编号 090901228
毕业论文
（ 2013 届本科）
题目：浅谈黎卡提的求解
学院：数学与统计学院
专业：数学与应用数学
作者姓名：吴大婷
指导教师：张飞羽职称：教授
完成日期： 2013 年 5 月 30 日
二○一三年四月
浅谈黎卡提方程的求解
吴大婷指导老师:张飞羽
(河西学院数学与应用数学专业2013届2班28号, 甘肃张掖734000)
摘要著名的黎卡提方程是一个部分可积的非线性常微分方程,本文给出了黎卡提方程可用初等积分法求解的一些充分条件,使得黎卡提方程在满足一定条件下可以用初等解法求解,并给出一些特殊类型黎卡提方程的通解表示.此外,本文还提出了黎卡提方程的另一种解法,即将它转化为二阶齐次性微分方程,再根据朗斯基定理,得出其通解.
关键词黎卡提方程;初等积分法;分离变量;伯努利方程;朗斯基;
中图分类号O175.14
The Solution of Riccati Equation
Wu Dating Instructor Zhang Feiyu
（No. 28, Class 2 of 2013, Specialty of Mathematics and Applied Mathematics,
Hexi University,Zhangye,Gansu,734000）
Abstract: The Riccati equation is a partly interglacial differential equation. In this paper some sufficient conditions are given that elementary integration as well as the representatives of general solutions for several Riccati equations. We also puts forward another solution for Riccati equations which turns it into two order homogeneous linear differential equation, then gets the general answer of Riccati equation basics on the Wronsky theorem.
Keywords: Riccati equation; Elementary integral; Separable variable; Bernoulli equation; Wronsky
黎卡提方程是一类不可用初等方法求解的微分方程,它有着重要应用.例如,它曾用于证明贝塞尔方程的解不是初等函数.另外,它也出现在现代控制论和向量场分支理论的一些问题中.黎卡提方程的研究既有着显而易见的理论和实际意义,又有着广阔的研究前景.由于黎卡提方程在理论上和应用上的重要性,一直有人寻求它的可积类型及可积方程.我们知道,黎卡提方程一般情况下不能用初等积分法求解,但在一些特殊情况下却有初等解法,那么,在哪些情况下黎卡提方程有初等解法呢?本文给出一些充分条件使得黎卡提方程可用初等积分法求解.
1 黎卡提方程可积的充分条件
黎卡提方程是形如
()()()2y P x y Q x y R x '+=+ （1.1） 方程,其中()()(),,P x Q x R x 在区间I 上连续,而且()0Q x ≠.这里给出它可积的一些充分条件,使得黎卡提方程(1.1)在满足一定条件下可以用初等解法求解.
定理 1.1 设已知黎卡提方程(1.1)的一个特解()1,y x ?=则可用积分法求得它的通解.
证明 对方程(1.1)做变换()1,y u x ?=+其中u 是新的未知函数.代入方程(1.1),得到
()()()()()2111.d du P x u Q x u R x dx dx
???+++=++ 由于()1y x ?=是方程(1.1)的解,从上式消去相关项以后就有 ()()()21[2],du Q x P x u Q x u dx ?=-+ (1.2)
这是一个2n =伯努利方程.因此,此方程可以用初等积分法求出通解. 定理1.2 若()()()
()20,,P x dx Q x R x ce R x ?≠=则黎卡提方程(1.1)可积. 证明 由于()0R x ≠,则黎卡提方程(1.1)可化为
()()()()21.Q x y P x y R x y R x ??'+=+ ? ??? (1.3)
作变换()P x dx y ue -?=,则
()()().P x dx P x dx y u e uP x e --??''=- 代入(1.3)式中即为
()()()()()()()21,P x dx P x dx P x dx u e uP x e P x ue R x cu ---???'-+=+
整理得
()()()21.P x dx u R x e cu ?'=+
这是变量可分离方程,从而此时方程可积.
定理1.3 若()0Q x ≠,()()
()2,P x dx R x ce Q x -?=则黎卡提方程(1.1)可积. 证明 由于()0Q x ≠,则黎卡提方程(1.1)可化为
()()()()221.R x y P x y Q x y y Q x -??'+=+ ? ???
(1.4)
作变换 (),P x dx y ue -?=则 ()()().P x dx P x dx y u e uP x e --??''=- 代入(1.4)式中即为
()()()()()()()2221.P x dx P x dx P x dx P x dx c u e uP x e P x ue Q x u e u ----??????'-+=+ ???
整理得
()()()2,P x dx u Q x e c u -?'=+
这是变量可分离方程,从而此时方程可积.
定理1.4 两类特殊黎卡提方程()A :2m y by cx '+=和()B :2n xy ay by cx '-+=可相互转换,当
()22m m ±+及22n a n
±为零或正整数时,这两类特殊黎卡提可经有限次变换解出. 证明 方程()A :2,m y by cx '+=令,u y x
=可化为 221.m u du u b cx x x dx x ??-+?+= ???
整理得
22.m du x
u bu cx dx +-+= 此为方程()B :2n xy ay by cx '-+=的形式.反之,方程()B 可通过1,a x z y uz ==,则化为
22,n a du b c u z dz a a
-+=此方程为()A 的形式. 下证当方程()A 中()22m m ±+或方程()B 中22n a n
±为零或正整数时方程可解. 当()
022m m ±=+时,即0,m =方程()A 2y ay bx '+=为变量分离方程.方程()B 则直接
可解为.ax y ±=
因()A ()B 可互换,仅证当20,2n a k k n -=>为正整数时方程可解.方法为取变换,n a x y b z =+即有12.n n
nx x y z z z
-''=-?则方程()B 变为
1222222,n n n n n
n nx x a x a x x z a a b cx z z b z b z z
+'-?--+++= 即为
()2,n xz a n z cz bx '-++=
此仍为方程()B 的形式.若经k 此变换,则原方程()B 线性项y 的系数a 变为a kn +.由k
的假设,有,2n a kn +=即系数a 变为2n ,2n a =,即为202n a n
-=的情形,方程()B 有解
.ax y = 定理1.5 设黎卡提方程形如 2,m dy ay bx dx += (1.5) 其中0a ≠,b ,m 都是常数.又0x ≠,0y ≠,则当
()440,2,
,1,22121
k k m k k k --=-=???+- 时,方程(1.5)可通过适当的变换化为变量分离的方程. 证明 不妨设1a =(否则作自变量变换x ax =即可).因此代替方程(1.5),考虑方程 2.m dy y bx dx += (1.6) 当0m =时,(1.6)是一个变量分离的方程
2.dy b y dx
=- 当2m =-时,作变换z xy =,其中z 是新未知函数.然后代入方程(1.6),得到
2
,dz b z z dx x
+-= 这也是一个变量分离的方程. 当421
k m k -=+时,作变换 1
11,.1
m b x y m ξη-+==+ 其中ξ和η分别为新的自变量和未知函数,则(1.6)变为 ()22.1n d b d m ηηξξ+=+ (1.7)
其中4.21k n k -=
-再作变换21,,t zt t
ξη==-其中t 和z 分别为新的自变量和未知函数, 则(1.7)式变为 ()22,1l dz b z t dt m +=+ (1.8)
其中()()41.211
k l k --=-+方程(1.8)和(1.6)在形式上一样,只是右端自变量的指数从m 变为l .比较m 与l 对k 的依赖关系不难看出,只要将上述变换的过程重复k 次,就能把方程(1.6)化为0m =的情形. 当421
k m k -=-时,微分方程(1.5)就是(1.7)的类型,因此可以把它化为微分方程(1.8)的形式,从而可以化归到0m =的情形,至此定理证完.
