圆的参数方程及应用
对于圆的普通方程（x a ）2 3 （y b ）2 R 2来说，圆的方程还有另外一种表达
形式 （为参数），在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达 y b Rsi n 形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。
、求最值
2
【解】由 /BAC=—，得/BOC= ，设 Z ABO= 9（ 0
3 3 2 2
9），C （2cos （9+一），2sin （9+ ）），由重心坐标公式并化简，得: 3 3 ■?
例1已知点（x ， y )在圆x 2 y 2
1 上, 求 x
2 2xy 3y 2的最大值和最小值。 【解】圆x 1的参数方程为: cos
。
sin 则 x 2 2xy 3y 2 = cos' i 2 2sin cos 3sin 2
=1 cos2 =2 3 k — (k ?)时, 8
1 cos
2 sin2
3 2 sin2 cos2 2 x 2 2xy 3y 2的最大值为： =2 2sin(2 2，则
时，x2 2xy 3y2的最小值为2近。
—)，则B(2cosB,2sin
3
2
x -
3
y 2si n()
3 3
2
消去0得：(x m2 y2
【点评】用圆的几何性质，/ BOC=2ZBAC=120 °，再以A BO= B为参数，求
出轨迹的参数方程，在消参后，要注意x的范围的限定。
三、求范围
例3已知点P (x，y)是圆X2 (y 1)2 1上任意一点，欲使不等式x+y+c> 0恒成立，求c的取值范围。
0=1+、、2sin( —)，— ( x+y) =—1 —、、2sin( —)，— ( x+y)的最大值为：一1+、、2，由于x+y+c为，所以，c>—(x+y)恒成立，即c>-1^, 2。
【点评】将恒成立的问题，转化为求最值问题，利用圆的参数方程求最值简洁易算
四、求斜率
1)所连线的斜率，最值在切线处取得，容易求
得最大值为：4
4，最小值为：0。
2 cos( )
3 3,由3
5
亍§，知X V 1,
【解】圆x2 (y 1)21的参数方程为: x cos 口「亠
，贝9有：x+y=1+sin
0+cos
例4求函数f() 值。【解】函数f() 为圆心的
单位圆上的点
学习好资料欢迎下载 8.2椭圆的几何性质（5） ——椭圆的参数方程（教案） 齐鲁石化五中翟慎佳2002.10.25 一.目的要求： 1?了解椭圆参数方程，了解系数a b、「含义。 2. 进一点完善对椭圆的认识，并使学生熟悉的掌握坐标法。 3. 培养理解能力、知识应用能力。 二.教学目标： 1. 知识目标：学习椭圆的参数方程。了解它的建立过程，理解它与普通方 程的相互联系；对椭圆有一个较全面的了解。 2. 能力目标：巩固坐标法，能对简单方程进行两种形式的互化；能运用参 数方程解决相关问题。 3. 德育目标：通过对椭圆多角度、多层次的认识，经历从感性认识到理性 认识的上升过程，培养学生辩证唯物主义观点。 三.重点难点： 1. 重点：由方程研究曲线的方法；椭圆参数方程及其应用。 2. 难点：椭圆参数方程的推导及应用。 四.教学方法： 引导启发，计算机辅助，讲练结合。 五.教学过程： （一）引言（意义） 人们对事物的认识是不断加深、层层推进的，对椭圆的认识也遵循这一规律。 本节课学习椭圆的参数方程及其简单应用，进一步完善对椭圆认识。（二）预备知识（复习相关） 1. 求曲线方程常用哪几种方法？ 答：直接法，待定系数法，转换法〈代入法〉，参数法。 2. 举例：含参数的方程与参数方程
2 “ x = 2t 例如：y =kx+1 （k 参数）含参方程'而I 十1 （t 参数） 3 ?直线及圆的参数方程？各系数意义? （三）推导椭圆参数方程 1. 提出问题（教科书例5） 例题.如图，以原点为圆心，分别以 a b （a>b>0）为半径作两个圆。 点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点 A 作AN _0x ,垂足为N ，过 点B 作BM _AN ，垂足为M 。求当半径0A 绕点0旋转时点M 的轨迹 的参数方程。 2. 分析问题 本题是由给定条件求轨迹的问 题，但动点较多，不易把握。故采用 间接法 --- 参数法。 引导学生阅读题目，回答问题： （1） 动点M 是怎样产生的？ M 与A 、B 的坐标有何联系？ （2） 如何设出恰当参数？ 设/ AOX=:为参数较恰当。 3. 解决问题（板演） 解：设点M 的坐标（x,y ），是以Ox 为始边，OA 为终边的正角, 取为参数，那么 x=ON=|OA|cos 「， y=NM=|OB|sin 「即 4. 更进一步（板演：化普通方程） -=cos? 分别将方程组①的两个方程变形，得t a 两式平方后相加, '=si n? 是参数方程。 J 5 *實 x = a cos? y =bsin ①引为点M 的轨迹参数方程，「为参数。
椭圆的参数方程及其应用 大纲对椭圆的参数方程的要求是达到理解的程度，如果适当地引进一点简单的参数方程知识，可以起到拓宽视野，简化平面解析几何的运算的功效。本文主要介绍椭圆的参数方程及其应用，希望能够给读者一些启迪。 一般都是这样定义的： 椭圆1b )y y (a )x x (2 2 0220=-+-的参数方程是???α +=α+=sin b y y cos a x x 00（α是参数，0b 0a >>，）。 特别地，以点（00y x ，）为圆心，半径是r 的椭圆的参数方程是? ??α+=α +=sin r y y cos r x x 00（α是参数，r>0）。 一、求椭圆的内接多边形的周长及面积 y x 2 2（20π <α<）， 22b a 4+， 例2 已知点A 在椭圆136y 144x 22=+上运动，点B （0，9）、点M 在线段AB 上，且2 1MB AM =，试求动点M 的轨迹方程。 解：由题意知B （0，9），设A （ααsin 6cos 12，），并且设M （x ，y ）。 则，α=+ ?+α=++=cos 82110 21cos 12211x 21x x B A 3sin 42 119 21sin 6211y 21y y B A +α=+ ?+α=++=， 动点M 的轨迹的参数方程是? ??+α=α =3sin 4y cos 8x （α是参数）， 消去参数得116 )3y (64x 2 2=-+。 三、求函数的最值
