解：运用作商比较法，
10<+∴11，
1111
>+>-x x
|)1(log ||)1(log ||
)1(log |1x x x x a a -=+-∴
+
)1(log 1x x --=+
111
log 1>-=+x
x
|)1(log ||)1(log |x x a a +>-∴ 三、变换主元地位，避免分类讨论
例3：设不等式0122
<+--m x mx 对于满足2||≤m 的一切m 的值都成立，求m 的取值范围。 分析：本例为含参数的不等式，关键是对参数的处理，从表面上看，是一个关于x 的一元二次不等式，实质上是一个关于m 的一元一次不等式，并且已知它的解集为［-2，2］，求参数的范围。因此通过参数m 与未知数x 的地位的变化，借助于一次函数图象，避免了繁杂的对参数的讨论。
解：设)21()1()(2x m x m f -+-=，它是以m 为自变量的一次函数，其图象为直线，由题意知，这
条直线当]22[，
-∈x 时，线段在y 轴的下方，满足它的为 ??
?<<-0)2(0)2(f f 即??????<--<+--01220
32222
x x x x ???????
?+<<-+->--<
23123127
1271x x x 或 2
3
1271+<<+-x 四、借助函数性质，避免分类讨论
例4：设定义在［-2，2］上的偶函数在区间［0，2］上单调递减，若)()1(m f m f <-，求实数m 的取值范围。
分析：由函数的定义域知]22[]22[)1(，，，-∈-∈-m m ，但是m -1与m 到底是在［-2，0］、［0，2］的哪个区域内，不十分清楚，若就此讨论，将十分复杂，如果注意到性质“如果是偶函数，那么
|)(|)()(x f x f x f ==-”，问题解答就简捷多了。
解：)(x f 是偶函数，|)(|)()(x f x f x f ==-∴，
|)(||)1(|)()1(m f m f m f m f <-?<-
又当]20[，∈x 时，)(x f 单调递减，
??
?
??≤≤-≤-≤->-∴2
2212|
||1|m m m m ，解得211≤≤-m
点评：本题应用了偶函数的一个简单性质，从而避免了一场“大规模”的讨论，将“曲径”变“通途”。值得深思。
活跃在空间图形中的轨迹问题
在知识网络交汇点处设计试题是这几年高考命题改革的一大趋势。而以空间图形为素材的轨迹问题，由于具有其独特的新颖性、综合性与交汇性，所以倍受命题者的亲睐，但由于这类题目涵盖的知识点多，创新能力与数学思想方法要求高，而且这些题目远看象“立几”近看象“解几”，所以学生在解题中，
往往是望题兴叹，百思而不得其解。本文试从几个例题来剖析这些问题的基本解法。
1 判断轨迹的类型问题
这类问题常常要借助于圆锥曲线的定义来判断，常见的轨迹类型有：线段、圆、圆锥曲线、球面等。在考查学生的空间想象能力的同时，又融合了曲线的轨迹问题。 例1 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 与到直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为（D ）。
A. 线段
B. 一段椭圆弧
C. 双曲线的一部分
D. 抛物线的一部分 简析 本题主要考查点到直线距离的概念，线面垂直及抛物线的定义。因为B 1C 1⊥面AB 1，所以PB 1就是P 到直线B 1C 1的距离，故由抛物线的定义知：动点的轨迹为抛物线的一段，从而选D 。
引申1 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为2：1，则动点P 所在曲线的形状为（B ）。
A. 线段
B. 一段椭圆弧
C. 双曲线的一部分
D. 抛物线的一部分
引申2 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为1：2，则动点P 所在曲线的形状为（C ）。
A. 线段
B. 一段椭圆弧
C. 双曲线的一部分
D. 抛物线的一部分
例2 （2006届天津市十二区县市重点中学第一次高考模拟联合测试）在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1的中点，点P 在其对角面BB 1D 1D 内运动，若EP 总与直线AC 成等角，则点P 的轨迹有可能是（A ）。 A. 圆或圆的一部分 B. 抛物线或其一部分 C. 双曲线或其一部分 D. 椭圆或其一部分 简析 由条件易知：AC 是平面BB 1D 1D 的法向量，所以EP 与直线AC 成等角，得到EP 与平面BB 1D 1D 所成的角都相等，故点P 的轨迹有可能是圆或圆的一部分。
例3（2005年浙江省模拟）已知正方体ABCD A B C D -1111的棱长为a ，定点M 在棱AB 上（但不在端点A ，B 上），点P 是平面ABCD 内的动点，且点P 到直线A D 11的距
离与点P 到点M 的距离的平方差为a 2，则点P 的轨迹所在曲线为（A ）。 A. 抛物线 B. 双曲线 C. 直线 D. 圆 简析 在正方体ABCD A B C D -1111中，过P 作PF ⊥AD ，过F 作FE ⊥A 1D 1，垂足分别为F 、E ，连结PE 。则PE 2=a 2+PF 2，又PE 2-PM 2=a 2，所以PM 2=PF 2，从而PM ＝PF ，故点P 到直线AD 与到点M 的距离相等，故点P 的轨迹是以M 为焦点，AD 为准线的抛物线。 点评 正方体是空间图形中既简单、熟悉、又重要的几何体，具有丰富的内涵，在正方体中设计的轨迹问题，更是别具一格。 例4 在正方体ABCD A B C D -1111中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，总有AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹为__________。 简析 在解题中，我们要找到运动变化中的不变因素，通常将动点聚焦到某一个平面。易证BD 1⊥面ACB 1，所以满足BD 1⊥AP 的所有点P 都在一个平面ACB 1上。而已知条件中的点P 是在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，因此，符合条件的点P 在平面ACB 1与平面BCC 1B 1交线上，故所求的轨迹为线
段B 1C 。本题的解题基本思路是：利用升维，化“动”为“静”，即先找出所有点的轨迹，然后缩小到符合条件的点的轨迹。 引申 在正四棱锥S-ABCD 中，E 是BC 的中点，点P 在侧面?SCD 内及其边界上运动，总有PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹为_______________。
答案 线段MN （M 、N 分别为SC 、CD 的中点）
