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中考数学专题训练---圆的综合的综合题分类及详细答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题)

1.如图,以O为圆心,4为半径的圆与x轴交于点A,C在⊙O上,∠OAC=60°.

(1)求∠AOC的度数;

(2)P为x轴正半轴上一点,且PA=OA,连接PC,试判断PC与⊙O的位置关系,并说明理由;

(3)有一动点M从A点出发,在⊙O上按顺时针方向运动一周,当S△MAO=S△CAO时,求动点M所经过的弧长,并写出此时M点的坐标.

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【答案】(1)60°;(2)见解析;(3)对应的M点坐标分别为:M1(2,﹣3M2(﹣2,﹣3)、M3(﹣2,3M4(2,3).

【解析】

【分析】

(1)由于∠OAC=60°,易证得△OAC是等边三角形,即可得∠AOC=60°.

(2)由(1)的结论知:OA=AC,因此OA=AC=AP,即OP边上的中线等于OP的一半,由此可证得△OCP是直角三角形,且∠OCP=90°,由此可判断出PC与⊙O的位置关系.(3)此题应考虑多种情况,若△MAO、△OAC的面积相等,那么它们的高必相等,因此有四个符合条件的M点,即:C点以及C点关于x轴、y轴、原点的对称点,可据此进行求解.

【详解】

(1)∵OA=OC,∠OAC=60°,

∴△OAC是等边三角形,

故∠AOC=60°.

(2)由(1)知:AC=OA,已知PA=OA,即OA=PA=AC;

∴AC=1

OP,因此△OCP是直角三角形,且∠OCP=90°,

2

而OC是⊙O的半径,

故PC与⊙O的位置关系是相切.

(3)如图;有三种情况:

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①取C点关于x轴的对称点,则此点符合M点的要求,此时M点的坐标为:M1(2,﹣

3

劣弧MA的长为:6044 1803

ππ

?

=;

②取C点关于原点的对称点,此点也符合M点的要求,此时M点的坐标为:M2(﹣2,﹣3

劣弧MA的长为:12048 1803

ππ

?

=;

③取C点关于y轴的对称点,此点也符合M点的要求,此时M点的坐标为:M3(﹣2,

3

优弧MA的长为:240416 1803

ππ

?

=;

④当C、M重合时,C点符合M点的要求,此时M4(2,3);

优弧MA的长为:300420 1803

ππ

?

=;

综上可知:当S△MAO=S△CAO时,动点M所经过的弧长为481620

,,,

3333

ππππ

对应的M点坐

标分别为:M1(2,﹣3M2(﹣2,﹣3)、M3(﹣2,3M4(2,3

【点睛】

本题考查了切线的判定以及弧长的计算方法,注意分类讨论思想的运用,不要漏解.

2.如图,⊙O的半径为6cm,经过⊙O上一点C作⊙O的切线交半径OA的延长于点B,作∠ACO的平分线交⊙O于点D,交OA于点F,延长DA交BC于点E.

(1)求证:AC∥OD;

(2)如果DE⊥BC,求AC的长度.

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【答案】(1)证明见解析;(2)2π.

【解析】

试题分析:(1)由OC=OD,CD平分∠ACO,易证得∠ACD=∠ODC,即可证得AC∥OD;(2)BC切⊙O于点C,DE⊥BC,易证得平行四边形ADOC是菱形,继而可证得△AOC是等边三角形,则可得:∠AOC=60°,继而求得弧AC的长度.

试题解析:(1)证明:∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC.∵CD平分∠ACO,

∴∠OCD=∠ACD,∴∠ACD=∠ODC,∴AC∥OD;

(2)∵BC切⊙O于点C,∴BC⊥OC.∵DE⊥BC,∴OC∥DE.∵AC∥OD,∴四边形ADOC 是平行四边形.∵OC=OD,∴平行四边形ADOC是菱形,∴OC=AC=OA,∴△AOC是等边三

角形,∴∠AOC=60°,∴弧AC的长度=606

180

π?

=2π.