例3 设点P （x ，y ）在椭圆19y 16x 2 2=+，试求点P 到直线05y x =-+的距离d 的最大值和最小值。 解：点P （x ，y ）在椭圆19 y 16x 2 2=+上，设点P （ααsin 3cos 4，）（α是参数且)20[π∈α，）， 则55 53arcsin sin 534|5sin 4cos 3|d 22-??? ? ? +α= +-α+α=。 当5 3 arcsin 2-π=α时，距离d 有最小值0，此时椭圆19y 16x 22=+与直线05y x =-+相切；当5 3arcsin 23-π=α时，距离d 有最大值2。 P ， π），A （a ，0）。 解得1cos =α（舍去），或2 22 b a b cos -=α。 因为1cos 1<α<-，所以1b a b 1222<-<-。可转化为1e e 112 2<-<-，解得21e 2 > ，于是1e 22<<。故离心率e 的取值范围是? ?? ? ??122，。 [截距法]解线性规划问题 由于线性规划的目标函数：z ax by b =+≠()0可变形为y a b x z b =- +，则z b 为直线y a b x z b =-+的纵截距，那么我们在用线性规划求最值时便可以得到如下结论： （1）当b >0时，直线y a b x z b =- +所经过可行域上的点使其纵截距最大时，便是z 取得最大值的点；反之，使纵截距取得最小值的点，就是z 取得最小值的点。 （2）当b <0时，与b >0时情形正好相反，直线y a b x z b =- +所经过可行域上的点使其纵截距最大时，是z 取得最小值的点；使纵截距取得最小值的点，便是z 取得最大值的点。
2.2 常见曲线的参数方程 第一节 圆锥曲线的参数方程 一椭圆的参数方程 1、中心在坐标原点，焦点在x 轴上，标准方程是22 221(0)x y a b a b +=>>的椭圆的参数方程 为cos (sin x a y b ? ??=??=? 为参数） 同样，中心在坐标原点，焦点在y 轴上，标准方程是22 221(0)y x a b a b +=>>的椭圆的参 数方程为cos (sin x b y a ? ??=??=? 为参数） 2、椭圆参数方程的推导 如图，以原点O 为圆心，,()a b a b o >>为半径分别作两个同心圆，设A 为大圆上的任一点，连接OA ，和小圆交于点B ，过点,A B 分别作x 轴，y 轴的垂线，两垂线交于点M 。 设以Ox 为始边，OA 为终边的角为?，点M 的坐标是(,)x y 。那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。由于点,A B 都在角?的终边上，由三角函数的定义有 cos cos ,sin sin x OA a y OB b ????==== 3 当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是cos (sin x a y b ? ?? =??=?为 参数） 这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。 3、椭圆的参数方程中参数?的意义 圆的参数方程cos (sin x r y r θ θθ =?? =?为参数）中的参数θ是动点(,)M x y 的旋转角，但在椭圆 的参数方程cos (sin x a y b ? ?? =?? =?为参数）中的参数?不是动点(,)M x y 的旋转角，它是动点 (,)M x y 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角，称为点M 的离心角，不是OM 的旋 转角，通常规定[)0,2?π∈ 4、椭圆参数方程和普通方程的互化
§2.2.3直线的参数方程及应用（第2课时） 【学习目标】 1. 掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义； 2. 利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题； 【学习重点】 1. 直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义； 2. 利用直线的参数方程解决有关数学问题； 【学习难点】 1. 直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义； 2. 利用直线的参数方程解决有关数学问题； 【学习过程】 一、学前准备： 1、若由a b →→ 与共线，则存在实数λ，使得 ， 2、设e → 为a → 方向上的 ，则a → =︱a → ︱e → ； 3、经过点00(,)M x y ，倾斜角为()2 π αα≠ 的直线的普通方程为 。 二、新课导学 ◆探究新知（预习教材P 35～P 39，找出疑惑之处） 1、选择怎样的参数，才能使直线上任一点M 的坐标,x y 与点0M 的坐标00,x y 和倾斜角α 联系起来呢？由于倾斜角可以与方向联系，M 与0M 可以用距离或线段0M M 数量的大小联系，这种“方向”“有向线段数量大小”启发我们想到利用向量工具建立直线的参数方程。 如图，在直线上任取一点(,)M x y ，则0MM = ， 而直线l 的单位方向向量e → =（ ， ）,因为0MM e → ，所以存在实数t R ∈， 使得0MM = ，即有()()00,cos ,sin x x y y t αα--=，因此，经过点 00(,)M x y ，倾斜角为()2 π αα≠ 的直线的参数方程的标准式为： ???= = y x 2.方程中参数t 的几何意义是什么？ 直线上任意动点到定点P 0的距离________||0=P P 3. 直线参数方程的一般式： （1）过点P 0(00,y x )，斜率为a b k = 的直线，记直线倾斜角α，则=αtan ，直线参数方程的一般式是 ? ? ?+=+ =t y y t x x （）（）00 （t 为参数），直线上任意动点到定点P 0的距离||________||0t P P =, （2）直线参数方程的一般式是 ???+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数）， 直线上任意两点A,B 对应参数分别为21,t t ，则它们到P 0的 距离分别为： |t -t |________|B P -A P ||AB ||,|________|||,|________||21002010====弦长t B P t A P ||________||________||________||||212100t t t t B P A P =?=? （3）中点公式：)M(),,(),,(20201010则中点bt y at x B bt y at x A ++++ |2 |________||2 10t t M P += 二、直线参数方程的应用 题组一。.求直线的参数方程的标准式及t 的几何意义的应用 例1：化直线1l 的普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数的几何意义,说明∣t ∣的几何意义.
