第六章 非线性微分方程和稳定性
研究对象
二阶驻定方程组（自治系统）
??????
?==),(),(y x Y dt
dy y x X dt
dx
1 基本概念 1）稳定性 考虑方程组
),(x f x
t dt
d = （6.1） 其中 ????
?
??
??=n x x x
21x ，???
???????
?
??=dt
dx
dt dx dt dx dt d n 21x ，?
?????? ??=),,,;(),,,;(),,,;()(21212211n n n n x x x t f x x x t f x x x t f x f 。 总假设),(x f t 在D I ?上连续，且关于x 满足局部李普希兹条件，R I ?，区域
n
R D ?,00=),(t f ，∑==
n
i i
x
1
2x 。
如果对任意给定的0>ε，存在0)(>εδ（一般ε与0t 有关），使得当任一0x 满足
δ≤0x 时，方程组（6.1）满足初始条件00)(x x =t 的解)(t x ，均有εx <)(t 对一切0
t t ≥成立，则称方程组（6.1）的零解0=x 为稳定的。
如果方程组（6.1）的零解0=x 稳定，且存在这样的00>δ，使当00δ →)(lim t t x ，则称零解0=x 为渐近稳定的。 如果0=x 渐近稳定，且存在域0D ，当且仅当00D ∈?x 时满足初始条件00)(x x =t 的解均有0=+∞ →)(lim t t x ，则称域0D 为（渐近）稳定域或吸引域；如果稳定域为全空间，即 +∞=0δ，则称零解0=x 为全局渐近稳定的或简称全局稳定的。 当零解0=x 不是稳定时，称它为不稳定的。即就是说：如果对某个给定的0>ε，不论0>δ怎样小，总有一个0x 满足δx ≤0，使得由初始条件00)(x x =t 所确定的解)(t x ，至少存在某个01t t >使得εt =)(1x ，则称方程组（6.1）的零解0=x 为不稳定的。 注：非零解的稳定性可以通过平移变换后转化为零解稳定性问题来讨论。 2）相平面与轨线 考虑二阶非自治微分方程组 ),;(),;(?????? ?==y x t Y dt dy y x t X dt dx （6.2） 它的解)(),(t y y t x x ==在以y x t ,,为坐标的（欧氏）空间中决定了一条曲线，这条曲线称为积分曲线。 如果把时间t 当作参数，仅考虑y x ,为坐标的（欧氏）空间，此空间称为方程组（6.2）的相平面，若方程组是含三个以上未知函数的，则称为相空间。 在相平面（相空间）中方程组的解所确定的曲线称为轨线。 3）奇点与常点 如果方程组（6.2）是驻定方程组（或称为自治系统），即其右端函数不显含时间t 。此时（6.2）式变成 ),(),(?????? ?==y x Y dt dy y x X dt dx （6.3） 满足方程组? ??==0),(0),(y x Y y x X 的点*)*,(y x ，即满足0*)*,(*)*,(2 2=+y x Y y x X 的点，称为方 程组（6.3）的奇点（或平衡点），否则称为常点。 4）周期解、闭轨和极限环 平面自治系统（6.3）的周期解在相平面上对应的轨线称之为闭轨线，简称闭轨。 若在闭轨C 的充分小的邻域中， 除C 之外，再无其它闭轨，称C 为孤立闭轨。 如果在孤立闭轨C 的充分小的邻域中出发的非闭轨线，当+∞→t （或-∞→t ）都分别盘旋地趋于闭轨C ，则称它为系统（6.3）的极限环。极限环C 将平面分为两个区域：内 域和外域。 当极限环附近的轨线均正向(即+∞→t 时)趋近于它时，称此极限环为稳定的。如果轨线均负向(即-∞→t 时)趋近于此极限环时，则称它为不稳定的。当此极限环的一侧轨线正向趋近于它，而另一侧轨线负向趋近于它时，此极限环称为半稳定的。 5）李雅普诺夫(Liapunov)函数（V 函数） 考虑非线性的自治微分方程组 00 ==)()(f x f x dt d （6.4） 假设)(x f 在某区域A D ≤x :（A 为正常数）内具有连续一阶偏导数。