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概率论与数理统计复习笔记

概率论与数理统计复习

笔记

Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】

概率论与数理统计复习

第一章概率论的基本概念

一.基本概念

随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.

样本空间S: E的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E的每个结果.

随机事件(事件):样本空间S的子集.

必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件():每次试验中一定不会发生的事件.

二. 事件间的关系和运算

(事件B包含事件A )事件A发生必然导致事件B发生.

∪B(和事件)事件A与B至少有一个发生.

3. A∩B=AB(积事件)事件A与B同时发生.

4. A-B(差事件)事件A发生而B不发生.

5. AB= (A与B互不相容或互斥)事件A与B不能同时发生.

6. AB=且A∪B=S (A与B互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A与B必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B .

运算规则交换律结合律分配律德摩根律 B A B A = B A B A =

三. 概率的定义与性质

1.定义对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ;

(3)可列可加性对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…),

P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质

(1) P() = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n ,

P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ?B, 则P(A)≤P(B), P(B-A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) .

(5)广义加法定理对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) .

对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n

…+(-1)n-1P(A 1A 2…A n )

四.等可能(古典)概型

1.定义如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型.

2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率

1.定义事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0).

3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B

=S) ,则

当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)=

()()i n

i i B A P B P ∑=1

当P(A)>0, P(B i

)>0时,有贝叶斯公式P (B i

|A)=()()()()()()

∑==n

i i i i i i B A P B P B A P B P A P AB P 1

. 六.事件的独立性

1.两个事件A,B,满足P(AB) = P(A) P(B)时,称A,B 为相互独立的事件. (1)两个事件A,B 相互独立 P(B)= P (B|A) .

(2)若A 与B,A 与B ,A 与B, ,A 与B 中有一对相互独立,则另外三对也相互独立.

2.三个事件A,B,C 满足P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C),称A,B,C 三事件两两相互独立. 若再满足P(ABC) =P(A) P(B) P(C),则称A,B,C 三事件相互独立.

个事件A 1,A 2,…,A n ,如果对任意k (1

()()()()

i i i i i i A P A P A P A A A P 2

=,则称这n 个事件A 1,A 2,…,A n 相互独立.

第二章随机变量及其概率分布

一.随机变量及其分布函数

1.在随机试验E 的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X (e)称为随机变量.

2.随机变量X 的分布函数F(x)=P{X ≤x} , x 是任意实数. 其性质为:

(1)0≤F(x)≤1 ,F(-∞)=0,F(∞)=1. (2)F(x)单调不减,即若x 1

(3)F(x)右连续,即F(x+0)=F(x). (4)P{x 1

1.离散型随机变量的分布律 P{X= x k }= p k (k=1,2,…) 也可以列表表示. 其性质为:

(1)非负性 0≤P k ≤1 ; (2)归一性

=∑∞

=k k p .

2.离散型随机变量的分布函数 F(x)=∑≤x

X k k P 为阶梯函数,它在x=x

(k=1,2,…)处具有

跳跃点,其跳跃值为p k =P{X=x k } . 3.三种重要的离散型随机变量的分布

(1)X~(0-1)分布 P{X=1}= p ,P{X=0}=1–p (0

(2)X~b(n,p)参数为n,p 的二项分布P{X=k}=()k

n k p p k n --???

? ??1(k=0,1,2,…,n) (0

(3))X~()参数为的泊松分布 P{X=k}=λ

λ-e k k !

(k=0,1,2,…) (>0) 三.连续型随机变量

1.定义如果随机变量X 的分布函数F(x)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(x)=()dt t f x

?∞-,-∞< x <∞,则称X 为连续型随机变量,其中f (x)称为X 的概率密度

(函数).

2.概率密度的性质

(1)非负性 f(x)≥0 ; (2)归一性 ?∞

∞-dx x f )(=1 ;

(3) P{x 1

)(x

x dx x f ; (4)若f (x)在点x 处连续,则f (x)=F

(x) .

注意：连续型随机变量X 取任一指定实数值a 的概率为零,即P{X= a}=0 . 3.三种重要的连续型随机变量的分布

(1)X ～U (a,b) 区间(a,b)上的均匀分布

???=-0

)(1a b x f

其它b x a << . (2)X 服从参数为的指数分布.()???=-0

/1θθx e

x f 00≤>x x 若若 (>0).

(3)X~N (,2

)参数为,的正态分布

22)(21)(σμσ

π--=

x e x f -0.

