1
中考解读：
圆的综合是中考数学必考题，一般在第24或25题，分值5分 圆综一般有两小题
Ⅰ.第一小题占2分，一般需要证明切线或角的关系和线段关系
一般需要导角证明，求证相切的关系其实是导90°角，求证平行关系其实也是通过导角的关系来判定平行，这类问题通常都要用到圆的常见辅助线来解决； Ⅱ. 第二小题占3分，一般考查求线段的长度
主要应用圆的基本性质，同时结合相似、勾股定理以及锐角三角函数等知识。这一问是考生容易丢分的，是此题的难点，需要掌握核心方法和技巧。
解决圆综问题常用到的定理： （1）弧、弦、圆心角定理
弧、弦、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 推论1：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等． 推论2：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
（2）圆周角定理
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）垂径定理
圆综解题技巧
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（4）切线定理
切线的判定定理：经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
（5）切线长定理
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
（6）圆的内接四边形：
圆内接四边形性质：圆内接四边形对角互补．
推论：圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角。
要想熟练解决几何问题，一定要形成一种做辅助线和解题的条件反射，看到题中的某个条件、某个图形或是某种问法脑海中就会即刻呈现出可能的辅助线。这种条件反射像是饿了想吃饭，渴了想喝水一样。
（1）见到条件给出圆周角或者圆心角的度数或等量关系→找同弧或等弧所对的其他圆周角或者圆心角。
（2）见到直径→找直径所对的圆周角
（3）见到切线尤其是要证明相切关系→连过切点的半径
（4）若题目中有“弦的中点”和“弧的中点”条件时，一般连接中点和圆心，利用垂径定理的推论得出结果。
（5）圆心是直径的中点，考虑中位线
（6）同圆的半径相同，连接两条半径，考虑等腰三角形的性质，圆内的等腰三角形，计算线段长，考虑垂径定理
（7）角平分线，平行，等腰→知二得一
还有很多要形成条件反射的内容，例如出现平行线要怎么办等等，平时要多注意积累
像这些需要形成条件反射的辅助线，我们称之为必连线，即使题中可能用不到，在做题过程中也要先连起来。
圆综的解题步骤：
第一问一般需要证明切线或角的关系和线段关系
它们有一个共同的特点：通过导角来证明。
证切线→导直角；证角的关系等→导角；证线段相等→一般导等腰（有时需要全等）；证线段平行→导角。
第二问一般需要求边，一种是求边的比例，另一种是求边的长度
※求边的比例大多数情况会用相似三角形来解决
※求边的长度则分3个步骤：
（1）把所求的边放到直角三角形中，利用勾股定理或者三角函数解决
（2）把所求的边放到合适的三角形中，利用相似三角形来解决
利用勾股定理，相似三角形或者锐角三角函数时，通常需要设未知数，然后列方程求解（3）若发现（1）和（2）行不通，则可以考虑等量代换或者求线段的和差，再回到（1）或（2）解决
圆中有非常多的直角三角形，所以相似一般是直角三角形的相似，包括：平行相似，错位相似，射影相似，共角相似，八字相似等
典题讲解：
1：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长交BC的延长线于点F．
（1）求证：∠BDF=∠F；
（2）如果CF＝1，sinA＝
3
5
，求⊙O的半径．
（2014北京丰台一模）解题思路：
1：遇到相切：连半径得垂直；
2：遇到直径：联想所对圆周角为90°；
3：三角函数：直角三角形、相似；
解：（1）证明：连接O E，
∵AC与圆O相切，
∴OE⊥AC，…………………1分
∵BC⊥AC，
∴OE∥BC，
∴∠1=∠F
又∵OE=OD，∴∠1=∠2 ∴∠BDF=∠F；……………2分（2）解：设BC=3x，根据题意得：AB=5x，
又∵CF=1，∴BF=3x+1，
由（1）得：∠BDF=∠F ，∴BD=BF，
∴BD=3x+1，
∴OE=OB=，…………………3分
AO=AB﹣OB=5x ﹣=，
∵sinA=，∴
=，即=，………………4分
解得：x=，则O 的半径为=．……………5分
2：如图，CA、CB为⊙O的切线，切点分别为A、B．延长直径AD与CB的延长线交于点E．AB、CO交于点M，连接OB．
（1）求证：∠ABO=1
2
∠ACB；
（2）若sin∠EAB
，CB=12，求⊙O 的半径及
BE
AE
的值．
A
（2014朝阳一模）解题思路：
1、题中过一个点有两条切线，可联想：
