抽象函数解题方法与技巧
函数的周期性：
1、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=f(x-a)（或f(x-2a)=f(x)）(a >0)恒成立，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；
2、若y=f(x)的图像关于直线x=a 和x=b 对称，则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数；
3、若y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数；
4、若y=f(x) 的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b （a ≠b ），则函数y=f(x)是周期为4|a-b|的周期函数；
5、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，其中a>0，且如果y=f(x)为奇函数，则其周期为4a ；如果y=f(x)为偶函数，则其周期为2a ；
6、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=-f(x)()1()f x a f x ??+= ??
?或()1()f x a f x ??+=- ?
??或，则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数；
7、若()()()1
1
f x f x a f x -+=
+在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为4a 的周期函数；
8、若()()
()11
f x f x a f x -+=
+在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数。
（7、8应掌握具体推导方法，如7）
函数图像的对称性：
1、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线2
a b x +=对称；
2、若函数y=f(x)满足f(x)=f(2a-x)或f(x+a)=f(a-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称；
3、若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c ，则y=f(x)的图像关于点,2
2a b c +??
???
成中心对称图形； 4、曲线f(x,y)=0关于点(a,b )的对称曲线的方程为f(2a-x,2b-y)=0；
()()()()()()()1
1
1121
2112()()
11
f x f x a f x f x a f x f x a f x f x f x --+-+-+====-
-++++
5、形如()0,ax b
y c ad bc cx d
+=
≠≠+的图像是双曲线，由常数分离法 d ad ad a x b b
a c c c y d d c c x c x c c ??+-+-+ ???==+????++ ? ????
?知：对称中心是点,d a c c ??- ???；
6、设函数y=f(x)定义在实数集上，则y=f(x+a)与y=f(b-x)的图像关于直线2b a x -=对称；
7、若函数y=f(x)有反函数，则y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的图像关于直线y=x+a 对称。 一、换元法 换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法. 例1. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x , 求f(x)
二、方程组法 运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题。
例2．.23
2
|)(:|,)1(2)(),)(,(≥=-=x f x x f x f x f x f(x)y 求证且为实数即是实数函数设
三、待定系数法
如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。 例3．已知f(x)是二次函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x ,求f(x).
四、赋值法
有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。 例4．对任意实数x,y ，均满足f(x+y 2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______.
例5．已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的实数a,b都满足
f(ab)=af(b)+bf(a).(1)求f(0)，f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;
五、转化法通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系，为问题的解决带来极大的方便.
例6．设函数f(x)对任意实数x,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0时f(x)<0,且f(1)= -2,
求f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值。
例7．定义在R+上的函数f(x)满足：①对任意实数m，f(x m)=mf(x)；②f(2)=1.
(1)求证：f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y都成立；
(2)证明f(x)是R+上的单调增函数；
(3)若f(x)+f(x-3)≤2,求x 的取值X围。
六、递推法对于定义在正整数集N*上的抽象函数，用递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解.
例8．已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1，且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5，f(x+1)≤f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_________.
模型法
模型法是指通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。
应掌握下面常见的特殊模型：
5个根之和=_____________
例11．设定义在R上的函数f(x)，满足当x>0时，f(x)>1，且对任意x，y∈R，有f(x+y)=f(x)f(y)，f(1)=2
（1）解不等式f(3x-x 2)>4；（2）解方程[f(x)]2+1
2
f(x+3)=f(2)+1
例12．已知函数f(x)对任何正数x,y 都有f(xy)=f(x)f(y)，且f(x)≠0，当x>1时，f(x)<1。试判断f(x)在(0,+∞)上的单调性，并说明理由。
函数性质练习
1. 已知函数)127()2()1()(2
2
+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则m 的值是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2. 若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A. )2()1()23(f f f <-<-
