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圆的参数方程及应用教案.doc.doc

课题：圆的参数方程及应用

教学目标：

知识与技能：分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。利用圆的几何性质求最值（数形结合）

过程与方法：能选取适当的参数，求圆的参数方程

情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

教学重难点：教学重点：能选取适当的参数，求圆的参数方程

教学难点：选择圆的参数方程求最值问题.

教学方法：启发、诱导发现教学.

课时数：1课时

教学过程：

一、复习引入

1、曲线的参数方程的定义、求法步骤

x y

-2

-4

-5

c 1

2、圆的方程.

3、（一）、圆的参数方程探求

1、学生阅读课本P32,根据图形求出圆的参数方程，教师准对问题讲评。

)(sin cos 为参数θθ

θ??

?==r y r x 这就是圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程。

说明：（1）参数θ的几何意义是OM 与x 轴正方向的夹角。（2）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。（3）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。

思考交流：你能回答课本第33页的思考交流题吗？

3、若如图取

的斜率为K ，并阅读课本P33页。

结论：参数取的不同，可以得到圆的不同形式的参数方程。

4，反思归纳：求参数方程的方法步骤。

（二）、应用举例

例1、【课本P33页例3】已知两条曲线的参数方程

???==θθ

sin 5cos 5:1y x C (θ为参数)和???+=+=0

0245

sin 345cos 4:t y t x C (t 为参数) 为参数、指出参数方程)(sin 235cos 22ααα+=-=???y x

（1）、判断这两条曲线的形状；（2）、求这两条曲线的交点坐标。学生练习，教师准对问题讲评。

（二）、最值问题：利用圆的几何性质和圆的参数方程求最值（数形结合）

例2、1、已知点P （x ，y ）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动点，求（1） x2+y2 的最值，（2）x+y 的最值，

（3）P 到直线x+y- 1=0的距离d 的最值。

解：圆x2+y2- 6x- 4y+12=0即（x- 3）2+（y- 2）2=1，用参数方程表示为由于点P 在圆上，所以可设P （3+cos θ，2+sin θ），

（1） x2+y2 = (3+cos θ)2+(2+sin θ)2 =14+4 sin θ +6cos θ

θ +ψ). (其中tan ψ =3/2) ∴ x2+y2 的最大值为

。

(2) x+y= 3+cos θ+ 2+sin θ

sin （ θ + 4

）∴ x+y 的最大值为

，最小

值为

。

(3)2

sin(24|2

1sin 2cos 3|π

θθθ++=

-+++=

显然当1)4

sin(±=+

θ时，d

取最大值，最小值，分别为1+

1-2、过点(2,1)的直线中,被圆x 2

+y 2

-2x+4y=0截得的弦：为最长的直线方程是_________；为

最短的直线方程是__________；

3、若实数x ,y 满足x 2

+y 2

-2x +4y =0，则x -2y 的最大值为。（三）、课堂练习：学生练习：1、2

（四）、小结：1、本课我们分析圆的几何性质，选择适当的参数求出圆的参数方程。2、参数取的不同，可以得到圆的不同形式的参数方程。从中体会参数的意义。3、利用参数方程求最值。要求大家掌握方法和步骤。

（五）、作业：课本P39页A 组6、7、8 B 组5

1、方程04524222=-+--+t ty tx y x (t 为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是（D ） A ．一个定点 B ．一个椭圆 C ．一条抛物线 D ．一条直线

2、已知)(sin cos 2为参数θθ

?=+=y x ，则22)4()5(++-y x 的最大值是6。

3cos 2sin x y θθ

=+??

=+?

2019-2020学年高中数学 2.2圆的参数方程及应用教案北师大版选修4-4.doc

2019-2020学年高中数学 2.2圆的参数方程及应用教案北师大版选修4-4 一、教学目标：知识与技能：分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。利用圆的几何性质求最值（数形结合）过程与方法：能选取适当的参数，求圆的参数方程情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。二、重难点：教学重点：能选取适当的参数，求圆的参数方程教学难点：选择圆的参数方程求最值问题. 三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程：（一）、圆的参数方程探求 1、学生阅读课本P32,根据图形求出圆的参数方程，教师准对问题讲评。 )(sin cos 为参数θθ θ?? ?==r y r x 这就是圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程。说明：（1）参数θ的几何意义是OM 与x 轴正方向的夹角。（2）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。（3）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。思考交流：你能回答课本第33页的思考交流题吗？ 3、若如图取

