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抽象函数常见题型解法
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类
函数。由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强,灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质,通过局部性质或图象的局部特征,利用常规数学思想方法(如化归法、数形结合法等),这样就能突破“抽象”带来的困难,做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想,寻找具体的函数模型,再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。常见的特殊模型:
特殊模型
抽象函数
正比例函数f(x)=kx (k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y)
幂函数 f(x)=x n
f(xy)=f(x)f(y) [或)
y (f )x (f )y
x (f =]
指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [)
y (f )x (f )y x (f =
-或
对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )y
x (f -=或
正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x)
正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1)y (f )x (f )y x (f -+=
+ 余切函数 f(x)=cotx
)
y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-=
+
目录:一、定义域问题 二、求值问题 三、值域问题 四、解析式问题 五、单调性问题 六、奇偶性问题
七、周期性与对称性问题 八、综合问题
一、定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。
例1.若函数y = f (x )的定义域是[-2,2],则函数y = f (x+1)+f (x -1)的定义域为
11≤≤-x 。
解:f(x)的定义域是[]2,2-,意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。
评析:已知f(x)的定义域是A ,求()()x f ?的定义域问题,相当于解内函数()x ?的不等式问题。
练习:已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ,求函数()?
??
?
??-x f 3log 21 的定义域。
例2:已知函数()x f 3log 的定义域为[3,11],求函数f(x)的定义域 。[]
11log ,13
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评析: 已知函数()()x f ?的定义域是A ,求函数f(x)的定义域。相当于求内函数()x ?的值域。
二、求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的,可通过赋特殊值法使问题得以解决。怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验;
练习: 1. f(x)的定义域为(0,)+∞,对任意正实数x,y 都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2 ,则f = (
1
2
) 2.的值是则
且如果)
2001(f )
2000(f )5(f )6(f )3(f )4(f )1(f )2(f ,2)1(f ),y (f )x (f )y x (f ++++==+ 。2000 3、对任意整数y x ,函数)(x f y =满足:1)()()(+++=+xy y f x f y x f ,若1)1(=f ,则=-)8(f C
A.-1
B.1
C. 19
D. 43
4、函数f(x)为R 上的偶函数,对x R ∈都有(6)()(3)f x f x f +=+成立,若(1)2f =,则(2005)f =( B )
A . 2005 B. 2 C.1 D.0 解析:先令3-=x
三、值域问题(单调性,奇偶性,周期性)
例1.设函数f(x)定义于实数集上,对于任意实数x 、y ,f(x+y)=f(x)f(y)总成立,且存在
21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠,求函数f(x)的值域。
解:令x=y=0,有f(0)=0或f(0)=1。若 f(0)=0,则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立,这与存在实数21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠成立矛盾,故 f(0)≠0,必有 f(0)=1。 由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x 、y 均成立,因此,0)2()(2
≥??
? ??=x f x f ,又因为若f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0)≠0矛盾,所以f(x)>0. 例2、定义在R +上的函数f(x)满足: ①对任意实数m,f(x m )=mf(x); ②f(2)=1.
(1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y 都成立; (2)证明f(x)是R +上的单调增函数; (3)若f(x)+f(x-3)≤2,求x 的取值范围.
