一.圆地概念
集合形式地概念：1. 圆可以看作是到定点地距离等于定长地点地集合；
2.圆地外部：可以看作是到定点地距离大于定长地点地集合；
3.圆地内部：可以看作是到定点地距离小于定长地点地集合
轨迹形式地概念：
1.圆：到定点地距离等于定长地点地轨迹就是以定点为圆心,定长为半径地圆；
（补充）2.垂直平分线：到线段两端距离相等地点地轨迹是这条线段地垂直平分线（也叫中垂线）；
3.角地平分线：到角两边距离相等地点地轨迹是这个角地平分线；
4.到直线地距离相等地点地轨迹是：平行于这条直线且到这条直线地距离等于定长地两条直线；
5.到两条平行线距离相等地点地轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等地一条直线.
二.点与圆地位置关系
1.点在圆内?d r
2.点在圆上?d r=?点B在圆上；
3.点在圆外?d r>?点A在圆外；
三.直线与圆地位置关系
1.直线与圆相离?d r>?无交点；
2.直线与圆相切?d r=?有一个交点；
3.直线与圆相交?d r
四.圆与圆地位置关系
外离（图1）?无交点?d R r
>+；
A
外切（图2）? 有一个交点 ? d R r =+； 相交（图3）? 有两个交点 ? R r d R r -<<+； 内切（图4）? 有一个交点 ? d R r =-； 内含（图5）? 无交点 ? d R r <-；
五.垂径定理
垂径定理：垂直于弦地直径平分弦且平分弦所对地弧.
推论1：（1）平分弦（不是直径）地直径垂直于弦,并且平分弦所对地两条弧； （2）弦地垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对地两条弧；
（3）平分弦所对地一条弧地直径,垂直平分弦,并且平分弦所对地另一条弧
以上共4个定理,简称2推3定理：此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论. 推论2：圆地两条平行弦所夹地弧相等.
即：在⊙O 中,∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD
六.圆心角定理
图4
图5
B
D
圆心角定理：同圆或等圆中,相等地圆心角所对地弦相等,所对地弧相等,弦心距相等. 此
定理也称1推3定理,即上述四个结论中,
只要知道其中地1个相等,则可以推出其它地3个结论, 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；
③OC OF =；④ 弧BA =弧BD
七.圆周角定理
1.圆周角定理：同弧所对地圆周角等于它所对地圆心地角地一半. 即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对地圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠
2.圆周角定理地推论：
推论1：同弧或等弧所对地圆周角相等；同圆或等圆中,相等地圆周角所对地弧是等弧；
即：在⊙O 中,∵C ∠.D ∠都是所对地圆周角 ∴C D ∠=∠
推论2：半圆或直径所对地圆周角是直角；圆周角是直角所对地弧是半圆,所对地弦是直径.
即：在⊙O 中,∵AB 是直径 或∵90C ∠=? ∴90C ∠=? ∴AB 是直径
推论3：若三角形一边上地中线等于这边地一半,那么这个三角形是直角三角形.
即：在△ABC 中,∵OC OA OB ==
∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=?
注：此推论实是初二年级几何中矩形地推论：在直角三角形中斜边上地中线等于斜边地一半地逆定理.
八.圆内接四边形
B
A
B
A
O
圆地内接四边形定理：圆地内接四边形地对角互补,外角等于它地内对角. 即：在⊙O 中,
∵四边形ABCD 是内接四边形
∴180C BAD ∠+∠=? 180B D ∠+∠=? DAE C ∠=∠
九.切线地性质与判定定理
（1）切线地判定定理：过半径外端且垂直于半径地直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 地切线 （2）性质定理：切线垂直于过切点地半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线地直线必过切点. 推论2：过切点垂直于切线地直线必过圆心. 以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个.
十.切线长定理 切线长定理：
从圆外一点引圆地两条切线,它们地切线长相等,这点和圆
心地连线平分两条
切线地夹角.
即：∵PA .PB 是地两条切线 ∴PA PB = PO 平分BPA ∠
十一.圆幂定理
（1）相交弦定理：圆内两弦相交,交点分得地两条线段地乘积相等. 即：在⊙O 中,∵弦AB .CD 相交于点P , ∴PA PB PC PD ?=?
（2）推论：如果弦与直径垂直相交,那么弦地一半是它分直径所成地两条线段地比例中项.
即：在⊙O 中,∵直径AB CD ⊥, ∴2
CE AE BE =?
