方程和方程组
一、填空
1．下列是关于x 的一元二次方程的有_______ ①02x 3x 1
2=-+ ②01x 2=+ ③)3x 4)(1x ()1x 2(2--=- ④06x 5x k 22=++ ⑤021x x 2432=-- ⑥0x 22x 32=-+
2．一元二次方程3x 2=2x 的解是 ．
3．一元二次方程(m-2)x 2+3x+m 2-4=0有一解为0，则m 的值是 ．
4．已知m 是方程x 2-x-2=0的一个根，那么代数式m 2-m = ．
5．一元二次方程ax 2+bx+c=0有一根-2,则b
c a 4+的值为 ． 6．关于x 的一元二次方程kx 2+2x －1=0有两个不相等的实数根, 则k 的取值范围是__________．
7．如果关于的一元二次方程的两根分别为3和4，那么这个一元二次方程可以是 ．
8．在 中，用x 的代数式表示y ，则y=______________．
9．已知a 、b 、c 满足???=+-=-+0
2052c b a c b a ，则a ：b ：c= ．
二、选择题：
1．对于任意的实数x,代数式x 2－5x ＋10的值是一个( )
A.非负数
B.正数
C.整数
D.不能确定的数
2．已知(1-m 2-n 2)(m 2+n 2)=-6,则m 2+n 2的值是（ ）
A.3
B.3或-2
C.2或-3
D. 2
3．下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
（A ）x 2＋4＝0 （B ）4x 2－4x ＋1＝0（C ）x 2＋x ＋3＝0（D ）x 2＋2x －1＝0
4．下面是李刚同学在测验中解答的填空题，其中答对的是（ ）
A ．若x 2=4，则x=2
B ．方程x(2x-1)=2x-1的解为x=1
C ．方程x 2+2x+2=0实数根为0个
D ．方程x 2-2x-1=0有两个相等的实数根
5．若等腰三角形底边长为8,腰长是方程x 2-9x+20=0的一个根,则这个三角形的周长是（ ）
A.16
B.18
C.16或18
D.21
6．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 三、解下列方程（组）：
（1）()x x -=--3252； （2）....x x +=-0713715023；(3)(x+5)(x-5)=7
??
???=+=+65115y x y x ???-=+=+2102y x y x ???==+158xy y x ???=+=31y x x 032=-+y x
(4)x(x-1)=3-3x (5)（2y-1）2 -2（2y-1）-3=0 (6) (x-15)2-225=0；
(7) 4x 2－8x ＋1＝0（用配方法）；（8）
x x -+=-2114135；（9）.x x +--=21152156
（10）
；（11）?
??=+=+832152y x y x ；（12） ???=+=+27271523y x y x
四、应用题
1．用22cm 长的铁丝，折成一个面积是30㎝2的矩形，求这个矩形的长和宽.又问：能否折成面积是32㎝2的矩形呢？为什么？
2．已知关于x 的方程x 2―(2k+1)x+4(k -0.5)=0
(1) 求证：不论k 取什么实数值，这个方程总有实数根；
(2) 若等腰三角形ABC 的一边长为a=4，另两边的长b ．c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长．
\
3．应用方程解下列问题：初一（4）班课外乒乓球组买了两副乒乓球板，若每人付9元，则多了5元，后来组长收了每人8元，自己多付了2元，问两副乒乓球板价值多少？
简易方程练习题及答案 Prepared on 24 November 2020
用字母表示数量关系 一、请你填一填。 1．一只手有5个手指，两只手有10个手指，n只手有（）个手指。 2．四（1）班有学生a人，其中男生有27人，女生有（）人。 3．商店运进n盒彩笔，共计20元，每盒彩笔（）元。 4．明明比红红大2岁，今年红红a岁了，今年明明（）岁。 5．7×x 或 x ×7可以写成（）或（），也可以简写成（）。 二、用含有字母的式子表示。 1． x页 y页 （1）两本字典一共有（）页。 （2）《现代汉语词典》比《新华字典》多（）页。 2．某小学买来54本语文练习本和60本数学练习本。 X 元 y元 买语文练习本花了多少元 买数学练习本花了多少元 各买一本花多少元 三、红红有a本课外书，亮亮比红红少7本，亮亮有（）本，他们俩一共有（） 本。 答案： 一、1. 5n 2. a-27 3. 20÷n +2 5. 7·x x·7 7x 二、1.(1) x+y (2)y-x 2. 54x 60y x+y
三、a-7 2a-7 用字母表示运算定律 一、填一填。 1．a+a+a 可以写成（ ）。 2．b ·b 可以写成（ ），读作b 的（ ）。 3．正方形的边长为a ，则c=（ ），s=（ ） 4．长方形的长是x ，宽是y ，则c=（ ），s=（ ）。 二、根据运算定律在下面的□里填上适当的数。 38+□=41+□ 59+62=□ +59 □+72=72+48 314+288+412=314+（□+□） （18+34）+66=18+（□+□） 三、用简便方法计算。 21+236+79 682+144+318 376+246+254 283+170+230+117 1．厨房的周长是（ ），面积是（ ）。 2．餐厅的周长是（ ），面积是（ ）。 3．整个平面图的周长是（ ），面积是（ ）。 x 答案： 一、1. 3a 2. 平方 3. 4a 4. 2(x+y) xy 二、41 38 62 48 288 412 34 66 三、336 1144 876 800 四、1. 2(x+y) xy 2. 4y 3. 2(x+2y) (x+y)y