设函数 ),,,()(21n x x x V V =x 在域A H D ≤≤x :1上具有连续偏导数，且0)(=0V ， a ）若在1D 上，恒有0)(≥x V ，则称函数)(x V 为常正的； b ）若在A H x D ≤≤<0:}{\10上，0)(>x V ，则称函数)(x V 为定正的； c ）若在1D 上，恒有0)(≤x V ，则称函数)(x V 为常负的； d ）若在A H x D ≤≤<0:}{\10上，0)( e ）若)(x V 在原点)0,,0,0( O 的任一邻域内既可取正值又可取负值，则称)(x V 为变 号函数。 常正、常负函数统称为常号函数；定正、定负函数统称为定号函数。以上定义的函数为 李雅普诺夫函数（V 函数）。 6）全导数 设函数)(x V 在原点O 的邻域内连续可微，把函数 dt dV ),,,(211n i n i i x x x f x V ∑=??= 称为)(x V 关于系统（6.4）的对时间t 的全导数，记为 ) 4.6(dt dV ，特别地，如果系统已明确 （或不易混淆），符号 ) 4.6(dt dV 的下标可略去。 2 基本理论与基本方法 1）平面系统的奇点分类 二维线性自治系统的一般形式为 ?????? ?+=+=dy cx dt dy by ax dt dx （6.5） 它的系数矩阵 ??? ? ??=d c b a A ， 其特征方程是 0)()(2=-++-=--bc ad d a d c b a λλλ λ。 将特征方程改写为 02=++q p λλ， 其中bc ad q d a p -==+-=-=A A det ),(tr 。 若0≠q ，)0,0(O 是（6.5）的唯一奇点，称)0,0(O 为初等奇点，0=q 时, 称)0,0(O 为高阶奇点。我们主要研究初等奇点的性态。 定理 6.1 对于系统（6.5），当0≠-== bc ad d c b a q 时，)0,0(O 是它的唯一初等奇 点（简称为奇点），21,λλ为矩阵??? ? ??=d c b a A 的不为零的特征根，则可以根据特征根的不同情况将奇点)0,0(O 分为以下类型： a ）若21λλ≠都是实数，且021>λλ，则当0,021<<λλ时，)0,0(O 为稳定结点； 当0,021>>λλ时，)0,0(O 为不稳定结点。 b ）若21λλ≠都是实数，且021<λλ，则)0,0(O 为鞍点。 c ）若21λλ=，则当021<=λλ时，)0,0(O 为稳定奇结点或退化结点，当0 21>=λλ时，)0,0(O 为不稳定奇结点或退化结点。 d ）21,λλ为一对共轭复根，则 当0Re 1<λ时，)0,0(O 为稳定焦点；当0Re 1>λ时，)0,0(O 为不稳定焦点；当 0Re 1=λ时，)0,0(O 为中心。 注：奇结点（也称临界结点）是它周围的轨线均沿确定的方向趋于（或远离）它，且不同轨线切向也异。若特征根21λλ=的初等因子的次数为1，则对应临界结点，初等因子的次数为2，则对应退化结点。 定理6.2 设)0,0(O 为方程组 ?????? ?++=++=),(),(y x Y dy cx dt dy y x X by ax dt dx （6.6） 的孤立奇点，若),(y x X ，),(y x Y 满足条件 )a 在奇点)0,0(O 的邻域内有连续的一阶偏导数； )b )(),(r o y x X =，)(),(r o y x Y =，22y x r += 。 则如果)0,0(O 是对应线性系统（6.5）的结点、焦点或鞍点，那么)0,0(O 也是非线性系统（6.6）的同类型奇点。 2）稳定性定理与方法 方法1常系数线性系统稳定性判定 一般地，n 维常系数线性微分方程组 Ax x =dt d （6.7） 其中A 为n 阶常数矩阵。 方程组（6.7）的特征方程为 0)λdet(=-E A （6.8） 。 定理6.3 若特征方程（6.8）的根均具有负实部，则方程组（6.7）的零解是渐近稳定的。若特征方程（6.8）具有正实部的根，则方程组（6.7）的零解是不稳定的。