特别, =0, 2 =1时,称X 服从标准正态分布,记为X~N (0,1),其概率密度

221)(x e x -=

? , 标准正态分布函数 ?=

Φ∞--x

t dt e x 2221)(π

, (-x)=1-Φ(x) .

若X ～N ((,2

), 则Z=

-X ~N (0,1), P{x 1

-2x )-Φ(

-1x ).

若P{Z>z }= P{Z<-z }= P{|Z|>z /2}= ,则点z ,-z , z / 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧分位点. 注意：(z )=1- , z 1- = -z . 四.随机变量X 的函数Y= g (X)的分布 1.离散型随机变量的函数

若g(x k ) (k=1,2,…)的值全不相等,则由上表立得Y=g(X)的分布律.

若g(x

) (k=1,2,…)的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=g(X)的分布律.

2.连续型随机变量的函数

若X的概率密度为f

X (x),则求其函数Y=g(X)的概率密度f

(y)常用两种方法：

(1)分布函数法先求Y的分布函数F

Y (y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=()

()dx

y X

∑??

其中Δ

(y)是与g(X)≤y对应的X的可能值x所在的区间(可能不只一个),然后对y求导

即得f

Y (y)=F

/(y) .

(2)公式法若g(x)处处可导,且恒有g /(x)>0 (或g / (x)<0 ),则Y=g (X)是连续型

随机变量,其概率密度为()

()

()()?

f X

Y其它β

α<

其中h(y)是g(x)的反函数 , = min (g (-),g ()) = max (g (-),g ()) .

如果f (x)在有限区间[a,b]以外等于零,则 = min (g (a),g (b)) = max (g (a),g (b)) .

第三章二维随机变量及其概率分布

一.二维随机变量与联合分布函数

1.定义若X和Y是定义在样本空间S上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.

对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}称为(X,Y)的(X和Y的联合)分布函数.

2.分布函数的性质

(1)F(x,y)分别关于x 和y 单调不减.

(2)0≤F(x,y)≤1 , F(x,- )=0, F(-,y)=0, F(-,-)=0, F(,)=1 .

(3) F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即 F(x+0,y)= F(x,y), F(x,y+0)= F(x,y) .

(4)对于任意实数x 1

P{x 1

二.二维离散型随机变量及其联合分布律

1.定义若随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(x i ,y j ) (i ,j =1,2,… )称(X,Y)为二维离散型随机变量.并称P{X= x i ,Y= y j }= p i j 为(X,Y)的联合分布律.也可列表表示.

2.性质

(1)非负性 0≤p i j ≤1 .

(2)归一性 ∑∑=i j

p 1 .

3. (X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数F(x,y)=

∑∑≤≤x x y

y ij i j p

三.二维连续型随机变量及其联合概率密度

1.定义如果存在非负的函数f (x,y),使对任意的x 和y,有F(x,y)=??∞-∞

-y

dudv v u f ),(

则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称f(x,y)为(X,Y)的(X 和Y 的联合)概率密度.

2.性质 (1)非负性 f (x,y)≥0 . (2)归一性 1),(=??∞

∞-∞

∞

-dxdy y x f .

(3)若f (x,y)在点(x,y)连续,则

x y x F y x f ???=

)

,(),(2 (4)若G 为xoy 平面上一个区域,则??=

∈G

dxdy y x f G y x P ),(}),{(.

四.边缘分布

1. (X,Y)关于X 的边缘分布函数 F X (x) = P{X ≤x , Y<}= F (x , ) . (X,Y)关于Y 的边缘分布函数 F Y (y) = P{X<, Y ≤y}= F (,y)

2.二维离散型随机变量(X,Y)

关于X 的边缘分布律 P{X= x i }=

∑∞

j ij p = p i · ( i =1,2,…) 归一性 11

=∑∞

=?i i p .

关于Y 的边缘分布律 P{Y= y j }=

∑∞

i ij p = p

·j

( j =1,2,…) 归一性

=∑∞

=?j j p .

3.二维连续型随机变量(X,Y)

关于X 的边缘概率密度f X (x)=?∞

∞-dy y x f ),( 归一性1)(=?∞

∞-dx x f X

关于Y 的边缘概率密度f Y (y)=x d y x f ?∞

∞-),( 归一性1)(=?∞

∞-dy

y f Y

五.相互独立的随机变量

1.定义若对一切实数x,y,均有F(x,y)= F X (x) F Y (y) ,则称X 和Y 相互独立.

