自考高数经管类概率论与数理统计课堂笔记
前言
概率论与数理统计是经管类各专业的基础课，概率论研究随机现象的统计规律性，它是本课程的理论基础，数理统计则从应用角度研究如何处理随机数据，建立有效的统计方法，进行统计推断。
概率论包括随机事件及其概率、随机变量及其概率分布、多维随机变量及其概率分布、随机变量的数字特征及大数定律和中心极限定理。共五章，重点第一、二章，数理统计包括样本与统计量，参数估计和假设检验、回归分析。重点是参数估计。
预备知识
（一）加法原则
引例一，从北京到上海的方法有两类：第一类坐火车，若北京到上海有早、中、晚三班火车分别记作火1、火2、火3，则坐火车的方法有3种；第二类坐飞机，若北京到上海的飞机有早、晚二班飞机，分别记作飞1、飞2。问北京到上海的交通方法共有多少种。
【答疑编号：10000101针对该题提问】
解：从北京到上海的交通方法共有火1、火2、火3、飞1、飞2共5种。它是由第一类的3种方法与第二类的2种方法相加而成。
一般地有下面的加法原则：
办一件事，有m类办法，其中：
第一类办法中有n1种方法；
第二类办法中有n2种方法；
……
第m类办法中有n m种方法；
则办这件事共有种方法。
（二）乘法原则
引例二，从北京经天津到上海，需分两步到达。
第一步从北京到天津的汽车有早、中、晚三班，记作汽1、汽2、汽3
第二步从天津到上海的飞机有早、晚二班，记作飞1、飞2
问从北京经天津到上海的交通方法有多少种？
【答疑编号：10000102针对该题提问】
解：从北京经天津到上海的交通方法共有：
①汽1飞1，②汽1飞2，③汽2飞1，④汽2飞2，⑤汽3飞1，⑥汽3飞2。共6种，它是由第一步由北京到天津的3种方法与第二步由天津到上海的2种方法相乘3×2=6生成。
一般地有下面的乘法原则：
办一件事，需分m个步骤进行，其中：
第一步骤的方法有n1种；
第二步骤的方法有n2种；
……
第m步骤的方法有n m种；
则办这件事共有种方法。
（三）排列（数）：从n个不同的元素中，任取其中m个排成与顺序有关的一排的方法
数叫排列数，记作或。
排列数的计算公式为：
例如：
（四）组合（数）：从n个不同的元素中任取m个组成与顺序无关的一组的方法数叫组合数，记作或。
组合数的计算公式为
例如：=45
组合数有性质
（1），（2），（3）
例如：
例一，袋中有8个球，从中任取3个球，求取法有多少种？
【答疑编号：10000103针对该题提问】
解：任取出三个球与所取3个球顺序无关，故方法数为组合数
（种）
例二，袋中五件不同正品，三件不同次品（√√√√√×××）从中任取3件，求所取3件中有2件正品1件次品的取法有多少种？
【答疑编号：10000104针对该题提问】
解：第一步在5件正品中取2件，取法有
（种）
第二步在3件次品中取1件，取法有
（种）
由乘法原则，取法共有10×3=30（种）
第一章随机事件与随机事件的概率
§1.1随机事件
引例一，掷两次硬币，其可能结果有：
｛上上；上下；下上；下下｝
则出现两次面向相同的事件A与两次面向不同的事件B都是可能出现，也可能不出现
的。
引例二，掷一次骰子，其可能结果的点数有：
｛1，2，3，4，5，6｝
则出现偶数点的事件A，点数≤4的事件B都是可能出现，也可能不出现的事件。
从引例一与引例二可见，有些事件在一次试验中，有可能出现，也可能不出现，即它没
有确定性结果，这样的事件，我们叫随机事件。
（一）随机事件：在一次试验中，有可能出现，也可能不出现的事件，叫随机事件，习
惯用A、B、C表示随机事件。
由于本课程只讨论随机事件，因此今后我们将随机事件简称事件。
虽然我们不研究在一次试验中，一定会出现的事件或者一定不出现的事件，但是有时在
演示过程中要利用它，所以我们也介绍这两种事件。
必然事件：在一次试验中，一定出现的事件，叫必然事件，习惯用Ω表示必然事件。
例如，掷一次骰子，点数≤6的事件一定出现，它是必然事件。
不可能事件：在一次试验中，一定不出现的事件叫不可能事件，而习惯用φ表示不可
能事件。
例如，掷一次骰子，点数>6的事件一定不出现，它是不可能事件。
（二）基本（随机）事件
随机试验的每一个可能出现的结果，叫基本随机事件，简称基本事件，也叫样本点，习
惯用ω表示基本事件。
例如，掷一次骰子，点数1,2,3,4,5,6分别是基本事件，或叫样本点。
全部基本事件叫基本事件组或叫样本空间，记作Ω，当然Ω是必然事件。
（三）随机事件的关系
（1）事件的包含：若事件A发生则必然导致事件B发生，就说事件B包含事件A，记
作。
例如，掷一次骰子，A表示掷出的点数≤2，B表示掷出的点数≤3。∴A=｛1，2｝，B=
｛1，2，3｝。
所以A发生则必然导致B发生。
显然有
（2）事件的相等：若，且就记A=B，即A与B相等，事件A等于事件B，
表示A与B实际上是同一事件。
（四）事件的运算
（1）和事件：事件A与事件B中至少有一个发生的事件叫事件A与事件B的和事件，记作：或A+B
例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝；B=｛1，2，3｝
则和事件A+B=｛1，2，3，5｝
显然有性质
①
②若，则有A+B=B
③A+A=A
（2）积事件：事件A与事件B都发生的事件叫事件A与事件B的积事件，记作：AB或A∩B 例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝；B=｛1，2，3｝，则AB=｛1，3｝
显然有性质：
①
②若，则有AB=A
③AA=A
（3）差事件：事件A发生而且事件B不发生的事件叫事件A与事件B的差事件，记作（A-B）例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝；B=｛1，2，3｝，则A-B=｛5｝
显然有性质：
①
②若，则有A-B=Φ
③A-B=A-AB
（4）互不相容事件：若事件A与事件B不能都发生，就说事件A与事件B互不相容（或互斥）即AB=Φ
例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝；B=｛2，4｝
∴AB=Φ
（5）对立事件：事件A不发生的事件叫事件A的对立事件。记作
例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝，则
显然，对立事件有性质：
①
②
③
注意：A与B对立，则A与B互不相容，反之不一定成立。
例如在考试中A表示考试成绩为优，B表示考试不及格。A与B互不相容，但不对立。
下面图1.1至图1.6用图形直观的表示事件的关系和运算，其中正方形表示必然事件或
样本空间Ω。
图1.1表示事件事件A
图1.2阴影部分表示A+B
图1.3阴影部分表示AB
图1.4阴影部分表示A-B
图1.5表示A与B互不相容
图1.6阴影部分表示
事件的运算有下面的规律：
（1）A+B=B+A，AB=BA叫交换律
（2）（A+B）+C=A+（B+C）叫结合律
（AB）C=A（BC）
（3）A（B+C）=AB+AC
（A+B）（A+C）=A+BC叫分配律
（4）叫对偶律
例1，A，B，C表示三事件，用A，B，C的运算表示以下事件。
（1）A，B，C三事件中，仅事件A发生
【答疑编号：10010101针对该题提问】
（2）A，B，C三事件都发生
【答疑编号：10010102针对该题提问】
（3）A，B，C三事件都不发生
【答疑编号：10010103针对该题提问】
（4）A，B，C 三事件不全发生
【答疑编号：10010104针对该题提问】
（5）A，B，C三事件只有一个发生
【答疑编号：10010105针对该题提问】
（6）A，B，C三事件中至少有一个发生
【答疑编号：10010106针对该题提问】
解：（1）
（2）ABC
（3）
（4）
（5）
（6）A+B+C
