编号
学士学位论文
伯努利方程的解法及其应用
学生姓名：江倩
学号：20070102018
系部：数学系
专业：数学与应用数学
年级：2007级（2）班
指导教师：胡爱莲
完成日期：2011 年 5 月14 日
I 中文摘要
在参考现有伯努利方程解法的基础上，归纳了几类求解伯努利方程的方法，并探讨了伯努利方程在解某些微分方程中的应用。
关键词：伯努利方程；变量代换；常数变易；积分因子；应用．
II The Solving Methods and the Applications
of Bernoulli equation
Abstract
In the foundation of referring the solving methods to Bernoulli equation ，this paper summarizes some classes methods to solve Bernoulli equation ， and discusses the application of Bernoulli equation for solving some differential equations ．
key words ： Bernoulli equation ； Variable substitution ； Constant change ；Integrating factor ；Application ．
III 目 录
中文摘要 ........................................................... I ABSTRACT .......................................................... II 引言 ............................................................... 1 1.伯努利方程的解法 ................................................. 1 1.1变量代换法 .................................................... 1 1.1.1一般解法 .................................................. 1 1.1.2函数变换法 ................................................ 2 1.1.3 求导法 .................................................... 3 1.1.4恰当导数法 ................................................ 3 1.2常数变易法 .................................................... 4 1.3积分因子法 .................................................... 6 1.4解法举例 ...................................................... 7 2.伯努利方程的应用 ................................................ 10 2.1在一阶微分方程中的应用 ....................................... 10 2.1.1在形如()
()
()()()y x y x n
y y p x y dy q x y dy '?()=?()+?()?
?
（()0
y x y dy ?()?
存在
且不为零）方程中的应用 ......................................... 10 2.1.2在形如1[()()]()()y
y
y
y
f x h y
g yx
h x
x
x
x
αα-'+=+方程中的应用 (11)
2.1.3在黎卡提方程中的应用 (12)
3．总结 ........................................................... 13 参考文献 .......................................................... 14 致谢 .. (15)
1 引言
在数学科学体系中，微分方程是其中的一类，而伯努利方程又是微分方程中的一个类型，这类方程形如()()n y P x y Q x y '+=，其中()P x 、()Q x 为x 的连续函数，n 为常数且n ≠0，1。伯努利方程是一种特殊的一阶非线性常微分方程，一般地，该方程可以通过某些数学方法转化为线性微分方程，进而用初等积分法来求解。在数学发展史上，常有一种问题多种解决办法的传统，因此，许多学者都致力于研究伯努利方程的求解[]41-。本文在充分分析这些参考文献的基础上，根据其解法特征，将它们进行了分类整理，便于对各种解法的理解和认识。同时，探讨了伯努利方程在求解其他类型常微分方程中的应用。
本文主要分成两个部分，结构如下：第一部分是伯努利方程的解法，主要给出了伯努利方程的变量代换法、常数变易法、积分因子法等三种方法；第二部分是伯努利方程的应用，主要探讨了伯努利方程在一阶微分方程和高阶微分方程的求解中的应用。
1.伯努利方程的解法
1.1变量代换法
1.1.1、变量代换法、常数变易法的混合运用 伯努利方程：
()()n
dy P x y Q x y dx
+=（n ≠0，1）………（1.0）
其一般解法步骤如下：
⑴ 方程两端同除以n y 得：
1()()n
n
dy y
p x y
Q x dx
--+=.
2 ⑵ 变量代换
令z =1n y -即可化为一阶线性微分方程：
(1)()(1)()
dz n P x z n Q x dx
+-=-．
⑶ 常数变易
通过对一阶线性齐次方程的通解进行常数变易求得一阶线性非齐次方程的通解．
⑷ 变量代换
最后将z 代换1n y -得原方程的通解：
(1)()(1)()1(1)[()]n p
x
d x
n p x
d x
n y n e Q x e
d x c --
-?
?=-+?．[1]C 为任意常数
1.1.2函数变换法
设()()y u x v x =是（1.0）式的解，则对()()y u x v x =两边求导得：
()()()()y u x v x u x v x '''=+，
将上式代入方程得：
()()()()()()()()()()n
n
u x v x u x v x p x u x v x Q x u x v x ''++=，
整理得：
()()()[()()()]()(
n
n
u x v x u x v x p x v x Q x u
x v x ''++= ……… （1.1）
令()()()0v x p x v x '+=解得：
()()p x dx
v x e -?
=，将其代入（1.1）式得：
()()()()()p x dx n p x dx n
u x e Q x u x e --??
'=， 整理得：
(1)
()()()()n p x dx n
u x u
x Q x e
--?'=，
两边积分得：
(1)
()1()(1)[()]n p x dx n
u
x n Q x e
dx c --?=-+?，
3 故伯努利方程的通解为：
(1)
()(1)()1(1)[()]n p x dx n p x dx n
y
n e
Q x e dx c ---??=-+?
．[2]C 为任意常数
1.1.3 求导法 令1()()n z A x y B x -=+， 对上式两边求导得：
1()()(1)()n
n
z A x y
A x n y
y B x --''''=+-+，
即有：
11[()()](1)()
n
n
y
y z B x A x y
n A x --''''=--?
-，
代入（1.0）式得：
1[(1)()()()]()(1)()()0n
z n A x p x A x y
B x n Q x A x -'''+-----=．
令(1)()()()0n A x p x A x '--= ， ()(1)()()0B x n Q x A x '+-=． 解得：
(1)
()()n p x dx A x e
-?= ， (1)
()()(1)()n p x d x
B x n Q x e d x
-?=-?
． 这时伯努利方程变为0z '=，解得z c =.
于是得到伯努利方程的通解为：
(1)
()(1)()1[(1)()]n p x dx n p x dx n
y
e
n Q x e dx c ---??=-+?
．[3]C 为任意常数
1.1.4恰当导数法
令()()p x dx u x e -?=，有()()()p x dx
u x p x e -?'=-，
即：
()()()
u x p x u x '=-
．
则（1.0）式变形为：
1
1
()()()()
()
n
n n u x y y y Q x u
x u x u
x --''-
=?
，
4 1
1
()()()[
]
()
()
n n y u x y Q x u
x y
u x u x --''-
=，
1
1
()()()()[
]
()
n n y
lny lnu Q x u
x u x --''-=，
1
1
()()()[
]
()
n n y y ln
Q x u
x u
u x --'=，
设y
uz
=得：
1
1
()()()n n lnz Q x u
x z
--'=，
1
()()n n
z Q x u
x z
-'=（可分离变量微分方程）
． 两边积分解之得：
11
(1)[()()]n
n z
n Q x u
x dx c --=-+?，
用y z u
=
，()()p x dx
u x e -?=，回代得伯努利方程的通解为：
(1)
()(1)()1(1)[()]n p x dx n p x dx n
y
n e
Q x e dx c ---??=-+?
．[]4C 为任意常数
1.2直接常数变易法
常数变易法一：
（1.0）式的齐次方程的通解为：
()p x dx
y ce -?=．
设原方程（1.0）式的通解为：
()()p x dx y c x e -?=，
代入（1.0）式得：
()()()()()p x dx n p x dx n
c x e c x e Q x --??'=．
这是一个可分离变量的微分方程，可求出1()n c x -．
5 即： (1)
()1()(1)[()]n p x dx n c x n Q x e dx c --?=-+?，
则原方程的通解为:
(1)
()(1)()1(1)[()]n p x dx n p x dx n
y
n e
Q x e dx c ---??=-+?