直线的参数方程 教学目标： 1. 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用． 2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想． 3. 通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研的科学精神、严谨的科学态度． 教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程． 教学难点：通过向量法，建立参数t（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标,x y之间的联系． 教学方式：启发、探究、交流与讨论. 教学手段：多媒体课件． 教学过程： 一、回忆旧知，做好铺垫 教师提出问题： 1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程． 2.直线的方向向量的概念． 0 / 13
3.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？ 4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程． 5.如何建立直线的参数方程？ 这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善，问题5不急于让学生回答，先引起学生的思考． 【设计意图】通过回忆所学知识，为学生推导直线的参数方程做好准备． 二、直线参数方程探究 1．回顾数轴，引出向量 数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？ 教师提问后，让学生思考并回答问题． 教师引导学生明确：如果数轴原点为O ，数1所对应的点为A ，数轴上点M 的坐标为t ，那么： ①OA 为数轴的单位方向向量，OA 方向与数轴的正方向一致，且OM tOA =；②当OM 与OA 方向一致时（即OM 的方向与数轴正方向一致时），0t >； 当OM 与OA 方向相反时（即OM 的方向与数轴正方向相反时），0t <； 当M 与O 重合时，0t =； ③||OM t =．教师用几何画板软件演示上述过程．
对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达 形式cos sin x a R y b R θθ=+??=+?(θ为参数） ，在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。 一、求最值 例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。 【解】圆2 2 1x y +=的参数方程为：cos sin x y θθ=??=? 。 则2223x xy y ++=22cos 2sin cos 3sin θθθθ++ = 1cos 21cos 2sin 2322θθθ+-++? 2sin 2cos 2θθ=+-=22sin(2)4π θ+-，则38k πθπ=+（k ∈Z ）时，2223x xy y ++的最大值为：22+；8 k π θπ=-（k ∈Z ） 时，2223x xy y ++的最小值为22-。 【点评】解某些与圆的方程有关的条件制问题，可应用圆的参数方程转化为三角函数问题的方法解决。 二、求轨迹 例2 在圆224x y +=上有定点A （2，0），及两个动点B 、C ，且A 、B 、C 按逆时针方向排列， ∠BAC=3π ，求△ABC 的重心G （x ，y ）的轨迹 方程。 【解】由∠BAC= 3 π，得∠BOC=23π，设∠ABO=θ（403π θ<<），则B(2cos θ,2sin θ)，C(2cos(θ+23π)，2sin(θ+23 π ))，由重心坐标公式并化简，得： 22cos()333 2sin()33x y πθπθ? =++??? ?=+?? ，由5333πππθ<+<，知0≤x ＜1， C x y O A B 图1
直线的参数方程，圆锥曲线的参数方程及其应用 一. 教学内容： 直线的参数方程，圆锥曲线的参数方程及其应用，极坐标系，曲线的极坐标方程及其应用。 ［基本知识点］ （1）直线的参数方程 <1>标准形式： :),y ,x (M 000准形式为的直线的参数方程的标且倾角为过点α )t (sin t y y cos t x x 00为参数???+=+=αα <2>一般形式 )1b a 't ('bt y y 'at x x 2200≠+???+=+=为参数且 （2）参数t 的几何意义及其应用 标准形式： )y ,x (M t ,)t (sin t y y cos t x x 00000的几何意义是表示定点中为参数???+=+=αα 的数量的有向线段到直线上动点M M y)(x,M 0 :t,M M 0故即= <1>直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1,t 2，则弦长|AB|=|t 1-t 2| <2>定点M 0是弦M 1、M 2的中点?t 1+t 2=0