点睛:本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.

3.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为H,连结AC,过BD上一点E作EG∥AC 交CD的延长线于点G,连结AE交CD于点F,且EG=FG,连结CE.

(1)求证:∠G=∠CEF;

(2)求证:EG是⊙O的切线;

(3)延长AB交GE的延长线于点M,若tanG =3

4

,AH=33,求EM的值.

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【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)

3 8

.

【解析】

试题分析:(1)由AC∥EG,推出∠G=∠ACG,由AB⊥CD推出AD AC

=,推出∠CEF=∠ACD,推出∠G=∠CEF,由此即可证明;

(2)欲证明EG是⊙O的切线只要证明EG⊥OE即可;

(3)连接OC.设⊙O的半径为r.在Rt△OCH中,利用勾股定理求出r,证明

△AHC∽△MEO,可得AH HC

EM OE

=,由此即可解决问题;

试题解析:(1)证明:如图1.∵AC∥EG,∴∠G=∠ACG,∵AB⊥CD,∴AD AC

=,∴∠CEF=∠ACD,∴∠G=∠CEF,∵∠ECF=∠ECG,∴△ECF∽△GCE.

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(2)证明:如图2中,连接OE.∵GF=GE,∴∠GFE=∠GEF=∠AFH,∵OA=OE,

∴∠OAE=∠OEA,∵∠AFH+∠FAH=90°,∴∠GEF+∠AEO=90°,∴∠GEO=90°,∴GE⊥OE,∴EG是⊙O的切线.

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(3)解:如图3中,连接OC.设⊙O的半径为r.

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在Rt△AHC中,tan∠ACH=tan∠G=AH

HC

=

3

4

,∵AH=33∴HC=3Rt△HOC中,

∵OC=r,OH=r﹣33HC=43∴222

(33)(43)

r r

-+=,∴r 253

∵GM∥AC,∴∠CAH=∠M,∵∠OEM=∠AHC,∴△AHC∽△MEO,∴AH HC

EM OE

=,

∴3343

253

EM

=

,∴EM=

253

8

点睛:本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定

理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,灵活运用所学知识解决问题,正确寻找相似三角形,构建方程解决问题吗,属于中考压轴题.

4.如图,AB 为

O 的直径,弦//CD AB ,E 是AB 延长线上一点,CDB ADE ∠=∠.

()1DE 是O 的切线吗?请说明理由; ()2求证:2AC CD BE =?.

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【答案】(1)结论:DE 是O 的切线,理由见解析;(2)证明见解析.

【解析】 【分析】

(1)连接OD ,只要证明OD DE ⊥即可;

(2)只要证明:AC BD =,CDB DBE ∽即可解决问题. 【详解】

()1解:结论:DE 是

O 的切线.

理由:连接OD .

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CDB ADE ∠=∠, ADC EDB ∴∠=∠, //CD AB ,

CDA DAB ∴∠=∠, OA OD =,

OAD ODA ∴∠=∠, ADO EDB ∴∠=∠, AB 是直径,

90ADB ∴∠=, 90ADB ODE ∴∠=∠=,

DE OD ∴⊥,

DE ∴是O 的切线.

()2//

CD AB,

∠=∠,

∴∠=∠,CDB DBE

ADC DAB

∴=,

AC BD

∴=,

AC BD

∠=∠,EDB DAB

DCB DAB

∠=∠,

∴∠=∠,

EDB DCB

CDB

∴∽DBE,

CD DB

∴=,

BD BE

2

∴=?,

BD CD BE

2

AC CD BE

∴=?.

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,准确寻找相似三角形解决问题,属于中考常考题型.

5.不用圆规、三角板,只用没有刻度的直尺,用连线的方法在图1、2中分别过圆外一点A作出直径BC所在射线的垂线.

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【答案】画图见解析.

【解析】

【分析】根据直角所对的圆周角是直角,构造直角三角形,利用直角三角形性质可画出垂线;或结合圆的轴对称性质也可以求出垂线.