2.离散型随机变量X 和Y 相互独立?p i j = p i ··p ·j ( i ,j =1,2,…)对一切x i ,y j 成立.

3.连续型随机变量X 和Y 相互独立?f (x,y)=f X (x)f Y (y)对(X,Y)所有可能取值(x,y)都成立. 六．条件分布

1．二维离散型随机变量的条件分布

定义设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Y=y j }>0,则称

P{X=x i

|Y=y j

} 为在Y= y j 条件下随机变量X 的条件分布律. 同样,对于固定的i,若P{X=x i }>0,则称 P{Y=y j |X=x i }

为在X=x i 条件下随机变量Y 的条件分布律.

第四章随机变量的数字特征

一.数学期望和方差的定义

随机变量X 离散型随机变量

连续型随机变量

分布律P{X=x i }= p i ( i =1,2,…) 概率密度f (x)

数学期望(均值)E(X)

∑∞

i i i p x (级数绝对收敛) ?∞

∞-dx x xf )((积分绝对收敛)

}{},{j

j i j j i p p y Y P y Y x X P ?=====,

}{},{?

=====i j

i i j i p p x X P y Y x X P

方差D(X)=E{[X-E(X)]2

}

[]∑-∞

)(i i i p X E x

?-∞∞-dx x f X E x )()]([2

=E(X 2)-[E(X)]2 (级数绝对收敛) (积分绝对收敛)

函数数学期望E(Y)=E[g(X)] i i i p x g ∑∞

)((级数绝对收敛) ?∞

∞-dx x f x g )()((积分绝

对收敛)

标准差(X)=√D(X) . 二.数学期望与方差的性质

1. c 为为任意常数时, E(c) = c , E(cX) = cE(X) , D(c) = 0 , D (cX) = c 2 D(X) . ,Y 为任意随机变量时, E (X ±Y)=E(X)±E(Y) .

3. X 与Y 相互独立时, E(XY)=E(X)E(Y) , D(X ±Y)=D(X)+D(Y) .

4. D(X) = 0 ? P{X = C}=1 ,C 为常数.

三.六种重要分布的数学期望和方差 E(X) D(X)

~ (0-1)分布P{X=1}= p (0

p p (1- p)

~ b (n,p) (0

n p (1- p)

~ ()

~ U(a,b) (a+b)/2 (b-a) 2/12

服从参数为的指数分布 2

~ N (,2) 2 四.矩的概念

随机变量X 的k 阶(原点)矩E(X k ) k=1,2,… 随机变量X 的k 阶中心矩E{[X-E(X)] k }

随机变量X 和Y 的k+l 阶混合矩E(X k Y l ) l=1,2,… 随机变量X 和Y 的k+l 阶混合中心矩E{[X-E(X)] k [Y-E(Y)] l }

第六章样本和抽样分布

一.基本概念

总体X 即随机变量X ; 样本X 1 ,X 2 ,…,X n 是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本值x 1 ,x 2 ,…,x n 为实数;n 是样本容量.

统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如：

样本均值∑==n i i X n X 1

1 样本方差()

∑--==n i i X X n S 122

11 样本标准差S

样本k 阶矩∑==n i k

i k X n A 11( k=1,2,…) 样本k 阶中心矩

∑-==n

i k i k X X n B 1

)(1( k=1,2,…)

二.抽样分布即统计量的分布

1.X 的分布不论总体X 服从什么分布, E (X ) = E(X) , D (X ) = D(X) / n . 特别,若X~ N (,2 ) ,则 X ~ N (, 2 /n) .

2.2

分布 (1)定义若X ～N (0,1

) ,则Y =∑=n

i i X 1

2~ 2(n)自由度为n 的2分布.

(2)性质 ①若Y~ 2(n),则E(Y) = n , D(Y) = 2n .

②若Y 1~ 2(n 1) Y 2~ 2(n 2) ,则Y 1+Y 2~ 2(n 1 + n 2).

③若X~ N (,2 ), 则

)1(σS n -~ 2(n-1),且X 与S 2相互独立.

(3)分位点若Y~ 2(n),0< <1 ,则满足

的点)()(),(),(2

2/12

2/2

n n n n ααααχχχχ--和分别称为2分布的上、下、双侧分位点. 3. t 分布

(1)定义若X~N (0,1 ),Y~ 2 (n),且X,Y 相互独立,则t=n

Y X

~t(n)自由度为n 的t 分布.

