一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，以O为圆心，4为半径的圆与x轴交于点A，C在⊙O上，∠OAC=60°．
（1）求∠AOC的度数；
（2）P为x轴正半轴上一点，且PA=OA，连接PC，试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）有一动点M从A点出发，在⊙O上按顺时针方向运动一周，当S△MAO=S△CAO时，求动点M所经过的弧长，并写出此时M点的坐标．
【答案】（1）60°；（2）见解析；（3）对应的M点坐标分别为：M1（2，﹣3M2（﹣2，﹣3）、M3（﹣2，3M4（2，3）．
【解析】
【分析】
（1）由于∠OAC=60°，易证得△OAC是等边三角形，即可得∠AOC=60°．
（2）由（1）的结论知：OA=AC，因此OA=AC=AP，即OP边上的中线等于OP的一半，由此可证得△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，由此可判断出PC与⊙O的位置关系．（3）此题应考虑多种情况，若△MAO、△OAC的面积相等，那么它们的高必相等，因此有四个符合条件的M点，即：C点以及C点关于x轴、y轴、原点的对称点，可据此进行求解．
【详解】
（1）∵OA=OC，∠OAC=60°，
∴△OAC是等边三角形，
故∠AOC=60°．
（2）由（1）知：AC=OA，已知PA=OA，即OA=PA=AC；
∴AC=1
OP，因此△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，
2
而OC是⊙O的半径，
故PC与⊙O的位置关系是相切．
（3）如图；有三种情况：
①取C点关于x轴的对称点，则此点符合M点的要求，此时M点的坐标为：M1（2，﹣
3
劣弧MA的长为：6044 1803
ππ
?
=；
②取C点关于原点的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M2（﹣2，﹣3
劣弧MA的长为：12048 1803
ππ
?
=；
③取C点关于y轴的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M3（﹣2，
3
优弧MA的长为：240416 1803
ππ
?
=；
④当C、M重合时，C点符合M点的要求，此时M4（2，3）；
优弧MA的长为：300420 1803
ππ
?
=；
综上可知：当S△MAO=S△CAO时，动点M所经过的弧长为481620
,,,
3333
ππππ
对应的M点坐
标分别为：M1（2，﹣3M2（﹣2，﹣3）、M3（﹣2，3M4（2，3
【点睛】
本题考查了切线的判定以及弧长的计算方法，注意分类讨论思想的运用，不要漏解．
2．如图，⊙O的半径为6cm，经过⊙O上一点C作⊙O的切线交半径OA的延长于点B，作∠ACO的平分线交⊙O于点D，交OA于点F，延长DA交BC于点E．
（1）求证：AC∥OD；
（2）如果DE⊥BC，求AC的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）2π．
【解析】
试题分析：（1）由OC=OD，CD平分∠ACO，易证得∠ACD=∠ODC，即可证得AC∥OD；（2）BC切⊙O于点C，DE⊥BC，易证得平行四边形ADOC是菱形，继而可证得△AOC是等边三角形，则可得：∠AOC=60°，继而求得弧AC的长度．
试题解析：（1）证明：∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC．∵CD平分∠ACO，
∴∠OCD=∠ACD，∴∠ACD=∠ODC，∴AC∥OD；
（2）∵BC切⊙O于点C，∴BC⊥OC．∵DE⊥BC，∴OC∥DE．∵AC∥OD，∴四边形ADOC 是平行四边形．∵OC=OD，∴平行四边形ADOC是菱形，∴OC=AC=OA，∴△AOC是等边三
角形，∴∠AOC=60°，∴弧AC的长度=606
180
π?
=2π．
点睛：本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过BD上一点E作EG∥AC 交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG=FG，连结CE．
（1）求证：∠G=∠CEF；
（2）求证：EG是⊙O的切线；
（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tanG =3
4
，AH=33，求EM的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
3 8
.
