中考数学复习锐角三角函数应用专题练习
1．如图28-2-2-1，某小岛受到了污染，污染范围可以大致看成是以点O为圆心，AD长为直径的圆形区域，为了测量受污染的圆形区域的直径，在⊙O的切线BD（点D为切点）上选择相距300米的B、C两点，分别测得∠ABD=30o，∠ACD=60o，则直径AD=_______米．（结果精确到1米）（参考数23
据：≈1.414，≈1.732）
2．（2018吉林长春九台一模）如图28-2-2-2，点A、B为地球仪的南、北极点，直线AB与放置地球仪的平面交于点D，所成的角度约为67o，半径OC所在的直线与放置平面垂直，垂足为点E.DE=15 cm，AD=14 cm.求半径OA的长．（精确到0.1 cm）(参考数据：sin 67o≈0.92，cos 67o≈0.39,tan67o≈2.36)
3．（2018重庆涪陵模拟）如图28-2-2-3，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受风的影响，以30米/分钟的速度沿与地面成75o角的方向飞行．25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30o，则小山东西两侧A，B两点间的距离为( )
2266
A.750m
B.375m
C.375m
D.750m
4．（2018湖南邵阳二模）如图28-2-2-4所示，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1500 m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60o和45o，则隧道AB的长为______．（参考数据：3
=1.73）
5．（2017吉林中考）如图28-2-2-5，一枚运载火箭从距雷达站C处5 km的地面O处发射，当火箭到达点A，B时，在雷达站C处测得点A，B的仰角分别为34o，45o，其中点O，A，B在同一条直线上，求A，B两点间的距离．（结果精确到0.1 km）(参考数据：sin 34o=0.56，cos 34o=0.83,tan 34o=0.67)
6．（2017广西南宁中考）如图28-2-2-6，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45o方向，距离灯塔60 n mile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔p的北偏东30o方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为( )
A.60n mile
B.60n mile
C.30n mile
D.30n mile
32327．（2018天津西青一模）如图28-2-2-7，C 地在A 地的正东方向上，因有大山阻隔，由A 地到C 地需绕行B 地．已知B 地位于A 地北偏东67o方向，距离A 地520km ，C 地位于B 地南偏东30o方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A 地到C 地高铁线路的长．（结果保留整数）参考数据：sin 67o≈，1312cos 67o≈，tan 67o≈，≈1.73）1355123
8．如图28-2-2-8，修建抽水站时，沿着坡度为i=1：的斜坡铺设水管，若测3得水管A 处铅直高度为8 m ．则所铺设水管AC 的长度为 ( )
A.8 m
B.12 m
C.14 m
D.16 m
9．为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD=2米），背水坡DE 的坡度i=1：1（即DB ：EB=1：1），如图28-2-2-9所示．已知AE=4米，∠EAC=130o，求水坝原来的
高度BC.(参考数据：sin 50o≈0.77 ,cos 50o≈0.64,tan50o≈1.2)
2
10.如图28-2-2-10，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼3
线B′C′为3m．则鱼竿转过的角度是( )
A.60o
B.45o
C.15o
D.90o
11.美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一，数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图28-2-2-11，测得∠DAC=45o，∠DBC=65o．若AB=132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米．(结果精确到1米，参考数据：sin 65o≈0.91，cos 65o≈0.42,tan65o≈2.14)
12．（2018四川绵阳游仙二模）某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图28-2-2-12，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为45o，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13 m至坡顶B处，然后再沿水平
方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CD的高度为( )
A.18 m
B.13 m
C.12 m
D.5 m
