黎卡提方程的初等解法
摘要：常微分方程有着深刻而生动的实际背景，它从生产实践与科学技术中产生，而又成
为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具，例如化学，生物学，电子技术等等都提出大量的微分方程问题，那么就需要探讨微分方程的求解问题，本文介绍了著名的黎卡提方程的，给出了黎卡提方程可用初等积分法求解的一些充分条件，使得黎卡提方程在满足一定条件下可以用初等解法求解，并给出一些特殊类型黎卡提方程的通解表示，最后举例对一些具体的黎卡提方程进行求解，及微分方程的应用举例。
关键词：黎卡提方程，变量方程，伯努利方程，线性方程
0. 引言
常微分方程是数学的一个重要分支，也是偏微分方程，变分法，控制论等数学分支的基础。微分方程的理论和方法从17世纪末开始发展起来，很快成了研究自然现象的强有力的工具。在17~18世纪，在力学，天文，物理和技术科学中，就已借助微分方程取得了巨大成就。
微分方程的首要问题是如何给定一个方程的通解或特解。到目前为止，人们已经对许多微分方程得出了求解的一般方法。例如一阶微分方程中的变量分离方程、线性方程等等。
求一个方程的解最自然的想法是用初等解法求解,即把微分方程的求解问题化为积分问题,但这是不容易做到的,能用初等解法求解的微分方程为数很少,绝大部分的微分方程都无法求出通解,黎卡提方程便是其中的一个。
意大利数学家黎卡提于 1724 年给出了它的特殊形式，后来引起许多学者的研究。达朗贝尔在 1763年给出了它的一般形式，并首先称之为“黎卡提方程”；黎卡提方程
'2y =p(x)y (x)y+r(x)q + 不同于线性微分方程'y =(x)y+r(x)q 之处是还多含一项2p(x)y ，
但这就大大地改变了解的性质，即初等可积性丧失了，但在特殊情况下仍旧可以利用初等积分法进行求解。文献[2]和[3]汇集了很多可积方程和可积性成果；60年代以来，《美国数学月刊》上又连续发表了多篇关于这方面的论文；近年来《数学通报》也发表了多篇关于这一内容的文章，如[2][4]及[5]。上述工作在一定程度上推动了探索黎卡提方程解法的发展。 但要彻底解决黎卡提方程的求解问题，仍需要进一步探讨和研究。 我们知道，黎卡提方程一般情况下不能用初等积分法求解，但在一些特殊情况下却有初等解法，那么，在哪些情况下有呢？本文将首先给出黎卡提方程可用初等积分法求解的一些充分条件，使得黎卡提方程在满足一定条件下可以用初等解法求解，并举例对一些具体的黎卡提方程进行求解，最后举出它的应用举例。
1.预备知识
考虑
2p(x)y (x)y+r(x)dy
q dx
=+ (1.1) 其中函数(),()p x q x 和()r x 是连续函数，而且()p x 不恒为零。
方程(1.1)通常叫作黎卡提方程，这是形式上最简单的非线性方程。
为了方便说明，我们首先给出几个有初等解法的微分方程类型及其求解的一般方法，并给出其通解表示。
1.1 类型1 变量分离方程 形如
()p(x)y dy
dx
φ= （1.2） 的方程称为变量分离方程，其中()p x , ()y φ 分别为,x y 的连续函数。 其求解方法为：
对于变量分离方程 ()p(x)y dy
dx
φ= 当()y 0φ≠，分离变量得
()
p(x)y dy
dx φ=
两边再同时积分得 ()()p x dx+c y dy
φ=?? （其中C 为任意常数）
特别地，当()y y φ= 时，方程 p(x)y dy
dx
= 的通解为
()p x dx y=Ce
? （1.3）
注意：在变量分离的过程的过程中，必须保证()y 0φ≠，但如果()y 0φ=有根为0y y =，则不难验证0y y =也是微分方程的解，有时无论怎样扩充通解的表达式中的任意常数，此解不包含在其中，解题时要另外补充上，不能遗漏。 例题 解方程
2cos dy
y x dx
= 并求满足初始条件：当x=0时，y=1的特解。 解 将变量分离，得到 2
cos dy xdx y
= (0)y ≠
两边积分得
1sin x c y
=+- 因而，通解为
1
s i n x c
y +=-
（c 为任意常数）
此外，方程还有解y=0.
为了确定所求的特解，以x=0，y=1代入通解中决定任意常数c ，得到
c= -1 因而，所求解为
1
1s i n x
y -=
1.2 类型2 一阶线性方程
一阶线性方程形如
p(x)y+q(x)dy
dx
= （1.4） 其中函数P （x ）和q （x ）在区间I 上连续。 当q(x)0≡ 时，方程（1.4）成为
p(x)y dy
dx
= （1.5） 方程（1.4）(()0q x ≠ ) 叫作非齐次线性方程，而(1.5)叫作与(1.4)相应的齐次线性方程。 关于齐次线性方程（1.5）的解，即为（1.3），由于（1.5）是方程（1.4）的特殊情形， 因此可以设想方程（1.4）的通解应当是（1.3）的某种考虑到()q x 的推广；而这种推广（1.3） 的一个比较简单的办法就是把任意常数C 变易为x 的待定函数()C x ，使得它满足方程
（1.4），亦即求方程（1.4）如下形式的解 ()p x dx
y=C(x)e
? (1.6)
显然这也可以看成是对（1.4）进行未知函数的变量替换，即将求未知函数y (x ) 换成求 未知函数C(x ) 。 将（1.6）代入方程（1.4）得
()()()p x dx
p x dx p x dx ()()p(x)e p(x)()e ()dC x e C x C x q x dx ???+=+ 亦即
()p x dx ()
(x)e dC x q dx
-?= 两边对x 积分推得 ()p x dx
1()(x)e C x q dx C -?=+? (1.7)
其中1C 为任意常数。
将（1.7）代入（1.3）即得方程(1.4)的通解 ()()p x dx
p x dx
1e ((x)e )y C q dx -??=+?
