莆田一中2019-2020学年度下学期期末考试卷
高一 数学必修 2 . 5
一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）
1．圆1)2()2(:221=-++y x C 与圆16)5()2(22:2=-+-y x C 的位置关系是( ) A ．外离 B ．外切 C ． 相交 D ．内切
2．设a 、b 是两条不同的直线， αβ、是两个不同的平面，则下列四个命题：正确的是( )
A ．若,a b a α⊥⊥则//b α；
B ．若//,,a ααβ⊥则a β⊥；
C ．若,,a αββ⊥⊥则//a α
D ．若,,a b a b αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥ 3．已知两条直线01:1=-+y x l ，023:2=++ay x l 且21l l ⊥，则a =( )
A ．-3
B ．31-
C ． 3
1
D ．3
4．若函数y ＝f(x)的图像与函数y ＝3－2x 的图像关于坐标原点对称，则y ＝f(x)的表达式为( )
A ．y ＝－2x －3
B ．y ＝2x ＋3
C ．y ＝－2x ＋3
D ．y ＝2x －3 5．已知等差数列的前项和为，，4
20S ，则( )
A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且满足直线ax ＋by ＋2c ＝0与圆x 2
＋y 2
＝4相离，则△ABC 是( )
{}n a n n S 37a =10a =25323540
C'
A
B
C
D
B'D'
D
C
B
A
A ．钝角三角形
B ．锐角三角形
C ．直角三角形
D ．以上情况都有可能 7．如图：正三棱锥A BCD -中，40BAD ∠=?，侧棱2AB =，BD 平行于过点C 的截面α，则平面α与正三棱锥侧面交线的 周长的最小值为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．43
8．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且
OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为( )
A ．
)0,02
a b
ab a b +>>
B ．()2220,0+≥>>a b ab a b
C ．
)20,0ab
ab a b a b
>>+
D ．)22
0,02
2
a b
a b a b ++>> 9．已知A(－3, 0)，B(0, 4)，M 是圆C : x 2+y 2－4x=0上一个动点，则△MAB 的面积的最小值为( )
A ．4
B ．5
C ．10
D ．15
10．如图所示，某学习小组进行课外研究性学习，隔河可以看到对岸两目标A 、B ，现在岸边取相距4km 的C ，D 两点，测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，则两目标A ，B 间的距离为( )km.
85
B ．4153
C ．153
D ．5
11．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是( ) A ．平面平面 B ．异面直线与所成的角为 C ．二面角的大小为D ．在棱上存在点使得平面
12．如图，M ?N 分别是边长为1的正方形ABCD 的边BC ?CD 的中点，将正方形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，有以下结论： ①异面直线AC 与BD 所成的角为定值．
②存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直．
③存在某个位置，使得直线MN 与平面ABC 所成的角为45°．
④三棱锥
． 以上所有正确结论的有( )个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
二、填空题（共4个小题,每小题5分,共20分，请将答案填在答题卡上）
13.某学习小组,调查鲜花市场价格得知,购买2支玫瑰与1支康乃馨所需费用之和大于8元,而购买4支玫瑰与5支康乃馨所需费用之和小于22元.设购买2支玫瑰花所需费用为A 元,购买3支康乃馨所需费用为B 元,则A,B 的大小关系是
P ABCD -ABCD 60DAB ∠=?PAD PAD ⊥ABCD PAB ⊥PBC AD PB 60?P BC A --60?AD M AD ⊥PMB M ACN -2
.
14.已知圆的方程为，若过点的直线与此圆交于两点，圆心为，则当最小时，直线的一般方程为 .
15.已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点A 在底面的射影为底面△BCD 的中心）A BCD -的外接球， 3BC =
，AB =E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作圆O
的截面，则所得截面圆面积的取值范围是 .
16.圆C ：x 2＋y 2＝16，过点M (2，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，在x 轴正半轴上存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB,求出点N 的坐标 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分.请将答案填在答题卡上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本题共10分）已知直线l 在y 轴上的截距为2-，且垂直于直线210x y --=． （1）求直线l 的方程；（2）设直线l 与两坐标轴分别交于A 、B 两点，OAB 内接于圆
C ，求圆C 的方程．
18.（本题共12分）已知在数列中，为其前项和，且，数列为等比数列，公比，，且，，成等差数列．
（1）求与的通项公式；（2）令，求的前项和． 19.（本题共12分）已知，，分别为三个内角，，的对边， 且.（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，的面积为，求的值．
()2
2
14x y +-=11,
2P ??
???
l ,A B C ACB ∠l {}n a n S n 2()n S n n *
=∈N {}
n b 1q >11b a =22b 4b 33b {}n a {}n b n
n n
a c
b =
{}n c n T
20.（本题共12分）如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，PA=AB=3，AD=1，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．
（1）当点E 为BC 的中点时， 证明EF//平面PAC ； （2）证明：无论点E 在边BC 的何处，都有PE ⊥AF ．
21.（本题共12分）如图，在Rt ABC ?中，4AB BC ==，点E 在线段AB 上，过点E 作
//EF BC 交AC 于点F ，将AEF ?沿EF 折起到PEF ?的位置（点A 与P 重合），使得
060PEB ∠=．（1）求证：⊥平面CB 平面EF PBE ；
（2）试问：当点E 在何处时，四棱锥P EFCB -的侧面PEB 的面积最大？并求此时四棱锥P EFCB -的体积及直线PC 与平面EFCB 所成角的正切值．
22．（本题共12分）已知圆C ：22:(3)(4)4C x y -+-=，直线1l 过定点(1,0)A . （1）若1l 与圆相切，求1l 的方程；
（2）若1l 与圆相交于,P Q 两点，线段PQ 的中点为M ，又1l 与2:220l x y ++=的交点为
N ，判断?AM AN 是否为定值.若是，求出定值；若不是，请说明理由.