???==θθ sin 5cos 5:1y x C (θ为参数)和???+=+=0 0245 sin 345cos 4:t y t x C (t 为参数) （1）、判断这两条曲线的形状；（2）、求这两条曲线的交点坐标。学生练习，教师准对问题讲评。（二）、最值问题：利用圆的几何性质和圆的参数方程求最值（数形结合）例2、1、已知点P （x ，y ）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动点，求（1） x2+y2 的最值，（2）x+y 的最值，（3）P 到直线x+y- 1=0的距离d 的最值。解：圆x2+y2- 6x- 4y+12=0即（x- 3）2+（y- 2）2=1，用参数方程表示为由于点P 在圆上，所以可设P （3+cos θ，2+sin θ），（1） x2+y2 = (3+cos θ)2+(2+sin θ)2 =14+4 sin θ +6cos θ sin(θ +ψ). (其中tan ψ =3/2) ∴ x2+y2 的最大值为。 (2) x+y= 3+cos θ+ 2+sin θ （ θ + 4 π ）∴ x+y 的最大值为，最小值为。 (3)2 | )4 sin(24|2 | 1sin 2cos 3|π θθθ++= -+++= d 显然当1)4 sin(±=+ π θ时，d 取最大值，最小值，分别为1+ 1-2、过点(2,1)的直线中,被圆x 2 +y 2 -2x+4y=0截得的弦：为最长的直线方程是_________；为最短的直线方程是__________； 3、若实数x ,y 满足x 2 +y 2 -2x +4y =0，则x -2y 的最大值为。（三）、课堂练习：学生练习：1、2 （四）、小结：1、本课我们分析圆的几何性质，选择适当的参数求出圆的参数方程。2、参数取的不同，可以得到圆的不同形式的参数方程。从中体会参数的意义。3、利用参数方程求最值。要求大家掌握方法和步骤。（五）、作业：课本P39页A 组6、7、8 B 组5 1、方程04524222=-+--+t ty tx y x (t 为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是（D ） 3cos 2sin x y θ θ =+?? =+?

椭圆的参数方程(教案)

学习好资料欢迎下载 8.2椭圆的几何性质（5） ——椭圆的参数方程（教案）齐鲁石化五中翟慎佳2002.10.25 一.目的要求： 1?了解椭圆参数方程，了解系数a b、「含义。 2. 进一点完善对椭圆的认识，并使学生熟悉的掌握坐标法。 3. 培养理解能力、知识应用能力。二.教学目标： 1. 知识目标：学习椭圆的参数方程。了解它的建立过程，理解它与普通方程的相互联系；对椭圆有一个较全面的了解。 2. 能力目标：巩固坐标法，能对简单方程进行两种形式的互化；能运用参数方程解决相关问题。 3. 德育目标：通过对椭圆多角度、多层次的认识，经历从感性认识到理性认识的上升过程，培养学生辩证唯物主义观点。三.重点难点： 1. 重点：由方程研究曲线的方法；椭圆参数方程及其应用。 2. 难点：椭圆参数方程的推导及应用。四.教学方法：引导启发，计算机辅助，讲练结合。五.教学过程：（一）引言（意义）人们对事物的认识是不断加深、层层推进的，对椭圆的认识也遵循这一规律。本节课学习椭圆的参数方程及其简单应用，进一步完善对椭圆认识。（二）预备知识（复习相关） 1. 求曲线方程常用哪几种方法？答：直接法，待定系数法，转换法〈代入法〉，参数法。 2. 举例：含参数的方程与参数方程

2 “ x = 2t 例如：y =kx+1 （k 参数）含参方程'而I 十1 （t 参数） 3 ?直线及圆的参数方程？各系数意义? （三）推导椭圆参数方程 1. 提出问题（教科书例5）例题.如图，以原点为圆心，分别以 a b （a>b>0）为半径作两个圆。点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点 A 作AN _0x ,垂足为N ，过点B 作BM _AN ，垂足为M 。求当半径0A 绕点0旋转时点M 的轨迹的参数方程。 2. 分析问题本题是由给定条件求轨迹的问题，但动点较多，不易把握。故采用间接法 --- 参数法。引导学生阅读题目，回答问题：（1）动点M 是怎样产生的？ M 与A 、B 的坐标有何联系？（2）如何设出恰当参数？设/ AOX=:为参数较恰当。 3. 解决问题（板演）解：设点M 的坐标（x,y ），是以Ox 为始边，OA 为终边的正角, 取为参数，那么 x=ON=|OA|cos 「， y=NM=|OB|sin 「即 4. 更进一步（板演：化普通方程） -=cos? 分别将方程组①的两个方程变形，得t a 两式平方后相加, '=si n? 是参数方程。 J 5 *實 x = a cos? y =bsin ①引为点M 的轨迹参数方程，「为参数。