2 一些特殊类型的黎卡提方程的通解表示
Euler 于1763-1764 年,Weyr 和Picard 于1875-1877 年得到了三个古典结果:若已知黎卡提方程的一个、两个或三个特解,则其通解可分别只需二次、一次积分或不需积分得到.首先我们给出引理如下:
引理 设()Q x 连续且一阶可导,()0G x ≠,,a b 及c 为实数,则黎卡提型方程
()22G y y Q ay bGy cG G ''-=-+ （2.1） 可积,且其通解为
⑴ 24b ac <时, ()
;2b y G wtg aw GQdx A a ??=++????? ⑵ 2
4b ac =时, 1;2b y G a a GQdx A ?? ?=-- ?+??? ⑶ 24b ac >时,()
2b y G th a GQdx A a ττ??=-+-????? 或()
.2b y G cth a GQdx A a ττ??=-+-????? 其中A 为任意常数,udx ? 表u 的一个原函数（下同）,且
w τ==
该定理的证明见文献[3],由引理可得如下的推论.
推论 设()Q x 连续且()(),Q x E x 一阶可导,()0G x ≠,,a b 及c 为实数,0a ≠,则黎卡提型方程 ()()()22G G u u Q a u E bG u E cG E E G G ''''-=+-+++- （2.2） 可积,其通解为u y E =-,这里y 为方程(2.1)的通解.
定理2.1 设()y x ?=为黎卡提方程(1.1)的一个特解,则其通解为
.y u E u ?=-=+
证明 由假设得
()()()()()()2.x P x x Q x x R x ???'+=+
解出R 并代入方程原方程得
()()()()()()22,y Py Q x y x P x x Q x x ???''+=++-
把它改写为
()()()()222.y Q P y Q y Q P ????''--=-----
这正是方程(2.2),当
()exp 2,,1,0G Q P dx E a b c ????=-=-===??? 时的特例,其通解为
()()()exp 2.exp 2Q P dx y x Q Q P dx dx A ?????-??=-??-+??
??? ,y u E u ?=-=+u 为方程(2.1)当,,,G a b c 取前述形式时的通解,24b ac =,据引理即可得解式.
定理2.2 设()()12,y x y x αβ==为黎卡提方程(1.1)的两个不同特解,则其通解为
()()()().Q dx Q dx A e y x e αβαβαβα--+?-=-? （2.3）
证明 由假设,有 ()()()2,P x Q x R x ααα'+=+
()()()2,P x Q x R x βββ'+=+
()()()2.R x P x Q x ααα'=+-
前两式相减并整理可得
()().P x Q αβαβαβ''??-=--+??-??
代入()R x 得
()().R x Q ααβαβααβ
''-'=-++- 于是方程变为
()()2,y Q y Qy Q ααβαβαβαβααβαβ''-''??-''--+=-++??--??
或改写为
()()()()2.y Q y Q y Q αβαβαβαααβααβαβ''''????--''-+-=--+---????--????
它正是方程(2.2),当()(),,1,0Q dx G e E a b c αβαβα-?=-=-===时的特例,而
240b ac -=,
利用方程(2.1)即可得到式（2.3）,由（2.3）式可以看出,当已知黎卡提方程（1.1）的两个相异特解()()12,y x y x αβ==时,于是其通解可只经一次积分得到.
为了方便求出黎卡提方程的通解下面给出黎卡提方程的一个性质.
黎卡提方程的性质 黎卡提方程(1.1)的任意四个特解的交比为常数,即若
1234,,y y y y 为四个特解, 则
43234121
:y y y y y y y y --=--常数. 定理2.3 设()()()123,,y x y x y x ?ψχ===为黎卡提方程(1.1)的三个相异特解,则其通解为 ()()()()().x x y x x A
??ψψ??ψ---=---+ 显然不需求积分即可得通解,其证明可由上述黎卡提方程的性质得出.
综上,如果能找到方程（1.1）的一个特解,就可直接利用定理2.1的结果得出通解,而不需要再作变换化为伯努利方程求解;同样,若已知方程（1.1）的两个或三个特解,则可由定理2.2 或定理2.3直接得其通解.
3 化为二阶齐次线性徽分方程求通解
引理(朗斯基) 如果1y ,2y 是
()()0y p x y q x y '''++=
的两个线性无关解,()p x 和()q x 连续,则1122y c y c y =+是方程的通解,其中12,c c 是任意常数.
定理3.1 黎卡提方程
()()()2y P x y Q x y R x '+=+
中,当()R x 连续,()P x ,()Q x 可导且()P x ',()Q x '连续时,方程的通解是
()()()()
11221122.2P x c c y c c Q x Q x υυυυ''+=-++ 其中1υ,2υ是()()()()220Q x Q x P x Q x υυυ''''-+?=的两个线性无关解,c 是任意常数.
证明 由原方程可得
()()()()()()()22,2P x y Q x y P x y R x R x Q x y y Q x ??'=-+=+-???
? 即有
()()()()()()()()()()2
22112.42P x P x y R x Q x Q x y P x Q x y Q x Q x Q x ??=-?+-=+-???????? 其中()()()
12P x Q x Q x =,()()()()211P x R x Q x Q x =-??.所以可令()1u y Q x =-,则原方程化为()()21
.y P x Q x u '=+ 从而有
()()()()2111,u y Q x P x Q x Q x u ''''=-=-+
即有
()()22.u P x Q x u =+ （3.1）
其中 ()()()()()()()()221142P x P x P x P x Q x R x Q x Q x '??'=-=--????
