冷世平之高考复习专题资料 第 1 页 共 7 页 抽象函数解题策略 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性 【题型1】定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 【例1】⑴若函数(21)f x -的定义域为{}|13x x ≤<，则函数()f x 的定义域为 ⑵若函数()f x 的定义域为{}|13x x ≤<，则函数(21)f x -的定义域为 【题型2】求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验。紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。 【例2】已知()f x 的定义域为R +，且()()()f x y f x f y +=+对一切正实数,x y 都成立，若(8)4f =，则(2)_____f = 【分析】在条件()()()f x y f x f y +=+中，令4x y ==，得(8)(4)(4)2(4)4f f f f =+==，(4)2f ∴=，又令2x y ==，得(4)(2)(2)2,(2)1f f f f =+=∴=。 1.()f x 的定义域为(0,)+∞，对任意正实数,x y 都有()()()f xy f x f y =+且(4)2f =，则 _____ f =12 2.若()()()f x y f x f y +=且(1)2f =，则 (2)(4)(6)(2000) ______(1)(3)(5)(1999) f f f f f f f f ++++= 20002222(1)(2)(2)(4)(3)(6)(4)(8) ______(1)(3)(5)(7) f f f f f f f f f f f f +++++++=16【提示】()2n f n =
抽象函数问题的具体解法 所谓抽象函数,就是指没有明确给出具体的函数解析表达式，只是给出一些特殊条件的函数，它在高中数学教材中没有具体涉及到，但在高考及各类模拟试题中经常见到， 该类问题比较抽象，考察学生能力，学生普遍感到束手无策，下面就抽象函数问题类型及解题策略作总结： 1、 定义域问题 ]1[02 113]1[2 10122 121111111010]10[1k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x k k x k k x k x k x f k x f x F x f y +-≤≤-+≤-≤-≤≤-≤≤->-<->+>-???+≤≤-≤≤-???≤-≤≤+≤--+==，时，定义域为即）当（，时，定义域为即）当（时，函数定义域为或即或）当（得分析：由定义域。 ）的（）（）（，求函数，）的定义域为（、若函数例φ 2、函数值和最值问题 处取得。和数。最大最小值在数满足条件，且为减函学过的函数中正比例函，在 指、对函数不满足条件分析：二次函数、幂、上的最大值与最小值 ，）在区间（求， ）（且）（时，）当（）， （）（）（，有，）对任意（，且同时满足条件：）的定义域为（、已知函数例）（所以）（）（）（）（分析：） （，求）（） （）（）（，若）的定义域为（、函数例33 ]33[21002134 3 23 24424482382---=<>+=+∈= ===+==+=++x f f x f x y f x f y x f R y x R x f f f f f f f f y f x f y x f R x f
10 0432 222<<--<->>+>+∞+∞-a a a R x f a f a f a f a f x f a a f a f R x f 所以上递减，则）在（而） （）（所以）（）（）是奇函数，（分析：因为的取值范围。 的实数）（）（求满足）上是减函数， ，（上的奇函数，且在区间）是（、例、单调性问题 ）为偶函数 （，即）（，所以）（因为）（）（所以） （）（）。（，则分析：令）的奇偶性 （，试判断）（且）， （）（）（，函数都满足，、若对于一切实数例、奇偶性问题 x f x f f x f f f x f x f y x f f y f x f y x f y x 1000 ]1[000000.54=≠=-==≠= 为周期。上的周期函数，且以）是（这表明），（）（代换，得 以将上式中），（）（），所以（）（）是偶函数知（又由），（）（对称，所以）关于直线（分析；依题设）是周期函数 （证明：）（），且（）（）（都有，，对于任意对称， 于直线上的偶函数，其图象关）是定义在（、设例、周期性问题 2222101]2 10[165212121R x f R x x f x f x x R x x f x f x f x f x f R x x f x f x x f y x f a f x f x f x x f x x x R x f ∈+=-∈-=-=-∈-===>==+∈= 22120098 482tan tan 1tan 14tan 11220092211]1[27+===? ==-+=+-+=+= +=+=-+）（）（从而）的周期是（，由此猜想并证明，而的周期为而）（，联想到）（）（）（分析：由）（，则）（又）（）（）（的函数，且）是定义域为（、设函数例f f x f y x y x x x x f x f x f f f x f x f x f R x f πππ