莆田一中2019-2020学年度下学期期末高一数学考试参考答案
1-5 BDAAC 6-10 ABDBB 11-12 DC
13. A>B 14. 15. []24π,π 16. (8，0).
17．解：（1）设直线l 的方程为2y kx =-．∵直线210x y --=的斜率为
1
2
，所以直线l 的斜率2k =-．则直线l 的方程为22y x =--．
（2）设圆C 的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=．由于OAB 是直角三角形，
所以圆C 的圆心C 是线段AB 的中点，半径为
12AB ；由(1,0)A -，(0,2)B -得1,12C ??
-- ???
，
AB =
12212D
E
?-=-???-=-??
=，解得1D =，2E =，0F =．
则圆C 的一般方程为：2220x y x y +++=．
18．解：（1）∵，，∴，…3分，
，由于，∴，∴…6分
（2）由（1）得，，① 0324=--y x 111a S ==221(1)n n S S n n --=--21()n a n n *
=-∈N 234232b b b +=23232q q q +=1q >2q =12()n n b n -*=∈N 1212n n n c --=
012
1
135
21
2222n
n n T --=++++
∴，② ①②得， ∴…12分
19．解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得， 因为 ，所以，即 …4分 又，，所以. …6分
（Ⅱ）由已知， …8分 由余弦定理得 ，即，
即，又所以. …12分
20．解：（1）证明： 连结AC ，EF, ∵点E 、F 分别是边BC 、PB 的中点∴PBC ?中，
PC EF // ……3分.又，平面PAC EF ?PAC PC 平面? ……4分 ∴当点E 是BC 的中点时，EF//平面PAC ……6分
1231
11352321
2222
22
n n n n n T ---=++++
+-121122
22123
13222
222n n n n
n n T --+=+++
+
-=-1
23
662n n n T -+=-
<
（2）∵AB PA ⊥，PA=AB=3，点F 是PB 的中点∴等腰PAB ?中，PB AF ⊥，
又BC PA ⊥，BC AB ⊥且PA 和AB 是平面PAB 上两相交直线
∴BC ⊥平面PAB 又PAB AF 平面?.∴BC AF ⊥ …… 9分 又PB 和BC 是平面PBC 上两相交直线.∴PBC AF 面⊥ …… 11分 又PBC PE 平面? ∴PE AF ⊥
∴无论点E 在边BC 的何处，都有PE ⊥AF 成立． ……12分
21．解：（1）证明：∵//EF BC 且BC AB ⊥， ∴EF AB ⊥，即,EF BE EF PE ⊥⊥．又BE
PE E =，
∴EF ⊥平面PBE ，又?EF 平面CBEF ，⊥平面CB 平面EF PBE ……4分
（2）设,BE x PE y ==，则4x y +=．
∴21sin ()22
PEB x y S BE PE PEB xy ?+=
??∠=≤= 当且仅当2x y ==时，PEB S ?的面积最大，此时，2BE PE ==． ……6分 由（1）知EF ⊥平面PBE ，平面EFCB ⊥平面PBE ．
在平面PBE 中，作PO BE ⊥于O ，则PO ⊥平面EFCB ．即PO 为四棱锥P EFCB -的
高．又01
sin 602(24)2622
EFCB PO PE S =?=?
==?+?=．
∴1
63
P BCFE V -=?=……9分
∵01
cos60212
OE PE =?=?
=，∴1BO =，在Rt OBC ?中，
OC ==PO ⊥平面EFCB ，∴PCO ∠就是PC 与平面
EFCB 所成角．∴tan PO PCO OC ∠=
==
故直线PC 与平面EFCB 所成角的正切值为
17
， ……12分
22．解：（1）①若直线1l 的斜率不存在，即直线是1x =，符合题意 ……2分
②若直线1l 斜率存在，设直线1l 为(1)y k x =-，即kx y k 0--=．
由题意知，圆心（3，4）到已知直线1l的距离等于半径2
2 =，
解之得
3
4
k=．所求直线方程是1
x=，3430
x y
--=．……5分
（2）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,可设直线方程为kx y k0
--=
由
220
{
x y
kx y k
++=
--=
得
223
(,)
2121
k k
N
k k
-
-
++
．又直线CM与
1
l垂直，由{1
4(3)
y kx k
y x
k
=-
-=--
(也可以通过直线与圆联立消去y,得到
2222
1(286)8210.
+-+++++=（）x
k k k x k k
2
122
286 +=
1
++
+
k k
x x
k
而求出M坐标).得
22
22
4342 (,) 11
+++
++
k k k k M
k k
AM AN
?=
6
==为定值．故AM AN
?是定值，且为6．