<3>设弦M 1，M 2中点为M ；则点M 相应的参数 2t t t 2 1M += （3）圆锥曲线的参数方程 <1>)(sin r y cos r x r y x 222为参数的参数方程为圆ααα???===+ 轴正方向的旋转角 的几何意义动半径对于其中x α <2> 其几何意义为离心为参数的参数方程为椭圆,(sin b y cos a x 1b y a x 2222 ααα???===+ 角）。 <3>)(btg y asec x 为参数双曲线的参数方程为ααα???== <4>抛物线y 2=2px 的参数方程为 )(t pt 2y pt 2x 2 为参数?????== （4）极坐标系的基本概念。 在平面内任取一个定点O ，叫做极点，引一条射线O x ，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向），对于平面内任一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角度，ρ叫做M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做点M 的极坐标系，这样建立的坐标叫做极坐标系。 （5）极坐标与直角坐标的互化 <1>互化条件： 极点与直角坐标系原点重合； 极轴与直角坐标系O x 轴重合； 两坐标系中的长度单位统一。 <2>互化公式
参数方程“考点”面面看 “参数方程”主要内容是直线、圆和椭圆的参数方程，参数方程和普通方程的互化，参数方程的简单应用三块，下面针对这三块内容进行透析： 一、直线、圆和椭圆的参数方程 例1．若直线的参数方程为1223x t y t =+??=-?（t 为参数），则直线的斜率为 . 分析：经过点P 0（x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程为x x t y y t t =+=+???00 cos sin αα（为参数） 解：将直线的参数方程为1223x t y t =+??=-? 化为12x y ?=????=?? （t 为参数），则直线的斜率为32 -. 评注：关键是要弄清楚直线的参数方程的形式. 经过定点P(x 0,y 0)的直线的参数方程也可以写成00x x at y y bt =+??=+?(t 为参数)，斜率就是b a . 二、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程(),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）. 例2.方程2222 t t t t x t y --?=-??=+??（为参数）表示的曲线是__________________. 分析：把参数方程化为我们熟悉的普通方程，再去判断它表示的曲线类型是这类问题的破解策略. 解：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，()()22 2222224t t t t x y ---=--+=-，即有224y x -=，又注意到 202222t t t y ->+≥=≥，，即，可见与以上参数方程等价的普通方程为2242y x y -=≥（）.显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支. 评注：这是一类将参数方程化为普通方程的检验问题，转化的关键是要注意变量范围的一致性. 例3．设P 是椭圆22 2312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值是 ，最小值为 . 分析： 由于研究二元函数x+2y 相对困难，因此有必要消元，但由x ，y 满足的方程2x 2+3y 2=12表出x 或y ，会出现无理式，这对进一步求函数最值依然不够简洁，能否有其他途径把二元函数x+2y 转化为一元函数呢？
直线的参数方程及应用 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，方向为直线L 的正方向）过点P 作y P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数， 又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α 即? ??+=+=αα sin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P |＝|t| ① 当t>0时，点P 在点P 0的上方； ② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③ 当t<0时，点P 在点P 0的下方； 特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线?+=0t x x ④ 当t>0时，点P 在点P 0的右侧； ⑤ 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ⑥ 当t<0时，点P 在点P 0的左侧； 问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是不是一 对应关系？ 我们把直线l 看作是实数轴， 以直线l 向上的方向为正方向，以定点 这样参数t 便和这条实数轴上的点P 一一对应关系. 问题3：P 1、P 2为直线l 上两点所对应的参数分别为t 1、t 2 ， x x
直线的参数方程及应用 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，方向为直线L 的正方向）过点P 作y P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P| 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P| P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数， 又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α 即? ??+=+=ααsin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P|＝|t| ① 当t>0时，点P 在点P 0的上方； ② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③ 当t<0时，点P 在点P 0的下方； 特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线?+=0t x x ④ 当t>0时，点P 在点P 0的右侧； ⑤ 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ⑥ 当t<0时，点P 在点P 0的左侧； 问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是不是一 对应关系？ 我们把直线l 看作是实数轴， 以直线l 向上的方向为正方向，以定点 这样参数t 便和这条实数轴上的点P 一一对应关系. 问题3：P 1、P 2为直线l 则P 1P 2＝？，∣P 1P 2∣=？ x x