《圆的一般方程》教学设计

《圆的一般方程》教学设计 ●教学目标 1．掌握圆的一般方程的形式特点及与标准方程互化； 2．掌握二元二次方程表示圆的充要条件； 3．进一步熟悉并掌握待定系数法. ●教学重点圆的一般方程应用 ●教学难点待定系数法教学过程一、设置情境： 1、求下列各圆的标准方程 ⑴圆心在直线y ＝－x 上，且过两点(2,0),(0,－4)； ⑵圆心在直线2x ＋y ＝0上，且与直线x ＋y －1＝0相切于点(2，－1)； ⑶圆心在直线5x －3y ＝8上，且与坐标轴相切。 ⑴(x －3)2＋(y ＋3)2＝10；⑵(x －1)2＋(y ＋2)2＝2；⑶(x －4)2＋(y －4)2＝16 2、已知圆x 2＋y 2＝25，求： ⑴过点A(4，－3)的切线方程； 4x －3y －25＝0 ⑵过点B(－5，2)的切线方程。 21x －20y ＋145＝0或x ＝－5 2、圆的标准方程及其应用回顾： (x ―a)2＋(y ―b)2＝r 2 其中圆心坐标为（a,b ），半径为r 变形圆的标准方程 x 2＋y 2―2ax ―2by ＋a 2＋b 2－r 2＝0 由此可见，任一个圆的方程都可以写成下面的形式： x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ① 反过来，我们研究形如①的方程的曲线是不是圆。将①的左边配方，整理得 4 4)2()2(2222F E D E y D x -+=+++ ② ⑴当D 2+E 2－4F ＞0时，比较方程②和圆的标准方程，可以看出方程①表示以(―D/2,―E/2)为圆心，半径为F E D 42 122-+的圆； ⑵当D 2+E 2－4F ＝0时，方程①只有实数解x ＝―D/2,y ＝―E/2，所以表示一个点(―D/2,―E/2)； ⑶当D 2+E 2－4F ＜0时，方程①没有实数解，因而它不表示任何图形。二、解决问题 1、圆的一般方程： x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0(D 2+E 2－4F ＞0)，其中圆心(―D/2,―E/2)，半径为F E D 42 122-+。 2、二元二次方程表示圆的充要条件：

椭圆的参数方程及其应用

椭圆的参数方程及其应用大纲对椭圆的参数方程的要求是达到理解的程度，如果适当地引进一点简单的参数方程知识，可以起到拓宽视野，简化平面解析几何的运算的功效。本文主要介绍椭圆的参数方程及其应用，希望能够给读者一些启迪。一般都是这样定义的：椭圆1b )y y (a )x x (2 2 0220=-+-的参数方程是???α +=α+=sin b y y cos a x x 00（α是参数，0b 0a >>，）。特别地，以点（00y x ，）为圆心，半径是r 的椭圆的参数方程是? ??α+=α +=sin r y y cos r x x 00（α是参数，r>0）。一、求椭圆的内接多边形的周长及面积 y x 2 2（20π <α<）， 22b a 4+，例2 已知点A 在椭圆136y 144x 22=+上运动，点B （0，9）、点M 在线段AB 上，且2 1MB AM =，试求动点M 的轨迹方程。解：由题意知B （0，9），设A （ααsin 6cos 12，），并且设M （x ，y ）。则，α=+ ?+α=++=cos 82110 21cos 12211x 21x x B A 3sin 42 119 21sin 6211y 21y y B A +α=+ ?+α=++=，动点M 的轨迹的参数方程是? ??+α=α =3sin 4y cos 8x （α是参数），消去参数得116 )3y (64x 2 2=-+。三、求函数的最值