若特征方程（6.8）没有正实部的根，但有零根或具零实部的根，则方程组（6.7）的零解可能是稳定的也可能是不稳定的，这要看零根或具零实部的根其初等因子的次数是否等于1而定。 定理6.4 设给定常系数的n 次代数方程 0122110=+++++---n n n n n a λa λa λa λa 其中00>a ，作行列式,,2 3 01211a a a a a = ?=?,03 4 5 123 013a a a a a a a a =?, 1423 22 21 212301 0000-----?== ?n n n n n n n n a a a a a a a a a a a ，这里)(,0n i a i >?=。 那么，所给代数方程的一切根均有负实部的充分必要条件是下列不等式同时成立： 00>a ，01>?，02>?，, 01>?-n ，0>?n 。 注意：这是霍维兹（Hurwitz ）定理，用来判别代数方程根的实部是否均为负。 方法2 一次（线性）近似系统稳定性判定 若非线性微分方程组 )(x R Ax x +=dt d （6.9） 满足条件 0)(→x x R ，当0→x 时。 显然0=x 是方程组（6.9）的解。 方程组（6.9）对应的线性方程组 Ax x =dt d （6.7） 称为方程组（6.9）的一次近似系统（或线性近似系统）。 定理6.5 若特征方程（6.8）没有零根或零实部的根，则非线性方程组（6.9）的零解的稳定性与其线性近似系统（6.7）的零解的稳定性态一致。 这就是说，当特征方程（6.8）的根均具有负实部时方程组（6.9）的零解是渐近稳定的，而当特征方程具有正实部的根时，其零解是不稳定的。 方法3 李雅普诺夫第二方法（V 函数法） 不必求出方程组的解，而通过构造一个具有特殊性质的函数)(x V （李雅普诺夫函数或 V 函数）及其通过方程组的全导数 dt dV ) (x 的性质，来确定方程组解的稳定性。这种方法称为李雅普诺夫第二方法。以下两个定理是这个方法的具体实现。 定理6.6（李雅普诺夫稳定性定理） 对于微分方程组 )(x f x =dt d ，00=)(f （6.4） 如果有定正函数)(x V ，其通过（6.4）的全导数dt dV 为常负函数或恒等于零，则方程组 （6.4）的零解是稳定的； 如果有定正函数)(x V ，其通过（6.4）的全导数dt dV 为定负函数，则方程组（6.4）的零解是渐近稳定的； 如果存在函数)(x V 和某非负常数μ，而通过（6.4）的全导数 dt dV 可以表示为 )(x W V dt dV +=μ， 且当0=μ时W 为定正函数，而当0≠μ时W 为常正函数或恒等于零；又在0=x 的任意小邻域内都至少存在某个x ，使0)(>x V ，则方程组（6.4）的零解是不稳定的。 定理6.7 如果存在定正函数)(x V ，其通过（6.4）的全导数dt dV 为常负函数，但使得在 0) (=dt dV x 的点x 的集合中除零解之外并不包含方程组（6.4）的整条正半轨线，则方程组（6.4）的零解是渐近稳定的。 3）极限环存在性定理 定理6.8（庞加莱—班狄克生（bendixson ）环域定理） 对于二阶驻定微分方程组(6.3)， 设其右端函数Y X ,在相平面的某区域G 内有一阶连续偏导数。如果G 内存在有界的环形闭域D ，在其内不含有方程组（6.3）的奇点，而（6.3）的经过域D 上点的解)(),(t y y t x x ==，当0t t ≥（或0t t ≤）时不离开该域，则或者其本身是一个周期解（闭轨线），或者它按正向（或负向）趋近于D 内的某一周期解（闭轨线）。 定理 6.9（班狄克生准则）如果于G 内存在单连通域*D ，在其内函数 y Y x X ??+??不变号且在*D 内的任何子域上不恒等于零，则方程组（6.3）在域*D 内不存在任何闭轨，更不存在任何极限环。 定理6.10 对于林纳得（Lienerd ）方程组 ?????? ?-=-=)()(x g dt dy x F y dt dx （6.10） 其中dx x f x F x ? = )()(。