高中数学第2章参数方程2.4一些常见曲线的参数方程讲义新人 教B 版选修44 学习目标：1.了解圆的渐开线和摆线的参数方程．(重点)2.了解渐开线与摆线的参数方程的推导过程．(难点) 1．摆线 (1)定义 一圆周沿一直线作无滑动滚动时，圆周上的一定点M 的轨迹称为摆线． (2)参数方程 ????? x ＝a (t －sin t )y ＝a (1－cos t ) (t 是参数)． 2．圆的渐开线 (1)定义 把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的圆盘的侧面上，把绳拉紧逐渐展开，绳的外端点随之移动，且绳的拉直部分始终和圆相切．绳的端点移动的轨迹就是一条圆的渐开线，固定的圆称为渐开线的基圆． (2)参数方程 ? ?? ?? x ＝a (cos t ＋t sin t )y ＝a (sin t －t cos t )(t 是参数)． 思考：圆的渐开线和摆线的参数方程中，参数t 的几何意义是什么？ [提示] 根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母a 是指基圆的半径，而参数t 是指绳子外端运动时绳子与基圆的切点B 转过的角度，如图，其中的∠AOB 即是角 t .显然点M 由参数t 惟一确定．在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐 标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单． 同样，根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母a 是指定圆的半径，参数t 是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度．参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程．当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况．
1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A ．只有圆才有渐开线 B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形 C ．正方形也可以有渐开线 D ．对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同 [解析] 不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开线和摆线的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同． [答案] C 2．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( ) A ．π B ．2π C ．12π D ．14π [解析] 根据条件可知圆的摆线的参数方程为? ?? ?? x ＝3t －3sin t y ＝3－3cos t (t 为参数)，把y ＝0代 入可得cos t ＝1，所以t ＝2k π(k ∈Z )．而x ＝3t －3sin t ＝6k π(k ∈Z )．根据选项可知应选C. [答案] C 3．半径为4的圆的渐开线的参数方程是________． [解析] 将a ＝4代入圆的渐开线方程即可． [答案] ? ?? ?? x ＝4(cos t ＋t sin t ) y ＝4(sin t －t cos t ) 4．给出某渐开线的参数方程? ?? ?? x ＝3cos t ＋3t sin t y ＝3sin t －3t cos t (t 为参数)，根据参数方程可以看 出该渐开线的基圆半径是______，当参数t 取π 2 时，对应的曲线上的点的坐标是________． [解析] 与渐开线的参数方程进行对照可知，a ＝3，即基圆半径是3，然后把t ＝π 2代入， 可得????? x ＝3π2，y ＝3. [答案] (3π 2 ，3)
第2讲 参数方程 【考情分析】 考查直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题． 基础梳理 1．参数方程的意义 在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x ，y 都是某个变量的函数??? x ＝f (t )，y ＝f (t )， 并且对于t 的每个允许值，由方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2．常见曲线的参数方程的一般形式 (1)经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为??? x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α(t 为参 数)． 设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P → 的数量． (2)圆的参数方程??? x ＝r cos θ， y ＝r sin θ(θ为参数)． (3)圆锥曲线的参数方程 椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1的参数方程为??? x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)． 双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的参数方程为??? x ＝a sec φ，y ＝tan φ(φ为参数)． 抛物线y 2＝2px 的参数方程为??? x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)． 双基自测 1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程??? x ＝－1－t ， y ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形分别 是( )．