B. )2()2
3()1(f f f <-<-
C. )23()1()2(-<- D. )1()2 3()2(-<- 3. 如果奇函数)(x f 在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]3,7--上是（ ） A. 增函数且最小值是5- B. 增函数且最大值是5- C. 减函数且最大值是5- D. 减函数且最小值是5- 4. 设)(x f 是定义在R 上的一个函数，则函数)()()(x f x f x F --=在R 上一定是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数 5. 下列函数中,在区间()0,1上是增函数的是（ ） A. x y = B. x y -=3 C. x y 1= D. 42 +-=x y 6. 函数)11()(+--=x x x x f 是（ ） A. 是奇函数又是减函数 B. 是奇函数但不是减函数 C. 是减函数但不是奇函数 D. 不是奇函数也不是减函数 7. 设奇函数)(x f 的定义域为[]5,5-，若当[0,5]x ∈时，)(x f 的图象如右图,则不等式()0f x <的解是 8. 函数2y x =+________________. 9. 已知[0,1]x ∈，则函数y = 的值域是 . 10. 若函数2 ()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则)(x f 的递减区间是 . 11. 下列四个命题 （1）()f x = 有意义; （2）函数是其定义域到值域的映射; （3）函数2()y x x N =∈的图象是一直线；（4）函数22,0 ,0 x x y x x ?≥?=?- 其中正确的命题个数是____________. 12. 已知函数()f x 的定义域为()1,1-，且同时满足下列条件：（1）()f x 是奇函数； （2）()f x 在定义域上单调递减；（3）2 (1)(1)0,f a f a -+-<求a 的取值X 围. 抽象函数解题方法与技巧 函数的周期性： 1、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=f(x-a)（或f(x-2a)=f(x)）(a >0)恒成立，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数； 2、若y=f(x)的图像关于直线x=a 和x=b 对称，则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数； 3、若y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数； 4、若y=f(x) 的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b （a ≠b ），则函数y=f(x)是周期为4|a-b|的周期函数； 5、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，其中a>0，且如果y=f(x)为奇函数，则其周期为4a ；如果y=f(x)为偶函数，则其周期为2a ； 6、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=-f(x)()1()f x a f x ??+= ?? ?或()1()f x a f x ??+=- ? ??或，则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数； 7、若()()()1 1 f x f x a f x -+= +在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为4a 的周期函数； 8、若()() ()11 f x f x a f x -+= +在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数。 （7、8应掌握具体推导方法，如7） 函数图像的对称性： 1、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线2 a b x +=对称； ()()()()()()()1 1 1121 2112()() 11 f x f x a f x f x a f x f x a f x f x f x --+-+-+====- -++++ 2、若函数y=f(x)满足f(x)=f(2a-x)或f(x+a)=f(a-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称； 3、若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c ，则y=f(x)的图像关于点,2 2a b c +?? ??? 成中心对称图形； 4、曲线f(x,y)=0关于点(a,b )的对称曲线的方程为f(2a-x,2b-y)=0； 5、形如()0,ax b y c ad bc cx d += ≠≠+的图像是双曲线，由常数分离法 d ad ad a x b b a c c c y d d c c x c x c c ??+-+-+ ???==+????++ ? ???? ?知：对称中心是点,d a c c ??- ???； 6、设函数y=f(x)定义在实数集上，则y=f(x+a)与y=f(b-x)的图像关于直线2b a x -=对称； 7、若函数y=f(x)有反函数，则y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的图像关于直线y=x+a 对称。 二、换元法 换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法. 例2. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x , 求f(x) 解：令u=1+sinx ，则sinx=u-1 (0≤u ≤2),则f(u)=-u 2+3u+1 (0≤u ≤2) 故f(x)=-x 2+3x+1 (0≤x ≤2) 二、方程组法 运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题。 例2．.23 2 |)(:|,)1(2)(),)(,(≥=-=x f x x f x f x f x f(x)y 求证且为实数即是实数函数设 解:x x x f x x f x f x x 323)(,1)(2)1(,1--==-联立方程组，得得代换用 3 22323 |)(|≥+ = ∴x x x f 三、待定系数法 如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。 例3．已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x ,求f(x). 解：由已知得f(x)是二次多项式，设f(x)=ax 2+bx+c (a≠0) 代入f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c=ax 2+(2a+b)x+a+b+c f(x-1)= a(x-1)2+b(x-1)+c=ax 2+( b -2a)x+a-b+c ∴f(x+1)+ f(x-1)=2ax 2+2bx+2a+2c=2x 2-4x 比较系数得：a=1,b= -2,c= -1 , f(x)=x 2-2x-1. 四、赋值法 有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。 例4．