(2)性质①n →∞时,t 分布的极限为标准正态分布.

②X ～N (,2 )时,

S X μ

-~ t (n-1) . ③两个正态总体

相互独立的样本样本均值样本方差

X~ N (1,12 ) 且12=22=2 X 1 ,X 2 ,…,X n1 X S 12

Y~ N (2,22 ) Y 1 ,Y 2 ,…,Y n2 Y S 22

则 2

1211

1)()(n n S Y X w +

---μμ~ t (n 1+n 2-2) , 其中 2)1()1(212

222112-+-+-=n n S n S n S w

(3)分位点若t ~ t (n) ,0 < <1 , 则满足

的点)(),(),(2/n t n t n t ααα±-分别称t 分布的上、下、双侧分位点. 注意: t 1- (n) = - t (n).

分布 (1)定义若U~2(n 1), V~ 2(n 2), 且U,V 相互独立,则F =2

n V n U ~F(n 1,n 2)自由度为(n 1,n 2)的F 分布.

(2)性质(条件同3.(2)③)

2221σσS S ~F(n 1-1,n 2-1)

(3)分位点若F~ F(n 1,n 2) ,0< <1,则满足

的点),(),(),,(),,(212/1212/21121n n F n n F n n F n n F αααα--和分别称为F 分布的上、下、双侧分位点. 注意: .)

.(1

),(12211n n F n n F αα=

第七章参数估计

一.点估计总体X 的分布中有k 个待估参数1, 2,…, k .

X 1 ,X 2 ,…,X n 是X 的一个样本, x 1 ,x 2 ,…,x n 是样本值.

1.矩估计法

先求总体矩?????===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k θθθμμθθθμμθθθμμ 解此方程组,得到???

??===),,,(),,,(),,,(2121222111k

k k k k μμμθθμμμθθμμμθθ ,

以样本矩A l 取代总体矩 l

( l=1,2,…,k)得到矩估计量???

????===∧

∧

),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k A A A A A A A A A θθθθθθ,

若代入样本值则得到矩估计值. 2.最大似然估计法

若总体分布形式(可以是分布律或概率密度)为p(x, 1, 2,…, k ),称样本X 1 ,X 2 ,…,X n

的联合分布∏=

i k i k x p L 1

2121),,,,(),,,(θθθθθθ 为似然函数.取使似然函数达到

最大值的∧

∧

k θθθ,,,21 ,称为参数1, 2,…,k 的最大似然估计值,代入样本得到最大似然估计量.

若L(1, 2,…, k )关于1, 2,…, k 可微,则一般可由

似然方程组 0=??i L θ 或对数似然方程组 0ln =??i

θ (i =1,2,…,k) 求出最大似然估计.

3.估计量的标准

(1)

无偏性若E(∧

θ)=,则估计量∧

θ称为参数的无偏估计量.

不论总体X 服从什么分布, E (X )= E(X) , E(S 2)=D(X), E(A k )=k =E(X k ),即样本均值

X , 样本方差S 2,样本k 阶矩A k 分别是总体均值E(X),方差D(X),总体k 阶矩k 的无偏估

计,

(2)有效性若E(∧

θ1 )=E(∧

θ2)= , 而D(∧

θ1)< D(∧

θ2), 则称估计量∧

θ1比∧

θ2有效. (3)一致性(相合性) 若n →∞时,θθP

→∧,则称估计量∧

θ是参数的相合估计量. 二.区间估计

1.求参数的置信水平为1-的双侧置信区间的步骤

(1)寻找样本函数W=W(X 1 ,X 2 ,…,X n ,),其中只有一个待估参数未知,且其分布完全确定.

(2)利用双侧分位点找出W 的区间(a,b),使P{a

2.单个正态总体

待估参数其它参数 W 及其分布置信区间

已知

X σμ

-~N (0,1) (2/ασz n X ±)

未知 n

S X μ

-~ t (n-1) )1((2/-±n t n S X α 2

未知

)1(σS n -~ 2

(n-1) ))

1()1(,)1()1((22/122

2/2

-----n S n n S n ααχχ

3.两个正态总体 (1)均值差 1- 2

其它参数 W 及其分布置信区间

已知

21,σσ

21)

(n n Y X σσμμ+

--- ~ N(0,1) )(2

n n z Y X

σσα

±-

未知

2221σσσ== 2

12111)

(n n S Y X w +---μμ～t(n 1+n 2-2)

)11)2((2

1212

n n S n n t Y X w

+-+±-α 其中S w 等符号的意义见第六章二. 3 (2)③.