例2.某射手射击目标三次：A1表示第1次射中，A 2表示第2次射中，A3表示第3次射中。B0表示三次中射中0次，B1表示三次中射中1次，B 2表示三次中射中2次，B3表示三次中射中3次，请用A1、A2、A3的运算来表示B0、B1、B2、B3
【答疑编号：10010107针对该题提问】
解：（1）
（2）
（3）
（4）
例3 ，A，B，C表示三事件，用A，B，C的运算表示下列事件。
（1）A，B都发生且C不发生
【答疑编号：10010108针对该题提问】
（2）A与B至少有一个发生而且C不发生
【答疑编号：10010109针对该题提问】
（3）A，B，C都发生或A，B，C都不发生
【答疑编号：10010110针对该题提问】
（4）A，B，C中最多有一个发生
【答疑编号：10010111针对该题提问】
（5）A，B，C中恰有两个发生
【答疑编号：10010112针对该题提问】
（6）A，B，C中至少有两个发生
【答疑编号：10010113针对该题提问】
（7）A，B，C中最多有两个发生
【答疑编号：10010114针对该题提问】
解：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）简记AB+AC+BC
（7）简记
例4，若Ω=｛1，2，3，4，5，6｝；A=｛1，3，5｝；B=｛1，2，3｝求（1）A+B；
【答疑编号：10010115针对该题提问】
（2）AB；
【答疑编号：10010116针对该题提问】
（3）；
【答疑编号：10010117针对该题提问】
（4）；
【答疑编号：10010118针对该题提问】
（5）；
【答疑编号：10010119针对该题提问】
（6）；
（7），
【答疑编号：10010121针对该题提问】
（8）。
【答疑编号：10010122针对该题提问】
解：（1）A+B=｛1，2，3，5｝；
（2）AB=｛1，3｝；
（3）=｛2，4，6｝；
（4）=｛4，5，6｝；
（5）=｛4，6｝；
（6）=｛2，4，5，6｝；
（7）=｛2，4，5，6｝；
（8）=｛4，6｝
由本例可验算对偶律，=，=正确例5，（1）化简；
【答疑编号：10010123针对该题提问】
（2）说明AB与是否互斥
【答疑编号：10010124针对该题提问】
解：（1）
（2）
例6.A，B，C为三事件，说明下列表示式的意义。（1）ABC；
【答疑编号：10010125针对该题提问】
（2）；
（3）AB；
【答疑编号：10010127针对该题提问】
（4）
【答疑编号：10010128针对该题提问】
解：（1）ABC表示事件A，B，C都发生的事件
（2）表示A，B都发生且C不发生的事件
（3）AB表示事件A与B都发生的事件，对C没有规定，说明C可发生，也可不发生。
∴AB表示至少A与B都发生的事件
（4）
所以也可以记AB表示，ABC与中至少有一个发生的事件。
例7.A，B，C为三事件，说明（AB+BC+AC）与是否相同。
【答疑编号：10010129针对该题提问】
解：（1）表示至少A，B发生
它表示A，B，C三事件中至少发生二个的事件。
（2）表示A，B，C三事件中，仅仅事件A与事件B发生的事件表示A，B，C三事件中仅有二个事件发生的事件。
因而它们不相同。
§1.2随机事件的概率
（一）频率：（1）在相同条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生了n A次，则事件A发生的次数n A叫事件A发生的频数。
（2）比值n A/n称为事件A发生的频率，记作f n（A），即
历史上有不少人做过抛硬币试验，其结果见下表，用A表示出现正面的事件：试验人n n A f n（A）
摩根204810610.5181
蒲丰404020480.5069
皮尔逊1200060190.5016
n
我们称这一常数为频率的稳定值。例如从上表可见抛硬币试验，正面出现的事件A的频率
f n（A）的稳定值大约是0.5。
（二）概率：事件A出现的频率的稳定值叫事件A发生的概率，记作P（A）
实际上，用上述定义去求事件A发生的概率是很困难的，因为求A发生的频率f n（A）的稳定值要做大量试验，它的优点是经过多次的试验后，给人们提供猜想事件A发生的概率的近似值。
粗略地说，我们可以认为事件A发生的概率P（A）就是事件A发生的可能性的大小，这种说法不准确，但人们容易理解和接受，便于应用。
下面我们不加证明地介绍事件A的概率P（A）有下列性质：
（1）0≤P（A）≤1
（2）P（Ω）=1，P（Φ）=0
（3）若A与B互斥，即AB=Φ，则有
P（A+B）=P（A）+P（B）
若A1，A2，……，A n互斥，则有
（三）古典概型：
若我们所进行的随机试验有下面两个特点：
（1）试验只有有限个不同的结果；
（2）每一个结果出现的可能性相等，
则这种试验模型叫古典概型。
例如，掷一次骰子，它的可能结果只有6个，假设骰子是均匀的，则每一种结果出现的可能性都是1/6，所以相等，这种试验是古典概型。
下面介绍古典概型事件的概率的计算公式：
设是古典概型的样本空间，其中样本点总数为n，A为随机事件，其中所含的样本点
数为r
则有公式：
例1，掷一次骰子，求点数为奇数点的事件A的概率。
【答疑编号：10010201针对该题提问】
解：样本空间为Ω=｛1，2，3，4，5，6｝；A=｛1，3，5｝
∴n=6,r=3
例2.掷三次硬币，设A表示恰有一次出现正面，B表示三次都出现正面，C表示至少出现一次正面，求：
（1）P（A）；
【答疑编号：10010202针对该题提问】
（2）P（B）；
【答疑编号：10010203针对该题提问】
（3）P（C）
【答疑编号：10010204针对该题提问】
解：样本空间Ω=｛正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反｝；
（1）
（2）
（3）
由于在古典概型中，事件A的概率P（A）的计算公式只需知道样本空间中的样本点的总数n和事件A包含的样本点的个数r就足够，而不必一一列举样本空间的样本点，因此，当样本空间的样本点总数比较多或难于一一列举的时候，也可以用分析的方法求出n与r的数值即可。
例3，从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 这10个数码中，取出三个不同的数码，求所取3个数码不含0和5的事件A的概率。
【答疑编号：10010205针对该题提问】
解：从10个不同数码中，任取3个的结果与顺序无关，所以基本事件总数
A事件中不能有0和5，所以只能从其余8个数码中任取3个，所以A中的基本事件
例4，从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取一个，放回后再取一个，求所取两个数字不同的事件A的概率。
【答疑编号：10010206针对该题提问】
解：（1）第一次取一个数字的方法有9种；
第二次取一个数字的方法与第一次相同也是9种；
由乘法原则，知两次所取的数字方法有9×9=92（种）
每一种取法是一个基本事件，所以n=92
（2）所取两个数字不同时，相当于从中任取两个数，其结果与顺序有关，所取取法有：
也可按（1）的乘法原则求r，第一次的取法有9种，第二次的数字与第1次不同，所以只有8种，所以取法共有9×8（种）
∴r=9×8
例5，袋中有5个白球，3个红球，从中任取2个球，
求（1）所取2个球的颜色不同的事件A的概率；
【答疑编号：10010207针对该题提问】
（2）所取2个球都是白球的事件B的概率；
（3）所取2个球都是红球的事件C的概率；
【答疑编号：10010209针对该题提问】
（4）所取2个球是颜色相同的事件的概率。
【答疑编号：10010210针对该题提问】