13．（2018重庆模拟）如图28-2-2-13，一堤坝的迎水面DC与水平面的夹角为40o(∠DCE=40o)，现将堤坝迎水面改为AB，坡度为1:3，其中水平宽度加宽BD为4m，AC为15.2 m．则新的迎水面AB的长约为(参考数据：sin
10
40o≈0.64.cos40o≈0.77.tan40o≈0.84．≈3.16)( )
A.31.2 m
B.26.6 m
C.25.2 m
D.24.2 m
14．如图28-2-2-14，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70o方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50o方向匀速航行．1小时后到达码头B 处，此时，观测灯塔C位于北偏西25o方向上，则灯塔C与码头B的距离是( )
2366
A.10海里
B.10海里
C.10海里
D.20海里
15．如图28-2-2-15，某中学在教学楼前新建了一座雕塑AB.为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C，利用三角尺测得雕塑顶端点A的仰角为30o，底部点B的俯角为45o．小华在五楼找到一点D，利用三角尺测得点A的俯角为60o．若CD为9.6 m，则雕塑AB的高度约为_______m（结果精确到O.1 m，3
参考数据：≈1.73）
16．（2018四川绵阳江油一模）如图28-2-2-16所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45o，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎3
坡度i=1：，则大楼AB的高度约为______米．（精确到0.1米，参考数据：236
≈1.41，≈1.73，≈2.45）
17．某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡
3
角为45o的传送带AB，调整为坡度i=1：的新传送带AC(如图28-2-2-17所示)．已知原传送带AB的长是4米，那么新传送带AC的长是_________
2
米．
18．（2018广东深圳南实集团一模）河堤横断面如图28-2-2-18所示，堤高
3
BC=6米，迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是( )
333
A.12米
B.4米
C.5米
D.6米
19．如图28-2-2-19，一艘潜艇在海面下500米A处测得俯角为30o的海底C处有一黑匣子发出信号，继续在同一深度直线航行4000米后，在B处测得俯角为60o的海底也有该黑匣子发出的信号，则黑匣子所在位置点C在海面下的深度为( )
A.2000米
B.4000米
C.2000米
D.(2000+500)米
33
20．（2018广东梅州五华期末．）如图28-2-2-20，在水塔O的东北方向32 m处有一抽水站A．在水塔的东南方向24 m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为_______．
21．图28-2-2-21是小明家所在小区的前后两栋楼AB、CD，小明在自己所住楼AB的底部A处，利用对面楼CD墙上玻璃（与地面垂直）的反光，测得楼AB 顶部B处的仰角是α，若tan α=0.45，两楼的间距为30米，则小明家所住楼AB的高度是_______米．
22．校车安全是最近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的试验：如图28-2-2-22，先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于24米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30o,∠CBD=60o.
(1)求AB的长（结果保留根号）；
(2)已知本路段对校车限速为45千米／时，若测得某辆校车从A到B用时2
32
秒，则这辆校车是否超速？说明理由．（参考数据：≈1.73，≈1.41）
23．（2018吉林长春中考，7，★☆☆）如图28-2-2-23，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地
之间的距离，一架直升飞机从A 地出发，垂直上升800米到达C 处，在C 处观察B 地的俯角为α，则A 、B 两地之间的距离为 ( )
A.800sin α米
B.800tan α米
C.米
D.米αsin 800α
tan 80024．（2018湖北宜昌中考，14，★☆☆）如图28-2-2-24，要测量小河两岸相对的两点P ，A 的距离，可以在小河边取PA 的垂线PB 上的一点C ，测得PC=100米，∠PCA=35o，则小河宽PA 等于 ( )
A.100sin 35o米
B.100sin 55o米
C.100tan 35o米
D.100tan 55o米
25．（2018山东枣庄中考，14．★☆☆）如图28-2-2-25，某商店营业大厅自动扶梯AB 的倾斜角为31o，AB 的长约为12米，则大厅两层之间的距离BC 为_______米．（结果精确到0.1米）(参考数据：sin 31o=0.515，cos 31o=0.857，tan 31o=0.601)
26．（2018山东济宁中考．14，★☆☆）如图28-2-2-26，在一笔直的海岸线l 上有相距2 km 的A ，B 两个观测站，B 站在A 站的正东方向上，从A 站测得船C 在北偏东60o的方向上，从B 站测得船C 在北偏东30o的方向上，则船C 到
海岸线l的距离是_______km.
