黎卡提方程的简单解法
1黎卡提方程的定义 形如：)()()(2x R y x Q y x P dx
dy ++= ）（1 其中)(x P ，)(x Q ，)(x R 是某区间内的已知函数 2黎卡提方程的解法
一般情况下，没有初等解法
特殊情况下，若已知)(0x y 是方程）
（1的一个解，则用初等积分法求解. 设z y y +=0，则
dx dz dx dy dx dy +=0 所以)())(())((0200x R z y x Q z y x P dx
dz dx dy ++++=+ )()()()()(2)(02020x R z x Q y x Q z x P z y x P y x P +++++= 又因为
)()()(0200x R y x Q y x P dx dy ++= 所以[]20)()()(2z x P z x Q y x P dx
dz ++= ）（2 而方程）
（2形式为伯努利方程，故可解. 3黎卡提方程的几种类型
类型一 形如：)
()()()(2x f x g y x g x f dx dy '-'= 有特解)
()(x f x g y -=，故 设z y y +=0，有
dx dz dx dy dx dy +=0，所以())()()()(200x f x g z y x g x f dx dz dx dy '-+'=+ 又因为)()()()(200x f x g y x g x f dx dy '-'=，所以20)()()()(2z x g x f z y x g x f dx dz '+'=故方程可解. 类型二 形如：)()(2x f y x f y dx
dy '+-= 有特解)(x f y =故
设z y y +=0，有dx dz dx dy dx dy +=0，所以)())(()(0200x f z y x f z y dx
dz dx dy '++-+=+
又因为
)()(0200x f y x f y dx
dy '+-=，所以z x f y z dx dz )(202-+=（故方程可解. 类型三 形如：)112Z n x
n x y y dx dy n n ∈-++=-（ 有特解11--=n x
y 设z y y +=0，有dx dz dx dy dx dy +=0，所以n n x
n x z y z y dx dz dx dy 1)(10
200-++++=+- 又因为n n x n x y y dx dy 110200-++=-，所以z x
y z dx dz n )12102-++=（故方程可解. 类型四 形如：为任意常数）αααα(2x x e y e y dx dy +-= 有特解x e y α=
设z y y +=0，有
dx dz dx dy dx dy +=0，所以x x e z y e z y dx
dz dx dy ααα++-+=+)()(0200 又因为x x e y e y dx dy ααα+-=0200，所以z e z y z dx
dz x )202α-+=（故方程有解. 类型五 形如：x x y y dx dy 1ln 2+-= 有特解x y ln =
设z y y +=0，有
dx dz dx dy dx dy +=0，所以()()x
x z y z y dx dz dx dy 1ln 0200++-+=+ 又因为x x y y dx dy 1ln 0200+-=，所以x z z z y dx
dz dx dy ln 2200-+=+故方程有解. 类型六 形如：x x x y y dx dy cos sin sin 222+-+-= 有特解：x y sin =
设z y y +=0，有dx
dz dx dy dx dy +=0，所以 ()()x x x z y z y dx
dz dx dy cos sin sin 220200+-+++-=+ 又因为x x x y y dx dy cos sin sin 220200+-+-=，所以x z z z y dx
dz sin 2220+--= 故方程有解.
3例题
例1 求方程x x x e ye y e y 2212-=-+'-的解.
解：原式可化为x x x x e e ye e y y 3222-++-='，方程有特解x e y =0 令z e z y y x +=+=0，则z e y x '+='，
故原式为()()
x x x x x x e z e e z e e z e z 23222-=-+++-=' 即
dx e z dz x =-2，两边积分得c e z x +=1即c
e z x +=1 所以方程的解为c e e y x x ++=1. 例2 求方程x x x y y y 22sin cos sin 2-=-+'的解.
解：原式可化为x x x y y y 22sin cos sin 2-++-='，方程有特解x y sin 0= 令z x z y y +=+=sin 0，则z x y '+='cos
故原式为()()222
sin sin sin 2sin z x x z x z x z -=-+++-=' 两边积分得
c x z +=1，即c
x z +=1 所以方程的解为c x x y ++=1sin . 例3 求方程1222++='xy y x y x 的解. 解：原式可化为2211x y x y y ++
='，方程有特解x
y 10-= 令z x z y y +-=+=10，则z x y '+='21 故原式为x z z z x x z x z -=??
? ??+-+??? ??+-='22111 利用伯努利方程的解法可变为()111-=-'--x z z ，两边积分得()x c x z ln 1-= 即()x c x z ln 1-=，所以方程的解为()x c x x y ln 11-+-=. 例4 求方程()1422=-'y y x 的解
解：原式可化为2241x y y +
='，方程有特解x
y 210-= 令z x z y y +-=+=210，则z x y '+='221
故原式为2224121z x z x
z x z +-=-??? ??+-=' 利用伯努利方程的解法可变为()111-=-'--x z z ，两边积分得()x c x z ln 1-= 即()x c x z ln 1-=，所以方程的解为()x c x x y ln 121-+-=. 例5 求方程()222=+'y y x 的解
解：原式可化为2
22x y y +-='，方程有特解x y 10-= 令z x z y y +-=+=10，则z x
y '+='21 故原式为222211z x z x
z x z -=+??? ??+--=' 利用伯努利方程的解法可变为()1211=+'--x
z z ，两边积分得??? ??+=323111x c x z 即3231x c x z +=，所以方程的解为c x c x x x c x x y +-=++-=3332213
11. 例6 求方程()022
2=-+'xy y x 的解 解：方程有特解x y 10=
，令z x z y y +=+=10，则z x y '+-='21 故原式为0211222=???
? ??-??? ??++??? ??'+-z x x z x x 即22z x z z -=' 利用伯努利方程的解法可变为()1211=+'--x
z z ，两边积分得??? ??+=323111x c x z 即3231x c x z +=，所以方程的解为c x c x x x c x x y ++=++=3332413
11. 例7 求方程()()x y x y x y +-+-='2112的解
解：方程有特解10=y ，令z z y y +=+=10，则z y '='
故原式为()()()()()z z x x z x z x z --=++-++-='22
112111 利用伯努利方程的解法可变为()()111--=-'--x z z ，两边积分得x c e z
x +=1 即x c e z x +=1，所以方程的解为x c e y x ++=11