方程与方程组
1、一次方程
【知识梳理】
1、方程的分类
2、方程的有关概念（1）方程：含有的等式叫方程。（2）方程的解：
叫做方程的解。（3）解方程：
_叫做解方程。（4）一元一次方程：
___________________________________叫做一元一次方程。（5）分式方程：___________________________________中含有未知数的方程。
3、①解方程的理论根据是：_________________________
②在解_____方程，必须验根、要把所求得的解代入______进行检验；
4、解一元一次方程的一般步骤及注意事项：步骤具体做法依据注意事项去分母等式性质去括号乘法分配律、去括号法则移项移项法则合并同类项合并同类项法则系数化为1等式性质【练习】
1、若∶2＝∶5，则＝。
2、如果与的值互为相反数，则＝。
3、若单项式与是同类项，则＝（）
A、2
B、2
C、－2
D、4
4、若2x+1=7，则x的值为（）
A、4
B、3
C、2
D、－
35、有一个密码系统，其原理由下面的框图所示：
输入x → x+6 → 输出当输出为10时，则输人的x＝
______
6、三个连续奇数的和是15，那么其中最大的奇数为（）
A、5
B、7
C、9
D、1
17、已知2x+5y＝3，用含y的代数式表示x，则
x=___________；当y=1时，x=________
8、解方程：（1）
9、已知是实数，且，解关于的方程：
10、若关于的方程：与方程的解相同，求的值。
2、一元二次方程
【知识梳理】
1、一元二次方程：只含有一个，且未知数的指数为的整式方程叫一元二次方程。它的一般形式是（其中、）它的根的
判别式是△= ；当△＞0时，方程有实数；当△=0时，方程有
实数根；当△＜0时，方程有实数根；一元二次方程根的求根公式是、（其中）
2、一元二次方程的解法：⑴ 配方法：配方法是一种以配方
为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法、用配方
法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化二
次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边
都加上的绝对值一半的平方；④化原方程为的形式；⑤如果就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n=＜0，则原方程无解、⑵ 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法。它
是通过配方推导出来的、一元二次方程的求根公式是注意：用求根公式解一元二次方程时，一定要将方程化为。⑶ 因式分解
法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做、它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；
③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解、
【练习】
1、用直接开平方法解方程，得方程的根为（）
A、
B、
C、
D、
2、方程的根是（）
A、0
B、1
C、0，－1
D、0，1
3、方程的解是（）
4、已知x1，x2是方程x2－x－3=0的两根，那么x12+x22的值是（）
A、1
B、5
C、7
D、5、设是方程的两个实数根，则=__________。
6、关于x的方程是一元二次方程，则a=__________、
7、已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是
_____。
8、已知，求的值。
9、阅读下题的解答过程，请你判断其是否有错误，若有错误，请你写出正确答案、已知：m是关于x的方程mx2 －2x＋m＝0的一个根，求m的值、解：把x=m代人原方程，化简得m3=m，两边同时除以m，得m2 =1，所以m=l，把=l代入原方程检验可知：m=1符合题意，答：m的值是
1、
10、已知三角形的两边长分别是方程的两根，第三边的长是方程的根，求这个三角形的周长。1
1、解下列方程：
；
12、已知△ABC的两边A
B、AC的长是关于的一元二次方程的两个实数根，第三边BC 的长是5。（1）为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；（2）为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长。
3、一次方程组
【知识梳理】
1、二元方程组的有关概念
1、二元一次方程：含有_______个未知数，并且未知数的项的次数都是______的方程。
2、二元一次方程组：含有_______个未知数的两个______方程组成的一组方程。
3、二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的一组_____值，叫做二元一次方程的一个解。
4、二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的
_________解。
二、二元一次方程组的解法、（1）代人消元法：解方程组的基本思路是“消元”一把“二元”变为“一元”，主要步骤是，将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代人另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代人消元法，简称代人法、（2）减消元法：通过方程两边分别相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法、3、两个方程二元一次方程与一次函数的关系、1、区别：（1）二元一次方程有两个未知数，而一次函数有两个变量；（2）二元一次方程用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量之间的关系，又可以用列表或图象来表示两个变量之间的关系、联系：（1）在直角坐标系中分别描出以二元一次方程的解为坐标的点，这些点都在相应的一次函数的图象上；（2）在一次函数的图象上任取一点，它的坐标都适合相应的二元一次方程、2、两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系：在同一直坐标系中，两个一次函数图象的交点的坐标就是相应的二元一次方程组
的解、反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点，
【练习】
解方程组（1）；（2）
1、已知是方程组的解，则＝。
2、已知方程组与有相同的解，则、的值为（）
A、
B、
C、
D、3、要把面值为10元的人民币换成2元或1元的零钱，现有足够的面值为2元、1元的人民币，那么共有换法（）
A、5种
B、6种
C、8种
D、10种
4、方程没有解，由此一次函数y=2－x与y=－x的图象必定（）
A、重合
B、平行
C、相交
D、无法判断
5、二元一次方程组的解是_______；那么一次函数y=2x—1和y=2x+3的图象的交点坐标是；
6、在代数式中，当时，它的值是零；当时，它的值是4；求的值。
7、若与是同类二次根式，求a、b的值、8、在坐标系中，两直线的交点坐标如图所示，交点坐标可以看作哪个方程组的解？的面积是多少？
4、分式方程及应用
【知识梳理】
1、分式方程:分母中含有的方程叫做分式方程、
2、分式方程的解法：解分式方程的关键是（即方程两边都乘以最简公分母）,将分式方程转化为整式方程；
3、分式方程的增根问题：⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根的增根；⑵ 验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。验根的方法是将所求的根代人或，若的值为零或的值为零，则该根就是增根。
4、分式方程的应用：列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些、解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表