【详解】解:画图如下:

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【点睛】本题考核知识点:作垂线.解题关键点:结合圆的性质和直角三角形性质求出垂线.

6.矩形ABCD中,点C(3,8),E、F为AB、CD边上的中点,如图1,点A在原点处,点B在y轴正半轴上,点C在第一象限,若点A从原点出发,沿x轴向右以每秒1个单位长度的速度运动,点B随之沿y轴下滑,并带动矩形ABCD在平面内滑动,如图2,设运动时间表示为t秒,当点B到达原点时停止运动.

(1)当t=0时,点F的坐标为;

(2)当t=4时,求OE的长及点B下滑的距离;

(3)求运动过程中,点F到点O的最大距离;

(4)当以点F为圆心,FA为半径的圆与坐标轴相切时,求t的值.

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【答案】(1)F(3,4);(2)8-33)7;(4)t的值为24

5

32

5

.

【解析】

试题分析:(1)先确定出DF,进而得出点F的坐标;

(2)利用直角三角形的性质得出∠ABO=30°,即可得出结论;

(3)当O、E、F三点共线时,点F到点O的距离最大,即可得出结论;

(4)分两种情况,利用相似三角形的性质建立方程求解即可.

试题解析:解:(1)当t=0时.∵AB=CD=8,F为CD中点,∴DF=4,∴F(3,4);(2)当t=4时,OA=4.在Rt△ABO中,AB=8,∠AOB=90°,

∴∠ABO=30°,点E是AB的中点,OE=1

2

AB=4,BO=3∴点B下滑的距离为

843

(3)当O、E、F三点共线时,点F到点O的距离最大,∴FO=OE+EF=7.

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(4)在Rt △ADF 中,FD 2+AD 2=AF 2,∴AF =22FD AD +=5,①设AO =t 1时,⊙F 与x 轴相切,点A 为切点,∴FA ⊥OA ,∴∠OAB +∠FAB =90°.∵∠FAD +∠FAB =90°,∴∠BAO =∠FAD .∵∠BOA =∠D =90°,∴Rt △FAE ∽Rt △ABO ,∴AB AO FA FE =,∴1853

t

=,∴t 1=

245,②设AO =t 2时,⊙F 与y 轴相切,B 为切点,同理可得,t 2=32

5

. 综上所述:当以点F 为圆心,FA 为半径的圆与坐标轴相切时,t 的值为

245或32

5

. 点睛:本题是圆的综合题,主要考查了矩形的性质,直角三角形的性质,中点的意义,勾股定理,相似三角形的判定和性质,切线的性质,解(2)的关键是得出∠ABO =30°,解(3)的关键是判断出当O 、E 、F 三点共线时,点F 到点O 的距离最大,解(4)的关键是判断出Rt △FAE ∽Rt △ABD ,是一道中等难度的中考常考题.

7.如图,已知AB 是⊙O 的直径,P 是BA 延长线上一点,PC 切⊙O 于点C ,CD ⊥AB ,垂足为D .

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(1)求证:∠PCA =∠ABC ;

(2)过点A 作AE ∥PC 交⊙O 于点E ,交CD 于点F ,交BC 于点M ,若∠CAB =2∠B ,CF 3 【答案】(1)详见解析;(2633π-.

【解析】 【分析】

(1)如图,连接OC ,利用圆的切线的性质和直径对应的圆周角是直角可得

∠PCA=∠OCB ,利用等量代换可得∠PCA=∠ABC.

(2)先求出△OCA 是等边三角形,在利用三角形的等边对等角定理求出FA=FC 和CF=FM,然后分别求出AM 、AC 、MO 、CD 的值,分别求出0A E S ?、BOE S 扇形 、ABM S ? 的值,利用

0A E ABM BOE S S S S ??=+-阴影部分扇形,然后通过计算即可解答.