例3 设点P （x ，y ）在椭圆19y 16x 2 2=+，试求点P 到直线05y x =-+的距离d 的最大值和最小值。解：点P （x ，y ）在椭圆19 y 16x 2 2=+上，设点P （ααsin 3cos 4，）（α是参数且)20[π∈α，），则55 53arcsin sin 534|5sin 4cos 3|d 22-??? ? ? +α= +-α+α=。当5 3 arcsin 2-π=α时，距离d 有最小值0，此时椭圆19y 16x 22=+与直线05y x =-+相切；当5 3arcsin 23-π=α时，距离d 有最大值2。 P ， π），A （a ，0）。解得1cos =α（舍去），或2 22 b a b cos -=α。因为1cos 1<α<-，所以1b a b 1222<-<-。可转化为1e e 112 2<-<-，解得21e 2 > ，于是1e 22<<。故离心率e 的取值范围是? ?? ? ??122，。 [截距法]解线性规划问题由于线性规划的目标函数：z ax by b =+≠()0可变形为y a b x z b =- +，则z b 为直线y a b x z b =-+的纵截距，那么我们在用线性规划求最值时便可以得到如下结论：（1）当b >0时，直线y a b x z b =- +所经过可行域上的点使其纵截距最大时，便是z 取得最大值的点；反之，使纵截距取得最小值的点，就是z 取得最小值的点。（2）当b <0时，与b >0时情形正好相反，直线y a b x z b =- +所经过可行域上的点使其纵截距最大时，是z 取得最小值的点；使纵截距取得最小值的点，便是z 取得最大值的点。

直线的参数方程教案

直线的参数方程教学目标： 1. 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用． 2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想． 3. 通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研的科学精神、严谨的科学态度．教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程．教学难点：通过向量法，建立参数t（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标,x y之间的联系．教学方式：启发、探究、交流与讨论. 教学手段：多媒体课件．教学过程：一、回忆旧知，做好铺垫教师提出问题： 1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程． 2.直线的方向向量的概念． 0 / 13

3.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？ 4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程． 5.如何建立直线的参数方程？这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善，问题5不急于让学生回答，先引起学生的思考．【设计意图】通过回忆所学知识，为学生推导直线的参数方程做好准备．二、直线参数方程探究 1．回顾数轴，引出向量数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？教师提问后，让学生思考并回答问题．教师引导学生明确：如果数轴原点为O ，数1所对应的点为A ，数轴上点M 的坐标为t ，那么： ①OA 为数轴的单位方向向量，OA 方向与数轴的正方向一致，且OM tOA =；②当OM 与OA 方向一致时（即OM 的方向与数轴正方向一致时），0t >；当OM 与OA 方向相反时（即OM 的方向与数轴正方向相反时），0t <；当M 与O 重合时，0t =； ③||OM t =．教师用几何画板软件演示上述过程．

椭圆参数方程教学设计2

椭圆的参数方程教学设计一、基本说明 1、教学内容所属模块：选修4-4 2、年级：高三 3、所用教材出版单位：人民教育出版社（A版） 4、所属的章节：第二讲第二节第1课时 5、学时数：45 分钟二、教学设计（一）、内容分析 1、内容来源普通高中课程标准试验教科书人民教育出版社A版数学选修4-4第二讲第三课时：椭圆的参数方程 2、地位与作用参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式。本节知识以学生学习和了解了椭圆的普通方程和圆的参数方程为载体，从另一个角度认识椭圆。在建立椭圆方程过程中，展示引进参数的意义和作用。以及根据椭圆的特点，选取适当的方程表示形式，体现解决有关椭圆问题中数学方法的灵活性，拓展学生的思路，开阔学生的视野。（二）、教学目标 1、知识与技能：（1）理解椭圆的参数方程及其参数的几何意义。（2）引导学生体验构造参数法的应用思想，探讨如何运用参数方程在解决与椭圆有关问题。（3）会根据条件构造参数方程实现问题的转化，达到解题的目的。 2、过程和方法：（1）通过以熟悉的椭圆为载体，进一步学习建立参数方程的基本步骤，加深对参数方程的理解，同时引导学生从不同角度认识椭圆的几何性质，体会参数对研究曲线问题的作用。（2）通过利用信息技术从参数连续变化而形成椭圆的过程中认识参数的几何意义。 3、情感、态度和价值：通过师生共同探究进一步学习建立参数方程的基本步骤，加深对参数方程的理解，体会参数法的应用。同时引导学生从不同角度认识椭圆的几何性质。以及用参数方程解决某些曲线问题的过程中分享体会类比思想、数形结合的思想、构造转化思想。培养学生用“联系”的观点看问题，进一步增强“代数”与“几何”的联系，培养学生学好数学的信心。（三）、教学重点、难点重点：椭圆的参数方程及其参数的几何意义难点：巧用椭圆的参数方程解题（四）、学情分析： “坐标法”是现代数学最重要的基本思想之一。坐标系是联系几何与代数的桥梁，是数形结合的有力工具。虽然我们的学生已经学习和了解了椭圆的普通方程和圆的参数方程有关知识，但我们的学生对其了解甚少，再说椭圆参数方程的探求与应用，与代数变换、三角函数有密切联系，以及由学生独立获取椭圆参数方程中的参数的几何意义是极其困难的。因此我们必须从实际问题入手，由浅入深的帮助学生学习理解知识，通过“思考”、“探究”、“信息技术应用”等来启发和引导学生的数学思维，养成主动探索、积极思考的好习惯。