示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解、另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性、5、通过解分式方程初步体验“转化”的数学思想方法，并能观察分析所给的各个特殊分式或分式方程，灵活应用不同的解法，特别是技巧性的解法解决问题。
6、分式方程的解法有和。
【练习】
解分式方程：
（2）（3）
1、把分式方程的两边同时乘以(x-2), 约去分母，得（）
A、1-(1-x)=1
B、1+(1-x)=1
C、1-(1-x)=x-2
D、1+(1-x)=x-
22、方程的根是（）
A、－2
B、
C、－2，
D、－2，
13、当=_____时，方程的根为
4、如果，则 A=____ B＝________、
5、若方程有增根，则增根为_____，a=_____
6、若关于x的分式方程有增根，求m的值。
9、就要毕业了，几位要好的同学准备中考后结伴到某地游玩，预计共需费用1200元，后来又有2名同学参加进来，但总费用不变，于是每人可少分摊30元，试求原计划结伴游玩的人数、4、某市今年1月10起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25％，小明家去年12月份的水费是18元，而今年5月份的水费是36元，已知小明家今年5月份的用水量比去年12月份多6
m3，求该市今年居民用水的价格、
5、某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售每吨利润涨至7500元。当地一公司收获这种蔬菜140吨，其加工厂生产能力是：如果进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨。但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在15天内将这蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司初定了三种可行方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成。你认为哪种方案获利最多？为什么？
5、方程及方程组的应用
【知识梳理】
1、列方程解应用题常用的相等关系题型基本量、基本数量关系寻找思路方法工作（工程）问题工作量、工作效率、工作时间把全部工作量看作1工作量=工作效率工作时间相等关系：各部分工作量之和=1常从工作量、工作时间上考虑相等关系比例问题相等关系：各部分量之和=总量。设其中一分为，由已知各部分量在总量中所占的比例，可得各部分量的代数式年龄问题大小两个年龄差不会变抓住年龄增长，一年一岁，人人平等。浓度问题稀释问题溶剂（水）、溶质（盐、纯酒精）、溶液（盐水、酒精溶液）溶质=溶液百分比浓度由加溶剂前后溶质不变。两个相等关系：加溶剂前溶质质量=加溶剂后溶质质量加溶剂前溶液质量+加入溶剂质量=加入溶剂后的溶液质量加浓问题同上由加溶质前后溶剂不变。两个相等关系：加溶质前溶剂质量=加溶质后溶剂质量加溶质前溶液质量+加入溶质质量=加入溶质后的溶液质量混合配制问题等量关系：混合前甲、乙种溶液所含溶质的和=混合后所含溶质混合前甲、乙种溶液所含溶剂的和=混合后所含溶剂利息问题本息和、本金、利息、利率、期数关系：利息=本金利率期数相等关系：本息和=本金+利息行程问题追击问题路程、速度、时间的关系：路程=速度时间1：同地不同时出发：前者走的路程=追击者走的路程2：同时不同地出发：前者走的路程+两地间的距离=追击者走的路程相遇问题同上相等关系：甲走的路程+乙走的路程=甲乙两地间的路程航行问题顺水（风）速度=静水（风）速度+水流（风）速度逆水（风）速度=静水（风）速度－水流（风）速度
1：与追击、相遇问题的思路方法类似2：抓住两地距离不变，静水（风）速度不变的特点考虑相等关系。数字问题多位数的表示方法：是一个多位数可以表示为（其中0＜a、b、c＜10的整数）1：抓住数字间或新数、原数间的关系寻找相等关系。2：常常设间接未知数。商品利润率问题商品利润=商品售价－商品进价首先确定售价、进价，再看利润率，其次应理解打折、降价等含义。
2、列方程解应用题的步骤: （1）审题：仔细阅读题，弄清题意；（2）设未知数：直接设或间接设未知数；（3）列方程：把所设未知数当作已知数，在题目中寻找等量关系，列方程；（4）解方程；（5）检验：所求的解是否是所列方程的解，是否符合题意；（6）答：注意带单位、
【练习】
1、某商品标价为165元，若降价以九折出售（即优惠10％），仍可获利10％（相对于进货价），则该商品的进货价是
2、甲、乙二人投资合办一个企业，并协议按照投资额的比例分配所得利润，已知甲与乙投资额的比例为3：4，首年的利润为38500元，则甲、乙二人可获得利润分别为元和元
3、某城市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0、8％，农村人口增加
1、1％，这样全市人口将增加1％，求这个城市现有的城镇人口数与农村人口数，若设城镇现有人口数为x万，农村现有人口y 万，则所列方程组为
4、
A、B两地相距64千米，甲骑车比乙骑车每小时少行4千米，?如果甲乙二人分别从
A、B两地相向而行，甲比乙先行40分钟，两人相遇时所行路程正好相等，?求甲乙二人的骑车速度、5、某市为了进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路、为使工程能提前3?个月完成，?需要将原定的工作效率提高12%，问原计划完成这项工程用多少个月？
6、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫应降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
7、某音乐厅5月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，?入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的、若提前购票，则给予不同程度的优惠，在5月份内，团体票每张12元，共售出团体票数的，零售票每张16元，共售出零售票数的一半、如果在6月份内，团体票要按每张16元出售，并计划在6月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？
8、要建一个面积为150m2的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长为am，另三边用竹篱笆围成，如图，如果篱笆的长为35m，求鸡场的长与宽各为多少？
9、北京至石家庄的铁路长392千米，为适应经济发展，自2001年10月21日起，某客运列车的行车速度每小时比原来增加40千米，使得石家庄至北京的行车时间缩短了1小时，求列车提速前的速度（只列方程）、
10、一水池有甲、乙两水管，?已知单独打开甲管比单独打开乙管灌满水池需多用10小时、现在首先打开乙管10小时，然后再打开甲管，共同再灌6小时，可将水池注满，如果一开始就把两管一同打开，那么需要几小时就能将水池注满？1
1、甲、乙两组工人合做某项工作，4天以后，因甲另有任务，乙组再单独做5天才能完成。如果单独完成这项工作，甲组比乙组少用5天，求各组单独完成这项工作所需要的天数。