解：袋中共的8个球，从中任取2个球结果与顺序无关，所以取法共有种，每一种取法的结果是一个基本事件，所以基本事件总数为
（1）分两步取。第一步，在5个白球中任取一个，方法数为5；第二步在3个红球中取一个，方法数为3，根据乘法原则，共有5×3种方法，即有5×3种结果。
（2）从5个白球中任取2个，结果与顺序无关
∴取法共有（种）
∴B包含的基本事件共有r2=10
（3）从3个红球中任取2个的方法为（种）
∴C包含的基本事件数r3=3
∴
（4）所取2个球颜色相同的有两类：
第一类：2个球都是白球的方法有（种）
第二类：2个球都是红球的方法有（种）
根据加法原则，所取2个球是颜色相同的方法共有10+3=13种。
∴2个球颜色相同的事件D包含r4=13种基本事件。
∴
例6，袋中有10件产品，其中有7件正品，3件次品，从中每次取一件，共取两次，√√√√√√√×××
求:
（1）不放回抽样，第一次取后不放回，第二次再取一件，而且第一次取到正品，第二次取到次品的事件A的概率。
【答疑编号：10010211针对该题提问】
（2）放回抽样，第一次取一件产品，放回后第二次再取一件，求第一次取到正品，第二次取到次品的事件B的概率
解（1）第一次取一件产品的方法有10种
∵不放回，∴第二次取一件产品的方法有9种
由乘法原则知，取两次的方法共有10×9种
也可以用排列数计算，因为结果与顺序有关，所以取法有（种）
∴基本事件总数n=10×9
第一次取到正品，第二次取到次品的方法有7×3种，所以事件A包含的基本事件有：
（2）放回抽样。由于有放回，所以第一次、第二次取一件产品的方法都是10种，由乘法原则知抽取方法共有10×10=100种，所以基本事件总数
n=10×10=100
第一次取正品方法有7种，第二次取次品的方法有3种，由乘法原则，事件B包含的基本事件共有
例7，将一套有1,2,3,4,5分册的5本书随机放在书架的一排上，求1，2分册放在一起的事件A的概率。
【答疑编号：10010301针对该题提问】
解：（1）基本事件总数n=5×4×3×2×1（种）
或者为
（2）A包含的基本事件有（种）
例8，掷两次骰子，求点数和为7的事件A的概率。
【答疑编号：10010302针对该题提问】
解：（1）基本事件总数n=6×6=36（种）
（2）A=｛①⑥；②⑤；③④；④③；⑤②；⑥①｝
∴A包含的基本事件数r=6
例9，从1，2，3，4，5，6，7这七个数码中任取3个，排成三位数，求（1）所排成的三位数是偶数的事件A的概率。（2）所排成的三位数是奇数的事件B的概率。
【答疑编号：10010303针对该题提问】
解：基本事件总数（个）
（1）所排成的三位数是偶数的取法需分两步：
第一步，取一个偶数放在个位码位置，取法有3种；
第二步，将其余6个数中任取两个排成一排，分别处于十位数和百位数码位置，共有
种方法。
根据乘法原则，事件A包含的基本事件数
（2）所排成的三位数的取法也需分两步进行；
第一步，取一个奇数放在个位码位置，有4种方法。
第二步，将其余6个数中任取两个放在十位码和百位码，方法有种。
根据乘法原则，事件B包含的基本事件数
例10，袋中有9个球，分别标有号码1，2，3，4，5，6，7，8，9从中任取3个球，求
（1）所取3个球的最小号码为4的事件A的概率；
【答疑编号：10010304针对该题提问】
（2）所取3个球的最大号码为4的事件B的概率；
【答疑编号：10010305针对该题提问】
解：基本事件总数（个）
（1）最小号码为4的取法分两步进行
第一步，取出4号球，方法只有1种
第二步，在5，6，7，8，9这5个球中任取2个，方法数为
∴A包含的基本事件
（2）最大码为4的取法为：
第一步，取出4号球方法只有1种
第二步，在1，2，3号球中任取2个，方法数为
∴B包含的基本事件
例11，将两封信投入4个信箱中，求两封信在同一信箱的事件A的概率。
【答疑编号：10010306针对该题提问】
解：（1）先将第一封信投入信箱，有4种方法
再将第二封信投入信箱，也有4种方法
∴根据乘法原则共有4×4种方法
∴基本事件总数n=4×4
（2）将两封信同时投入一个信箱，方法有4种
∴A包含的基本事件数r=4
例12，袋中有10个球，其中有6个白球，4个红球，从中任取3个，求：（1）所取的三个球都是白球的事件A的概率
【答疑编号：10010307针对该题提问】
（2）所取三个球中恰有2个白球一个红球的事件B的概率
【答疑编号：10010308针对该题提问】
（3）所取3个球中最多有一个白球的事件C的概率
【答疑编号：10010309针对该题提问】
（4）所取3个球颜色相同的事件D的概率
【答疑编号：10010310针对该题提问】
解：基本事件总数
（1）A包含的基本事件数
（2）B包含的基本事件数
（3）C的基本事件包含两类：
第一类，一个白球，二个红球的取法有
第二类，0个白球，三个红球取法有种
∴事件C包含的基本事件数
（4）事件D包含的基本事件有两类：
第一类，三个球都是白球的取法有种
第二类，三个球都是红球的取法有种
∴事件D包含的基本事件数（种）
（四）概率的加法公式
请先看下面引例：
掷一次骰子，A=｛1，3，5｝，B=｛1，2，3｝请求：
（1）P（A）；
【答疑编号：10010311针对该题提问】
（2）P（B）；
【答疑编号：10010312针对该题提问】
（3）P（A+B）；
【答疑编号：10010313针对该题提问】
（4）P（AB）
【答疑编号：10010314针对该题提问】
解：（1）
（2）
（3）
（4）
由本例看出，P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB），本例的结果具有普遍性，下面我们不加证明地介绍下面公式：
特别情形：
（1）如果A与B互斥，即AB=Φ则P（AB）=0 这时
（2）因为A与有性质
所以
当上面等式中左边的概率P（A）不易求得，而且A的对立事件的概率则较易计
算时，便可以通过容易计算的求难计算的概率P（A）。
例1若P（A）=0.5，P（A+B）=0.8，P（AB）=0.3，求P（B）
【答疑编号：10010315针对该题提问】
解：因为P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）
∴P（B）=P（A+B）+P（AB）-P（A）
=0.8+0.3-0.5=0.6
例2，袋中有10件产品，其中有6件正品，4件次品，从只任取3件，求所取3件中有次品的事件A的概率。
【答疑编号：10010316针对该题提问】
解：A表示有次品，它包含有1件次品，有2件次品，有3件次品三类事件，计算比较复杂。
而对立事件则表示没有次品，即都是正品的事件，比较简单。
因为基本事件总数
事件包含的基本事件
加法公式可推广如下：
例3，P（A）=0.4，P（B）=0.5，P（C）=0.4，P（AB）=0.2，P（AC）=0.24，P（BC）=0，求P（A+B+C）。
【答疑编号：10010317针对该题提问】
解：
（五）概率的减法公式
因为，而，而BA与明显不相容。
特别地，若，则有AB=A
所以当
例1 ，已知P（B）=0.8，P（AB）=0.5，求
【答疑编号：10010318针对该题提问】
解：
例2，若A与B互不相容，P（A）=0.5，P（B）=0.3，求
【答疑编号：10010319针对该题提问】
解：（1）P（A+B）=P（A）+P（B）=0.8
根据对偶公式
所以
§1.3条件概率
（一）条件概率和乘法公式
符号叫在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，叫条件概率，需要指出的是条件概率仍是事件A的概率，但是它有条件，条件是以B已经发生为前提，或者是以B已经发生为条件。
例1，某厂有200名职工，男、女各占一半，男职工中有10人是优秀职工，女职工中
有20人是优秀职工，从中任选一名职工。