练习（2004年天津高考题）若A 、B 为平面α的两个定点，点P 在α外，PB ⊥α，动点C （不同于A 、B ）在α内，且PC ⊥AC ，则动点C 在平面内的轨迹是________。（除去两点的圆）
例5（2004年重庆市高考题）若三棱锥A —BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与?ABC 组成的图形可能是：（D ）
A A A
B C B C B C B C A B C D
简析 动点P 在侧面ABC 内，若点P 到AB 的距离等于到棱BC 的距离，则点P 在∠ABC 的内角平分线上。现在P 到平面BCD 的距离等于到棱AB 的距离，而P 到棱BC 的距离大于P 到底面BCD 的距离，于是，P 到棱AB 的距离小于P 到棱BC 的距离，故动点P 只能在∠ABC 的内角平分线与AB 之间的区域内。只能选D 。 引申 （2005年温州一模）已知P 是正四面体S-ABC 的面SBC 上一点，P 到面ABC 的距离与到点S 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（B ）。 A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
解题的要领就是化空间问题为平面问题，把一些重要元素集中在某一个平面内，利 用相关的知识去解答，象平面几何知识、解析几何知识等。 2 求轨迹中的长度、面积与体积问题 例6
已知正方体ABCD A B C D -1111的棱长为1，在正方体的侧面BCC B 11上到点A 距离为
23
3
的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是_________，它的长度为__________。（2004年北京西城区模拟试题）
简析
以B 为圆心，半径为
33且圆心角为π2的圆弧，长度为3
6
π。
例7 已知长方体ABCD A B C D -1111中，AB BC ==63,，在线段BD 、A C 11上各有一点P 、Q ，PQ 上有一点M ，且PM MQ =2，则M 点轨迹图形的面积是 8 。
提示 轨迹的图形是一个平行四边形。
例8
已知棱长为3的正方体ABCD A B C D -1111中，长为2的线段MN 的一个端点在DD 1上运动，
另一个端点N 在底面ABCD 上运动，求MN 中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积。
简析 由于M 、N 都是运动的，所以求的轨迹必须化“动”为“静”，结合动点P 的几何性质，连结DP ，因为MN=2，所以PD=1，因此点P 的轨迹是一个以D 为球心，1为半径的球面在正方体内的部分，所以点P 的轨迹与正方体的表面所围成的几何体的体积为球的体积的
18，即184316
3
??=ππ。 以空间图形为依托的轨迹问题，要善于利用空间图形的位置关系来转化，把空间问题转化为平面问题，
再利用平几或解几知识实现问题的突破，从而使问题迎刃而解。
一个不等式链的应用
人教版高中数学第二册（上）习题6.2第3题：
已知a ，b 为正数，求证：2
1122
22
a b
ab a b
a b +≤≤+≤
+，当且仅当a ＝b 时等号成立。 此不等式链含有6个不等式：
2
11a b ab +≤ ①
ab a b
≤
+2
② a b a b +≤
+22
22
③
2112
a b
a b
+≤
+ ④
211222
a b
a b +≤
+ ⑤ ab a b ≤
+22
2
⑥ 这些不等式就是同学们熟悉的均值不等式及其变化，但在解题中常常被忽视，若能灵活运用，则会给解题带来很多方便，现举例说明。
例1. 某商品计划提价两次，有甲、乙、丙三种方案：甲方案第一次提价p%，第二次提价q%；乙方案第一次提价q%，第二次提价p%；丙方案第一次提价
p q +2%，第二次再提价p q
+2
%，其中p q >>0。则经过两次提价后，哪种方案的提价幅度最大？为什么？
解：设该商品原价为a ，两次提价后的价格按甲、乙、丙三种方案的次序依次为y y y 123，，，则：
y a p q 111=++(%)(%) y a q p 211
=++(%)(%) y a p q
3212
=+
+(%) ∵p q >>0，由不等式②得：
(%)(%)[(%)(%)](%)11
11212
22++<+++=++p q p q p q
∴y y y 123=<
故丙方案提价的幅度最大。
例2. 已知a ，b ，c 均为正数，求证：
a b b c c a a b c 2222222+++++≥++()。
证明：由不等式③，得： a b a b b c b c 22222222+≥
++≥+()()，，
a c c a 222
2
+≥+()。
上述不等式相加得，
a b b c c a a b c 2222222+++++≥++()。
例3. 甲、乙两同学同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步。如果两人步行速度、跑步速度均相同，则（ ） A. 甲先到教室 B. 乙先到教室 C. 两人同时到教室 D. 不确定 解：设从寝室到教室的路程是s ，甲（乙）跑步和步行的速度分别为a ，b ， 甲、乙两人所用时间分别为t t 12，，则：
s a s
b t t a t b s 2222122+=+=，， t s
a b
t s a b 122112
=+=
+， 由不等式④，得
2112
a b
a b
+<
+（a ≠b ），所以t t 12>，故选B 。 例4. （人教版高中数学第二册（上）习题6.2第7题1）求证：在直径为d 的圆内接矩形中，面积最大
的是正方形，这个正方形的面积等于d 2
2
。
证明：设矩形的长为x ，宽为y ，面积为S ，则x y d S xy 222+==，
由不等式⑥，得S xy x y d =≤+=222
22
。 当且仅当x y =时等号成立，故S d max =2
2
。
［练一练］
设a b c R ，，∈*，求证：a b b c c a a b c 2222222+++++≥
++()。
证明过程提示：因为a b R ，∈*
，且a b a b 2
2
2
2
+≥+()，
所以a b a b 222+≥+ 同理b c b c c a c a 22
2222
+≥++≥+，
三式相加，得： a b b c c a a b c 222222
12
222+++++≥++()=++2()a b c 例说处理和（差）角范围问题的几点做法
在三角解题中经常遇到确定和（差）角范围的问题，学生常因确定和（差）角范围的偏差导致解题失误。本文举例说明这类问题的处理方法。 一. 合理选用公式来确定
例1 已知α，β均为锐角， sin α=5510
10
，sin β=
，求α+β的值。 解析：由已知条件有 cos α=
2553