一次方程与方程组知识点 知识点1：一元一次方程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的整式方程叫做一元一次方程。（如：21,314223 x x x x --=+=-） 特点：①等号两边都是整式②只含有一个未知数③未知数的次数都为1. 判断方法：首先要将整式方程化简，然后再判断是否满足一元一次方程的三个特点。 知识点2：等式的基本性质 1.等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 即如果a b =，那么a c b c ±=±； 2.等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式。 即如果a b =，那么ac bc =， (0)a b c c c =≠； 3.对称性：如果a b =，那么b a =； 4.传递性：如果a b =，b c =，那么a c =。 知识点3：一元一次方程的解法 1.移项法则 把方程的某一项改变符号后，从方程的一边移到方程的另一边，叫做移项法则。 2.解一元一次方程的步骤 ①去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数； ②去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号； ③移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其它项都移到方程的另一边（移项要变号） ④合并同类项：把方程变成(0)ax b a =≠的形式 ⑤系数华为1：在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解b x a =。 知识点4：（1）二元一次方程的概念 含有两个未知数，且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程。
如：1,323, 32 m x y x y n +=-=+=都是二元一次方程。 （2）二元一次方程组的概念 由两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。（如：2324 x y x y +=??-=?） 知识点5：二元一次方程组的解 使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。 知识点6：二元一次方程组的解法 （1）用代入法求解二元一次方程组 步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值； ④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值； ⑤把求得的x 、y 的值用“{”联立起来，就是方程组的解。 （2）用加减法解方程组 步骤：①方程组中的两个方程中，如果同一个未知数的系数即不互为相反数又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数变为相反数或相等； ②把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值； ④将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的 值，并把求得的两个未知数的值用符号“{”联立起来。 知识点7：用一次方程（或方程组）解决实际问题 ①行程问题：行程问题中涉及的量有路程、平均速度、时间。它们之 间的关系是： 路程=平均速度?时间
中考专题复习（2）一次方程及方程组 3、当x＝＿＿＿＿时，代数式3x＋2 与6－5x 的值相等。 5、3 名同学参加乒乓球赛，每两名同学之间赛一场，一共需要 ＿＿＿＿场比赛，则5 名同学一共需要＿＿＿＿比赛。 6、如图，是一个正方形算法图，□里缺的数是＿＿＿＿， 并总结出规律：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 7、一轮船从重庆到上海要5 昼夜，而从上海到重庆要7 昼夜，那么一个竹排从重庆顺流漂到上海要＿＿＿昼夜。 8、已知3－x＋2y＝0，则2x－4y－3 的值为（） A、－3 B、3 C、1 D、0 9、用“加减法”将方程组2x－3y＝9 2x＋4y＝－1 中的x 消去后得到的方程是（） A、y＝8 B、7y＝10 C、－7y＝8 D、－7y＝10 10、某商品因换季准备打折出售，若按定价的七五折出售将赔25 元，若按定价的九折出售将赚20 元，则这种商品的定价为（） A、280 元 B、300 元 C、320 元 D、200 元 11、小辉只带了2 元和5 元两种面额的人民币，他买了一件物品只需付27 元，如果不麻烦售货员找零钱，他有几种不同的付款方法（） A、一种 B、两种 C、三种 D、四种 12、为了防沙治沙，政府决定投入资金，鼓励农民植树种草，经测算，植树1 亩需资金200 元，种草1 亩需资金100 元，某组农民计划在一年内完成2400 亩绿化任务，在实施中由于实际情况所限，植树完成了计划的90%，但种草超额完成了计划的20%，恰好完成了计划的绿化任务，那么计划植树、种草各多少亩？若设该组农民计划植树x 亩，种草y 亩，则可列方程组为（） A、x＋y＝2400 x－90%＋y (1－20%)＝2400 B、 x＋y＝2400 (1－90%) x＋(1＋20%) y＝2400 C、x＋y＝2400 (1＋90%) x＋(1＋20%) y＝2400 D、 x＋y＝2400 90%x＋(1＋20%) y＝2400 13.解下列方程（组）： （1）、1 2 x－1＝ 1 3 (x－2)（2）、 x－3 0.2 － x＋4 0.1 ＝5 （３）、7 2 ［ 5 3 ( 6 5 x－3)－1］＝10x（4）、 x＋2 3 ＋ y－1 2 ＝3 x＋2 3 ＋ 1－y 2 ＝1 14、当x 为何值时，代数式x＋1 2 的值比 5－x 3 的值大1。
专题07 方程与方程组的解法 一、知识点精讲 一元一次方程 ⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。 ⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。 ⑶关于方程ax b =解的讨论 ①当0a ≠时，方程有唯一解b x a =； ②当0a =，0b ≠时，方程无解 ③当0a =，0b =时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。 二元一次方程 在一个方程中，含有两个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫二元一次方程。 二元一次方程组： （1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。 （2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 （3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 （4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法③整体消元法，。 二、典例精析 ①一元高次方程的解法 思想：降次 方法：换元、因式分解等 【典例1】解方程. （1）4213360x x -+= （2）63980x x -+= 【答案】见解析 【解析】 （1）4222 13360(4)(9)02 3.x x x x x x -+=?--=?=±=±或 （2）6333 980(1)(8)1 2.x x x x x x -+=?--?==或 【典例2】解方程.
（1）32+340x x x -= （2）3210x x -+= 【答案】见解析 【解析】 （1）322 +340(34)0(4)(1)04 1.x x x x x x x x x x x -=?+-=?+-?==-=或或 （2 ）33221010(1)(1)1x x x x x x x x x x -+=?--+=?-+-?==或 ②方程组的解法 解方程组的思想：消元 解方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法，③整体消元法等。 【典例3】解方程组. 347(1)295978x z x y z x y z +=??++=??-+=? 3(2)45x y y z z x +=?? +=??+=? 【答案】见解析 【解析】 5 3471(1)29359782x x z x y z y x y z z =?+=???? ++=?=???? -+=??=-? 3(2)45x y y z z x +=??+=??+=?213x y z =?? ?=??=? 【典例4】解方程组22 210 4310x y x y x y --=??-++-=? 【答案】见解析 【解析】 22 2104310x y x y x y --=??-++-=?8115 1115x x y y ? = ?=?????=??= ?? 或 【典例5】解方程组.