．[]5C 为任意常数
常数变易法二：
本方法的创新之处是先解方程()=Q n
dy
x y
dx
………（1.2）,
利用变量分离法解式（a ）得：y n -1=(1-n)?[()c dx x Q +?]，
现把常数c 变易为待定的函数c( x),即y
n
-1=(1-n)?[()c dx x Q +?（x ）]…
…(1.3),
对式(b)两边求微分得：
()()n
dc x dy y
Q x dx
dx
-=+……（1.4）,
由（1.0）、(1.3)、（1.4）式得()
()()()()1dc x n p x Q x dx c x dx ??
=-+??
?。利用一阶线性
方
程的通解公
式
得
()()()()()()()()111n p x dx
n p x dx c x e
n p x Q x dxe dx c --??
??=-+??????………（1.5），
把
式（ 1.5）
代入式(1.3)
得
()
()()()()()()()()111(1)(1)[1]
n p x dx
n p x dx
n y
n Q x dx n e n p x Q x dxe
dx c ---??=-+--+???,
利用分部积分公式udv uv vdu =-??，令
()u Q x dx
=?，()()1n p x dx
v e
-?=，则伯努利方
程的通解为
()()()()1(1)1(1)n p x dx
n p x dx n
y
n e
Q x e dx c
---??
??=-+?????.[]
6C 为任意常数。
当n>0时，方程还有解y=0.
6 1.3积分因子法
将（1.0）式两端同除以n y 整理为：1(()())0n n p x y Q x dx y dy ---+=………（1.6） 有
()()1,()(),,n
n
M
x y p x y
Q x N x y y
--=
-=．
则：
()
()
(),,1
(
)(1)()
,M
x y N x y n p x N x y y
x
??-
=-??，
只是关于x 的函数，则其积分因子为()u x ，
(1)
()()n p x dx u x e
-?=，
将(1)
()()n p x dx u x e -?=乘以(1.6)式得：
(1)
()(1)()(1)()1()()n p x dx n p x dx n p x dx n n Q x e
dx y e dy y p x e dx
-----???=+…………（1.7）
对（1.7）式右边进行凑微分得： ()()()()()111(1)n p x dx
n p x dx
n
n Q x e
dx dy e
---??-=
两边同时积分得：
()()()()()()11111n p x dx
n p x dx
n
n Q x e
dx c y
e
---??-+=?，
整理得：
()
()()()()()1111(
1)
n p x dx n p x dx
n
y
e
n Q x e
dx c ----??=-+?
令c=1c /(1-n)
从而伯努利方程的通解为：
(1)
()(1)()1(1)[()]n p x dx n p x dx n y n e
Q x e dx c ---??=-+?
．[]7C 为任意常数
7 1.4解法举例
利用上面各种求解方法求解方程
的通解
解：现将方程变为标准型的伯努利方程，即………①
解法一（变量代换、常数变易法）：在①两边同除以
得：
令，则
由的通解经
常数
变易
得的通解为
(C 为任意常数)
解法二（函数变换法）：令y=u(x)v(x)为①式的通解
由上述讲解知：,
令c=-c 1，则
(C 为任意常数)
解法三（求导法）：
8
令
由上述讲解知：
(C 为任意常数)
方法四（恰当导数法）：
令
由上述讲解知：
令c=-c ，则
(C 为任意常数)
方法五（直接常数变易法）：
（一）、对①式的其次方程的通解进行常数变易，从而得①
式的通解
的通解为
经常数变易后设为①
式的通解
9
，即
(C 为任意常数)
（二）、先求的通解，然后再利用常数变易法求①式的通解
由上述讲解知： (C 为任意常数)
六（积分因子法）：
化简题目中的方程为：………②
∴
,
∴
∴
②式的积分因子为
10
为全微分方程
(C 为任意常数)
注：从以上解法中可以看出：总体上运用了三种方法，即变量代换法、常数变易法、积分因子法。变量代换法的解题思路是将一阶非线性微分方程化为一阶线性非齐次方程或变量可分离方程。常数变易法的解题思路是将一阶非线性微分方程所对应的齐次方程的通解中的常数变成关于x 的函数，再代回原方程得一变量可分离方程。积分因子法的关键就是找到积分因子，将伯努利方程凑成全微分方程。例题中的六种解法，最容易先想到的就是一般解法和常数变易法，一般解法计算过程稍微有点复杂，常数变易法则相对简单一些。而恰当导数法计算过程复杂且不易想到。函数变换法、求导法应用技巧，计算过程稍
微简单些。积分因子法使用巧妙，其计算过程简洁，方法简单。
2.伯努利方程的应用
2.1在一阶微分方程中的应用
2.1.1在形如()
()
()()()y x y x n
y y p x y dy q x y dy '?()=?()+?()??
（()0
y x y dy ?()?
存
在且不为零）方程中的应用
令()y x Φ()=()0
y x y dy ?()?
，有
()()d y x y y x dx
Φ()
'=?()，
则原方程化为：
11 ()()()()[()]
n
d y x p x y x q x y x dx
Φ()
=Φ()+Φ()．
此方程为伯努利方程，可求得1(())n y x -Φ． 故原方程的通解为：
(1)
()(1)()1(())(1)[()]n p x dx n p x dx n
y x n e
q x e dx c ---??Φ
=-+?
．
例1：2422yy xy xy '=+． 解：令2x y Φ()=，则2d x yy dx
Φ()'=．
代入原方程得：
2
2[]
d x x x x x dx
Φ()=Φ()+Φ()，
解得：
2
12()2x
x ce
--1
Φ=-，
则原方程的通解为：
2
12
2()2x
y x ce
--=-．
2.1.2在形如1[()()]()()y
y
y
y
f x h y
g yx
h x
x
x
x
αα-'+=+方程中的应用
令y
xu
=代入上方程中，然后整理把u 取作自变量．
则得到一个伯努利方程：
1
[()()]()()dx g u uf u xf u x
h u du
α+-=+ （2.1）
求得（2.1）的通解为：
()
()
()()()()1
()
()()()
f u du
f u
g u uf u du
g u uf u e
h u x
du c e
g u uf u α
α
α
α
----??=-
+-?
,
然后将u 换成
y x
得到原方程的通解.
例2：2(4)22x xy y y x xy '+=++. 解：方程中22,()4,()2,(
)y
y
y y y f g h x
x
x x x
α===
+=
．
12 设y u x
=
得：
3
(22)
4dx u x x u du
-=+，
把u 取作自变量，解这个伯努利方程得：
2
344
11()(1)34
x
u u c u ---=-+-， 将u 换成
y x
得原方程的通解为：
2
344
11[()()](1)34y y y x
c x x x
---=-+-．
2.1.3在黎卡提方程中的应用 黎卡提方程：2
()()()
dy p x y Q x y R x dx
=++，其中(),(),()p x Q x R x 都是连续函
数。
如果已知黎卡提方程的一个特解为：1()y y x =， 作变量替换1()()()y x z x y x =+， 则
1dy dy dz dx
dx
dx
=+
，
代入原方程得：
2
111()()()()()dy dz p x z y Q x z y R x dx dx
+=++++
=22111()[2()()]()()()p x z p x y Q x z p x y Q x y R x +++++. 由于1()y y x =是原方程的特解，因而满足:
2
111()()()
dy p x y Q x y R x dx
=++，
所以
2
1[2()()]()dz p x y Q x z p x z
dx
=++．
容易知道这是一个关于z 的伯努利方程且2n =，则由伯努利方程通解：
(1)
()(1)()1(1)[()]n p x dx n p x dx n
y
n e
Q x e dx c ---??=-+?