(2) 1, 2未知, W=

212221σσS S ~ F(n 1-1,n 2-1),方差比12/22的置信区间为

注意:对于单侧置信区间,只需将以上所列的双侧置信区间中的上(下)限中的下标/2改为,另外的下(上)限取为- ()即可.

全国历自学考试概率论与数理统计(二)试题与答案

全国2011年4月自学考试概率论与数理统计（二）课程代码：02197 选择题和填空题详解试题来自百度文库答案由王馨磊导师提供一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设A , B , C , 为随机事件, 则事件“A , B , C 都不发生”可表示为（ A ） A ．C B A B ．C B A C ．C B A D ．C B A 2．设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=5 1, P (B )=5 3, 则P (A ∪B )= ( B ) A ．253 B ．2517 C ．5 4 D ．2523 3．设随机变量X ~B (3, 0.4), 则P {X ≥1}= ( C ) A ．0.352 B ．0.432 C ．0.784 D ．0.936 解：P{X ≥1}=1- P{X=0}=1-(1-0.4)3=0.784,故选C. 4．已知随机变量X 的分布律为 , 则P {-2＜X ≤4}= ( C ) A ．0.2 B ．0.35 C ．0.55 D ．0.8 解：P {-2＜X ≤4}= P {X =-1}+ P {X =2}=0.2+0.35=0.55，故选C. 5．设随机变量X 的概率密度为4 )3(2 e 2 π21)(+-= x x f , 则E (X ), D (X )分别为 ( ) A ．2,3- B ．-3, 2 C ．2,3 D ．3, 2 与已知比较可知：E(X)=-3，D(X)=2，故选B. 6．设二维随机变量 (X , Y )的概率密度为? ??≤≤≤≤=,,0, 20,20,),(其他y x c y x f 则常数 c = ( A ) A ．4 1 B ．2 1 C ．2 D ．4 解：设D 为平面上的有界区域，其面积为S 且S>0，如果二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为则称（X ，Y ）服从区域D 上的均匀分布，

《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故

概率论与数理统计总结

第一章随机事件与概率第一节随机事件及其运算 1、随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象 2、样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为Ω={ω},其中ω 表示基本结果，又称为样本点。 3、随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A 、B 、C 等表示，Ω表示必然事件， ?表示不可能事件。 4、随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X 、Y 、Z 等表示。 5、时间的表示有多种：（1）用集合表示，这是最基本形式（2）用准确的语言表示（3）用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示 6、事件的关系（1）包含关系：如果属于A 的样本点必属于事件B ，即事件 A 发生必然导致事件B 发生，则称A 被包含于B ，记为A ?B; （2）相等关系：若A ?B 且B ? A ，则称事件A 与事件B 相等，记为A ＝B 。（3）互不相容：如果A ∩B= ?，即A 与B 不能同时发生，则称A 与B 互不相容 7、事件运算（1）事件A 与B 的并：事件A 与事件B 至少有一个发生，记为 A ∪B 。（2）事件A 与B 的交：事件A 与事件B 同时发生，记为A∩ B 或AB 。（3）事件A 对B 的差：事件A 发生而事件B 不发生,记为 A －B 。用交并补可以表示为B A B A =-。（4）对立事件：事件A 的对立事件（逆事件），即 “A 不发生”，记为A 。对立事件的性质：Ω=?Φ=?B A B A ,。 8、事件运算性质：设A ，B ，C 为事件，则有（1）交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA （2）结合律：A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A ∪(B∩C)＝(A ∪B)∩(A∪C)、 A(B ∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB ∪AC （4）棣莫弗公式（对偶法则）：B A B A ?=? B A B A ?=? 9、事件域：含有必然事件Ω ，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类ξ 称为事件域，又称为σ代数。具体说，事件域ξ满足：（1）Ω∈ξ; (2)若A ∈ξ，则对立事件A ∈ξ；（3）若A n ∈ξ，n=1,2，···，则可列并 ∞ =1 n n A ∈ξ 。

《概率论与数理统计》讲义#(精选.)