一次方程与方程组测试题 一、选择题 1. 方程2（x ＋1）=4x -8的解是（ ） A ． 4 5 B ．-3 C ．5 D ．-5 2．方程2-x 3 - x-1 4 = 5的解是（ ） A ． 5 B ． - 5 C ． 7 D ．- 7 3. 把方程 8 31412x x --=-去分母后，正确的结果是（ ） A ．)3(112x x --=- B ．)3(1)12(2x x --=- C ．x x --=-38)12(2 D ．)3(8)12(2x x --=- 4. 用加减法解方程组 5 1{ =+-=-y x y x 中，消x 用 法，消y 用 法（ ） A.加，加 B.加，减 C.减，加 D.减，减 5. 若方程组352 23x y m x y m +=+?? +=?的解x 与y 的和为0，则m 的值为（ ） A ．－2 B ．0 C ．2 D ．4 6．若关于x 的方程2x －4=3m 和x+2=m 有相同的根，则m 的值是（ ） A ． 10 B ．－8 C ．－10 D ． 8 7．代数式 2k-13 与代数式 1 4 k +3 的值相等时，k 的值为（ ） A ． 7 B ． 8 C ． 9 D ． 10 8．由方程组43x m y m +=?? -=?， ． 可得出x 与y 的关系是（ ） A ．1x y += B ．1x y +=- C ．7x y += D ．7x y +=- 9．如果4 (1)6x y x m y +=??--=? 中的解x 、y 相同，则m 的值是（ ） A ．1 B ．－１ C ．2 D ．－2 10．足球比赛的记分为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一队打了14场比赛，负5场，共得19分， 那么这个队胜了（ ） A ．3场 B ．4场 C ．5场 D ．6场 二、填空题 11．已知方程4x+5y=8，用含x 的代数式表示y 为__________________。 12． 关于x 的方程0)1(2=--a x 的解是3，则a 的值为___________。 13．如果x ＝3，y ＝2是方程326=+by x 的解，则b ＝_______。 14．若5x －5的值与2x －9的值互为相反数,则x ＝_____。15．方程组ax+by=4bx+ay=5??? 的解是x=2 y=1??? ，则a+b=______。 三、解答题 16.已知2 33+-y x b a 与2 2ab -是同类项，求x 、y 的值。 17．解方程：⑴ ()()() 3175301x x x --+=+； ⑵ 16 2 31=--+x x 。
中考总复习：一次方程及方程组--知识讲解 【考纲要求】 1.了解等式、方程、一元一次方程的概念，会解一元一次方程； 2.了解二元一次方程组的定义，会用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组； 3.能根据具体问题中的数量关系列出方程（组），体会方程思想和转化思想. 【知识网络】
【考点梳理】 考点一、一元一次方程 1.等式性质 （1）等式的两边都加上(或减去)同一个数（或式子），结果仍是等式. （2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为零），结果仍是等式. 2.方程的概念 （1）含有未知数的等式叫做方程. （2）使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解(一元方程的解也叫做根). （3）求方程的解的过程，叫做解方程. 3.一元一次方程 （1）只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程. （2）一元一次方程的一般形式:0(0)ax b a +=≠. （3）解一元一次方程的一般步骤： ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化成1；⑥检验(检验步骤可以不写出来). 要点诠释： 解一元一次方程的一般．．步骤 步 骤 名 称 方 法 依 据 注 意 事 项 1 去分母 在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数） 等式性质2 1、不含分母的项也要乘以最小公倍数； 2、分子是多项式的一定要先用括号括起来. 2 去括号 去括号法则（可先分配再去括号） 乘法分配律 注意正确的去掉括号前带负数的括号 3 移项 把未知项移到方程的一边（左边），常数项移到另一边 等式性质1 移项一定要改变符号
初三数学总复习-------方程与方程组（一） 一、选择题： 1. 已知方程①3x －1=2x ＋1，②x ＋31=32(x －21)，③23x －1=x ，④27＋431x +=7－413+x 中，解为x=2的是方程 （ ） A 、①、②和③ B 、①、③和④ C 、②、③和④ D 、①、②和④ 2. 方程3 2x －2=3x 的解是 （ ） A 、x=2 B 、x=－11 6 C 、x=－6 D 、x=－76 3. 方程x(x ＋1)=0的根是 （ ） A 、0 B 、1 C 、0和1 D 、0和－1 4. 要使方程ax=a 的解为x=1，必须满足条件 （ ） A 、a 可取任何数 B 、a>0 C 、a<0 D 、a ≠0 5. 已知关于x 的方程 5 1432-=+x a x 的解是非负数，则（ ） A 、53->a B 、53-≥a C 、53>a D 、53-≤a 6. 关于x 的方程(m 2－4)x 2＋5x －3＝0是一元二次方程，则m 满足（ ） A 、m ≠2 B 、m ≠－2 C 、m ≠±2 D 、m 为任意实数 7. 根为2、－1的一元二次方程是（ ） A 、x 2－x ＋2＝0 B 、x 2－x －2＝0 C 、x 2＋x －2＝0 D 、x 2＋x ＋2＝0 8. 方程2x 2＋3x ＋2＝0的根的情况是（ ） A 、有两个相等的实数根 B 、有两个不相等的实数根 C 、有两个实数根 D 、沒有实数根 9. 已知关于x 的一元二次．．．．方程0112)21(2=-+--x k x k 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A 、2