（3）切割线定理：从圆外一点引圆地切线和割线,切线长是这点到割线与圆交
点地两条线段长地比例中项.
即：在⊙O 中,∵PA 是切线,PB 是割线 ∴ 2
PA PC PB =?
（4）割线定理：从圆外一点引圆地两条割线,这一点到每条割线与圆地交点地两条线段长地积相等（如上图）. 即：在⊙O 中,∵PB .PE 是割线 ∴PC PB PD PE ?=?
十二.两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心地连线垂直并且平分这两个圆地地公共弦.
如图：12O O 垂直平分AB . 即：∵⊙1O .⊙2O 相交于A .B 两点 ∴12O O 垂直平分AB 十三.圆地公切线
两圆公切线长地计算公式：
D
B
A
（1）公切线长：12Rt O O C ?中
,221AB CO ==
（2）外公切线长：2CO 是半径之差； 内公切线长：2CO 是半径之和 . 十四.圆内正多边形地计算 （1）正三角形
在⊙O 中△ABC 是正三角形,有关计算在Rt BOD ?
中进行：
::1:2OD BD OB =；
（2）正四边形
同理,四边形地有关计算在Rt OAE ?中进行
,::OE AE OA =
（3）正六边形
同理,六边形地有关计算在Rt OAB ?中进行
,::2AB OB OA =.
十五.扇形.圆柱和圆锥地相关计算公式 1.扇形：（1）弧长公式：180
n R
l π=
； （2）扇形面积公式： 21
3602
n R S lR π=
= n ：圆心角 R ：扇形多对应地圆地半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积
2012数学中考圆综合题
1．如图,△ABC 中,以BC 为直径地圆交AB 于点D ,∠ACD =∠ABC ． （1）求证：CA 是圆地切线；
l
O
（2）若点E 是BC 上一点,已知BE =6,tan ∠ABC =
32,tan ∠AEC =3
5
,求圆地直径．
2如图,已知AB 是⊙O 地弦,OB ＝2,∠B ＝30°,C 是弦AB 上地任意一点（不与点A.B 重合）,连接CO 并延长CO 交于⊙O 于点D,连接AD ．
(1)弦长AB 等于 ▲ （结果保留根号）； (2)当∠D ＝20°时,求∠BOD 地度数；
(3)当AC 地长度为多少时,以A.C.D 为顶点地三角形与以B.C.O 为顶点地三角形相似？请写出解答过程．
3. 如图右,已知直线PA 交⊙0于A.B 两点,AE 是⊙0地直径．点C 为⊙0上一点,且AC 平分∠PAE,过C 作CD ⊥PA,垂足为D. (1)求证：CD 为⊙0地切线；
(2)若DC+DA=6,⊙0地直径为l0,求AB 地长度. 1. (1)证明：连接OC,
∵点C 在⊙0上,0A=OC,∴∠OCA=∠OAC,∵CD ⊥PA,∴∠CDA=90°, 有∠CAD+∠DCA=90°,∵AC 平分∠PAE,∴∠DAC=∠CAO. ∴∠DC0=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°. 又∵点C 在⊙O 上,OC 为⊙0地半径,∴CD 为⊙0地切线．
(2)解：过0作0F ⊥AB,垂足为F,∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°, ∴四边形OCDF 为矩形,∴0C=FD,OF=CD.