【详解】

解:(1)证明:连接OC ,如图,

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∵PC 切⊙O 于点C ,∴OC ⊥PC, ∴∠PCA+∠ACO=90o,

∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=∠ACO+OCB=90o ∴∠PCA=∠OCB, ∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB, ∴∠PCA=∠ABC ; (2)连接OE ,如图,

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∵△ACB 中,∠ACB =90o,∠CAB =2∠B, ∴∠B =30o,∠CAB =60o,∴△OCA 是等边三角形, ∵CD ⊥AB,∴∠ACD+∠CAD =∠CAD +∠ABC =90o, ∴∠ACD =∠B =30o,

∵PC ∥AE,∴∠PCA =∠CAE =30o,∴FC=FA, 同理,CF =FM,∴AM =2CF=3 Rt △ACM 中,易得AC=33

2

=3=OC, ∵∠B =∠CAE =30o,∴∠AOC=∠COE=60o, ∴∠EOB=60o,∴∠EAB=∠ABC=30o,∴MA=MB, 连接OM,EG ⊥AB 交AB 于G 点,如图所示,

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∵OA=OB,∴MO ⊥AB,∴MO =OA×tan30o=3 , ∵△CDO ≌△EDO(AAS), ∴EG=CD=AC×sin60o=3

32

, ∴1

332

ABM S AB MO ?=

?=, 同样,易求93

AOE S ?=

, 260333602

BOE

S ππ

?==

扇形 ∴0A E ABM BOE S S S S ??=+-阴影部分扇形=933633

334

2

4

ππ-+-=

. 【点睛】

本题考查了切线的性质、解直角三角形、扇形面积和识图的能力,综合性较强,有一定难度,熟练掌握定理并准确识图是解题的关键.

8.如图,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,AC 为直径,BD AD =,DE ⊥BC ,垂足为E .

(1)判断直线ED 与⊙O 的位置关系,并说明理由; (2)若CE =1,AC =4,求阴影部分的面积.

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【答案】(1)ED 与O 相切.理由见解析;(2)2

=33

S π-阴影

【解析】 【分析】

(1)连结OD ,如图,根据圆周角定理,由BD AD =得到∠BAD =∠ACD ,再根据圆内接

四边形的性质得∠DCE =∠BAD ,所以∠ACD =∠DCE ;利用内错角相等证明OD ∥BC ,而DE ⊥BC ,则OD ⊥DE ,于是根据切线的判定定理可得DE 为⊙O 的切线;

(2)作OH ⊥BC 于H ,易得四边形ODEH 为矩形,所以OD =EH =2,则CH =HE ﹣CE =1,于是有∠HOC =30°,得到∠COD =60°,然后根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式和阴影部分的面积=S 扇形OCD ﹣S △OCD 进行计算即可. 【详解】

(1)直线ED 与⊙O 相切.理由如下:

连结OD ,如图,∵BD AD =,∴∠BAD =∠ACD . ∵∠DCE =∠BAD ,∴∠ACD =∠DCE .

∵OC =OD ,∴∠OCD =∠ODC ,而∠OCD =∠DCE ,∴∠DCE =∠ODC ,∴OD ∥BC . ∵DE ⊥BC ,∴OD ⊥DE ,∴DE 为⊙O 的切线;

(2)作OH ⊥BC 于H ,则四边形ODEH 为矩形,∴OD =EH .

∵CE =1,AC =4,∴OC =OD =2,∴CH =HE ﹣CE =2﹣1=1.在Rt △OHC 中,∵OC =2,CH =1,∠OHC =90°,∠HOC =30°,∴∠COD =60°,∴阴影部分的面积=S 扇形OCD ﹣S △OCD

26023360π??=-

?22

2

3

=

π3-.

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【点睛】

本题考查了切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.也考查了扇形面积的计算.

9.如图①,已知Rt ABC ?中,90ACB ∠=,8AC =,10AB =,点D 是AC 边上一点(不与C 重合),以AD 为直径作

O ,过C 作CE 切O 于E ,交AB 于F .

中考数学专题训练---圆的综合的综合题分类及详细答案

(1)若

O 的半径为2,求线段CE 的长;

(2)若AF BF =,求O 的半径;

(3)如图②,若CE CB =,点B 关于AC 的对称点为点G ,试求G 、E 两点之间的距离.