线性方程组 1. 用消元法解方程组?????? ?=- +-+=-- + - =-+-+ =- -+-5 2522220 21 22325 4 321 53 2 154321 5 4321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . 解: 方程组的增广矩阵 : ????? ???????---------→????????????---------→????????????---------420200110100112430211321312630202530112430211321512522110112121111211321? ??? ????? ???--------→60000 0110100112430211321,可知,系数矩阵的秩为3,增广矩阵的秩为4,系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩,从而方程组无解. 2. 讨论λ为何值时,方程组??? ??=++ = + +=++2 3 2 1 3 2 1 321 1 λλλλλx x x x x x x x x 有唯一解、无解和有无穷多解。 解：将方程组的增广矩阵进行初等行变换，变为行阶梯矩阵。 ()() ()()B A =??? ? ???? ? ?+------→→???? ????? ?→?? ??? ?????=22 2 2211210 1101 111 1 11111 1 1 1 111λλλλλλλ λλλ λλλλλλλ λλ λΛ于是，当2,1-≠λ时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于3，等于未知量的个数，此 时方程组有唯一解;2 )1(,21,213 321++-=+=++- =λλλλλx x x 当2-=λ时，系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，此时方程组无解； 当1=λ时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于1，小于未知量的个数，此时方程组有无穷多解，即3211x x x --=，其中32,x x 为自由未知量。
习题3 3-1．求下列齐次线性方程组的通解： （1）?? ? ??=--=--=+-087305302z y x z y x z y x . 解 对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??-----?→?????? ??-----=144072021 1873153211A )(000720211阶梯形矩阵B =???? ? ??-?→? ??? ?? ??-?→?0002720211)(000271021101行最简形矩阵C =????? ? ???→? ， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??? ?=+=+02702 11 z y z x ， 即 ??? ??? ?-=-=z y z x 272 11（其中z 是自由未知量）， 令1=z ，得到方程组的一个基础解系 T )1,2 7,211(-- =ξ, 所以，方程组的通解为
,)1,2 7,211(T k k -- =ξk 为任意常数． （2）??? ??=+++=+++=++++0 86530543207224321 432154321x x x x x x x x x x x x x . 解 对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??--?→?????? ??=21202014101072211086530543272211A )(7000014101072211阶梯形矩阵B =????? ??-?→? ???? ? ??-?→?70000141010211201 )(100000101001201行最简形矩阵C =???? ? ???→?， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??==+=++00 025 42431x x x x x x ， 即 ??? ??=-=--=025 4 2431x x x x x x （其中43,x x 是自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T ，得到方程组的一个基础解系 T )0,0,1,0,2(1-=ξ，T )0,1,0,1,1(2--=ξ， 所以，方程组的通解为
二元一次方程组练习题 班级 _______ 姓名 ________ 坐号 _______ 成绩 _______ 一、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在方程25x y +=中，用x 的代数式表示y ，得_______y =． 2. 若一个二元一次方程的一个解为21x y =??=-?，则这个方程可以是： （只要求写出一个） 3. 下列方程： ①213 y x - =； ②332x y +=； ③224x y -=； ④5()7()x y x y +=+；⑤223x =；⑥1 4x y +=．其中是二元一次方程的是 ． — 4. 若方程456m n m n x y -+-=是二元一次方程，则____m =，____n =． 5. 方程4320x y +=的所有非负整数解为： 6. 若23x y -=-，则52____x y -+=． 7. 若2(5212)3260x y x y +-++-=，则24____x y +=． 8. 有人问某男孩，有几个兄弟，几个姐妹，他回答说：“有几个兄弟就有几个姐妹．”再问他妹妹有几个兄弟，几个姐妹，她回答说：“我的兄弟是姐妹的2倍．”若设兄弟x 人，姐妹y 人，则可列出方程组： ． 9. 某次足球比赛的记分规则如下：胜一场得3分，平一场得1分，负一场是0分．某队踢了14场，其中负5场，共得19分。若设胜了x 场，平了y 场，则可列出方程组： ． 10. 分析下列方程组解的情况．