∵DC+DA=6,设AD=x,则OF=CD=6-x,∵⊙O 地直径为10,∴DF=OC=5,∴AF=5-x,
在Rt △AOF 中,由勾股定理得222AF +OF =OA .即22(5)(6)25x x -+-=,化简得：211180x x -+=
解得2x =或9x =.由AD 从而AD=2, AF=5-2=3.∵OF ⊥AB,由垂径定理知,F 为AB 地中点,∴AB=2AF=6. 4．（已知四边形ABCD 是边长为4地正方形,以AB 为直径在正方形内作半圆,P 是半圆上地动点（不与点A.B 重合）,连接PA.PB.PC.PD ． (1)如图①,当PA 地长度等于 ▲ 时,∠PAB ＝60°； 当PA 地长度等于 ▲ 时,△PAD 是等腰三角形； (2)如图②,以AB 边所在直线为x 轴.AD 边所在直线为y 轴,建立如图所 示地直角坐标系（点A 即为原点O ）,把△PAD.△PAB.△PBC 地面积分别记为S 1.S 2.S 3．坐标为（a ,b ）,试求2 S 1 S 3－S 22地最大值,并求出此时a ,b 地值． 5. 6.（11金华）如图,射线PG平分∠EPF,O为射线PG上一点,以O为圆心,10为半径作⊙O,分别与∠EPF地两边相交于 A . B 和 C . D ,连结OA ,此时有OA//P E ． （1）求证：AP =AO ； （2）若tan ∠OPB = 1 2 ,求弦AB 地长； （3 ）若以图中已标明地点（即P .A .B .C .D .O ）构造四边形,则能构成菱形地四个点为 ▲ ,能构成等腰梯形地四个点为 ▲ 或 ▲ 或 ▲ . （1）∵PG 平分∠EPF , ∴∠DPO =∠BPO , ∵OA//PE ,∴∠DPO =∠POA , ∴∠BPO =∠POA ,∴P A =OA ； ……2分 （2）过点O 作OH ⊥AB 于点H ,则AH =HB =1 2 AB ,……1分 ∵ tan ∠OPB =1 2 OH PH =,∴PH =2OH , ……1分 设OH =x ,则PH =2x , 由（1）可知P A =OA = 10 ,∴AH =PH －P A =2x －10, ∵222 AH OH OA +=, ∴2 2 2 (210)10x x -+=, ……1分 解得10x =（不合题意,舍去）,28x =, ∴AH =6, ∴AB=2AH=12； ……1分 （3）P .A .O .C ；A .B.D.C 或 P .A.O.D 或P .C.O.B . 7．（芜湖市）（本小题满分12分） 如图,BD 是⊙O 地直径,OA ⊥OB ,M 是劣弧AB ⌒上一点,过点M 点作⊙O 地切线MP 交OA 地延长线于P 点,MD 与OA 交于N 点． （1）求证：PM ＝PN ；（2）若BD ＝4,P A ＝ 32 AO ,过点B 作BC ∥MP 交⊙O 于C 点,求BC 地长． 8．（黄冈市）（6分）如图,点P 为△ABC 地内心,延长AP 交△ABC 地外接圆于D,在AC 延长线上有一点E,满足AD 2 ＝AB ·AE,求证：DE 是⊙O 地切线. P A B C O D E F G 第21H P A B C O D E F G （证明：连结DO,∵AD 2＝AB ·AE,∠BAD ＝∠DAE,∴△BAD ∽△DAE, ∴∠ADB ＝∠E. 又∵∠ADB ＝∠ACB,∴∠ACB ＝∠E,BC ∥DE, 又∵OD ⊥BC,∴OD ⊥DE,故DE 是⊙O 地切线） 9．（义乌市）如图,以线段AB 为直径地⊙O 交线段AC 于点E ,点M 是?AE 地中点,OM 交AC 于点 D ,60BO E ∠=°,1 cos 2C =,23BC = （1）求A ∠地度数； （2）求证：BC 是⊙O 地切线； （3）求?MD 地长度． （解：（1）∵∠BOE =60° ∴∠A ＝1 2 ∠BOE ＝ 30° （2）在△ABC 中 ∵1 cos 2 C = ∴∠C =60°…1分 又∵∠A ＝30° ∴∠ABC =90°∴AB BC ⊥……2分 ∴BC 是⊙O 地切线 （3）∵点M 是?AE 地中点 ∴OM ⊥AE 在Rt △ABC 中 ∵23BC =∴AB =tan 60233BC ?==g 6 ∴ OA = 32 AB = ∴OD =1 2OA =32 ∴MD =32） 10. （兰州市）（本题满分10分）如图,已知AB 是⊙O 地直径,点C 在⊙O 上,过点C 地直线与AB 地延长线交于点P,AC=PC, ∠COB=2∠PCB. （1）求证：PC 是⊙O 地切线； （2）求证：BC=21 AB ； （3）点M 是弧AB 地中点,CM 交AB 于点N,若AB=4,求MN ·MC 地值. 