用A表示所选职工优秀，B表示所选职工是男职工。
求（1）P（A）；
【答疑编号：10010401针对该题提问】
（2）P（B）；
【答疑编号：10010402针对该题提问】
（3）P（AB）；
【答疑编号：10010403针对该题提问】
（4）；
【答疑编号：10010404针对该题提问】
解：（1）
（2）
（3）AB 表示所选职工既是优秀职工又是男职工
（4）
表示已知所选职工是男职工。在已知所选职工是男职工的条件下，该职工是
优秀职工，这时n=100,r=10
由本例可以看出 事件A 与事件
不是同一事件,所以它们的概率不同,即
由本例还可看出, 事件AB 与事件
也不相同， 事件AB 表示所选职工既是男职工又是优秀
职
工，这时基本事件总数n 1=200，r=10。而事件 则表示已知所选职工是男职工，所以基本事件总数n 2=100，r=10，所以虽然P （AB ）与
不相同，但它们有关系，
由本例可以看出
本例的结果具有普遍性。下面我们不加证明地给出下面的乘法公式：
显然有：若P （A ）>0则有
将上面的结果改写为整式有
∴
公式叫概率的乘法公式。
例2，在10件产品中，有7件正品，3件次品，从中每次取出一件（不放回），A表示第一次取出正品，B表示第二次取出正品，求：
（1）P（A）；
【答疑编号：10010405针对该题提问】
（2）；
【答疑编号：10010406针对该题提问】
（3）P（AB）
【答疑编号：10010407针对该题提问】
解（1）
（2）
∴（3） =
例3，若P（AB）=0.3，P（B）=0.5，求
【答疑编号：10010408针对该题提问】
解：
例4，若P（A）=0.8，P（B）=0.4，，求。
【答疑编号：10010409针对该题提问】
解：（1）
∴（2）
例5，某人寿命为70岁的概率为0.8，寿命为80岁的概率为0.7，若该人现已70岁时，问他能活到80岁的概率是多少？
【答疑编号：10010410针对该题提问】
解：用A表示某人寿命为70岁，B表示某人寿命为80岁。
已知P（A）=0.8，P（B）=0.7
由于
因为
所以，已经活到70岁的人能活到80岁的概率为0.875
乘法公式可以推广为：
例6，袋中有三件正品，二件次品（√√√××）从中每次取出1件（不放回）共取3次，求第3次才取到次品的事件B的概率。
【答疑编号：10010411针对该题提问】
解：用A1表示第一次取到正品
A2表示第二次取到正品
A3表示第三次取到正品
则
用古典概型计算P（A1），这时n1=5，r1=3
再用古典概型计算，这时n2=4，r2=2
再用古典概型计算，这时n3=3，r3=2
（二）全概公式
定义：若事件组满足条件
（1）互不相容
（2）在一次试验中，事件组中至少发生一个，即
就说事件组是样本空间Ω的一个划分。
例如事件组A与有所以事件组是样本空间的一个划分。
例如某产品由甲、乙、丙三厂分别生产，A1表示该产品由甲厂生产，A2表示该产品由乙厂生产，A3表示该产品由丙厂生产，则事件组A1，A2，A3满足：
第二章 资产评估的基本方法 一.成本法的基本计算公式： 被评估资产评估值=重置成本—实体性贬值—功能性贬值—经济性贬值 被评估资产评估值=重置成本x 成新率 二、重置成本的估算： 1. 重置核算法： （1）按人工成本比例法计算： 间接成本=人工成本总额x 成本分配率 成本分配率=间接成本额/人工成本额x100% , （2）单位价格法： 间接成本=工作量（按工日或工时）x 单位价格/按工日或工时 （3）直接成本百分率法： 间接成本=直接成本x 间接成本占直接成本百分率 2. 物价指数法： 资产重置成本=资产历史成本x 资产评估时物价指数/资产购建时物价指数 或： 资产重置成本=资产历史成本x （1+物价变动指数） 3. 功能价值法： 重置成本 参照物参照物年产量 被评估资产年产量重置成本 被评估资产? = ￥ 4．规模经济效益指数法： X ? ? ? ??=参照物资产的产量被评估资产的产量参照物资产的重置成本被评估资产的重置成本 X 表示是一个经验数据，称为规模经济效益指数 统计分析法：K=R ’/R K---资产重置成本与历史成本的调整系数 R ’-----某类抽样资产的重置成本 R----某类抽样资产的历史成本 三、实体性贬值及其估算： 1.观察法（成新率法）： 资产的实体性贬值=重置成本x （1－实体性成新率） 2.公式计算法： 使用年限 实际已总使用年限预计残值重置成本体性贬值资产的实?-= ~ 总使用年限=实际使用年限＋尚可使用年限 实际已使用年限=名义已使用年限×资产利用率 %100?=定利用 截止评估日资产累计法际利用时间截止评估日资产累计实资产利用率 四、功能性贬值及其估算 资产的功能性贬值测算方法： ∑=? ?? ? ? ??= n t 1 系数折现净超额运营年本被评估资产年功能性贬值额 被评估资产 （超额投资成本可视为功能性贬值|） 功能性贬值=复原重置成本－更新重置成本 五、经济性贬值及其估算: %1001?? ?? ????????? ??-=x 生产能力利用的生产能力资产预计可被贬值率经济性 ()n r A P ,,1????? ??-?=税率所得益损失额资产年收贬值额经济性: 六、成新率及其估算 ! 1. 使用年限法： 成新率=（预计尚可使用年限/实际已使用年限＋预计尚可使用年限）×100% 2. 修复费用法：
。 8价值类型制约资产评估方法的选择。要紧价值类型有： 市场价值。 在用价值：在用价值是指特定资产在特定用途下对特定使用者的价值。 投资价值：投资价值是指资产关于具有明确投资目的的特定投资者或某一类投资者所具有的价值。 9资产评估的假设： 接着使用假设 公开市场假设：公开市场是指发达与完善的市场条件。公开市场假设是基于市场客观存在的现实，即资产在市场上能够
公开买卖，不论资产的买者或卖者都希望得到资产最大最佳效用。 清算（清偿）假设 10资产评估的原则 包括两个层次的内容，即资产评估的工作原则和资产评估的经济原则。 资产评估的工作原则：、独立性原则、客观性原则、科学性原则、专业性原则 资产评估的经济原则：贡献原则、替代原则、预期原则 11资产评估基础日一般的基准时点是日。 第二章资产评估的差不多方法 要求掌握资产评估的差不多方法、评估差不多方法的运用及方法中各个指标的确定。 第一节市场法 市场法是指通过比较被评估资产与最近售出类似资产的异同，并将类似资产的市场价格进行调整，从而确定被评估资产价值的一种评估方法。 市场法应用的前提条件：
需要有一个充分发育的活跃的公平的资产交易市场； 被评估资产的市场参照物及其相比较的指标、技术参数等资料是能够搜集的。 运用市场法评估资产优缺点 市场法的优缺点： 市场法是资产评估中最简单、最有效的方法。其优点表现在：能够客观反映资产目前的市场情况，其评估的参数、指标直接从市场获得，评估值更能反映市场现实价格；评估结果易于被各方面理解和同意。 市场法的缺点表现在：需要有公开及活跃的市场作为基础，有时缺少可对比数据以及缺少推断对比数据而难以应用；不适用于专用机器、设备、大部分的无形资产，以及受地区、环境等严格限制的一些资产的评估。通常适应于商业用房、通用设备等资产的评估。 第二节成本法 成本法及其适用的前提条件 成本法是指在评估资产时按被评估资产的现时重置成本扣减其各项损耗价值来确定被评估资产价值的方法。
