
由正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c
sin C
得
5a ＝10b ＝2c ，即a ＝2b ，c ＝5b .
∵a －b ＝2－1，∴2b －b ＝2－1，∴b ＝1. ∴a ＝2，c ＝ 5.
20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．
解：由S ＝12ab sin C 得，153＝1
2×603×sin C ，
∴sin C ＝1
2
，∴∠C ＝30°或150°.
又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C . 当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.
又∵ab ＝603，a sin A ＝b
sin B
，∴b ＝215.
当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)．
§1.1.2 正弦定理 一、知识与技能 1会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题 2通过三角函数、正弦定理等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 3.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力． 二、过程与方法 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 三、教学重点与难点： 重点：正弦定理的探索及其基本应用。 难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 【授课类型】：习题拔高课 四、教学过程 一、知识回顾 1正弦定理的内容是什么？ 二、例题讲解 例 1试推导在三角形中 A a s i n =B b sin =C c sin =2R 其中R 是外接圆半径. 证明 如图所示，∠A ＝∠D ∴R CD D a A a 2sin sin === 同理B b sin R 2=，C c sin R 2= ∴ A a sin = B b sin =C c sin =2R a b c O B C A D
例2 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===? 解：∵213 60sin 1sin sin ,sin sin 0=?==∴=b B c C C c B b ，C B C B c b ,,60,0<∴=> 为锐角， 0090,30==∴B C ∴222=+=c b a 例3 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===? 解2 3245sin 6sin sin ,sin sin 0=?==∴=a A c C C c A a 0012060,sin 或=∴< 解三角形题型5：正、余弦定理判断三角形形状 1、（2013·陕西高考文科·Ｔ9）设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a, b, c , 若 cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 ( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 2、（2010上海文数）18.若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =， 则△ABC （A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形. （C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 3、如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定 4、在△ABC 中，已知2a b c =+，2 sin sin sin A B C =，试判断△ABC 的形状。 5、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 6、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA= 12 7 , 则ΔABC 是______三角形. 7、在△ABC 中，若c C b B a A sin cos cos = =，则△ABC 是（ ） A ．有一内角为30°的直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．有一内角为30°的等腰三角形 D ．等边三角形 8、若(a+b+c)(b+c －a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是 （ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 9、（2010辽宁文数17）在ABC ?中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边， 且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）若sin sin 1B C +=，试判断ABC ?的形状. 10、在ABC ?中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +?-=-?+,判断该三角形的形状。 11、在ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状： ①B=60°,b 2=ac ； ②b 2tanA=a 2tanB ； ③sinC= B A B A cos cos sin sin ++④ (a 2－b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A －B). 课题：§1.1 正弦定理（二） 总第____课时 班级_______________ 姓名_______________ 【学习目标】 掌握正弦定理的内容及其等价形式；会运用正弦定理、内角和定理与三角形的面积公式解决一些与测量和几何计算与证明有关的实际问题. 【重点难点】 学习重点：正弦定理的等价形式及其基本应用. 学习难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数. 【学习过程】 一、自主学习与交流反馈： 问题1：对于任意的三角形若已知两边及夹角怎样求三角形的面积? 问题2：正弦定理还有哪些等价的变形形式? 二、知识建构与应用： 例1 在ΔABC 中,已知 C c B b A a cos cos cos ==，试判断ΔABC 的形状. 例2 在ΔABC 中,AD 是∠BAC 的平分线，如图，用正弦定理证明： DC BD AC AB =. 