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抽象函数的性质问题解析(数学)

抽象函数的性质问题解析

抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。

1、定义域：解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。材料一：若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(

+=x

f y 的定义域。

解析：由)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，知1+x 中的)3,2[-∈x ，从而411<+≤-x ，

对函数)21

(

+=x f y 而言，有1

124x -≤

+<，解之得：),21

(]31,(+∞--∞∈ x 。

所以函数)21(+=x f y 的定义域为),2

(]31,(+∞--∞

总结：函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围），如本题中的1+x 与2

1+x

的范围等同。

2、值域：解决抽象函数的值域问题——定义域、对应法则决定。

材料二：若函数)1(+=x f y 的值域为]1,1[-，求函数)23(+=x f y 的值域。

解析：函数)23(+=x f y 中定义域与对应法则与函数)1(+=x f y 的定义域与对应法则完全相同，故函数)23(+=x f y 的值域也为]1,1[-。

总结：当函数的定义域与对应法则不变时，函数的值域也不会改变。

3、对称性：解决抽象函数的对称问题——定义证明是根本、图象变换是捷径、特值代入是

妙法。材料三：设函数)(x f y =定义在实数集上，则函数)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于（）

A 、直线0=y 对称

B 直线0=x 对称

C 直线1=y 对称

D 直线1=x 对称解法一（定义证明）：设点),(00y x P 是函数)1(-=x f y 的图象上的任意一点，则

)1(00-=x f y ，),(00y x P 关于直线m x =的对称点为),2(00/

y x m P -，要使点)

,2(00/

y x m P -在函数)1(x f y -=的图象上，则

)21()]2(1[000m x f x m f y -+=--=，应有121-=-m ，故1=m ，

所以函数)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于直线1=x 对称。

解法二（图象变换法）：由函数)(x f y =的图象向右平移1个单位得到函数)1(-=x f y 的

图象；由函数)(x f y =的图象关于y 轴对称得到函数)(x f y -=的图象，再向右平移1个单位，得到)1()]1([x f x f y -=--=的图象。如图所示，选D 。

解法三（特值代入法）：由已知可得点))1(,0(-f P 在函数)1(-=x f y 的图象上，点))1(,2(-f Q 在函数)1(x f y -=的图象上，又点P 、Q 关于直线1=x 对称，选D 。

总结：了解一些简单结论对解题也是很有好处的。如：函数)(x f y =满足)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =的自对称轴为2

b a x +=；函数)(x a f y +=与

)(x b f y -=的互对称轴为x b x a -=+，即2

a b x -=

4、周期性：解决抽象函数的周期性问题——充分理解与运用相关的抽象式是关键。材料四：设)(x f y =是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线1=x 对称。证明)(x f y =是周期函数。

证明：由)(x f y =的图象关于直线1=x 对称，得)()2(x f x f -=+，

又)(x f y =是定义在R 上的奇函数，所以)()(x f x f -=-

∴)()2(x f x f -=+，则)()]([)2()]2(2[)4(x f x f x f x f x f =--=+-=++=+

由周期函数的定义可知4是它的一个周期。总结：一般地，)()(x f T x f -=+,)

(1)(x f T x f ±

=+均可断定函数的周期为2T 。

5、奇偶性：解决抽象函数的奇偶性问题——紧扣定义、合理赋值。

材料五：已知)(x f y =是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的R b a ∈,，都满足：)()()(a bf b af b a f +=?。判断)(x f y =的奇偶性，并证明你的结论。

解析：令1==b a ，则)1(1)1(1)11(f f f ?+?=?，得0)1(=f ；

令1-==b a ，则)1()1()1()1()]1()1[(-?-+-?-=-?-f f f ，得0)1(=-f ；令1-=a ，x b =得)1()()1(])1[(-?+?-=?-f x x f x f ，得)()(x f x f -=- 因此函数)(x f y =为奇函数。

总结：赋值是解决多变量抽象函数的重要手段。

6、单调性：解决抽象函数的单调性问题——紧密结合定义、适当加以配凑。

材料六：设)(x f y =是定义在[-1，1]上的奇函数，且对于任意的]1,1[,-∈b a ，当0

≠+b a

时，都有：

0)()(>++b

a b f a f 。若b a >，试比较)(a f 与)(b f 的大小。

解析：)]([)

()()()()()()(b a b a b f a f b f a f b f a f -+?-+-+=

-+=-，

b a >，∴0>-b a ，又

0)()(>++b

a b f a f ，

∴0)()(>-b f a f ，即)()(b f a f >。

总结：本题实质上是证明函数的单调性，有时也用到1)

()(12>x f x f （或1)