第一章 随机事件与概率 第一节 随机事件及其运算 1、 随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象 2、 样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为Ω={ω},其中ω 表示基本结果，又称为样本点。 3、 随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A 、B 、C 等表 示，Ω表示必然事件， ?表示不可能事件。 4、 随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X 、Y 、Z 等表示。 5、 时间的表示有多种： （1） 用集合表示，这是最基本形式 （2） 用准确的语言表示 （3） 用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示 6、事件的关系 （1）包含关系：如果属于A 的样本点必属于事件B ，即事件 A 发生必然导致事 件B 发生，则称A 被包含于B ，记为A ?B; （2）相等关系：若A ?B 且B ? A ，则称事件A 与事件B 相等，记为A ＝B 。 （3）互不相容：如果A ∩B= ?，即A 与B 不能同时发生，则称A 与B 互不相容 7、事件运算 （1）事件A 与B 的并：事件A 与事件B 至少有一个发生，记为 A ∪B 。 （2）事件A 与B 的交：事件A 与事件B 同时发生，记为A∩ B 或AB 。 （3）事件A 对B 的差：事件A 发生而事件B 不发生,记为 A －B 。用交并补可以 表示为B A B A =-。 （4）对立事件：事件A 的对立事件（逆事件），即 “A 不发生”，记为A 。 对立事件的性质：Ω=?Φ=?B A B A ,。 8、事件运算性质：设A ，B ，C 为事件，则有 （1）交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA （2）结合律：A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A ∪(B∩C)＝(A ∪B)∩(A∪C)、 A(B ∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB ∪AC （4）棣莫弗公式（对偶法则）：B A B A ?=? B A B A ?=? 9、事件域：含有必然事件Ω ，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类ξ 称为事件域，又称为σ代数。具体说，事件域ξ满足： （1）Ω∈ξ; (2)若A ∈ξ，则对立事件A ∈ξ； （3）若A n ∈ξ，n=1,2，···，则可列并 ∞ =1 n n A ∈ξ 。
第一章总论 本章是资产评估的理论性、方法性、基本概念的章节，在历年考试中，本章的比重较大。 1、一般地说，资产评估是指通过对资产某一时点价值的估算 2、资产评估的特点：现实性、市场性、预测性、公正性、咨询性 3、资产评估与会计计价的区别：发生的前提条件不同、目的不同、执行操作者不同。当然，资产评估与会计计价也是有联系的，二者相辅相成。 4、资产的价值是由资产所具有的获利能力决定的。 5、按资产存在的形态可以分为有形资产和无形资产。 6、有形资产是指那些具有实体形态的资产，包括机器设备、房屋建筑物、流动资产等。按资产能否独立存在可以分为可确指的资产和不可确指的资产。 7、不可确指的资产是指不能独立于有形资产而单独存在的资产，如商誉。目前不可确指的资产只有商誉。 8、价值类型制约资产评估方法的选择。主要价值类型有： 市场价值。 在用价值：在用价值是指特定资产在特定用途下对特定使用者的价值。 投资价值：投资价值是指资产对于具有明确投资目的的特定投资者或某一类投资者所具有的价值。 9、资产评估的假设： 继续使用假设公开市场假设：公开市场是指发达与完善的市场条件。公开市场假设是基于市场客观存在的现实，即资产在市场上可以公开买卖，不论资产的买者或卖者都希望得到资产最大最佳效用。 清算（清偿）假设 10、资产评估的原则包括两个层次的内容，即资产评估的工作原则和资产评估的经济原则。 资产评估的工作原则：独立性原则、客观性原则、科学性原则、专业性原则 资产评估的经济原则：贡献原则、替代原则、预期原则 11、资产评估基础日一般的基准时点是日。 第二章资产评估的基本方法要求 掌握资产评估的基本方法、评估基本方法的运用及方法中各个指标的确定。
概率论与数理统计知识点 总结详细 Newly compiled on November 23, 2020
《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P
第一章：总论 1、资产评估的含义：资产评估是一项动态化、市场化的社会经济活动。一般来说，资产评估是指通过对资产某一时点价值的估算，从而确定其价值的经济活动。具体地说，资产评估是指由专门机机和人员，依据国家规定和有关资料，根据特定的目的，遵循适用的原则，选择适当的价值类型，按照法定的程序，运用科学的方法，对资产价值进行评定和估算的过程。 2、资产评估的主要由六大要素组成即：资产评估的主体、客体、特定目的、程序、价值类型和方法。 1) 评估的主体是指：资产评估由谁来承担，它是资产评估工作得以进行的重要保证。 2) 评估的客体是指：资产评估的对象，它是对资产评估内容上的界定。 3) 评估的特定目的是指：资产业务发生的经济行为，直接决定和制约资产评估价值类型和方法的选择。 4) 评估的价值类型是指：以评估价值的质的规定，对资产评估方法的选择具有约束性 5) 资产评估的方法是指：确定资产评估价值的手段和途径。 3、资产评估的特点： 1) 现实性：指以评估基期为时间参照，按这一时点的资产实际状况对资产进行的评定估算。资产评估基期是指确定的资产评估价值的基准时间(一般是以“日”基准时点，选择与资产业务或评估业务作业时间较接近的时期。) 资产评估的现实性表现在以下三个方面： A：资产评估直接以现实存在的资产作为估价的依据，只要求说明当前资产状况，而不需要说明为什么形成这个状况，以及如何由过去的那种状况变成当前状况； B：以现实状况为基础反映未来 C：现实性强调客观存在 2) 市场性。资产评估是服务于市场的活动，在市场交易活动发生的条件下，资产评估通过模拟市场条件对资产价值作出评定估算和报告，并且，这一估算和报告结果必须接受市场检验。 3) 预测性、指用资产的未来时空的潜能说明现实。 4) 公正性：资产评估行为对于评估当事人具有独立性，它服务于资产业务的需要，而不是服务于资产业务当事人的任何一方的需要。公正性的表现有两点：一是资产评估是按公允、法定的准则和规程进行的，具有公允的行为规范，这是公正性技术基础。二是评估人员通常是与资产业务没有利害关系的第三者，这是公正性的组织基础。 5) 咨询性。指资产评估结论是为资产业务提供专业化估价意见，这个意见本身并无强制执行的效力，评估者只对结论本身合乎职业规范要求负责，而不对资产业务定价决策负责。 4、资产评估与会计计价的区别： 1) 二者发生的前提条件不同 2) 二者的目的不同 3) 执行操作者不同。 5、资产的含义：企业拥有和控制的，能以货币计量的经济资源。 1) 资产是一种权利 2) 资产是一种获利能力 3) 资产必须为某一主体所拥有和支配。 6、资产的分类： 为了科学地进行资产评估，应对资产评估对象按不同的标准进行合理的分类：
《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。