1010，cos β=，且0＜α+β＜π。又cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β =-=+=
2553101055101022
04
××＞，所以αβπ
评注：若本题选择正弦的和角公式，会因为一、二象限角的正弦值均为正，而得出两个结果π
π43
4
或，导致解题失误，这就需要注意公式的合理选用，若将本例改为：设α是锐角，
π
βπ2
＜＜，且
sin ,sin αβ=
=5510
10
，求α+β的值，则选用正弦和角公式合理。
椭圆的参数方程及其应用
椭圆的参数方程及其应用 大纲对椭圆的参数方程的要求是达到理解的程度，如果适当地引进一点简单的参数方程知识，可以起到拓宽视野，简化平面解析几何的运算的功效。本文主要介绍椭圆的参数方程及其应用，希望能够给读者一些启迪。 一般都是这样定义的： 椭圆1b )y y (a )x x (2 2 0220=-+-的参数方程是???α +=α+=sin b y y cos a x x 00（α是参数，0b 0a >>，）。 特别地，以点（00y x ，）为圆心，半径是r 的椭圆的参数方程是? ??α+=α +=sin r y y cos r x x 00（α是参数，r>0）。 一、求椭圆的内接多边形的周长及面积 y x 2 2（20π <α<）， 22b a 4+， 例2 已知点A 在椭圆136y 144x 22=+上运动，点B （0，9）、点M 在线段AB 上，且2 1MB AM =，试求动点M 的轨迹方程。 解：由题意知B （0，9），设A （ααsin 6cos 12，），并且设M （x ，y ）。 则，α=+ ?+α=++=cos 82110 21cos 12211x 21x x B A 3sin 42 119 21sin 6211y 21y y B A +α=+ ?+α=++=， 动点M 的轨迹的参数方程是? ??+α=α =3sin 4y cos 8x （α是参数）， 消去参数得116 )3y (64x 2 2=-+。 三、求函数的最值
例3 设点P （x ，y ）在椭圆19y 16x 2 2=+，试求点P 到直线05y x =-+的距离d 的最大值和最小值。 解：点P （x ，y ）在椭圆19 y 16x 2 2=+上，设点P （ααsin 3cos 4，）（α是参数且)20[π∈α，）， 则55 53arcsin sin 534|5sin 4cos 3|d 22-??? ? ? +α= +-α+α=。 当5 3 arcsin 2-π=α时，距离d 有最小值0，此时椭圆19y 16x 22=+与直线05y x =-+相切；当5 3arcsin 23-π=α时，距离d 有最大值2。 P ， π），A （a ，0）。 解得1cos =α（舍去），或2 22 b a b cos -=α。 因为1cos 1<α<-，所以1b a b 1222<-<-。可转化为1e e 112 2<-<-，解得21e 2 > ，于是1e 22<<。故离心率e 的取值范围是? ?? ? ??122，。 [截距法]解线性规划问题 由于线性规划的目标函数：z ax by b =+≠()0可变形为y a b x z b =- +，则z b 为直线y a b x z b =-+的纵截距，那么我们在用线性规划求最值时便可以得到如下结论： （1）当b >0时，直线y a b x z b =- +所经过可行域上的点使其纵截距最大时，便是z 取得最大值的点；反之，使纵截距取得最小值的点，就是z 取得最小值的点。 （2）当b <0时，与b >0时情形正好相反，直线y a b x z b =- +所经过可行域上的点使其纵截距最大时，是z 取得最小值的点；使纵截距取得最小值的点，便是z 取得最大值的点。
椭圆的参数方程(教案)
学习好资料欢迎下载 8.2椭圆的几何性质（5） ——椭圆的参数方程（教案） 齐鲁石化五中翟慎佳2002.10.25 一.目的要求： 1?了解椭圆参数方程，了解系数a b、「含义。 2. 进一点完善对椭圆的认识，并使学生熟悉的掌握坐标法。 3. 培养理解能力、知识应用能力。 二.教学目标： 1. 知识目标：学习椭圆的参数方程。了解它的建立过程，理解它与普通方 程的相互联系；对椭圆有一个较全面的了解。 2. 能力目标：巩固坐标法，能对简单方程进行两种形式的互化；能运用参 数方程解决相关问题。 3. 德育目标：通过对椭圆多角度、多层次的认识，经历从感性认识到理性 认识的上升过程，培养学生辩证唯物主义观点。 三.重点难点： 1. 重点：由方程研究曲线的方法；椭圆参数方程及其应用。 2. 难点：椭圆参数方程的推导及应用。 四.教学方法： 引导启发，计算机辅助，讲练结合。 五.教学过程： （一）引言（意义） 人们对事物的认识是不断加深、层层推进的，对椭圆的认识也遵循这一规律。 本节课学习椭圆的参数方程及其简单应用，进一步完善对椭圆认识。（二）预备知识（复习相关） 1. 求曲线方程常用哪几种方法？ 答：直接法，待定系数法，转换法〈代入法〉，参数法。 2. 举例：含参数的方程与参数方程
2 “ x = 2t 例如：y =kx+1 （k 参数）含参方程'而I 十1 （t 参数） 3 ?直线及圆的参数方程？各系数意义? （三）推导椭圆参数方程 1. 提出问题（教科书例5） 例题.如图，以原点为圆心，分别以 a b （a>b>0）为半径作两个圆。 点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点 A 作AN _0x ,垂足为N ，过 点B 作BM _AN ，垂足为M 。求当半径0A 绕点0旋转时点M 的轨迹 的参数方程。 2. 分析问题 本题是由给定条件求轨迹的问 题，但动点较多，不易把握。故采用 间接法 --- 参数法。 引导学生阅读题目，回答问题： （1） 动点M 是怎样产生的？ M 与A 、B 的坐标有何联系？ （2） 如何设出恰当参数？ 设/ AOX=:为参数较恰当。 3. 解决问题（板演） 解：设点M 的坐标（x,y ），是以Ox 为始边，OA 为终边的正角, 取为参数，那么 x=ON=|OA|cos 「， y=NM=|OB|sin 「即 4. 更进一步（板演：化普通方程） -=cos? 分别将方程组①的两个方程变形，得t a 两式平方后相加, '=si n? 是参数方程。 J 5 *實 x = a cos? y =bsin ①引为点M 的轨迹参数方程，「为参数。
椭圆的参数方程中参数的几何意义