①方程组1 2x y x y +=??+=?的解 ；②方程组 1 222 x y x y +=?? +=?的解 ．新 课 标 一 ， 二、选择题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 用代入法解方程组124 y x x y =-??-=?时，代入正确的是（ ） Ａ．24x x --= B ．224x x --= Ｃ．224x x -+= Ｄ．24x x -+= 12. 已知10x y =-??=?和2 3x y =??=?都是方程y ax b =+的解，则a 和b 的值是 （ ） Ａ．1 1 a b =-??=-? Ｂ．11a b =??=? Ｃ．11a b =-??=? Ｄ． 11 a b =??=-? 13. 若方程组4314 (1)6x y kx k y +=??+-=?的解中x 与y 的值相等，则k 为（ ） Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．1 / 14. 已知方程组5354x y ax y +=??+=?和25 51x y x by -=??+=?有相同的解，则a ，b 的值为 （ ） Ａ．1 2a b =??=? Ｂ．46a b =-??=-? Ｃ．62a b =-??=? Ｄ．14 2a b =??=? 15. 已知二元一次方程30x y +=的一个解是x a y b =??=?，其中0a ≠，那么（ ） Ａ． 0b a > Ｂ．0b a = Ｃ．0b a < Ｄ．以上都不对 16. 如图1，宽为50 cm 的矩形图案 由10个全等的小长方形拼成，其中 一个小长方形的面积为（ ）
线性代数练习题 第四章 线性方程组 系 专业 班 姓名 学号 第一节 解线性方程组的消元法 一．选择题： 1．设A 是n m ?矩阵，b Ax =有解，则 [ C ] （A ）当b Ax =有唯一解时，n m = （B ）当b Ax =有无穷多解时，<)(A R m （C ）当b Ax =有唯一解时，=)(A R n （D ）当b Ax =有无穷多解时，0=Ax 只有零解 2．设A 是n m ?矩阵，如果n m <，则 [ C ] （A ）b Ax =必有无穷多解 （B ）b Ax =必有唯一解 （C ）0=Ax 必有非零解 （D ）0=Ax 必有唯一解 3．设A 是n m ?矩阵，齐次线性方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是)(A R [ D ] （A ）小于m （B ）小于n （C ）等于m （D ）等于n 二．填空题： 设????? ??-+=21232121a a A ，???? ? ??=031b ，????? ??=321x x x x （1）齐次线性方程组0=Ax 只有零解，则 31a a ≠≠-或 （2）非齐次线性方程组b Ax =无解，则a = 1=- 三．计算题： 1． 求解非齐次线性方程组?? ? ??=--+=+-+=+-+122241 2w z y x w z y x w z y x 21 3122211112111121001421120011000110211110002000020121122000 .2000r r r r r r y x x y y x z w z z w w w --+--?????? ? ? ?-???→-???→- ? ? ? ? ? ?----?????? -?=?+==-????? -=∴==??????-===??? ? 或
中考数学复习专题一元一次不等式组 一、选择题： 1、已知甲、乙两人的年收入之比为3：2，年支出之比为7：4，年终时两人各余400元，若设甲的年收入为x 元，年支出为y元，则可列方程组为 ( ) A. 2、小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯，小锦买了20支笔和2盒笔芯，用了56元；小丽买了2支笔和3盒笔芯，仅用了28元．设每支中性笔x元和每盒笔芯y元，根据题意列方程组正确的是（） A． B． C． D． 3、为处理甲、乙两种积压服装，商场决定打折销售，已知甲、乙两种服装的原单价共为880元，现将甲服装打八折，乙服装打七五折，结果两种服装的单价共为684元，则甲、乙两种服装的原单价分别是（） A.400元，480元 B.480元，400元 C.560元，320元 D.320元，560元 4、为了研究吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地抽查了10000人，并进行统计分析．结果显示：在吸烟者中患肺癌的比例是2.5%，在不吸烟者中患肺癌的比例是0.5%，吸烟者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多22人．如果设这10000人中，吸烟者患肺癌的人数为x，不吸烟者患肺癌的人数为y，根据题意，下面列出的方程组正确的是（） A. B. C. D. 5、已知，用含x的代数式表示y正确的是（） A. B. C. D. 6、方程5x+2y=﹣9与下列方程构成的方程组的解为的是（） A．x+2y=1 B．3x+2y=﹣8 C．5x+4y=﹣3 D．3x﹣4y=﹣8 7、方程的正整数解有（） A.一解 B.二解 C.三解 D.无解 8、如果方程组的解使代数式kx＋2y－3z的值为8，则k=（） A. B. C.3 D.－3 9、若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＜2，则a的取值范围是（） A．a＞2 B．a＜2 C．a＞4 D．a＜4 10、若2x+5y+4z=0,4x+y+2z=0，则x+y+z的值等于（） A.0 B.1 C.2 D.不能求出.