【答案】(1)42CE =;(2)O 的半径为3;(3)G 、E 两点之间的距离为9.6.

【解析】 【分析】

(1)根据切线的性质得出∠OEC=90°,然后根据勾股定理即可求得; (2)由勾股定理求得BC ,然后通过证得△OEC ∽△BCA ,得到OE BC =OC BA ,即r 8-r

=610

,解得即可;

(3)证得D 和M 重合,E 和F 重合后,通过证得△GBE ∽△ABC ,

GB GE

AB AC

=,即12108GE =,解得即可. 【详解】

(1)如图,连结OE . ∵CE 切

O 于E ,

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∴90OEC ∠=?. ∵8AC =,

O 半径为2,

∴6OC =,2OE =.

∴2242CE OC OE =-=; (2)设

O 半径为r .

在Rt ABC ?中,90ACB ∠=?,10AB =,8AC =, ∴226BC AB AC =-=.

∵AF BF =, ∴AF CF BF ==. ∴ACF CAF ∠=∠. ∵

CE 切O 于E ,

∴90OEC ∠=?. ∴OEC ACB ∠=∠, ∴OEC BCA ?~?. ∴OE OC

BC BA =, ∴

8610

r r -=, 解得3r =. ∴

O 的半径为3;

(3)连结EG 、OE ,设EG 交AC 于点M ,

中考数学专题训练---圆的综合的综合题分类及详细答案

由对称性可知,CB CG =. 又CE CB =, ∴CE CG =. ∴EGC GEC ∠=∠. ∵CE 切

O 于E ,

∴90GEC OEG ∠+∠=?. 又90EGC GMC ∠+∠=?,

∴OEG GMC ∠=∠.又GMC OME ∠=∠, ∴OEG OME ∠=∠. ∴OE OM =. ∴点M 与点D 重合.

∴G 、D 、E 三点在同一条直线上. 连结AE 、BE , ∵AD 是直径,

∴90AED ∠=?,即90AEG ∠=?. 又CE CB CG ==,

∴90BEG ∠=?.

∴180AEB AEG BEG ∠=∠+∠=?, ∴

A 、E 、

B 三点在同一条直线上.

∴E 、F 两点重合.

∵90GEB ACB ∠=∠=?,B B ∠=∠, ∴GBE ABC ?~?. ∴

GB GE AB AC =,即12108

GE

=. ∴9.6GE =.

故G 、E 两点之间的距离为9.6. 【点睛】

本题考查了切线的判定,轴的性质,勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质,证得G 、D 、E 三点共线以及A 、E 、B 三点在同一条直线上是解题的关键.

10.如图,AN 是⊙M 的直径,NB ∥x 轴,AB 交⊙M 于点C . (1)若点A (0,6),N (0,2),∠ABN=30°,求点B 的坐标; (2)若D 为线段NB 的中点,求证:直线CD 是⊙M 的切

线.

【答案】(1) B (,2).(2)证明见解析.

【解析】

试题分析:(1)在Rt △ABN 中,求出AN 、AB 即可解决问题; (2)连接MC ,NC .只要证明∠MCD=90°即可 试题解析:(1)∵A 的坐标为(0,6),N (0,2), ∴AN=4,

∵∠ABN=30°,∠ANB=90°, ∴AB=2AN=8, ∴由勾股定理可知:NB=,

∴B (

,2).

(2)连接MC ,NC ∵AN 是⊙M 的直径, ∴∠ACN=90°, ∴∠NCB=90°,

在Rt △NCB 中,D 为NB 的中点,

∴CD=NB=ND,

∴∠CND=∠NCD,

∵MC=MN,

∴∠MCN=∠MNC,

∵∠MNC+∠CND=90°,

∴∠MCN+∠NCD=90°,

即MC⊥CD.

∴直线CD是⊙M的切线.

中考数学专题训练---圆的综合的综合题分类及详细答案

考点:切线的判定;坐标与图形性质.

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