椭圆的参数方程中参数的几何意义： 红点M的轨迹是椭圆，M(x,y)=(|OA|cosφ，|OB|sinφ) 所以离心角φ就是那条倾斜直线的角。 周长 椭圆周长计算公式：L=T（r+R） T为椭圆系数，可以由r/R的值，查表找出系数T值；r为椭圆短半径；R为椭圆长半径。 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半径与长半径之和与该椭圆系数的积（包括正圆）。 几何关系 点与椭圆 点M（x0，y0）椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1； 点在圆内：x02/a2+y02/b2<1； 点在圆上：x02/a2+y02/b2=1； 点在圆外：x02/a2+y02/b2>1； 跟圆与直线的位置关系一样的：相交、相离、相切。 直线与椭圆 y=kx+m① x2/a2+y2/b2=1② 由①②可推出x2/a2+（kx+m）2/b2=1 相切△=0 相离△<0无交点
相交△>0可利用弦长公式：设A（x1，y1）B（x2，y2） 求中点坐标 根据韦达定理x1+x2=-b/a，x1x2=c/a 代入直线方程可求出（y1+y2）/2=可求出中点坐标。 |AB|=d=√（1+k2）[（x1+x2）2-4x1*x2]=√（1+1/k2）[（y1+y2）2-4y1y2] 手绘法 1、：画长轴AB，短轴CD，AB和CD互垂平分于O点。 2、：连接AC。 3、：以O为圆心，OA为半径作圆弧交OC延长线于E点。 4、：以C为圆心，CE为半径作圆弧与AC交于F点。 5、：作AF的垂直平分线交CD延长线于G点，交AB于H点。 6、：截取H，G对于O点的对称点H’，G’⑺：H，H’为长轴圆心，分别以HA、H‘B为半径作圆；G，G’为短轴圆心，分别以GC、G‘D为半径作圆。 用一根线或者细铜丝，铅笔，2个图钉或大头针画椭圆的方法：先画好长短轴的十字线，在长轴上以圆点为中心先找2个大于短轴半径的点，一个点先用图钉或者大头针栓好线固定住，另一个点的线先不要固定，用笔带住线去找长短轴的4个顶点。 此步骤需要多次定位，直到都正好能于顶点吻合后固定住这2个点，用笔带住线，直接画出椭圆：使用细铜丝最好，因为线的弹性较大画出来不一定准确。
(完整word版)椭圆的参数方程(含答案).doc
椭圆的参数方程 教学目标 ： 1. 了解椭圆的参数方程及参数的意义，并能利用参数方程来求最值、轨迹问题； 2. 通过椭圆参数方程的推导过程，培养学生数形结合思想，化归思想，以及分 析问题和解决问题的能力。 3. 通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学重点 ：椭圆的参数方程。 教学难点 ：椭圆参数方程中参数的理解 . 教学方式 ：讲练结合，引导探究。 教学过程 ： 一、复习 焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程： x 2 y 2 1(a b 0) a 2 b 2 焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程： y 2 x 2 1(a b 0) a 2 b 2 二、椭圆参数方程的推导 1. 焦点在 x 轴上的椭圆的参数方程 因为 ( x ) 2 ( y ) 2 1 ，又 cos 2 sin 2 1 a b 设 x cos , y sin ，即 x acos ，这是中心在原点 O,焦点在 x 轴上的椭圆的参数方程。 a b y bsin 2. 参数 的几何意义 问题 、如下图，以原点 O 为圆心，分别以 a ， b （ a ＞b ＞ 0）为半 径作两个圆。设 A 为大圆上的任意一点，连接 OA, 与小圆交于点 B 。过点 A 作 AN ⊥ ox ，垂足为 N ，过点 B 作 BM ⊥AN ，垂足为 M ，求当半径 OA 绕点 O 旋转时点 M 的轨迹参数方程 . 解：设以 Ox 为始边， OA 为终边的角为 ，点 M 的坐标是 (x, y) 。 那么点 A 的横坐标为 x ，点 B 的纵坐标为 y 。由于点 A,B 均在角 的终边上，由三角函数的定义有 x |OA |cos a cos ， y | OB | sin b cos 。 当半径 OA 绕点 O 旋转一周时，就得到了点 M 的轨迹，它的参数方程是 x acos ( 为参数 ) y bsin 这是中心在原点 O,焦点在 x 轴上的椭圆的参数方程。 1
椭圆参数方程教学设计2
椭圆的参数方程教学设计 一、基本说明 1、教学内容所属模块：选修4-4 2、年级：高三 3、所用教材出版单位：人民教育出版社（A版） 4、所属的章节：第二讲第二节第1课时 5、学时数：45 分钟 二、教学设计 （一）、内容分析 1、内容来源 普通高中课程标准试验教科书人民教育出版社A版数学选修4-4第二讲第三课时：椭圆的参数方程 2、地位与作用 参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式。本节知识以学生学习和了解了椭圆的普通方程和圆的参数方程为载体，从另一个角度认识椭圆。在建立椭圆方程过程中，展示引进参数的意义和作用。以及根据椭圆的特点，选取适当的方程表示形式，体现解决有关椭圆问题中数学方法的灵活性，拓展学生的思路，开阔学生的视野。 （二）、教学目标 1、知识与技能： （1）理解椭圆的参数方程及其参数的几何意义。 （2）引导学生体验构造参数法的应用思想，探讨如何运用参数方程在解决与椭圆有关问题。 （3）会根据条件构造参数方程实现问题的转化，达到解题的目的。 2、过程和方法： （1）通过以熟悉的椭圆为载体，进一步学习建立参数方程的基本步骤，加深对参数方程的理解，同时引导学生从不同角度认识椭圆的几何性质，体会参数对研究曲线问题的作用。 （2）通过利用信息技术从参数连续变化而形成椭圆的过程中认识参数的几何意义。 3、情感、态度和价值： 通过师生共同探究进一步学习建立参数方程的基本步骤，加深对参数方程的理解，体会参数法的应用。同时引导学生从不同角度认识椭圆的几何性质。以及用参数方程解决某些曲线问题的过程中分享体会类比思想、数形结合的思想、构造转化思想。培养学生用“联系”的观点看问题，进一步增强“代数”与“几何”的联系，培养学生学好数学的信心。 （三）、教学重点、难点 重点：椭圆的参数方程及其参数的几何意义 难点：巧用椭圆的参数方程解题 （四）、学情分析： “坐标法”是现代数学最重要的基本思想之一。坐标系是联系几何与代数的桥梁，是数形结合的有力工具。虽然我们的学生已经学习和了解了椭圆的普通方程和圆的参数方程有关知识，但我们的学生对其了解甚少，再说椭圆参数方程的探求与应用，与代数变换、三角函数有密切联系，以及由学生独立获取椭圆参数方程中的参数的几何意义是极其困难的。因此我们必须从实际问题入手，由浅入深的帮助学生学习理解知识，通过“思考”、“探究”、“信息技术应用”等来启发和引导学生的数学思维，养成主动探索、积极思考的好习惯。
椭圆的参数方程(含答案)