27．（2018甘肃白银中考，22，★★☆）随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起，高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图28-2-2-27，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C 地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程，已知：∠CAB=30o，∠CBA=45o，AC=640千米，求隧道打通后与打通前
32相比，从A地到B地的路程将约缩短多少千米．（参考数据：≈1.7，
≈1.4）
28．某校兴趣小组借助无人飞机航拍校园，如图28-2-2-28，无人飞机从A处沿水平方向飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向分别测得A处的仰角为750，B处仰角为30o．已知无人飞机的飞行速度为4米／秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）
29．如图28-2-2-29①②，图28-2-2-29①是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切．将这个游戏抽象为数学
问题，如图28-2-2-29②，已知铁环的半径为25 cm ，设铁环中心为O ，铁环钩
与铁环相切，切点为M ，铁环与地面接触点为A ，∠MOA=α，且sin α=，若5
3人站立点C 与点A 的水平距离AC 等于55 cm ，则铁环钩MF 的长度为 ( )
A.46 cm
B.48 cm
C.50 cm
D.52 cm
30．（2018上海徐汇一模）图28-2-2-30是将一正方体货物沿坡面AB 装进汽车货厢的平面示意图，已知长方体货厢的高度BC 为2.6 m ，斜坡AB 的坡度为1：2.4，现把货物继续向前平移，当货物顶点D 与C 重合时，仍可把货物放平装进货厢，则货物的高度BD 不能超过_________m ．
28.2.2应用举例答案
1．答案 260
解析 ∠ABD=30o,∠ACD=60o，设CD=x 米，则AC=2x 米，AD=x 米,∴tan 3B=,∴,解得x=150,∴AD=x=×150≈260x x CD BC AD +=+3003x
x +=30033333米．
2．解析 在Rt △ODE 中,DE=15(cm),∠ODE=67o,
∵cos ∠ODE=,DO
DE
∴OD≈≈38.46(cm)，39
.015∴OA=OD-AD=38.46-14≈24.5( cm).
答：半径OA 的长约为24.5 cm.
3.A 如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D,在Rt △ACD 中，∠ACD=75o-30o=45o,AC=30×25=750(m),∴AD=AC·sin 45o=375(m).在Rt △ABD 中，∵∠2B=30o,∴AB=2AD=750(m).故选A ．
2
4．答案635
解析 由题意得∠AC0=30o,∠CB0=45o,∴OA=1500tan 30o=1500×,OB=OC=1500,350033
∴AB=OB-OA=1500-=635(m).
35005．解析 由题意，得∠AOC=90o,OC=5 km.
在Rt △AOC 中，∴tan 34o=，
OC OA
∴OA=OC·tan 34o=5×0.67=3.35(km).
在Rt △BOC 中,∠BC0=45o,
∴OB=OC=5 km.∴AB=5-3.35=1.65≈1.7(km).
答：A,B 两点间的距离约为1.7 km.
6.B 过点P 作PC ⊥AB 交AB 于点C ．依题意得∠APC=90o-45o=45o, ∠
BPC=90o-30o=60o,AP=60 n mile,∴PC=30n mile,∴PB=2PC=60n mile.
227．解析 过点B 作BD ⊥AC 于D ．
在Rt △ABD 中，AB=520，∠ABD=67o，
∴sin 67o=.13
12520≈=AD AB AD 解得AD≈480,tan 67o=，5
12480≈=BD BD AD 解得BD≈200.
在Rt △CBD 中，∠CBD=30o，
∴tan30o=，3
73.133≈=BD DC 解得DC≈115.3．
∴AC=AD+DC=480+115.3≈595
答：A 地到C 地的高铁线路的长约为595 km.
8．D ∵坡度为i=1:，∴AB ：BC=1：，∴AB=8,∴BC=8,∴AC=333=16，故所铺设水管AC 的长度为16 m ．故选D ．
22BC AB +9．解析设BC=x 米，∵∠CAB=180o-∠EAC=50o．
∴在Rt △ABC 中，AB=（米），x BC BC 6
52.150tan =≈ ∵在Rt △EBD 中，i=DB:EB=1:1,∴BD=EB.
∴CD+BC=AE+AB ，即2+x=4+，解得x=12．x 6
5∴BC=12米．
答：水坝原来的高度BC 为12米．
10.C ∵sin ∠CAB=,∴∠CAB=45o．2
2623==AC BC
∵sin ∠C′AB′=，2
3633′′′==AC C B ∴∠C′AB′=60o．
∴∠CAC′=60o-45o=15o，鱼竿转过的角度是15o．故选C ．
11.解析如图，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ，
设BE=x （米），
在Rt △DEB 中，tan ∠DBE=，BE
DE ∵∠DBC=65o．∴DE=xtan 65o.
又∵∠DAC=45o,
∴AE=DE ．
∴132+x=xtan 65o,
∴x≈115.8,
∴DE≈248.
∴观景亭D 到南滨河路AC 的距离约为248米．
12.B 如图，作BF ⊥AE 于F ，则FE=BD=6 m ，DE=BF.∵斜坡AB 的坡度i=1：
2.4，∴AF=2.4BF,设BF=x m,AF=2.4x m,在Rt △ABF 中，由勾股定理得x2+(2.4x)2=132，解得x=5．∴DE=BF=5 m,AF=12 m,∴AE=AF+FE=18 m,在Rt △ACE 中，CE=AE·tan 45o=18×1=18 m,∴ CD=CE-DE=18-5=13 m.故选B ．
13.B 如图，过B 点作BF ⊥AE 于F ，DC ⊥AE 于G ，则BD=FG=4 m,BF=DG.