例题 求解方程222cos 11
'x x
y x x y =--+ 解 由通解公式得 22112cos [.]1x
x
dx
dx
x x x dx c x y e
e -
--??+-=? 21
2ln()(1)
2cos [.]1
x in x x dx c x e e ---+-=?
2
1
[cos ]1xdx c x +-=
? 2
1
[sin ]1x c x +-= 2
2sin ()11
c x
c x x +--=为任意常数 或
21()sin .y x x c -=+
有时方程关于y, dy dx 不是线性的，但如果视x 为y 的函数；方程关于x ，dy
dx 是线性的，于
是仍可以根据上面的方法求解之。
1.3 类型3 伯努利方程
形如
+p(x)y=q(x)y n dy
dx
的方程称为伯努利方程，其中n 为常数，而且0n ≠和1，p(x),q(x) 是在某个区间内的已知函数，对于这类方程，只要借助变量代换就可以化为线性方程。
即 伯努利方程
+p(x)y=q(x)y n dy
dx 可转化为 =q(x)y -p(x)y n dy
dx
两边同时乘以y n
- 得 1=q(x)-p(x)y n
n dy y dx
-- 然后令1y
n
z -=，就有
(1)n
dz dy
n y dx dx -=- 于是伯努利方程就转化为 (1)()(1)()dz
n p x z n q x dx
=--+-
这是关于未知函数z 的一阶线性方程， 它的通解可由常数变易法求得，最后代回原变量y ，
就得到伯努利方程的解，显然y=0也伯努利方程的解。 例题 求解方程
2
1(3)y
dy e x dx x =+ 解 做变换y
u e =，则方程可化为
2
2
3du u u dx x x =+ 这是n=2的伯努利方程，令在1
z u -=，代入上式，化简得
231dz z dx x x
=-- 线性齐次方程
3
0dz z dx x
+= 的通解为 3c
z x
=
设3()c x z x =，代入线性非齐次方程，得 2
()2
x c x c =-
因此，线性非齐次方程的通解为 31
2c z x x
=
-
代入原变量，得原方程通解 3
212
y
x e c x =-
即 3
2ln 12x y c x ??
??
=????-??
结构示意图
黎卡提方程
2 =p(x)y (x)y+r(x)dy
q dx
+
(
p x 任意两个同时为0
()=p x 0 ()=r x 0
变量分离方程 一阶线性方程 伯努利方程 ()p(x)y dy φ= p(x)y+q(x)dy = =p(x)y+q(x)y n dy (01)n ≠和
2. 黎卡提方程可积的充分条件
在这一部分中，将给出黎卡提方程可积的一些充分条件，使得黎卡提方程在满足一定条件下可以用初等解法求解。
定理2.1[3] 如果已知方程(1.1)的一个特解，则方程(1.1)可用初等积分法求得通
解。
证 设方程(1.1) 的一个特解为()x y φ=，对方程(1.1)作变换()x y u φ=+，代入方程 (1.1)得到
()()()22()[2x x ]()[x ]()du d p x u u q x u r x dx dx
φ
φφφ+=+++++ (2.1) 由于()x y φ=是方程(1.1)的解，则在(2.1)中消去与之相关的项以后，可得
()2[2()x ()]()du
p x q x u p x u dx
φ=++ 这是一个伯努利方程，由前面的讨论知此方程可以用积分法求出其通解。
定理2.2 当(),()p x q x ,()r x 都是常数时，方程有初等解法（显然方程可化为变量分离方程，于是有初等解法）。
定理 2.3 当r(x)0≡ 时，方程有初等解法。（此时方程为伯努利方程，于是有初等解法）
定理 2.4 若'p(x)1,()()0r x q x ≡+= ，方程有初等解法。
证 由已知条件，黎卡提方程(1.1)可化为'2'y y qy q =+-， 则 '2()y q y qy +=+
令 z y q =+ ，则 y z q =- 于是有 '2()z z q z z qz =-=- 即
2()dz
q x z z dx
+=为伯努利方程，于是可积。 定理2.5 设黎卡提方程形如
2m dy
ay bx dx
+= (2.2) 其 中 ,,a b m 都 是 常 数 ，且 设 0a ≠，又 设 0x ≠和0y ≠，则 当
440,2,
,(1,2......)2121
k k
m k k k --=-=+- 时方程可通过适当的变换化为变量分离的方程，即此方程能用初等积分法求解。
证 不妨设1a =（否则作自变量变换1x ax = 即可），因此代入方程(2.2)，考虑方程
2m dy
ay bx dx
+= (2.3) 当0m = 时，(2.3)是一个变量分离的方程，2dy b y dx
=-
当2m =- 时，作变换z xy =，其中z 是新的未知函数，然后代入(2.3)得到 2dz b z z dx x
--= 这也是一个变量分离的方程; 当 421k m k -=
+ 时，作变换 111 x= , y=
1m b m ξη
++ 其中ξ和 η 分别为新的自变量和未知函数，则(2.3)变为
22
d + =(1)n
b d m ηηξ
ξ+ (2.4) 其中421k n k -=
- ，再作变换 2
1,t zt t
ξη==- 其中t 和z 分别为新的自变量和未知函数，则(2.4)变为
22
(1)
l
dz b z t dt m +=+ (2.5) 其中 4(1)2(1)1
k l k --=-+
方程（2.5 ）与(2.3)在形式上一样，只是右端自变量的指数从m 变为l ，比较m 与l 对k 的依赖关系不难看出，只要将上述变换的过程重复k 次，就能把方程(2.3)化为的情形； 当421
k
m k -=
+ 时，(2.2)就是(2.4)的类型，因此可以把它化为微分方程(2.5)的形式，从而 化归到m = 0 的情形。
定理2.6 若黎卡提方程形如
221dy b
ay y dx x x
+=+ ，则方程可积。 证 令z =xy ，则z y x = ，代入原方程得
222221dz z az lz b
x dx x x x x
-+=+ 整理得 22
1(1)dz az l z b
x dx x -+++= 即
2(1)dz dx
az l z b x =-+++
易见此方程可用变量分离法求解，然后根据z
y x
=
求解。 3. 一些具体的黎卡提方程的求解
例1
求解方程2
'
2
1(ln 1)2(2ln )x x y xy x x x y x
-=--- 解 将方程改写为
2212(2ln )(ln 1)
xy x x x y dy x dx
x x ---
=-
这是黎卡提方程，观察出1ln y x =是它的一个解，于是作变换 ln y z x =+ 代入方程，得
22222ln ln 1ln 1
dz x x x x z z dx x x x x +=+-- 这是一个伯努利方程，它有解0.z = 当0z ≠ 时 ，再作变换1
u z -=
代入方程即得
222ln 2ln 1ln 1
du x x x x u dx x x x x +=---- 解线性方程，得 2ln 2ln 12
2[(ln 1)]ln 1
x x x
dx
x x x
u e c x x dx x x +-
-?=---?