课程名称： 工程数学 考试章节： 线性方程组 考生姓名： 一、单选（每题3分，共30分） 1. 1、向量组 ， ， 线性相关，且秩为 ，则（ ） A.s r = B ．s r ≤ C.r s ≤ D ．r s < 2. 已知向量T T )0,3,4, 1(23,)1,2,2,1(2--=β+α---=β+α，则=β+α（ ） A ．T )1,1,2,0(-- B ．T )1,1,0,2(-- C ．T )0,2,1,1(-- D ．T )1,5,6,2(--- 3. 下列命题中错误的是（ ） A.只含有一个零向量的向量组线性相关 B.由3个2维向量组成的向量组线性相关 C.由一个非零向量组成的向量组线性相关 D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关 4. 设α1、α2是非齐次线性方程组Ax=b 的解，β是对应齐次方程组Ax=0的解，则Ax=b 必有一个解是（ ） A. 21α+α B. 21α-α C. 21α+α+β D. 213 231α+α+β 5. 对于同一矩阵,关于非齐次线性方程组 ()和齐次线性方程组, 下列说法中正确的是( ) A. 无非零解时, 无解 B.有无穷多解时,有无穷多解 C.无解时, 无非零解 D. 有唯一解时, 只有零解 6. 设21,αα是? ? ?=-=-+021 21321x x x x x 的二个解，则__________。 A. 21αα-是???=-=-+02021321x x x x x 的解 B. 21αα+是???=-=-+0 20 21321x x x x x 的解 C. 12α是?? ?=-=-+02121321x x x x x 的解 D. 22α是? ??=-=-+021 21321x x x x x 的解 二、填空(35分) 1.设()0,2,11 =α,()3,0,12-=α,()4,3,23=α，则32132ααα-+=______________ 2. 设 ()0,0,11=α,()0,1,12=α,()1,1,13=α,()3,2,1=β，且有 332211αααβx x x ++=，则=1x ______，=2x ______，=3x ______ 3. 对于m 个方程n 个未知量的方程组0=AX ，若有r A r =)(，则方程组的基础解系中有 ________个解向量。 4. 已知A 是4×3矩阵，且线性方程组B AX =有唯一解，则增广矩阵A 的秩是_________。 三. 计算(20分) 1.(10分) 已知向量组[][][] 123= 1 01,=035,=237T T T ααα，则求该向量 组的秩和一个极大线性无关组。 2. (5分) 设1α=（1，2，4），2α=(-1,-2,y)且1α与2α线性相关，则求y 的值 A =Ax b ≠0b =0Ax =0Ax =Ax b =0Ax =Ax b =Ax b =0Ax =Ax b =0Ax
创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者： 别如克* 二元一次方程组专题训练 1、???=-=+33651643y x y x 2、???=+=-6251023x y x y 3、 ???=-=+15 725 32y x y x 4、???=+-=18435276t s t s 5、 ???=-=+574973p q q p 6、? ??=-=+426 34y x y x 7、???-=-=+22223n m n m 8、???=--=-495336y x y x 9、???=-=+195420 23b a b a 10、?? ?=-=-y x y x 23532 11、???=-=+1 245 32n m n m 12、 ? ? ?=+=+102325 56y x y x 13、???=+=+2.54.22.35.12y x y x 14、?????=-+-= +6 )(3)1(26 132y x x y x 15、?? ???=+--=-+-042 3513042 3512y x y x 16、?????=--= +-4 323122y x y x y x
17、?? ? ??-=-++=-+52251230223x y x y x 二元一次方程组练习题 一、选择题： 1．下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A ．3x －2y=4z B ．6xy+9=0 C ．1 x +4y=6 D ．4x= 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A ．2284 23119 (23754624) x y x y a b x B C D x y b c y x x y +=+=-=??=??? ? ? ?+=-==-=???? 3．二元一次方程5a －11b=21 （ ） A ．有且只有一解 B ．有无数解 C ．无解 D ．有且只有两解 4．方程y=1－x 与3x+2y=5的公共解是（ ） A ．3 333 (2422) x x x x B C D y y y y ==-==-????? ? ? ? ===-=-???? 5．若│x －2│+（3y+2）2=0，则的值是（ ） A ．－1 B ．－2 C ．－3 D ． 32 6．方程组43235 x y k x y -=??+=?的解与x 与y 的值相等，则k 等于（ ） 7．下列各式，属于二元一次方程的个数有（ ） ①xy+2x －y=7； ②4x+1=x －y ； ③ 1 x +y=5； ④x=y ； ⑤x 2－y 2=2 ⑥6x －2y ⑦x+y+z=1 ⑧y （y －1）=2y 2－y 2+x A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．某年级学生共有246人，其中男生人数y 比女生人数x 的2倍少2人，?则下面所列的方程组中符合题意的有（ ） A ．246246216246 (22222222) x y x y x y x y B C D y x x y y x y x +=+=+=+=????? ? ? ? =-=+=+=+???? 二、填空题 9．已知方程2x+3y －4=0，用含x 的代数式表示y 为：y=_______；用含y 的代数式表示x 为：x=________． 10．在二元一次方程－ 1 2 x+3y=2中，当x=4时，y=_______；当y=－1时，x=______． 11．若x 3m － 3－2y n － 1=5是二元一次方程，则m=_____，n=______． 创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者： 别如克* 12．已知2, 3x y =-?? =? 是方程x －ky=1的解，那么k=_______． 13．已知│x －1│+（2y+1）2=0，且2x －ky=4，则k=_____． 14．二元一次方程x+y=5的正整数解有______________． 15．以5 7 x y =?? =?为解的一个二元一次方程是_________． 16．已知23 16x mx y y x ny =-=???? =--=?? 是方程组的解，则m=_______，n=______．