发光二极管产生的不可区分纠缠态光子摘要线性光学量子计算机依赖于逻辑光量子和几乎可确定的操作性纠缠二者之间的干涉。在这里，我们测量由嵌入式发光二极管中的量子点发射的光子的干涉和纠缠。我们发现同时产生的成对纠缠态光子，并且和随后产生的光子无法区分开来。我们测量纠缠态保真度为0.87，双光子干涉的可见度为0.60±0.05被检测抖动所限制的可见度可以通过对光腔的设计加以提高。 一个有前景的设计，打造一台可扩展的量子计算机，用单光子进行量子位编码，并且采用光学元器件如带有光电检测器的光束分离器使光子之间相互作用实现概率量子门。为了处理一个比传统数学逻辑更有优势的量子算法需要大量的量子位和门操作，这使得概率门不切实际。然而，通过使用纠缠态光子，概率量子门成功的概率可以无限接近使用前面提到的技术。 除了光子之间的纠缠态，光子量子位之间的相互作用还依赖于双光子之间的干涉，因此单个光子量子位必须是不可区分的。通过链接多对纠缠态的光子这种方式，可能产生更多的成对纠缠态。纠缠态光的源参量向下转换已经被证明通常在输出光束的光谱滤波器的辅助下可以产生纠缠态光子，并且已经在小规模量子逻辑实验中被采用。然而，向下转换的过程的概率性将使零对或者多对光子服从下面的泊松分布，这将导致量子算法错误并使这些源不适合量子计算中的不确定性。 相反，半导体量子点的光如单光子和纠缠态光子对的量子状态从根本上不会产生泊松分布。不可区分的单光子之间的相互作用已经讲过，但是还没有讲过纠缠态光子的不可分辨性。至关重要的是从量子点发射的纠缠态光可以电控制或电产生一些目前无法用于其它非泊松量子光源，如那些基于原子跃迁产生的量子光源。这可能使许多器件集成到单个的电压操作芯片上，这在有望实现大的量子逻辑电路时，具有十分重要的现实优势。 然而，直到现在，从非泊松光源出来的光子之间的相关性和相互作用已经只在光子对间被观察到了。在这里我们在一个量子点的两个辐射衰变周期产生多达
抽象函数解题方法与技巧 函数的周期性： 1、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=f(x-a)（或f(x-2a)=f(x)）(a >0)恒成立，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数； 2、若y=f(x)的图像关于直线x=a 和x=b 对称，则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数； 3、若y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数； 4、若y=f(x) 的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b （a ≠b ），则函数y=f(x)是周期为4|a-b|的周期函数； 5、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，其中a>0，且如果y=f(x)为奇函数，则其周期为4a ；如果y=f(x)为偶函数，则其周期为2a ； 6、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=-f(x)()1()f x a f x ??+= ???或()1()f x a f x ??+=- ???或，则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数； 7、若()()()1 1 f x f x a f x -+= +在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为4a 的周期函数； 8、若()() ()11 f x f x a f x -+= +在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数。 （7、8应掌握具体推导方法，如7） 函数图像的对称性： 1、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线2 a b x +=对称； 2、若函数y=f(x)满足f(x)=f(2a-x)或f(x+a)=f(a-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称； 3、若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c ，则y=f(x)的图像关于点,2 2a b c +?? ??? 成中心对称图形； 4、曲线f(x,y)=0关于点(a,b )的对称曲线的方程为f(2a-x,2b-y)=0； 5、形如()0,ax b y c ad bc cx d += ≠≠+的图像是双曲线，由常数分离法 d ad ad a x b b a c c c y d d c c x c x c c ??+-+-+ ???==+????++ ? ???? ?知：对称中心是点,d a c c ??- ???； 6、设函数y=f(x)定义在实数集上，则y=f(x+a)与y=f(b-x)的图像关于直线2b a x -=对称； 7、若函数y=f(x)有反函数，则y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的图像关于直线y=x+a 对称。 一、换元法 换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法. 例1. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x , 求f(x) ()()()()()()()1 1 11212112()() 11 f x f x a f x f x a f x f x a f x f x f x --+-+-+====--++++