资产评估 第一章总论 第一节资产评估的含义 一、资产评估的概念 资产评估：指由专门机构和人员，依据国家规定和有关资料，根据特定的目的，遵循适用的原则，选择适当的价值类型，按照法定的程序，运用科学的方法，对资产价值进行评定和估算的过程。 资产评估六大要素：主体、客体、特定目的、程序、价值类型和方法。 主体：是指资产评估由谁来承担，评估工作进行的重要保证 客体：评估的对象，内容的界定 特定目的：资产业务发生的经济行为，决定和制约价值类型和方法的选择 价值类型：是对评估价值的质的规定，评估方法的选择具有约束性。 方法：是确定资产评估价值的手段和途径。 二、资产评估的特点 （一）现实性 现实性是指以评估基准期为时间参照，按这一时点的资产实际状况对资产进行的评定估算。资产评估的现实性表现的以下三个方面： （1）资产评估直接以现实存在为资产确认、估价和报告的依据，没有与过去业务及其记录进行衔接、均衡、达成一致等约束，只需要说明当前资产状况； （2）以现实状况为基础反映未来； （3）现实性强调客观存在。 （二）市场性 （三）预测性 用资产的未来时空的潜能说明现实。未来没有潜能和效益的资产，现实评估价值是不存在的。 （四）公正性 资产评估行为对于评估当事人具有独立性。 （五）咨询性 是为资产业务提供的专业化估价意见，无强制执行效力 三、资产评估与会计计价的区别 第二节资产评估的对象 一、资产的含义
资产作为被评估的对象，可以从几个方面理解： （一）资产是一种权利 （二）资产是一种获利能力 （三）资产必须为某一主体所拥有和支配 二、资产的分类 从西方发达国家资产评估历史分析，最初的资产评估对象主要是不动产。 第三节资产评估的价值类型 一、资产评估的特定目的 资产评估的特定目的对资产评估的影响表现在两个方面： 一是：在什么样的条件下，即资产发生怎样的经济行为时应该评估和可以评估； 二是：不同的经济行为决定了评估价值类型的差异，引致资产评估结果的差异。 资产评估的特定目的主要有：资产转让；企业兼并；企业出售；企业联营；股份经营；中外合资、合作；企业清算；抵押；担保；企业租赁；债务重组等等。 二、资产评估的价值类型 （一）价值类型的作用 价值类型：是指评估价值的含义，是评估价值质的规定。 1.价值类型是影响和决定资产评估价值的重要因素。 2.价值类型制约资产评估方法的选择。 3.明确评估价值类型，可以更清楚地表达评估结果，可以避免报告使用者误用评估结果。 （二）价值类型的类别 1.市场价值 市场价值的理解从三个方面把握；（1）公开和公平的市场条件；（2）当事人是理性的；（3）市场价值是价值估计数额。 2.在用价值 在用价值：是指特定资产在特定用途下对特定使用者的价值，该价值类型重点反映了作为企业组成部分的特定资产对其所属企业能够带来的价值，而并不考虑该资产的最佳用途或资产变现所能实现的价值量。 3.投资价值 与市场价值相比，投资价值是个人的价值，它未必是市场价值。 4.持续经营价值 如果持续经营价值超过生产终止时的生产价值，那么进行经营是有意义的。 5.清算价格 清算价格一般低于现行市场价格，这是由市场供求状况决定的。 清算价格一般取决于下列几个因素： （1）资产的通用性；（2）清算时间的限制。 6.保险价值 保险价值是指可能因危险造成损失的实体项目的重置和（或）重建成本。 7.课税价值 （三）价值类型决定因素 主要因素包括：
概率论与数理统计期末考 试试题及解答 Prepared on 24 November 2020
一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案： 解： 即 所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则 ==)3(X P ______. 答案： 解答： 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 另解 在(0,2)上函数2y x = 严格单调，反函数为()h y =所以 4．设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答： 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ= 41e -=-. 5．设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案： 解答： 似然函数为 解似然方程得θ的极大似然估计为
2020年自考“资产评估”串讲笔记(5)-自考资讯 第五章无形资产评估 无形资产指没有事物形态的资产，但是为特定的主体所拥有，并能够长期发挥效用的一种资源，2012年自考“资产评估”串讲笔记(5)。 无形资产的特点： 1、无形资产具有非流动性，并且有效期较长。 2、无形资产没有物质实体，但未来收益较大 3、无形资产单独不能获得收益，它必须附着于有形资产。 无形资产的分类： 无形资产种类很多，可以按不同标准进行分类。 1、按企业取得无形资产的渠道，可分为企业自创（或自身拥有）的无形资产和外购的无形资产。 2、按有无法律保护，可以分为法定无形资产和收益性无形资产。专利权、商标权等均受到国家有关法律的保护，称为法定无形资产；无法律保护的无形资产，如专有技术等称为收益性无形资产。 3、按可辨识程度，可以分为可确指无形资产和不可确指无形资产。凡是那些具有专门名称，可单独地取得、转让或出售的无形资产，称为可确指的无形资产，无形资产包括商标权、版权、计算机 软件等。不可确指主要指商誉。 每一项无形资产，一般都有一定的使用期限，自考资讯《2012 年自考“资产评估”串讲笔记(5)》(https://www.doczj.com/doc/8411250796.html,)。使用期限 的长短，主要取决于损耗程度。无形资产有效期限是其存在的前提。无形资产具有超额收益能力的时间是真正的无形资产有效期限。 无形资产功能特性：
1、附着性。 2、共益性。 3、积累性。 4、替代性。 专利权是国家专利机关依法批准的发明人或其权利受让人对其发明成果，在一定期间内享有的占权或专有权。 商标权是商标注册后，商标所有者依法享有的权益，它受到法律保障，未注册商标不受法律保护。 商誉通常是指企业在同等条件下，能获取高于正常投资报酬率所形成的价值。 特征： 1、商誉不能离开企业而单独存在，不能与企业的可确指资产分开出售。 2、商誉是多项因素作用形成的结果，但形成商誉的个别因素不能以任何方法单独计价。 3、商誉本身不是一项单独的、能产生收益的无形资产，而只是超过企业可确指的各单项资产价值之和的价值。 4、商誉是企业长期积累起来的一项价值。
概率论与数理统计主要内容小结 概率部分 1、全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式： )()|()(11B P B A P A P = ++)()|(22B P B A P )()|(n n B P B A P + 其中n B B B ,,,21 是空间S 的一个划分。 贝叶斯公式：∑== n j j j i i i B A P B P B A P B P A B P 1 ) |()() |()()|( 其中n B B B ,,,21 是空间S 的一个划分。 2、互不相容与互不相关 B A ,互不相容0)(,==?B A P B A φ 事件B A ,互相独立))(()(B A P B A P =? ; 两者没有必然联系 3、几种常见随机变量概率密度与分布律:两点分布，二项分布，泊松分布，均匀分布，二项分布，指数分布，正态分布。 ),,1(~p b X 即二点分布，则分布律为.1,0,)1(}{1=-==-k p p k x P k k ),,(~p n b X 即二项分布，则分布律为.,...,1,0,)1(}{n k p p C k x P k n k k n =-==- ),(~λπX 即泊松分布，则分布律为,......1,0,! }{== =-k k e k x P k λ λ ),,(~b a U X 即均匀分布，则概率密度为.,0),(,1 )(??? ??∈-=其它 b a x a b x f ),(~θE X 即指数分布，则概率密度为.,00 ,1)(?? ???>=-其它x e x f x θ θ ),,(~2σμN X 即正态分布，则则概率密度为+∞<<-∞= - x e x f x ,21)(2 2π .