1．设向量组123,,ααα线性无关，向量1β可由123,,ααα线性表示，而向量2β不能由123,,ααα线性表示，则对于任意常数k ,必有（ ）A (A) 12312,,,k αααββ+线性无关； （B ）12312,,,k αααββ+线性相关; ( C) 12312,,,k αααββ+线性无关； (D) 12312,,,k αααββ+线性相关 2．n 维向量组)1(,,,21n s s ≤≤ααα 线性无关的充要条件是 （ D ） (A) 存在一组不全为零的s k k k ,,21 ,使得02211=+++s s k k k ααα (B) s ααα ,,21 中的任何两个向量都线性无关 (C) s ααα ,,21 中存在一个向量，它不能被其余向量线性表示 (D) s ααα ,,21 中的任何一个向量都不能被其余向量线性表示 3. （1）若两个向量组等价，则它们所含向量的个数相同； （2）若向量组}{21r ααα，，， 线性无关，1+r α可由r ααα ,21,线性表出，则向量组}{121+r ααα，，， 也线性无关； （3）设}{21r ααα，，， 线性无关，则}{121-r ααα，，， 也线性无关； （4）}{21r ααα，，， 线性相关，则r α一定可由121,-r ααα ，线性表出；以上说法正确的有（ A ）个。 A .1 个 B .2 个 C ．3 个 D .4个 4．向量组A :12,,,n ααα 与B :12,,,m βββ 等价的充要条件为（ C ）. A .()()R A R B =； B .()R A n =且()R B m =； C ．()()(,)R A R B R A B ==； D .m n = 5．讨论a ，b 取什么值时，下面方程组有解，对有解的情形，求出一般解。 1234123423412341322235433x x x x x x x x a x x x x x x x b +++=??+++=??++=??+++=?。 答案：a ＝0，b ＝2有解；其他无解。 (-2,3,0,0)’+k1(1,-2,1,0)’+k2(1,-2,0,1)’ 6．试就k 的取值情况讨论以下线性方程组的解,并在有无穷的解时求出通解:
二元一次方程组专题训练 1、3x 4y 16 5x 6y 33 3y 2x 10 5y 2x 6 2x 3y 5 2x 7y 15 一一2x v 1.5 13、14 3.2x 2.4y 5.2 2 3 6 2(x 1) 3(x y) 6 4、6S 275t 5、3p7q964x 3y 6 、 3s 4t184q7p52x y 4 2x 1 3y 2 门0 15、5 4 3x 1 3y 2 0 5 416 2x y 1 x y 2 3 2x 3y 4 3m 2n 7、286x 、 3y 393a 2b 20 、 2m n25x9y 44a5b19 2x 3y 5 3x 2y 1 1 3x2y 2 0 17、3x 2y12x2 55 2m3n 5126x 、 5y25 4m2n 13x2y10 10、
二元一次方程组练习题 、选择题: 1下列方程中，是二元一次方程的是（ ） 1 A . 3x — 2y=4z B . 6xy+9=0 C . +4y=6 x 2.下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） x y 4 2a 3b 11 2 c x 9 A . B. C. 2x 3y 7 5b 4c 6 y 2x x y 8 x 2 y 4 x 3 x 3 A . B. y 2 y 4 5.若| x — 2 + (3y+2) 2=0, 则的值是（ A . —1 B . — 2 C . 3.二元一次方程 5a — 11b=21 （） A .有且只有一解 B .有无数解 4 .方程y=1 — x 与3x+2y=5的公共解是（ C . 无解 D .有且只有两解 ) x 3 x 3 C. D y 2 y 2 ) 3 —3 D — 2 4x 3 y k 6 .方程组 的解与x 与y 的值相等，则k 等于（） 2x 3y 5 7.下列各式，属于二兀 次方程的个数有（ ) ① xy+2x — y=7 ; ② 4x+1=x — y ; 1 ③一+y=5 ; x ④ x=y ; ⑤x 2- y 2=2 ⑥ 6x — 2y ⑦x+y+z=1 ⑧y (y — 1): =2y 2— y 2+x A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 &某年级学生共有 246人，其中男生人数 :y 比女生人数 x 的2倍少 2人， ?则下面所列的方程 组中符合题意的有（ ) x y 246 x y 246 x y 216 x y 246 A . B. C. D. 2y x 2 2x y 2 y 2x 2 2y x 2 二、填空题 9.已知方程2x+3y — 4=0 ,用含x 的代数式表示y 为：y= __________ ;用含y 的代数式表示x 为: x= _______ . 10.在二元一次方程— —x+3y=2 中，当 x=4 时，y= 2 ;当 y= — 1 时，x= _____ 11. __________________________________________ 若 x 3m 3— 2y n 1=5 是二元一次方程，则 m= , n= ___________________________________________ . x 2 12. 已知 _________________________________ '是方程x — ky=1的解，那么k= . y 3 13. 已知 |x — 1 | + （2y+1 ） 2=0,且 2x — ky=4，贝U k= ___ . 14. 二元一次方程 x+y=5的正整数解有 _________________ . x 5 15. 以__________________________________ 为解的一个二元一次方程是 . y 7 16. 已知 ％ 2 是方程组 mx y 3的解，贝V m= ______________ , n= ______ . y 1 x ny 6 三、解答题 17. 当y= — 3时，二元一次方程 3x+5y= — 3和3y — 2ax=a+2 （关于x , y 的方程）？有相同的 解， 求a 的值. 18 .如果（a — 2） x+ （b+1） y=13是关于x , y 的二元一次方程，则 a , b 满足什么条件?