整理得 22
1
()ln 1
u c x x x =
-- 代回原变量，得原方程得解为 22
ln 1
ln ln x x y x y x c x -==+-及
例2 解方程'
2
21
y y y x x
=+
+ 解 易知满足定理 1.4 的条件，于是方程可化为 11()'()y y y x x +=+令 1
u y x
=+
则 '2
1()u u u u u x x =-=-为伯努利方程，
再令 1z u = 则 2
2111
dz z dx z zx
-=- 即
1dz z dx x
=- 于是可得通解为 11
()(ln ||)dx dx x
x z e c e dx x c x -??=-=-?
例3 求解微分方程
2(1)(12)dy
x y x y x dx
=-+-+ 解 这是黎卡提方程，由观察法不难看出y =1是方程的一个特解，则可用定理 1.1 的 方法令y=1+u 是方程的一个特解，代入方程得 2(1)(1)(12)(1)du
x u x u x dx
=-++-++此方程是伯努利方程， 令 1z u =
则
(1)dz
z x dx
=-- 代入方程可得 [(1)]dx dx
z e x e dx c -??=--+?
[]x x x
e c xe ce c -=+=+ 所以
1x ce x u =+ 从而原方程通解为 11
x ce x y =+- 例4 求解方程 2
2
'(1)2y y x y x =-++
解 这是利卡提方程，观察出211y x =+是它的一个解，于是坐变换 2
1y z x =++ 代入原方程，得到
22(1)dz
z x z dx
=++
这是一个伯努利方程，在做变换 1
u z -= 代入上述方程，即得
2(1)1du
x u dx
=-+- 解线性方程，得到 22(1)
(1)x dx x dx u e c e dx -++???
?=-????
? 整理得 3
3
3
3
x x x x u e
c e dx --
+???=-??????
? 代回原变量，得原方程解为 3
33
22
3
11x x x x e
y x x c e
dx
++=+=++
-?及y
4.应用实例
在动力学中的应用
例：一质量为m 的物体，在在粘性液体中由静止自由下落，假设液体阻力与运动速度成正比，试求物体运动的规律。 解：（一）模型建立： 取物体下落的那条铅直线为ox 轴，且设当t=0时，x=0，v=
dx
dt
=0.由于物体下落时，受到重力与阻力的作用，已知重力大小为mg ，方向与运动方向一致，为正；阻力大小为kv （k 为比例常数），方向与运动方向相反，为负。故运动所受净力为F=mg-kv
根据牛顿第二定律，列出微分方程及初始条件是 0|0
t dv
m mg kv
dt v =?=-???=?
（二） 模型求解
将上述方程变量分离，得
mdv
dt mg kv
=-
积分得
x
x mdv
dt mg kv ==?
?
即 ln(1)m kv t k mg
-
-= 解出v ，得 (1)k
t m mg
v e k
-=- 这就是落体运动速度v 与时间t 的函数关系式。由此看出，当t ??
→+∞时，mg
v k
??→，这个速度称为落体运动的极限速度。这表明，在经过适当长时间后，落体运动接近于等速运
动。
又因为dx v dt =， 得
(1)k t m
dx mg e dt k
-=- 注意到，当=0时，x=0，故积分得
0(1)k
t x
t
m mg
dx e k
-=-?
?