知识点1：一元一次方程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的整式方程叫做一元一次方程。（如：21,314223 x x x x --=+=-） 特点：①等号两边都是整式②只含有一个未知数③未知数的次数都为1. 判断方法：首先要将整式方程化简，然后再判断是否满足一元一次方程的三个特点。 知识点2：等式的基本性质 1.等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 即如果a b =，那么a c b c ±=±； 2.等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式。 即如果a b =，那么ac bc =， (0)a b c c c =≠； 3.对称性：如果a b =，那么b a =； 4.传递性：如果a b =，b c =，那么a c =。 知识点3：一元一次方程的解法 1.移项法则 把方程的某一项改变符号后，从方程的一边移到方程的另一边，叫做移项法则。 2.解一元一次方程的步骤 ①去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数； ②去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号； ③移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其它项都移到方程的另一边（移项要变号） ④合并同类项：把方程变成(0)ax b a =≠的形式 ⑤系数华为1：在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解b x a =。 知识点4：（1）二元一次方程的概念 含有两个未知数，且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程。 如：1,323,32 m x y x y n +=-=+=都是二元一次方程。 （2）二元一次方程组的概念 由两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。（如：2324x y x y +=?? -=?） 知识点5：二元一次方程组的解 使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。 知识点6：二元一次方程组的解法 （1）用代入法求解二元一次方程组 步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来；
方程与方程组应用题 一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】 1.列方程解应用题常用的相等关系
2.列方程解应用题的步骤: （1）审题：仔细阅读题，弄清题意；（2）设未知数：直接设或间接设未知数； （3）列方程：把所设未知数当作已知数，在题目中寻找等量关系，列方程；（4）解方程；（5）检验：所求的解是否是所列方程的解，是否符合题意；（6）答：注意带单位． （二）：【课前练习】 1. 某商品标价为165元，若降价以九折出售（即优惠10％），仍可获利10％（相对于进货价），则该商品的进货价是
2.甲、乙二人投资合办一个企业，并协议按照投资额的比例分配所得利润，已知甲与乙投资额的比例为3：4，首年的利润为38500元，则甲、乙二人可获得利润分别为元和元 3. 某公司1996年出口创收135万美元，1997年、1998年每年都比上一年增加a％，那么，1998年这个公司出口创汇万美元 4. 某城市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8％，农村人口增加1.1％，这样全市人口将增加1％，求这个城市现有的城镇人口数与农村人口数，若设城镇现有人口数为x万，农村现有人口y万，则所列方程组为 5. 一个批发与零售兼营的文具店规定，凡是一次购买铅笔301支以上（包括301支），可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款，现有学生小王来购买铅笔，如果给学校初三年级学生每人买1支，则只能按零售价付款，需用(m2－1)元（m为正整数，且m2－1>100）；如果多买60支，则可以按批发价付款，同样需用(m2－1)元.设这个学校初三年级共有x名学生，
第一课时 解方程和方程组 一、方程和方程组的解法 1、知识网络： 2．解一元二次方程的步骤：（1）配方法的步骤： 先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式： （2）分解因式法的步骤： 把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式； （3）公式法一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c=0(a ≠0)，当b 2 －4ac ≥0时的根为a ac b b x 242-±-=，该式称为一 元二次方程的求根公式。 二．例题讲解 例1：解方程 (1)0342 =--x x (2)x x 7322 =+ (3)x x x 22)1)(1(=-+, 解：（1)移项得342 =-x x 配方得x 2 －4x ＋(－2)2 =7 解这个方程得x －2=±，即； (2)移项得2x 2 －7x=－3 ，把方程两边都除以2得
配方得．即 解这个方程得 3,2 1 21== x x 法二：（用分解因式法）0)3)(12(=--x x 得方程得 3,21 21== x x 。 (3)原方程可化为 ∴ ∴；∴． 例2 若关于x 方程01222 =++bx x 有一根为3=x ，求b 的值。 例3 关于x 的方程：022 =++m x x ， （1）当x 取何值时，方程有两个不相等的实根？ （2）当x 取何值时，方程的有两个正数根？ （3）当x 邓何值时，方程有一根小于1，另一根大于3？ 例题1：当m 为什么值时，关于x 的方程01)1(2)4(2 2 =+++-x m x m 有实根。 解：当42 -m ＝0即2±=m 时，)1(2+m ≠0，方程为一元一次方程，总有实根； 当42 -m ≠0即2±≠m 时，方程有根的条件是： △＝[]208)4(4)1(22 2 +=--+m m m ≥0，解得m ≥2 5- ∴当m ≥25- 且2±≠m 时，方程有实根。 综上所述：当m ≥2 5 -时，方程有实根。 例题2：1x 、2x 是方程05322 =--x x 的两个根， 不解方程，求下列代数式的值： （1）())1(121++x x
一、选择题 1. 方程2（x ＋1）=4x -8的解是（ ） A ．4 5 B ．-3 C ．5 D ．-5 2．方程2-x 3 - x-1 4 = 5的解是（ ） Ａ． 5 B ． - 5 Ｃ． 7 Ｄ．- 7 3. 把方程8 31412x x -- =-去分母后，正确的结果是（ ） A ．)3(112x x --=- B ．)3(1)12(2x x --=- C ．x x --=-38)12(2 D ．)3(8)12(2x x --=- 4. 用加减法解方程组5 1{=+-=-y x y x 中，消x 用 法，消y 用 法（ ） A.加，加 B.加，减 C.减，加 D.减，减 5. 若方程组352 23x y m x y m +=+??+=?的解x 与y 的和为0，则m 的值为（ ） Ａ．－2 B ．0 Ｃ．2 Ｄ．4 6．若关于x 的方程2x －4=3m 和x+2=m 有相同的根，则m 的值是（ ） Ａ． 10 Ｂ．－8 Ｃ．－10 Ｄ． 8 7．代数式 2k-13 与代数式 1 4 k +3 的值相等时，k 的值为（ ） Ａ． 7 Ｂ． 8 Ｃ． 9 Ｄ． 10 8．由方程组43x m y m +=??-=?， ．可得出x 与y 的关系是（ ） Ａ．1x y += Ｂ．1x y +=- Ｃ．7x y += Ｄ．7x y +=- 9．如果4 (1)6 x y x m y +=??--=?中的解x 、y 相同，则m 的值是（ ） Ａ．1 Ｂ．－１ Ｃ．2 Ｄ．－2 10．足球比赛的记分为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一队打了14场比赛，负5 场，共得19分，那么这个队胜了（ ） Ａ．3场 Ｂ．4场 Ｃ．5场 Ｄ．6场 二、填空题 11．已知方程4x+5y=8，用含x 的代数式表示y 为__________________。 12． 关于x 的方程0)1(2=--a x 的解是3，则a 的值为__________________。 13．如果x ＝3，＝2是方程326=+by x 的解，则b ＝__________________。 14．若5x －5的值与2x －9的值互为相反数,则x ＝__________________。
