2019-2020学年福建省莆田一中高二（上）第一次月考数学试卷1
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.在△ABC中，a=2,c=3,∠C=2π
3
，那么sin A等于()
A. √3
6B. √3
3
C. 1
3
D. 2
3
2.在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5=3，a8=8，则a12的值是()
A. 15
B. 30
C. 31
D. 64
3.公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11=16，则a5=()
A. 8
B. 2
C. 4
D. 1
4.如果a，b∈R，且ab<0那么下列不等式成立的是()
A. |a+b|>|a?b|
B. |a+b|<|a?b|
C. |a?b|<||a|?|b||
D. |a?b|<|a|+|b|
5.不等式x(x?a+1)>a的解集是{x|xa}，则()
A. a≥?1
B. a
C. a>?1
D. a∈R
6.若{a n}为等差数列，S n是其前n项的和，且S11=22
3π，{b n}为等比数列，b5?b7=π2
4
，则tan(a6?
b6)为()
A. √3
B. ±√3
C. √3
3D. ±√3
3
7.等比数列{a n}中，首项a1=8，公比q=1
2
，那么它的前5项和S5的值等于()
A. 15.5
B. 20
C. 15
D. 20.75
8.已知数列{a n}中，a n+1?a n=2，a3=?7，则a8+a9+a10=()
A. 12
B. 15
C. 18
D. 21
9.设x，y满足约束条件{x?y≤0,
x?2y≥?2,
x≥0,
则z=2x+y的最大值是()
A. 1
B. 6
C. 7
D. 8
10.若二次不等式x2+ax?3>0在区间[2,5]上有解，则a的取值范围是()
A. a>?22
5B. a
2
C. a≥?22
5
D. a≤?1
2
11.某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的
平均增长率为x，则()
A. x=a+b
2B. x≤a+b
2
C. x>a+b
2
D. x≥a+b
2
12. 已知数列{a n }，{b n }满足a 1=2，b 1=1，且{a n =34a n?1+1
4
b n?1+1
b n =14
a n?1+3
4
b n?1+1
(n ≥2)，令c n =a n +b n ，则数列{c n }的通项公式与数列{a n }的前n 项和公式Sn 分别为( )
A. 2n ?1;S n =?1
2n +
n 22
+n +1
B. 3n ?1;S n =?1
2n +
n 22
+n +1
C. 4n ?1;S n =?12n +n 2
2+n +1 D. 2n ?1;S n =12n +n 2
2+n +1 E. 3n ?1;S n =12n +n 2
2
+n +1 F. 4n ?1;S n =12n +n 2
2
+n +1 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若关于x 的不等式?1
2x 2+ax >?1的解集为{x|?1 15. 已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，a 3+a 8=5，则S 10= ______ ． 16. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =3×2n?1?2，则满足S n S 2n <1 10的n 的最小正整数为 ________． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 解关于x 的不等式：mx 2?(m +3)x ?1≥0(m ≤0)． 18. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a =5，cosB =4 5． (1)若c =6，求b 和sin A 的值； (2)若ccosA +acosC =3√5，求△ABC 的面积． 19. 某农场计划种植甲、乙两个品种的蔬菜，总面积不超过300亩，总成本不超过9万元．甲、乙 两种蔬菜的成本分别是每亩600元和每亩200元．假设种植这两个品种的蔬菜，能为该农场带来的收益分别为每亩0.3万元和每亩0.2万元．问该农场如何分配甲、乙两种蔬菜的种植面积，可 使农场的总收益最大，最大收益是多少万元？ 20.