【解析】
试题分析：（1）由AC∥EG，推出∠G=∠ACG，由AB⊥CD推出AD AC
=，推出∠CEF=∠ACD，推出∠G=∠CEF，由此即可证明；
（2）欲证明EG是⊙O的切线只要证明EG⊥OE即可；
（3）连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△OCH中，利用勾股定理求出r，证明
△AHC∽△MEO，可得AH HC
EM OE
=，由此即可解决问题；
试题解析：（1）证明：如图1．∵AC∥EG，∴∠G=∠ACG，∵AB⊥CD，∴AD AC
=，∴∠CEF=∠ACD，∴∠G=∠CEF，∵∠ECF=∠ECG，∴△ECF∽△GCE．
（2）证明：如图2中，连接OE．∵GF=GE，∴∠GFE=∠GEF=∠AFH，∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，∵∠AFH+∠FAH=90°，∴∠GEF+∠AEO=90°，∴∠GEO=90°，∴GE⊥OE，∴EG是⊙O的切线．
（3）解：如图3中，连接OC．设⊙O的半径为r．
在Rt△AHC中，tan∠ACH=tan∠G=AH
HC
=
3
4
，∵AH=33∴HC=3Rt△HOC中，
∵OC=r，OH=r﹣33HC=43∴222
(33)(43)
r r
-+=，∴r 253
，
∵GM∥AC，∴∠CAH=∠M，∵∠OEM=∠AHC，∴△AHC∽△MEO，∴AH HC
EM OE
=，
∴3343
253
EM
=
，∴EM=
253
8
．
点睛：本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定
理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形，构建方程解决问题吗，属于中考压轴题．
4．如图，AB 为
O 的直径，弦//CD AB ，E 是AB 延长线上一点，CDB ADE ∠=∠．
()1DE 是O 的切线吗？请说明理由； ()2求证：2AC CD BE =?．
【答案】（1）结论：DE 是O 的切线，理由见解析；（2）证明见解析.
【解析】 【分析】
（1）连接OD ，只要证明OD DE ⊥即可；
（2）只要证明：AC BD =，CDB DBE ∽即可解决问题. 【详解】
()1解：结论：DE 是
O 的切线．
理由：连接OD ．
CDB ADE ∠=∠， ADC EDB ∴∠=∠， //CD AB ，
CDA DAB ∴∠=∠， OA OD =，
OAD ODA ∴∠=∠， ADO EDB ∴∠=∠， AB 是直径，
90ADB ∴∠=， 90ADB ODE ∴∠=∠=，
DE OD ∴⊥，
DE ∴是O 的切线．
()2//
CD AB，
∠=∠，
∴∠=∠，CDB DBE
ADC DAB
∴=，
AC BD
∴=，
AC BD
∠=∠，EDB DAB
DCB DAB
∠=∠，
∴∠=∠，
EDB DCB
CDB
∴∽DBE，
CD DB
∴=，
BD BE
2
∴=?，
BD CD BE
2
AC CD BE
∴=?．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型.
5．不用圆规、三角板，只用没有刻度的直尺，用连线的方法在图1、2中分别过圆外一点A作出直径BC所在射线的垂线．
【答案】画图见解析.
【解析】
【分析】根据直角所对的圆周角是直角，构造直角三角形，利用直角三角形性质可画出垂线；或结合圆的轴对称性质也可以求出垂线.
【详解】解：画图如下：
【点睛】本题考核知识点：作垂线.解题关键点：结合圆的性质和直角三角形性质求出垂线.
6．矩形ABCD中，点C（3，8），E、F为AB、CD边上的中点，如图1，点A在原点处，点B在y轴正半轴上，点C在第一象限，若点A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长度的速度运动，点B随之沿y轴下滑，并带动矩形ABCD在平面内滑动，如图2，设运动时间表示为t秒，当点B到达原点时停止运动．
（1）当t=0时，点F的坐标为；
（2）当t=4时，求OE的长及点B下滑的距离；
（3）求运动过程中，点F到点O的最大距离；
（4）当以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，求t的值．
【答案】（1）F（3，4）；（2）8-33）7；（4）t的值为24
5
或
32
5
.
【解析】
试题分析：（1）先确定出DF，进而得出点F的坐标；
（2）利用直角三角形的性质得出∠ABO=30°，即可得出结论；
（3）当O、E、F三点共线时，点F到点O的距离最大，即可得出结论；
（4）分两种情况，利用相似三角形的性质建立方程求解即可．
试题解析：解：（1）当t=0时．∵AB=CD=8，F为CD中点，∴DF=4，∴F（3，4）；（2）当t=4时，OA=4．在Rt△ABO中，AB=8，∠AOB=90°，
∴∠ABO=30°，点E是AB的中点，OE=1
2
AB=4，BO=3∴点B下滑的距离为
843
（3）当O、E、F三点共线时，点F到点O的距离最大，∴FO=OE+EF=7．
（4）在Rt △ADF 中，FD 2+AD 2=AF 2，∴AF =22FD AD +=5，①设AO =t 1时，⊙F 与x 轴相切，点A 为切点，∴FA ⊥OA ，∴∠OAB +∠FAB =90°．∵∠FAD +∠FAB =90°，∴∠BAO =∠FAD ．∵∠BOA =∠D =90°，∴Rt △FAE ∽Rt △ABO ，∴AB AO FA FE =，∴1853
t
=，∴t 1=
245，②设AO =t 2时，⊙F 与y 轴相切，B 为切点，同理可得，t 2=32
5
． 综上所述：当以点F 为圆心，FA 为半径的圆与坐标轴相切时，t 的值为
245或32
5
． 点睛：本题是圆的综合题，主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，中点的意义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，切线的性质，解（2）的关键是得出∠ABO =30°，解（3）的关键是判断出当O 、E 、F 三点共线时，点F 到点O 的距离最大，解（4）的关键是判断出Rt △FAE ∽Rt △ABD ，是一道中等难度的中考常考题．
7．如图，已知AB 是⊙O 的直径，P 是BA 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，CD ⊥AB ，垂足为D ．
（1）求证：∠PCA ＝∠ABC ；
（2）过点A 作AE ∥PC 交⊙O 于点E ，交CD 于点F ，交BC 于点M ，若∠CAB ＝2∠B ，CF 3 【答案】（1）详见解析；（2633π-.