既 22(1)k t m
mg m g x t e k k
-=+- 这就是落体运动中，位移x 与时间t 的函数关系。
5. 结论
虽然黎卡提方程在大多数情况下不能初等积分法求解，但在比如本文给出的一些充分条 件下，黎卡提方程可以用初等解法求解。
参考文献
[1]陈向华 白晓东 . 常微分方程.内蒙古大学出版社.2002
[2] E ．卡姆克．常微分方程手册. 北京： 科学出版社， 1980 ．
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[4] 丁同仁，李承治． 北京： 高等教育出版社， 1991 ．
[5] 李天林． 黎卡提方程可积的一个充分条件． 数学学报， 1991 （5 ）. 40～41 ． [5] 程永芳． 谈谈黎卡提方程的可积条件． 数学学报， 1993 （10）. 31～33 ．
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解函数方程的几种方法 李素真 摘要：本文通过给出求解函数方程的基本方法，来介绍函数方程，探索通过构造函数方程求解其它问题的方法,以获得新的解题思路。 关键词：函数方程；换元法；待定系数法；解方程组法；参数法 含有未知函数的等式叫做函数方程，能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解，求函数方程的解或证明函数方程有无解的过程叫解函数方程。 函数方程的解法有换元法（或代换法）、待定系数法、解方程组法、参数法。 1.换元法 换元法是将函数的“自变量”或某个关系式代之以一个新的变量(中间变量)，然后找出函数对中间变量的关系，从而求出函数的表达式。 例1 已知x x f x sin )2(+=，求)(x f 。 解：令u x =2 ）（0>u ，则u x log 2=，于是可得，)log sin()log ()(222 u u u f += ）（0>u ，以x 代替u ，得)log sin(log 2 )(22u x x f += )0(>x 。 例2 已知x x x x f 212ln )1(+=+ )0(>x ，求)(x f 。 解：令t x x =+1，则11-=t x )1(>t ，于是12ln 112111 2 ln )(+=-+-=t t t t f ， 即1 2ln )(+=x x f 。 例3 已知x x f 2cos )cos 1(=+，求)(x f 。 解：原式可以化为 1cos 22cos )cos 1(2+==+x x x f ，令t x =+cos 1，]2,0[∈t ，则换元后有1)1(2)(2 --=x t f ]2,0[∈x 。 2.待定系数法
待定系数法适用于所求函数是多项式的情形。当我们知道了函数解析式的类型及函数的某些特征，用待定系数法来解函数方程较为简单。一般首先确定多项式的次数，写出它的一般表达式，然后由已知条件，根据多项式相等的条件确定待定系数。 例4 已知)(x f 为多项式函数，且422)1()1(2+-=-++x x x f x f ，求)(x f 。 解：由于)1(+x f 与)1(-x f 不改变)(x f 的次数，而它们的和是2次的，所以)(x f 为二次函数，故可设c bx x a x f ++=2)(，从而有 由已知条件得 422)(22222+-=+++x x c a bx x a 根据两个多项式相等的条件得 22=a ，22-=b ，4)(2=+c a ，由此得1=a ，1-=b ，1=c ，故有1)(2+-=x x x f 。 例5 已知)(x f 是x 的二次函数，且x x x f f 242)]([-=，求)(x f 。 解：因为c 是x 的二次函数，故可设c bx x a x f ++=2)(，由此，c c bx x a b c bx x a a c x bf x f a x f f ++++++=++=)()()()()]([2222 将上式化简并代入x x x f f 242)]([-=，得x x c bc c a x b abc x ab c a b a x b a x a 2)()2()2(24222223243-=+++++++++ 比较对应项的系数有 ?????????=++=+-=++==0 0222021222223c bc c a b abc ab c a b a b a a ，解之得?????-===101c b a ，故1)(2-=x x f 。 3.解方程组法 此方法是将函数方程的变量或关系式进行适当的变量代换，得到新的函数方程，然后与原方程联立，解方程组，即可求出所求的函数。
师大学本科毕业论文（设计） 常微分方程的初等解法与求解技巧 姓名娟 院系数学与计算机科学学院 专业信息与计算科学 班级12510201 学号1251020126 指导教师王晓锋 答辩日期 成绩
常微分方程的初等解法与求解技巧 容摘要 常微分方程在数学中发挥着举足轻重的作用，同时它的应用在日常生活里随处可见，因此掌握常微分方程的初等解法与求解技巧是非常必要的.本论文主要论述了其发展、初等解法与求解技巧，前者主要有变量分离、积分因子、一阶隐式微分方程的参数表示，通过举例从中总结出其求解技巧，目的是掌握其求解技巧. 【关键词】变量分离一阶隐式微分方程积分因子求解技巧
Elementary Solution and Solving Skills of Ordinary Differential Equation Abstract Ordinary differential equations take up significant position in mathematics, and at the same time, the application of it can be seen everywhere in our daily life, therefore, it’s necessary to grasp the elementary solution of ordinary differential equations and solving skills. This paper mainly introduced the definition of ordinary differential equations, elementary solution method and solving skills, the former mainly included the separation of variables, integral factor, a parameter-order differential equations implicit representation, by way of examples to sum up their solving skills, the purpose is to master the skills to solve. 【Key Words】the separation of variables the first order implicit differential equation integrating factor solution techniques
目 录 中文摘要 .......................................... 错误！未定义书签。 ABSTRACT .......................................... 错误！未定义书签。 引言 ............................................................... 1 1.伯努利方程的解法 ................................................. 1 1.1变量代换法 .................................................... 1 1.1.1一般解法 .................................................. 1 1.1.2函数变换法 ................................................ 2 1.1.3 求导法 .................................................... 3 1.1.4恰当导数法 ................................................ 3 1.2常数变易法 .................................................... 4 1.3积分因子法 .................................................... 6 1.4解法举例 ...................................................... 7 2.伯努利方程的应用 ................................................ 10 2.1在一阶微分方程中的应用 ....................................... 10 2.1.1在形如()() ()()()y x y x n y y p x y dy q x y dy '?()=?()+?()? ? （() y x y dy ?()?存在 且不为零）方程中的应用 (10) 2.1.2在形如1[()()]()()y y y y f x h y g yx h x x x x αα-'+=+方程中的应用 (11) 2.1.3在黎卡提方程中的应用 (12) 3．总结 ........................................................... 13 参考文献 .......................................................... 14 致谢 .............................................. 错误！未定义书签。