∴tan ∠DCE=≈0.84，∴可设CG=xm ,DG=BF=0.84xm ．∴CF=CC-FG=(x-CG
DG 4)m,AF=AC+CF=（15.2+x ）m ．∵堤坝迎水面AB 的坡度为1:3．∴0.84x ：（15.2+x ）=1:3，解得x=10，则BF=8.4 m ．AF=25.2 m.∵在Rt △ABF 中，∠AFB=90o,∴AB=≈26.6 m ，即新的迎水面AB 的长约为26.6 m ．故22AF BF +选B ．
14.C ∠CBA=25o+50o=75o．作BD ⊥AC 于点D ．
∵∠CAB=(90o-70o)+(90o-50o)=20o+40o=60o,
则∠ABD=30o,∴∠CBD=75o-30o=45o．
在直角△ABD 中，BD=AB·sin ∠DAB=20sin 60o=20×（海里）．3102
3=在直角△BCD 中，∠CBD=45o，则BC=(海里)．
61023102=?=BD 15．答案6.6
解析 如图，过点C 作CE ⊥AB 于E ，过点D 作DF ∥CE ，∵∠ADC=90o-60o=30o, ∠ACD=90o-30o=60o,∴∠CAD=90o．∵CD=9.6，∴AC=2
CD=4.8.在21Rt △ACE 中，∵∠AEC=90o,∠ACE=30o，∴AE=
AC=2.4,CE=AC·cos ∠21ACE=4.8·cos 30o=，在Rt △BCE 中，∵∠BCE=45o，∴BE=CE=．∴53125
312
AB=AE+BE=2.4+≈6.6，即雕塑AB 的高度约为6.6 m ．5
312
16．答案39.4
解析如图，延长AB 交DC 的延长线于H ，作EG ⊥AB 于G ，则GH=DE=15米，EG=DH ，∵梯坎坡度i=l ：，∴BH ：CH=1：，设BH=x 米，则33CH=x 米，在Rt △BCH 中，由勾股定理得x2+（x ）2=122，解得x=6,∴33BH=6米，CH=6米，∴BG=GH-BH=15-6=9（米），EG=DH=CH+CD=(633+20)米，∴∠α=450,∴AG=EG=(6+20)米，∴AB=AG+BG=6+20+9≈39.433（米）．
17．答案8
解析如图，过点A 作AD ⊥CB ，交CB 的延长线于点D ，∵∠ABD=45o，AB=4,∴AD=AB sin 45o=4=4，∵新传送带的坡度i=l ：,∴2222?3，则DC=4，故AC==8．所以新传送带AC 的3
14==DC DC AD 322DC AD +长为8米.
18．A Rt △ABC 中，BC=6米，，31=AC BC ∴AC=BC=6米，
33∴AB==12米，故选A ．
()2222636+=+BC AC 19.D 如图，由C 点向AB 作垂线，交AB 的延长线于E 点，并交海面于F 点．由题意知AB=4000（米），∠BAC=30o，∠EBC=60o．∴∠BCA=∠EBC-∠BAC=30o，∴∠BAC=∠BCA.∴BC=BA=4000（米）．在Rt △BEC 中，EC=BC·sin 60o=4000×
（米）．∴CF=CE+EF ：（2000+500）320002
3=3米．故选D ．
20．答案40 m
解析由题意可得∠AOB=90o，又∵OA=32 m ，OB=24 m ，
∴AB==40 m ．
222432+21．答案27
解析如图，作PE ⊥AB 于点E ，在直角△AEP 中，∠APE=∠A,则AE=PE·tan ∠APE=30×0.45=13.5（米），则AB=2AE=27（米）．
22．解析(1)由题意得，在Rt △ADC 中，AD=，在Rt △BDC 中，32430tan = CD BD=，所以AB=AD-BD=16，即AB 的长为16米．383
2460tan == CD 33(2)超速．理由：因为汽车从A 到曰用时2秒，所以速度约为16×1.73÷2=13.84米／秒，因为13.84×3.6=49.824，所以该校车的速度为49.824千米／时，大于45千米／时，所以此校车在AB 路段超速．
23.D 在Rt △ABC 中，∵∠CAB=90o,∠B=α,AC=800米，∴tan α=
,AB
AC ∴AB=米．故选D ．ααtan 800tan =AC 24.C ∵PA ⊥PB,PC=100米,∠PCA=35o,
∴小河宽PA=PCtan ∠PCA=100tan 35o米．故选C ．
25．答案6.2
解析在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90o, ∠A=31o,AB=12米，
∴BC=AB·sin ∠A=12×0.515≈6.2(米).