对任意实数x,y ，均满足f(x+y 2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______. 解：令x=y=0，得：f(0)=0,令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2, ∵f(1)≠0 ∴f(1)= . 令x=n,y=1，得f(n+1)=f(n)+2[f(1)]2=f(n)+ 即f(n+1)-f(n)= 12，故f(n)= 2n ，f(2001)= 20012 例5．已知f(x)是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的实数a,b 都满足 f(ab)=af(b)+bf(a). (1)求f(0)，f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论; (3)若f(2)=2,u n =f(2n ) (n ∈N*),求证：u n+1>u n (n ∈N*). 解：(1)令a=b=0,得f(0)=0,令a=b=1,得f(1)=0. (2)f(x)是奇函数。因为：令a=b=-1,得f[(-1)(-1)]=-f(-1)-f(-1),f(-1)=0, 故f(-x)=f[(-1)(x)]= -f(x)+xf(-1)= -f(x),故f(x)为奇函数. (3)先用数学归纳法证明：u n =f(2n )>0 (n ∈N*)(略) 五、转化法 通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系，为 问题的解决带来极大的方便. 例6．设函数f(x)对任意实数x,y ，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0时f(x)<0,且f(1)= -2,求f(x) 在[-3，3]上的最大值和最小值。 解：令x=y=0，得f(0)=0,令y=-x ,得f(-x)+f(x)=f(0)=0,即f(x)为奇函数. 设x 1 例7．定义在R +上的函数f(x)满足： ①对任意实数m ，f(x m )=mf(x)； ②f(2)=1. 121 2 (1)求证：f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y 都成立； (2)证明f(x)是R +上的单调增函数； (3)若f(x)+f(x-3)≤2,求x 的取值X 围。 解：(1)令x=2m ,y=2n ,其中m,n 为实数，则f(xy)=f(2m+n )=(m+n)f(2)=m+n . 又f(x)+f(y)=f(2m )+f(2n )=mf(2)+nf(2)=m+n ,所以f(xy)=f(x)+f(y) （2）证明：设0 =f(2m-n )=(m-n)f(2)=m-n<0 故f(x 1) (3)由f(x)+f(x-3)≤2及f(x)的性质，得f[x(x-3)]≤2f(2)=f(4) 解得 3 六、递推法 对于定义在正整数集N*上的抽象函数，用递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性， 也常用递推法来求解. 例8．已知f(x)是定义在R 上的函数，f(1)=1，且对任意x ∈R 都有f(x+5)≥f(x)+5，f(x+1)≤f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x ,则g(2002)=_________. 解：由f(x+1)≤f(x)+1得f(x+5)≤f(x+4)+1≤f(x+3)+2≤f(x+2)+3≤f(x+1)+4 又∵f(x+5)≥f(x)+5 ∴f(x)+5≤f(x+1)+4 ∴f(x)+1≤f(x+1) 又∵f(x+1)≤f(x)+1 ∴f(x+1)=f(x)+1 又∵f(1)=1 ∴f(x)=x g(x)=f(x)+1-x=1，故g(2002)=1。 模型法 模型法是指通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。 应掌握下面常见的特殊模型： 5个根之和=_____________ 分析：因为函数f(x)恒满足f(2+x)= f(2-x),方程f(x)=0有5个实根，可以将该函数看成是类似于二次函数y=k(x-2)2为模型引出解题思路，即函数的对称轴是x=2，并且函数在f(2)=0，其余的四个实数根关于x=2对称 解：因为实数集上的函数f(x)恒满足f(2+x)= f(2-x),方程f(x)=0有5个实根，所以函数关于直线x=2对称，所以方程的五个实数根也关于直线x=2对称，其中有一个实数根为2，其它四个实数根位于直线x=2两侧，关于直线x=2对称，则这5个根之和为10。 例11．设定义在R 上的函数f(x)，满足当x>0时，f(x)>1，且对任意x ，y ∈R ，有f(x+y)=f(x)f(y)，f(1)=2 （1）解不等式f(3x-x 2)>4；（2）解方程[f(x)]2+1 2 f(x+3)=f(2)+1 分析：可联想指数函数f(x)=a x 。 解：(1)先证f(x)>0，且单调递增，因为f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)，x>0时f(x)>1，所以f(0)=1 对于任意x<0，则-x>0，f(x)f(-x)=f(x-x)=f(0)=1，∴f(x)= () 1f x - ∵-x>0，f(-x)>1 ∴0 所以f(x 1)-f(x 2)=f[(x 2-x 1)+x 1]-f(x 1)=f(x 2-x 1)f(x 1)-f(x 1)=f(x 1)[f(x 2-x 1)-1]>0 所以x ∈R 时，f(x)为增函数。 不等式f(3x-x 2)>4可化为3x-x 2>2 解得：{x|1 (2)f(1)=2，f(2)=4，f(3)=8，原方程可化为：[f(x)]2+4f(x)-5=0，解得f(x)=1或f(x)=-5（舍) 由(1)得x=0。 例12．已知函数f(x)对任何正数x,y 都有f(xy)=f(x)f(y)，且f(x)≠0，当x>1时，f(x)<1。试判断f(x)在(0,+∞)上的单调性，并说明理由。 分析：可联想幂函数 f(x)=x n? 解：对x ∈R +，有 f(x)= 2 0f f =≥，又f(x)≠0，故f(x)>0 设x 1，x 2∈R +，且x 1 所以f(x 1)>f(x 2)，故f(x)在R +上为减函数。 函数性质答案 1. B 奇次项系数为0,20,2m m -== 2. D 3 (2)(2),212 f f =--<-<- 3. A 奇函数关于原点对称，左右两边有相同的单调性 4. A ()()()()F x f x f x F x -=--=- 5. A 3y x =-在R 上递减，1y x = 在(0,)+∞上递减，2 4y x =-+在(0,)+∞上递减， 6. A ()(11)(11)()f x x x x x x x f x -=----+=+--=- 为奇函数，而2 2 2,12,01 (),2,102,1x x x x f x x x x x -≥??-≤ 为减函数. 7. (](2,0) 2,5- 奇函数关于原点对称，补足左边的图象 8. [2,)-+∞ 1,x y ≥-是x 的增函数，当1x =-时，min 2y =- 9. 该函数为增函数，自变量最小时，函数值最小；自变量最大时，函数值最大 10. [)0,+∞ 2 10,1,()3k k f x x -===-+ 11. 1 （1）21x x ≥≤且，不存在；（2）函数是特殊的映射；（3）该图象是由 离散的点组成的；（4）两个不同的抛物线的两部分组成的，不是抛物线. 12. 解：22 (1)(1)(1)f a f a f a -<--=-，则22111 11111a a a a -<--? ,∴01a <<
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