第一章随机事件和概率第一节基本概念 1、排列组合初步（1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜

色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序）例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？

概率论与数理统计知识点总结详细

概率论与数理统计知识点总结详细 Newly compiled on November 23, 2020

《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P

概率论与数理统计试题库

《概率论与数理统计》试题（1）一、判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理（） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计（）二、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来（1）仅A 发生，B 、C 都不发生；（2）,,A B C 中至少有两个发生；（3）,,A B C 中不多于两个发生；（4）,,A B C 中恰有两个发生；（5）,,A B C 中至多有一个发生。三、（15分）把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分）已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞，求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ，的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.

概率论与数理统计期末考试试题及解答

概率论与数理统计期末考试试题及解答 Prepared on 24 November 2020

一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案：解：即所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则 ==)3(X P ______. 答案：解答：由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案：解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故另解在(0,2)上函数2y x = 严格单调，反函数为()h y =所以 4．设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答： 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ= 41e -=-. 5．设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案：解答：似然函数为解似然方程得θ的极大似然估计为

概率论与数理统计模拟试题

模拟试题A 一.单项选择题（每小题3分，共9分） 1. 打靶3 发，事件表示“击中i发”，i = 0，1，2，3。那么事件表示( )。 ( A ) 全部击中；( B ) 至少有一发击中； ( C ) 必然击中；( D ) 击中3 发 2.设离散型随机变量x 的分布律为则常数 A 应为 ( )。 ( A ) ；( B ) ；(C) ；(D) 3.设随机变量，服从二项分布B ( n，p )，其中0 < p < 1 ，n = 1，2,…，那么，对于任一实数x，有等于( )。 ( A ) ; ( B ) ; ( C ) ; ( D ) 二、填空题（每小题3分，共12分） 1.设A , B为两个随机事件，且P(B)>0，则由乘法公式知P(AB) =__________ 2.设且有 ,,则 =___________。 3.某柜台有4个服务员，他们是否需用台秤是相互独立的，在1小时内每人需用台秤的概率为，则4人中至多1人需用台秤的概率为：__________________。 4.从1，2，…，10共十个数字中任取一个，然后放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于___________。三、（10分）已知，求证四、（10分）5个零件中有一个次品，从中一个个取出进行检查，检查后不放回。直到查到次品时为止，用x表示检查次数，求的分布函数：五、（11分）设某地区成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82% ,瘦者占8% ,又知肥胖者患高血压的概率为20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为10% ,瘦者患高血压病的概率为

5%, 试求： ( 1 ) 该地区居民患高血压病的概率; ( 2 ) 若知某人患高血压, 则他属于肥胖者的概率有多大？六、（10分）从两家公司购得同一种元件，两公司元件的失效时间分别是随机变量和，其概率密度分别是：如果与相互独立，写出的联合概率密度，并求下列事件的概率: ( 1 ) 到时刻两家的元件都失效(记为A)， ( 2 ) 到时刻两家的元件都未失效(记为B)， ( 3 ) 在时刻至少有一家元件还在工作(记为D)。七、（7分）证明：事件在一次试验中发生次数x的方差一定不超过。八、（10分）设和是相互独立的随机变量，其概率密度分别为又知随机变量 , 试求w的分布律及其分布函数。九、（11分）某厂生产的某种产品，由以往经验知其强力标准差为 7.5 kg且强力服从正态分布，改用新原料后，从新产品中抽取25 件作强力试验，算得，问新产品的强力标准差是否有显著变化？( 分别取和0.01，已知，）十、（11分）在考查硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同的温度观察它在100ml 的水中溶解的硝酸钠的重量，得观察结果如下：

概率论与数理统计小结

概率论与数理统计主要内容小结概率部分 1、全概率公式与贝叶斯公式全概率公式： )()|()(11B P B A P A P = ++)()|(22B P B A P )()|(n n B P B A P + 其中n B B B ,,,21 是空间S 的一个划分。贝叶斯公式：∑== n j j j i i i B A P B P B A P B P A B P 1 ) |()() |()()|( 其中n B B B ,,,21 是空间S 的一个划分。 2、互不相容与互不相关 B A ,互不相容0)(,==?B A P B A φ 事件B A ,互相独立))(()(B A P B A P =? ; 两者没有必然联系 3、几种常见随机变量概率密度与分布律:两点分布，二项分布，泊松分布，均匀分布，二项分布，指数分布，正态分布。 ),,1(~p b X 即二点分布，则分布律为.1,0,)1(}{1=-==-k p p k x P k k ),,(~p n b X 即二项分布，则分布律为.,...,1,0,)1(}{n k p p C k x P k n k k n =-==- ),(~λπX 即泊松分布，则分布律为,......1,0,! }{== =-k k e k x P k λ λ ),,(~b a U X 即均匀分布，则概率密度为.,0),(,1 )(??? ??∈-=其它 b a x a b x f ),(~θE X 即指数分布，则概率密度为.,00 ,1)(?? ???>=-其它x e x f x θ θ ),,(~2σμN X 即正态分布，则则概率密度为+∞<<-∞= - x e x f x ,21)(2 2π .