例 3 某登山队在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进A B 35?20?1000180?-βαβαD C B A 米后到达处，又测得山顶的仰角为，求山的高度. 例4 判断下列三角形解的情况： （1）已知; （2）已知; （3）已知. 四、巩固练习 D 65?060,12,11 ===B c b 0 110,3,7===A b a 045,9,6===B c b 1．在ΔABC 中，已知,150,3,2o ===C b a 则=?ABC S . 2．在中，_________,sin 23==B A b a 则. 3．在中，若,60,3?==A a 那么的外接圆的周长为____ ____. 4．在中，若，则 . 5. 在中, ______,cos cos 的形状为则ABC B C b c ?=. ABC ?ABC ?ABC ?ABC ?3,600==a A _______sin sin sin =++++C B A c b a ABC ? 学案正弦定理和余弦定理 导学目标： 1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题.2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 自主梳理 1．三角形的有关性质 (1)在△ABC中，A＋B＋C＝________； (2)a＋b____c，a－b 4．(2010·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2， sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________． 5．(2010·北京)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3 ，则a ＝________. 探究点一 正弦定理的应用 例1 (1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求角A 、C 和边c ； (2)在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求边b 和c . 变式迁移1 (1)在△ABC 中，若tan A ＝13 ，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________； (2)在△ABC 中，若a ＝50，b ＝256，A ＝45°，则B ＝________. 探究点二 余弦定理的应用 例2 (2011·咸宁月考)已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且a 2＋c 2－ b 2＝a c . (1)求角B 的大小； (2)若c ＝3a ，求tan A 的值． 变式迁移2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，B ＝2π3 ，b ＝13，a ＋c ＝4，求a . 探究点三 正、余弦定理的综合应用 例3 在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状． 变式迁移3 (2010·天津)在△ABC 中，AC AB ＝cos B cos C . (1)证明：B ＝C ； (2)若cos A ＝－13 ，求sin ????4B ＋π3的值． 1．解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用，用到三角变换的基本方法，同时它 是对正、余弦定理，三角形面积公式等的综合应用． 2．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求 第 1 课时： §1.1 正弦定理（1） 【三维目标】： 一、知识与技能 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容和推导过程； 2.能解决一些简单的三角形度量问题（会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题）；能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题； 3.通过三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 4.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力． 二、过程与方法 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 三、情感、态度与价值观 1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力； 2.培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 【教学重点与难点】： 重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 【学法与教学用具】： 1. 学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系： sin sin sin a b c A B C == ，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。 2. 教学用具：多媒体、实物投影仪、直尺、计算器 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题 1.在直角三角形中的边角关系是怎样的？ 2.这种关系在任意三角形中也成立吗？ 3.介绍其它的证明方法 二、研探新知 1.正弦定理的推导 （1）在直角三角形中：c a A = sin ,1sin ,sin ==C C B B ， 即 =c A a sin ，=c B b sin ，=c C c sin ∴A a sin =B b sin =C c sin 能否推广到斜三角形？ （2）斜三角形中 证明一：（等积法，利用三角形的面积转换）在任意斜△ABC 中，先作出三边上的高AD 、BE 、CF ，则sin AD c B =，sin BE a C =，sin CF b A =．所以111 sin sin sin 222 ABC S ab C ac B bc A ?= ==，每项 第一篇 正弦定理和余弦定理 【知识清单】 一、三角形有关性质 （1）在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；a ＋b >c ，a －b 2020 年高考数学复习利用正余弦定理破解解三角形问题专题突破 考纲要求: 1. 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 1 2.会利用三角形的面积公式解决几何计算问题S ab sin C . 