椭圆的参数方程 教学目标： 1.了解椭圆的参数方程及参数的意义，并能利用参数方程来求最值、轨迹问题； 2.通过椭圆参数方程的推导过程，培养学生数形结合思想，化归思想，以及分 析问题和解决问题的能力。 3.通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：椭圆的参数方程。 教学难点：椭圆参数方程中参数的理解. 教学方式：讲练结合，引导探究。 教学过程： 一、复习 焦点在x 轴上的椭圆的标准方程：22221(0)x y a b a b +=>> 焦点在y 轴上的椭圆的标准方程：22 221(0)y x a b a b +=>> 二、椭圆参数方程的推导 1. 焦点在x 轴上的椭圆的参数方程 因为22()()1x y a b +=，又22 cos sin 1??+= 设cos ,sin x y a b ??==，即a cos y bsin x ??=??=? ，这是中心在原点O,焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。 2.参数?的几何意义 问题、如下图，以原点O 为圆心，分别以a ，b （a ＞b ＞0）为半径 作两个圆。设A 为大圆上的任意一点，连接OA,与小圆交于点B 。 过点A 作AN ⊥ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，求当 半径OA 绕点O 旋转时点M 的轨迹参数方程. 解：设以Ox 为始边，OA 为终边的角为?，点M 的坐标是(x, y)。 那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。由于点A,B 均在角? 的终边上，由三角函数的定义有 ||cos cos x OA a ??==， ||sin cos y OB b ??==。 当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是 a cos y bsin x ??=??=? 这是中心在原点O,焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。 () ?为参数
椭圆参数方程教学设计
1 / 3 椭圆的参数方程教学设计 王丽萍 一、基本说明 1、教学内容所属模块：选修4-4 2、年级：高二 3、所用教材出版单位：人民教育出版社（A 版） 4、所属的章节：第二讲第二节第1课时 二、教学设计 （一）、内容分析 参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式。本节知识以学生学习和了解了椭圆的普通方程和圆的参数方程为载体，从另一个角度认识椭圆。在建立椭圆方程过程中，展示引进参数的意义和作用。以及根据椭圆的特点，选取适当的方程表示形式，体现解决有关椭圆问题中数学方法的灵活性，拓展学生的思路，开阔学生的视野。 （二）、教学目标 （1）理解椭圆的参数方程及其参数的几何意义。 （2）引导学生体验构造参数法的应用思想，探讨如何运用参数方程在解决与椭圆有关问题。 （3）会根据条件构造参数方程实现问题的转化，达到解题的目的。 （三）、教学重点、难点 重点：椭圆的参数方程及其参数的几何意义 难点：巧用椭圆的参数方程解题 （四）、学情分析： “坐标法 ”是现代数学最重要的基本思想之一。坐标系是联系几何与代数的桥梁，是数形结合的有力工具。虽然我们的学生已经学习和了解了椭圆的普通方程和圆的参数方程有关知识，但我们的学生对其了解甚少，再说椭圆参数方程的探求与应用，与代数变换、三角函数有密切联系，以及由学生独立获取椭圆参数方程中的参数的几何意义是极其困难的。因此我们必须从实际问题入手，由浅入深的帮助学生学习理解知识，通过“思考”、“探究”、“信息技术应用”等来启发和引导学生的数学思维，养成主动探索、积极思考的好习惯。 （五）、设计思路： 参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式。教师首先应通过实例展示在建立椭圆方程过程中，引进参数的意义和作用。使学生体会到有时用参数方程表示曲线比用普通方程表示更方便，理解参数的几何意义。 根据本节课的教学内容和学生实际水平，本节课采用“复习导入发现法”。通过具体实例问题，引导和激发学生的探究热情，通过“师生”和“生生”的交流合作，掌握椭圆参数的深层实质。教学流程为：复习回顾圆的参数方程和三角函数知识→创设情境引入新知→实例探究启发思维→例题讲解运用新知→课堂实践巩固新知→归纳总结完善→课外强化提升能力。 （六）、教具准备： PowerPoint 课件、《几何画板》 （七）、教学过程： 一、复习回顾 1.圆的参数方程知识 圆心在原点，半径为r 的圆的标准方程：222r y x =+ 圆的参数方程是：????=?=θ θsin cos a y a x
(完整版)椭圆的参数方程(含答案)(可编辑修改word版)
+ = > > + = > > + ? ? 椭圆的参数方程 教学目标： 1. 了解椭圆的参数方程及参数的意义，并能利用参数方程来求最值、轨迹问题； 2. 通过椭圆参数方程的推导过程，培养学生数形结合思想，化归思想，以及分 析问题和解决问题的能力。 3. 通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：椭圆的参数方程。 教学难点：椭圆参数方程中参数的理解. 教学方式：讲练结合，引导探究。 教学过程： 一、复习 焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程： x a 2 y 2 b 2 1(a b 0) 焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程： y a 2 二、椭圆参数方程的推导 x 2 b 2 1(a b 0) 1. 焦点在 x 轴上的椭圆的参数方程 x y 因为( )2 ( )2 = 1，又cos 2 + sin 2 = 1 a b x y ?x = a c os 设 = cos , a b = sin ，即?y = bsin ，这是中心在原点 O,焦点在 x 轴上的椭圆的参数方程。 2. 参数 的几何意义 问题、如下图，以原点 O 为圆心，分别以a ，b （a ＞b ＞0）为半径作 两个圆。设 A 为大圆上的任意一点连，接 OA,与小圆交于点 B 。过点 A 作 AN ⊥ox ，垂足为 N ，过点 B 作BM ⊥AN ，垂足为 M ，求当半径 OA 绕点 O 旋转时点 M 的轨迹参数方程. 解：设以Ox 为始边，OA 为终边的角为 ，点 M 的坐标是(x, y)。 那么点 A 的横坐标为 x ，点 B 的纵坐标为 y 。由于点 A,B 均在角 的终边上，由三角函数的定义有 x =| OA | cos = a cos ， y =| OB | sin = b cos 。 当半径 OA 绕点 O 旋转一周时，就得到了点 M 的轨迹，它的参数方程是 ?x = a c os ? y = bsin (为参数) 2 2
椭圆参数方程的应用