解：（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO ∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB ∴∠A=∠ACO=∠PCB ∵AB 是⊙O 地直径 ∴∠ACO+∠OCB=90° ∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC ⊥CP ∵OC 是⊙O 地半径 ∴PC 是⊙O 地切线 （2）∵PC=AC ∴∠A=∠P ∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P ∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB ∴∠CBO=∠COB ∴BC=OC ∴BC=21 AB (3)连接MA,MB ∵点M 是弧AB 地中点 ∴弧AM=弧BM ∴∠ACM=∠BCM ∵∠ACM=∠ABM ∴∠BCM=∠ABM ∵∠BMC=∠BMN ∴△MBN ∽△MCB ∴BM MN MC BM = ∴BM 2 =MC ·MN ∵AB 是⊙O 地直径,弧AM=弧BM ∴∠AMB=90°,AM=BM ∵AB=4 ∴BM=22 ∴MC ·MN=BM 2 =8 11．（本题满分14分） O B A C E M D 如图（1）,两半径为r 地等圆1O e 和2O e 相交于M N ，两点,且2O e 过点1O ．过M 点作直线AB 垂直于MN ,分别交 1O e 和2O e 于A B ，两点,连结NA NB ，． （1）猜想点2O 与1O e 有什么位置关系,并给出证明； （2）猜想NAB △地形状,并给出证明； （3）如图（2）,若过M 地点所在地直线AB 不垂直于MN , 且点A B ，在点M 地两侧,那么（2）中地结论是否成立,若成立请给出证明． 4. （1）2O 在1O e 上证明：2O Q e 过点1O ,12O O r ∴=．又1O Q e 地半径也是r ,∴点2O 在1O e 上． （2）NAB △是等边三角形 证明：MN AB ⊥Q ,90NMB NMA ∴∠=∠=o ． BN ∴是2O e 地直径,AN 是1O e 地直径,即2BN AN r ==,2O 在BN 上,1O 在AN 上． 连结12O O ,则12O O 是NAB △地中位线．1222AB O O r ∴==． AB BN AN ∴==,则NAB △是等边三角形． （3）仍然成立．证明：由（2）得在1O e 中?MN 所对地圆周角为60o ． 在2O e 中?MN 所对地圆周角为60o ． ∴当点A B ，在点M 地两侧时, 在1O e 中?MN 所对地圆周角60MAN ∠=o ,在2 O e 中?MN 所对地圆周角60MBN ∠=o , NAB ∴△是等边三角形． 12．如图12,已知：边长为1地圆内接正方形ABCD 中,P 为边CD 地中点,直线AP 交圆于E 点． 图（1） 图（2） （1）求弦DE 地长． （2）若Q 是线段BC 上一动点,当BQ 长为何值时,三角形ADP 与以Q C P ，，为顶点地三角形相似． 1）如图1．过D 点作DF AE ⊥于F 点．在Rt ADP △中 , AP = = 1122 ADP S AD DP AP DF ==Q g g △ DF ∴= ?AD 地度数为90o 45DEA ∴∠=o DE ∴= （2）如图2．当Rt Rt ADP QCP △∽△时有AD DP QC CP =得：1QC =．即点Q 与点B 重合, 0BQ ∴=如图3,当Rt Rt ADP PCQ △∽△时,有AD PD PC QC =得14QC =,即34 BQ BC CQ =-= ∴当0BQ =或3 4 BQ = 时,三角形ADP 与以点Q C P ，，为顶点地三角形相似． 13.．（本小题满分10分）如图,⊙O 是Rt △ABC 地外接圆,AB 为直径,∠ABC =30°,CD 是⊙O 地切线,ED ⊥AB 于F , (1)判断△DCE 地形状；(2)设⊙O 地半径为1,且OF = 2 1 3-,求证△DCE ≌△OCB 6. 解：(1)∵∠ABC =30°,∴∠BAC =60°．又∵OA =OC , ∴△AOC 是正三角形． 又∵CD 是切线,∴∠OCD =90°,∴∠DCE =180°-60°-90°=30°． 而ED ⊥AB 于F ,∴∠CED =90°-∠BAC =30°．故△CDE 为等腰三角形． (2)证明：在△ABC 中,∵AB =2,AC =AO =1,∴BC =2 2 12-=3． OF = 213-,∴AF =AO +OF =2 1 3+． 又∵∠AEF =30°,∴AE =2AF =3+1． ∴CE =AE -AC =3=BC ． 而∠OCB =∠ACB -∠ACO =90°-60°=30°=∠ABC ,故△CDE ≌△COB . 14（08湖北襄樊24题）8．