人教版数学高一必修2学案4.1.2圆的一般方程

4．1.2圆的一般方程基础梳理 1．圆的一般方程的定义．当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形． 3.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系．已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.则其位置关系如下表：

练习1：二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0在什么条件下表示圆的方程？答案：A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4AF＞0 练习2：圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0的圆心为(1，－5)，半径为 ?思考应用 1．圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？解析：圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2明确了圆心和半径，方程左边为平方和，右边为一个正数，且未知数的系数为1；一般方程体现了二元二次方程的特点，但未明确圆心和半径，需计算得到．当二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0中的系数A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0时，二元二次方程就是圆的一般方程． 2．求圆的方程常用“待定系数法”，“待定系数法”的一般步骤是什么？解析：(1)根据题意选择方程的形式——标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组； (3)解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程．

自测自评 1．圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的圆心和半径分别为(C ) A ．(4，－6)，r ＝16 B ．(2，－3)，r ＝4 C ．(－2，3)，r ＝4 D ．(2，－3)，r ＝16 解析：由圆的一般方程可知圆心坐标为(－2，3)，半径r ＝1242＋（－6）2＋12＝4. 2．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F>0)所表示的曲线关于y ＝x 对称，则必有(A ) A ．D ＝E B ．D ＝F C ．F ＝E D ．D ＝ E ＝ F 解析：由题知圆心? ?? ??－D 2，－E 2在直线y ＝x 上，即－E 2＝－D 2，∴D ＝E. 3．若方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则实数k 的取值范围是(B ) A ．R B ．(－∞，1) C ．(－∞，1] D ．[1，＋∞) 解析：由D 2＋E 2－4F ＝(－4)2＋22－4×5k ＝20－20k >0得k <1. 4．圆心是(－3，4)，经过点M (5，1)的圆的一般方程为x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0．解析：圆的半径r ＝（－3－5）2＋（4－1）2＝73， ∴圆的标准方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝73，

圆的标准方程与一般方程教案

圆的标准方程【自主预习】 1、在平面直角坐标系中，确定一个圆的要素有哪些？ 2、①若一个圆的圆心是（0，0），半径是2，圆的方程是什么？ ②若一个圆的圆心是（-2，1），半径是3，圆的方程是什么？ ③若一个圆的圆心是（a ，b ），半径是r(y>0)，圆的方程是什么？ 3、分析圆的标准方程有何特点？ 4、写出下列圆的方程 ⑴圆心在原点，半径为3 ⑵圆心在点C(3,4),半径为5 ⑶经过点P （5，1），圆心在点C(8，-3) ⑷已知点A(-4,-5),B(6,-1),求以AB 为直径的圆的方程。特殊的：过直径两端点A （x 1，y 1）、B(x 2，y 2)的圆的方程为(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0 5、根据圆的方程写出圆心和半径 ⑴ 5)3()222=-+-y x （ ⑵2 222()2）（-=++y x 【典例探究】（点与圆的位置关系）例题1 已知圆心在C(-3,-4),且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点)4,3(),1,1(),0,1(321---p p p 和圆的位置关系。

的条件呢？的条件是什么？在圆外内在圆（思考：点)0()()),(22200>=-+-r r b y a x y x M 判定方法 1、几何法 2、代数法（三角形外接圆）例题2、△ABC 的三个顶点的坐标分别是A(-2，4),B(-1，3),C(2,6),求它的外接圆的方程。变式：已知四点A （0,1）、B （2,1）、C （3,4）、D （-1,2），这四点是否在同一个圆上，为什么？（圆的标准方程）例题3 已知一个圆C 经过两个点A （2，-3），B （-2，-5），且圆心在直线 032:=--y x l 上，求此圆的方程。