对概率论与数理统计的认识
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对概率论与数理统计的认识 院系数学与信息工 程系 专业数学与应用数学 姓名刘建丽
对概率论与数理统计的认识 摘要 概率作为数学的一个重要部分,在生活中的应用越来越广，同样也在发挥着越来越广泛的用处。加强数学的应用性，让学生用数学知识和数学的思维方法去看待，分析,解决实际生活问题,在数学活动中获得生活经验。这是当前课程改革的大势所趋。加强应用概率的意识,不仅仅是学习的需要,更是工作生活必不可少的。人类认识到随机现象的存在是很早的,但书上讲的都是理论知识，我们不仅仅要学好理论知识，应用理论来实践才是重中之重。学好概率论，并应用概率知识解决现实问题已是我们必要的一种生活素养。 关键字:概率论实践解决问题 一,学科历史 三四百年前在欧洲许多国家,贵族之间盛行赌博之风。掷骰子是他们常用的一种赌博方式。因骰子的形状为小正方体,当它被掷到桌面上时，每个面向上的可能性是相等的,即出现1点至６点中任何一个点数的可能性是相等的。有的参赌者就想:如果同时掷两颗骰子,则点数之和为９与点数之和为１0，哪种情况出现的可能性较大。 17世纪中叶,法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵族德·梅耳,发现了这样的事实：将一枚骰子连掷四次至少出现一个六点的机会比较多，而同时将两枚骰子掷２4次,至少出现一次双六的机会却很少。这是什么原因呢?后人称此为著名的德·梅耳问题。又有人提出了“分赌注问题”：两个人决定赌若干局,事先约定谁先赢得６局便算赢家。如果在一个人赢3局,另一人赢4局时因故终止赌博,应如何分赌本?诸如此类的需要计算可能性大小的赌博问题提出了不少,但他们自己无法给出答案。数学家们“参与”赌博。参赌者将他们遇到的上述问题请教当时法国数学家帕斯卡,帕斯卡接受了这些问题，他没有立即回答，而把它交给另一位法国数学家费尔马。他们频频通信,互相交流，围绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。这些问题后来被来到巴黎的荷兰科学家惠更斯获悉,回荷兰后，他独立地进行研究。帕斯卡和费尔马一边亲自做赌博实验,一边仔细分析计算赌博中出现的各种问题，终于完整地解决了“分赌注问题”，并将此题的解法向更一般的情况推广,从而建立了概率论的一个基本概念——数学期望，这是描述随机变量取值的平均水平的一个量。而惠更斯经过多年的潜心研究,解决了掷骰子中的一些数学问题。1657年,他将自己的研究成果写成了专著《论掷骰子游戏中的计算》。这本书迄今为止被认为是概率论中最早的论著。因此可以说早期概率论的真正创立者是帕斯卡、费尔马和惠更斯。这一时期被称为组合概率时期,计算各种古典概率。在他们之后，对概率论这一学科做出贡献的是瑞士数学家族——贝努利家族的几位成员。雅可布·贝努利在前人研究的基础上,继续分析赌博中的其他问题,给出了“赌徒输光问题”的详尽解法,并证明了被称为“大数定律”的一个定理,这是研究等可能性事件的古典概率论中的极其重要的结果。大数定律证明的发现过程是极其困难的，他做了大量的实验计算,首先猜想到这一事实,然后为了完善这一猜想的证明,雅可布花了20年的时光。雅可布将他的全部心血倾注到这一数学研究之中，从中他发展了不少新方法,取得了许多新成果，终于将此定理证实。１７１３年,雅可布的著作《猜度术》出版。遗憾的是在他的大作问世之时，雅可布已谢世
第二章 资产评估的基本方 法 一.成本法的基本计算公式： 被评估资产评估值=重置成本—实体性贬值—功能性贬值—经济性贬值 被评估资产评估值+重置成本x 成新率 二、重置成本的估算： 1重置核算法： （1）按人工成本比例法计算： 间接成本=人工成本总额x 成本分配率 成本分配率=间接成本额/人工成本额x100% （2）单位价格法： 间接成本=工作量（按工日或工时）x 单位价格/按工日或工时 （3）直接成本百分率法： 间接成本=直接成本x 间接成本占直接成本百分率 2. 物价指数法： 资产重置成本=资产历史成本x 资产评估时物价指数/资产购建时物价指数 或： 资产重置成本=资产历史成本x （1+物价变动指数） 3. 功 能 价 值 法 ： 重置成本参照物参照物年产量被评估资产年产量重置成本 被评估资产? = 4．规模经济效益指数法： X ? ?? ??=参照物资产的产量被评估资产的产量参照物资产的重置成本被评估资产的重置成本 X 表示是一个经验数据，称为规模经济效益指数 统计分析法：K=R ’/R K---资产重置成本与历史成本的调整系数 R ’-----某类抽样资产的重 置成本 R----某类抽样资产的历史成本 三、实体性贬值及其估算： 1.观察法（成新率法）： 资产的实体性贬值=重置成本x （1－实体性成新率） 2. 公 式 计 算 法 ： 使用年限 实际已总使用年限预计残值重置成本体性贬值资产的实? -= 总使用年限=实际使用年限＋尚可使用年限 实际已使用年限=名义已使用年限×资产利用率 % 100?= 定利用 截止评估日资产累计法际利用时间 截止评估日资产累计实资产利用率 三、功能性贬值及其估算 资产的功能性贬值测算方法： ∑=??? ? ???=n t 1系数折现净超额运营年本被评估资产年功能性贬值额被评估资产 （超额投资成本可视为功能性贬值|） 功能性贬值=复原重置成本－更新重置成本 四、经济性贬值及其估算: % 1001???? ? ???????? ??-=x 生产能力资产原设计利用的生产能力资产预计可被贬值率经济性 ()n r A P ,,1???? ? ??-?=税率所得益损失额资产年收贬值额经济性: 五、成新率及其估算 1. 使用年限法：成新率=（预计尚可使用年限/实际已使用年限＋预计尚可使用年限）×100% 2. 修复费用法：成新率=1—修复费用/重置成本×100% 六、收益法： 1.资产未来收益期有限情况： 评估值= () ()∑ =+++=n t t t t r A r R P 1 11 R i---未来第i 个收益期的预期收益额，收益期有限 时， R i-中还包括期末资产剩余净额。 n----收益年期 r-----折现率 2.资产未来收益无限期情况： （1）未来收益年金化情况：资产评估值（收益限值）=年收益额/资本化率 年 等 值 收 益 额 ： 评 估 值 = () () ∑ ∑ ==++ +=n t t n i t t r A r R P 1 1 11 2. 未来收益不等额情形： 资产评估值（预 期收益现值）=Σ前若干年各年收益额×各年折现系数+以后各年的年金化收益/资本化率×前若干年最后一年的折现系数 第三章一、机器设备评估的成本法：机器
概率论与数理统计必考大题解题索引 编制：王健 审核： 题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。 【相关公式】 全概率公式： ()()()()()() n 1122S P()=|()||()() (|)() =()(|)()(|). i n n E S A E B A P A B P B P A B P B P A B P B P AB P B A P A P A P A B P B P A B P B +++= =+12设实验的样本空间为，为的事件，B ，B ，……，B 为的划分，且>0,则有： P ?…其中有：。特别地：当n 2时，有： 贝叶斯公式： ()()i 1 00(1,2,,),()(|)() (|)()(|)() =()(|)() (|)()(|)()(|)() i i i i n i i j E S A E A P B i n P B A P A B P B P B A P A P A B P B P AB P A B P B P B A P A P A B P B P A B P B =>>===== +∑12n 设实验的样本空间为。为的事件,B ，B ，……，B 为S 的一个划分，且P ，……则有：特别地： 当n 2时，有： 【相关例题】 1.三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求： （1）恰好取到不合格品的概率； （2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。 解：设事件 表示：“取到的产品是不合格品”；事件i A 表示：“取到的产品是第i 家工 厂生产的”（i =123，，）。 则Ω== 3 1i i A ，且P A i ()>0，321A A A 、、两两互不相容，由全概率公式得 （1）∑=?=3 1 )|()()(i i i A A P A P A P 1000/37100 210035100410025100510040=?+?+?=