解:(1)令x=2m ,y=2n ,其中m,n 为实数,则f(xy)=f(2m+n )=(m+n)f(2)=m+n. 又f(x)+f(y)=f(2m )+f(2n )=mf(2)+nf(2)=m+n,所以f(xy)=f(x)+f(y)
,
2x ,2x n m ,x x 0:)2(n 2m 121==<<<且使可令设证明0n m )2(f )n m ()2(f )x x (
f )x (f )x (f )1(n m 2
1
21<-=-===--得由 故f(x 1) (3)由f(x)+f(x-3)≤2及f(x)的性质,得f[x(x-3)]≤2f(2)=f(2),解得 3 例3.已知函数f (x )的定义域是(0,+∞),当x >1时,f (x )>0,且f (x ·y )=f (x )+f (y ). (1)求f (1); (2)证明:f (x )在定义域上是增函数; (3)如果f (13)=-1,求满足不等式f (x )-f (1 x -2)≥2的x 的取值范围. 【解析】 (1)令x =y =1,得f (1)=2f (1),故f (1)=0. (2)证明 令y =1x ,得f (1)=f (x )+f (1 x )=0, 故f (1 x )=-f (x ),任取x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1<x 2, 则f (x 2)-f (x 1)=f (x 2)+f (1x 1)=f (x 2 x 1 ). 由于x 2x 1>1,故f (x 2 x 1 )>0,从而f (x 2)>f (x 1). ∴f (x )在(0,+∞)上是增函数. (3)由于f (13)=-1,而f (1 3)=-f (3),故f (3)=1. 在f (x ·y )=f (x )+f (y )中,令x =y =3,得 f (9)=f (3)+f (3)=2. 又-f (1 x -2)=f (x -2),故所给不等式可化为 f (x )+f (x -2)≥f (9),即f [x (x -2)]≥f (9). ∴???? ? x >0,x -2>0,x (x -2)≥9, 解得x ≥1+10. ∴x 的取值范围是[1+10,+∞). 例4、已知函数f(x)对于任意x ,y ∈R ,总有f(x)+f(y)=f(x +y),且当x >0时,f(x)<0, f(1)=-23 . (1)求证:f(x)在R 上是减函数; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 例5、函数f(x)对任意的a、b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时,f(x)>1. (1)求证f(x)是R上的增函数; (2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3; (3)若关于x的不等式f(nx-2)+f(x-x2)<2恒成立,求实数n的取值范围. 【解析】(1)证明:设x1,x2∈R且x1<x2,则x2-x1>0,f(x2-x1)>1, ∴f (x 2)=f (x 2-x 1+x 1) =f (x 1)+f (x 2-x 1)-1>f (x 1). ∴f (x )在R 上是增函数. (2)f (4)=f (2+2)=2f (2)-1=5, ∴f (2)=3, ∴f (3m 2-m -2)<3=f (2), ∴3m 2-m -2<2, 即3m 2-m -4<0, ∴-1<m <4 3. (3)令a =b =0, ∴f (0)=2f (0)-1, ∴f (0)=1. ∵f (nx -2)+f (x -x 2)<2, 即f (nx -2)+f (x -x 2)-1<1, ∴f (nx -2+x -x 2)<f (0). 由(1)知nx -2+x -x 2<0恒成立, ∴x 2-(n +1)x +2>0恒成立, ∴Δ=(n +1)2-4×2<0, ∴-22-1<n <22-1. 练习: 1、设函数f(x)对任意实数x,y ,都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0时f(x)<0,且f(1)= -2,求f(x) 在[-3,3]上的最大值和最小值. 2、设f(x)定义于实数集上,当x>0时,f(x)>1,且对于任意实数x 、y ,有f(x+y)=f(x)f(y), 求证:f(x)在R 上为增函数。 3、已知偶函数f (x )的定义域是x ≠0的一切实数,对定义域内的任意x 1,x 2都有 1212()()()f x x f x f x ?=+,且当1x >时()0,(2)1f x f >=, (1)f (x )在(0,+∞)上是增函数; (2)解不等式2 (21)2f x -< 四、解析式问题(换元法,解方程组,待定系数法,递推法,区间转移法) 例5. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos2x, 求f(x) 解:令u=1+sinx,则sinx=u-1 (0≤u≤2),则f(u)=-u2+3u+1 (0≤u≤2)故f(x)=-x2+3x+1 (0≤u≤2) 小结:换元法包括显性换元法和隐性换元法,它是解答抽象函数问题的基本方法. 例6、设对满足x ≠0,x ≠1的所有实数x ,函数f(x)满足,()x x x f x f +=?? ? ??-+11 ,求f(x)的解析式。 解:(1)1),x 0(x x 1)x 1x (f )x (f ≠≠+=-+且 ---- , 12)11()1(:x 1-x x x x f x x f x -=-+-得代换用(2) : )1(x -11 得中的代换再以x .12)()x -11f(x x x f --=+---(3) 1)x 0(x x 2x 21 x x )x (f :2)2()3()1(2 23≠≠---=-+且得由 小结:通过解方程组的方法可求表达式。怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常,给某些变量适当赋值,使之在关系中“消失”,进而保留一个变量,是实现这种转化的重要策略。 