初三数学方程和方程组的解法 一. 本周教学内容： 方程和方程组的解法 方程和方程组的解法是方程知识的核心内容。同学们要灵活掌握方程解法的多样性。 【典型例题】 例1. 写出一个以x ＝3为根的一元一次方程。 分析：这是一道考查学生发散思维能力的试题。答案不唯一，题目是已知方程的解，来构造方程，可求出x －3＝0或2x －6＝0等。 例2. () ()求关于的一元一次方程的解。x k x k x k 211180-+--=- 分析：由已知可知原方程为一元一次方程，分两种情况： （1）当指数k －1＝1时，即k ＝2时，原方程化为3x ＋x －8＝0，解之得：x ＝2； （2）当k 2－1＝0且k －1≠0时，也就是当k ＝－1时，原方程化为－2x －8＝0，解之得：x ＝－4，所以原方程的解为x ＝2或x ＝－4。 答：x ＝2或x ＝－4 例3. 填空： 当，时，方程有唯一解。当，时，方程无解。当，时，方程有无穷多解。a b ax x b a b ax x b a b ax x b +=-+=-+=-111 分析：本题实质就是解方程ax x b +=-1 ()()根据解方程的步骤，原方程可化为a x b -=-+11 此方程分三种情况解： （）当，即时，原方程有唯一解。 （）当，，即，时，原方程无解。（）当，，即，时，原方程有无穷多解。110121010113101011a a a b a b a b a b -≠≠-=-+≠=≠--=-+===-()() 通过此题，总结出一般规律： 方程ax ＝b 的解 （）当时，方程的解为；（）当，时，方程无解；（）当，时，方程的解为全体实数。 10200300a x b a a b a b ≠= =≠== 例4. ()已知，求的值。x y x y x y --+++=+233202 分析：两个非负数之和为0，则这两个数须同时为0。
知识点1：一元一次方程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的整式方程叫做一元一次方程。（如：21,314223 x x x x --=+=-） 特点：①等号两边都是整式②只含有一个未知数③未知数的次数都为1. 判断方法：首先要将整式方程化简，然后再判断是否满足一元一次方程的三个特点。 知识点2：等式的基本性质 1.等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 即如果a b =，那么a c b c ±=±； 2.等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式。 即如果a b =，那么ac bc =， (0)a b c c c =≠； 3.对称性：如果a b =，那么b a =； 4.传递性：如果a b =，b c =，那么a c =。 知识点3：一元一次方程的解法 1.移项法则 把方程的某一项改变符号后，从方程的一边移到方程的另一边，叫做移项法则。 2.解一元一次方程的步骤 ①去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数； ②去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号； ③移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其它项都移到方程的另一边（移项要变号） ④合并同类项：把方程变成(0)ax b a =≠的形式 ⑤系数华为1：在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解b x a =。 知识点4：（1）二元一次方程的概念 含有两个未知数，且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程。 如：1,323,32 m x y x y n +=-=+=都是二元一次方程。 （2）二元一次方程组的概念 由两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。（如：2324 x y x y +=??-=?） 知识点5：二元一次方程组的解 使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。 知识点6：二元一次方程组的解法
七年级数学一次方程与方程组同步测试及答案 一、选择题(每题2分，共20分) 1.方程2(x+1)=4x-8的解是() A.B.-3C.5D.-5 2.方程2-x3-x-14=5的解是() A.5 B.-5 C.7 D.-7 3.把方程去分母后，正确的结果是() A.B. C.D. 4.用加减法解方程组中，消x用法，消y用法() A.加，加 B.加，减 C.减，加 D.减，减 5.若方程组的解与的和为0，则的值为() A.-2 B.0 C.2 D.4 6.若关于x的方程2x-4=3m和x+2=m有相同的根，则m的值是() A.10 B.-8 C.-10 D.8 7.代数式2k-13与代数式14k+3的值相等时，k的值为() A.7 B.8 C.9 D.10 8.由方程组可得出与的关系是() A.B.C.D. 9.如果中的解x、y相同，则m的值是() A.1 B.-1 C.2 D.-2 10.足球比赛的记分为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一队打了14场比赛，负5场，共得19分，那么这个队胜了() A.3场 B.4场 C.5场 D.6场 二、填空题(每题2分，共10分) 11.已知方程4x+5y=8，用含x的代数式表示y为__________________。 12.关于的方程的解是3，则的值为__________________。 13.如果=3，=2是方程的.解，则=__________________。