即大厅两层之间的距离BC 约为6.2米．
26．答案3
解析过点C 作CD ⊥l 于点D ，根据题意得∠CAD=90o-60o
=30o,∠CBD=90o-30o=60o,∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=
30o,∴∠CAB=∠ACB,∴BC=AB=2 km,在Rt △CBD 中,CD=
BC·sin 60o=2× km.32
3=
27．解析过点C 作CD ⊥AB 于点D,
在Rt △ADC 和Rt △BCD 中．
∵∠CAB=30o．∠CBA=45o,AC=64o,
∴CD=320．AD=320．
3BD=CD=320，BC=320，
2∴AC+BC=640+320≈1088,
2∴AB=AD+BD=320+320≈864,
3∴1088-864=224(千米)．
答：隧道打通后与打通前相比，从A 地到曰地的路程将缩短约224千米．
28．解析如图所示，过A 作AD ⊥BC 于D,过B 作BE ⊥水平线于E,
∵AB ∥CE,∴∠ABC=∠BCE=30o,
∵∠ACE=75o,∠BCE=30o,
∴∠ACD=45o．
在Rt △ABD 中,AB=4×8=32,∠ABD=30o,
∴AD=16,BD=16√亨,
在Rt △ACD 中,AD=16,∠ACD=45o,
∴CD=AD=16.
在Rt △BCE 中,BC=CD+BD=16+16,∠BCE=30o,
3∴BE=（16+16）=8+8．2
121 BC 33答：这架无人飞机的飞行高度是（8+8）米．
3
29.C 过肘作与AC 平行的直线，与OA 、FC 分别交于H 、N 在Rt △OHM 中，∠OHM=90o，OM=25,HM=OM·sin α=15，所以OH=20，MB=HA=25-20=5．∵铁环钩与铁环相切，∴∠MOH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90o．∠FMN=∠
MOH=α,∴
,∴FN=FM.在Rt △FMN 中，∠FNM=90o，53sin ==αFM FN 5
3MN=BC=AC-AB=55-15=40．∵FM2=FN2+MN2，即FM2=（）2+402，解得FM 53FM=50,∴铁环钩的长度FM 为50 cm ．故选C ．
30．答案2.4
解析如图，点D 与点C 重合时，B′C=BD ，∠B′CB=∠CBD.=∠A ．∵tan A=，∴tan ∠BCB′=，设B′B=x m ，b′C=2.4x m ，在Rt △B′CB 中，∵4.214
.21′′=C B BB ∠B′=90o,∴B′B2+B′C2=BC2,即x2+（2.4x ）2=2.62，解得x=1（负值舍去），∴BD=B′C=2.4 m.
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB ∥CD ， ∠ACB =90°， AB=10cm ， BC=8cm ， OD 垂直平分 A C ．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点 P 作 PE ⊥AB ，交 BC 于点 E ，过点 Q 作 QF ∥AC ，分别交 AD ， OD 于点 F ， G ．连接 OP ，EG ．设运动时间为 t ( s )（0＜t ＜5） ，解答下列问题： （1）当 t 为何值时，点 E 在 BAC 的平分线上？ （2）设四边形 PEGO 的面积为 S(cm 2) ，求 S 与 t 的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使四边形 PEGO 的面积最大？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； （4）连接 OE ， OQ ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使 OE ⊥OQ ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4s t =；（2）PEGO S 四边形2 31568 8 t t =-+ + ，(05)t <<；（3）5 2t =时， PEGO S 四边形取得最大值；（4）16 5 t = 时，OE OQ ⊥. 【解析】 【分析】 （1）当点E 在∠BAC 的平分线上时，因为EP ⊥AB ，EC ⊥AC ，可得PE=EC ，由此构建方程即可解决问题． （2）根据S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +（S △OPC +S △PCE -S △OEC ）构建函数关系式即可． （3）利用二次函数的性质解决问题即可． （4）证明∠EOC=∠QOG ，可得tan ∠EOC=tan ∠QOG ，推出EC GQ OC OG =，由此构建方程即可解决问题． 【详解】 （1）在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，AB=10cm ，BC=8cm ， ∴22108-=6（cm ）， ∵OD 垂直平分线段AC ， ∴OC=OA=3（cm ），∠DOC=90°， ∵CD ∥AB ，
最新中考数学总复习资料大全 中考数学基础题分类训练+10套中考数学模拟试卷及答案 （均为Word版，可修改）