假设 a ）)(x f 及)(x g 对一切x 连续，)(x g 满足局部利普希兹条件； b ）)(x f 为偶函数，0)0( c ）当±∞→x 时，±∞→)(x F ，)(x F 有唯一正零点a x =，且对a x ≥，)(x F 是 单调增加的， 那么，方程组（6.10）有唯一、稳定的极限环。 第二章：动力学系统的微分方程模型 利用计算机进行仿真时，一般情况下要给出系统的数学模型，因此有必要掌握一定的建立数学模型的方法。在动力学系统中，大多数情况下可以使用微分方程来表示系统的动态特性，也可以通过微分方程可以将原来的系统简化为状态方程或者差分方程模型等。在这一章中，重点介绍建系统动态问题的微分方程的基本理论和方法。 在实际工程中，一般把系统分为两种类型，一是连续系统；其数学模型一般是高阶微分方程；另一种是离散系统，它的数学模型是差分方程。 §2.1 动力学系统统基本元件 任何机械系统都是由机械元件组成的，在机械系统中有3种类型的基本机械元件：惯性元件、弹性元件和阻尼元件。 1 惯性元件：惯性元件是指具有质量或转动惯量的元件，惯量可以定义为使加速度（或角加速度）产生单位变化所需要的力（或力矩）。 惯量（质量）= ） 加速度（力（2 /) s m N 惯量（转动惯量）= ） 角加速度（力矩（2/) s rad m N ? 2 弹性元件：它在外力或外力偶作用下可以产生变形的元件，这种元件可以通过外力做功来储存能量。按变形性质可以分为线性元件和非线性元件，通常等效成一弹簧来表示。 对于线性弹簧元件，弹簧中所受到的力与位移成正比，比例常数为弹簧刚度k 。 x k F ?= 这里k 称为弹簧刚度，x ?是弹簧相对于原长的变形量，弹性力的方向总是指向弹 簧的原长位移，出了弹簧和受力之间是线性关系以外，还有所谓硬弹簧和软弹簧，它们的受力和弹簧变形之间的关系是一非线性关系。 3 阻尼元件：这种元件是以吸收能量以其它形式消耗能量，而不储存能量，可以形象的表示为一个活塞在一个充满流体介质的油缸中运动。阻尼力通常表示为： α x c R = 阻尼力的方向总是速度方向相反。当1=α，为线性阻尼模型。否则为非线性阻 尼模型。应注意当α等于偶数情况时，要将阻尼力表示为： ||1--=αx x c R 这里的“-”表示与速度方向相反 第五章微分方程建模案例 微分方程作为数学科学的中心学科，已经有三百多年的发展历史，其解法和理论已日臻完善，可以为分析和求得方程的解（或数值解）提供足够的方法，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学涵。微分方程建模包括常微分方程建模、偏微分方程建模、差分方程建模及其各种类型的方程组建模。微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段，对于现实世界的变化，人们关注的往往是其变化速度、加速度以及所处位置随时间的发展规律，其规律一般可以用微分方程或方程组表示，微分方程建模适用的领域比较广，涉及到生活中的诸多行业，其中的连续模型适用于常微分方程和偏微分方程及其方程组建模，离散模型适用于差分方程及其方程组建模。本章主要介绍几个简单的用微分方程建立的模型，让读者一窥方程的应用。下面简要介绍利用方程知识建立数学模型的几种方法： 1．利用题目本身给出的或隐含的等量关系建立微分方程模型 这就需要我们仔细分析题目，明确题意，找出其中的等量关系，建立数学模 型。 例如在光学里面，旋转抛物面能将放在焦点处的光源经镜面反射后成为平行光线，为了证明具有这一性质的曲线只有抛物线，我们就是利用了题目中隐含的条件——入射角等于反射角来建立微分方程模型的。 2．从一些已知的基本定律或基本公式出发建立微分方程模型 我们要熟悉一些常用的基本定律、基本公式。例如从几何观点看，曲线 y y(x)上某点的切线斜率即函数y y(x)在该点的导数；力学中的牛顿第二运 动定律：F ma ，其中加速度a 就是位移对时间的二阶导数，也是速度对时间 的一阶导数等等。从这些知识出发我们可以建立相应的微分方程模型。 