A ．直线、直线 B ．直线、圆 C ．圆、圆 D ．圆、直线 解析 ∵ρcos θ＝x ，∴cos θ＝x ρ代入到ρ＝cos θ，得ρ＝x ρ，∴ρ2＝x ，∴x 2＋y 2＝x 表示圆． 又∵??? x ＝－1－t ，y ＝2＋t ，相加得x ＋y ＝1，表示直线． 答案 D 2．若直线??? x ＝1－2t ， y ＝2＋3t (t 为实数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________. 解析 参数方程??? x ＝1－2t ， y ＝2＋3t ，所表示的直线方程为3x ＋2y ＝7，由此直线与直线 4x ＋ky ＝1垂直可得－32×? ???? －4k ＝－1，解得k ＝－6. 答案 －6 3．二次曲线??? x ＝5cos θ， y ＝3sin θ(θ是参数)的左焦点的坐标是________． 解析 题中二次曲线的普通方程为x 225＋y 2 9＝1左焦点为(－4,0)． 答案 (－4,0) 4．(2011·广州调研)已知直线l 的参数方程为：??? x ＝2t ， y ＝1＋4t (t 为参数)，圆C 的极 坐标方程为ρ＝22sin θ，则直线l 与圆C 的位置关系为________． 解析 将直线l 的参数方程：??? x ＝2t ， y ＝1＋4t 化为普通方程得，y ＝1＋2x ，圆ρ＝22 sin θ的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝2，圆心(0，2)到直线y ＝1＋2x 的距离为 2－1 1＋4 ，因为该距离小于圆的半径，所以直线l 与圆C 相交． 答案 相交
极坐标与参数方程 一、极坐标与直角坐标之间的转换 (,)(cos ,sin )A A r q r q r q ? cos ,sin x y r q r q == 222x y r += a r =：表示半径为a 圆心为原点的圆 r q =：表示顶点在原点，与x 轴的正半轴夹角为q 的射线 2cos ()22 a p p r q q =- ＃表示圆心为(,0)a ，半径为a 的圆（注意角的取值范围，范围不同表示曲线不同） 2sin (0)a r q q p =＃表示圆心为(0,)a ，半径为a 的圆（注意角的取值范围，范围不同表示曲线不同） 二、常见的参数方程 1、直线的参数方程 形式一：（倾斜角） 00cos sin x x t y y t q q ì=+?í=+??（t 为参数） 形式二：（向量式） 00x x mt y y lt ì=+?í=+?? （t 为参数） 过定点00(,)P x y ，直线斜率sin cos l k m q q = = 两种形式的转化方法：0 0x x mt y y lt ì=+?í=+??（t 为参数）00x x y y ì=????í?=??? （t 为参数） 2、圆的参数方程 cos sin x r y r q q ì=?í=??（q 为参数） cos sin x a r y b r q q ì=+?í =+??（q 为参数） 3、椭圆的参数方程 cos sin x a y b q q ì=?í=?? （q 为参数） 00cos sin x x a y y b q q ì=+?í =+?? （q 为参数） 4、双曲线的参数方程 sec tan x a y b q q ì=?í=?? （q 为参数） 00sec tan x x a y y b q q ì=+?í =+?? （q 为参数） 5、抛物线的参数方程 2 2y px =? 2 2t x p y t ì?=?í?=??（t 为参数） 222x pt y pt ì=?í =??（t 为参数）
14. 抛物线的参数方程 主备： 审核： 学习目标：1. 了解椭圆的参数方程的推导过程及参数的意义； 2. 掌握椭圆的参数方程，并能解决一些简单的问题. 学习重点：椭圆参数方程的应用， 学习难点：椭圆参数方程中参数的意义. 学习过程： 一、课前准备： 阅读教材3334P P -的内容，理解抛物线的参数方程的推导过程，并复习以下问题： 1.将下列参数方程化为普通方程： （1）2 23 x t y t t =-?? =+-?（t 为参数），答：2 53x x y --=； （2）224x m y m ?=?=?（m 为参数），答：2 8x y =. 2.将下列普通方程化为参数方程： （1）2 2x y =，其中1x t t =-（t 为参数），答：221224 x t t y t t ?=-???=+-? ； （2）2 34y x =，其中x t =（0t ≥为参数） ，答：x t y =???=?? . 二、新课导学： （一）新知： 抛物线的参数方程的推导过程： 如图：设(,)M x y 为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM 为终边的角记为α，当α在(,)22 ππ - 内变化时， 点M 在抛物线上运动，并且对于α的每一个值，在抛物线上都有唯一的M 点与对应.因此，可以取α为参数探求抛物线的参数方程. 根据三角函数的定义得，tan y x α=，即tan y x α=，联立2 2y px =，得 22tan 2tan p x p y α α?=??? ?=?? （α为参数），这为抛物线的不含顶点的参数方程，但方程的形式不够简洁， 设1 tan t α=，(,0)(0,)t ∈-∞+∞U ，则222x pt y pt ?=?=?（t 为参数 ）， 当0t =时，由参数方程得，正好为顶点(0,0)O ，因此当(,)t ∈-∞+∞时，上式为 22y px =的参数方程. 注意：参数t 的几何意义为：表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数. 动动手：（1）选择适当的参数t ，建立抛物线2 2x py =的参数方程 .