线性方程组求解 习题课
一、给定方程组123211*********x x x -???????????? =? ???????????-?????? 试考察用Jacobi 迭代法和Seidel 迭代法求解的收敛性。 解：对Jacobi 迭代法，迭代矩阵为 -1J 00.50.5B =I-D A=1010.50.50-?? ??--?????? 因为3 5 04 J I B λλλ-=+=，得特征值 1230,,22i i λλλ===- 得( )12J B ρ=> ，由定理知 Jacobi 迭代法发散。 对Seidel 迭代法，迭代矩阵为 ()1 S B D L U -=-=1 20001100.50.511000100.50.5112000000.5---?????? ??????-=--?? ??????????--?? ???? 显然，其特征值为1230,0.5λλλ===-
故()0.51s B ρ=<，由定理知Seidel 迭代法收敛。 二、设线性方程组111211212222a a x b a a x b ?????? = ??? ??????? ，11220a a ≠， 112221120a a a a -≠。证明：解线性方程组的Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法同时收敛或不收敛。 证明： 121 1111 122221 21 22 0000 00J a a a a B a a a a -??- ?-???? ?== ? ? ?-????- ??? ()2 1221 1122det J a a I B a a λλ-=-，故( )J B λ= ( )J B ρ= 。 1211111 1221 2212211122000000S a a a a B a a a a a a -??- ?-???? ?== ? ? ????? ?? ?
1．(20XX年安徽芜湖)方程组2x＋3y＝7，x－3y＝8的解为________________．2．(20XX年湖南长沙)若实数a，b满足|3a－1|＋b2＝0，则ab的值为______． 3．已知x，y满足方程组2x＋y＝5，x＋2y＝4，则x－y的值为_____________．4．(20XX年山东潍坊)方程组5x－2y－4＝0，x＋y－5＝0的解是__________． 5．(20XX年贵州安顺)以方程组y＝x＋1，y＝－x＋2的解为坐标的点(x，y)在第____象限．6．(20XX年江苏南通)甲种电影票每张20元，乙种电影票每张15元，若购买甲、乙两种电影票共40张，恰好用去700元，则甲种电影票买了____张． 7．已知x＝2，y＝1是关于x，y的二元一次方程组ax＋by＝7，ax－by＝1的解，则a－b 的值为() A．1 B．－1 C．2 D．3 8．(20XX年山东临沂)关于x，y的方程组3x－y＝m，x＋my＝n的解是x＝1，y＝1，则m －n的值是() A．5 B．3 C．2 D．1 9．(20XX年四川凉山州)雅西高速公路于20XX年4月29日正式通车，西昌到成都全长420千米，一辆小汽车和一辆客车同时从西昌、成都两地相向开出，经过2.5小时相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，设小汽车和客车的平均速度分别为x千米/小时和y千米/小时，则下列方程组正确的是() A.x＋y＝70，2.5x＋2.5y＝420 B.x－y＝70，2.5x＋2.5y＝420 C.x＋y＝70，2.5x－2.5y＝420 D.2.5x＋2.5y＝420，2.5x－2.5y＝70 10．(20XX年山东日照)解方程组：x－2y＝3，3x－8y＝13. 11．已知x＝1，y＝－2是关于x，y的二元一次方程组ax＋by＝1，x－by＝3的解，求a，b的值． 12．(20XX年江苏苏州)我国是一个淡水资源严重缺乏的国家，有关数据显示，中国人均淡水资源占有量仅为美国人均淡水资源占有量的15，中、美两国人均淡水资源占有量之和为13 800 m3，问中、美两国人均淡水资源占有量各为多少(单位：m3)? 13．(20XX年湖南衡阳)李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18 000元，其中甲种蔬菜每亩获利2 000元，乙种蔬菜每亩获利1 500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩(注：亩为面积单位)?