圆的参数方程及应用

对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达形式cos sin x a R y b R θθ=+??=+?(θ为参数），在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。一、求最值例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。【解】圆2 2 1x y +=的参数方程为：cos sin x y θθ=??=? 。则2223x xy y ++=22cos 2sin cos 3sin θθθθ++ = 1cos 21cos 2sin 2322θθθ+-++? 2sin 2cos 2θθ=+-=22sin(2)4π θ+-，则38k πθπ=+（k ∈Z ）时，2223x xy y ++的最大值为：22+；8 k π θπ=-（k ∈Z ）时，2223x xy y ++的最小值为22-。【点评】解某些与圆的方程有关的条件制问题，可应用圆的参数方程转化为三角函数问题的方法解决。二、求轨迹例2 在圆224x y +=上有定点A （2，0），及两个动点B 、C ，且A 、B 、C 按逆时针方向排列， ∠BAC=3π ，求△ABC 的重心G （x ，y ）的轨迹方程。【解】由∠BAC= 3 π，得∠BOC=23π，设∠ABO=θ（403π θ<<），则B(2cos θ,2sin θ)，C(2cos(θ+23π)，2sin(θ+23 π ))，由重心坐标公式并化简，得： 22cos()333 2sin()33x y πθπθ? =++??? ?=+?? ，由5333πππθ<+<，知0≤x ＜1， C x y O A B 图1

参数方程考点

参数方程“考点”面面看 “参数方程”主要内容是直线、圆和椭圆的参数方程，参数方程和普通方程的互化，参数方程的简单应用三块，下面针对这三块内容进行透析：一、直线、圆和椭圆的参数方程例1．若直线的参数方程为1223x t y t =+??=-?（t 为参数），则直线的斜率为 . 分析：经过点P 0（x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程为x x t y y t t =+=+???00 cos sin αα（为参数）解：将直线的参数方程为1223x t y t =+??=-? 化为12x y ?=????=?? （t 为参数），则直线的斜率为32 -. 评注：关键是要弄清楚直线的参数方程的形式. 经过定点P(x 0,y 0)的直线的参数方程也可以写成00x x at y y bt =+??=+?(t 为参数)，斜率就是b a . 二、参数方程与普通方程的互化化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程(),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）. 例2.方程2222 t t t t x t y --?=-??=+??（为参数）表示的曲线是__________________. 分析：把参数方程化为我们熟悉的普通方程，再去判断它表示的曲线类型是这类问题的破解策略. 解：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，()()22 2222224t t t t x y ---=--+=-，即有224y x -=，又注意到 202222t t t y ->+≥=≥，，即，可见与以上参数方程等价的普通方程为2242y x y -=≥（）.显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支. 评注：这是一类将参数方程化为普通方程的检验问题，转化的关键是要注意变量范围的一致性. 例3．设P 是椭圆22 2312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值是，最小值为 . 分析：由于研究二元函数x+2y 相对困难，因此有必要消元，但由x ，y 满足的方程2x 2+3y 2=12表出x 或y ，会出现无理式，这对进一步求函数最值依然不够简洁，能否有其他途径把二元函数x+2y 转化为一元函数呢？

教师资格证面试教案模板：高中数学《圆的一般方程》(Word版)

教师资格证面试教案模板：高中数学《圆的一般方程》（2021最新版）作者：______ 编写日期：2021年__月__日一、教学目标【知识与技能】在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径。掌握方程表示圆的条件。【过程与方法】通过对方程表示圆的条件的探究，学生探索发现

及分析解决问题的实际能力得到提高【情感态度与价值观】渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。二、教学重难点【重点】掌握圆的一般方程，以及用待定系数法求圆的一般方程。【难点】二元二次方程与圆的一般方程及标准圆方程的关系。三、教学过程 (一)复习旧知，引出课题 1.复习圆的标准方程，圆心、半径。 2.提问1：已知圆心为(1,-2)、半径为2的圆的方程是什么? (二)交流讨论，探究新知 1.提问2：方程是什么图形?方程表示什么图形?任何圆的方程都

是这样的二元二次方程吗?(通过此例分析引导学生使用配方法) 2.方程什么条件下表示圆?(配方和展开由学生相互讨论交流完成，教师最后展示结果) 将配方得： 3.学生在教师的引导下对方程分类讨论，最后师生共同总结出3种情况，即圆的一般方程表示圆的条件。从而得出圆的一般方程式： 4.由学生归纳圆的一般方程的特点，师生共同总结。 (三)例题讲解，深化新知例1.判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是，请求出圆的圆心及半径。 (1)(2) 例2.求过三点A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。