椭圆的参数方程及其应用 大纲对椭圆的参数方程的要求是达到理解的程度，如果适当地引进一点简单的参数方程知识，可以起到拓宽视野，简化平面解析几何的运算的功效。本文主要介绍椭圆的参数方程及其应用，希望能够给读者一些启迪。 一般都是这样定义的： 椭圆1b )y y (a )x x (22022 0=-+-的参数方程是? ??α+=α+=sin b y y cos a x x 00（α是参数，0b 0a >>，）。 特别地，以点（00y x ，）为圆心，半径是r 的椭圆的参数方程是? ??α+=α+=sin r y y cos r x x 00（α是参数，r>0）。 一、求椭圆的内接多边形的周长及面积 例1 求椭圆)0b a (1b y a x 22 22>>=+的内接矩形的面积及周长的最大值。 解：如图，设椭圆1b y a x 22 22=+的内接矩形在第一象限的顶点是A （ααsin b cos a ，）（2 0π<α<），矩形的面积和周长分别是S 、L 。 ab 22sin ab 2sin b cos a 4|EA ||FA |4S ≤α=α?α=?=， 当且仅当4 a π=时，22m a x b a 4sin b 4cos a 4|)EA ||FA (|4L ab 2S +≤α+α=+==，，22max b a 4L +=，此时α存在。 二、求轨迹
例2 已知点A 在椭圆136y 144x 22=+上运动，点B （0，9）、点M 在线段AB 上，且2 1MB AM =，试求动点M 的轨迹方程。 解：由题意知B （0，9），设A （ααsin 6cos 12，），并且设M （x ，y ）。 则，α=+?+α=++=cos 82 11021cos 12211x 21x x B A 3sin 42 11921sin 6211y 21y y B A +α=+?+α=++=， 动点M 的轨迹的参数方程是? ??+α=α=3sin 4y cos 8x （α是参数）， 消去参数得116 )3y (64x 2 2=-+。 三、求函数的最值 例3 设点P （x ，y ）在椭圆19 y 16x 2 2=+，试求点P 到直线05y x =-+的距离d 的最大值和最小值。 解：点P （x ，y ）在椭圆19 y 16x 2 2=+上，设点P （ααsin 3cos 4，）（α是参数且)20[π∈α，）， 则5553arcsin sin 53 4|5sin 4cos 3|d 22-??? ??+α=+-α+α=。 当5 3arcsin 2-π=α时，距离d 有最小值0，此时椭圆19y 16x 22=+与直线05y x =-+相切；当5 3arcsin 23-π=α时，距离d 有最大值2。 四、求解有关离心率等入手比较困难的问题
直线的参数方程及应用 目标点击： 1．掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义； 2．熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化； 3．利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题； 基础知识点击： 1、直线参数方程的标准式 (1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ? ??+=+=αα s i n c o s 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2， 则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣ (3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3 则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=2 21t t + (4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0 2、直线参数方程的一般式 过点P 0(00,y x )，斜率为a b k =的直线的参数方程是 ? ??+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数） 点击直线参数方程： 一、直线的参数方程 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，方向为直线L 的正方向）过点P 作y P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数， 又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α x