椭圆参数方程的应用 【例3】 (2016·新课标全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线 C 1的参数方程为????? x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ? ?? ??θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程； (2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 【解】 (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0. (2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2 ＝2|sin(α＋π3)－2|.当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为(32，12). 在极坐标中，曲线C 的方程为ρ2 ＝31＋2sin 2θ，点R 坐标为
? ????22，π4. (1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，点R 的极坐标化为直角坐标； (2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时点P 的直角坐标． 解：(1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1.点R 的直角坐标为(2,2)． (2)设P (3cos θ，sin θ)，根据题意可得|PQ |＝2－3cos θ，|QR |＝2－sin θ，∴|PQ |＋|QR |＝4－2sin(θ＋60°)．当θ＝30°时，|PQ |＋|QR |取最小值2，∴矩形PQRS 周长的最小值为4，此时点P 的直角坐标为? ?? ??32，12. 热点四 参数方程与极坐标方程的综合应用 【例4】 (2016·新课标全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线 C 1的参数方程为????? x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ. (1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程； (2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a . 【解】 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0. (2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组
椭圆的参数方程及其应用
椭圆的参数方程及其应用 大纲对椭圆的参数方程的要求是达到理解的程度，如果适当地引进一点简单的参数方程知识，可以起到拓宽视野，简化平面解析几何的运算的功效。本文主要介绍椭圆的参数方程及其应用，希望能够给读者一些启迪。 一般都是这样定义的： 椭圆1b )y y (a )x x (22022 0=-+-的参数方程是? ??α+=α+=sin b y y cos a x x 00（α是参数，0b 0a >>，）。 特别地，以点（00y x ，）为圆心，半径是r 的椭圆的参数方程是? ??α+=α+=sin r y y cos r x x 00（α是参数，r>0）。 一、求椭圆的内接多边形的周长及面积 例1 求椭圆)0b a (1b y a x 22 22>>=+的内接矩形的面积及周长的最大值。 解：如图，设椭圆1b y a x 22 22=+的内接矩形在第一象限的顶点是A （ααsin b cos a ，）（2 0π<α<），矩形的面积和周长分别是S 、L 。 ab 22sin ab 2sin b cos a 4|EA ||FA |4S ≤α=α?α=?=， 当且仅当4 a π=时，22m a x b a 4sin b 4cos a 4|)EA ||FA (|4L ab 2S +≤α+α=+==，，22max b a 4L +=，此时α存在。 二、求轨迹
例2 已知点A 在椭圆136y 144x 22=+上运动，点B （0，9）、点M 在线段AB 上，且2 1MB AM =，试求动点M 的轨迹方程。 解：由题意知B （0，9），设A （ααsin 6cos 12，），并且设M （x ，y ）。 则，α=+?+α=++=cos 82 11021cos 12211x 21x x B A 3sin 42 11921sin 6211y 21y y B A +α=+?+α=++=， 动点M 的轨迹的参数方程是? ??+α=α=3sin 4y cos 8x （α是参数）， 消去参数得116 )3y (64x 2 2=-+。 三、求函数的最值 例3 设点P （x ，y ）在椭圆19 y 16x 2 2=+，试求点P 到直线05y x =-+的距离d 的最大值和最小值。 解：点P （x ，y ）在椭圆19 y 16x 2 2=+上，设点P （ααsin 3cos 4，）（α是参数且)20[π∈α，）， 则5553arcsin sin 53 4|5sin 4cos 3|d 22-??? ??+α=+-α+α=。 当5 3arcsin 2-π=α时，距离d 有最小值0，此时椭圆19y 16x 22=+与直线05y x =-+相切；当5 3arcsin 23-π=α时，距离d 有最大值2。 四、求解有关离心率等入手比较困难的问题
2016_2017学年高中数学第二章参数方程2_3参数方程的应用第2课时圆椭圆的参数方程的应用学案苏
圆、椭圆的参数方程的应用 1．能用曲线的参数方程去研究曲线的性质． 2．会用参数法解决圆锥曲线中的最值、定值等问题． [基础·初探] 1．圆的参数方程 圆的参数方程的常见形式为? ?? ?? x ＝a ＋r cos α， y ＝b ＋r sin α(α为参数)．其中，参数α的几何 意义是以圆心A (a ，b )为顶点，且与x 轴同向的射线按逆时针方向旋转到圆上一点P 所在半径成的角． 2．椭圆的参数方程 椭圆的参数方程的常见形式为? ?? ?? x ＝a cos θ， y ＝b sin θ(θ为参数)． [思考·探究] 1．椭圆的参数方程与圆的参数方程有什么区别和联系？ 【提示】 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和圆x 2＋y 2＝r 2 普通方程都是平方和等于1的形式， 故参数方程都运用了三角代换法，只是参数方程的常数不同． 2．椭圆的参数方程中参数φ的几何意义是什么？ 【提示】 从几何变换的角度看，通过伸缩变换，令????? x ′＝1a x ，y ′＝1 b y ， 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1可以变成圆x ′2＋y ′2 ＝1.