，
13 可求得：
1
z
-1[2()()](2()())[()]p x y Q x dx p x Q x dx
e p x e dx c -++??=-+?，
即：
1(2()())(2()())11[()]()()
p x y Q x dx p x Q x dx
e p x e dx c y x y x -++??=-+-?，
从而原方程的通解为：
1[2()()](2()())1
1()()[()]p x y Q x dx
p x Q x dx
y x y x e p x e dx c ++-?
?
=-+?．
（其中c 是常数） 例3：223y xy xy x '=+-．
解：易知原方程的一个特解为11y =， 作变量代换()1y z x =+， 有
1dy dz d dx
dx dx
=+代入原方程得：
(()1)2(()1)3dy x z x x z x x dx
=+++-，
整理得：
2
4dz xz xz dx
=+为伯努利方程，
解得：
2
1
214
x
z
ce
--=--
．
又由()1y z x =+得原方程的通解为：
2
2111
4
x
ce
y -=--
-．[6]
3．总结
文中所给解法对一般伯努利方程都行得通。在使用变量代换法时，可根据实际采用合适的变量替换。由于常数变易法我们在初学伯努利方程时就已经熟
14 练掌握如何用常数变易法解一阶线性非齐次方程，从而用常数变易法解伯努利方程也就比较容易。对于积分因子法，它对伯努利方程来说是一种独特的方法，具有较好的实际应用价值。总之，在求解方程时，可采用简单的解法或你熟练掌握的解法。关于应用方面，本文只是给出了在一些微分方程中的应用，但在实际生活中，伯努利方程或许还有更多的应用，这有待于我们进一步去探讨。
参考文献
[1] 王克，潘家齐.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2005：27. [2] 常季芳，李高．关于伯努利方程的几种新解法[J]．雁北师范学院学报：2007，
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[3] 李宏飞．一阶非齐次线性微分方程的齐次解法[J]．榆林高专：1997，8（2）：
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[4] 张志典．用常数变易法求一阶非线性微分方程的解[J]．焦作大学学报：
1996，7（2）：24-25．
[5] 胡劲松，郑克龙．用“积分因子法”求解Bernoulli 方程[J]．四川理工学
院学报：2005，18（3）：86-87．
[6] 张玉平．用变量替换求解几类常见的一阶线性微分方程[J]．企业家天地（理
论版）：2010，129（4）：199．
[7] 邹明辉，刘会民．二阶变系数线性齐次方程的三个可积充分条件[J]．鞍山
师范学院学报：2004，6（4）：4-5．
[8] 胡爱莲．一类三阶非线性微分方程的可积条件[J]．喀什师范学院学报：
2005，26（6）：8-10．
致谢
“不积跬步无以至千里”，这次毕业论文能够最终顺利完成，归功于指导老师胡爱莲老师认真负责，使我能够很好的掌握专业知识，并在毕业论文中得以体现。也正是您长期不懈的支持和帮助才使得我的毕业论文最终顺利完成。
最后，我向喀什师范学院数学系全体老师们表示衷心感谢：谢谢你们，谢谢你们四年的辛勤栽培！
江倩
2011年5月14日
15
目 录 中文摘要 .......................................... 错误！未定义书签。 ABSTRACT .......................................... 错误！未定义书签。 引言 ............................................................... 1 1.伯努利方程的解法 ................................................. 1 1.1变量代换法 .................................................... 1 1.1.1一般解法 .................................................. 1 1.1.2函数变换法 ................................................ 2 1.1.3 求导法 .................................................... 3 1.1.4恰当导数法 ................................................ 3 1.2常数变易法 .................................................... 4 1.3积分因子法 .................................................... 6 1.4解法举例 ...................................................... 7 2.伯努利方程的应用 ................................................ 10 2.1在一阶微分方程中的应用 ....................................... 10 2.1.1在形如()() ()()()y x y x n y y p x y dy q x y dy '?()=?()+?()? ? （() y x y dy ?()?存在 且不为零）方程中的应用 (10) 2.1.2在形如1[()()]()()y y y y f x h y g yx h x x x x αα-'+=+方程中的应用 (11) 2.1.3在黎卡提方程中的应用 (12) 3．总结 ........................................................... 13 参考文献 .......................................................... 14 致谢 .............................................. 错误！未定义书签。
xx方程原理以及在实际生活中的运用 67陈高威在我们传输原理学习当中有很多我们实际生活中运用到的原理，其中伯努利方程是一个比较重要的方程。在我们实际生活中有着非常重要广泛的作用，下面就伯努利方程的原理以及其运用进行讨论下。 xx方程 p+ρρv 2=c式中p、ρ、v分别为流体的压强，密度和速度；h为铅垂高度；g 为重力加速度；c为常量。它实际上流体运动中的功能关系式，即单位体积流体的机械能的增量等于压力差说做的功。伯努利方程的常量，对于不同的流管，其值不一定相同。 相关应用 （1）等高流管中的流速与压强的关系 根据xx方程在水平流管中有 ρv 2=常量故流速v大的地方压强p就小，反之流速小的地方压强大。在粗细不均匀的水平流管中，根据连续性方程，管细处流速大，所以管细处压强小，管粗处压强大，从动力学角度分析，当流体沿水平管道运动时，其从管粗处流向管细处将加速，使质元加速的作用力来源于压力差。下面就是一些实例 伯努利方程揭示流体在重力场中流动时的能量守恒。由伯努利方程可以看出，流速高处压力低，流速低处压力高。三、伯努利方程的应用： 1.飞机为什么能够飞上天?因为机翼受到向上的升力。飞机飞行时机翼周围空气的流线分布是指机翼横截面的形状上下不对称,机翼上方的流线密,流速大,下方的流线疏,流速小。由伯努利方程可知,机翼上方的压强小,下方的压强大。这样就产生了作用在机翼上的方向的升力。 2.喷雾器是利用流速大、压强小的原理制成的。让空气从小孔迅速流出,小孔附近的压强小,容器里液面上的空气压强大,液体就沿小孔下边的细管升上来,从细管的上口流出后,空气流的冲击,被喷成雾状。