概率论与数理统计考研复习资料

概率论与数理统计复习第一章概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A ?B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. 2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则交换律结合律分配律德?摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n , P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ?B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n ()()() () +∑ + ∑ - ∑=≤<<≤≤<≤=n k j i k j i n j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 111 21 …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n ) 四.等可能(古典)概型 1.定义如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率 1.定义事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0). 2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)= ()()i n i i B A P B P ∑=1

概率论与数理统计必考大题解题索引

概率论与数理统计必考大题解题索引编制：王健审核：题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。【相关公式】全概率公式： ()()()()()() n 1122S P()=|()||()() (|)() =()(|)()(|). i n n E S A E B A P A B P B P A B P B P A B P B P AB P B A P A P A P A B P B P A B P B +++= =+12设实验的样本空间为，为的事件，B ，B ，……，B 为的划分，且>0,则有： P ?…其中有：。特别地：当n 2时，有：贝叶斯公式： ()()i 1 00(1,2,,),()(|)() (|)()(|)() =()(|)() (|)()(|)()(|)() i i i i n i i j E S A E A P B i n P B A P A B P B P B A P A P A B P B P AB P A B P B P B A P A P A B P B P A B P B =>>===== +∑12n 设实验的样本空间为。为的事件,B ，B ，……，B 为S 的一个划分，且P ，……则有：特别地：当n 2时，有：【相关例题】 1.三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求：（1）恰好取到不合格品的概率；（2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。解：设事件表示：“取到的产品是不合格品”；事件i A 表示：“取到的产品是第i 家工厂生产的”（i =123，，）。则Ω== 3 1i i A ，且P A i ()>0，321A A A 、、两两互不相容，由全概率公式得（1）∑=?=3 1 )|()()(i i i A A P A P A P 1000/37100 210035100410025100510040=?+?+?=

概率论与数理统计试题库及答案(考试必做)

<概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率

为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～或 X ～。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=，

概率论和数理统计知识点总结[超详细版]

《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P

《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表

《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表英文中文 Probability theory 概率论 mathematical statistics 数理统计 deterministic phenomenon 确定性现象 random phenomenon 随机现象 sample space 样本空间 random occurrence 随机事件 fundamental event 基本事件 certain event 必然事件 impossible event 不可能事件 random test 随机试验 incompatible events 互不相容事件 frequency 频率 classical probabilistic model 古典概型 geometric probability 几何概率 conditional probability 条件概率 multiplication theorem 乘法定理 Bayes's formula 贝叶斯公式 Prior probability 先验概率 Posterior probability 后验概率 Independent events 相互独立事件 Bernoulli trials 贝努利试验 random variable 随机变量

probability distribution 概率分布 distribution function 分布函数 discrete random variable 离散随机变量distribution law 分布律hypergeometric distribution 超几何分布 random sampling model 随机抽样模型binomial distribution 二项分布 Poisson distribution 泊松分布 geometric distribution 几何分布 probability density 概率密度 continuous random variable 连续随机变量uniformly distribution 均匀分布exponential distribution 指数分布 numerical character 数字特征mathematical expectation 数学期望 variance 方差 moment 矩 central moment 中心矩 n-dimensional random variable n-维随机变量 two-dimensional random variable 二维离散随机变量joint probability distribution 联合概率分布 joint distribution law 联合分布律 joint distribution function 联合分布函数boundary distribution law 边缘分布律

概率论与数理统计复习题--带答案

;第一章一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为（ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）；

9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为（ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次）。就能打开保险箱的概率为（1 10000