. 在方程(3.1)两边同时乘以()Q x udx e -?,得
()()()()()22.Q x udx Q x udx Q x udx e u e P x Q x e u ---???'=+
由于
()()()()()()()()222.Q x udx Q x udx Q x udx Q x udx Q x udx e u e u e Q x u e u Q x u e P x -----'?????'=- ?????'??=-=??
令()Q x udx e υ-?=,则有
()().Q x udx e Q x u υ-?'=-
于是
()().Q x udx e u Q x υ-'
?-=
从而有
()()()()()()()()()2222
.Q x udx Q x udx Q x udx Q x udx e u e Q x u Q x e u Q x u e P x P x υυ----'??'??'-=+????
?'??=-??
?==? 即有
()()()()22Q x Q x P x Q x υυυ''''--
=?.
整理得υ满足 ()()()()220Q x Q x P x Q x υυυ''''-+?=.
它是二阶齐次线性微分方程,根据朗斯基定理,设的通解为
1122c c υυυ=+.
其中1υ,2υ是它的两个线性无关解,1c ,2c 是任意常数.
由于()Q x udx e υ-?=,所以()ln ,Q x udx υ=-?从而
()()ln ,Q x u υ'-=
()()()
ln .u Q x Q x υυυ'-'==- 又因为()()()11y u Q x Q x Q x υυ'
=+=-+,所以黎卡提方程的通解为
()()()()
11221122.2P x c c y c c Q x Q x υυυυ''+=-++ 其中1υ,2υ是它的两个线性无关解,1c ,2c 是任意常数.
定理3.2 当()f x 连续时,()2y f x y '=+的通解是
1212
.c y c υυυυ''+=+ 其中1υ,2υ是()0f x υυ''+=的两个线性无关解,c 是任意常数.
不难看出,定理3.2可以看作定理3.1的推论,只要在定理3.2中令()()R x f x =,()1Q x =,()0P x =即可得定理3.2之结论.
综上所述,只要()P x ,()Q x 可导,且其导函数连续,则黎卡提方程可化为二阶齐次线性微分方程.但是如果()P x ',()Q x '不连续或()P x ,()Q x 不可导,则上述转化仍不可行.所以要彻底解决黎卡提方程的求解问题,仍需进一步探讨和研究.
致谢 衷心感谢张飞羽教授对本文的悉心指导!
参 考 文 献
[1] 叶彦谦编.常微分方程讲义[M].人民教育出版社,1979.
[2] 中山大学数学系编.常微分方程[M].人民教育出版社,1978.
[3] 任永泰,史希福主编.常微分方程[M].辽宁人民出版社,1984.
[4] 贺建勋,王志成.常微分方程(上册)[M].湖南科技出版社,1979年.
[5] 杨翰深.一阶微分方程的几个可积类型一兼谈黎卡提微分方裸的一个猜想及两个结论[J].四
川建材学编学扭,1987年第一、二期.
[6] 汤光宋.关于Raccati 方程的求解法武汉教育学院学报[J].玲邸年第3期.
[7] 赵临龙,成波,王克刚.二阶变系数线性微分方程Riccati 方程解法[J].吉首大学学
报,2001,(2):58～591.
[8] 范小勤.几类Riccati 方程的求解[J].攀枝花学院学报.2009;26(3):78-80.
[9] E ．卡姆克．常微分方程手册[M].北京:科学出版社,1980．
[10] 曹恒.黎卡提方程几种特解的判定[J].数学理论与应用,2002,22(4):82- 84.
[11] 邱翠萍.黎卡提方程有初等解法的两个充分条件[J].沈阳电力高等专科学校学
报.2003;5(2):57-58.
[12] 赵临龙.Riccati方程的不变量及其应用[J].邵阳师专学报.1998;2:16-20
[13] 李志林.一类Riccati方程可积性条件的推广[J].科学技术与程.2009;9(17): 5076-5078.
[14] 丁同仁,李承志编.常微分教程教程[M].高等教育出版社,1991.43-44.
[15] 朱思铭编.常微分方程学习辅导与习题解答[M].高等教育出版社,2008.51-54.
[16] 都长清等编.常微分方程.北京:首都师大出版社,1990.
[17] 东北师范大学数学系微分方程教研室编.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,1982.
[18] 同济大学应用数学系编.高等数学[M].北京:高等教育出版社,1997.
解函数方程的几种方法 李素真 摘要：本文通过给出求解函数方程的基本方法，来介绍函数方程，探索通过构造函数方程求解其它问题的方法,以获得新的解题思路。 关键词：函数方程；换元法；待定系数法；解方程组法；参数法 含有未知函数的等式叫做函数方程，能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解，求函数方程的解或证明函数方程有无解的过程叫解函数方程。 函数方程的解法有换元法（或代换法）、待定系数法、解方程组法、参数法。 1.换元法 换元法是将函数的“自变量”或某个关系式代之以一个新的变量(中间变量)，然后找出函数对中间变量的关系，从而求出函数的表达式。 例1 已知x x f x sin )2(+=，求)(x f 。 解：令u x =2 ）（0>u ，则u x log 2=，于是可得，)log sin()log ()(222 u u u f += ）（0>u ，以x 代替u ，得)log sin(log 2 )(22u x x f += )0(>x 。 例2 已知x x x x f 212ln )1(+=+ )0(>x ，求)(x f 。 解：令t x x =+1，则11-=t x )1(>t ，于是12ln 112111 2 ln )(+=-+-=t t t t f ， 即1 2ln )(+=x x f 。 例3 已知x x f 2cos )cos 1(=+，求)(x f 。 解：原式可以化为 1cos 22cos )cos 1(2+==+x x x f ，令t x =+cos 1，]2,0[∈t ，则换元后有1)1(2)(2 --=x t f ]2,0[∈x 。 2.待定系数法
待定系数法适用于所求函数是多项式的情形。当我们知道了函数解析式的类型及函数的某些特征，用待定系数法来解函数方程较为简单。一般首先确定多项式的次数，写出它的一般表达式，然后由已知条件，根据多项式相等的条件确定待定系数。 例4 已知)(x f 为多项式函数，且422)1()1(2+-=-++x x x f x f ，求)(x f 。 解：由于)1(+x f 与)1(-x f 不改变)(x f 的次数，而它们的和是2次的，所以)(x f 为二次函数，故可设c bx x a x f ++=2)(，从而有 由已知条件得 422)(22222+-=+++x x c a bx x a 根据两个多项式相等的条件得 22=a ，22-=b ，4)(2=+c a ，由此得1=a ，1-=b ，1=c ，故有1)(2+-=x x x f 。 例5 已知)(x f 是x 的二次函数，且x x x f f 242)]([-=，求)(x f 。 解：因为c 是x 的二次函数，故可设c bx x a x f ++=2)(，由此，c c bx x a b c bx x a a c x bf x f a x f f ++++++=++=)()()()()]([2222 将上式化简并代入x x x f f 242)]([-=，得x x c bc c a x b abc x ab c a b a x b a x a 2)()2()2(24222223243-=+++++++++ 比较对应项的系数有 ?????????=++=+-=++==0 0222021222223c bc c a b abc ab c a b a b a a ，解之得?????-===101c b a ，故1)(2-=x x f 。 3.解方程组法 此方法是将函数方程的变量或关系式进行适当的变量代换，得到新的函数方程，然后与原方程联立，解方程组，即可求出所求的函数。