自考《资产评估》串讲讲义 第一部分试题的题型题量 目前《资产评估》试题的题型包括五种题型：单选题、多选题、名词解释、简答题和计算题，具体情况如下表： 《资产评估》试题题型和题量 第二部分各章重点串讲 对资产评估课程的学习，应该做到“全面复习、重点掌握、融会贯通”，在前面基础班中学员已经进行了全面复习，下面我重点指出各章关键的知识点，这些关键知识点是本学科的支撑点，也是考试的重点。 第一章总论（★★） 一、本章考情及重点 1.本章在考试中处于重要地位，属于考试的重点章。本章在考试中的题型主要有单选、多选、名词解释和简答，分数在8分左右。例如，2007-2009年考试情况如下： 2007—2009年本章出题题型和题量（分值）统计表
注：★越多越重要。 2．本章的重点是资产评估的价值类型、资产评估的程序。 二、本章重点内容串讲 第一节资产评估的含义 （一）资产评估的概念 1．资产评估是指通过对资产某一时点价值的估算，从而确定其价值的经济活动。 2．资产评估主要由六大要素组成，即资产评估的主体、客体、特定目的、程序、价值类型和方法。 （二）资产评估的特点 现实性、市场性、预测性、公正性、咨询性 （三）资产评估与会计计价的区别 1.二者发生的前提条件不同 2.二者的目的不同 3.二者的执行操作者不同 第二节资产评估的对象 （一）资产的含义 会计学中的资产是指过去的交易或事项形成并由企业拥有或者控制的资源，该资源预期会给企业带来经济利益；作为资产评估对象的资产，可以从以下几个方面理解： 1.资产是一种权利 2.资产是一种获利能力 3.资产必须为某一主体所拥有和支配 （二）资产的分类
《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事 件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P
资产评估的基本方法 一.成本法的基本计算公式： 被评估资产评估值=重置成本—实体性贬值—功能性贬值—经济性贬值 被评估资产评估值+重置成本x 成新率 二、重置成本的估算： 1重置核算法： （1）按人工成本比例法计算： 间接成本=人工成本总额x 成本分配率 成本分配率=间接成本额/人工成本额x100% （2）单位价格法： 间接成本=工作量（按工日或工时）x 单位价格/按工日或工时 （3）直接成本百分率法： 间接成本=直接成本x 间接成本占直接成本百分率 2. 物价指数法： 资产重置成本=资产历史成本x 资产评估时物价指数/资产购建时物价指数 或： 资产重置成本=资产历史成本x （1+物价变动指数） 3. 功能价值法： 重置成本参照物参照物年产量被评估资产年产量重置成本 被评估资产 4．规模经济效益指数法： X ?? ? ??=参照物资产的产量被评估资产的产量参照物资产的重置成本被评估资产的重置成本 X 表示是一个经验数据，称为规模经济效益指数 统计分析法：K=R ’/R K---资产重置成本与历史成本的调整系数 R ’-----某类抽样资产的重置成本 R----某类抽样资产的历史成本 三、实体性贬值及其估算： 1.观察法（成新率法）： 资产的实体性贬值=重置成本x （1－实体性成新率） 2.公式计算法： 使用年限 实际已总使用年限预计残值重置成本体性贬值资产的实?-= 总使用年限=实际使用年限＋尚可使用年限 实际已使用年限=名义已使用年限×资产利用率 %100?= 定利用截止评估日资产累计法际利用时间截止评估日资产累计实资产利用率 三、功能性贬值及其估算 资产的功能性贬值测算方法： ∑=??? ? ???=n t 1系数折现净超额运营年本被评估资产年功能性贬值额被评估资产 （超额投资成本可视为功能性贬值|） 功能性贬值=复原重置成本－更新重置成本 四、经济性贬值及其估算: %1001???? ????????? ??-=x 生产能力资产原设计利用的生产能力资产预计可被贬值率经济性 ()n r A P ,,1????? ??-?=税率所得益损失额资产年收贬值额经济性: 五、成新率及其估算 1. 使用年限法：成新率=（预计尚可使用年限/实际已使用年限＋预计尚可使用年限）×100% 2. 修复费用法：成新率=1—修复费用/重置成本×100% 六、收益法： 1.资产未来收益期有限情况： 评估值=()()∑=+++=n t t t t r A r R P 111 R i---未来第i 个收益期的预期收益额，收益期有限时， R i-中还包括期末资产剩余净额。 n----收益年期 r-----折现率
第六章 统计量与抽样分布 注意： 这是第一稿（存在一些错误） 1、解：易知的X 期望为μ，方差为2n σ ，则 ()0,1X N μσ-近似地 ， 所以，( ) (0.10.10.909X P X P μσ μσσ? ? - ? -<=<≈Φ= ? ? ??? 。 2、解 （1）由题意得： 2 2 2 2211111()()()()n n i i i i E X D X E X D X E X n n n σμ==??=+=+=+ ???∑∑ ()2211111111 ()()n n i i i i E X X E X X E X X n n n σμ==?=?==+∑∑ （2）1X X -服从正态分布，其中： 1()0E X X -=，22 1122111()( )()()n n n D X X D X D X n n n σ----=+= 从而 2 11~(0,)n X X N n σ-- 由于 ~(0,1)i X N μ σ -，1,2, i n =，且相互独立，因此： () ()2 22 1 ~n i i X n μχσ=-∑ ~(0,1)X N μ -，所以( ) ()2 22 ~1n X μ χσ- 由于 ()2 22 (1)~1n S n χσ--，所以 () () ()2 2 2 2 22 (1)/~1,1(1) n X n X n S F n n S μ μ σσ---=-- （3）由于 () 2 /2 2 1 ~(/2)n i i X n μχσ =-∑ ，以及 () 2 2 1/2 ~(/2)n i i n X n μχσ =+-∑ ，因此有：
资产利用率截止评估日资产累计实际利用时间资率截止评估日资产累计法定利用 三、功能性贬值及其估算 一. 成本法的基本计算公式：被评估资产评估值= 重置成本一实体性贬值一功能性贬值一经济性贬 值 被评估资产评估值+重置成本x成新率 二、重置成本的估算：1重置核算法： （1）按人工成本比例法计算： 间接成本=人工成本总额x成本分配率 成本分配率=间接成本额/人工成本额x100% （2）单位价格法： 间接成本=工作量（按工日或工时）x单位价格/ 按工日或工时 （3）直接成本百分率法：间接成本=直接成本x 间接成本占直接成本百分率 2. 物价指数法：资产重置成本=资产历史成 本x资产评估时物价指数/资产购建时物价指数 或：资产重置成本=资产历史成 本x（1+物价变动指数） 3. 功能价值法： 被评估资产被评估资产年产量参照物 重置成本参照物年产量重置成本 4 . 规模经济效益指数法： 被评估资产n被评估资产年折现功能性贬值额t1净超额运营年本系数 （超额投资成本可视为功能性贬值|）功能性贬值=复原重置成本-更新重置成本四、经济性贬值及其估算 资产预计可被资产原设计 利用的生产能力生产能力 经济性资产年收所得 贬值额益损失额1税率P A,r,n 五、成新率及其估算 1. 使用年限法：成新率=（预计尚可使用年限/实际已使用年限+预计尚可使用年限）X 100% 2.修复费用法：成新率=1—修复费用/重置成本X 100% 六、收益法： 1.资产未来收益期有限情况： n 评估值=P t 1 R t A 1 r t 1 r t R---未来第i个收益期的预期收益额，收益期有设备评估值=重置成本- 实体性贬值- 功能性贬值- 经济性贬值 资产的功能性贬值测算方 第二章资产评估的基本方 经济性 贬值率 100% 被评估资产的重置成本参照物资产的重置成本被评估资产的产量 参照物资产的产量限时，R-中还包括期末资产剩余净额。 n——收益年期r——折现率 X表示是一个经验数据，称为规模经济效益指数 统计分析法：K=R /R K---资产重置成本与历史成本的调整系数 R'-----某类抽样资产 的重置成本R---- 某类抽样资产的历史成本 三、实体性贬值及其估算： 1. 观察法（成新率法）：资产的实体性贬值=重置 成本x （1—实体性成新率） 2. 公式计算法： 资产的实重置成本预计残值实际已 体性贬值—总使用年限使用年限总使用年限=实际使用年限+尚可使用年限实际已使用年限=名义已使用年限X资产利用率2.资产未来收益无限期情况: （1）未来收益年金化情况：资产评估值（收益限值）=年收益额/资本化率 年等值收益额 R t 2.未来收益不等额情形: 评估值= 资产评估值（预期收益现值）=Y前若干年各年收益额x各年折现系 数+以后各年的年金化收益/资本化率x前若干年最 后一年的折现系数 第三章、机器设备评估的成本法:机器