概率论与数理统计基本知识

概率论与数理统计基本知识点一、概率的基本概念 1．概率的定义: 在事件上的一个集合函数P ，如果它满足如下三个条件：（1）非负性 A A P ?≥,0)( （2）正规性 1)(=ΩP （3）可列可加性若事件,...,2,1,=n A n 两两互斥则称P 为概率。 2．几何概型的定义: 若随机试验的样本空间对应一个度量有限的几何区域S ，每一基本事件与S 内的点一一对应，则任一随机事件A 对应S 中的某一子区域D 。（若事件A 的概率只与A 对应的区域D 的度量成正比，而与D 的形状及D 在S 中的位置无关。）==（每点等可能性）则称为几何概型。的度量对应区域的度量对应区域S D )()()(Ω=Ω= A m A m A P 3．条件概率与乘法公式：设A,B 是试验E 的两个随机事件，且0)(>B P ,则称) () ()|(B P AB P B A P = 为事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率。（其中)(AB P 是AB 同时发生的概率）乘法公式：)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P == 4．全概率公式与贝叶斯公式：（全概率公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则有∑== n i i i A B P A P B P 1 )|()()(。（贝叶斯公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则∑== =?n k k k i i A B P A P A B P A P B A P n i 1 ) |()() |()()|(,,...,2,1。 5．事件的独立性：两事件的独立性：（定义）设A 、B 是任意二事件，若P(AB)= P(A)P(B)，则称事件A 、B 是相互独立的。（直观解释）A 、B 为试验E 的二事件，若A 、 B 的发生互不影响。二、随机变量和分布函数:

概率论与数理统计试题与答案

概率论与数理统计试题与答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1) 概率统计模拟题一一、填空题（本题满分18分，每题3分） 1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。 2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ，若9 5 )1(= ≥X p ，则=≥)1(Y p 。 3、设X 与Y 相互独立，1,2==DY DX ，则=+-)543(Y X D 。 4、设随机变量X 的方差为2，则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。 5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2 χ的样本，则统计量∑==n 1 i i X Y 服从分布。 6、设正态总体),(2σμN ，2σ未知，则μ的置信度为α-1的置信区间的长度 =L 。（按下侧分位数）二、选择题（本题满分15分，每题3分） 1、若A 与自身独立，则（） (A)0)(=A P ； (B) 1)(=A P ；(C) 1)(0<

概率论与数理统计习题集及答案

《概率论与数理统计》作业集及答案
第 1 章概率论的基本概念
§1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢 3 次，观察正面 H﹑反面 T 出现的情形. 样本空间是：S=
(2) 一枚硬币连丢 3 次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则 A= ；B：数点大于 2，则 B= (2) 一枚硬币连丢 2 次， A：第一次出现正面，则 A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= ；b5E2RGbCAP ；p1EanqFDPw .DXDiTa9E3d .
§1 .2 随机事件的运算
1. 设 A、B、C 为三事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C 都不发生表示为： .(2)A 与 B 都发生,而 C 不发生表示为： .RTCrpUDGiT (3)A 与 B 都不发生,而 C 发生表示为： .(4)A、B、C 中最多二个发生表示为： .5PCzVD7HxA (5)A、B、C 中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C 中不多于一个发生表示为： .jLBHrnAILg 2. 设 S ? {x : 0 ? x ? 5}, A ? {x : 1 ? x ? 3}, B ? {x : 2 ?? 4}：则（1） A ? B ? （4） A ? B = ，（2） AB ? ，（5） A B = ，（3） A B ? 。，
xHAQX74J0X
§1 .3 概率的定义和性质
1. 已知 P( A ? B) ? 0.8, P( A) ? 0.5, P( B) ? 0.6 ，则 (1) P( AB) ? , (2)( P( A B) )= 则 P( AB) = , (3) P( A ? B) = . .LDAYtRyKfE
2. 已知 P( A) ? 0.7, P( AB) ? 0.3,
§1 .4 古典概型
1. 某班有 30 个同学,其中 8 个女同学, 随机地选 10 个,求:(1)正好有 2 个女同学的概率, (2)最多有 2 个女同学的概率,(3) 至少有 2 个女同学的概率. 2. 将 3 个不同的球随机地投入到 4 个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1 .5 条件概率与乘法公式
1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为 7, 则其中一颗为 1 的概率是 2. 已知 P( A) ? 1 / 4, P( B | A) ? 1 / 3, P( A | B) ? 1 / 2, 则 P( A ? B) ? 。。
§1 .6 全概率公式
1.
有 10 个签，其中 2 个“中” ，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。Zzz6ZB2Ltk 1 / 19

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