目 录 中文摘要 .......................................... 错误！未定义书签。 ABSTRACT .......................................... 错误！未定义书签。 引言 ............................................................... 1 1.伯努利方程的解法 ................................................. 1 1.1变量代换法 .................................................... 1 1.1.1一般解法 .................................................. 1 1.1.2函数变换法 ................................................ 2 1.1.3 求导法 .................................................... 3 1.1.4恰当导数法 ................................................ 3 1.2常数变易法 .................................................... 4 1.3积分因子法 .................................................... 6 1.4解法举例 ...................................................... 7 2.伯努利方程的应用 ................................................ 10 2.1在一阶微分方程中的应用 ....................................... 10 2.1.1在形如()() ()()()y x y x n y y p x y dy q x y dy '?()=?()+?()? ? （() y x y dy ?()?存在 且不为零）方程中的应用 (10) 2.1.2在形如1[()()]()()y y y y f x h y g yx h x x x x αα-'+=+方程中的应用 (11) 2.1.3在黎卡提方程中的应用 (12) 3．总结 ........................................................... 13 参考文献 .......................................................... 14 致谢 .............................................. 错误！未定义书签。
各类方程解法一一元一次方程 1 一般形式 ax+b=0 (a≠0) 2 求根公式 x=? b 二二元一次方程 1 一般形式 ax+by=m cx+dy=n 2 求根公式 x=b ? d ÷ a ? m y=a m ? c n ÷ a b ? m n
1 一般形式 ax2+bx+c=0 (a≠0) 2 判别式 △=b2?4ac △>0,方程有两个不等实数根 x=?b±b2?4ac 2a △=0,方程有两个相等实数根 x1=x2=? b △<0,方程无实数根。
1 一般形式 ax 3+bx 2+cx +d =0 (a ≠0) 2 求根公式 x 1= ?27a 2d ?9abc +2b 327a 3+ 27a 2d ?9abc +2b 327a 3 + 3ac ?b 23a 2 3+ ?27a 2d ?9abc +2b 327a 32+ 27a 2d ?9abc +2b 327a 32 2+ 3ac ?b 23a 23 33?b 3a x 2=(?1+ 3i )? ?27a 2d ?9abc +2b 327a 3+ 27a 2d ?9abc +2b 327a 3 + 3ac ?b 23a 2 3+(?1+ 3i )2? ?27a 2d ?9abc +2b 327a 32+ 27a 2d ?9abc +2b 327a 32 2+ 3ac ?b 23a 23 33?b 3a x 3=(?1+ 3i 2)2? ?27a 2d ?9abc +2b 327a 32+ 27a 2d ?9abc +2b 327a 32 2+ 3ac ?b 23a 23 33+(?1+ 3i 2)? ?27a 2d ?9abc +2b 327a 3+ 27a 2d ?9abc +2b 327a 3 + 3ac ?b 23a 2 3?b
题目: 变换法在求解常微分方程中的应用姓名: 学院: 数学与统计学院 专业: 数学与应用数学 年级班级: 2011级1班 指导教师: 刘伟 2015年 5 月 31 日
毕业论文（设计）作者声明 本人郑重声明:所呈交的毕业论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外,本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。 本人完全了解有关保障、使用毕业论文的规定,同意学校保留并向有关毕业论文管理机构送交论文的复印件和电子版。同意省级优秀毕业论文评选机构将本毕业论文通过影印、缩印、扫描等方式进行保存、摘编或汇编；同意本论文被编入有关数据库进行检索和查阅。 本毕业论文内容不涉及国家机密。 论文题目:变换法在求解常微分方程中的应用 作者单位:数学与统计学院 作者签名: 2015 年5 月31 日
目录 摘要 (1) 引言 (2) 1．在一阶方程中的应用 (3) 1.1变量分离方程 (3) 1.2齐次与可以经过变量代换化为齐次的常微分方程： (3) 1.3一阶线性方程 (7) 1.4几种特殊类型的一阶常微分方程 (8) 1.5伯努利方程 (9) 1.6黎卡提方程 (10) 2．在n阶微分方程中的应用 (10) 2.1 在n阶非齐次线性微分方程 (10) 2.2 非齐次线性微分方程 (12) 3．变系数齐次方程 (13) 3.1尤拉方程 (13) 3.2二阶变系数线性方程 (13) 3.3三阶变系数微分方程 (14) 结束语 (14) 参考文献 (16) 致谢 (17)
变换法在求解常微分方程中的应用 摘要:变换法是常微分方程中的一种计算方法. 它可以起到简化问题的作用，变量变换思想也是一种常微分方程中的重要思想. 应用原始变量的变换与新的变量代换, 使原始方程的类型相对简单的解决方案，从而达到解决的目的. 在常微分方程中, 变换法在许多类型的常微分方程的求解中起到及其重要的作用. 本文就应用变换法在求解几类微分方程进行探究, 通过陈述理论与联系实例结合阐述变量变换法以及变量变换思想在求解常微分方程的应用. 