(19)中华人民共和国国家知识产权局 (12)实用新型专利 (10)授权公告号 (45)授权公告日 (21)申请号 201920375721.9 (22)申请日 2019.03.22 (73)专利权人 中国科学院苏州生物医学工程技 术研究所 地址 215163 江苏省苏州市高新区科技城 科灵路88号 (72)发明人 徐欣 高峰 张欣 金幸杰 (74)专利代理机构 北京远大卓悦知识产权代理 事务所(普通合伙) 11369 代理人 韩飞 (51)Int.Cl. G01N 21/64(2006.01) (ESM)同样的发明创造已同日申请发明专利 (54)实用新型名称 光学相干层析和双光子荧光同步成像系统 (57)摘要 本实用新型公开了一种光学相干层析和双 光子荧光同步成像系统，包括双光子光源、快轴 扫描模块、慢轴扫描模块、第一二向色镜、共用扫 描模块、光学相干层析模块、第二二向色镜、双光 子荧光成像模块以及成像显微物镜。本实用新型 的光学相干层析和双光子荧光同步成像系统，通 过将双光子扫描成像技术和光学相干层析成像 技术相结合，采用共光路共振镜同步扫描成像方 法有效减少了系统硬件，实现了光学相干层析技 术和双光子荧光扫描成像扫描速度的有效利用， 达到了样品荧光快速面成像和断层成像的目的。权利要求书2页 说明书6页 附图2页CN 209946009 U 2020.01.14 C N 209946009 U
权 利 要 求 书1/2页CN 209946009 U 1.一种光学相干层析和双光子荧光同步成像系统，其特征在于，包括双光子光源、快轴扫描模块、慢轴扫描模块、第一二向色镜、共用扫描模块、光学相干层析模块、第二二向色镜、双光子荧光成像模块以及成像显微物镜； 所述光学相干层析模块中发出的样品光经过所述慢轴扫描模块后透射所述第一二向色镜，所述双光子光源发出的飞秒激光经过所述快轴扫描模块后被所述第一二向色镜反射，与透射所述第一二向色镜的样品光相结合，共同经过所述共用扫描模块后透射所述二向色镜，再经过所述成像显微物镜后照射到样品上；飞秒激光激发样品产生的荧光经所述成像显微物镜后被所述第二二向色镜反射至所述双光子荧光成像模块进行荧光成像，样品光照射到样品上被反射形成的成像光沿原路返回，依次经所述成像显微物镜、透射第二二向色镜、共用扫描模块、透射第一二向色镜、慢轴扫描模块后进入所述光学相干层析模块进行层析成像。 2.根据权利要求1所述的光学相干层析和双光子荧光同步成像系统，其特征在于，所述双光子荧光成像模块包括沿光路依次设置的成像聚焦透镜、滤光片和探测器，样品被激发后发出的荧光经所述第二二向色镜反射后，依次经所述成像聚焦透镜、滤光片后由所述探测器接收，进行荧光成像。 3.根据权利要求2所述的光学相干层析和双光子荧光同步成像系统，其特征在于，所述快轴扫描模块包括快轴扫描振镜和快轴聚焦透镜，所述慢轴扫描模块包括慢轴扫描振镜和慢轴聚焦透镜。 4.根据权利要求3所述的光学相干层析和双光子荧光同步成像系统，其特征在于，所述共用扫描模块包括依次设置的共用扫描振镜、共用聚焦透镜和中继透镜组。 5.根据权利要求4所述的光学相干层析和双光子荧光同步成像系统，其特征在于，所述快轴扫描振镜的扫描轴方向与共用扫描振镜的扫描方向相互垂直，且所述快轴扫描振镜的扫描轴分别与所述双光子光源发出光的光轴以及快轴聚焦透镜的光轴垂直； 所述慢轴扫描振镜的扫描轴方向与快轴扫描振镜的扫描方向相互平行，且所述慢轴扫描振镜的扫描轴分别与所述光学相干层析模块发出光的光轴方向以及慢轴聚焦透镜的光轴垂直； 所述共用扫描振镜与所述快轴扫描振镜的扫描方向相互垂直，且所述共用扫描振镜的扫描轴分别与所述共用聚焦透镜、中继透镜组的光轴垂直。 6.根据权利要求5所述的光学相干层析和双光子荧光同步成像系统，其特征在于，所述慢轴聚焦透镜和共用聚焦透镜构成4f系统，所述慢轴扫描振镜和共用扫描振镜位于4f系统的透镜焦点位置；所述快轴聚焦透镜和共用聚焦透镜构成4f系统，所述快轴扫描振镜和共用扫描振镜位于4f系统的透镜焦点位置。 7.根据权利要求1所述的光学相干层析和双光子荧光同步成像系统，其特征在于，所述光学相干层析模块包括谱域光学相干层析系统或者扫频源光学相干层析系统。 8.根据权利要求1所述的光学相干层析和双光子荧光同步成像系统，其特征在于，所述第一二向色镜截止波长为900nm，长波反，短波通，其透射所述光学相干层析模块发出的样品光以及样品反射的成像光均，且反射所述双光子光源发出的飞秒激光。 9.根据权利要求1所述的光学相干层析和双光子荧光同步成像系统，其特征在于，所述第二二向色镜截止波长为650nm，长波通，短波反，其透射所述双光子光源发出的飞秒激光、 2