例7.已知f(x)是多项式函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x). 解:易知f(x)是二次多项式,设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0),代入比较系数得:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x 2-2x-1. 小结:如果抽象函数的类型是确定的,则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。 七、周期性与对称性问题(由恒等式...简单判断:同号看周期,异号看对称) 结论:(1) 函数图象关于两条直线x=a ,x=b 对称,则函数y=f(x)是周期函数,且T=2|a-b| (2) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称,则函数y=f(x)是周期函数,且T=2|a-b| (3) 函数图象关于直线x=a ,及点M(b,0)对称,则函数y=f(x)是周期函数,且T=4|a-b| (4) 应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别: y=f(a+x)与y=f(b-x)关于2a b x -=对称;y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点)0,2 (a b -对称 (可以简单的认为:一个函数的恒等式,对应法则下的两式相加和的一半为对称轴:两个同法则不同表达式的函数,对应法则下的两式相减等于0,解得的x 为对称轴) 八、综合问题 例21. 定义在R 上的函数f(x)满足:对任意实数m ,n ,总有,且当x>0时,0 , ,若 φ=B A ,试确定a 的取值范围。 解:(1)在 中,令 ,得 ,因为 ,所以 。 在中,令 ,因为当 时, 所以当 时 ,而 ,所以 又当x=0时,,所以,综上可知,对于任意,均有 。 设,则 所以.所以 在R 上为减函 数。 (2)由于函数y=f(x)在R 上为减函数,所以 ,即有 又 ,根据函数的单调性,有 ,由 , 所以直线 与圆面无公共点。因此有,解得 。 评析:(1)要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题:一是f(0)的取值问题,二是f(x)>0 的结论。这是解题的关键性步骤,完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想,联想类比思维都有助于问题的思考和解决。 例22.设定义在R 上的函数f(x),满足当x>0时,f(x)>1,且对任意x,y ∈R,有 f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2 .1)2(f )3x (f 2 1 )]x (f [)2(;,4)x x 3(f )1(22+=++ >-解方程解不等式 解:(1)先证f(x)>0,且单调递增,因为f(x)=f(x+0)=f(x)f(0),x>0时f(x)>1,所以f(0)=1. 则使假设存在某个又,0)x (f ,R x ,0)]2 x (f [)2x 2x (f )x (f o o 2=∈≥=+=f(x)=f[(x-x o )+x o ]=f(x-x o )f(x o ) =0, 与已知矛盾,故f(x)>0,任取x 1,x 2∈R 且x 1 =f(x 2-x 1)f(x 1)-f(x 1)=f(x 1)[f(x 2-x 1)-1]>0. 所以x ∈R 时,f(x)为增函数. 解得:{x|1 例23.)xy 1y x ( f )y (f )x (f ),1,1(y ,x )1(:)x (f )1,1(++=+-∈-都有对任意满足上的函数定义在 (2)当x ∈(-1,0)时,有f(x)>0.求证:(Ⅰ)f(x)是奇函数; (Ⅱ)).31(f )5n 5n 1(f )191(f )111(f 2>+++++ 解:(1)易证f(x)是奇函数。 (2)易证f(x)在(-1,0),(0,1)上是单调递减函数. ????????????++-++=+++=++)3n )(2n (11)3n )(2n (1f )1)3n )(2n (1(f )5n 5n 1(f 2又)3n 1(f )2n 1( f )3n 1(2 n 11)3n 1(2n 1f +-+=?????? ??????+-?+++-++= )3n 1 (f )31(f )]51(f )41(f [)]41(f )31(f [)5n 5n 1(f )191(f )111(f 2+-=+-+-=+++++∴ 命题成立又).31(f )3n 1(f )31(f ,0)3n 1(f >+-∴<+ 高三数学总复习函数专题——抽象函数 一、选择题: 1、已知()f x 是R 上的增函数,若令()(1)(1)F x f x f x =--+,则()F x 是R 上的( ) A .减函数 B .增函数 C .先减后增的函数 D .先增后减的函数 2定义在R 的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++,(1)2f =,则(3)f -等于( ) A .2 B .3 C .6 D .9 3、已知函数()21y f x =+是定义在R 上的奇函数,函数()y g x =的图象与函数()y f x = 的图象关于直线y x =对称,则()()g x g x +-的值为 ( ) A .2 B .1 C .0 D .不能确定 4、定义在R 上的函数()f x 满足()(4)f x f x -=-+,当2x >时,()f x 单调递增,如果 124x x +<,且12(2)(2)0x x --<,则12()()f x f x +的值为( ) A .恒大于零 B .恒小于零 C .可能为零 D .可正可负 5、已知函数()f x 对于任意x ∈R ,有()1 (2)()1 f x f x f x -+=+,且(1)2f =-,则(2005)f 的 值为( ) A .2 B . 