北师大版高三数学选修4-4教案：2.2圆的参数方程及应用

第二课时圆的参数方程及应用一、教学目标：知识与技能：分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。利用圆的几何性质求最值（数形结合）过程与方法：能选取适当的参数，求圆的参数方程情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。二、重难点：教学重点：能选取适当的参数，求圆的参数方程教学难点：选择圆的参数方程求最值问题. 三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程：（一）、圆的参数方程探求 1、学生阅读课本P32,根据图形求出圆的参数方程，教师准对问题讲评。 )(sin cos 为参数θθ θ?? ?==r y r x 这就是圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程。说明：（1）参数θ的几何意义是OM 与x 轴正方向的夹角。（2）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。（3）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。思考交流：你能回答课本第33页的思考交流题吗？ 3、若如图取

（1）、判断这两条曲线的形状；（2）、求这两条曲线的交点坐标。学生练习，教师准对问题讲评。（二）、最值问题：利用圆的几何性质和圆的参数方程求最值（数形结合）例2、1、已知点P （x ，y ）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动点，求（1） x2+y2 的最值，（2）x+y 的最值，（3）P 到直线x+y- 1=0的距离d 的最值。解：圆x2+y2- 6x- 4y+12=0即（x- 3）2+（y- 2）2=1，用参数方程表示为由于点P 在圆上，所以可设P （3+cos θ，2+sin θ），（1） x2+y2 = (3+cos θ)2+(2+sin θ)2 =14+4 sin θ +6cos θ θ +ψ). (其中tan ψ =3/2) ∴ x2+y2 的最大值为。 (2) x+y= 3+cos θ+ 2+sin θ （ θ + 4 π ）∴ x+y 的最大值为，最小值为。 (3)2 | )4 sin(24|2 | 1sin 2cos 3|π θθθ++= -+++= d 显然当1)4 sin(±=+ π θ时，d 取最大值，最小值，分别为1+ 1-2、过点(2,1)的直线中,被圆x 2 +y 2 -2x+4y=0截得的弦：为最长的直线方程是_________；为最短的直线方程是__________； 3、若实数x ,y 满足x 2+y 2-2x +4y =0，则x -2y 的最大值为。（三）、课堂练习：学生练习：1、2 （四）、小结：1、本课我们分析圆的几何性质，选择适当的参数求出圆的参数方程。2、参数取的不同，可以得到圆的不同形式的参数方程。从中体会参数的意义。3、利用参数方程求最值。要求大家掌握方法和步骤。（五）、作业：课本P39页A 组6、7、8 B 组5 1、方程04524222=-+--+t ty tx y x (t 为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是（D ） A ．一个定点 B ．一个椭圆 C ．一条抛物线 D ．一条直线 2、已知)(sin cos 2为参数θθ θ ?? ?=+=y x ，则22)4()5(++-y x 的最大值是6。 3cos 2sin x y θ θ =+?? =+?

2017参数方程学案.doc

第2讲参数方程【考情分析】考查直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题．基础梳理 1．参数方程的意义在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x ，y 都是某个变量的函数??? x ＝f (t )，y ＝f (t )，并且对于t 的每个允许值，由方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2．常见曲线的参数方程的一般形式 (1)经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为??? x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P → 的数量． (2)圆的参数方程??? x ＝r cos θ， y ＝r sin θ(θ为参数)． (3)圆锥曲线的参数方程椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1的参数方程为??? x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的参数方程为??? x ＝a sec φ，y ＝tan φ(φ为参数)．抛物线y 2＝2px 的参数方程为??? x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．双基自测 1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程??? x ＝－1－t ， y ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形分别是( )．

A ．直线、直线 B ．直线、圆 C ．圆、圆 D ．圆、直线解析 ∵ρcos θ＝x ，∴cos θ＝x ρ代入到ρ＝cos θ，得ρ＝x ρ，∴ρ2＝x ，∴x 2＋y 2＝x 表示圆．又∵??? x ＝－1－t ，y ＝2＋t ，相加得x ＋y ＝1，表示直线．答案 D 2．若直线??? x ＝1－2t ， y ＝2＋3t (t 为实数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________. 解析参数方程??? x ＝1－2t ， y ＝2＋3t ，所表示的直线方程为3x ＋2y ＝7，由此直线与直线 4x ＋ky ＝1垂直可得－32×? ???? －4k ＝－1，解得k ＝－6. 答案－6 3．二次曲线??? x ＝5cos θ， y ＝3sin θ(θ是参数)的左焦点的坐标是________．解析题中二次曲线的普通方程为x 225＋y 2 9＝1左焦点为(－4,0)．答案 (－4,0) 4．(2011·广州调研)已知直线l 的参数方程为：??? x ＝2t ， y ＝1＋4t (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝22sin θ，则直线l 与圆C 的位置关系为________．解析将直线l 的参数方程：??? x ＝2t ， y ＝1＋4t 化为普通方程得，y ＝1＋2x ，圆ρ＝22 sin θ的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝2，圆心(0，2)到直线y ＝1＋2x 的距离为 2－1 1＋4 ，因为该距离小于圆的半径，所以直线l 与圆C 相交．答案相交