3.汽油发动机的汽化器,与喷雾器的原理相同。汽化器是向汽缸里供给燃料与空气的混合物的装置,构造原理是指当汽缸里的活塞做吸气冲程时,空气被吸入管内,在流经管的狭窄部分时流速大，压强小，汽油就从安装在狭窄部分的喷嘴流出，被喷成雾状，形成油气混合物进入汽缸。 4.球类比赛中的“旋转球”具有很大的威力。旋转球和不转球的飞行轨迹不同，是因为球的周围空气流动情况不同造成的。不转球水平向左运动时周围空气的流线。球的上方和下方流线对称，流速相同，上下不产生压强差。现在考虑球的旋转，转动轴通过球心且垂直于纸面，球逆时针旋转。球旋转时会带动周围得空气跟着它一起旋转，至使球的下方空气的流速增大，上方的流速减小，球下方的流速大，压强小，上方的流速小，压强大。跟不转球相比，旋转球因为旋转而受到向下的力，飞行轨迹要向下弯曲。
伯努利方程 流体宏观运动机械能守恒原理的数学表达式。1738年瑞士数学家D.伯努利在《水动力学──关于流体中力和运动的说明》中提出了这一方程。它可由理想流体运动方程（即欧拉方程）在定态流动条件下沿流线积分得出；也可由热力学第一定律导出。它是一维流动问题中的一个主要关系式，在分析不可压缩流体的定态流动时十分重要，常用于确定流动过程中速度和压力之间的相互关系。 方程的形式 对于不可压缩的理想流体，密度不随压力而变化，可得： Zg+2 2 u P +ρ＝常数 式中Z 为距离基准面的高度;P 为静压力;u 为流体速度;ρ为流体密度;g 为重力加速度。方程中的每一项均为单位质量流体所具有的机械能，其单位为N ·m/kg ，式中左侧三项，依次称为位能项、静压能项和动能项。方程表明三种能量可以相互转换，但总和不变。当流体在水平管道中流动时Z 不变，上式可简化为： ρ P u +22＝常数 此式表述了流速与压力之间的关系:流速大处压力小,流速小处压力大。 对于单位重量流体,取管道的1、2两截面为基准,则方程的形式成为： g u g P Z g u g P Z 2222 2 22111++=++ρρ 式中每一项均为单位重量流体的能量，具有长度的因次，三项依次称为位头、静压头和动压头（速 度头）。 对于可压缩理想流体，密度随压力而变化。若这一变化是可逆等温过程，则方程可写成下式： 121 12 22211ln 22P P P u gZ u gZ ρ++=+ 若为可逆绝热过程，方程可写为： 121 1222211ln 22P P P u gZ u gZ ρ++=+ 式中γ为定压比热容Cp 和定容比热容Cv 之比，即比热容比，也称为绝热指数。 对于粘性流体，流动截面上存在着速度分布，如用平均流速u 表达动能项，应对其乘以动能校正系数d ο。此外,还需考虑因粘性引起的流动阻力,即造成单位质量流体的机械能损失h f ， 若在流体流动过程中，单位质量流体又接受了流体输送机械所做的功W ，在这些条件下,若取处于均匀流段的两截面1和2为基准，则方程可扩充为： α值可由速度分布计算而得, 流体在圆管内作层流流动时α=2；作湍流流动时，α≈1.06。 方程的应用 伯努利方程阐明的位能、动能、静压能相互转换的原理，可用来分析计算一些实际问题，例如： ①计算流体从小孔流出的流速 设在容器中盛有液体，液面维持不变,距液面下h 处的容器壁面上开有一小孔，液体在重力作用下自小孔流出。据伯努利方程可以计算出液体由小孔流出时的平均流速为： gh Cd u 2= 式中C d 为孔流系数，其值由实验确定，约为0.61～0.62；g 为重力加速度。由上述速度及已知的小孔面积,可算出通过小孔的流量；或由这一关系，计算确定达到一定流量所必须维持的液面
第一章 流体流动 【例1-1】 已知硫酸与水的密度分别为1830kg/m 3与998kg/m 3，试求含硫酸为60%（质量）的硫酸水溶液的密度为若干。 解：根据式1-4 9984.018306.01+= m ρ =（3.28+4.01）10-4=7.29×10-4 ρm =1372kg/m 3 【例1-2】 已知干空气的组成为：O 221%、N 278%和Ar1%（均为体积%），试求干空气在压力为9.81×104Pa 及温度为100℃时的密度。 解：首先将摄氏度换算成开尔文 100℃=273+100=373K 再求干空气的平均摩尔质量 M m =32×0.21+28×0.78+39.9×0.01 =28.96kg/m 3 根据式1-3a 气体的平均密度为： 3k g /m 916.0373314.896.281081.9=???=m ρ 【例1-3 】 本题附图所示的开口容器内盛有油和水。油层高度h 1=0.7m 、密度ρ1=800kg/m 3，水层高度h 2=0.6m 、密度ρ2=1000kg/m 3。 （1）判断下列两关系是否成立，即 p A =p'A p B =p'B （2）计算水在玻璃管内的高度h 。 解：（1）判断题给两关系式是否成立 p A =p'A 的关系成立。因A 与A '两点在静止的连通着的同一流体内，并在同一水平面上。所以截面A-A'称为等压面。 p B =p'B 的关系不能成立。因B 及B '两点虽在静止流体的同一水平面上，但不是连通着的同一种流体，即截面B-B '不是等压面。 （2）计算玻璃管内水的高度h 由上面讨论知，p A =p'A ，而p A =p'A 都可以用流体静力学基本方程式计算，即 p A =p a +ρ1gh 1+ρ2gh 2 p A '=p a +ρ2gh 于是 p a +ρ1gh 1+ρ2gh 2=p a +ρ2gh 简化上式并将已知值代入，得 800×0.7+1000×0.6=1000h 解得 h =1.16m 【例1-4】 如本题附图所示，在异径水平管段两截面（1-1'、2-2’）连一倒置U 管压差计，
根据流体运动方程P F dt V d ??+=ρ1 上式两端同时乘以速度矢量 ()V P V F V dt d ???+?=???? ??ρ 1 22 右端第二项展开—— () ()V P V P V F V dt d ???-???+?=???? ? ?ρρ1122 利用广义牛顿粘性假设张量P ，得出单位质量流体微团的动能方程 () E V div p V P div V F V dt d -+?+?=??? ? ?? ρρ1 22 右第三项是膨胀以及收缩在压力作用下引起的能量转化项（膨胀：动能增加<--内能减少） 右第四项是粘性耗散项：动能减少-->内能增加 热流量方程：用能量方程减去动能方程 反映内能变化率的热流量方程 ()() dt dq V P div V F V T c dt d +?+?=+ ρυ12/2 () E V div p V P div V F V dt d -+?+?=???? ? ? ρρ122 得到 ()()E V div p T c dt d dt dq dt dq E V div p T c dt d -+=++-= ρ ρυυ / 对于理想流体，热流量方程简化为： ()V d i v p T c dt d dt dq ρυ+= 这就是通常在大气科学中所用的“热力学第一定律”的形式。 由动能方程推导伯努利方程： 对于理想流体，动能方程简化为：() V div p V P div V F V dt d ρρ+?+?=??? ? ??122无热流量项。 又因为() V pdiv p V z pw y pv x pu V P div -??-=??? ???++-=???????)()()(故最终理想流体的动能方 程可以写成： p V V F V dt d ??-?=???? ? ?ρ 22 【理想流体动能的变化，仅仅是由质量力和压力梯度力对流体微团作功造成的，而与热能不 发生任何转换。】 假设质量力是有势力，且质量力位势为Φ，即满足：Φ-?=F 考虑Φ为一定常场，则有： dt d V V F Φ- =Φ??-=?