12 C .2- D .12- 二、填空题: 6、若函数 ()f x 满足 (0)1f =,且对任意x y R ∈、都有 (1)()()()2f xy f x f y f y x +=?--+,则()f x = 。 7、定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3 (,0)4 -中心对称,对任意的实数都有 3 ()()2 f x f x =-+,且(1)1,(0)2f f -==-,则(1)(2)(2010)f f f ++???+的值 为 。 8、函数()f x 对于任意实数x 满足条件()() 1 2f x f x += ,若()15,f =-则()()5f f =__________。 9、若(23)(26)f x f x -=+,则(1)函数()y f x =的一个周期为 ;(2)函数(23)y f x =-的一个周期为 . 10、若函数()0),x f x b =>则122010( )()()201120112011f f f ++???+的值为 。 三、解答题: 11、已知函数()()y f x x =∈R 对任意非零实数12x x 、都有1212()()()f x x f x f x +=+,且 0x >时()0f x >,1 (1)4 f = 。 (1)试判断函数()f x 的奇偶性;(2)求函数()f x 在[3,3]-上的值域;(3)解不等式 23 (2)12 f x x -+>。 12、设函数()f x 的定义域为R ,且满足对任意x y ∈R 、,有()()()f x y f x f y +=?,且当0x >时,0()1f x <<。(1)求(0)f 的值;(2)判断()f x 的单调性并证明的你的结论; (3)设(){}(){} 2 2 ,()()(1),,(1,A x y f x f y f B x y f ax y a R = ?>=-+ =∈,若 A B =?,试确定a 的取值范围;(4)试举出一个满足条件的函数()f x 。 高三数学总复习函数专题——抽象函数 一、选择题: 1、已知()f x 是R 上的增函数,若令()(1)(1)F x f x f x =--+,则()F x 是R 上的( ) A .减函数 B .增函数 C .先减后增的函数 D .先增后减的函数 解:(1)特例:满足条件的函数,如()f x x =; (2)()(1)(1)((1))(1)F x f x f x f x f x =--+=---+,((1))f x --是将函数()f x 的图象关于y 轴对称,再右移一个单位得到,单调递减,(1)f x +是将函数()f x 向左移动一个单位得到,在关于y 轴对称,单调递减,故选A 。 2、定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++(x y R ∈,),(1)2 f = ,则 (3) f -等于 ( ) A .2 B .3 C .6 D .9 解:(1)设函数为2 ()f x ax bx c =++,由()()()2f x y f x f y xy +=++得到 2()f x x bx =+,又由(1)2f =,1b =,知2()f x x x =+,(3)6f -=; ( 2 ) (3)(1)(2)43(1)6,0(0)(11)(1)(1)2(1)f f f f f f f f f -=-+-+=-+==-=+--=- 所以(3)6f -=; (3)2 0(0)()()()2f f x x f x f x x ==-=+-- (1)(1)2f f ∴+-= (1)0f ∴-= (2)2(1)26f f =+= (3)(1)(2)412 f f f =++= 2(3)(3)23(3)6 f f f ∴-+=?∴-= 3、已知函数()21y f x =+是定义在R 上的奇函数,函数()y g x =的图象与函数()y f x = 的 图 象 关 于 直 线 y x =对称,则 ()() g x g x +-的值为 ( ) A .2 B .1 C .0 D .不能确定 解:因为函数()21y f x =+是定义在R 上的奇函数, 所以,(21)(21)0f x f x -+++= ()y f x ?=关于点(1,0)对称. 因此,()g x 关于(0,1)对称 即 ()() 12 g x g x +-= 故()()2g x g x +-= 4、定义在R 上的函数()f x 满足()(4)f x f x -=-+,当4x >时,()f x 单调递增,如果 124x x +<,且12(2)(2)0x x --<,则12()()f x f x +的值为 ( ) A .恒大于零 B .恒小于零 C .可能为零 D .可正可负 解:有124x x +<,12(2)(2)0x x --<知12,x x 中有一个小于2,一个大于2,不妨设 122x x <<,又由()(4)f x f x -=-+知()f x 以(2,0)为对称中心,且当2x >时,()f x 单 调递增,所以22112,()(4)()x f x f x f x <<<-=-,所以12()0f x x +<,故选。 5、已知函数()f x 对于任意x ∈R ,有()1 (2)()1 f x f x f x -+=+,且(1)2f =-,则(2005)f 的 值为 A .2 B . 12 C .2- D .12 - 解:1(4)()f x f x +=- ,8T ∴=,(3)1(2005)(5)(3)1 f f f f -∴==+ (1)121(3)3(1)121 f f f ---= ==+-+ 1(2005)2 f ∴= 二、填空题: 6、若函数 ()f x 满足 (0)1f =,且对任意x y R ∈、都有 (1)()()()2f xy f x f y f y x +=?--+,则()f x = 。 解:(1)令0,(1)2x y f ==∴= 再令0y =,()1f x x ∴=+ (2)令()f x kx b =+,略。 