(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！) 1．常微分方程的基本概况 1.1.定义： 自变量﹑未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数，自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。 1.2.研究对象： 常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动﹑演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理﹑化学﹑生物﹑工程﹑航空﹑航天﹑医学﹑经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程。如牛顿运动规律、万有引力﹑能量守恒﹑人口发展规律﹑生态总群竞争﹑疾病传染﹑遗传基因变异﹑股票的涨伏趋势﹑利率的浮动﹑市场均衡价格的变化等。对这些规律的描述﹑认识和分析就归结为对相应的常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学各个领域。 1.3.特点： 常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。 1.4.应用： 现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。
各类方程解法一一元一次方程 1 一般形式 ax+b=0 (a≠0) 2 求根公式 x=? b 二二元一次方程 1 一般形式 ax+by=m cx+dy=n 2 求根公式 x=b ? d ÷ a ? m y=a m ? c n ÷ a b ? m n
1 一般形式 ax2+bx+c=0 (a≠0) 2 判别式 △=b2?4ac △>0,方程有两个不等实数根 x=?b±b2?4ac 2a △=0,方程有两个相等实数根 x1=x2=? b △<0,方程无实数根。
1 一般形式 ax 3+bx 2+cx +d =0 (a ≠0) 2 求根公式 x 1= ?27a 2d ?9abc +2b 327a 3+ 27a 2d ?9abc +2b 327a 3 + 3ac ?b 23a 2 3+ ?27a 2d ?9abc +2b 327a 32+ 27a 2d ?9abc +2b 327a 32 2+ 3ac ?b 23a 23 33?b 3a x 2=(?1+ 3i )? ?27a 2d ?9abc +2b 327a 3+ 27a 2d ?9abc +2b 327a 3 + 3ac ?b 23a 2 3+(?1+ 3i )2? ?27a 2d ?9abc +2b 327a 32+ 27a 2d ?9abc +2b 327a 32 2+ 3ac ?b 23a 23 33?b 3a x 3=(?1+ 3i 2)2? ?27a 2d ?9abc +2b 327a 32+ 27a 2d ?9abc +2b 327a 32 2+ 3ac ?b 23a 23 33+(?1+ 3i 2)? ?27a 2d ?9abc +2b 327a 3+ 27a 2d ?9abc +2b 327a 3 + 3ac ?b 23a 2 3?b
常微分方程的初等解法
1．常微分方程的基本概况 1.1.定义： 自变量﹑未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数，自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。 1.2.研究对象： 常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动﹑演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理﹑化学﹑生物﹑工程﹑航空﹑航天﹑医学﹑经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程。如牛顿运动规律、万有引力﹑能量守恒﹑人口发展规律﹑生态总群竞争﹑疾病传染﹑遗传基因变异﹑股票的涨伏趋势﹑利率的浮动﹑市场均衡价格的变化等。对这些规律的描述﹑认识和分析就归结为对相应的常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学各个领域。 1.3.特点： 常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。 1.4.应用： 现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。 2.一阶的常微分方程的初等解法
题目: 变换法在求解常微分方程中的应用姓名: 学院: 数学与统计学院 专业: 数学与应用数学 年级班级: 2011级1班 指导教师: 刘伟 2015年 5 月 31 日
毕业论文（设计）作者声明 本人郑重声明:所呈交的毕业论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外,本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。 本人完全了解有关保障、使用毕业论文的规定,同意学校保留并向有关毕业论文管理机构送交论文的复印件和电子版。同意省级优秀毕业论文评选机构将本毕业论文通过影印、缩印、扫描等方式进行保存、摘编或汇编；同意本论文被编入有关数据库进行检索和查阅。 本毕业论文内容不涉及国家机密。 论文题目:变换法在求解常微分方程中的应用 作者单位:数学与统计学院 作者签名: 2015 年5 月31 日
目录 摘要 (1) 引言 (2) 1．在一阶方程中的应用 (3) 1.1变量分离方程 (3) 1.2齐次与可以经过变量代换化为齐次的常微分方程： (3) 1.3一阶线性方程 (7) 1.4几种特殊类型的一阶常微分方程 (8) 1.5伯努利方程 (9) 1.6黎卡提方程 (10) 2．在n阶微分方程中的应用 (10) 2.1 在n阶非齐次线性微分方程 (10) 2.2 非齐次线性微分方程 (12) 3．变系数齐次方程 (13) 3.1尤拉方程 (13) 3.2二阶变系数线性方程 (13) 3.3三阶变系数微分方程 (14) 结束语 (14) 参考文献 (16) 致谢 (17)
变换法在求解常微分方程中的应用 摘要:变换法是常微分方程中的一种计算方法. 它可以起到简化问题的作用，变量变换思想也是一种常微分方程中的重要思想. 应用原始变量的变换与新的变量代换, 使原始方程的类型相对简单的解决方案，从而达到解决的目的. 在常微分方程中, 变换法在许多类型的常微分方程的求解中起到及其重要的作用. 本文就应用变换法在求解几类微分方程进行探究, 通过陈述理论与联系实例结合阐述变量变换法以及变量变换思想在求解常微分方程的应用. 