关键词：常微分方程；变量分离；变换法； Application of transform method in solving the differential equation Abstract: Transform method is a calculation method of ordinary differential equation. It can play a role to simplify the problem, the idea of variable transformation is an important thought in ordinary differential equation. The application of the original variable transform and the new type of variable substitution, the original equation solution is relatively simple, so as to achieve the purpose of solving. In the differential equation, variable substitution plays its important role in the ordinary solution differential equations in many types of. This paper explores the solutions for several classes of differential equations on the application of variable substitution, through the statement of theory and examples combined with variable transformation method and the application of variable transformation thought in the solution of ordinary differential equations. Key Words: Ordinary differential equation;Separable variable;Transform method
黎卡提方程的初等解法 摘要：常微分方程有着深刻而生动的实际背景，它从生产实践与科学技术中产生，而又成 为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具，例如化学，生物学，电子技术等等都提出大量的微分方程问题，那么就需要探讨微分方程的求解问题，本文介绍了著名的黎卡提方程的，给出了黎卡提方程可用初等积分法求解的一些充分条件，使得黎卡提方程在满足一定条件下可以用初等解法求解，并给出一些特殊类型黎卡提方程的通解表示，最后举例对一些具体的黎卡提方程进行求解，及微分方程的应用举例。 关键词：黎卡提方程，变量方程，伯努利方程，线性方程 0. 引言 常微分方程是数学的一个重要分支，也是偏微分方程，变分法，控制论等数学分支的基础。微分方程的理论和方法从17世纪末开始发展起来，很快成了研究自然现象的强有力的工具。在17~18世纪，在力学，天文，物理和技术科学中，就已借助微分方程取得了巨大成就。 微分方程的首要问题是如何给定一个方程的通解或特解。到目前为止，人们已经对许多微分方程得出了求解的一般方法。例如一阶微分方程中的变量分离方程、线性方程等等。 求一个方程的解最自然的想法是用初等解法求解,即把微分方程的求解问题化为积分问题,但这是不容易做到的,能用初等解法求解的微分方程为数很少,绝大部分的微分方程都无法求出通解,黎卡提方程便是其中的一个。 意大利数学家黎卡提于 1724 年给出了它的特殊形式，后来引起许多学者的研究。达朗贝尔在 1763年给出了它的一般形式，并首先称之为“黎卡提方程”；黎卡提方程 '2y =p(x)y (x)y+r(x)q + 不同于线性微分方程'y =(x)y+r(x)q 之处是还多含一项2p(x)y ， 但这就大大地改变了解的性质，即初等可积性丧失了，但在特殊情况下仍旧可以利用初等积分法进行求解。文献[2]和[3]汇集了很多可积方程和可积性成果；60年代以来，《美国数学月刊》上又连续发表了多篇关于这方面的论文；近年来《数学通报》也发表了多篇关于这一内容的文章，如[2][4]及[5]。上述工作在一定程度上推动了探索黎卡提方程解法的发展。 但要彻底解决黎卡提方程的求解问题，仍需要进一步探讨和研究。 我们知道，黎卡提方程一般情况下不能用初等积分法求解，但在一些特殊情况下却有初等解法，那么，在哪些情况下有呢？本文将首先给出黎卡提方程可用初等积分法求解的一些充分条件，使得黎卡提方程在满足一定条件下可以用初等解法求解，并举例对一些具体的黎卡提方程进行求解，最后举出它的应用举例。 1.预备知识 考虑 2p(x)y (x)y+r(x)dy q dx =+ (1.1) 其中函数(),()p x q x 和()r x 是连续函数，而且()p x 不恒为零。 方程(1.1)通常叫作黎卡提方程，这是形式上最简单的非线性方程。 为了方便说明，我们首先给出几个有初等解法的微分方程类型及其求解的一般方法，并给出其通解表示。
浅谈简易方程的几种解法 教师：曾伟 摘要：数学课程改革推进到小学高年级之后，部分教师特别是一些农村老教师，就教材中依据等式基本性质解方程的意义不很理解，对由此生成的一些问题感到困惑，总觉得还是原来依据四则运算关系解方程，便于教、便于学。新课程的出炉，是不是就意味着教师只能照本宣科呢？是不是等式的基本性质比四则运算法则和移项法更适合解简易方程呢？本文仅就与此相关的一些问题，谈谈个人的有关认识与体会，供大家参考。 一、为什么要用等式基本性质解方程 顺应着基础教育的这一发展，新一轮课程改革中推出的各学科课程标准，都将小学、初中视为一个整体，予以通盘考虑，这是一大进步。数学学科当然也不例外。可以说，义务教育数学课程标准的研制、颁布为我们研究和践行中小学数学教学的衔接，提供了教学内容、教学要求等多方面的支撑和保障。我们应该基于这样的背景，展开有关的讨论。 其实，解方程的依据，严格说来，应该是方程的同解定理。但由于中小学数学的理论要求不高，再说在陈述等式的第一条性质时，只要指出等式两边都乘或除以，加上或减去同一个不等于零的数，就可以作为同解定理来使用。所以，多年以来，即使是中学数学教材，也大多采用等式的基本性质作为解方程的依据。这样处理可以避开“同解方程”等概念，减少教学的麻烦。 过去，在小学教学解方程，依据的是四则运算之间的关系，如“加数=和－另一个加数”，“因数=积÷另一个因数”等等。由于这些关系小学生在学习加减法、乘除法时，早就不断有所感知，积累了比较丰富的感性经验，所以到小学中高年级再加以概括就显得水到渠成，运用这些关系解未知数只出现在等式一边的简易方程也比较自然。 但是，这种“算术”的解方程思路毕竟走不了多远，一到中学就被彻底抛弃，取而代之的是等式的基本性质。而且小学依据四则运算关系解方程教得越多，练得越巩同，初中方程教学的负迁移就越明显，入门障碍就越大。当然，负迁移的程度也取决于初中数学教师的教学策略与教学艺术，但在整体上存在负迁移是一个不争的事实。 既然如此，那是不是意味着四则运算法则就到了穷途末路的境地呢？其实不然，下面我们来综合比较一下等式的基本性质、四则运算法则和移项法这三种简易方程解法的优劣。 二、移项法PK等式的基本性质 例如方程5x+2=7x－8，为了使方程化为ax=b的形式，我们就要把同类项合并，但它们又不在等号的同侧，如何合并？不妨我们利用等式的基本性质，在方程的两边都减去2，然后在方程的两边都减去7x，这样就得到：5x－7x=－8－2，然后再合并同类项就可以了.这里的2就改变符号移到了方程的右边，7x就改变符号移到了方程的左边，这种变形相当于把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项． 方程中的任何一项都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，即可以把方程右边的项改变符号后移到方程的左边。也可以把方程左边的项改变符号后移到方程的右边。移项中常犯的错误是忘记变号，还要注意移项与在方程的一边交换两项的位置有本质的区别。如果等号同一边的项的位置发生变化，这些项不