实验题目：量子纠缠实验（近代物理实验） 王合英孙文博陈宜保葛惟昆 清华大学实验物理教学中心 【实验目的】 通过本实验，不仅让学生更深刻地理解量子力学与非线性光学的相关理论知识，同时使学生在实验技能、科学素养、工作作风等各方面得到全面的培养与训练。由于本实验涉及的理论知识和实验技术范围广、可做的实验内容多，特别鼓励学生在实验过程中大胆提出自己的思路，以激发学生的创新思维，提高学生的综合实验能力。具体来说，本实验的目的可以概括为： 1.了解量子纠缠态的概念、性质及其在量子信息领域的应用，进而深刻理解量 子力学的本质与精髓。 2.学习量子通讯的基本原理和过程，以及与量子通讯相关的一些基本概念和知 识。 3.学习光子纠缠源的性质及产生原理，学习相关的非线性光学的知识，如自 发参量放大与振荡、相位匹配、自发参量下转换、非线性晶体的性质等，熟练掌握光学实验的光路调节和各种光学元件的调整技术。 4.了解光纤传输和耦合的理论与技术，学习单光子计数器的工作原理和单光子
计数技术。 5.学习对光子纠缠源产生的光子纠缠对比度的符合测量方法，并通过测量验算 Bell不等式。 【实验内容】 核心内容：本实验涉及量子力学基本原理和量子通讯技术最基础和核心的内容，不仅包含丰富的物理理论知识，更是各种实验技术特别是光学技术的 综合，因此要求学生在做实验时既要有清楚的物理图像，又具有比较 强的动手操作能力；既要有严谨细致的工作作风，又要有创新精神。基本要求：学生有较好的光学和量子力学的理论基础，比较强的理论自学能力和比较强的光路调节能力，做实验要认真、有耐心、胆大细心。由于做 本实验所需时间较长，要求学生做实验的时间能比较集中。 基础部分： 1.激光器性能判定 2.BBO晶体主光轴校订 3.双光子偏振纠缠态的制备和测量 4.爱因斯坦佯谬和Bell不等式的实验测量 研究型部分： 1.学生在上述实验的基础上，查找资料，自己设计另一种光路实现双光子纠缠 态的制备和测量，设计光路时可以用到其它的非线性光学元件，如PBS等。 并对两种方法的优缺点对比分析。 2.纠缠双光子的干涉实验。对比度曲线反映了两个光子的偏振关系，但此处的 符合测量并不能直接反映两个光子的相干性质，学生可以尝试设计一种关于纠缠双光子的相干性的实验。 【实验原理】
含有函数记号“ ()f x ”有关问题解法 由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号 ()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地 掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出 ()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生 的灵活性及变形能力。 例1：已知 ( )211x f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴ 2()1x f x x -= - 2.凑合法：在已知 (())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁， 还能进一步复习代换法。 例2：已知 33 11()f x x x x +=+，求 ()f x 解：∵ 22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11 ||||1|| x x x x +=+≥ ∴ 23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1) 3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解:设 ()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+ =22 222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()4 1321 ,1,2222 a c a a b c b +=??=?===??=? ∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x 解:∵ ()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-, ∵ ()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴lg(1),0()lg(1),0 x x f x x x +≥?=?--