关键词：常微分方程；变量分离；变换法； Application of transform method in solving the differential equation Abstract: Transform method is a calculation method of ordinary differential equation. It can play a role to simplify the problem, the idea of variable transformation is an important thought in ordinary differential equation. The application of the original variable transform and the new type of variable substitution, the original equation solution is relatively simple, so as to achieve the purpose of solving. In the differential equation, variable substitution plays its important role in the ordinary solution differential equations in many types of. This paper explores the solutions for several classes of differential equations on the application of variable substitution, through the statement of theory and examples combined with variable transformation method and the application of variable transformation thought in the solution of ordinary differential equations. Key Words: Ordinary differential equation;Separable variable;Transform method
第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到 dx x f y g dy )() (=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、 xy dx dy = 解：当0≠y 时，有 xdx y dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(112 12 C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)(12 12 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有 dy y N y Q dx x P x M ) () ()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=） x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(2 2 =-+-dy x y dx y x 解：当0)1)(1(2 2 ≠--y x 时，有 dx x x dy y y 1 122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ； 当0)1)(1(2 2 =--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(2 2 为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如 )(x y g dx dy = 解法：令x y u =，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程，得到
黎卡提方程的初等解法 摘要：常微分方程有着深刻而生动的实际背景，它从生产实践与科学技术中产生，而又成 为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具，例如化学，生物学，电子技术等等都提出大量的微分方程问题，那么就需要探讨微分方程的求解问题，本文介绍了著名的黎卡提方程的，给出了黎卡提方程可用初等积分法求解的一些充分条件，使得黎卡提方程在满足一定条件下可以用初等解法求解，并给出一些特殊类型黎卡提方程的通解表示，最后举例对一些具体的黎卡提方程进行求解，及微分方程的应用举例。 关键词：黎卡提方程，变量方程，伯努利方程，线性方程 0. 引言 常微分方程是数学的一个重要分支，也是偏微分方程，变分法，控制论等数学分支的基础。微分方程的理论和方法从17世纪末开始发展起来，很快成了研究自然现象的强有力的工具。在17~18世纪，在力学，天文，物理和技术科学中，就已借助微分方程取得了巨大成就。 微分方程的首要问题是如何给定一个方程的通解或特解。到目前为止，人们已经对许多微分方程得出了求解的一般方法。例如一阶微分方程中的变量分离方程、线性方程等等。 求一个方程的解最自然的想法是用初等解法求解,即把微分方程的求解问题化为积分问题,但这是不容易做到的,能用初等解法求解的微分方程为数很少,绝大部分的微分方程都无法求出通解,黎卡提方程便是其中的一个。 意大利数学家黎卡提于 1724 年给出了它的特殊形式，后来引起许多学者的研究。达朗贝尔在 1763年给出了它的一般形式，并首先称之为“黎卡提方程”；黎卡提方程 '2y =p(x)y (x)y+r(x)q + 不同于线性微分方程'y =(x)y+r(x)q 之处是还多含一项2p(x)y ， 但这就大大地改变了解的性质，即初等可积性丧失了，但在特殊情况下仍旧可以利用初等积分法进行求解。文献[2]和[3]汇集了很多可积方程和可积性成果；60年代以来，《美国数学月刊》上又连续发表了多篇关于这方面的论文；近年来《数学通报》也发表了多篇关于这一内容的文章，如[2][4]及[5]。上述工作在一定程度上推动了探索黎卡提方程解法的发展。 但要彻底解决黎卡提方程的求解问题，仍需要进一步探讨和研究。 我们知道，黎卡提方程一般情况下不能用初等积分法求解，但在一些特殊情况下却有初等解法，那么，在哪些情况下有呢？本文将首先给出黎卡提方程可用初等积分法求解的一些充分条件，使得黎卡提方程在满足一定条件下可以用初等解法求解，并举例对一些具体的黎卡提方程进行求解，最后举出它的应用举例。 1.预备知识 考虑 2p(x)y (x)y+r(x)dy q dx =+ (1.1) 其中函数(),()p x q x 和()r x 是连续函数，而且()p x 不恒为零。 方程(1.1)通常叫作黎卡提方程，这是形式上最简单的非线性方程。 为了方便说明，我们首先给出几个有初等解法的微分方程类型及其求解的一般方法，并给出其通解表示。
常微分方程解题方法总结 来源：文都教育 复习过半， 课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍 . 接下来， 如何将零散的知 识点有机地结合起来， 而不容易遗忘是大多数考生面临的问题 . 为了加强记忆， 使知识自成 体系，建议将知识点进行分类系统总结 . 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴， 他强调读 书要“由薄到厚、由厚到薄”，对同学们的复习尤为重要 . 以常微分方程为例， 本部分内容涉及可分离变量、 一阶齐次、 一阶非齐次、 全微分方程、 高阶线性微分方程等内容， 在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多， 遇到具体的题 目不知该如何下手， 这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法 . 下面以表格的形 式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询 . 常微分方程 通解公式或解法 ( 名称、形式 ) 当 g( y) 0 时，得到 dy f (x)dx ， g( y) 可分离变量的方程 dy f ( x) g( y) 两边积分即可得到结果； dx 当 g( 0 ) 0 时，则 y( x) 0 也是方程的 解 . 解法：令 u y xdu udx ，代入 ，则 dy 齐次微分方程 dy g( y ) x dx x u g (u) 化为可分离变量方程 得到 x du dx 一 阶 线 性 微 分 方 程 P ( x)dx P ( x) dx dy Q(x) y ( e Q( x)dx C )e P( x) y dx
伯努利方程 解法：令 u y1 n，有 du (1 n) y n dy ， dy P( x) y Q( x) y n（n≠0,1）代入得到du (1 n) P(x)u (1 n)Q(x) dx dx 求解特征方程：2 pq 三种情况： 二阶常系数齐次线性微分方程 y p x y q x y0 二阶常系数非齐次线性微分方程 y p x y q x y f ( x) (1)两个不等实根：1, 2 通解： y c1 e 1x c2 e 2x (2) 两个相等实根：1 2 通解： y c1 c2 x e x (3) 一对共轭复根：i , 通解： y e x c1 cos x c2 sin x 通解为 y p x y q x y 0 的通解与 y p x y q x y f ( x) 的特解之和. 常见的 f (x) 有两种情况： x （ 1）f ( x)e P m ( x) 若不是特征方程的根，令特解 y Q m ( x)e x；若是特征方程的单根，令特 解 y xQ m ( x)e x；若是特征方程的重根， 令特解 y*x2Q m (x)e x； （2）f (x) e x[ P m ( x) cos x p n ( x)sin x]