1）切线长定理：切线长相等，角平分线；
2）垂直：连接圆心和切点，垂直于切线；
3）圆外一点和圆心连线垂直平分“切点弦”——如：OC^AB且OC平分AB
2、三角函数
1)构造直角三角形或通过导角，转换为直角三角形的三角函数问题；
2)利用直角三角形的相似，解决问题。
解：（1）证明：∵CA、CB为⊙O的切线，
∴CA=CB，∠BCO=1
2
∠ACB，∴∠CBO=90°．………………1分
∴CO⊥AB．
∴∠ABO +∠CBM=∠BCO +∠CBM=90°．∴∠ABO =∠BCO．
∴∠ABO=1
2
∠ACB．…………………2分
（2）∵OA＝OB，∴∠EAB=∠ABO．∴∠BCO＝∠EAB．
∵sin∠BCO =sin∠EAB
．…………………3分
∴OB
CB
＝
1
3
．
∵CB＝12，
∴OB＝4．……………………………………………4分即⊙O 的半径为4．
∴∠OBE＝∠CAE＝90°，∠E＝∠E，
∴△OBE∽△CAE．
∴BE
AE
＝
OB
CA
．
∵CA＝CB＝12，
∴BE
AE
＝
1
3
．…………………………………………5分
A
3：如图AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE PO
⊥交PO的延长线于点E.
（1）求证：EPD EDO
∠=∠；
（2）若6
PC=，
3
tan
4
PDA
∠=，求OE的长.
A
O
B
C
D E
P
（2013年北京中考）
解题思路：
1、题中过一个点有两条切线，可联想：
1）切线长定理：切线长相等，角平分线；
2）垂直：连接圆心和切点，垂直于切线；
3）圆外一点和圆心连线垂直平分“切点弦”——如：OC^AB且OC平分AB 过一点有两条切线：
2、圆内相似
1）半径相等
2）三角函数——确定直角三角形的三边比例关系
解：（1）证明：PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，∴∠APO=∠EPD且PA⊥AO，
∴∠PAO=90°，
∵∠AOP=∠EOD，∠PAO=∠E=90°，
∴∠APO=∠EDO，
∴∠EPD=∠EDO；
（2）解：连接OC，
∴PA=PC=6，
∵tan∠PDA=，
∴在Rt△PAD中，AD=8，PD=10，
∴CD=4，
∵tan∠PDA=，
∴在Rt△OCD中，OC=OA=3，OD=5，
∵∠EPD=∠ODE，
∴△OED∽△DEP，
∴，
在Rt△OED中，OE2+DE2=52，
∴OE=．
4：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点，DF⊥AC 于F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若
3
cos
5
C=，CF=9，求AE的长．
（2014海淀一模）
解题思路：
1.证切线，连半径，导90°或垂直
1）遇线段相等，得角相等，联想“三线合一”
2）遇直径，联想所对圆周角是90°
3）看到垂直，联想到平行
4）圆心是中点，三线合一出中点，利用中位线
2.求线段长
1）有锐角三角函数，找直角三角形
2)三角函数遇所求线段不在同一三角形，想勾股定理或者相似解：（1）连接,
OD AD.
∵AB 是⊙O 的直径，
∴90ADB ∠=. 又∵AB AC =， ∴D 为BC 的中点. 又∵O 为AB 的中点， ∴OD //AC . ∵DF ⊥AC ， ∴DF ⊥OD .
又∵OD 为⊙O 的半径，
∴DF 为⊙O 的切线．…………………………………………2分 （2）∵DF ⊥AC ，9CF =,
∴cos CF
C C
D =. ∴3
915cos 5
CF CD C =
=÷=.…………………3分 ∵90ADB ∠=， ∴90ADC ∠=. ∴cos CD
C AC =
. ∴3
1525cos 5
CD AC C =
=÷=………………………4分 连接BE .
∵AB 是⊙O 的直径， ∴90AEB ∠=. 又∵DF ⊥AC ， ∴DF //BE . ∴
1CF CD EF BD
==. ∴9EF CF ==.
∴25997AE AC EF CF =--=--=． ……………………………………5分
5:如图，AB 是⊙O 的直径，点E 是BD 上一点，∠DAC =∠AED ．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点E是BD的中点，连结AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求DF的值．
（2014东城一模）
解题思路：
1：证切线，导直角
1）题中出现相等的角，找相等的圆周角
2）直径所对的圆周角是90°
2：求线段长
1）已知BD，CD，射影相似
2）利用线段和差
解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵∠B =∠AED =∠CAD ，∠C =∠C ，
90.