【解析】 【分析】
（1）如图，连接OC ，利用圆的切线的性质和直径对应的圆周角是直角可得
∠PCA=∠OCB ，利用等量代换可得∠PCA=∠ABC.
（2）先求出△OCA 是等边三角形，在利用三角形的等边对等角定理求出FA=FC 和CF=FM,然后分别求出AM 、AC 、MO 、CD 的值，分别求出0A E S ?、BOE S 扇形 、ABM S ? 的值，利用
0A E ABM BOE S S S S ??=+-阴影部分扇形，然后通过计算即可解答.
【详解】
解：（1）证明：连接OC ，如图，
∵PC 切⊙O 于点C ，∴OC ⊥PC, ∴∠PCA+∠ACO=90o,
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=∠ACO+OCB=90o ∴∠PCA=∠OCB, ∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB, ∴∠PCA=∠ABC ； （2）连接OE ，如图，
∵△ACB 中，∠ACB ＝90o,∠CAB ＝2∠B, ∴∠B ＝30o,∠CAB ＝60o,∴△OCA 是等边三角形， ∵CD ⊥AB,∴∠ACD+∠CAD ＝∠CAD ＋∠ABC ＝90o, ∴∠ACD ＝∠B ＝30o,
∵PC ∥AE,∴∠PCA ＝∠CAE ＝30o,∴FC=FA, 同理，CF ＝FM,∴AM ＝2CF=3 Rt △ACM 中，易得AC=33
2
=3＝OC, ∵∠B ＝∠CAE ＝30o,∴∠AOC=∠COE=60o, ∴∠EOB=60o,∴∠EAB=∠ABC=30o,∴MA=MB, 连接OM,EG ⊥AB 交AB 于G 点，如图所示，
∵OA=OB,∴MO ⊥AB,∴MO ＝OA×tan30o=3 , ∵△CDO ≌△EDO(AAS)， ∴EG=CD=AC×sin60o=3
32
， ∴1
332
ABM S AB MO ?=
?=, 同样，易求93
AOE S ?=
， 260333602
BOE
S ππ
?==
扇形 ∴0A E ABM BOE S S S S ??=+-阴影部分扇形=933633
334
2
4
ππ-+-=
. 【点睛】
本题考查了切线的性质、解直角三角形、扇形面积和识图的能力，综合性较强，有一定难度，熟练掌握定理并准确识图是解题的关键.
8．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AC 为直径，BD AD =，DE ⊥BC ，垂足为E ．
（1）判断直线ED 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若CE =1，AC =4，求阴影部分的面积．
【答案】（1）ED 与O 相切.理由见解析；（2）2
=33
S π-阴影
【解析】 【分析】
（1）连结OD ，如图，根据圆周角定理，由BD AD =得到∠BAD =∠ACD ，再根据圆内接
四边形的性质得∠DCE =∠BAD ，所以∠ACD =∠DCE ；利用内错角相等证明OD ∥BC ，而DE ⊥BC ，则OD ⊥DE ，于是根据切线的判定定理可得DE 为⊙O 的切线；
（2）作OH ⊥BC 于H ，易得四边形ODEH 为矩形，所以OD =EH =2，则CH =HE ﹣CE =1，于是有∠HOC =30°，得到∠COD =60°，然后根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式和阴影部分的面积=S 扇形OCD ﹣S △OCD 进行计算即可． 【详解】
（1）直线ED 与⊙O 相切．理由如下：
连结OD ，如图，∵BD AD =，∴∠BAD =∠ACD ． ∵∠DCE =∠BAD ，∴∠ACD =∠DCE ．
∵OC =OD ，∴∠OCD =∠ODC ，而∠OCD =∠DCE ，∴∠DCE =∠ODC ，∴OD ∥BC ． ∵DE ⊥BC ，∴OD ⊥DE ，∴DE 为⊙O 的切线；
（2）作OH ⊥BC 于H ，则四边形ODEH 为矩形，∴OD =EH ．
∵CE =1，AC =4，∴OC =OD =2，∴CH =HE ﹣CE =2﹣1=1．在Rt △OHC 中，∵OC =2，CH =1，∠OHC =90°，∠HOC =30°，∴∠COD =60°，∴阴影部分的面积=S 扇形OCD ﹣S △OCD
26023360π??=-
?22
2
3
=
π3-．
【点睛】
本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了扇形面积的计算．
9．如图①，已知Rt ABC ?中，90ACB ∠=，8AC =，10AB =，点D 是AC 边上一点（不与C 重合），以AD 为直径作
O ，过C 作CE 切O 于E ，交AB 于F .