抽象函数经典综合题33例（含详细解答） 抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。 本资料精选抽象函数经典综合问题33例（含详细解答） 1.定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1）求证：f(0)=1； （2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数； （4）若f(x)·f(2x-x 2 )>1，求x 的取值范围。 解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2 ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令a=x ，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴) (1 )(x f x f = - 由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴0) (1 )(>-= x f x f 又x=0时，f(0)=1>0 ∴对任意x ∈R ，f(x)>0 (3)任取x 2>x 1，则f(x 2)>0，f(x 1)>0，x 2-x 1>0 ∴ 1)()()() () (121212>-=-?=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数 （4）f(x)·f(2x-x 2 )=f[x+(2x-x 2 )]=f(-x 2 +3x)又1=f(0)， f(x)在R 上递增 ∴由f(3x-x 2 )>f(0)得：3x-x 2 >0 ∴ 0 抽象函数的解题方法与技巧 摘要：抽象函数是没有具体的解析式，只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数。因而显得特别抽象。所以解决抽象函数问题需要从函数的本质出发，考虑其定义，性质，加之解决抽象函数问题时常用的技巧——赋值法，换元法等。尽可能使抽象函数变得不再抽象。 关键词：抽象函数；性质；求值；解析式 ；解题方法；技巧 Problem-solving methods and skills of abstract functions Xue Jie School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China Abstract :: abstract function is not analytic type specific, given only the function characteristics, its nature or some special relationship. So it is especially abstract. So to solve the abstract function problems need from the view of function essence, considering its definition, nature, and solve the abstract function problems commonly used techniques -- assignment method, substitution method etc.. As far as possible to make the abstract function is no longer abstract. Keywords : abstract function; property; evaluation; analytic method; problem solving skills; 1. 提出问题的背景 抽象函数问题是函数中的一类综合性较强的问题，这类问题通过对函数性质结构的代数表述，能够综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对函数性质的代数推理和论证能力，考查学生的抽象思维和对知识的灵活运用能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，因而成为近几年高考命题的热点。由于抽象函数问题只给出函数所满足的一般性质或运算法则，没有明确的表示形式，因其抽象性和综合型，对学生而言有较大的难度。因此有必要对抽象函数的解题方法和技巧进行归纳总结。 2. 抽象函数的知识点 （1）定义域：函数的定义域指自变量x 的取值范围。所以对抽象函数()x f ，()[]x g f 而言，其定义域均指的是x 的取值范围。对于()[]x g f 和()[]x h f ，其中()x g 和()x h 的地位是等价的，故取值范围是一样的。 （2）值域：函数的值域指函数值的取值范围。那么具有相同对应关系的两个抽象函数 ()[]x g f 和()[]x h f ，它们的值域是相同的。 高考数学总复习第十讲：抽象函数问题的题型综述 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是中学数学中的一个难点，因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开，教师对教材也难以处理，而高考中又出现过这一题型，有鉴于此，本文对这一问题进行了初步整理、归类，大概有以下几种题型： 一. 求某些特殊值 这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。 例1 定义在R 上的函数f x ()满足：f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=，求f ()2000的值。 