利用圆x ′2＋y ′2 ＝1的参数方程 ????? x ′＝cos φ，y ′＝sin φ (φ是参数)可以得到椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1的参数方程??? ?? x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ是参数)．因此，参数φ的几何意义应是椭圆上任意一点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角(称为离心角)，而不是OM 的旋转角，如图． [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问4：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 圆的参数方程的应用 在圆x 2 ＋2x ＋y 2 ＝0上求一点，使它到直线2x ＋3y －5＝0的距离最大． 【自主解答】 圆的方程x 2 ＋2x ＋y 2 ＝0可化为(x ＋1)2 ＋y 2 ＝1，所以设圆的参数方程为 ? ?? ?? x ＝－1＋cos θ， y ＝sin θ. 设P (－1＋cos θ，sin θ)，则点P 到直线2x ＋3y －5＝0的距离为 d ＝ |2 －1＋cos θ＋3sin θ－5| 22＋3 2 ＝ |2cos θ＋3sin θ－7| 13 ＝ |13sin θ＋α－7|13 (其中sin α＝213 13， cos α＝313 13 )． 当sin(θ＋α)＝－1，θ＋α＝3π 2 ，
椭圆的参数方程及其应用
椭圆的参数方程及其应用 中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况： ① 椭圆22 221x y a b +=（a >b>0）的参数方程是 cos ,(2sin x a y b θθθπθ=?≤>的参数方程是cos ,(,02).sin x b y a θθθπθ =?≤
椭圆的参数方程及其应用
椭圆的参数方程及其应用 蒋明权 大纲对椭圆的参数方程的要求是达到理解的程度，如果适当地引进一点简单的参数方程知识，可以起到拓宽视野，简化平面解析几何的运算的功效。本文主要介绍椭圆的参数方程及其应用，希望能够给读者一些启迪。 一般都是这样定义的： 椭圆 1b ) y y (a ) x x (2 2 02 2 0=-+ -的参数方程是? ? ?α+=α +=sin b y y cos a x x 00（α是参数，0b 0a >>，） 。 特别地，以点（00y x ，）为圆心，半径是r 的椭圆的参数方程是???α +=α+=sin r y y cos r x x 00（α 是参数，r>0）。 一、求椭圆的内接多边形的周长及面积 例1 求椭圆 )0b a (1b y a x 222 2>>=+ 的内接矩形的面积及周长的最大值。 ） ， 例2 已知点A 在椭圆 136 y 144 x 2 2 =+ 上运动，点B （0，9）、点M 在线段AB 上，且 2 1MB AM = ， 试求动点M 的轨迹方程。 解：由题意知B （0，9），设A （ααsin 6cos 12，），并且设M （x ，y ）。 则， α=+ ?+ α= ++ = cos 82110 21cos 12211x 2 1x x B A 3sin 42119 2 1sin 62 11y 21y y B A +α=+ ?+α= + += ，
动点M 的轨迹的参数方程是???+α=α=3 sin 4y cos 8x （α是参数）， 消去参数得 116 )3y (64 x 2 2 =-+ 。 三、求函数的最值 例3 设点P （x ，y ）在椭圆19 y 16 x 2 2 =+ ，试求点P 到直线05y x =-+的距离d 的最 大值和最小值。 解：点P （x ，y ）在椭圆 19 y 16 x 2 2 =+ 上，设点P （ααsin 3cos 4，）（α是参数且)20[π∈α，） ， 则5 5 53arcsin sin 53 4 | 5sin 4cos 3|d 2 2 -??? ? ? +α= +-α+α=。 当5 3arcsin 2-π= α时，距离d 有最小值0，此时椭圆19y 16x 2 2 =+与直线05y x =-+相切；当5 3 arcsin 23-π=α时，距离d 有最大值2。 ≠0且α a cos a cos a -αα解得1cos =α（舍去），或2 2 2 b a b cos -=α。 因为1cos 1<α<-，所以1b a b 122 2 <-<-。可转化为1e e 1122 <-<-，解得2 1e 2 > ，于 是1e 22 <<。故离心率e 的取值范围是??? ? ??122，。
椭圆的参数方程
椭圆的参数方程 (1)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的参数方程是? ????x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ 是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)． (2)中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0)的参数方程是? ????x ＝b cos φy ＝a sin φ(φ 是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)． (3)中心在(h ，k )的椭圆普通方程为 (x －h ) 2 a 2 ＋ (y －k ) 2 b 2 ＝1，则其参数方程为 ? ????x ＝h ＋a cos φ y ＝k ＋b sin φ(φ是参数)． 1．椭圆? ????x ＝sin θ 2y ＝cos θ(θ为参数)的一个焦点坐标为( ) A.? ????22，0 B ．? ? ???0，22 C.? ?? ?? 32，0 D ．? ?? ??0， 32 解析：选C.椭圆的普通方程为x 2 ＋(2y )2 ＝1，即x 21＋y 2 14＝1.c 2＝a 2－b 2 ＝1－14＝34 ，焦点 为? ?? ?? ± 32，0.故选C. 2．曲线C ：???x ＝3cos φy ＝5sin φ ，(φ为参数，0≤φ<2π)的离心率为( ) A.23 B ．35 C.32 D ． 53 解析：选A.由???x ＝3cos φ y ＝5sin φ得?????x 3＝cos φy 5＝sin φ ， 所以x 29＋y 2 5＝1，所以a ＝3，b ＝5，c ＝2，e ＝2 3 .