2 基础知识回顾: a b c 1. ＝＝＝2R，其中R 是三角形外接圆的半径． sin A sin B sin C 由正弦定理可以变形：(1) a∶b ∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(2) a＝2 Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. 2 ．余弦定理：a2＝b 2＋c2－2 bccos A，b 2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C． b 2＋c2－a2a2＋c2－b2a2＋b 2－c2 变形：cos A ＝，cos B＝，cos C＝ 2bc 2ac 2ab 4. 三角形常用的面积公式 1 1 1 1 abc (1)S＝a·h a(h a表示a边上的高)．(2) S＝absinC ＝acsinB ＝bcsinA ＝ 2 2 2 2 4R 1 （3）S＝2r（a＋b＋c）（r 为内切圆半径）．应用举例: 类型一、利用正（余）弦定理解三角形 【例1】已知中，，点在边上，且．（1 ）若，求； （2 ）求的周长的取值范围． 【答案】（1 ）；（2 ）. 所以： 中，利用正弦定理得： 由于： 则： ，， 由于：，则：， 得到：， 所以的周长的范围是：. 【点睛】 本题考查了用正弦定理、余弦定理解三角形，尤其在求三角形周长时解题方法是利用正弦定理将边长转化为角的问题，然后利用辅助角公式进行化简，求出范围，一定要掌握解题方法。 【例2】已知在中，所对的边分别为，. （1 ）求的大小； （2）若，求的值. 【答案】（1 ）或（2）1 解三角形 1.内角和定理：在ABC ?中，A B C ++= π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C -，cos 2A B +=sin 2C 2.面积公式: ①ABC S ?=21aha ＝21bhb ＝2 1chc （ha 、hb 、hc 分别表示a 、b 、c 上的高）； ②ABC S ?＝21absinC ＝21bcsinA ＝2 1acsinB ； ③ABC S ?＝2R 2sinAsinBsinC.（R 为外接圆半径） ④ABC S ?＝R abc 4； ⑤ABC S ?＝))()((c s b s a s s ---,?? ? ??++=)(21c b a s ； ⑥ABC S ?＝r ·s ,( r 为△ABC 内切圆的半径) 3.三角形中常见的不等式： ①B A B A sin sin ,>>则若(任意三角形) ②锐角三角形中，B A cos sin > 4．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具) 形式二：?? ???===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具) 4.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一：222 2cos a b c bc A =+- 2222cos b c a ca B =+- (解三角形的重要工具) 2222cos c a b ab C =+- 形式二：cos A =bc a c b 2222-+ ； cos B =ca b a c 2222-+ ； cosC=ab c b a 22 22-+ 考点1: 运用正、余弦定理求角或边 题型1.求三角形中的某些元素 例1.已知：A.B.C 是ABC ?的内角，c b a ,,分别是其对边长，向量()()1cos ,3--=A m π，??? ? ????? ??-=1,2cos A n π，n m ⊥. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若,3 3cos ,2==B a 求b 的长. 必修五：正弦定理和余弦定理 一：正弦定理 1：定理内容：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 是三角形外接圆半径） 2：公式变形 （1）R A a C B A c b a 2sin sin sin sin ==++++ （2）?? ???C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2===或R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === （3）?? ???B c C b A c C a A b B a sin sin sin sin sin sin === （4）R abc A bc B ac C ab S ABC 4sin 21sin 21sin 21====? 以下是ABC ?内的边角关系：熟记 （5）B A B A b a >?>?>sin sin （大边对大角） （6）B A B A cos cos （7）?? ???+=+=+=)sin(sin )sin(sin )sin(sin B A C C A B C B A 思考A cos 与)cos(C B +的关系 （8）2 cos 2sin C B A += （9）若AD 是ABC ?的角平分线，则 AC DC AB DB = 思考题： 1：若B A sin sin =，则B A ,有什么关系？ 2：若B A 2sin 2sin =，则B A ,有什么关系？ 3：若B A cos cos =，则B A ,有什么关系？ 4：若2 1sin > A ，则角A 的范围是什么？ 解三角形：已知三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形. 例1：已知ABC ?，根据下列条件，解三角形. （1）10,45,60=?=∠?=∠a B A . （2）?=∠==120,4,3A b a . （3）?=∠==30,4,6A b a . （4）?=∠==30,16,8A b a . （5）?=∠==30,4,3A b a . 思考：在已知“边边角”的情况下，如何判断三角形多解的情况 判断方法:（1）用正弦定理：比较正弦值与1的关系 （2）作图法：用已知角所对的高与已知角所对的边长比较. 练习：（1）若?=∠==45,12,6A b a ，则符合条件的ABC ?有几个？ （2）若?=∠==30,12,6A b a ，则符合条件的ABC ?有几个？ （3）若?=∠==45,12,9A b a ，则符合条件的ABC ?有几个？ 例2：根据下列条件，判断三角形形状. （1）C B A 2 22sin sin sin =+. （2）C B A cos sin 2sin = （3）B b A a cos cos = （4）A b B a tan tan 22= 正余弦定理考点梳理： 1. 直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。 （1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理） A （2）锐角之间的关系：A＋B＝90°； c （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） b sin A＝cos B＝a c ，cos A＝sin B＝ b c ，tan A＝ a b 。 