14.若5x-5的值与2x-9的值互为相反数,则x=__________________。 15.方程组的解是，则a+b=__________________。 三、解答题(每题10分，共70分) 16.已知与是同类项，求、的值。 19.车间里有名工人，每人每天能生产螺母个或螺栓个，若一个螺栓配两个螺母，那么应分 配多少人生产螺栓，多少人生产螺母才能使螺栓和螺母正好配套? 20.若方程组与方程组的解相同，求、的值。 21.如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少? 现在请你设未知数列方程组来解决这个问题。 22.某校七(2)班40名同学为“希望工程”捐款,共捐款100元。捐款情况如下表： 捐款(元)1 234 人数67 表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，不过应用方程组可以解决这个问题。现在设捐款2元的有名同学,捐款3元的有名同学,请你列方程组并解出方程组。 测试卷答案 一、选择题 1、C 2、D 3、D 4、C 5、C 6、B 7、B 8、C 9、B10、C 二、填空题 11.;12.4;13.7;14.2;15.3。 三、解答题 16.，。 17.⑴;⑵。 18.⑴;⑵。 19.设应分配人生产螺栓，人生产螺母，则解得
五年级数学教案：方程的解与解方程教学目标： 1、结合具体的题目，让学生初步理解方程的解与解方程的含义。 2、会检验一个具体的值是不是方程的解，掌握检验的格式。 3、进一步提高学生比较、分析的能力。 教学重难点：比较方程的解和解方程这两个概念的含义。 教学过程： 一、导入新课 上一节课，我们学习了什么？ 复习天平保持平衡的规律及等式保持不变的规律。学习这些规律有什么用呢？从这节课开始我们就会逐渐发现到它的重要作用了。 二、新知学习。 1、解决问题。 出示 P57 的题目，从图上可以获取哪些数学信息？天平保持平衡说明什么？杯子与水的质量加起来共重 250 克。
能用一个方程来表示这一等量关系吗？得到：100+x=250，x 是多少方程左右两边才相等呢？也就是求杯子中水究竟有多重。如何求到 x 等于多少呢？学生先自己思考，再在小组里讨论交流，并把各种方法记录下来。 全班交流。可能有以下四种思路： （1）观察，根据数感直接找出一个 x 的值代入方程看看左边是否等于 250。 （2）利用加减法的关系： 250-100=150。 （3）把250 分成100+50，再利用等式不变的规律从两边减去100，或者利用对应的关系，得到x 的值。 （4）直接利用等式不变的规律从两边减去100。 对于这些不同的方法，分别予以肯定。从而得到x 的值等于150，将 150 代入方程，左右两边相等。 2、认识、区别方程的解和解方程。 得出方程的解与解方程的含： 像这样，使方程左右两边相等的未知知数的值，叫做方程的解， 刚才， x=150 就是方程 100+x=250的解。
而求方程的解的过程叫做解方程，刚才，我们用这几种方法来求100+x=250的解的过程就是解方程。 这两个概念说起来差不多，但它们的意义却大不相同，它们之间 的区别是什么呢？ 方程的解是一个具体的数值，而解方程是一个过程，方程的解是 解方程的目的。 3、练习。（做一做） 齐读题目要求。 怎么判断 X=3 是不是方程的解？将x=5 代入方程之中看左右两边是否相等，写作格式是：方程左边=5x =53 =15 =方程右边 所以， x=3 是方程的解。 用同样的方法检查x=2 是不是方程 5x=15 的解。
中考数学一次方程及方程组专题训 练（经典） 2009中考数学第一轮复习一次方程及方程组专题训练一、填空题：１、方程2x－3＝1 的解是＿＿＿＿。２、已知2x－y＝1，用含x 的代数式表示y＝＿＿＿＿。３、“某数与6 的和的一半等于12”，设某数为x，则可列方程＿＿＿＿＿＿。４、方程2x＋y＝5 的所有正整数解为＿＿＿＿＿＿。５、若x＝1y＝2 是方程3ax－2y＝2 的解，则a＝＿＿＿＿。６、当x＝＿＿＿＿时，代数式3x＋2 与6－5x 的值相等。７、试写出一个解为x＝－1 的一元一次方程＿＿＿＿＿＿＿＿。８、方程组x＋y＝32x －3y＝－4 的解是＿＿＿＿＿＿。９、3 名同学参加乒乓球赛，每两名同学之间赛一场，一共需要＿＿＿＿场比赛，则5 名同学一1 4 3 共需要＿＿＿
＿比赛。10、如图，是一个正方形算法图，□里缺的8 5 数是＿＿＿＿，并总结出规律：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。7 2 11、如图，四个一样大的小矩形拼成一个大矩形，如果大矩形的周长为12cm，那么小矩形的周长为＿＿＿＿cm。12、一轮船从重庆到上海要 5 昼夜，而从上海到重庆要7 昼夜，那么一个竹排从重庆顺流漂到上海要＿＿＿昼夜。二、选择题：１、下列方程中，属于一元一次方程的是A、x＝y ＋1B、1x＝1C、x2＝x－1 D、x＝1 ２、已知3－x＋2y＝0，则2x －4y－3 的值为A、－3 B、3 C、1D、0 ３、用“加减法”将方程组2x－3y＝92x＋4y＝－1 中的x 消去后得到的方程是A、y ＝8 B、7y＝10 C、－7y＝8 D、－7y＝10 ４、某商品因换季准备打折出售，若按定价的七五折出售将赔25 元，若按定价的九折出售将赚20
1. roots 求解多项式的根 r=roots(c) 注意： c 为一维向量，者返回指定多项式的所有根( 包括复根),poly 和roots 是互为反运算，还有就是roots 只能求解多项式的解 还有下面几个函数poly2sym、sym2poly 、eig >>syms x >>y=x A5+3*x A3+3; >>c=sym2poly(y);%求解多项式系数 >>r=roots(c); >>poly(r) 2. residue 求留数 [r, p, k] = residue(b,a) >>b = [ 5 3 -2 7] >>a = [-4 0 8 3] >>[r, p, k] = residue(b,a) 3. solve 符号解方程(组)——使用最多的 g = solve(eq1,eq2,...,eqn,var1,var2,...,varn) 注意：eqn 和varn 可以是符号表达式，也可以是字符串表达式，但是使用符号表达式时不能有“=号”，假如说varn 没有给出，使用findsym 函数找出默认的求解变量。返回的g 是个结构体，以varn 为字段。由于符号求解的局限性，好多情况下可能得到空矩阵，此时只能用数值解法 解方程A=solve('a*xA2 + b*x + c') 解方程组B=solve('a*uA2 + vA2', 'u - v = 1', 'aA2 - 5*a + 6') 4. fzero 数值求零点 [x,fval,exitflag,output]=fzero(fun,x0,options,p1,p2...) fun 是目标函数，可以是句柄(@)、inline 函数或M 文件名 x0 是初值，可以是标量也可以是长度为2 的向量，前者给定一个位置，后者是给定一个范围options 是优化参数，通过optimset 设置，optimget 获取，一般使用默认的就可以了，具体参照帮助 p1,p2...为需要传递的其它参数 假如说(x/1446)A2+p/504.1+(t/330.9)*(log(1-x/1446)+(1-1 /5.3)*x/1446)=0 的根，其中p,t 是已知