解：由f x f x ()()220-+-=， 以t x =-2代入，有f t f t ()()-=， ∴f x ()为奇函数且有f ()00= 又由f x f x ()[()]+=--44 =-=-∴+=-+=f x f x f x f x f x () ()()()() 84 故f x ()是周期为8的周期函数， ∴==f f ()()200000 例2 已知函数f x ()对任意实数x y ，都有f x y f x f y ()()()+=+，且当x >0 时， f x f ()()>-=-012，，求f x ()在[]-21，上的值域。 解：设x x 12< 且x x R 12，∈， 则x x 210->， 由条件当x >0时，f x ()>0 ∴->f x x ()210 又f x f x x x ()[()]2211=-+ =-+>f x x f x f x ()()()2111 ∴f x ()为增函数， 令y x =-，则f f x f x ()()()0=+- 又令x y ==0 得f ()00= ∴-=-f x f x ()()， 故f x ()为奇函数， ∴=-=f f ()()112，f f ()()-=-=-2214 ∴-f x ()[]在，21上的值域为[]-42， 二. 求参数范围 这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。 解 抽 象 函 数 的 常 用 方 法 抽象函数是指没有给出具体解析式的函数。此类函数试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和转化能力，以及对一般和特殊关系的认识，因此备受命题者的青睐，成为高考热点。然而，由于抽象函数本身的抽象性、隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策。 我在多年的教学中,积累了一些解题方法,供大家参考. 一、 利用线性函数模型 在中学数学教材中，大部分抽象函数是以具体函数为背景构造出来的，解题时最根本点是将抽象函数具体化，这种方法虽不能代替具体证明，但却能找到这些抽象函数的解题途径，特别是填空题、选择题，直接用满足条件的特殊函数求解，得出答案即可。常见的抽象函数模型有： 例1、函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且f （1）＝2， f （x ）在区间[－４，２]上的值域为 。 0a a ≠且 解析：由题设可知，函数f （x ）是正比例()y kx k =为常数的抽象函数，由f （1）＝2可求得 k=2，∴ f （x ）的值域为［－８，４］。 例2、已知函数f （x ）对任意,x y R ∈，满足条件()()()2f x y f x f y +=+-，且当x ＞0时， f （x ）＞2，f （3）＝5，求不等式2(22)3f a a --的解。 分析：由题设条件可猜测：f （x ）是y ＝x ＋2的抽象函数，且f （x ）为单调增函数，如果 这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。 解：设1221,0x x x x -则，∵当x ＞0时，f （x ）＞2，∴21()2f x x -，则 ， 即，∴f （x ）为单调增函数。 ∵， 又∵f （3）＝5，∴f （1）＝3。∴2(22) (1)f a a f --，∴2221a a --， 解得不等式的解为－1 < a < 3。 例3、定义在Ｒ上的函数()y f x =，对任意的12,x x 满足12x x ≠时都有12()()f x f x ≠，且有 ()()()f x y f x f y +=成立。求： （1）f （0）； （2）对任意值x ，判断f （x ）值的正负。 分析：由题设可猜测f （x ）是指数函数()(01)x f x a a a =≠且的抽象函数， 从而猜想f （0）＝1且f （x ）＞0。 解：（1）令y ＝0代入()()()f x y f x f y +=，则()()(0)f x f x f =， ∴[]()1(0)0f x f -=。若f （x ）＝0，则对任意12x x ≠，有12()()0f x f x ==， 抽象函数问题的解题策略Last revision on 21 December 2020 抽象函数问题的解题策略 一、利用特殊模型 有些抽象函数问题,用常规解法很难解决,但与具体函数“对号入座”后,问题容易迎刃而解.这种方法多用于解填空题、选择题、解答题的解题后的检验,但解答题的解答书写过程一般不能用此法. 例1 若函数f(x)与g(x)在R 上有定义,且f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y), f(-2)=f(1)≠0,则g(1)+g(-1)= . 解 因为 f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y), 这是两角差的正弦公式模型, 又f(-2)=f(1)≠0, 则可取x x f 3 2sin )(π= 于是 f(-1-1)=f(-1)g(1)-g(-1)f(1) 例2 设函数f(x)是定义在R 上的减函数,且满足f(x+y)=f(x)f(y), f(-3)=8,则不等式f(x)f(x-2)< 的解集为 . 