C B 2. 2．斜三角形中各元素间的关系： a 如图6-29 ，在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c 分别表示A、B、C的对边。 （1）三角形内角和：A＋B＋C＝_____ （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。 3. 正弦定理： a b c 2R 。（R为外接圆半径）sin A sin B sin C a b c ＝ ＝＝2R的常见变形： sin A sin B sin C (1)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c； (2) a b ＝＝ sin A sin B c ＝ sin C a＋b＋c ＝2R； sin A＋sin B＋sin C (3) a＝2R sin_ A，b＝2R sin_ B，c＝2R sin_ C； a b c (4)sin A＝，sin B＝，sin C＝. 2R 2R 2R 4. 三角形面积公式：S＝1 2 ab sin C＝ 1 1 bc sin A＝ca sin B. 2 2 5. 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦 的积的两倍。 2 2 2 a b c 2bccos A 2 2 2 b a c 2accosB 2 2 2 c b a 2ba cosC 或 cos A cos B cos C 2 2 2 b c a 2bc 2 2 2 a c b 2ac 2 2 2 b a c 2ab 余弦定理的公式：. 6. （1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 高中数学学习材料 金戈铁骑整理制作 正弦定理（一） ●作业导航 掌握正弦定理，会利用正弦定理求已知两角和任意一边或两边和一边对角的三角形问题． 一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 1．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于( ) A ．30° B ．30°或150° C ．60° D ．60°或120° 2．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( ) A ．9 B ．18 C ．93 D ．18 3 3．已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于( ) A ．1∶2∶3 B ．2∶3∶1 C ．1∶3∶2 D ．3∶1∶2 4．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k≠0)，则k 的取值范围为( ) A ．(2，＋∞) B ．(-∞，0) C ．(-2 1，0) D ．(2 1，＋∞) 5．在△ABC 中，sin A ＞sin B 是A ＞B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 1．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________． 2．在△ABC 中，若b ＝2c sin B ，则∠C ＝________． 3．设△ABC 的外接圆半径为R ，且已知AB ＝4，∠C ＝45°，则R ＝________． 4．已知△ABC 的面积为2 3 ，且b ＝2，c ＝ 3，则∠A ＝________． 5．在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，a ＝2(3＋1)，那么△ABC 的面积为________． 三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 1．在△ABC 中，∠C ＝60°，BC ＝a ，AC ＝b ，a ＋b ＝16． 正弦定理和余弦定理【考点梳理】 1．正弦定理和余弦定理 (1)S＝1 2a·h a(h a表示边a上的高)； (2)S＝1 2ab sin C＝ 1 2ac sin B＝ 1 2bc sin A. (3)S＝1 2r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． 【考点突破】 考点一、利用正、余弦定理解三角形 【例1】在△ABC中，∠BAC＝3π 4，AB＝6，AC＝32，点D在BC边上， AD＝BD，求AD的长． [解析] 设△ABC的内角∠BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos∠BAC ＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π4 ＝18＋36－(－36)＝90，所以a＝310. 又由正弦定理得sin B＝b sin∠BAC a＝ 3 310 ＝ 10 10， 由题设知0＜B＜π 4， 所以cos B＝1－sin 2B＝1－1 10＝ 310 10. 在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B，故由正弦定理得 AD＝AB·sin B sin(π－2B)＝ 6sin B 2sin B cos B＝ 3 cos B＝10. 【类题通法】 1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的． 2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用． (2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用． 【对点训练】 1．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且(b－c)(sin B ＋sin C)＝(a－3c)sin A，则角B的大小为() A．30°B．45° C．60°D．120° [答案]A 2017年高考文科数学新课标Ⅰ卷第11题：ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。 已知0)cos (sin sin sin =-+C C A B ，2=a ，2=c ，则=C （ ） A. 12π B.6π C.4π D.3 π 本题解答：0cos sin sin sin )sin(0)cos (sin sin sin =-++?=-+C A C A C A C C A B 0sin sin cos sin 0cos sin sin sin cos sin cos sin =+?=-++?C A A C C A C A A C C A 4 31tan 1cos sin cos sin 0sin cos π = ?-=?-=? -=?=+?A A A A A A A A 。 根据正弦定理得到： 21222 2sin sin sin sin =? ==?=a A c C C c A a ，C 是锐角6 π=?C 。 