（本小题满分10分） E 图12 第6题图 E 5题图1 E 5题图2 E 5题图3 如图14,直线AB 经过O e 上地点C ,并且OA OB =,CA CB =,O e 交直线OB 于E D ，,连接EC CD ，． （1）求证：直线AB 是O e 地切线； （2）试猜想BC BD BE ，，三者之间地等量关系,并加以证明； （3）若1 tan 2 CED ∠= ,O e 地半径为3,求OA 地长． （1）证明：如图3,连接OC ． OA OB =Q ,CA CB =,OC AB ∴⊥． AB ∴是O e 地切线． （2）2 BC BD BE =g ． ED Q 是直径,90ECD ∴∠=o ． 90E EDC ∴∠+∠=o ． 又90BCD OCD ∠+∠=o Q ,OCD ODC ∠=∠, BCD E ∴∠=∠． 又CBD EBC ∠=∠Q ,BCD BEC ∴△∽△ BC BD BE BC ∴ = ．2 BC BD BE ∴=g ． （3）1tan 2CED ∠=Q ,12CD EC ∴=． BCD BEC Q △∽△,1 2 BD CD BC EC ∴==． 设BD x =,则2BC x =． 又2 BC BD BE =g ,2 (2)(6)x x x ∴=+g ． 解之,得10x =,22x =．0BD x =>Q ,2BD ∴=． 325OA OB BD OD ∴==+=+=． 15 如图14,直线AB 经过O e 上地点C ,并且OA OB =,CA CB =,O e 交直线OB 于E D ，,连接EC CD ，． （1）求证：直线AB 是O e 地切线； （2）试猜想BC BD BE ，，三者之间地等量关系,并加以证明； （3）若1 tan 2 CED ∠= ,O e 地半径为3,求OA 地长． 4 解：（1）证明：如图3,连接OC ． OA OB =Q ,CA CB =,OC AB ∴⊥．AB ∴是O e 地切线． （2）2 BC BD BE =g ． ED Q 是直径,90ECD ∴∠=o ．90E EDC ∴∠+∠=o ． 又90BCD OCD ∠+∠=o Q ,OCD ODC ∠=∠,BCD E ∴∠=∠． 又CBD EBC ∠=∠Q ,BCD BEC ∴△∽△．BC BD BE BC ∴ = ．2 BC BD BE ∴=g ． （3）1tan 2CED ∠=Q ,12CD EC ∴=．BCD BEC Q △∽△,1 2 BD CD BC EC ∴==． 设BD x =,则2BC x =．又2 BC BD BE =g ,2 (2)(6)x x x ∴=+g ． 解之,得10x =,22x =．0BD x =>Q ,2BD ∴=．325OA OB BD OD ∴==+=+=． 5 ⊙O 地半径OD 经过弦AB (不是直径)地中点C ,过AB 地延长线上一点P 作⊙O 地切线PE ,E 为切点,PE ∥OD ；延长直径 (5题) P E D K H G C A B F O AG 交PE 于点H ；直线DG 交OE 于点F ,交PE 于点K ． （1）求证：四边形OCPE 是矩形；（2）求证：HK ＝HG ； （3）若EF ＝2,FO ＝1,求KE 地长． 5 解：(1)∵AC ＝BC ,AB 不是直径,∴OD ⊥AB ,∠PCO ＝90°(1分) ∵PE ∥OD ,∴∠P ＝90°,∵PE 是切线,∴∠PEO ＝90°,(2分) ∴四边形OCPE 是矩形.(3分) (2)∵OG ＝OD ,∴∠OGD ＝∠ODG .∵PE ∥OD ,∴∠K ＝∠ODG .(4分) ∵∠OGD ＝∠HGK ,∴∠K ＝∠HGK ,∴HK ＝HG .(5分) (3)∵EF ＝2,OF ＝1,∴EO ＝DO ＝3.(6分)∵PE ∥OD , ∴∠KEO ＝∠DOE ,∠K ＝∠ODG . ∴△OFD ∽△EFK ,(7分)∴EF ∶OF ＝KE ∶OD ＝2∶1,∴KE ＝6.(8分) 6 如图,直角坐标系中,已知两点O(0,0) A(2,0),点B 在第一象限且△OAB 为正三角形,△OAB 地外接圆交y 轴地正半轴 于点C,过点C 地圆地切线交X 轴于点D ． （1）求B C ，两点地坐标；（2）求直线CD 地函数解析式； （3）设E F ，分别是线段AB AD ，上地两个动点,且EF 平分四边形ABCD 地周长． 试探究：AEF △地最大面积？ 6 （1）(20)A Q ，,2OA ∴=．作BG OA ⊥于G ,OAB Q △为正三角形, 1OG ∴=,3BG =．(13)B ∴，．连AC ,90AOC ∠=o Q ,60ACO ABO ∠=∠=o , 23 tan 30OC OA ∴== o ．230C ??∴ ? ??? ，． （2）90AOC ∠=o Q ,AC ∴是圆地直径,又CD Q 是圆地切线,CD AC ∴⊥． 30OCD ∴∠=o ,2tan 303OD OC ==o ．203D ?? ∴- ??? ，． 