解 因为函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y),这是指数函数模型, 又 f(-3)=8, 则可取 ∵f(x)f(x-2)< ∴2)21()21(-x x ＜2561, 即22)21(-x ＜8)2 1(， ∴ 2x-2 >8, 解不等式,得 x>5, ∴ 不等式的解集为 {x|x >5}. 二、利用函数性质 函数的特征是通过函数的性质反映出来的,抽象函数也不例外,只有充分利用题设条件所表明的函数的性质,灵活进行等价转化,抽象函数问题才能峰回路 转、化难为易. 1. 利用单调性 例3 设f(x)是定义在（0,+∞）上的增函数,满足f(xy)=f(x)+f(y), f(3)=1,解不等式f(x)+f(x-8)≤2. 解 ∵ 函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y), f(3)=1, ∴ 2=1+1=f(3)+f(3)=f(9), 由f(x)+f(x-8)≤2,得 f[x(x-8)]≤f(9), ∵ 函数f(x)是定义在（0,+∞）上的增函数, 则 ∴ 不等式解集为 {x|8 抽象函数的几类常见问题及解题方法 抽象函数是没有具体的解析式，只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数。因而显得特别抽象。所以解决抽象函数问题需要从函数的本质出发，考虑其定义，性质，加之解决抽象函数问题时常用的技巧——赋值法，换元法等，尽可能使抽象函数变得不再抽象。这类问题既能全面地考查学生对函数概念和性质的理解以及代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力. 对于发展学生的思维能力.尤其是抽象思维能力，渗透数学思想方法，起着非常重要的作用，所以备受各地模考、高考的青睐.因此有必要对抽象函数的解题方法和技巧进行归纳总结。以下是我归纳的常见的三类问题及其解法。 1.有关定义域问题 函数的定义域指自变量的取值范围。所以对抽象函数，而言，其定义域均指的是的取值范围。对于和，其中和的地位是等价的，故取值范围是一样的。 例 1. 函数y= 的定义域为（一∞，1] ，则函数y=f [ 1 og 】的定义域是————。 解析：因为1 og相当于 f （x ）中的X，所以1 og≤ 1，得 抽象函数的解题方法与技巧 摘要：抽象函数是没有具体的解析式，只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数。因而显得特别抽象。所以解决抽象函数问题需要从函数的本质出发，考虑其定义，性质，加之解决抽象函数问题时常用的技巧——赋值法，换元法等。尽可能使抽象函数变得不再抽象。 关键词：抽象函数；性质；求值；解析式；解题方法；技巧 Problem-solving methods and skills of abstract functions Xue Jie School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China Abstract:: abstract function is not analytic type specific, given only the function characteristics, its nature or some special relationship. So it is especially abstract. So to solve the abstract function problems need from the view of function essence, considering its definition, nature, and solve the abstract function problems commonly used techniques -- assignment method, substitution method etc.. As far as possible to make the abstract function is no longer abstract. Keywords: abstract function; property; evaluation; analytic method; problem solving skills; 1.提出问题的背景 抽象函数问题是函数中的一类综合性较强的问题，这类问题通过对函数性质结构的 双光子荧光显微镜的原理特点 双光子荧光显微镜是结合了激光扫描共聚焦显微镜和双光子激发技术的一种新技术。 双光子激发的基本原理是： 在高光子密度的情况下，荧光分子可以同时吸收2个长波长的光子，在经过一个很短的所谓激发态寿命的时间后，发射出一个波长较短的光子;其效果和使用一个波长为长波长一半的光子去激发荧光分子是相同的。 双光子激发需要很高的光子密度，为了不损伤细胞，双光子显微镜使用高能量锁模脉冲激光器。 这种激光器发出的激光具有很高的峰值能量和很低的平均能量，其脉冲宽度只有100飞秒，而其周期可以达到80至100兆赫。 