2017年高考理科数学新课标Ⅰ卷第17题：ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。 已知ABC ?的面积为A a sin 32 。 （Ⅰ）求C B sin sin ； （Ⅱ）若1cos cos 6=C B ，3=a ，求ABC ?的周长。 本题解答：（Ⅰ）ABC ?的面积为 A a sin 32222sin 2 3 sin 3sin 21a A bc A a A bc =?=? 3 2 sin sin 1sin sin 23sin sin sin sin 2322=?=?=?C B C B A A C B 。 （Ⅱ）61cos cos 1cos cos 6=?=C B C B ，3261sin sin cos cos 32sin sin -=-?=C B C B C B 3 21cos 21cos 21)cos(π =?=?-=-?-=+?A A A C B 。 根据余弦定理得到：921 29cos 22222222=-+??-+=?-+=bc c b bc c b A bc c b a ①。 根据（Ⅰ）得到：898 9 3)23(23sin 232222=?=?=??=bc bc bc a A bc ②。 ②代入①中得到：3382172)(17982222222=?+=++=+?=+?=-+bc c b c b c b c b ABC c b ??=+?33的周长为：333+=++c b a 。 2017年高考文科数学新课标Ⅱ卷第16题：ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。 若A c C a B b cos cos cos 2+=,则=B 。 本题解答：根据射影定理得到：b A c C a =+cos cos ，b B b A c C a B b =?+=cos 2cos cos cos 2 高中数学必修五《正弦定理》说课稿 大家好，今天我向大家说课的题目是《正弦定理》。下面我将从以下几个方面介绍我这堂课的教学设计。 一教材分析 本节知识是必修五第一章《解三角形》的第一节内容，与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系与判定三角形的全等也有密切联系，在日常生活和工业生产中也时常有解三角形的问题，而且解三角形和三角函数联系在高考当中也时常考一些解答题。因此，正弦定理和余弦定理的知识非常重要。 根据上述教材内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有知识水 平，制定如下教学目标： 认知目标：在创设的问题情境中，引导学生发现正弦定理的内容，推证正弦定理及简单运用正弦定理与三角形的内角和定理解斜三角形的两类问题。 能力目标：引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理， 培养学生的创新意识和观察与逻辑思维能力，能体会用向量作为数形结合的工 具，将几何问题转化为代数问题。 情感目标：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间 的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，激发学 生学习的兴趣。 教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用。 教学难点：正弦定理的探索及证明，已知两边和其中一边的对角解三角形时判断 解的个数。 二教法 根据教材的内容和编排的特点，为是更有效地突出重点，空破难点，以学业生的发展为本，遵照学生的认识规律，本讲遵照以教师为主导，以学生为主体，训练为主线的指导思想，采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以生活实际为参照对象，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化。突破重点的手段：抓住学生情感的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想，积极探索，以及及时地鼓励，使他们知难而进。另外，抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给以适当的提示和指导。突破难点的方法：抓住学生的能力线联系方法与技能使学生较易证明正弦定理，另外通过例题和练习来突破难点 三学法： 指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的探究。让学生在问题情景中学习，观察，类比，思考，探究，概括，动手尝试相结合，体现学生的主体地位，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，形成了实事求是的科学态度，增强了锲而不舍的求学精神。 正弦定理与余弦定理 教学目标 掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形正余弦定理及三角形面积公式． 教学重难点 掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形. 知识点清单 一. 正弦定理： 1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外 接圆的直径，即a b c2R( 其中R 是三角形外接圆的半 径） sin A sinB sinC 2. 变 形：1) a b c a b c sin sin sinC sin sin sinC 2）化边为 角： a:b:c sin A:sin B: sinC ； a sin A; b sin B a sin A b sinB c sinC c sin C 3）化边为角：a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2RsinC 4）化角为边：sin A a;sin B b ; sin A a sin B b sinC c sinC c 5）化角为边：sin A a sinB b,sinC c 2R2R2R 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a ， 解法：由A+B+C=18o0 ，求角A,由正弦定理 a sinA; b sinB; b sin B c sin C a sin A ; 求出 b 与c c sinC ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。例：已知边 a,b,A, 解法：由正弦定理 a sin A求出角B,由A+B+C=18o0 求出角C，再使用正 b sin B 弦定理 a sin A求出c边 c sinC 4. △ABC中，已知锐角A，边b，则 ① a bsin A 时，B 无解； ② a bsin A 或 a b 时， B 有一个解； 复习课: 解三角形 枣庄十八中 秦真 教学目标 重点：能够运用正弦定理余弦定理并结合三角形有关知识解决与三角形面积，形状有关的问题。 