例如在动力学中，如何保证高空跳伞者的安全问题。对于高空下落的物体， 我们可以利用牛顿第二运动定律建立其微分方程模型， 设物体质量为m ，空气阻 力 系数为k ，在速度不太大的情况下，空气阻力近似与速度的平方成正比；设时 刻t 时物体的下落速度为v ，初始条件：v (o ) 0.由牛顿第二运动定律建立其微 分方程模型: 求解模型可得: 体在地面上的投影面积。根据极限速度求解式子，在m,, 一定时，要求落地速 度w 不是很大时，我们可以确定出s 来，从而设计出保证跳伞者安全的降落伞的 直径大小来 3?利用导数的定义建立微分方程模型 dv m 一 dt mg kv 2 ? k(exp[2t 由上式可知，当t 其中，阻力系数k 1) 时，物体具有极限速度: lim v t mg :k ， s ， 为与物体形状有关的常数, 为介质密度，s 为物 、mg(exp[2t 1) 带有时滞的动力系统的运动稳定性 分五部分内容，第一部分是Понтрягин定理，给出解实部、虚部的形式；第二部分分析了线性系统的一般性质、特征方程重根时解的表示和解的指数估计；第三部分讨论解的存在唯一性；第四部分探讨解的表达式；第五部分给出Фрид定理。以此说明特征方程根的实部的符号可以用以判断带有时滞的线性系统的稳定性。 直接法的基本定理 一、Понтрягин定理 要讨论的常系数线性系统的滞量τ为常数，所指的滞后型与中立型系统分别为1()()n i ij j ij j j x a x t b x t τ=??=+-??∑， 1 ()()()n i ij j ij j ij j j x a x t b x t c x t ττ=??=+-+-??∑，1,2, ,i n =0τ>， 这时，相应的特征方程分别是0ij ij ij a b e λτδλ-+-=， 0ij ij ij ij a b e c e λτλτλδλ--++-=。 对0τ=的情形0ij ij ij a b e λτδλ-+-=为一代数方程1 10n n n P P λλ -+++=。 在常微分方程解的稳定性理论中，关于特征方程()0P λ=的根的实部符号这样一个问题是极其重要的。如果给了方程组的平衡态之位置及其对应的特征多项式()P λ，则欲是平衡态的位置稳定，其充要条件是特征多项式()P λ的所有根都有负实部。 但是，现在的特征方程0ij ij ij a b e λτδλ-+-=，0ij ij ij ij a b e c e λτλτλδλ--++-=已不再是代数方程，可系统的稳定性仍然与特征根的分布紧紧联系在一起，这两个特征方程的一切根i λ都有0i Re λδ≤<时，系统 1()()n i ij j ij j j x a x t b x t τ=??=+-??∑， 1 ()()()n i ij j ij j ij j j x a x t b x t c x t ττ=??=+-+-??∑，1,2, ,i n =0τ> 第3章微分方程模型 3.1 微分方程模型的建模步骤 在自然科学以及工程、经济、医学、体育、生物、社会等学科中的许多系统，有时很难找到该系统有关变量之间的直接关系——函数表达式，但却容易找到这些变量和它们的微小增量或变化率之间的关系式，这时往往采用微分关系式来描述该系统——即建立微分方程模型。我们以一个例子来说明建立微分方程模型的基本步骤。 例1 某人的食量是10467（焦/天），其中5038（焦/天）用于基本的新陈代谢（即自动消耗）。在健身训练中，他所消耗的热量大约是69（焦/公斤?天）乘以他的体重（公斤）。假设以脂肪形式贮藏的热量100%地有效，而1公斤脂肪含热量41868（焦）。试研究此人的体重随时间变化的规律。 模型分析 在问题中并未出现“变化率”、“导数”这样的关键词，但要寻找的是体重（记为W ）关于时间t 的 函数。如果我们把体重W 看作是时间t 的连续可微函数，我们就能找到一个含有的dt dW 微分方程。 模型假设 1.以)(t W 表示t 时刻某人的体重，并设一天开始时人的体重为0W 。 2．体重的变化是一个渐变的过程。因此可认为 )(t W 是关于t 连续而且充分光滑的。 