高中数学《圆的标准方程》导学案

2.1 圆的标准方程 [学习目标] 1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点． 2.会根据已知条件求圆的标准方程． 3.能准确判断点与圆的位置关系. 【主干自填】 1．确定圆的条件 (1)几何特征：圆上任一点到圆心的距离等于□01定长． (2)确定圆的条件：□02圆心和□03半径． 2．圆的标准方程 (1)以C (a ，b )为圆心，半径为r □ 04(x －a )＋(y －b )＝r . (2)当圆心在坐标原点时，半径为r 的圆的标准方程为□05x ＋y ＝r . 3．中点坐标 A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)的中点坐标为□06? ????x 1＋x 22，y 1＋y 22. 4．点与圆的位置关系点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两种方法： (1)几何法：将所给的点M 与圆心C 的距离跟半径r 比较：若|CM |＝r ，则点M 在□07圆上；若|CM |>r ，则点M 在□08圆外；若|CM |

(2)代数法：可利用圆C的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2来确定：点M(m，n)在□10圆上?(m－a)2＋(n－b)2＝r2；点M(m，n)在□11圆外?(m－a)2＋(n－b)2>r2；点M(m，n)在□12圆内?(m－a)2＋(n－b)2

高中数学-圆的标准方程教案

第四章圆与方程 4.1.1 圆的标准方程三维目标：知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。 2、会用待定系数法求圆的标准方程。过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。教学重点：圆的标准方程教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。教学过程： 1、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？探索研究： 2、探索研究：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件 r = ① 化简可得：222 ()()x a y b r -+-= ② 引导学生自己证明2 2 2 ()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论。方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。 3、知识应用与解题研究

例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。探究：点00(,)M x y 与圆222 ()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）22 00()()x a y b -+->2r ，点在圆外（2）22 00()()x a y b -+-=2r ，点在圆上（3）2200()()x a y b -+-<2 r ，点在圆内例（2）： ABC V 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程师生共同分析：从圆的标准方程2 2 2 ()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决）例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程. 师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和 (2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。（教师板书解题过程。）总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、例(3)可得出ABC V 外接圆的标准方程的两种求法： ①、根据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的标准方程. 根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程. 提炼小结： 1、圆的标准方程。 2、点与圆的位置关系的判断方法。 3、根据已知条件求圆的标准方程的方法。

抛物线的参数方程(教师版)

14. 抛物线的参数方程主备：审核：学习目标：1. 了解椭圆的参数方程的推导过程及参数的意义； 2. 掌握椭圆的参数方程，并能解决一些简单的问题. 学习重点：椭圆参数方程的应用，学习难点：椭圆参数方程中参数的意义. 学习过程：一、课前准备：阅读教材3334P P -的内容，理解抛物线的参数方程的推导过程，并复习以下问题： 1.将下列参数方程化为普通方程：（1）2 23 x t y t t =-?? =+-?（t 为参数），答：2 53x x y --=；（2）224x m y m ?=?=?（m 为参数），答：2 8x y =. 2.将下列普通方程化为参数方程：（1）2 2x y =，其中1x t t =-（t 为参数），答：221224 x t t y t t ?=-???=+-? ；（2）2 34y x =，其中x t =（0t ≥为参数），答：x t y =???=?? . 二、新课导学：（一）新知：抛物线的参数方程的推导过程：如图：设(,)M x y 为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM 为终边的角记为α，当α在(,)22 ππ - 内变化时，点M 在抛物线上运动，并且对于α的每一个值，在抛物线上都有唯一的M 点与对应.因此，可以取α为参数探求抛物线的参数方程. 根据三角函数的定义得，tan y x α=，即tan y x α=，联立2 2y px =，得 22tan 2tan p x p y α α?=??? ?=?? （α为参数），这为抛物线的不含顶点的参数方程，但方程的形式不够简洁，设1 tan t α=，(,0)(0,)t ∈-∞+∞U ，则222x pt y pt ?=?=?（t 为参数），当0t =时，由参数方程得，正好为顶点(0,0)O ，因此当(,)t ∈-∞+∞时，上式为 22y px =的参数方程. 注意：参数t 的几何意义为：表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数. 动动手：（1）选择适当的参数t ，建立抛物线2 2x py =的参数方程 .

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