线性方程组练习题 §1 向量的线性关系 1．判断下列向量组是否线性无关： （1）????? ??-11 2，????? ??-840，????? ??-311； （2）??????? ??01014，??????? ??1521，??????? ??1202，?????? ? ??7024。 2．讨论下面向量组的线性相关性： ???????? ??12211，???????? ??-15120，???????? ??-141b a 。 3．设????? ??=1111a ，????? ??=3211a ，???? ? ??=t 311a 。 （1）问当t 为何值时，321,,a a a 线性相关？ （2）问当t 为何值时，321,,a a a 线性无关？ （3）当321,,a a a 线性相关时，问3a 是否可以由1a ，2a 线性表示？若能，写出具体表达式。 4．设有向量组 ??????? ??+=11111t a ，??????? ??+=22222t a ，??????? ??+=33333t a ，?????? ? ??+=t 44444a 。 问：（1）当t 为何值时，4321,,,a a a a 线性相关？ （2）当t 为何值时，4321,,,a a a a 线性无关？ 5．设321,,a a a 线性无关，问当参数l ，m 满足何种关系时，12a a -l ，23a a -m ，31a a -也线性无关？ 6．设m a a a ,,,21 线性无关，作 211a a b +=，322a a b +=，…，m m m a a b +=--11，1a a b +=m m 。 判别m b b b ,,,21 的线性相关性。 7．设21,a a 线性无关，b a b a ++21,线性相关，问b 能否由21,a a 线性表示？ 8．设321,,a a a 线性相关，432,,a a a 线性无关。问： （1）1a 能否由32,a a 线性表示； （2）4a 能否由321,,a a a 线性表示。 9．若T k k ),,0(2=b 能由T k )1,1,1(1+=a ，T k )1,1,1(2+=a ，T k )1,1,1(3+=a 唯一
第八章 二元一次方程组 §8.1二元一次方程组 一、填空题 1、二元一次方程4x-3y=12，当x=0，1，2，3时，y=____ __。 2、在x+3y=3中，若用x 表示y ，则y=__ ___，用y 表示x ，则x=_ _____。 3、已知方程(k 2-1)x 2+(k+1)x+(k-7)y=k+2，当k=______时，方程为一元一次方程；当k=______时，方程为二元一次方程。 4、对二元一次方程2(5-x)-3(y-2)=10，当x=0时，则y=___ ___；当y=0时，则x=__ ____。 5、方程2x+y=5的正整数解是___ ___。 6、若(4x-3)2+|2y+1|=0，则x+2=_____ _。 7、方程组???==+b xy a y x 的一个解为 ???==3 2y x ，那么这个方程组的另一个解是 。 8、若21=x 时，关于y x 、的二元一次方程组? ??=-=-212by x y ax 的解互为倒数，则=-b a 2 。 二、选择题 1、方程２ｘ－３ｙ＝５，ｘｙ＝3，33=+y x ，３ｘ－ｙ+２ｚ＝０，62=+y x 中是二元一次方程的有（ ）个。 Ａ、１ Ｂ、２ Ｃ、３ Ｄ、４ 2、方程2x+y=9在正整数范围内的解有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
3、与已知二元一次方程5x-y=2组成的方程组有无数多个解的方程是（ ） A 、10x+2y=4 B 、4x-y=7 C 、20x-4y=3 D 、15x-3y=6 4、若是m y x 25与2214-++n m n y x 同类项，则n m -2的值为 （ ） A 、1 B 、－1 C 、－3 D 、以上答案都不对 5、在方程(k 2-4)x 2+(2-3k)x+(k+1)y+3k=0中，若此方程为二元一次方程，则k 值为（ ） A 、2 B 、-2 C 、2或-2 D 、以上答案都不对． 6、若???-==1 2y x 是二元一次方程组的解，则这个方程组是（ ） A 、?? ?=+=-5253y x y x B 、???=--=523x y x y C 、???=+=-152y x y x D 、???+==132y x y x 7、在方程3)(3)(2=--+x y y x 中，用含x 的代数式表示y ，则 （ ） A 、35-=x y B 、3--=x y C 、35+=x y D 、35--=x y 8、已知ｘ＝３－ｋ，ｙ＝ｋ＋２，则ｙ与ｘ的关系是（ ） Ａ、ｘ＋ｙ＝５ Ｂ、ｘ＋ｙ＝１ Ｃ、ｘ－ｙ＝１ Ｄ、ｙ＝ｘ－１ 9、下列说法正确的是（ ） Ａ、二元一次方程只有一个解 Ｂ、二元一次方程组有无数个解 Ｃ、二元一次方程组的解必是它所含的二元一次方程的解 Ｄ、三元一次方程组一定由三个三元一次方程组成 10、若方程组? ??=+=+16156653y x y x 的解也是方程３ｘ＋ｋｙ＝１０的解，则ｋ的值是（ ） Ａ、ｋ＝６ Ｂ、ｋ＝１０ Ｃ、ｋ＝９ Ｄ、ｋ＝101
《线性代数》第三章练习题 一、思考题 1、设有线性方程组b AX =，其中A 为n 阶方阵，j A 为A 中第j 列元素换为b 所得行列式的值，判断下列命题是否正确？ （1）若0≠A ，则b AX =有唯一解； （2）若0=A ，且至少有一)1(0n j A j ≤≤≠，则b AX =无解； （3）若0=A ，且),,2,1(0n j A j ==，则b AX =有无穷多解。 2、判断下列命题是否正确？其中A 为n m ?矩阵。 （1）非齐次线性方程组b AX =，当n m <时，有无穷多解；当n m =时，有唯一解；当n m >时，无解； （2）齐次线性方程组0=AX ，当n m <时，必有非零解； （3）非齐次线性方程组b AX =，当m A r =)(时，必相容。 3、设向量组4321,,,αααα线性无关，判断向量组14433221,,,αααααααα++++是否也线性无关。 4、判断下列命题是否正确？ （1）若向量组m ααα,,,21 线性相关，则存在全不为零的数m k k k ,,,21 ，使得 02211=+++m m k k k ααα ； （2）若向量组m ααα,,,21 线性相关，且有02211=+++m m k k k ααα ，则 m k k k ,,,21 必不全为零； (3)若当数021====m k k k 时，02211=+++m m k k k ααα ，则向量组m ααα,,,21 线性无关； （4）若02211=+++m m k k k ααα ，必有021====m k k k ，则向量组m ααα,,,21 线性无关； （5）向量β不能由m ααα,,,21 表示，则βααα,,,,21m 线性无关； （6）若向量组m ααα,,,21 线性无关，则其中每一个向量都不能表示成其余向量的线性组合； （7）若向量组m ααα,,,21 线性无关，向量组s βββ,,,21 线性无关，则向量组 m ααα,,,21 ，s βββ,,,21 线性无关。 二、单项选择题 1. 设321,,X X X 是b AX =的三个特解，则下列哪个也是b AX =的解 （ ） （A ）332211X k X k X k ++； （B ）332211X k X k X k ++，1321=++k k k ； （C ）321)(X X X k ++ ； （D ） 32211)(X k X X k +-。 2．设321,,ξξξ是0=AX 的一组基础解系，则下列哪组也是0=AX 的一基础解系（ ） （A ）133221,,,ξξξξξξ+-； （B ）312321,,ξξξξξξ++-； （C ） 13321,ξξξξξ-++ ； （D ） 3121,,ξξξξ- 。 3．设A 是n 阶矩阵，并且0=A ，则A 的列向量中 （ ） （A ）必有一个向量为零向量 ； （B)必有两个向量的对应分量成比例； （C ）必有一个向量是其余向量的线性组合 ； （D ）任一向量是其余向量的线性组合。 4．如果4),,,(21=m r ααα ，则下列正确的是 （ ） （A ）如果 m ααα,,,21 的一个部分组线性无关 ，则该部分组包含的向量个数一定不超过4；
初二解方程组练习题及答案 1. 解： ① - ② 得： ∴ 把代入②得： ∴原方程组的解为： 2.． 解： ①×6得：2x+18y=③， ②×12得：12x-9y=-2④， ④×2+③得：x=-2． 代入①得： y=．所以原方程组的解为 3. 解： ． ①×2-②×3，得-11x＝33 ∴x＝-3， 把x＝-3代入①，得-15-6y＝9 ∴y＝-4，所以方程组的解是；
整理，得 ①×2+②，得11x＝22, ∴x＝2，， 把x＝2代入①，得8-y＝5， ∴y＝3，所以方程组的解是 4. 原方程组可化为： . ×2-×3得： -y=24， y=-24， 把y=-24代入得： 2x-72=48， 2x=120， x=60，∴. 5. 解：① 由①+②，得 x＝2 把x=2代入①，得 y=3.5 所以，原方程组的解为
. ② 整理得 由①－②，得 y=4.5 把y=4.5代入②，得 x=6 所以，原方程组的解为： 6.. 解：方程组的解为： ； 根据题意得： 解此方程得： ； 因为两个方程组有相同的解，所以联立方程组： 解得： 把 代入得： 解得： . 代入得： 解得： 7.
由①得，y=2x-5③， 把③代入②得，7x-3=20， 解得x=5， 把x=5代入③得，y=5， ∴原方程组的解为； 原方程组可化为①-②得，25y=10，，解得，把代入①得，x=0，∴原方程组的解为 8. . 二元一次方程组的解法 1.二元一次方程的概念：含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做 二元一次方程。 ? x?y?2，? ? y?z?3?x?y??2，? ?1x??3?y? 例 1.下列方程组中，哪些是二元一次方程组_______________ ?x?y?5， ? ?xy?6 ?a?b?7，?
初一下册青岛版数学解方程练习题 1．（每题5分，共10分）解方程组： （1）? ? ?=+=-1732623y x y x ； （2 2．解方程组 ?? ? ??=-+=++=++1232721323z y x z y x z y x 3．解方程组： （1）3 3(1)0 2 2(3)2(1)10x y x y -?--=???---=? （2）04239328a b c a b c a b c -+=??++=??-+=? 4．解方程(组) （1）3221+= --x x x （2）? ??-=+=+12332)13(2y x y x 5．???????=++-=+--3423 174 2 31y x y x 6．已知x ，y 是有理数，且（│x │－1）2+（2y+1）2=0，则x －y 的值是多少？ 7．二元一次方程组437 (1)3 x y kx k y +=??+-=?的解x ，y 的值相 等，求k ． 8．．当y=－3时，二元一次方程3x+5y=－3和3y －2ax=a+2（关于x ，y 的方程）?有相同的解，求a 的值．
9．?? ? ??=---=+-=+-．441454y x z x z y z y x 10．若4 2x y =?? =? 是二元一次方程ax －by=8和ax+2by=－4 的公共解，求2a －b 的值． 11．解下列方程： （1）． （2） （3） （4）?? ? ??=-+=+-=+321236z -y x z y x z y x 12．（开放题）是否存在整数m ，使关于x 的方程2x+9=2－（m －2）x 在整数范围内有解，你能找到几个m 的值？你能求出相应的x 的解吗？ 13．方程组25 28 x y x y +=?? -=?的解是否满足2x －y=8？满足2x －y=8的一对x ，y 的值是否是方程组25 28x y x y +=??-=? 的解？ 14．甲乙两车间生产一种产品，原计划两车间共生产300件产品，实际甲车间比原计划多生产10%，乙车间比原计划多生产20%，结果共生产了340件产品，问原计划甲、乙两车间各生产了多少件产品？ 15．（本题满分14分） （1）解方程组25211x y x y -=-??+=? ， （2） 解方程组 ? ??=-=+)2.(633) 1(,844y x y x 16．??? ??=++-=+--． 6)(2)(315 2y x y x y x y x