中考数学基础题分类训练(一) 实数的混合运算 一、选择题 1．计算(－2)0＋9÷(－3)的结果是( ) A．－1 B．－2 C．－3 D．－4 2．在算式4－|－3□5|中的□所在位置，填入下列哪种运算符号，计算出来的值最小( ) A．＋B．－C．×D．÷ 3．计算(1 2 － 5 6 ＋ 5 12 － 7 24 )×24的结果是( ) A．－5 B．－4 C．－8 D．8 4．计算(－12)×16－16÷23的结果是( ) A．0 B．14 C．－4 D．－18 5＋的结果是( ) A．6 B．C．＋6 D．12 6( ) A．6至7之间B．7至8之间C．8至9之间D．9至10之间 7．计算－22＋(|－3|2－42× 1 16 －8.5)÷(－ 1 2 )3的结果是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 8．计算：－0.252÷(－1 2 )4×(－1)27＝______． 9．计算：(－2980 81 )×(－9)＝______． 10．计算：－13×2 3 －0.34× 2 7 ＋ 1 3 ×(－13)－ 5 7 ×0.34＝______． 112－12｜＋(－1 3 )0＝______． 12．计算：＝______． 13．若a＋1，则a3－5a＋2015＝______． 三、解答题 14．计算6÷(－1 2 ＋ 1 3 )． 方方同学的计算过程如下：原式＝6÷(－1 2 )＋6÷ 1 3 ＝－12＋18 ＝6． 请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．
2018年中考数学专题复习 第一章 数与式 第一讲 实数 【基础知识回顾】 一、实数的分类： 1、按实数的定义分类： 实数 有限小数或无限循环数 2、按实数的正负分类： 实数 【名师提醒：1、正确理解实数的分类。如： 2 π 是 数，不是 数， 7 22 是 数，不是 数。2、0既不是 数，也不是 数，但它是自然数】 二、实数的基本概念和性质 1、数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴， 和数轴上的点是一一对应的，数轴的作用 有 、 、 等。 2、相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是 ，0的相反数是 ，a 、b 互为相反数? 3、倒数：实数a 的倒数是 ， 没有倒数，a 、b 互为倒数? 4、绝对值：在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值。 a = 因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是 数，我们学过的非负数有三个： 、 、 。 【名师提醒：a+b 的相反数是 ，a-b 的相反数是 ,0是唯一一个没有倒数的数，相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 】 三、科学记数法、近似数和有效数字。 1、科学记数法：把一个较大或较小的数写成 的形式叫做科学记数法。其中a 的取值范围是 。 2、近似数和有效数字： 一般的，将一个数四舍五入后的到的数称为这个数的近似数，这时，从 数字起到近似数的最后一位 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 正无理数 无理数 负分数 零 正整数 整数 有理数 无限不循环小数 ? ? ????正数正无理数零 负有理数负数 （a ＞0） （a ＜0） 0 （a=0）
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60°
在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再
锐角三角函数 三只钟的故事 一只小钟被主人放在了两只旧钟当中，两只旧钟滴答、滴答的走着。 一只旧钟对小钟说：“来吧，你也该工作了。可是我有点担心，你走完三千两百万次以后，恐怕会吃不消的。” “天哪！三千两百万次。”小钟吃惊不已，“要我做这么大的事？办不到，办不到！”另一支旧钟说：“别 听他胡说八道，不用害怕，你只要每秒滴答摆一下就行了。” “天下哪有这么简单的事情？”小钟将信将疑，“如果这样，我就试试吧。”小钟很轻松地每秒滴答摆一 下，不知不觉中，一年过去了，它摆了三千两百万次。 成功就是这样，把简单的事做到极致，就能成功。 例1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB的值是（） A．B．C．D． 例2.如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD=，BC=4，则AC的长为（） A．1 B．C．3 D．
例3．cos 60°的值等于（ ） A ． B ． C ． D ． 例4．如图，在半径为1的⊙O 中，∠AOB =45°，则sinC 的值为（ ） A ． B ． C ． D ． 练习一 锐角三角函数 1．已知sinA= 2 1 （∠A 为锐角），则∠A=_________，cosA_______，tanA=__________． 2．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，1a =，2b =，则cosA=________，tanA=_________． 3．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AB=5，BC=3，则sinA=________， tanA=_________． 4．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，∠A=30o，4b =，则a =__________，c =__________． 5．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，若sinA= 5 3 ，则cosB=_________． 6．已知cosA= 2 3 ，且∠B=90o-∠A ，则sinB=__________． 7．若∠A 是锐角，且cosA=sinA ，则∠A 的度数是（ ） A 、30o B 、45o C 、60o D 、不能确定 8．如图，电线杆AB 的中点C 处有一标志物，在地面D 点处测得标志物的仰角为45°，若点D 到电线杆底部点B 的距离为 a ，则电线杆AB 的长可表示为 A ．a B ．2a C ．3 2a D ．52 a D C B A