在使用高数值孔径的物镜将脉冲激光的光子聚焦时，物镜的焦点处的光子密度是的，双光子激发只发生在物镜的焦点上，所以双光子显微镜不需要共聚焦针孔，提高了荧光检测效率。 为形态学、分子细胞生物学、神经科学、和药理学等研究领域中重要的研究手段。 1.双光子显微镜出现的背景----传统激光共聚焦显微镜的两大局限: 1)一是光毒性现象： 因为共聚焦的针孔必须足够小以获得高分辨率的图像，而孔径小又会挡掉很大部分从样品发出的荧光，包括从焦平面发出的荧光，相应的，激发光必须足够强以获得 足够的信噪比; 而高强度的激光会使荧光染料在连续扫描过程中迅速褪色，荧光信号会随着扫描进程度进行变得越来越弱。 2)光毒作用是另外一个问题，在激光照射下，许多荧光染料分子会产生诸如单态氧或自由基等细胞毒素，所以实验中要限制扫描时间和激发光的光功率密度以保持样品的活性。 在针对活性样品的研究中，尤其是活性样品生长、发育过程的各个阶段，光漂白和光毒现象使这些研究受到很大的限制。 2.为什么说双光子显微镜一般不需要配备紫外激发激光器? 双光子显微镜技术是建立在双光子激发效应的基础上的一种荧光激发技术：荧光染料分子可以同时吸收低能量的两个光子而被激发(两个光子到达荧光分子的时间间隔小于1飞秒)，其激发效果可以等同于吸收一个1/2波长的高能量光子。 例如，吸收两个红色波长的光子，相当于一个吸收紫外的分子。长波长的光子不易被细胞吸收，因此对活细胞的光毒性减少，也降低了光漂白。这样即起到紫外激发的功能，又避免了紫外光线对样品的伤害。 3.双光子显微镜的激光器有何特别之处? 双光子吸收几率依赖于两个入射光子在空间和时间上的重合程度(两个光子必须在10-18秒内到达)。双光子吸收截面很小，只有在具有很大光子流量的区域的荧光团才会被激发。 因此所用激光器多为钛宝石激光器，可以达到皮秒或者飞秒级的扫描速度，且具有非常高的峰值功率和较低的平均功率，从而可以减小或者消除光漂白和光毒作用。 抽象函数的性质问题解析 抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。 1、 定义域：解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。 材料一：若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=x f y 的定义域。 解析：由)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，知1+x 中的)3,2[-∈x ，从而411<+≤-x ，对函数)21 (+=x f y 而言，有1124x -≤ +<，解之得：),21(]31,(+∞--∞∈ x 。 所以函数)21(+=x f y 的定义域为),21(]31,(+∞--∞ 总结：函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围），如本题中的1+x 与 21+x 的范围等同。 2、 值域：解决抽象函数的值域问题——定义域、对应法则决定。 材料二：若函数)1(+=x f y 的值域为]1,1[-，求函数)23(+=x f y 的值域。 解析：函数)23(+=x f y 中定义域与对应法则与函数)1(+=x f y 的定义域与对应法则完全相同，故函数)23(+=x f y 的值域也为]1,1[-。 总结：当函数的定义域与对应法则不变时，函数的值域也不会改变。 3、 对称性：解决抽象函数的对称问题——定义证明是根本、图象变换是捷径、特值代入是妙法。 材料三：设函数)(x f y =定义在实数集上，则函数)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于（ ） A 、直线0=y 对称 B 直线0=x 对称 C 直线1=y 对称 D 直线1=x 对称 解法一（定义证明）：设点),(00y x P 是函数)1(-=x f y 的图象上的任意一点，则)1(00-=x f y ，),(00y x P 关于直线m x =的对称点为),2(00/y x m P -，要使点),2(00/y x m P -在函数)1(x f y -=的图象上，则)21()]2(1[000m x f x m f y -+=--=，应有121-=-m ，故1=m ， 所以函数)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于直线1=x 对称。 解法二（图象变换法）：由函数)(x f y =的图象向右平移1个单位得到函数)1(-=x f y 的图象；由函数)(x f y =的图象关于y 轴对称得到函数)(x f y -=的图象，再向右平移1个单位，得到)1()]1([x f x f y -=--=的图象。如图所示，选D 。 解法三（特值代入法）：由已知可得点))1(,0(-f P 在函数)1(-=x f y 的图象上，点))1(,2(-f Q 在函数)1(x f y -=的图象上，又点P 、Q 关于直线1=x 对称，选D 。抽象函数的解题方法与技巧
抽象函数常见题型解法
抽 象 函 数 的 解 题 方 法
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