浅谈简易方程的几种解法 教师：曾伟 摘要：数学课程改革推进到小学高年级之后，部分教师特别是一些农村老教师，就教材中依据等式基本性质解方程的意义不很理解，对由此生成的一些问题感到困惑，总觉得还是原来依据四则运算关系解方程，便于教、便于学。新课程的出炉，是不是就意味着教师只能照本宣科呢？是不是等式的基本性质比四则运算法则和移项法更适合解简易方程呢？本文仅就与此相关的一些问题，谈谈个人的有关认识与体会，供大家参考。 一、为什么要用等式基本性质解方程 顺应着基础教育的这一发展，新一轮课程改革中推出的各学科课程标准，都将小学、初中视为一个整体，予以通盘考虑，这是一大进步。数学学科当然也不例外。可以说，义务教育数学课程标准的研制、颁布为我们研究和践行中小学数学教学的衔接，提供了教学内容、教学要求等多方面的支撑和保障。我们应该基于这样的背景，展开有关的讨论。 其实，解方程的依据，严格说来，应该是方程的同解定理。但由于中小学数学的理论要求不高，再说在陈述等式的第一条性质时，只要指出等式两边都乘或除以，加上或减去同一个不等于零的数，就可以作为同解定理来使用。所以，多年以来，即使是中学数学教材，也大多采用等式的基本性质作为解方程的依据。这样处理可以避开“同解方程”等概念，减少教学的麻烦。 过去，在小学教学解方程，依据的是四则运算之间的关系，如“加数=和－另一个加数”，“因数=积÷另一个因数”等等。由于这些关系小学生在学习加减法、乘除法时，早就不断有所感知，积累了比较丰富的感性经验，所以到小学中高年级再加以概括就显得水到渠成，运用这些关系解未知数只出现在等式一边的简易方程也比较自然。 但是，这种“算术”的解方程思路毕竟走不了多远，一到中学就被彻底抛弃，取而代之的是等式的基本性质。而且小学依据四则运算关系解方程教得越多，练得越巩同，初中方程教学的负迁移就越明显，入门障碍就越大。当然，负迁移的程度也取决于初中数学教师的教学策略与教学艺术，但在整体上存在负迁移是一个不争的事实。 既然如此，那是不是意味着四则运算法则就到了穷途末路的境地呢？其实不然，下面我们来综合比较一下等式的基本性质、四则运算法则和移项法这三种简易方程解法的优劣。 二、移项法PK等式的基本性质 例如方程5x+2=7x－8，为了使方程化为ax=b的形式，我们就要把同类项合并，但它们又不在等号的同侧，如何合并？不妨我们利用等式的基本性质，在方程的两边都减去2，然后在方程的两边都减去7x，这样就得到：5x－7x=－8－2，然后再合并同类项就可以了.这里的2就改变符号移到了方程的右边，7x就改变符号移到了方程的左边，这种变形相当于把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项． 方程中的任何一项都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，即可以把方程右边的项改变符号后移到方程的左边。也可以把方程左边的项改变符号后移到方程的右边。移项中常犯的错误是忘记变号，还要注意移项与在方程的一边交换两项的位置有本质的区别。如果等号同一边的项的位置发生变化，这些项不
《现代控制理论基础》第五章(讲义) 5.6.3 二次型最优控制问题 现在我们来研究最优控制问题。已知系统方程为 (5.21) (5.22) 确定最优控制向量的矩阵K，使得性能指标 达到极小。式中Q是正定（或正半定）Hermite或实对称矩阵，R是正定Hermite 或实或实对称矩阵。注意，式(5.22）右边的第二项是考虑到控制信号的能量损耗而引进的。矩阵Q和R确定了误差和能量损耗的相对重要性。在此，假设控制向量u(t)是不受约束的。 正如下面讲到的，由式(5.21）给出的线性控制律是最优控制律。所以，若能确定矩阵K中的未知元素，使得性能指标达极小，则对任意初始状态 x(0)而言均是最优的。图5.6所示为该最优控制系统的结构方块图。 图5.6 最优控制系统 现求解最优控制问题。将式(5.21）代入式(5.20），可得 在以下推导过程中，假设是稳定矩阵，的所有特征值均具有负实部。 将式(5.21）代入（5.22），可得
依照解参数最优化问题时的讨论，取 《现代控制理论基础》第五章(讲义) 式中的P是正定的Hermite或实对称矩阵。于是 比较上式两端，并注意到方程对任意x均应成立，这就要求 (5.23）的正定矩阵P。 (5.23) 根据Lyapunov第二法可知，如果是稳定矩阵，则必存在一个满足式 因此，该方法由式(5.23）确定P的各元素，并检验其是否为正定的（注意，这里可能不止一个矩阵P满足该方程。如果系统是稳定的，则总存在一个正定的矩阵P满足该方程。这就意味着，如果我们解此方程并能找到一个正定矩阵P，该系统就是稳定的。满足该方程的其他矩阵P不是正定的，必须丢弃）。性能指标可计算为 由于假设A-BK的所有特征值均具有负实部，所以。因此 于是，性能指标J可根据初始条件x(0)和P求得。 (5.24) 为求二次型最优控制问题的解，可按下列步骤操作：由于所设的A是正定Hermite或实对称矩阵，可将其写为 式中T是非奇异矩阵。于是，式(5.23）可写为 上式也可写为 求J 对K的极小值，即求下式对K的极小值 (见例5.21)。由于上面的表达式不为负值，所以只有当其为零，即当 时，才存在极小值。因此 定义时，其最优控制律是线性的，并由 (5.25) 式(5.25）给出了最优矩阵K。所以，当二次型最优控制问题的性能指标由式(5.22）
淮北师范大学 2013届学士学位论文 常微分方程数值解法的误差分析 学院、专业数学科学学院数学与应用数学 研究方向计算数学 学生姓名李娜 学号 20091101070 指导教师姓名陈昊 指导教师职称讲师 年月日
常微分方程数值解法的误差分析 李娜 （淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000） 摘要 自然界与工程技术中的很多现象，往往归结为常微分方程定解问题。许多偏微分方程问题也可以化为常微分方程问题来近似求解。因此，研究常微分方程的数值解法是有实际应用意义的。数值解法是一种离散化的数学方法，可以求出函数的精确解在自变量一系列离散点处的近似值。随着计算机计算能力的增强以及数值计算方法的发展，常微分方程的数值求解方法越来越多，比较成熟的有Euler 法、后退Euler法、梯形方法、Runge—Kutta方法、投影法和多步法，等等．本文将对这些解的误差进行分析,以求能够得到求解常微分数值解的精度更好的方法。 关键词：常微分方程, 数值解法, 单步法, 线性多步法, 局部截断误差
Error Analysis of Numerical Method for Solving the Ordinary Differential Equation Li Na (School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000) Abstract In nature and engineering have many phenomena , definite solution of the problem often boils down to ordinary differential equations. So study the numerical solution of ordinary differential equations is practical significance. The numerical method is a discrete mathematical methods, and exact solution of the function can be obtained in the approximation of a series of discrete points of the argument.With the enhanced computing power and the development of numerical methods,ordinary differential equations have more and more numerical solution,there are some mature methods. Such as Euler method, backward Euler method, trapezoidal method, Runge-Kutta method, projection method and multi-step method and so on.Therefore, numerical solution of differential equation is of great practical significance. Through this paper, error of these solutions will be analyzed in order to get a the accuracy better way to solve the numerical solution of ordinary differential. Keywords:Ordinary differential equations, numerical solution methods, s ingle ste p methods, l inear multi-step methods, local truncation error