《现代控制理论基础》第五章(讲义) 5.6.3 二次型最优控制问题 现在我们来研究最优控制问题。已知系统方程为 (5.21) (5.22) 确定最优控制向量的矩阵K，使得性能指标 达到极小。式中Q是正定（或正半定）Hermite或实对称矩阵，R是正定Hermite 或实或实对称矩阵。注意，式(5.22）右边的第二项是考虑到控制信号的能量损耗而引进的。矩阵Q和R确定了误差和能量损耗的相对重要性。在此，假设控制向量u(t)是不受约束的。 正如下面讲到的，由式(5.21）给出的线性控制律是最优控制律。所以，若能确定矩阵K中的未知元素，使得性能指标达极小，则对任意初始状态 x(0)而言均是最优的。图5.6所示为该最优控制系统的结构方块图。 图5.6 最优控制系统 现求解最优控制问题。将式(5.21）代入式(5.20），可得 在以下推导过程中，假设是稳定矩阵，的所有特征值均具有负实部。 将式(5.21）代入（5.22），可得
依照解参数最优化问题时的讨论，取 《现代控制理论基础》第五章(讲义) 式中的P是正定的Hermite或实对称矩阵。于是 比较上式两端，并注意到方程对任意x均应成立，这就要求 (5.23）的正定矩阵P。 (5.23) 根据Lyapunov第二法可知，如果是稳定矩阵，则必存在一个满足式 因此，该方法由式(5.23）确定P的各元素，并检验其是否为正定的（注意，这里可能不止一个矩阵P满足该方程。如果系统是稳定的，则总存在一个正定的矩阵P满足该方程。这就意味着，如果我们解此方程并能找到一个正定矩阵P，该系统就是稳定的。满足该方程的其他矩阵P不是正定的，必须丢弃）。性能指标可计算为 由于假设A-BK的所有特征值均具有负实部，所以。因此 于是，性能指标J可根据初始条件x(0)和P求得。 (5.24) 为求二次型最优控制问题的解，可按下列步骤操作：由于所设的A是正定Hermite或实对称矩阵，可将其写为 式中T是非奇异矩阵。于是，式(5.23）可写为 上式也可写为 求J 对K的极小值，即求下式对K的极小值 (见例5.21)。由于上面的表达式不为负值，所以只有当其为零，即当 时，才存在极小值。因此 定义时，其最优控制律是线性的，并由 (5.25) 式(5.25）给出了最优矩阵K。所以，当二次型最优控制问题的性能指标由式(5.22）
1. · 2. 已知二阶系统的状态方程122()(),()()x t x t x t u t ==性能泛函 3 222221212120111[(3)2(3)][2()4()2()()()]222 J x x x t x t x t x t u t dt =+++++?求最优控制。 解:把状态方程和性能指标与标准状态方程和标准性能指标比较，可得 0,101,02,11,,,,0,010,21,42A B P Q R ????????=====???????????????? 考虑到()K t 是对称阵，设11121222,(),k k K t k k ?? =? ??? 代入黎卡提方程1()()()()()()()()()()() T T K t K t A t A t K t K t B t R t B t K t Q t -=--+-即 1112111211121112111212221222122212221222,,,,,0,10,002,12[0,1],0,01,0,,1,1,4,k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ?????????????????? =--+-????????????????????????????????????? ? 令上式等号左右端的对应元相等，得2 111212111222222122222 21224 k k k k k k k k k =-=-+-=-+- 这是一组非线性微分方程。由边界条件(3)K P =即11121222(3),(3)1,0(3),(3)0,2k k k k ???? =? ? ???? ?? 最优控制为 11112112122212222()()() ,()2*[0,1]2()2() ,()T u t R B K t X t k k x t k x t k x t k k x t -=-???? =-=--???????? 3. ） 4. 能控的系统状态方程为122()(),()()x t x t x t u t ==这是一种双积分系统，其输出为1()x t ，其输入为()u t ，其传递函数为 12()1 ()()x s G s u s s ==其性能泛函为22 211220 1[()2()()()()]2J x t bx t x t ax t u t dt ∞ =+++?其中220a b ->求最优控制。 解：稳态时连续系统的状态调节器问题：由状态方程和性能指标求得 0,101,,,10,01A B Q R ??????====???????????? b ，b,a 显然Q 为半正定阵。 可控性阵为[]0,1,1,0B AB ?? =? ??? 是非奇异的，系统可控。
编号 090901228 毕业论文 （ 2013 届本科） 题目：浅谈黎卡提的求解 学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学 作者姓名：吴大婷 指导教师：张飞羽职称：教授 完成日期： 2013 年 5 月 30 日 二○一三年四月
浅谈黎卡提方程的求解 吴大婷指导老师:张飞羽 (河西学院数学与应用数学专业2013届2班28号, 甘肃张掖734000) 摘要著名的黎卡提方程是一个部分可积的非线性常微分方程,本文给出了黎卡提方程可用初等积分法求解的一些充分条件,使得黎卡提方程在满足一定条件下可以用初等解法求解,并给出一些特殊类型黎卡提方程的通解表示.此外,本文还提出了黎卡提方程的另一种解法,即将它转化为二阶齐次性微分方程,再根据朗斯基定理,得出其通解. 关键词黎卡提方程;初等积分法;分离变量;伯努利方程;朗斯基; 中图分类号O175.14 The Solution of Riccati Equation Wu Dating Instructor Zhang Feiyu （No. 28, Class 2 of 2013, Specialty of Mathematics and Applied Mathematics, Hexi University,Zhangye,Gansu,734000） Abstract: The Riccati equation is a partly interglacial differential equation. In this paper some sufficient conditions are given that elementary integration as well as the representatives of general solutions for several Riccati equations. We also puts forward another solution for Riccati equations which turns it into two order homogeneous linear differential equation, then gets the general answer of Riccati equation basics on the Wronsky theorem. Keywords: Riccati equation; Elementary integral; Separable variable; Bernoulli equation; Wronsky 黎卡提方程是一类不可用初等方法求解的微分方程,它有着重要应用.例如,它曾用于证明贝塞尔方程的解不是初等函数.另外,它也出现在现代控制论和向量场分支理论的一些问题中.黎卡提方程的研究既有着显而易见的理论和实际意义,又有着广阔的研究前景.由于黎卡提方程在理论上和应用上的重要性,一直有人寻求它的可积类型及可积方程.我们知道,黎卡提方程一般情况下不能用初等积分法求解,但在一些特殊情况下却有初等解法,那么,在哪些情况下黎卡提方程有初等解法呢?本文给出一些充分条件使得黎卡提方程可用初等积分法求解.