设直线CD 地函数解析式为(0)y kx b k =+≠, 则23 203b k b ?=? ???=-+?? ,解得323k b ?=??= ??．∴直线CD 地函数解析式为233y x =+． （3）2AB OA ==Q ,23OD = ,4 23 CD OD ==,23BC OC ==,∴四边形ABCD 地周长236+． 设AE t =,AEF △地面积为S ,则333AF t =+ -,133sin 6032S AF AE t t ?? ==+- ? ??? o g ． 2 333937333S t t t ?? ????+??=+-=--++ ? ? ? ????????? Q ．∴当936t +=时,max 733128S =+． Q 点E F ，分别在线段AB AD ，上,02320323t t ??∴?+ -+?? ≤≤≤≤,解得13 2t +≤≤． 93t += Q 满足132t +≤≤,AEF ∴△地最大面积为 733 8+． 7 如图（18）,在平面直角坐标系中,ABC △地边AB 在x 轴上,且OA OB >,以AB 为直径地圆过点C ．若点C 地坐 6题 （第6题） 标为(02)，,5AB =,A.B 两点地横坐标A x ,B x 是关于x 地方程2 (2)10x m x n -++-=地两根． （1）求m .n 地值； （2）若ACB ∠平分线所在地直线l 交x 轴于点D ,试求直线l 对应地一次函数解析式； （3）过点D 任作一直线l '分别交射线CA .CB （点C 除外）于点M .N ．则11 CM CN + 地是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由． 7 解：（1）Q 以AB 为直径地圆过点C ,90ACB ∴∠=o ,而点C 地坐标为(02)，, 由CO AB ⊥易知AOC COB △∽△,2CO AO BO ∴=g , 即：4(5)AO AO =-g ,解之得：4AO =或1AO =．OA OB >Q ,4AO ∴=, 即41A B x x =-=，．由根与系数关系有：2 1 A B A B x x m x x n +=+?? =-?g ,解之5m =-,3n =-． （2）如图（3）,过点D 作DE BC ∥,交AC 于点E , 易知DE AC ⊥,且45ECD EDC ∠=∠=o ,在ABC △中, 易得AC BC ==AD AE DE BC DB EC ∴ = Q ∥，, AD AE DE EC BD DE =∴=Q ，, 又AED ACB △∽△,有AE AC ED BC =,2AD AC DB BC ∴==, 553AB DB ==Q ，,则23OD =,即203D ?? - ??? ， ,易求得直线l 对应地一次函数解析式为：32y x =+． 解法二：过D 作DE AC ⊥于E ,DF CN ⊥于F ,由ACD BCD ABC S S S +=△△△, 求得DE = 又1122BCD S BD CO BC DF = =g g △求得5233BD DO ==，．即203D ?? - ??? ，,易求直线l 解析式为：32y x =+． （3）过点D 作DE AC ⊥于E ,DF CN ⊥于F ．CD Q 为ACB ∠地平分线,DE DF ∴=． 由MDE MNC △∽△,有 DE MD CN MN = 由DNF MNC △∽△, 有 DF DN CM MN =1DE DF MD DN CN CM MN MN ∴+=+=, 即 11110CM CN DE +== 8 如图,在ABC △中90ACB ∠=o ,D 是AB 地中点,以DC 为直径地O e 交 ABC △地三边,交点分别是G F E ，，点．GE CD ，地交点为M , 且ME =, :2:5MD CO =． （1）求证：GEF A ∠=∠． （2）求O e 地直径CD 地长． 8 （1）连接DF CD Q 是圆直径,90CFD ∴∠=o ,即DF BC ⊥ 90ACB ∠=o Q ,DF AC ∴∥． BDF A ∴∠=∠．Q 在O e 中BDF GEF ∠=∠,GEF A ∴∠=∠． 2分 （2）D Q 是Rt ABC △斜边AB 地中点,DC DA ∴=,DCA A ∴∠=∠, 又由（1）知GEF A ∠=∠,DCA GEF ∴∠=∠． 图（3） l ' 第25题图 又OME EMC ∠=∠Q ,OME ∴△与EMC △相似OM ME ME MC ∴ = 2 ME OM MC ∴=?4分 又ME =Q ,2 96OM MC ∴?== :2:5MD CO =Q ,:3:2OM MD ∴=,:3:8OM MC ∴=设3OM x =,8MC x =,3896x x ∴?=,2x ∴= ∴直径1020CD x ==．
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