山西医科大学晋祠学院 教案 （理论教学用） 单位：山西医科大学晋祠学院 教研室：基础医学部 任课教师姓名：王莉 课程名称：医用物理 授课时间：
（理论教学用）
第二章第二节伯努利方程 本节教材分析： 由于流体广泛存在于自然界，尤其是人体各种循环系统与呼吸等生理过程之中，故掌握流体力学基础知识非常必要。而对于一些生活现象的解释，伯努利方程是相当重要的．本节主要讲述了理想流体，理想流体的定常流动，然后结合功和能的关系推导出伯努利方程，最后运用伯努利方程来解释有关现象． 学习目标完成过程： 导入新课： 听到看到这个题目，那伯努利又是谁呢？（可多媒体展示）伯努利个人简介：（Daniel Bernouli,1700～1782）瑞士物理学家、数学家、医学家。他是伯努利这个数学家族（4代10人）中最杰出的代表，16岁时就在巴塞尔大学攻读哲学与逻辑，后获得哲学硕士学位，17～20岁又学习医学，并于1721年获医学硕士学位，成为外科名医并担任过解剖学教授。但在父兄熏陶下最后仍转到数理科学。伯努利成功的领域很广，除流体动力学这一主要领域外，还有天文测量、引力、行星的不规则轨道、磁学、海洋、潮汐等等。 伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体作稳定流动时的基本方程，对于确定流体内部各处的压力和流速有很大的实际意义、在水利、造船、航空，人体生理过程中等等都有着广泛的应用。 这就是我们为什么要学习伯努利方程？ 展示生活中常见的实例（可以用多媒体展示） 1.在海洋中平行逆向航行的两艘大轮船，相互不能靠得太近，否则就会有相撞的危险，为什么？ 2.逆流航行的船只行到水流很急的岸边时，会自动地向岸靠拢； 3.汽车驶过时，路旁的纸屑常被吸向汽车； 4.打开的门窗，有风吹过，门窗会自动的闭合，然后又张开； 5.简单的实验：用两张窄长的纸条，相互靠近，用嘴从两纸条中间吹气，会发现二纸条不是被吹开而是相互靠拢，就是“速大压小”的道理。 导入：为什么会出现与我们想象不同的现象，这种现象又如何解释呢?本节课我们就来学习这个问题． 在上本节课之前要对之前的知识进行回顾 一、1、定常流动 (1)用多媒体展示一段河床比较平缓的河水的流动． (2)学生观察，教师讲解． 通过画面，我们可以看到河水平静地流着，过一会儿再看，河水还是那样平静地流着，各处的流速没有什么变化，河水不断地流走，可是这段河水的流动状态没有改变，河水的这种流动就是定常流动． (3)学生叙述什么是定常流动 流体质点经过空间各点的流速虽然可以不同，但如果空间每一点的流速不随时间而改变,这样的流动就叫定常流动．
公式及意义 由于气流的密度同外部空气的密度是相同的数量级，在用相对压强进行计算时，需要考虑外部大气压在不同高度的差值。下面为气流伯努利方程： 气流的密度为ρ，外部空气的密度为ρa，p1、p2为1-1、2-1断面上的静压，ρυ1^2/2、ρυ2^2/2是动压， （ρa-ρ）g是单位体积气体所受的有效浮力，（z2-z1）是气体沿浮力方向升高的距离，（ρa-ρ）g（z2-z1）是1-1断面相对于2-2断面单位体积气体的位能（称为位压），pw是压强损失。 当气流的密度与外界空气的密度相同时或两计算点的高度相同时，上式可以简化为：其中静压和动压之和称为总压。 当气流的密度远大于外界空气的密度时，此时相当于液体总流前一式中的ρa可忽略不计，认为各点的当地大气压相同，可以简化为： 注意事项 （1）动能修正系数 动能修正系数α为实际动能与按平均速度计算的动能的比值，α值反映了断面速度分布的不均匀程度。由于气体的动力黏度值较小，过流断面速度梯度小，实际的气流运动的速度分布比较均匀，接近于断面平均流速。所以，气体运动中的动能修正系数常常取1.0。 （2）气流能量方程应采用压强量纲 能量方程用于液体时，因液体中水头概念很直观具体，采用长度量纲很方便。但是气体流动则不同，由于气体重度γ很小，压强一般比较大，水头概念不明确。所以一般采用压强量纲。 （3）气流能量方程应采用绝对压强 其原因是：方程中两个过流断面之间的高差比较大时，由于不同高度大气压强不同，而导致两断面相对压强的起算基准不同。因此，将总流能量方程的两端，直接代入该断面处得相对压强值进行计算，必定会产生误差。 有能量输入或输出的伯努利方程 总流伯努利方程是在两过流断面间除水头损失之外，再无能量输入或输出的条件下导出的。当两过流断面间有水泵、风机或水轮机等流体机械时，则存在机械能的输入或输出。在这种情况下，根据能量守恒原理，计入单位重量流体流经流体机械获得或失去的机械能Hm，总流能量方程便扩展为有能量输入或输出的伯努利方程: 两断面间有分流或汇流的伯努利方程 恒定总流的伯努利方程是在两过流断面间无分流或汇流的条件下导出的，而实际的输水、供气管道，沿程大多都有分流或汇流。在这种情况下应用上下游断面之间全部重量流体的能量守恒原理写出能量方程。 非恒定总流伯努利方程 以上的总流的伯努利方程都是恒定总流，下面补充非恒定总流的伯努利方程。
本科毕业论文 题目：浅谈伯努利方程的几种解法与应用 学院：数学与计算机科学学院 班级：数学与应用数学2011级专升本班 姓名：张丽传 指导教师：王通职称：副教授 完成日期： 2013 年 5 月25 日
浅谈伯努利方程的几种解法与应用 摘要: 本文在研究已经公认的多种伯努利方程解法的前提下,把这些方法进行整合.首先,将各种解法进行分析归类,并总结出几种常见的求解伯努利方程的方法;其次,比较各种解法的优缺点;再次,利用一题多解来巩固文中所介绍的各种解法;最后,略谈伯努利方程在求解里卡蒂方程中的重要应用. 关键词: 伯努利方程;变量代换法;常数变易法;积分因子法
目 录 引言 ....................................................................................................................................... 1 1 伯努利方程的解法 ........................................................................................................... 1 1.1 代换法 ....................................................................................................................... 1 1.1.1 变量代换法、常数变易法的混合运用 ........................................................... 1 1.1.2 函数代换法 ....................................................................................................... 2 1.1.3 求导法 ............................................................................................................... 3 1.1.4 恰当导数法 ....................................................................................................... 