知识目标：使学生较熟练的掌握参数方程在求最值问题方面的应用。 能力目标：培养学生的创新思维，使学生的解题能力得到进一步的提高，为以后的学习奠定基础。 德育目标：培养学生勇于探索、敢于创新的精神，从探索中获得成功的体验 三、教学重点、难点： 重点是掌握直线、圆、椭圆的参数方程； 难点是如何恰当的选择参数解决各种最值 四．授课类型：新授课 五、教学方法与教学手段： 以学生为主体，教师为主导的问题探究式教学。 六、教学过程： 引入：前一阶段我们学习了哪些曲线的参数方程？今天我们就利用已有的知识来更好的理解参数方程，并学会利用曲线 的参数方程解决相关的应用问题。 热身：1.方程?? ?+=+=θ θ sin cos t b y t a x 分别以t 为参数)0(≠t 或θ 为参数，得到两条曲线，则这两条曲线公共点的个数 是 ， 2．当θ在闭区间]2 ,0[π 上变化时，抛物线θ θ2cos sin 42 --=x x y 的顶点 P 的轨迹方程 是 ． 新授： 题型一 利用参数方程求多元函数的最值 【例 1】已知y x ,满足4)2() 1(22 =++-y x ，求y x S -=3的最大值和最小值 变形：已知y x ,满足4)2() 12(22 =++-y x ，求y x S -=3的最大值和最小值 题型二 利用参数方程求距离、长度的最值 【例 2】在椭圆 22 110025 x y +=上求一点P ，使它到已知直线:38720l x y ++=的距离d 为最大 题型三 利用参数方程求多边形周长和面积的最值 【例 3】求圆122 =+y x 内接矩形面积的最大值 面积 的最大值，并求此时M 点的坐标。 思考：将上述第一象限删掉，会有什么结果？ 变形3：已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上两个相邻顶点为C A ,，又D B ,为椭圆上的两个动点，且D B ,分别在直线AC 的两 旁，求四边形 ABCD 面积的最大值。 题型四 利用参数方程求角度的最值 【例 4】（备用）已知椭圆 2 2116 x y +=和圆2216x y +=，A 为圆在第一象限上 的点，过A 作AM 垂直于x 轴于点M ，交椭圆于点B ，求AOB 的最大值 七．练习： （1）已知点P 为椭圆13 22 =+y x 在第一象限部分上的点，则y x +的最大值等于 . （2）已知点P 在曲线? ??=+=θθ sin cos 2y x （θ 为参数）上，点Q 在曲线???=-=t y t x 21 （t 为参数）上，试求PQ 的最小值，并 求出此时Q 点坐标 （3）AB 为过椭圆 116 252 2=+y x 中心的弦，1F ，2F 为焦点，求△ABF 1面积的最大值。 （4）椭圆 122 22=+b y a x （0>>b a ）与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上存在点P ，使OP ⊥AP ，（O 为原点），求离心率e 的范围。 八．小结：本节课我们处理的以上几个问题均是利用参数方程来求最值问题。我们发现，利用参数方程求最值把三角函数跟 解析几何很好的结合起来，降低了运算量，是一条很好的解题途径。 九．作业
直线的参数方程 教学目标： 1. 在直角坐标系中，给定一点00(,)M x y 及倾斜角α联系向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用． 2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想． 3. 通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研 的科学精神、严谨的科学态度． 教学重点：分析直线的几何条件，选择适当的参数写出直线的参数方程． 教学难点：通过直线的几何条件联系到向量法，并选择“有向线段的数量”为参数． 教学方式：启发、探究、交流与讨论. 教学手段：多媒体课件． 教学过程： 一、回忆旧知，做好铺垫 1.我们学过的直线的普通方程都有哪些? 2.根据直线的几何条件，你认为用哪个几何条件来建立直线的参数方程比较好． 二、直线参数方程探究 1. 已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程． 2.根据直线的几何条件，你认为应当怎样选择参数，如何建立直线的参数方程？ （1）把0M M 看成有向线段，那么点M 的位置可以由它的数量唯一确定；（2）0M M 的方向可以利用倾斜角α确定的方向向量来表示。从而可以利用向量来
建立直线l 的参数方程． 如何确定直线l 的单位方向向量e ？ 教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆．为了研究问题方便，可以把起点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆．因此在单位圆中来确定直线的单 位方向向量． 在此基础上，得出(cos ,sin )e αα=，从而明确 直线l 的方向向量可以由倾斜角α来确定． 问题：如果点0M ,M 的坐标分别为 00(,)(,)x y x y 、，怎样用参数t 表示,x y ？ 因为(cos ,sin )e αα=，（[0,)απ∈），00000(,)(,)(,)M M x y x y x x y y =-=--， 0//M M e 又，所以存在实数t R ∈，使得0M M te =，即 00(,)(cos ,sin )x x y y t αα--=． 于是0cos x x t α-=，0sin y y t α-=， 即0cos x x t α=+，0sin y y t α=+． 因此，经过定点00(,)M x y ，倾斜角为α的直线的参数方程为 ? ??+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）． 提出如下问题让学生加强认识： ①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？ ②参数t 的取值范围是什么？ ③参数t 的几何意义是什么？ 总结如下：①00,x y ，α是常量，,,x y t 是变量； ②t R ∈；