3．曲线? ????x ＝2cos θ y ＝sin θ(θ为参数)上的点到原点的最大距离为( ) A ．1 B ．3 C ．2 D ．4 解析：选C.曲线? ????x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上的点到原点的距离为4cos 2θ＋sin 2 θ＝ 1＋3cos 2 θ≤2，当且仅当cos θ＝±1时，取得最大值．故选C. 4．椭圆x 24＋y 2 2＝1的参数方程是____________；椭圆(x －1)225＋(y ＋1) 2 16＝1的参数方程是 ____________． 解析：因为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的参数方程是? ????x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数，φ∈[0，2π))， 所以x 24＋y 2 2＝1的参数方程是???x ＝2cos φ y ＝2sin φ (φ为参数，φ∈[0，2π))， 同样可知(x －1)2 25＋(y ＋1)2 16＝1的参数方程是? ????x ＝1＋5cos φy ＝－1＋4sin φ(φ为参数，φ∈[0， 2π))． 答案：???x ＝2cos φ y ＝2sin φ (φ为参数，φ∈[0，2π)) ? ????x ＝1＋5cos φy ＝－1＋4sin φ(φ为参数，φ∈[0，2π)) 利用椭圆的参数方程求最值 (2016·高考全国卷丙)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为?? ?x ＝3cos α y ＝sin α (α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ? ????θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程； (2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． [解] (1)C 1的普通方程为x 2 3 ＋y 2 ＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0. (2)由题意，可设点P 的直角坐标为()3cos α，sin α.因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，
椭圆的参数方程的几点应用(精)
椭圆的参数方程的几点应用椭圆的参数方程是（α是参数，）。 特别地，以点（）为圆心，半径是r的椭圆的参数方程是（α是参数，r>0）。下面就应用做一些归纳。 1.参数方程在求最值上的应用 例1 求椭圆 的内接矩形的面积及周长的最大值。 分析：此题可以设矩形长为x,然后代入椭圆方程解出宽。但因为有参数a,b,所以把式子列出后都很难解答。而考虑椭圆的参数方程可以迎刃而解。 解：如图，设椭圆的内接矩形在第一象限的顶点是A（）（ ），矩形的面积和周长分别是S、L。 ， 当且仅当时， ，此时α存在。， 点评：利用参数方程后，再利用三角函数性质可以简化求解的过程和降低求解的难度。 例2 设点P（x，y）在椭圆 大值和最小值。 ，试求点P到直线的距离d的最 分析：此题可以设点P（x，y）,然后代入椭圆方程（1），然后利用点到直线的距离公式把d表示出来。但仍然很难继续解答。而考虑椭圆的参数方程却可以树立解决此问题。 解：点P（x，y）在椭圆 上，设点P（）（α是参数且）， 则 。
当时，距离d有最小值0，此时椭圆与直线相切；当 时，距离d有最大值2。 点评：在求解最值问题时，尤其是求与圆锥曲线有关的函数的最值时，我们可以考虑利用参数方程降低难度。 2.参数方程在求与离心率有关问题上的应用 例3 椭圆与x轴的正向相交于点A，O为坐标原点，若这个椭圆上存在点P，使得OP⊥AP。求该椭圆的离心率e的取值范围。 分析：如果按常规设p(x,y),OP2+AP2=OA2,展开，与离心率没有明显的联系，但用参数方程就非常容易。 解：设椭圆 α≠π），A（a，0）。 上的点P 的坐标是（）（α≠0且 则 。而OP⊥AP， 于是，整理得 解得 （舍去），或。 因为，所以。可转化为，解得，于是 。故离心率e的取值范围是。 点评：有关离心率入手比较困难的问题时我们可以考虑应用参数方程求解。
椭圆离心率及参数方程
椭圆离心率与最值专题 一．最值： 例1.若动点（y x ,）在曲线)0(1422 2>=+b b y x 上变化，则y x 22+的最大值为 （ ） A ．?????≥<<+)4(2),40(442b b b b B ．?? ???≥<<+)2(2),20(4 42 b b b b C ．44 2+b D ．2b 练习：．已知实数y x ,满足12 42 2=+y x ,求x y x -+22的最大值与最小值 例2. ①设(,)P x y 是椭圆22 16436 x y +=上一点,那么22x y -的最大值是 .22x y +的 最大值是 最小值是 ②椭圆19 162 2=+y x 上的点到直线：l 09=-+y x 的距离的最小值为___________． 练习：1.椭圆2 2 7428x y +=上的点到直线:32160l x y --=的距离最短. 2.椭圆 19 162 2=+y x 的内接矩形的面积的最大值为
例3．①已知椭圆22 143 x y +=的右焦点为F ，(3, 2)M ，点P 在椭圆上，则|||| PM PF +的最小值是 ；||||PM PF -的最大值是 ． ②给定点A (-2,2)，已知B 是椭圆2212516x y +=上的动点，F 是右焦点，当5 3 AB BF +取得 最小值时，试求B 点的坐标。 练习：1.已知定点)1,2(A ，)0,1(F 是椭圆18 2 2=+y m x 的一个焦点，P 是椭圆上的点，求 ||||PF PA +的最大值与最小值。 2. 已知112 16,)3,2(2 2=+-y x F A 是的右焦点，点M 为椭圆的动点，求MF MA 2+的最 小值，并求出此时点M 的坐标。 思考题：１．定长为d d b a ≥?? ???22的线段AB 的两个端点在椭圆x a y b a b 222 210+=>>()上 移动，求AB 的中点M 到椭圆右准线l 的最短距离。 ２.12F F 、是椭圆22 142 x y +=的左右焦点，l 是椭圆的准线，点P l ∈，求12F PF ∠的最大值． ３．若点(,)x y 在椭圆2 2 44x y +=上,求 1 2 y x --最大值为_____ _，最小值为___ __
(完整word版)椭圆的参数方程(含答案)
椭圆的参数方程 教学目标： 1.了解椭圆的参数方程及参数的意义，并能利用参数方程来求最值、轨迹问题； 2.通过椭圆参数方程的推导过程，培养学生数形结合思想，化归思想，以及分 析问题和解决问题的能力。 3.通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：椭圆的参数方程。 教学难点：椭圆参数方程中参数的理解. 教学方式：讲练结合，引导探究。 教学过程： 一、复习 焦点在x 轴上的椭圆的标准方程：22 221(0)x y a b a b +=>> 焦点在y 轴上的椭圆的标准方程：22 221(0)y x a b a b +=>> 二、椭圆参数方程的推导 1. 焦点在x 轴上的椭圆的参数方程 因为22()()1x y a b +=，又22 cos sin 1??+= 设cos ,sin x y a b ??==，即a cos y bsin x ??=??=? ，这是中心在原点O,焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。 2.参数?的几何意义 问题、如下图，以原点O 为圆心，分别以a ，b （a ＞b ＞0）为半 径作两个圆。设A 为大圆上的任意一点，连接OA,与小圆交于点 B 。过点A 作AN ⊥ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为 M ，求当半径OA 绕点O 旋转时点M 的轨迹参数方程. 解：设以Ox 为始边，OA 为终边的角为?，点M 的坐标是(x, y)。 那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。由于点A,B 均在角? 的终边上，由三角函数的定义有 ||cos cos x OA a ??==， ||sin cos y OB b ??==。 当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是 a cos y bsin x ??=??=? 这是中心在原点O,焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。 () ?为参数