7、定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3 (,0)4 -中心对称,对任意的实数都有 3 ()()2 f x f x =-+,且(1)1,(0)2f f -==-,则(1)(2)(2010)f f f ++???+的值 为 。 解:由函数()f x 的图象关于点3(,0)4-中心对称,得3()()02 f x f x +--=, 又由3()()2f x f x =-+,所以33()(())22 f x f x +=-+, ()f x ∴为偶函数 3 ()(),32 f x f x T =-+∴=, 令12x =-,由3()()2f x f x =-+,得1 ()(1)2 f f -=-; 令2x =-,由3()()02f x f x +--=,得1 (2)()(1)(1)12f f f f -=--==-=, (1)(2)(2010)0f f f ∴++???+= 8、函数()f x 对于任意实数x 满足条件,若()15,f =-则()()5f f =__________。 解:由()() 1 2f x f x += ,得4T =,()()115((1))(5)(1)(1)5f f f f f f f ==-=-= =- 9、若(23)(26)f x f x -=+,则(1)函数()y f x =的一个周期为 ;(2)函数(23)y f x =-的一个周期为 . 解:(23)(239)f x f x -=-+,把2x-3看成函数的自变量, 则得函数()y f x =的一个周期为9; 9 (23)(2()3)2 f x f x -=+-所以,函数(23)y f x =-的一个周期为92. 10、若函 数()0),x f x b =>则122010( )()()201120112011f f f ++???+的值为 。 解:()0), ()(1)1122010()()()1005 201120112011 x f x b b f x f x f f f =>∴+-=∴++???+= 三、解答题: 11、已知函数()(,0)y f x x x =∈≠R 对任意非零实数12x x 、都有 1212()()()f x x f x f x +=+。 (1)试判断函数()f x 的奇偶性;(2)若()f x 在()0,+∞上是单调递增函数,且(16)4f =,解不等式2 3 (2)12 f x x -+>。 解:(1)令121,(1)0x x f ==∴= 再令121,(1)0 x x f ==-∴-= 令12,1x x x ==-,得()()f x f x -= ()f x ∴为偶函数 (2) (16)4,(44)2(4),(4)2 (22)2(2)2,(2)1 f f f f f f f =∴?=∴=∴?==∴= 又 2231 2(1)022 x x x -+ =-+> 且()f x 在()0,+∞上是单调递增函数 2233 (2)1(2)(2)22f x x f x x f ∴-+>?-+> 23 222 x x ∴-+> 解得2222 x x +> < 故不等式的解集为26,? ??+-∞+∞ ? ????? 12、设函数()f x 的定义域为R ,且满足对任意x y ∈R 、,有()()()f x y f x f y +=?,且当0x >时,0()1f x <<。(1)求 (0)f 的值;(2)判断()f x 的单调性并证明的你的结论; (3)设(){}(){} 2 2 ,()()(1),,(1,A x y f x f y f B x y f ax y a R = ?>=-+ =∈,若 A B =?,试确定a 的取值范围;(4)试举出一个满足条件的函数()f x 。 解:(1)令1,0,(0)1x y f ==∴= (2)任取12x x < 令,()()1y x f x f x =-∴?-= 0,0()11 0()10()(0)1()0 x f x x f x f x f f x ><<∴<=>>-=>当时,又所以, 令 21 2121,()()() x y x x x f x f x f x x +==∴=- []21121()()()()10f x f x f x f x x ∴-=--< (或 11221221122()(())()() ()0()1 () f x f x x x f x x f x f x f x x f x =-+=-?∴<=-<) ∴函数()f x 在R 上单调递减。 222222()()()(1),1(1(0),0 ,011,1 1.f x R f x f y f x y f ax y f ax y A B ax y x y a ?>+<-==-+==?-=+<≥-≤≤在上单调递减 由得即由所以直线与圆无公共点解得: (4)如1()()2 x f x = 备选题: 设函数()f x 定义在R + 上,对任意的,m n R + ∈,恒有()()()f m n f m f n ?=+,且当1x >时,()0f x <.试解决以下问题: (Ⅰ)求(1)f 的值,并判断()f x 的单调性; (Ⅱ) 设 集 合 {}{}(,)|()()0,(,)|(2)0,A x y f x y f x y B x y f ax y a R =++->=-+=∈,若A B ≠?,求实数a 的取值范围; (Ⅲ)(理科做)若0a b <<,满足|()||()|2|()|2 a b f a f b f +==, 求证:32b <<+解:(Ⅰ)在()()()f m n f m f n ?=+中令1m n ==,得(1)0f =; 设120x x >>,则121x x >,从而有12 ()0x f x < 所以,11122222()()()()()x x f x f x f x f f x x x =?=+< 所以,()f x 在R + 上单调递减 (Ⅱ) 22()()()0(1)f x y f x y f x y f ++-=->=,由(1)知,()f x 在R +上单调递 减, ∴22001x y x y x y ?+>? ->??