3 1.2 直接常数变易法 . (4) 1.2.1 对0)(=+y x P dx dy 的通解中c 的常数进行常数变易 .................................... 4 1.2.2 对n y x Q dx dy )(=通解中的常数c 进行常数变易 ............................................ 4 1.3 积分因子法 ............................................................................................................... 5 1.4 各种方法的比较 ....................................................................................................... 6 1.5 解法举例 ................................................................................................................... 6 2 伯努利方程在里卡蒂方程中的应用 ............................................................................. 10 3 总结 ................................................................................................................................. 11 参考文献 .. (12)
伯努利方程的原理及其应用 摘要：伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体做稳定流动时的基本方程，是流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。伯努利方程对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。 关键词：伯努利方程发展和原理应用 1.伯努利方程的发展及其原理： 伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体做稳定流动时的基本方程，流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。伯努利方程的原理，要用到无黏性流体的运动微分方程。 无黏性流体的运动微分方程： 无黏性元流的伯努利方程： 实际恒定总流的伯努利方程： z1++=z2+++h w
总流伯努利方程的物理意义和几何意义： Z----总流过流断面上某点（所取计算点）单位重量流体的位能，位置高度或高度水头； ----总流过流断面上某点（所取计算点）单位重量流体的压能，测压管高度或压强水头； ----总流过流断面上单位重量流体的平均动能，平均流速高度或速度水头； hw----总流两端面间单位重量流体平均的机械能损失。 总流伯努利方程的应用条件：（1）恒定流；（2）不可压缩流体；（3）质量力只有重力；（4）所选取的两过水断面必须是渐变流断面，但两过水断面间可以是急变流。（5）总流的流量沿程不变。（6）两过水断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。（7）式中各项均为单位重流体的平均能（比能），对流体总重的能量方程应各项乘以ρgQ。 2.伯努利方程的应用: 伯努利方程在工程中的应用极其广泛，下面介绍几个典型的例子：
气体的流速计算伯努利方 程 Revised by Hanlin on 10 January 2021
公式及意义 由于气流的密度同外部空气的密度是相同的数量级，在用相对压强进行计算时，需要考虑外部大气压在不同高度的差值。下面为气流伯努利方程： 气流的密度为ρ，外部空气的密度为ρa，p1、p2为1-1、2-1断面上的静压， ρυ1^2/2、ρυ2^2/2是动压， （ρa-ρ）g是单位体积气体所受的有效浮力，（z2-z1）是气体沿浮力方向升高的距离，（ρa-ρ）g（z2-z1）是1-1断面相对于2-2断面单位体积气体的位能（称为位压），pw是压强损失。 当气流的密度与外界空气的密度相同时或两计算点的高度相同时，上式可以简化为： 其中静压和动压之和称为总压。 当气流的密度远大于外界空气的密度时，此时相当于液体总流前一式中的ρa可忽略不计，认为各点的当地大气压相同，可以简化为： 注意事项 （1）动能修正系数 动能修正系数α为实际动能与按平均速度计算的动能的比值，α值反映了断面速度分布的不均匀程度。由于气体的动力黏度值较小，过流断面速度梯度小，实际的气流运动的速度分布比较均匀，接近于断面平均流速。所以，气体运动中的动能修正系数常常取1.0。 （2）气流能量方程应采用压强量纲
能量方程用于液体时，因液体中水头概念很直观具体，采用长度量纲很方便。但是气体流动则不同，由于气体重度γ很小，压强一般比较大，水头概念不明确。所以一般采用压强量纲。 （3）气流能量方程应采用绝对压强 其原因是：方程中两个过流断面之间的高差比较大时，由于不同高度大气压强不同，而导致两断面相对压强的起算基准不同。因此，将总流能量方程的两端，直接代入该断面处得相对压强值进行计算，必定会产生误差。 有能量输入或输出的伯努利方程 总流伯努利方程是在两过流断面间除水头损失之外，再无能量输入或输出的条件下导出的。当两过流断面间有水泵、风机或水轮机等流体机械时，则存在机械能的输入或输出。在这种情况下，根据能量守恒原理，计入单位重量流体流经流体机械获得或失去的机械能Hm，总流能量方程便扩展为有能量输入或输出的伯努利方程: 两断面间有分流或汇流的伯努利方程 恒定总流的伯努利方程是在两过流断面间无分流或汇流的条件下导出的，而实际的输水、供气管道，沿程大多都有分流或汇流。在这种情况下应用上下游断面之间全部重量流体的能量守恒原理写出能量方程。 非恒定总流伯努利方程 以上的总流的伯努利方程都是恒定总流，下面补充非恒定总流的伯努利方程。 hw为非恒定总流的水头损失，hi是单位重量流体的惯性水头。
伯努利原理讲解 对我们搞流体机械的很重要，此文好懂又有趣！
光德流控
伯努利（Daniel Bernouli,1700～1782） 伯努利，瑞士物理学家、数学家、医学家。 他是伯努利这个数学家族（4 代 10 人）中最杰出的代表， 16 岁时就在巴塞尔大学攻读哲学与逻辑，后获得哲学硕士学位， 17～20 岁又学习医学，于 1721 年获医学硕士学位，成为外科名 医并担任过解剖学教授。但在父兄熏陶下最后仍转到数理科学。
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伯努利成功的领域很广，除流体动力学这一主要领域外，还 有天文测量、引力、行星的不规则轨道、磁学、海洋、潮汐等。
实例篇——伯努利原理 丹尼尔·伯努利在 1726 年首先提出：“在水流或气流里， 如 果 速 度 小 ，压 强 就 大 ；如 果 速 度 大 ，压 强 就 小 ” 。我 们 称 之 为 “伯努利原理”。 我们拿着两张纸，往两张纸中间吹气，会发现纸不但不会向 外飘去，反而会被一种力挤压在了一起。因为两张纸中间的空气 被我们吹得流动的速度快，压力就小，而两张纸外面的空气没有 流动，压力就大，所以外面力量大的空气就把两张纸“压”在了 一起。 这就是“伯努利原理”原理的简单示范。
1 列车(地铁)站台的安全线 在列车（地铁）站台上都划有黄色安全线。