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a7=2a5?2，S5=4a4． (1)求数列{a n}的通项公式； (2)设b n=1?16 ，求{b n}的前n项和的最小值． a n a n+1 21.设数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1． (1)求{a n}的通项公式； (2)记b n=log2(a n+1)，求数列{b n?(a n+1)}的前n项和S n． )x+1， 22.已知函数f(x)=x2?(a+1 a x>?3恒成立， (1)若a>0，解关于x的不等式f(x)≤0；(2)若对于任意x∈(1,3)，f(x)+1 a 求a的取值范围． -------- 答案与解析 --------1.答案：B 解析： 【分析】 本题主要考查正弦定理的应用，直接利用正弦定理求出结果，属于基础题．【解答】 解：在△ABC中，a=2,c=3,∠C=2π 3 ， 则：a sinA =c sinC ， 解得：sinA=√3 3 ． 故选B． 2.答案：A 解析： 【分析】 本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，属于基础题． 利用等差数列的性质可得a4=1，结合a8=8，求出首项和公差即可得出．【解答】 解：设等差数列{a n}的公差为d， ∵a3+a4+a5=3，a8=8， ∴3a4=3，∴a4=1， 所以a1+3d=1，a1+7d=8， 联立解得a1=?17 4，d=7 4 ， 则a12=?17 4+7 4 ×11=15． 故选A． 3.答案：D 解析： 【分析】 本题考查等比数列的性质及等比数列通项公式，解题的关键是熟练掌握等比数列的性质．由题意结合等比数列的性质可得a7=4，由通项公式即可求得结果． 【解答】 解：数列{a n}为等比数列，各项都是正数，由a3·a11=a72=16， 可得a7=4， ∴a5=a7 q2=4 22 =1． 故选D． 4.答案：B 解析： 【分析】 本题考查不等式的性质，绝对值不等式， 依题意，得a，b异号，令a=3，b=?1，代入选项检验即可． 【解答】 解：由a，b∈R且ab<0，得a，b异号，令a=3，b=?1， 检验可得只有|a+b|<|a?b|成立， 故选B． 5.答案：A 解析：解：由x(x?a+1)>a， 得到x2?(a?1)x?a>0 分解因式得：(x+1)(x?a)>0， ∵解集为{x|xa}， ∴a≥?1． 故选A 把原不等式去括号，并移项合并，把不等式左边分解因式后，根据一元二次不等式取解集的方法，即可得到a的取值范围． 此题考查一元二次不等式解集的取法，考查了转化的数学思想，是一道基础题． 6.答案：C 解析：解：由{a n}为等差数列，S11=22 3 π， 则1 2(a1+a11)×11=22π 3 ， 即为11a6=22π 3，a6=2π 3 ， 又{b n}为等比数列，b5?b7=π2 4 ， 即有b62=π2 4 ， 即b6=±π 2 ， 则tan(a6?b6)=tan(2π 3?π 2 )=tanπ 6 =√3 3 ． 或tan(a6?b6)=tan(2π 3+π 2 )=tan7π 6 =√3 3 ． 故选：C． 运用等差数列的求和公式和等差中项，可得a6=2π 3，由等比数列的性质可得b6=±π 2 ，再由特殊角 的三角函数，即可得到结论． 本题考查等差数列和等比数列的性质和求和公式，考查三角函数的求值，属于中档题． 7.答案：A 解析： 【分析】 本题考查等比数列的前n项和公式的应用，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答． 等比数列{a n}中，由首项a1=8，公比q=1 2 ，利用等比数列的求和公式能求出{a n}前5项和S5的值．【解答】 解：等比数列{a n}中， 由首项a1=8，公比q=1 2 ， 所以S5=a1(1?q5) 1?q =8(1? 1 25 ) 1?1 2 =31 2 =15.5． 故选A． 8.答案：B 解析： 【分析】 本题考查等差数列的判定以及通项公式，是基础题． 由已知可判断{a n}是等差数列，且公差d=2，然后可求解．【解答】 解：由a n +1 ?a n=2得数列{a n}是等差数列，公差d=2， 所以a8+a9+a10==3a9=3(a3+6d)=3×(?7+12)=15．故选B． 9.答案：B 解析： 本题考查线性规划的简单应用，考查约束条件的可行域，判断目标函数的最优解是解题的关键． 画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最大值即可 【解答】 解：x ，y 满足约束条件{ x ?y ?0, x ?2y ??2,x ?0, 的可行域如图： 联立{x ?y =0x ?2y =?2 ，解得{x =2y =2，即A(2,2)， 当直线z =2x +y 过点A(2,2)时目标函数取最大值2×2+2=6． 