- , 故集合A 中的点所表示的区域为如图所示的阴影部分; 而(2)0(1)f ax y f -+==,所以,10ax y -+=, 故集合B 中的点所表示的区域为一直线,如图所示, 1ax + 由图可知,要A B ≠?,只要1a <, ∴实数a 的取值范围是(,1)-∞ (Ⅲ)由(Ⅰ)知()f x 在R + 上单调递减,∴当01x <<时,()0f x >,当1x >时,()0f x <, 0a b <<,而|()||()|f a f b =,1,1a b ∴<>,故()0,()0f a f b ><, 由|()||()|f a f b =得,()()0f a f b +=,所以,1ab =, 又12a b +>=,所以()(1)02 a b f f +<=, 又2()2()22a b a b f b f f ??++??== ? ? ????? 由|()|2|( )|2 a b f b f +=得,2224()2b a b a b =+=++,∴2242b b a -=+, 又01a <<,所以2 223a <+<,由 2243b b <-<及1b >解得,32b << (注:可编辑下载,若有不当之处,请指正,谢谢!) 抽象函数常见题型解法综述 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下: 一、定义域问题 例1. 已知函数)(2x f 的定义域是[1,2],求f (x )的定义域。 解:)(2x f 的定义域是[1,2],是指21≤≤x ,所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x 从而函数f (x )的定义域是[1,4] 例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[,-,求函数)]3([log 2 1x f -的定义域。 解:)(x f 的定义域是]21[,-,意思是凡被f 作用的对象都在]21[,-中,由此可得 4111)21(3)21(2)3(log 1122 1≤≤?≤-≤?≤-≤--x x x 所以函数)]3([log 2 1x f -的定义域是]4111[, 二、求值问题 例3. 已知定义域为+R 的函数f (x ),同时满足下列条件:①5 1)6(1)2(==f f ,;②)()()(y f x f y x f +=?,求f (3),f (9)的值。 解:取32==y x ,,得)3()2()6(f f f += 因为5 1)6(1)2(= =f f ,,所以54)3(-=f 又取3==y x 得5 8)3()3()9(-=+=f f f 三、值域问题 例4. 设函数f (x )定义于实数集上,对于任意实数x 、y ,)()()(y f x f y x f =+总成立,且存在21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠,求函数)(x f 的值域。 解:令0==y x ,得2)]0([)0(f f =,即有0)0(=f 或1)0(=f 。 若0)0(=f ,则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ,对任意R x ∈均成立,这与存在实数21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠成立矛盾,故0)0(≠f ,必有1)0(=f 。 由于)()()(y f x f y x f =+对任意R y x ∈、均成立,因此,对任意R x ∈,有 0)]2 ([)2()2()22()(2≥==+=x f x f x f x x f x f 下面来证明,对任意0)(≠∈x f R x , 设存在R x ∈0,使得0)(0=x f ,则0)()()()0(0000=-=-=x f x f x x f f 这与上面已证的0)0(≠f 矛盾,因此,对任意0)(≠∈x f R x , 所以0)(>x f 四、解析式问题 例5. 设对满足10≠≠x x ,的所有实数x ,函数)(x f 满足x x x f x f +=-+1)1( )(, 1、已知f x ()的定义域为R ,且对任意实数x ,y 满足f xy f x f y ()()()=+,求 证:f x ()是偶函数。 2、已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y). (1)求f(1),f(-1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由. 3、函数f(x)对任意x ?y ∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时, f x ()<0, f(3)=-2. (1)判断并证明f(x)在区间(-∞,+∞)上的单调性; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 4、已知函数f (x )在(-1,1)上有定义,f (2 1)=-1,当且仅当0 6、定义在R 上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a 、b ∈R ,有f(a+b)=f(a)f(b), (1) 求证:f(0)=1; (2) 求证:对任意的x ∈R ,恒有f(x)>0; (3)证明:f(x)是R 上的增函数; (4)若f(x)·f(2x-x 2)>1,求x 的取值范围。 7、已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++, 且1()02f =,当1 2 x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2) 判断函数()f x 的单调性,并证明. 8、函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任 意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =;③1 ()13 f >. (1)求(0)f 的值; (2)求证: ()f x 在R 上是单调减函数; 2009届高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数 D 7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为(2,6),试判断(4,8)是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间? 8. 