()(12

抽象函数的单调性，一般不用导数判断。

7、可解性：由抽象式求解析式问题——视)(x f 为未知数，构造方程（组）。材料七：设函数)(x f 满足x x

x f x f +=-+1)1()(……①)10(≠≠x x 且，求)(x f 。解析：以x

x 1-代x ，得x

x x f x

x f 12)1

(

)1(

--+-，……②

以

1--x 代x ，得1

)()1

1(--=

+--x x x f x f ，……③

①+③-②得：x x f 1)(2++=所以)

1(21)(2

3---=

x x x x x f )10(≠≠x x 且

总结：在所给的抽象式中紧紧围绕)(x f ，将其余的式子替换成)(x f ，构造一个或几个方程，然后设法求解。

8、凹凸性：解决函数的凹凸性问题——捕捉图象信息，数形结合。

材料八：如图所示，)(x f i )4,3,2,1(=i 是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中任意的1x 和2x ，任意]1,0[∈λ，)()1()(])1([2121x f x f x x f λλλλ-+<-+恒成立”的只有（）

A 、)(1x f

B 、)(2x f

C 、)(3x f

D 、)(4x f 解析：令2

λ，则不等式变为2

)

()()2

(

212

1x f x f x x f +<

+，可知函数)(x f i 是一个凹函

数，故只有)(1x f 正确，选A 。

总结：函数的凹凸性在高中阶段没有专门研究，但也逐渐走入高考殿堂。

总之，因为抽象函数密切联系函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等诸多性质，加上本身的抽象性、多变性，使得抽象函数这一难点更加扑朔迷离。因此应不断挖掘隐含，灵活运

用上述解题策略，定会收到良好的效果。课外练习：

函数()f x 是定义域在[0，1]上的增函数，满足()2()2

f x f =且(1)1f =，在每个区间

11(,

i -(1,2,)i = 上，()y f x =的图象都是斜率为同一常数k 的直线的一部分。

（1）、求(0)f 、1()2

f 及1()4

f 的值，并归纳出1(

f (1,2,)i = 的表达式；

（2）、直线12

x =

，1

i x -=

，x 轴及()y f x =的图象围成的图形的面积为i a (1,2,)i = ，

记12()lim ()n x S k a a a →∞

=+++ ，求()S k 的表达式，并写出其定义域和最小值。（04，北京，

18）

解析：（1）为了求(0)f ，只需在条件()2()2

f x f =

中，令0x =，即有(0)2(0f f =(0)0

f ?=。由1(1)2()2f f =及(1)1f =，得111

()(1)222

f f ==。同理1111()()4224f f ==。归纳11()22

i i f =(1,2,)i = 。（2）、111

i x

<≤时，1111

()()22i i f x k x --=+-，

i a 1,2,)= 。

故n 24为4

的等比数列，所以12()lim ()n x S k a a a →∞

=+++ 1

(1)

4(1)13414

k -

==--

。()S k 的定义域是01k <≤，当1k =时取得最小值12

。

高中数学函数常用函数图形及其基本性质

高中数学函数常用函数图形及其基本性质 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

常见函数性质汇总常数函数f (x )=b (b ∈R) 图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴）的直线一次函数f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R)|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓；图象及其性质：直线型图象。b=0；k>0；k<0 定义域：R 值域：R 单调性：当k>0时，当k<0时奇偶性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性；反函数：有反函数。K=±1、b=0的时候周期性：无补充：一次函数与其它函数之间的lianxi 1、与一元一次函数之间的联系 2、与曲线函数的联合运用反比例函数f (x )= x k (k ≠0，k 值不相等永不相交；k 越大，离坐标轴越远) 图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f (x )的图象分别在第一、第三象限；当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、第四象限；双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线；既是中心对成图形也是轴对称图形定义域：),0()0,(+∞-∞ 值域：),0()0,(+∞-∞ 单调性：当k>0时；当k<0时奇偶性：奇函数反函数：原函数本身周期性：无 x y b O f (x )=b x y O f (x )=kx +b x y O f (x )=x k

补充：1、反比例函数的性质 2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个— —⑴直接带入，李永二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此） 3、反函数变形（如右图）f (x )= d cx b ax ++(c ≠0且d ≠0) （对比标准反比例函数，总结各项内容）二次函数一般式：)0()(2≠++=a c bx ax x f 顶点式：)0()()(2≠+-=a h k x a x f 两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f 图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为，顶点坐标为 ②当0>a 时，开口向上，有最低点当00时，函数图象与x 轴有两个交点（）；当<0时，函数图象与x 轴有一个交点（）；当=0时，函数图象与x 轴没有交点。 ④)0()(2≠++=a c bx ax x f 关系)0()(2≠=a ax x f 定义域：R 值域：当0>a 时，值域为（）；当0 a 时；当0