故选B ． 10.答案：A 解析： 【分析】 本题主要考查构造函数、利用函数的性质求参数的范围问题． 【解答】 解：因为关于 x 的不等式 x 2+ax ?3>0在区间[2,5] 上有解， 所以原不等式等价于 a >3 x ?x 在区间 [2,5]上有解， 令 f (x )=3 x ?x ，显然在区间 [2,5]上是减函数， 所以 f ( x )?min = f (5)=3 5 —5=?22 5 ， 则实数a 的取值范围为 a > ?22 5， 故选A ． 解析： 【分析】本题考查的是函数模型的应用和基本不等式，属于基础题． 由题意可得A(1+x)2=A(1+a)(1+b)，由1+x =√(1+a)(1+b)≤1 2[(1+a)+(1+b)]即可得出答案． 【解答】解：依题意有A(1+x)2=A(1+a)(1+b)， ∴1+x =√(1+a)(1+b)≤1 2[(1+a)+(1+b)]=1+a+b 2 (当且仅当a =b 时取等号)，则x ≤ a+b 2 ， 故选B ． 12.答案：A 解析：解：由题设得a n +b n =(a n?1+b n?1)+2(n ≥2)，即c n =c n?1+2(n ≥2) 易知{c n }是首项为a 1+b 1=3，公差为2的等差数列，通项公式为c n =2n +1 解：由题设得a n ?b n =1 2(a n?1?b n?1)(n ≥2)，令d n =a n ?b n ，则d n =1 2d n?1(n ≥2)、 易知{d n }是首项为a 1?b 1=1，公比为1 2的等比数列，通项公式为d n =1 2n?1 由{a n +b n =2n +1a n ?b n =12 n?1 解得a n =12n +n +1 2， 求和得S n =?12n + n 22 +n +1 故选A ． 根据题意可求得c n =c n?1+2，进而根据等差数列的定义可推断出{c n }是首项为a 1+b 1=3，公差为2的等差数列，进而求得其通项公式． (令d n =a n ?b n ，则可知d n =1 2d n?1(n ≥2)进而推断出{d n }是首项为a 1?b 1=1，公比为1 2的等比数列，则其通项公式可求，进而根据a n ?b n 和a n +b n 的表达式，联立方程求得a n ，进而根据等差数列和等比数列的求和公式求得答案． 本小题主要考查等差数列，等比数列等基础知识，考查基本运算能力． 13.答案：1 2 解析：解：x 的不等式?1 2x 2+ax >?1的解集为{x|?1 2(?1+2)=12， 故答案为：1 2 利用不等式的解集与方程之间的关系转化为方程的根去求解． 本题主要考查一元二次不等式的解集问题，将不等式转化为方程是解决本题的关键．14.答案：?24 解析： 【分析】 本题考查等比数列的通项公式，是基础的计算题． 由等比中项的概念列式求得x值，进一步求出公比，则数列的第四项可求． 【解答】 解：∵x，3x+3，6x+6为等比数列的前三项， ∴(3x+3)2=x(6x+6)， 即x2+4x+3=0． 解得：x=?1或x=?3． 当x=?1时，数列前三项为：?1，0，0，不合题意； 当x=?3时，数列前三项为：?3，?6，?12． ∴公比为2，则数列的第四项为?24． 故答案为?24. 15.答案：25 解析：解：等差数列{a n}中， ∵a3+a8=a1+a10=5 ∴S10=10×(a1+a10) 2=10×5 2 =25． 故答案为：25． 根据等差数列{a n}的性质得出a3+a8=a1+a10，代入前n项和公式，计算即可． 本题考查了等差数列的应用问题，解题时利用等差数列的性质，结合前n项和公式，即可求出正确的答案，是基础题． 16.答案：4 解析： 【分析】 本题考查了数列递推关系、数列的函数特征和不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中 档题.代入不等式S n S2n <1 10 ，即可得出． 【解答】 解：S n=3×2n?1?2，不等式S n S 2n <1 10 ， 即：10×(3×2n?1?2)<3×22n?1?2， 化为：(2n)2?10×2n+12>0，解得2n<5?√13或2n>5+√13，取2n>5+√13，n=3时，不等式不成立，n=4时，不等式成立，因此n的最小值为4． 故答案为4． 17.答案：解：若m=0，则有3x+1≤0，解得x≤?1 3 ； 若m<0，∵△=(m+3)2+4m=m2+10m+9； (ⅰ)△<0，即?9 (ⅰ)△=0，即m=?9，解集为{x|x=1 3 }； m=?1，解集为{x|x=?1}； (ⅰ)△>0，即?1 2m ≤x≤m+3?√m2+10m+9 2m 综上，有m=0，解集为(?