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这是因为列车高速驶来时，靠近列车车厢的空气被带动而快 速运动起来，压强就减小，站台上的旅客若离列车过近，旅客身 体前后会出现明显的压强差，身体后面较大的压力将把旅客推向 列车而受到伤害。
所以，在火车（或者是大货车、大巴士）飞速而来时，你绝 对不可以站在离路轨（道路）很近的地方，因为疾驶而过的火车 （汽车）对站在它旁边的人有一股很大的吸引力。
有人测定过，在火车以每小时 50 公里的速度前进时，竟有 8 公斤左右的力从身后把人推向火车。
看懂“伯努利”原理后，等地铁再也不敢跨过那条黄线了吧 （分享给身边的人哦~~）
2 船吸现象
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伯努利方程的应用 学号：PB05000606 姓名：赵志飞 在我们学习流体力学是我们提到一个非常重要的方程，他就是伯努利方程。伯努利方程在许多方面有着非常广泛的应用，现在我们就其中的某些方面做一些粗浅的介绍。 伯努利方程 常量=++p gz v ρρ221 左式称为伯努利方程，由瑞士科学家伯努利（D.Bernoulli,1700-1782）于1738年首先导出。它实际上是流体运动中的功能关系式，即单位体积流体的机械能的增量等于压力差所做的功。必须指出，伯努利方程右边的常量，对于不同的流管，其值不一定相同。 相关应用 （1） 等高流管中流速与压强的关系 根据伯努利方程在水平流管中有 常量=+p v 22 1ρ 故流速v 大的地方压强p 小，反之，流速小的地方压强大。在粗细不均匀的水平流管中，根据连续性方程，管细处流速大，管粗处流速小，所以管细处压强小，管粗处压强大。从动力学角度分析，当流体沿水平管道运动时，其质元从管粗处流向管细处将加速，使质元加速的作用力来源于压强差。水流抽气机和喷雾器就是基于这一原理制
成的。下面是一些实例： 水翼艇 水翼艇是一种在艇体装有水翼的高速舰艇．在通常情况下水翼艇能以93千米／小时的速度持续航行，最高航速可达110千米／小时．水翼艇之所以速度么快，关键是能在水上飞行．它的飞行，全靠它那副特有的水翼． 水翼的上下表面水流速不同，这就在水翼的表面造成了上下的压强差，于是在水翼上就产生了一个向上的举力．当水翼艇开足马力到达一定的速度时，水翼产生的举力开始大于艇体的重力，把艇体托出水面，使艇体与水面保持一定的距离，减小了舰艇在水中的航行阻力． 水流抽气机 典型的水流抽气机的外观．
一、教学目标 1、知道什么是理想流体，知道什么是流体的定常流动。 2、知道伯努利方程，知道它是怎样推导出来的，会用它解释一些现象。 3、通过在流体力学中应用功和能的关系推导伯努利方程，培养学生使用能量守恒思想的意识和思路。 4、通过对实例的定性分析，培养学生对实际问题的建立模型和分析推力能力，学以致用。并在使用中体会物理规律在实际生活中的意义。 二、教学建议 1、教材分析：本节内容从建立流体的理想模型——理想流体开始，简单介绍了流体的特点及流体的定常流动方式。重点依据功能关系推导了理想流体作定常流动时，流体中压强和流速的规律——伯努利方程。并使用伯努利方程对大量生活实例进行了定性分析。 2、教法建议：本节主要是初步介绍了流体动力学的点滴知识，且作为选学内容，主要是开阔视野，培养知识、方法迁移能力，为学有余力的同学自我加深准备的。所以在教学中要以基本概念建立、基本思路迁移、基本分析方法使用为重点，不要在知识深度上过于下功夫。建议在学生有引导的自学的基础之上，讨论归纳，以便突出上述重点，遗留问题，供有兴趣的学生进一步学习。 三、教学设计示例 教学重点：如何利用功能关系推导伯努利方程；如何利用该方程解释实际问题。 教学难点：如何利用功能关系推导伯努利方程；如何利用该方程解释实际问题。 示例： （一）课前预习提纲 1、流体主要有哪些特点？什么是理想流体？ 2、什么是定常流动？什么是流线？如何用流线形象的表示流体的流动？ 3、仔细阅读书p152伯努利方程的推导过程，并思考下列问题：（1）伯努利方程表述的是什么规律? (2)对于推导过程中所选取的研究对象，是谁对它作了功，为什么？研究对象的机械能如何变化了，为什么？能否口述之。（3）你认为推导过程中最重要的是什么？难点是什么？ 4、自己做书p151的小实验，认真阅读书p154的应用举例，归纳思路，并试做书p155的练习七。 （二）课上 带领学生通过讨论预习提纲建立概念、思路，解决疑难。要让学生充分发言。 预习题简答：（仅供参考） 1、答：实际流体具有可压缩性和粘滞性。但因一般液体的可压缩量很小，可以不予考虑；而气体的压缩性虽然较强，但若流动的气体中各处的密度不随时间发生明显的变化时，也可以不考虑其压缩性。另外，在某些问题中，若流体的流动形式主要的，而粘滞性是次要的，则可认为该流体没有粘滞性。不可压缩的、没有粘滞性的流体就是理想流体。理想流体实际上是一个理想的物理模型。 2、答：流体质点经过空间各点的流速虽然可以不同，但如果空间每一点的流速不随时间而改变，这样的流动方式称为定常流动，也可称为稳定流动。这也是一种理想化的流动方式。 在定常流动的流体中，假象沿着各液体质点的运动轨迹画出许多曲线，这些线就叫做流线。流线在某一点的切线方向表示该点的流速方向，流线的疏密表示流速的大小，即流线越密，表示流速越大。 3、答：（1）伯努利方程表述的是理想流体作定常流动时，流体中压强和流速的规律。 其规律为：常量。
第八节伯努利方程 ●本节教材分析 本节属于选学内容，但对于一些生活现象的解释，伯努利方程是相当重要的．本节主要讲述了理想流体，理想流体的定常流动，然后结合功和能的关系推导出伯努利方程，最后运用伯努利方程来解释有关现象． ●教学目标 一、知识目标 1知道什么是理想流体，知道什么是流体的定常流动． 2知道伯努利方程，知道它是怎样推导出来的． 二、能力目标 学会用伯努利方程来解释现象． 三、德育目标 通过演示，渗透实践是检验真理的惟一标准的思想. ●教学重点 1.伯努利方程的推导. 2.用伯努利方程来解释现象． ●教学难点 用伯努利方程来解释现象． ●教学方法 实验演示法、归纳法、阅读法、电教法 ●教学用具 投影片、多媒体课件、漏斗、乒乓球、两张纸 ●教学过程 用投影片出示本节课的学习目标： 1.知道什么是理想气体. 2.知道什么是流体的定常流动. 3.知道伯努利方程，知道它是怎样推导出来的，会用它解释一些现象． 学习目标完成过程： 一、导入新课 1.用多媒体介绍实验装置 把一个乒乓球放在倒置的漏斗中间 2.问：如果向漏斗口和两张纸中间吹气，会出现什么现象? 学生猜想： ①乒乓球会被吹跑； ②两张纸会被吹得分开． 3.实际演示： ①把乒乓球放在倒置的漏斗中间，向漏斗口吹气，乒乓球没被吹跑，反而会贴在漏斗上