设f (x )是定义在R 上的奇函数,且对任意a ,b ,当a+b ≠0,都有b a b f a f ++)()(>0 (1).若a >b ,试比较f (a )与f (b )的大小; (2).若f (k )293()3--+?x x x f <0对x ∈[-1,1]恒成立,求实数k 的取值范围。 9.已知函数()f x 是定义在(-∞,3]上的减函数,已知 22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立,求实数a 的取值范围。 10.已知函数(),f x 当,x y R ∈时,恒有()()()f x y f x f y +=+. (1)求证: ()f x 是奇函数; (2)若(3),(24)f a a f -=试用表示. 11.已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足: ()()()f a b af b bf a ?=+. (1)求(0),(1)f f 的值; (2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论; (3)若(2)2f =,*(2) ()n n f u n N n -=∈,求数列{n u }的前n 项和n s . 12.已知定义域为R 的函数()f x 满足22(()))()f f x x x f x x x -+=-+. (1)若(2)3,(1);(0),();f f f a f a ==求又求 (2)设有且仅有一个实数0x ,使得00()f x x =,求函数()f x 的解析表达式. 13.已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++, 且1()02f =,当1 2 x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2)求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n N ∈; (3)判断函数()f x 的单调性,并证明. 14.函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任 冷世平之高考复习专题资料 第 1 页 共 7 页 抽象函数解题策略 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强,灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质,通过局部性质或图象的局部特征,利用常规数学思想方法(如化归法、数形结合法等),这样就能突破“抽象”带来的困难,做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想,寻找具体的函数模型,再由具体函数模型的图象和性 【题型1】定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 【例1】⑴若函数(21)f x -的定义域为{}|13x x ≤<,则函数()f x 的定义域为 ⑵若函数()f x 的定义域为{}|13x x ≤<,则函数(21)f x -的定义域为 【题型2】求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的,可通过赋特殊值法使问题得以解决。怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验。紧扣已知条件进行迭代变换,经有限次迭代可直接求出结果,或者在迭代过程中发现函数具有周期性,利用周期性使问题巧妙获解。 【例2】已知()f x 的定义域为R +,且()()()f x y f x f y +=+对一切正实数,x y 都成立,若(8)4f =,则(2)_____f = 【分析】在条件()()()f x y f x f y +=+中,令4x y ==,得(8)(4)(4)2(4)4f f f f =+==,(4)2f ∴=,又令2x y ==,得(4)(2)(2)2,(2)1f f f f =+=∴=。 1.()f x 的定义域为(0,)+∞,对任意正实数,x y 都有()()()f xy f x f y =+且(4)2f =,则 _____ f =12 2.若()()()f x y f x f y +=且(1)2f =,则 (2)(4)(6)(2000) ______(1)(3)(5)(1999) f f f f f f f f ++++= 20002222(1)(2)(2)(4)(3)(6)(4)(8) ______(1)(3)(5)(7) f f f f f f f f f f f f +++++++=16【提示】()2n f n = 高中数学经典例题、错 题详解 【例1】设M={1、2、3},N={e、g、h},从M至N的四种对应方式,其中是从M到N的映射是() M N A M N B M N C M N D 映射的概念:设A、B是两个集合,如果按照某一个确定的对应关系f,是对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有一个确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射。 函数的概念:一般的设A、B是两个非空数集,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它对应,这样的对应叫集合A到集合B的一个函数。(函数的本质是建立在两个非空数集上的特殊对应) 映射与函数的区别与联系: 函数是建立在两个非空数集上的特殊对应;而映射是建立在两个任意集合上的特殊对应;函数是特殊的映射,是数集到数集的映射,映射是函数概念的扩展,映射不一定是函数,映射与函数都是特殊的对应。 