如有帮助欢迎下载支持 锐角三角函数专题 共100分 命题人：王震宇 张洪林 一、选择题（30分） 1、如果∠A 是锐角，且A cos A sin =，那么∠A=_______。 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 2. CD 是Rt △ABC 斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos ∠BCD=________。 A. 5 3 B. 4 3 C. 3 4 D. 5 4 3、如果130sin sin 22=?+α，那么锐角α的度数是________。 A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 4、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是________。 A. 32B sin = B. 32B cos = C. 3 2 B tan = 5、在Rt △AB C 中，如果各边长度都扩大2倍，那么锐角A 的正切值（ ） A. 没有变化 B. 扩大2倍 C.缩小2倍 D. 不能确定 6、 在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，则sin A 的值等于（ ） A. 2 1 B. 22 C. 2 3 D. 1 7、已知α为锐角，下列结论 ①1cos sin =+αα ②如果?>45α，那么ααcos sin > ③如果2 1 cos > α，那么?<60α ④ααsin 1)1(sin 2-=- 正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8、 △ABC 中，∠C =90°，53 sin = A ，则BC ∶AC 等于（ ） A. 3∶4 B. 4∶3 C. 3∶5 D. 4∶5： 9、 如果α是锐角，且5 4 sin = α，那么)90cos(α-?=（ ） A. 54 B. 43 C. 53 D. 5 1. 10、如右图，CD 是平面镜，光线从A 点出发经过CD 上点E 反射后照射到B 点，若入射角为α（入射角等于反射角），AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，垂足分别为C 、D ，且AC =3，BD =6，CD =11，则tan α的值为（ ）
分式 A 级 基础题 1．(2017年重庆)若分式1x －3 有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x ＞3 B ．x ＜3 C ．x≠3 D．x ＝3 2．(2018年浙江温州)若分式x －2x ＋5 的值为0，则x 的值是( ) A ．2 B ．0 C ．－2 D ．－5 3．(2017年北京)如果a2＋2a －1＝0，那么代数式? ????a －4a ·a2a －2 的值是( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 4．(2018年湖北武汉)计算m m2－1－11－m2 的结果是________． 5．(2017年湖南怀化)计算：x2x －1－1x －1 ＝__________. 6．(2018年浙江宁波)要使分式1x －1 有意义，x 的取值应满足________． 7．已知c 4＝b 5＝a 6≠0，则b ＋c a 的值为________． 8．(2017年吉林)某学生化简分式 1x ＋1＋2x2－1出现了错误，解答过程如下： 原式＝1x ＋1x －1＋2x ＋1x －1(第一步) ＝ 1＋2x ＋1x －1(第二步) ＝3x2－1 .(第三步) (1)该学生解答过程是从第________步开始出错的，其错误原因是______________________． (2)请写出此题正确的解答过程． 9．(2018年湖北天门)化简：4a ＋4b 5ab ·15a2b a2－b2 .
10．(2018年山西)化简：x －2x －1·x2－1x2－4x ＋4－1x －2 . 11．(2018年四川泸州)化简：? ?? ??1＋ 2a －1÷a2＋2a ＋1a －1. 12．(2018年广西玉林)先化简，再求值：? ????a －2ab －b2a ÷a2－b2a ，其中a ＝1＋2，b ＝1－2. B 级 中等题 13．在式子1－x x ＋2 中，x 的取值范围是______________． 14．(2017年四川眉山)已知14m2＋14n2＝n －m －2，则1m －1n 的值等于( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．－14 15．(2017年广西百色)已知a ＝b ＋2018，则代数式 2a －b ·a2－b2a2＋2ab ＋b2÷1a2－b2 的值为________． 16．(2018年山东烟台)先化简，再求值：? ????1＋x2＋2x －2÷x ＋1x2－4x ＋4 ，其中x 满足x2－2x －5＝0.