C CA
D C B ?∴∠+∠=∠+∠= ∴∠BAC =∠ADC =90°．
∴AC 是⊙O 的切线．………………2分 （2）可证△ADC ∽△BAC ． ∴
AC CD
BC AC =
．即AC 2=BC ×CD =36． 解得 AC =6．
∵点E 是BD 的中点， ∴∠DAE =∠BAE .
∵∠CAF =∠CAD +∠DAE =∠ABF +∠BAE =∠AFD ， ∴CA =CF =6，
∴DF =CA ﹣CD =2．………………5分
6：如图，在△ABC 中，AB 是圆O 的直径，AC 与圆O 交于点D ．点E 在BD 上，连接DE ，
AE ，连接CE 并延长交AB 于点F ，AED ACF ∠=∠．
（1）求证：CF AB ⊥；
（2）若4CD =
，CB =4
cos 5
ACF ∠=
，求EF 的长．
A
（2016西城一模）
解题思路：
1：证线段垂直，导直角
1）看到直径，联想直径所对的圆周角是90° 2）看到相等的角，找相等的圆周角 2：求线段长
1）有三角函数，找直角三角形 2）利用相似或勾股定理求线段长
解：（1）连接BD ，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠1=90°，
∵∠1=∠2，∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴∠DAB+∠3=90°，
∴∠CFA=180°﹣（DAB+∠3）=90°，∴CF⊥AB；
（2）连接OE，
∵∠ADB=90°，
∴∠CDB=180°﹣∠ADB=90°，
∵在Rt△CDB中，CD=4，CB=4，∴DB==8，
∵∠1=∠3，
∴cos∠1=cos∠3==，
∴AB=10，
∴OA=OE=5，AD==6，∵CD=4，∴AC=AD+CD=10，
∵CF=AC?cos∠3=8，
∴AF==6，
∴OF=AF﹣OA=1，
∴EF==2．
练习：
1：如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD=2∠BAC，连接CD. 过点作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于F点.
（1）求证：CF为⊙O的切线；
（2）当BF=5,
3
sin
5
F=时，求BD的长.
A
2.如图，在△ABC中，AB = AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．
（1）求证：
1
2
CBF CAB ∠=∠；
（2）连接BD，AE交于点H，若AB = 5，
1
tan
2
CBF
∠=，求BH的长．
3.如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO
延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．
（1）求证：PB是⊙O的切线．
（2）若PB=3，DB=4，求DE的长．
4.如图1，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边BC于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点D，且ED⊥AC．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如图2，若线段AB、DE的延长线交于点F，∠C=75°，CD=2﹣，求⊙O的半径和BF 的长．
5:如图， Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，E 为BC 边的中点，连接DE.
（1）求证：DE 与⊙O 相切.
（2）若tanC=2
5
，DE=2，求AD 的长．
方法总结
（1）证切线，角的关系，线段关系
证切线→导直角；证角的关系等→导角；证线段相等→一般导等腰（有时需要全等）；证线段平行→导角。 （2）求线段
勾股定理，三角函数，相似三角形，线段和差或等量代换
A
课后练习
1:如图，AB ，AD 是⊙O 的弦，AO 平分BAD ∠.过点B 作⊙O 的切线交AO 的延长线于点C ，连接CD ，BO .延长BO 交⊙O 于点E ，交AD 于点F ，连接AE ，DE . （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若3AE DE ==，求AF 的长.
2：如图，在△ABC 中，∠C =90°，点E 在AB 上，以AE 为直径的⊙O 切BC 于点D ，连接AD ． （1）求证：AD 平分∠BAC ； （2）若⊙
O 的半径为5，sin ∠DAC BD 的长.
3：如图，AB 是⊙O 的直径，PA ，PC 分别与⊙
O 相切于点A 、C ，PC 交AB 的延长线于点D ，
DE PO ⊥交PO 的延长线于点E ．
（1）求证：EPD EDO ∠=∠； （2）如果6PC =，3
tan 4
PDA ∠=，求OE 的长．
4：如图，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O ，与BC 交于点D ，点E 是弧BD 的中点，连接AE 交BC 于点F ，2ACB BAE ∠=∠. （1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）若2
sin 3
B =，BD=5，求BF 的长.
5：如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 在CB 的延长线上，连接AC ，AE ，∠ACD =∠BAE =45°