映射与函数(特殊对应)的共同特点:○1可以是“一对一”;○2可以是“多对一”;○3不能“一对多”;○4A中不能有剩余元素;○5B中可以有剩余元素。 映射的特点:(1)多元性:映射中的两个非空集合A、B,可以是点集、数集或由图形组成的集合等;(2)方向性:映射是有方向的,A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射;(3)映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象,不要求B中的每一个元素都有原象;(4)唯一性:映射中集合A中的任一元素在集合B中的象都是唯一的;(5)一一映射是一种特殊的映射方向性 上题答案应选 C 【分析】根据映射的特点○3不能“一对多”,所以A、B、D都错误;只有C完全满足映射与函数(特殊对应)的全部5个特点。 本题是考查映射的概念和特点,应在完全掌握概念的基础上,灵活掌握变型题。 【例2】已知集合A=R,B={(x、y)︱x、y∈R},f是从A到B的映射fx:→(x+1、x2),(1)求2在B 中的对应元素;(2)(2、1)在A中的对应元素 【分析】(1)将x=2代入对应关系,可得其在B中的对应元素为(2+1、1);(2)由题意得:x+1=2,x2=1 得出x=1,即(2、1)在A中的对应元素为1 【例3】设集合A={a、b},B={c、d、e},求:(1)可建立从A到B的映射个数();(2)可建立从B到A的映射个数() 【分析】如果集合A中有m个元素,集合B中有n个元素,则集合A到集合B的映射共有n m 个;集合B到集合A的映射共有m n个,所以答案为23=9;32=8 【例4】若函数f(x)为奇函数,且当x﹥0时,f(x)=x-1,则当x﹤0时,有() A、f(x) ﹥0 B、f(x) ﹤0 C、f(x)·f(-x)≤0 D、f(x)-f(-x) ﹥0 奇函数性质: 1、图象关于原点对称;? 2、满足f(-x) = - f(x)?; 3、关于原点对称的区间上单调性一致;? 4、如果奇函数在x=0上有定义,那么有f(0)=0;? 5、定义域关于原点对称(奇偶函数共有的) 抽象函数经典综合题33例(含详细解答) 整理:河南省郸厂城县才源高中 王保社 抽象函数,是指没有具体地给出解析式,只给出它的一些特征或性质的函数,抽象函数型综合问题,一般通过对函数性质的代数表述,综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力,考查对于函数性质的代数推理和论证能力,考查学生对于一般和特殊关系的认识,是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点,又是近几年来高考的热点。 本资料精选抽象函数经典综合问题33例(含详细解答) 1.定义在R 上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a 、b ∈R ,有f(a+b)=f(a)f(b), (1)求证:f(0)=1; (2)求证:对任意的x ∈R ,恒有f(x)>0; (3)证明:f(x)是R 上的增函数; (4)若f(x)·f(2x-x 2 )>1,求x 的取值范围。 解 (1)令a=b=0,则f(0)=[f(0)]2 ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 (2)令a=x ,b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴) (1 )(x f x f = - 由已知x>0时,f(x)>1>0,当x<0时,-x>0,f(-x)>0 ∴0) (1 )(>-= x f x f 又x=0时,f(0)=1>0 ∴对任意x ∈R ,f(x)>0 (3)任取x 2>x 1,则f(x 2)>0,f(x 1)>0,x 2-x 1>0 ∴ 1)()()() () (121212>-=-?=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数 (4)f(x)·f(2x-x 2 )=f[x+(2x-x 2 )]=f(-x 2 +3x)又1=f(0), f(x)在R 上递增 ∴由f(3x-x 2 )>f(0)得:3x-x 2 >0 ∴ 0 高考数学总复习:抽象函数题型 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式,只是给出一些特殊关系式的函数,它是中学数学中的一个难点,因为抽象,学生解题时思维常常受阻,思路难以展开,教师对教材也难以处理,而高考中又出现过这一题型,有鉴于此,本文对这一问题进行了初步整理、归类,大概有以下几种题型: 一. 求某些特殊值 这类抽象函数一般给出定义域,某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”,即在其定义域内令变量取某特殊值而获解,关键是抽象问题具体化。 例1 定义在R 上的函数f x ()满足:f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=,求 f ()2000的值。 解:由f x f x ()()220-+-=, 以t x =-2代入,有f t f t ()()-=, ∴f x ()为奇函数且有f ()00= 又由f x f x ()[()]+=--44 =-=-∴+=-+=f x f x f x f x f x ()() ()()() 84 故f x ()是周期为8的周期函数, ∴==f f ()()200000 例2 已知函数f x ()对任意实数x y ,都有f x y f x f y ()()()+=+,且当x >0时, f x f ()()>-=-012,,求f x ()在[]-21,上的值域。 解:设x x 12< 且x x R 12,∈, 则x x 210->,高一数学抽象函数常见题型
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