难点：如何选择适当的定理，公式，方法解决有关三角形的综合问题. 能力点：定理公式方法的适当选取，培养学生自主解决问题的能力. 教育点：提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构. 自主探究点：例题及变式的解题思路的探寻. 易错点：在用正弦定理解三角形问题中会出现判断几解问题中易出现错误 学法与教具 1.学法：讲授法、讨论法. 2.教具：投影仪. 一、【知识结构】 二、【知识梳理】 1.正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===，其中R 是三角形外接圆半径. 2.余弦定理：2 2 2 2cos a b c bc A =+-，2 2 2 2cos b a c ac B =+- ，2 2 2 2cos c a b ac C =+- ， 222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2a c b B ac +-=，222 cos 2a b c C ab +-= 3.111 sin sin sin 222 ABC S ab C bc A ac B ?= == 4.在三角形中大边对大角，反之亦然. 5.射影定理：cos cos a b C c B =+，cos cos b a C c A =+，cos cos c a B b A =+ 6.三角形内角的诱导公式 （1）sin()sin A B C +=，cos()cos A B C +=-，tan tan()C A B =+，cos sin 22 c A B +=，sin cos 22 C A B +=，... 在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA ·tanB ·tanC; 7.解三角形常见的四种类型 (1)已知两角A 、B 与一边a ,由A+B+C=180°及 sin sin sin a b c A B C == ，可求出角C ，再求,b c . (2)已知两边,b c 与其夹角A ，由2 2 2 2cos a b c bc A =+-，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C. (3)已知三边,,a b c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C. (4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理 sin sin a b A B = ，求出另一边b 的对角B ，由C=π-(A+B)，求出c ，再由 sin sin a c A C =求出C ，而通过sin sin a b A B = 求B 时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表： 8. 三、【范例导航】 题型（一）：正、余弦定理 1正弦定理主要有两个方面的应用：(1)已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以 计算出三角形的第三个角，由正弦定理可以计算出三角形的另两边；(2)已知三角形的任意两边和其中一边的对角，应用正弦定理，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角． 2余弦定理有两方面的应用：(1)已知三角形的两边和它们的夹角可以由余弦定理求出第三边，进而求出其他两角；(2)已知三角形的三边，利用余弦定理求出一个角，进而求出其他两角． 例1．在?ABC 中，已知a =c = ，45B =o ，求b 及A ； 1．1．1正弦定理 （一）教学目标 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 （二）教学重、难点 重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 （三）学法： 引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系： sin sin sin a b c A B C = = ，接着就一般斜三角形进行 探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。 （四）教学过程 [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有 sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==, 则sin sin sin a b c c A B C === 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = ， C 同理可得sin sin c b C B = ， b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B (图1．1-3) 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 （证法二）：过点A 作j AC ⊥， 由向量的加法可得 AB AC CB =+ 则 ()j AB j AC CB ?=?+ 2019-2020年高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.6正弦定理和 余弦定理学案文 [知识梳理] 1．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 2．在△ABC中，已知a，b和A时，三角形解的情况 3．三角形中常用的面积公式 (1)S ＝1 2ah (h 表示边a 上的高)． (2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝1 2 ab sin C . (3)S ＝1 2r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)． 4．在△ABC 中，常有的结论 (1)∠A ＋∠B ＋∠C ＝π. (2)在三角形中大边对大角，大角对大边． (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． [诊断自测] 1．概念思辨 (1)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．( ) (2)在△ABC 中，a sin A ＝a ＋b －c sin A ＋sin B －sin C .( ) (3)若a ，b ，c 是△ABC 的三边，当b 2 ＋c 2 －a 2 >0时，△ABC 为锐角三角形；当b 2 ＋c 2 － a 2＝0时，△ABC 为直角三角形；当 b 2＋ c 2－a 2<0时，△ABC 为钝角三角形．( ) (4)在△ABC 中，若sin A sin B 解三角形题型5正、余弦定理判断三角形形状(供参考)(新)
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