1. · 2. 已知二阶系统的状态方程122()(),()()x t x t x t u t ==性能泛函 3 222221212120111[(3)2(3)][2()4()2()()()]222 J x x x t x t x t x t u t dt =+++++?求最优控制。 解:把状态方程和性能指标与标准状态方程和标准性能指标比较，可得 0,101,02,11,,,,0,010,21,42A B P Q R ????????=====???????????????? 考虑到()K t 是对称阵，设11121222,(),k k K t k k ?? =? ??? 代入黎卡提方程1()()()()()()()()()()() T T K t K t A t A t K t K t B t R t B t K t Q t -=--+-即 1112111211121112111212221222122212221222,,,,,0,10,002,12[0,1],0,01,0,,1,1,4,k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ?????????????????? =--+-????????????????????????????????????? ? 令上式等号左右端的对应元相等，得2 111212111222222122222 21224 k k k k k k k k k =-=-+-=-+- 这是一组非线性微分方程。由边界条件(3)K P =即11121222(3),(3)1,0(3),(3)0,2k k k k ???? =? ? ???? ?? 最优控制为 11112112122212222()()() ,()2*[0,1]2()2() ,()T u t R B K t X t k k x t k x t k x t k k x t -=-???? =-=--???????? 3. ） 4. 能控的系统状态方程为122()(),()()x t x t x t u t ==这是一种双积分系统，其输出为1()x t ，其输入为()u t ，其传递函数为 12()1 ()()x s G s u s s ==其性能泛函为22 211220 1[()2()()()()]2J x t bx t x t ax t u t dt ∞ =+++?其中220a b ->求最优控制。 解：稳态时连续系统的状态调节器问题：由状态方程和性能指标求得 0,101,,,10,01A B Q R ??????====???????????? b ，b,a 显然Q 为半正定阵。 可控性阵为[]0,1,1,0B AB ?? =? ??? 是非奇异的，系统可控。
编号 090901228 毕业论文 （ 2013 届本科） 题目：浅谈黎卡提的求解 学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学 作者姓名：吴大婷 指导教师：张飞羽职称：教授 完成日期： 2013 年 5 月 30 日 二○一三年四月
浅谈黎卡提方程的求解 吴大婷指导老师:张飞羽 (河西学院数学与应用数学专业2013届2班28号, 甘肃张掖734000) 摘要著名的黎卡提方程是一个部分可积的非线性常微分方程,本文给出了黎卡提方程可用初等积分法求解的一些充分条件,使得黎卡提方程在满足一定条件下可以用初等解法求解,并给出一些特殊类型黎卡提方程的通解表示.此外,本文还提出了黎卡提方程的另一种解法,即将它转化为二阶齐次性微分方程,再根据朗斯基定理,得出其通解. 关键词黎卡提方程;初等积分法;分离变量;伯努利方程;朗斯基; 中图分类号O175.14 The Solution of Riccati Equation Wu Dating Instructor Zhang Feiyu （No. 28, Class 2 of 2013, Specialty of Mathematics and Applied Mathematics, Hexi University,Zhangye,Gansu,734000） Abstract: The Riccati equation is a partly interglacial differential equation. In this paper some sufficient conditions are given that elementary integration as well as the representatives of general solutions for several Riccati equations. We also puts forward another solution for Riccati equations which turns it into two order homogeneous linear differential equation, then gets the general answer of Riccati equation basics on the Wronsky theorem. Keywords: Riccati equation; Elementary integral; Separable variable; Bernoulli equation; Wronsky 黎卡提方程是一类不可用初等方法求解的微分方程,它有着重要应用.例如,它曾用于证明贝塞尔方程的解不是初等函数.另外,它也出现在现代控制论和向量场分支理论的一些问题中.黎卡提方程的研究既有着显而易见的理论和实际意义,又有着广阔的研究前景.由于黎卡提方程在理论上和应用上的重要性,一直有人寻求它的可积类型及可积方程.我们知道,黎卡提方程一般情况下不能用初等积分法求解,但在一些特殊情况下却有初等解法,那么,在哪些情况下黎卡提方程有初等解法呢?本文给出一些充分条件使得黎卡提方程可用初等积分法求解.
山西师范大学本科毕业论文（设计） 常微分方程的初等解法与求解技巧 姓名张娟 院系数学与计算机科学学院 专业信息与计算科学 班级12510201 学号1251020126 指导教师王晓锋 答辩日期 成绩
常微分方程的初等解法与求解技巧 内容摘要 常微分方程在数学中发挥着举足轻重的作用，同时它的应用在日常生活里随处可见，因此掌握常微分方程的初等解法与求解技巧是非常必要的.本论文主要论述了其发展、初等解法与求解技巧，前者主要有变量分离、积分因子、一阶隐式微分方程的参数表示，通过举例从中总结出其求解技巧，目的是掌握其求解技巧. 【关键词】变量分离一阶隐式微分方程积分因子求解技巧
Elementary Solution and Solving Skills of Ordinary Differential Equation Abstract Ordinary differential equations take up significant position in mathematics, and at the same time, the application of it can be seen everywhere in our daily life, therefore, it’s necessary to grasp the elementary solution of ordinary differential equations and solving skills. This paper mainly introduced the definition of ordinary differential equations, elementary solution method and solving skills, the former mainly included the separation of variables, integral factor, a parameter-order differential equations implicit representation, by way of examples to sum up their solving skills, the purpose is to master the skills to solve. 【Key Words】the separation of variables the first order implicit differential equation integrating factor solution techniques