∞,?1 3 ]； ?1 2m ,m+3?√m2+10m+9 2m ]； m=?1，解集为{x|x=?1}m=?9，解集为{x|x=1 3 }； ?9 解析：对二次项系数m与0的关系讨论，以及判别式与0的关系讨论，解不等式．本题考查了不等式的解法，关键是讨论m，做到不重不漏；考查了分类讨论的思想．18.答案：解：(1)在△ABC中，由余弦定理， 得b2=a2+c2?2accosB=25+36?2×5×6×4 5 =13， 所以b=√13； 又sinB=√1?cos2B=√1?16 25=3 5 ； 由正弦定理a sinA =b sinB ，得sinA=asinB b =3√13 13 ； 所以b的值为√13，sin A的值为3√13 13 ； (2)由余弦定理知c?b2+c2?a2 2bc +a?a2+b2?c2 2ab =b=3√5； 由余弦定理知b2=a2+c2?2accosB，所以45=25+c2?2×5×c×4 5 ， 解得c =10或c =?2(舍去)； ∴△ABC 的面积S =1 2acsinB =1 2×5×10×3 5=15． 解析：(1)由余弦定理和正弦定理求得b 、sin A 的值； (2)由余弦定理求得c 的值，再计算△ABC 的面积． 本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角函数面积计算问题，是基础题． 19.答案：解：设甲、乙两种蔬菜的种植面积分别为x ，y 亩，农场的总收益为z 万元，则…(1分) {x +y ≤300 0.06x +0.02y ≤9x ≥0,y ≥0 …①…(5分) 目标函数为z =0.3x +0.2y ，…(6分) 不等式组①等价于{x +y ≤300 3x +y ≤450x ≥0,y ≥0 可行域如图所示，…(9分) 当目标函数对应的直线经过点M 时， 目标函数z 取最大值．…(10分) 解方程组{x +y =300 3x +y =450 得M 的坐标(75,225)…(12分) 所以z max =0.3×75+0.2×225=67.5.…(13分) 答：分别种植甲乙两种蔬菜75亩和225亩，可使农场的总收益最大，最大收益为67.5万元． …(14分) 解析：设甲、乙两种蔬菜的种植面积分别为x ，y 亩，农场的总收益为z 万元，建立目标函数和约束条件，利用线性规划进行求解即可． 本题主要考查线性规划的应用问题，根据条件建立约束条件，利用数形结合是解决本题的关键． 20.答案：解：(1)设d 为等差数列{a n }的公差， ∵由题知{2a 1+6d =2a 1+8d ?25a 1+10d =4a 1+12d ， ∴a 1=2,d =1， ∴a n =n +1； (2)∵b n =1?16 (n+1)(n+2)=1?16(1 n+1?1 n+2)， ∴{b n }的前n 项和为： ∴S n =n ?16(12 ?13 +13 ?14 +?+ 1n+1 ? 1 n+2 )， =n ?8+16 n+2， =n +2+16 n+2?10， ≥2√(n +2)·16n+2?10=?2， ∵n +2+16 n+2≥8，当且仅当n =2时等号成立， ∴{b n }的前n 项和的最小值为?2． 解析：本题考查了等差数列的通项公式，以及利用裂项相消法求数列的和的应用． (1)根据条件，利用等差数列的通项公式，得到{2a 1+6d =2a 1+8d ?2 5a 1+10d =4a 1+12d ，得到首项和公差，从而得 到数列的通项公式； (2)根据题意，得到b n =1?16(1 n+1?1 n+2)，利用裂项相消法，得到数列的前n 项和，结合基本不等式，得到结果． 21.答案：解：(1)由a n+1=2a n +1可得(a n+1+1)=2 (a n +1)， ∵a 1+1=2≠0，∴a n +1≠0， ∴ a n+1+1a n +1 =2， ∴{a n +1}是以2为公比，2为首项的等比数列， ∴a n +1=2n ， 则a n =2n ?1； (2)由(1)知 ， ∴b n (a n +1)=n ·2n ， S n =1×21+2×22+?…+n ×2n ， 则2S n =1×22+2×23+?…+n ×2n+1， 两式相减得?S n =2+22 +? (2) ?n ×2n+1 =2·(2n ?1)2?1 ?n ·2n+1=(1?n)·2n+1?2， 所以S n =(n ?1)·2n+1+2． 解析：本题考查等比数列的判定及通项公式，考查利用错位相减法求和.属于中档题． (1)变形已知式子，得出{a n +1}是以2为公比、2为首项的等比数列，可得a n =2n ?1； (2)由(1)b n (a n +1)=n ·2n ，由错位相减法可得S n ． 22.答案：解：(1)∵不等式f(x)=x 2?(a +1 a )x +1≤0，a >0，