世界著名难题黎卡提(Riccati)方程的解法 林文业 湛江公路工程大队 邮编:52400 电话0668-8322239 摘要: 对于黎卡提(Riccati)方程)()()(/2 x r y x q y x p dx dy ++=,本文先将其化为二阶线性微分方程,再由《关于高阶线性微分方程的一般解法》(2000年《湛江师范学报.增刊》发表)提供的方法,求得通解。 关键词: 黎卡提(Riccati)方程；通解 一. 方程的线性化及求解 对于黎卡提(Riccati)方程 )()()(/2x r y x q y x p dx dy ++= (1.1) 其中)(x p 在[]b a ,上一阶可导,且0)(≠x p ,)(x q 、)(x r 在[]b a ,上连续, a 、b 为实数。 设Y x f y )(=，0)(≠x f ，则(1.1)化为 ) ()()()()()()()(2x f x r Y x f x f x f x q Y x f x p Y +'-+=' (1.2) 令)(1)(x p x f =,则(1.2)为 )()() ()()()(2x r x p Y x p x p x q x p Y Y +'++=' 设) ()()()()(x p x p x q x p x g '+= ,)()()(x r x p x h =,则上式变为 )()(2x h Y x g Y Y ++=' (1.3) 设z z Y '-=(0≠z ),则(1.3)化为 z x h z x g z )()(-'='' (1.4) 令j x i z )(=,0)(≠x i ,则(1.4)化为 j x i x i x i x h x i x g j x i x i x i x g j ) ()()()()()()()(2)()(''--'+''-='' (1.5) 令 0)(2)()(='-x i x i x g , (1.6) 则(1.4)化为j x i x i x i x h x i x g j ) ()()()()()(''--'='' 简记为j x k j )(='' 其中)()()()()()()(x i x i x i x h x i x g x k ''--'= (1.7)
5.6.3 二次型最优控制问题 现在我们来研究最优控制问题。已知系统方程为 Bu Ax x += (5.20) 确定最优控制向量 )()(t Kx t u -= (5.21) 的矩阵K ，使得性能指标 (5.22) 达到极小。式中Q 是正定（或正半定）Hermite 或实对称矩阵，R 是正定Hermite 或实或实对称矩阵。注意，式(5.22）右边的第二项是考虑到控制信号的能量损耗而引进的。矩阵Q 和R 确定了误差和能量损耗的相对重要性。在此，假设控制向量)(t u 是不受约束的。 正如下面讲到的，由式(5.21）给出的线性控制律是最优控制律。所以，若能确定矩阵K 中的未知元素，使得性能指标达极小，则)()(t Kx t u -=对任意初始状态x (0)而言均是最优的。图5.6所示为该最优控制系统的结构方块图。 图5.6 最优控制系统 现求解最优控制问题。将式(5.21）代入式(5.20），可得 ()x Ax BKx A BK x =-=- 在以下推导过程中，假设BK A -是稳定矩阵，BK A -的所有特征值均具有负实部。 将式(5.21）代入（5.22），可得 ??∞ ∞ +=+=0 )()(xdt RK K Q x dt RKx K x Qx x J H H H H H 依照解参数最优化问题时的讨论，取 ?∞ +=0 )(dt Ru u Qx x J H H
)()(Px x dt d x RK K Q x H H H - =+ 式中的P 是正定的Hermite 或实对称矩阵。于是 ])()[()(x BK A P P BK A x x P x Px x x RK K Q x H H H H H H -+--=--=+ 比较上式两端，并注意到方程对任意x 均应成立，这就要求 )()()(RK K Q BK A P P BK A H H +-=-+- (5.23) 根据Lyapunov 第二法可知，如果BK A -是稳定矩阵，则必存在一个满足式(5.23）的正定矩阵P 。 因此，该方法由式(5.23）确定P 的各元素，并检验其是否为正定的（注意，这里可能不止一个矩阵P 满足该方程。如果系统是稳定的，则总存在一个正定的矩阵P 满足该方程。这就意味着，如果我们解此方程并能找到一个正定矩阵P ，该系统就是稳定的。满足该方程的其他矩阵P 不是正定的，必须丢弃）。 性能指标可计算为 )0()0()()()(0 0Px x Px x Px x xdt RK K Q x J H H H H H +∞∞-=-=+=∞∞ ? 由于假设A-BK 的所有特征值均具有负实部，所以0)(→∞x 。因此 )0()0(Px x J H = (5.24) 于是，性能指标J 可根据初始条件x (0)和P 求得。 为求二次型最优控制问题的解，可按下列步骤操作：由于所设的A 是正定Hermite 或实对称矩阵，可将其写为 T T R H = 式中T 是非奇异矩阵。于是，式(5.23）可写为 0)()(=++-+-TK T K Q BK A P P B K A H H H H H 上式也可写为 0])([])([111=+---++---Q P B PBR P B T TK P B T TK PA P A H H H H H H H 求J 对K 的极小值，即求下式对K 的极小值 x P B T TK P B T TK x H H H H H H ])([])([11---- (见例5.21)。由于上面的表达式不为负值，所以只有当其为零，即当 P B T TK H H 1)(-= 时，才存在极小值。因此 P B R P B T T K H H H 111)(---== (5.25) 式(5.25）给出了最优矩阵K 。所以，当二次型最优控制问题的性能指标由式(5.22） 定义时，其最优控制律是线性的，并由 )()()(1t Px B R t Kx t u H --=-=
1、解形如X±a=b的方程 X+a=b X-a=b 解：X+a-a=b-a 解：X-a+a=b+a X=b-a X=b+a 2、解形如a-X=b的方程※ a-X=b 解：a-x+x=b+x a=b+x a-b=b-b+x x=a-b 3、解形如ax=b的方程 aX=b 解; ax÷a=b÷a X=b÷a 4、解形如a÷x=b的方程※ a÷X=b 解：a÷X×X=b×X a=b×X a÷b=b÷b×X X=a÷b 5、解形如x÷a=b的方程※ X÷a=b 解：X÷a×a=b×a X=b×a 6、解形如ax±b=c(a≠0)的方程 aX-b=c(a≠0)把“ax”看作一个整体 解：ax-b+b=c+b ax=c+b ax÷a=(c+b) ÷a x=(c+b) ÷a aX+b=c(a≠0) 解：ax+b-b=c-b 把“ax”看作一个整体方程的两边同时减去b ax=c-b ax÷a=(c-b)÷a x=(c-b)÷a 7、解形如ax±ab=c(a≠0)的方程 可以转化为：a(x±b)=c 再解 8、解形如a(x+b)=c (a≠0)的方程 把“x+b”看作一个整体,方程的两边同时除以a 书写格式 例如 80-X=60 解：80-X+X=60+X 检验：x=20代入原方程 80=60+X 方程左边=80-X 80-60=60-60+X =80-20 X=20 =60 =方程的右边 所以x=20是方程的解 //
// 定律、公式 1、加法交换律：a+b=b+a 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 2、乘法交换律：a ×b=b ×a 乘法结合律：(a ×b)×c=a ×(b ×c) 乘法分配律：(a+b)×c=a ×c+b ×c 或 (a-b)×c=a ×c-b ×c 3、减法性质：a-b-c=a-(b+c) a-b-c=a-c-b 4、除法性质： a ÷ b ÷c=a ÷(b ×c) a ÷b ÷c=a ÷ c ÷b 5、去括号： a+(b-c)=a+b-c a-(b-c)=a-b+c a ÷ b ×c= a ÷(b ÷c) 6、长方形： a 长方形周长 =(长+ 宽)×2 字母公式：C=(a+b)×2 长方形面积=长×宽 字母公式：S=ab 7、正方形： 正方形周长=边长×4 字母公式：C=4a 正方形面积=S=a ×a 8、平行四边形 字母公式：S=ah 9、三角形 a 三角形的面积=底×高÷2 字母公式：S=ah ÷2 三角形的 底=面积×2÷高； 三角形的 高=面积×2÷底） 10、梯形 上底a 下底b