总复习：一次方程及方程组--知识讲解 【考点梳理】 考点一、一元一次方程 1.等式性质 （1）等式的两边都加上(或减去)同一个数（或式子），结果仍是等式. （2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为零），结果仍是等式. 2.方程的概念 （1）含有未知数的等式叫做方程. （2）使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解(一元方程的解也叫做根). （3）求方程的解的过程，叫做解方程. 3.一元一次方程 （1）只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程. （2）一元一次方程的一般形式:0(0)ax b a +=≠. （3）解一元一次方程的一般步骤： ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化成1；⑥检验(检验步骤可以不写出来). 要点诠释： 解一元一次方程的一般．． 步骤 步骤 名 称 方 法 依 据 注 意 事 项 1 去分母 在方程两边同时乘以所有分 母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数） 等式性质2 1、不含分母的项也要乘以最小公倍数；2、分子是多项式的一定要先用括号括起来. 2 去括号 去括号法则（可先分配再去括号） 乘法分配律 注意正确的去掉括号前带负数的括号 3 移项 把未知项移到方程的一边 （左边），常数项移到另一边（右边） 等式性质1 移项一定要改变符号 4 合并 同类项 分别将未知项的系数相加、常数项相加 1、整式的加减； 2、有理数的加法法则 单独的一个未知数的系数为“±1” 5 系数化为“1” 在方程两边同时除以未知数的系数（或方程两边同时乘以未知数系数的倒数） 等式性质2 不要颠倒了被除数和除数（未知数的系数作除数——分母） *6 检根 x=a 方法：把x=a 分别代入原方程的两边，分别计算出结果. ① 若 左边＝右边，则x=a 是方程的解； ② 若 左边≠右边，则x=a 不是方程的解. 注：当题目要求时，此步骤必须表达出来. 说明： （1）上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说，解每一个方程都必须经过六个步骤； （2）解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法； （3）对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照
中考复习专题——方程和方程组及其应用 基础知识点： 一、方程有关概念 1、方程：含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。 3、解方程：求方程的解或判断方程无解的过程叫做解方程。 4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。 二、一元方程 1、一元一次方程 （1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x 是未知数，a 、b 是已知数，a ≠0） （2）一元一次方程的最简形式：ax=b （其中x 是未知数，a 、b 是已知数，a ≠0） （3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。 （4）一元一次方程有唯一的一个解。 2、一元二次方程 （1）一元二次方程的一般形式：02=++c bx ax （其中x 是未知数，a 、b 、c 是已知数，a ≠0） （2）一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 （3）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不用配方法。 （4）一元二次方程的根的判别式：ac b 42-=? 当Δ ＞0时?方程有两个不相等的实数根； 当Δ =0时?方程有两个相等的实数根； 当Δ < 0时?方程没有实数根，无解； 当Δ≥0时?方程有两个实数根 注：常用公式 配方式
（5）一元二次方程根与系数的关系： 若21,x x 是一元二次方程02=++c bx ax 的两个根， （6）以两个数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：0)(21212=++-x x x x x x 例1、解下列方程： （1）2)3(2 12=+x ；（2）1322=+x x ；（3）22)2(25)3(4-=+x x 分析：（1）用直接开方法解；（2）用公式法；（3）用因式分解法 （4）配方法 [规律总结]如果一元二次方程形如)0()(2≥=+n n m x ，就可以用直接开方法来解；利用公式法可以解任何一个有解的一元二次方程，运用公式法解一元二次方程时，一定要把方程化成一般形式。 例2、解下列方程： （1）)(0)23(2为未知数x b a x a x =+--； （2）08222=-+a ax x 分析：（1）先化为一般形式，再用公式法解；（2）直接可以十字相乘法因式分解后可求解。 [规律总结]对于带字母系数的方程解法和一般的方程没有什么区别，在用公式法时要注意判断△的正负。 例3、已知关于x 的方程：032)1(2=+++-p px x p 有两个相等的实数根，求p 的值。 分析：由题意可得?=0，把各系数代入?=0中就可求出p ，但要先化为一般形式。 [规律总结]对于根的判别式的三种情况要很熟练，还有要特别留意二次项系数不能为0 例4、已知a 、b 是方程0122=--x x 的两个根，求下列各式的值： （1）22b a +；（2）b a 11+ 分析：先算出a+ b 和ab 的值，再代入把（1）（2）变形后的式子就可求出解。 [规律总结]此类题目都是先算出两根之和和两根之积，再把要求的式子变形成含有两根之和和两根之积的形式，再代入计算。但要注意检验一下方程是否有解。 例5、求作一个一元二次方程，使它的两个根分别比方程052=--x x 的两个根小3 分析：先出求原方程的两根之和21x x +和两根之积21x x 再代入求出)2()3(21-+-x x 和)3)(3(21--x x 的值，所求的方程也就容易写出来。解：略 [规律总结]此类题目可以先解出第一方程的两个解，但有时这样又太复杂，用根与系数的关系就比较简单。 三、分式方程 （1）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 （2）分式方程的解法：一般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。 特殊方法：换元法。 （3）检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就