压轴题 1、已知，在平行四边形OABC 中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°，动点P 从O 点出发沿射线OA 方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q 从A 点出发沿射线AB 方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时间为t 秒． （1）求直线AC 的解析式； （2）试求出当t 为何值时，△OAC 与△PAQ 相似； （3）若⊙P 的半径为 58，⊙Q 的半径为2 3 ；当⊙P 与对角线AC 相切时，判断⊙Q 与直线AC 、BC 的位置关系，并求出Q 点坐标。 解：（1）42033 y x =- + （2）①当0≤t≤2.5时，P 在OA 上，若∠OAQ=90°时， 故此时△OAC 与△PAQ 不可能相似． 当t>2.5时，①若∠APQ=90°，则△APQ ∽△OCA ， ∵t>2.5，∴ 符合条件． ②若∠AQP=90°，则△APQ ∽△∠OAC ， ∵t>2.5，∴ 符合条件．
综上可知，当时，△OAC 与△APQ 相似． （3）⊙Q 与直线AC 、BC 均相切，Q 点坐标为（ 10 9 ,5 31） 。 2、如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处． （1）直接写出点E 、F 的坐标； （2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式； （3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由． 解：（1）(31)E ，；(12)F ，． （2）在Rt EBF △中，90B ∠=， 2222125EF EB BF ∴=+=+=． 设点P 的坐标为(0)n ，，其中0n >， 顶点(1 2)F ，， ∴设抛物线解析式为2 (1)2(0)y a x a =-+≠． ①如图①，当EF PF =时，22 EF PF =，2 2 1(2)5n ∴+-=． 解得10n =（舍去）；24n =．(04)P ∴，．24(01)2a ∴=-+．解得2a =． ∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+ （第2题）
2018中考数学专题练习《锐角三角函数》 (时间:100分钟 满分:120分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.下列各数是有理数的是( ) A. B. 4π C. sin 45? D. 1 cos60? 2一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除并改造成供轮椅行走的斜坡，数据如图1所示，则下列关系或说法正确的是( ) A.斜坡AB 的坡度是10o B.斜坡AB 的坡度是tan10? C. 1.2tan10AC =?米 D. 1.2 cos10AB = ? 米 3.在ABC ?中，A ∠，B ∠都是锐角，且1 sin 2 A = ，cos 2B =，则ABC ?三个角 的大小关系是( ) A. C A B ∠>∠>∠ B. B C A ∠>∠>∠ C. A B C ∠>∠>∠ D. C B A ∠>∠>∠ 4.如图2，在R t A B C ?中，90A ∠=?，AD BC ⊥于点D ，:3:2BD CD =，则t a n B 的值是( ) A. 32 B. 2 3 C. D. 5.如图3，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线，交AB 的延长 线于点E ，30A ∠=?，则s sin E 的值为( ) A. 1 2 B. 2 C. D.
6.数学社团的同学们对某塔的高度进行了测量，如图4，他们在A 处仰望塔顶，测得仰角为30o，再往楼的方向前进60 m 至B 处，测得仰角为60o，若学生的身高忽略不计， 1.7≈，结果精确到1m ，则该楼的高度CD 为( ) A.47 m B.51 m C.53 m D.54 m 7.如图5，点O 是摩天轮的圆心，长为110米的AB 是其垂直地面的直径，小莹在地面C 点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A 的仰角为33o，测得圆心O 的仰角为21o，则小莹所在C 点到直径AB 所在直线的距离约为(参考数据:tan330.65?≈，tan 210.38?≈)( ) 图 5 A.169米 B.204米 C.240米 D.407米 8.如图6，在ABC ?中，已知90ABC ∠=?，点D 沿BC 自B 向C 运动(点D 与点B ， C 不重合)，作BE AD ⊥于E ，CF AD ⊥交AD 的延长线于F ，则BE CF +的值( ) A.不变 B.增大 C.减小 D.先变大，再变小 9.如图7，轮船从B 处以每小时50海里的速度沿南偏东30o方向匀速航行，在B 处观测灯塔A 位于南偏东75o的方向上，轮船航行半小时到达C 处，在C 处观测灯塔A 位于北偏东60o的方向上，则C 处与灯塔A 的距离是( ) A. B.