不掉下来； ②平行地放两张纸，向它们中间吹气，两张纸不但没被吹开，反而会贴近 4.导入：为什么会出现与我们想象不同的现象，这种现象又如何解释呢?本节课我们就来学习这个问题． 二、新课教学 1.理想流体 (1)用投影片出示思考题： ①什么是流体? ②什么是理想流体? ③对于理想流体，在流动过程中，有机械能转化为内能吗? (2)学生阅读课文，并解答思考题： (3)教师总结并板书 ①流体指液体和气体； ②液体和气体在下列情况下可认为是不可压缩的． a:液体不容易被压缩，在不十分精确的研究中可以认为液体是不可压缩的． b:在研究流动的气体时，如果气体的密度没有发生显著的变化，也可以认为气体是不可压缩的． ③a:流体流动时，速度不同的各层流体之间有摩擦力，这叫流体具有粘滞性． b:不同的流体，粘滞性不同． c:对于粘滞性小的流体，有些情况下可以认为流体没有粘滞性． ④不可压缩的，没有粘滞性的流体，称为理想流体．对于理想流体，没有机械能向内能的转化． 2 定常流动 (1)用多媒体展示一段河床比较平缓的河水的流动． (2)学生观察，教师讲解． 通过画面，我们可以看到河水平静地流着，过一会儿再看，河水还是那样平静地流着，各处的流速没有什么变化，河水不断地流走，可是这段河水的流动状态没有改变，河水的这种流动就是定常流动． (3)学生叙述什么是定常流动 流体质点经过空间各点的流速虽然可以不同，但如果空间每一点的流速不随时间而改变,这样的流动就叫定常流动． (4)举例：自来水管中的水流，石油管道中石油的流动，都可以看作定常流动． (5)学生阅读课文，并回答下列思考题： ①流线是为了表示什么而引入的? ②在定常流动中，流线用来表示什么? ③通过流线图如何判断流速的大小? (6)学生答： ①为了形象地描绘流体的流动，引入了流线； ②在定常流动中，流线表示流体质点的运动轨迹； ③流线疏的地方，流速小；流线密的地方，流速大． 3.伯努利方程 (1)设在右图的细管中有理想流体在做定常流动，且流动 方向从左向右，我们在管的a１处和a2处用横截面截出一段流 体，即a1处和a2处之间的流体，作为研究对象．设a1处的横截面积为S1，流速为V1，高度
应用举例⒈ 飞机为什么能够飞上天?因为机翼受到向上的升力。飞机飞行时机翼周围空气的流线分布是指机翼横截面的形状上下不对称,机翼上方的流线密,流速大,下方的流线疏,流速小。由伯努利方程可知,机翼上方的压强小,下方的压强大。这样就产生了作用在机翼上的方向的升力。 应用举例⒉ 喷雾器是利用流速大、压强小的原理制成的。让空气从小孔迅速流出,小孔附近的压强小,容器里液面上的空气压强大,液体就沿小孔下边的细管升上来,从细管的上口流出后,空气流的冲击,被喷成雾状。 应用举例⒊ 汽油发动机的汽化器,与喷雾器的原理相同。汽化器是向汽缸里供给燃料与空气的混合物的装置,构造原理是指当汽缸里的活塞做吸气冲程时,空气被吸入管内,在流经管的狭窄部分时流速大，压强小，汽油就从安装在狭窄部分的喷嘴流出，被喷成雾状，形成油气混合物进入汽缸。 应用举例⒋ 球类比赛中的＂旋转球＂具有很大的威力。旋转球和不转球的飞行轨迹不同，是因为球的周围空气流动情况不同造成的。不转球水平向左运动时周围空气的流线。球的上方和下方流线对称，流速相同，上下不产生压强差。现在考虑球的旋转，转动轴通过球心且垂直于纸面，球逆时针旋转。球旋转时会带动周围得空气跟着它一起旋转，至使球的下方空气的流速增大，上方的流速减小，球下方的流速大，压强小，上方的流速小，压强大。跟不转球相比，旋转球因为旋转而受到向下的力，飞行轨迹要向下弯曲。 应用举例⒌ 表示乒乓球的上旋球，转动轴垂直于球飞行的方向且与台面平行，球向逆时针方向旋转。在相同的条件下，上旋球比不转球的飞行弧度要低下旋球正好相反，球要向反方向旋转，受到向上的力，比不转球的飞行弧度要高。 应用举例6. 环保空调就是这个原理，一面进风，一面进水，来保持室内的温度的，环保空调又叫“水帘空调”. 应用举例7. 列车候车为啥要设定等候限距线？ 列车进站的时候速度很快，车厢附近的空气被带着也会快起来，越靠近车厢的空气流速越快，越远的地方空气流速越慢。还是根据伯努利原理，靠近车厢的地方压力小，远离车厢的地方压力大，二者之间有压力差，因此，在站台上候车，如果你靠轨道太近，就会感觉后面好像有人推你往前，很可能造成事故，其实是因
伯努利方程实验 一、实验目的 1、观察流体流经伯努利方程试验管的能量转化情况，对实验中出现的现象进行分析，加深对伯努利方程的理解； 2、掌握一种测量流体流速的原理； 3、验证静压原理。 二、实验仪器 装置如图1所示 图1 伯努利方程仪 1.水箱及潜水泵 2.上水管 3.溢流管 4.整流栅 5.溢流板 6.定压水箱 7.实验细管 8. 实验粗管 9.测压管10. 调节阀11.接水箱12.量杯13.回水管14.实验桌 三、实验步骤 1、关闭调节阀，打开进水阀门，启动水泵，待定压水箱接近放满时，适度打开调节阀，排净管路和测压管中的空气； 2、关闭调节阀，调节进水阀门，使定压水箱溢流板有一定溢流； 3、测出位置水头，并记录位置水头和试验管测试截面的内径； 4、打开调节阀至一定开度，待液流稳定，且检查定压水箱的水位恒定后，测读伯努利方程试验管四个截面上测压管的液柱高度； 5、改变调节阀的开度，在新工况下重复步骤4； 6、关闭调节阀，测读伯努利方程试验管上各个测压管的液柱高度，记下数据。可以观察到各测压管中的水面与定压水箱的水面相平，以此验证静压原理； 7、实验结束，关闭水泵。 四、数据处理 实验数据填入表1
1、计算出伯努利方程试验管各测试截面的相应能量损失水头和压强水头，填写在表中。 速度水头： 2 2g V =总水头-测压管水头 压强水头：P γ =测压管水头-位置水头 能量损失水头： w h=静水头-总水头 图2 伯努利方程试验管水头线图 五、思考题 1、为什么能量损失是沿着流动的方向增大的？ 2、为什么在实验过程中要保持定压水箱中有溢流？ 3、测压管工作前为什么要排尽管路中的空气？其测量的是绝对压力还是表压力？ 1、沿着流动方向，阻力损失有沿程阻力损失和局部阻力损失，故沿着流动方向能量损失是增大的。 2、当流体高度差为溢流板高度时，水会流到水箱中，溢流板作用是保持水箱中水位恒定，从而保持压力恒定，压力恒定，则流体流进伯努利试验管时未稳定流动。 3如果不排尽气泡会臧成读取压力值不准确，测得压力为表压力。
伯努利方程的推导及其实际应用总结 楼主：西北荒城时间：2015-03-03 14:08:00 点击：1091 回复：0 一，伯努利方程的推导 1726年，荷兰科学家丹尼尔·伯努利提出了描述理想流体在稳流状态下运动规律伯努利原理，并用数学语言将之精确表达出来，即为伯努利方程。伯努利方程是流体力学领域里最重要的方程之一，学习伯努利方程有助于我们更深刻的理解流体的运动规律，并可以利用它对生活中的一些现象作出解释。同时，作为土建专业的学生，我们将来在实际工作中，很可能要与水、油、气等流体物质打交道，因此，学习伯努利方程也有一定的实际意义。作为将近300岁高龄的物理定律，伯努利方程的理论是非常成熟的，因此不大可能在它身上研究出新的成果。在本文中，笔者只是想结合自己的理解，用自己的方式推导出伯努利方程，并应用伯努利方程解释或解决现实生活中的一些问题。 既然要推导伯努利方程，那么就首先要理解一个概念：理想流体。所谓理想流体，是指满足以下两个条件的流体：1，流体内部各部分之间无黏着性。2，流体体积不可压缩。需要指出的是，现实世界中的各种流体，其内部或多或少都存在黏着性，并且所有流体的体积都是可以压缩的，只是压缩的困难程度不同而已。因此，理想流体只是一种理想化的模型，其在现实世界中是不存在的。但为了对问题做简化处理，我们可以讲一些非常接近理想流体性质的流体视为理想流体。 假设有某理想流体在某细管中做稳定流动。如图，在细管中任取一面积为s1的截面，其与地面的相对高度h1,，流体在该截面上的流速为v1，并且该截面上的液压为p1。某一时刻，有流体流经s1截面，并在dt时间内发生位移dx1运动到新截面s2。由于细管中的水是整体移动的，现假设细管高度为h2处有一截面s3，其上流体在相同的时间内同步运动到了截面s4，流速为v2，共发生位移dx2。则有如下三个事实： 1：截面s1、s2之间流体的体积等于截面s3、s4之间流体的体积，即s1dx1=s2dx2 2：截面s1、s3之间流体的体积等于截面s2、s4之间流体的体积（由事实1可以推知） 3：细管中相应液体的机械能发生了变化。 事实1和事实2实际上是质量守恒的体现，事实3则须用能量守恒来解释，即外力对该段流体做功的总和等于该段流体机械能的变化。因截面s2、s3之间流体的运动状态没有变化，故全部流体机械能的变化实质上是截面s1、s2之间