常微分方程习题集（5） （五）证明题 1. 试证：如果)(t ?是 AX dt dX =满足初始条件η?=)(0t 的解，那么 η?)(ex p )(0t t A t -=. 2. 设)(1x y ?=和)(2x y ?=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数． 3. 假设m 不是矩阵A 的特征值，试证非齐线性方程组 mt Ce AX dt dX +=，有一解形如：mt Pe t =)(?，其中P C ,是常数向量. 4. 设(,)f x y 及y f ??连续,试证方程0),(=-dx y x f dy 为线性方程的充 要条件是它有仅依赖与x 的积分因子. 5. 设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞ →x f x ，求证：方程 )(d d x f y x y =+的任意解)(x y y =均有0)(lim =+∞ →x y x . 6. 试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解. 7. n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解. 8. 设)(x y ψ=是一阶非齐次线性方程于区间I 上的任一解，)(x ?是其对应一阶齐次线性方程于区间I 上的一个非零解。则含有任意常数C 的表达式： )()(x x C y ψ?+= 是一阶非齐次线性方程于区间I 上的全部解的共同表达式。 9. 设n n ?矩阵函数)(1t A ，)(2t A 在（a , b ）上连续，试证明，若方程组 X t A dt dX )(1=与X x A dt dX )(2=有相同的基本解组，则)(1t A ≡)(2t A 。 10. 证明： 一个复值向量函数)()()(t iv t u t X +==?是（LH ）的解 的充要条件，它的实部)(t u 和虚部)(t v 都是（LH ）的解。
编号 学士学位论文 伯努利方程的解法及其应用 学生姓名：江倩 学号：20070102018 系部：数学系 专业：数学与应用数学 年级：2007级（2）班 指导教师：胡爱莲 完成日期：2011 年 5 月14 日
I 中文摘要 在参考现有伯努利方程解法的基础上，归纳了几类求解伯努利方程的方法，并探讨了伯努利方程在解某些微分方程中的应用。 关键词：伯努利方程；变量代换；常数变易；积分因子；应用．
II The Solving Methods and the Applications of Bernoulli equation Abstract In the foundation of referring the solving methods to Bernoulli equation ，this paper summarizes some classes methods to solve Bernoulli equation ， and discusses the application of Bernoulli equation for solving some differential equations ． key words ： Bernoulli equation ； Variable substitution ； Constant change ；Integrating factor ；Application ．
III 目 录 中文摘要 ........................................................... I ABSTRACT .......................................................... II 引言 ............................................................... 1 1.伯努利方程的解法 ................................................. 1 1.1变量代换法 .................................................... 1 1.1.1一般解法 .................................................. 1 1.1.2函数变换法 ................................................ 2 1.1.3 求导法 .................................................... 3 1.1.4恰当导数法 ................................................ 3 1.2常数变易法 .................................................... 4 1.3积分因子法 .................................................... 6 1.4解法举例 ...................................................... 7 2.伯努利方程的应用 ................................................ 10 2.1在一阶微分方程中的应用 ....................................... 10 2.1.1在形如() () ()()()y x y x n y y p x y dy q x y dy '?()=?()+?()? ? （()0 y x y dy ?()? 存在 且不为零）方程中的应用 ......................................... 10 2.1.2在形如1[()()]()()y y y y f x h y g yx h x x x x αα-'+=+方程中的应用 (11) 2.1.3在黎卡提方程中的应用 (12) 3．总结 ........................................................... 13 参考文献 .......................................................... 14 致谢 .. (15)
黎卡提方程的简单解法 1黎卡提方程的定义 形如：)()()(2x R y x Q y x P dx dy ++= ）（1 其中)(x P ，)(x Q ，)(x R 是某区间内的已知函数 2黎卡提方程的解法 一般情况下，没有初等解法 特殊情况下，若已知)(0x y 是方程） （1的一个解，则用初等积分法求解. 设z y y +=0，则 dx dz dx dy dx dy +=0 所以)())(())((0200x R z y x Q z y x P dx dz dx dy ++++=+ )()()()()(2)(02020x R z x Q y x Q z x P z y x P y x P +++++= 又因为 )()()(0200x R y x Q y x P dx dy ++= 所以[]20)()()(2z x P z x Q y x P dx dz ++= ）（2 而方程） （2形式为伯努利方程，故可解. 3黎卡提方程的几种类型 类型一 形如：) ()()()(2x f x g y x g x f dx dy '-'= 有特解) ()(x f x g y -=，故 设z y y +=0，有 dx dz dx dy dx dy +=0，所以())()()()(200x f x g z y x g x f dx dz dx dy '-+'=+ 又因为)()()()(200x f x g y x g x f dx dy '-'=，所以20)()()()(2z x g x f z y x g x f dx dz '+'=故方程可解. 类型二 形如：)()(2x f y x f y dx dy '+-= 有特解)(x f y =故 设z y y +=0，有dx dz dx dy dx dy +=0，所以)())(()(0200x f z y x f z y dx dz dx dy '++-+=+