（1）若
O 的半径为2，求线段CE 的长；
（2）若AF BF =，求O 的半径；
（3）如图②，若CE CB =，点B 关于AC 的对称点为点G ，试求G 、E 两点之间的距离.
【答案】(1)42CE =；(2)O 的半径为3；(3)G 、E 两点之间的距离为9.6.
【解析】 【分析】
（1）根据切线的性质得出∠OEC=90°，然后根据勾股定理即可求得； （2）由勾股定理求得BC ，然后通过证得△OEC ∽△BCA ，得到OE BC =OC BA ，即r 8-r
=610
，解得即可；
（3）证得D 和M 重合，E 和F 重合后，通过证得△GBE ∽△ABC ，
GB GE
AB AC
=，即12108GE =，解得即可． 【详解】
(1)如图，连结OE . ∵CE 切
O 于E ，
∴90OEC ∠=?. ∵8AC =，
O 半径为2，
∴6OC =，2OE =.
∴2242CE OC OE =-=； (2)设
O 半径为r .
在Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，10AB =，8AC =， ∴226BC AB AC =-=.
∵AF BF =， ∴AF CF BF ==. ∴ACF CAF ∠=∠. ∵
CE 切O 于E ，
∴90OEC ∠=?. ∴OEC ACB ∠=∠， ∴OEC BCA ?~?. ∴OE OC
BC BA =， ∴
8610
r r -=， 解得3r =. ∴
O 的半径为3；
(3)连结EG 、OE ，设EG 交AC 于点M ，
由对称性可知，CB CG =. 又CE CB =， ∴CE CG =. ∴EGC GEC ∠=∠. ∵CE 切
O 于E ，
∴90GEC OEG ∠+∠=?. 又90EGC GMC ∠+∠=?，
∴OEG GMC ∠=∠.又GMC OME ∠=∠， ∴OEG OME ∠=∠. ∴OE OM =. ∴点M 与点D 重合.
∴G 、D 、E 三点在同一条直线上. 连结AE 、BE ， ∵AD 是直径，
∴90AED ∠=?，即90AEG ∠=?. 又CE CB CG ==，
∴90BEG ∠=?.
∴180AEB AEG BEG ∠=∠+∠=?， ∴
A 、E 、
B 三点在同一条直线上.
∴E 、F 两点重合.
∵90GEB ACB ∠=∠=?，B B ∠=∠， ∴GBE ABC ?~?. ∴
GB GE AB AC =，即12108
GE
=. ∴9.6GE =.
故G 、E 两点之间的距离为9.6. 【点睛】
本题考查了切线的判定，轴的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，证得G 、D 、E 三点共线以及A 、E 、B 三点在同一条直线上是解题的关键.
10．如图，AN 是⊙M 的直径，NB ∥x 轴，AB 交⊙M 于点C ． （1）若点A （0，6），N （0，2），∠ABN=30°，求点B 的坐标； （2）若D 为线段NB 的中点，求证：直线CD 是⊙M 的切
线．
【答案】(1) B （，2）．(2)证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）在Rt △ABN 中，求出AN 、AB 即可解决问题； （2）连接MC ，NC ．只要证明∠MCD=90°即可 试题解析：（1）∵A 的坐标为（0，6），N （0，2）， ∴AN=4，
∵∠ABN=30°，∠ANB=90°， ∴AB=2AN=8， ∴由勾股定理可知：NB=，
∴B （
，2）．
（2）连接MC ，NC ∵AN 是⊙M 的直径， ∴∠ACN=90°， ∴∠NCB=90°，
在Rt △NCB 中，D 为NB 的中点，
∴CD=NB=ND，
∴∠CND=∠NCD，
∵MC=MN，
∴∠MCN=∠MNC，
∵∠MNC+∠CND=90°，
∴∠MCN+∠NCD=90°，
即MC⊥CD．
∴直线CD是⊙M的切线．
考点：切线的判定；坐标与图形性质．