3．体重的变化等于输入与输出之差，其中输入是指扣除了基本新陈代谢之后的净食量吸收；输出就是进行健身训练时的消耗。 模型建立 问题中所涉及的时间仅仅是“每天”，由此，对于“每天” 体重的变化=输入-输出。 由于考虑的是体重随时间的变化情况，因此，可得 体重的变化/天=输入/天—输出/天。 代入具体的数值，得 输入/天 = 10467（焦/天）—5038（焦/天）=5429（焦/天）， 输出/天 = 69（焦/公斤?天）×W （公斤）= 69W （焦/天）。 体重的变化/天=t W ??（公斤/天）dt dW t =→?0 考虑单位的匹配，利用 “公斤/天=公斤焦天 焦/41868 /”, 可建立如下微分方程模型 非线性动力学实验报告 Lorenz方程 Email：dragon_hm@https://www.doczj.com/doc/7917502495.html, 一、实验目的 绘制Lorenz方程，并研究相关特性，进一步理解非线性系统。 二、实验内容 1、用计算机绘制Lorenz方程； 2、研究Lorenz方程的相关特性： 1)方程的整体特性以及对特征根的讨论； 2)方程对参数的依赖； 3)混沌状态的特性； 4)方程对初始条件的敏感。 三、概念介绍 1963年美国麻省理工学院的气象学家E. Lorenz在对天气预报动力学模型进行数值计算时发现了一个由非线性微分方程组描述的著名的Lorenz方程，这就是混沌现象的第一个奇怪吸引子Lorenz 吸引子。由于在天气、对流、 斜波等现象及水轮机、发电机、激光机等真实物理系统中发现，Lorenz方程可以作为许多现实混沌运动的精确模型，因此对Lorenz方程的特性的研究受到许多学者的关注。 1、Lorenz方程 () { 其中，，是随时间变化的物理量，是时间变量；，，是正的参数，当参数不同时，方程的状态就不同。 2、Lorenz方程的基本特性 (1)稳定性分析 令Lorenz方程： 0，0，0 得到平衡点： O(0,0,0),F1(√ ( ),√ ( )1),F2( √ ( )(),1)取0,28,83 ?，到三个平衡点： O(0,0,0), F1(6√2,6√2,27), F2( 6√2, 6√2,27) 1)对于平衡点O(0,0,0)，将Lorenz方程线性化，其雅可比矩阵是： J0[ 1][ 10100 28 10 0083? ] 令|λi J0|0的对应于平衡点O的特征值： λ1 22.8277，λ211.8277，λ3 2.6667这里λ2是正实数，λ1，λ3是负实数，所以O是鞍点，故平衡点O是不稳定点。 2)对于平衡点F1(6√2,6√2,27)，将Lorenz方程线性化，其雅可比矩阵是： J1[ 1][ 10100 1 1 6√2 6√26√283? ] 令|λi J1|0的对应于平衡点F1的特征值： λ1 13.8546，λ20.09410.1945i，λ30.09410.1945i 这里λ1是负实数，λ2，λ3是一对具有正实部的共轭复数，所以F1是鞍式焦点，故平衡点F1是不稳定点。 3)对于平衡点F2( 6√2, 6√2,27)，将Lorenz方程线性化，其雅可比矩阵是： J2[ 1][ 10100 1 1 6√2 6√2 6√283? ] 令|λi J2|0的对应于平衡点F2的特征值： λ1 13.8546，λ20.09410.1945i，λ30.09410.1945i 非线性动力学系统一般形式及其广义哈密顿体系下的几何积分 方法 几何积分方法无论在提高计算精度还是在保持系统的不变量性质等方面都比传统的积分算法有优势,同时,它还具有向后误差分析的性质,可用于研究数值方法的长期行为,以及进行数值方法的稳定性分析。本文主要研究了广义Hamilton系统及一般非线性动力学系统的几何积分方法。 首先,提出了求解一般动力学方程的李级数方法,并给出具体实施办法,它是泰勒展开方法的一个推广。另一方面将动力学微分方程用微分算子的形式表示之后,它的解算子可由它的无穷小生成元的预解式取Laplace逆变换得到,如此再次得到了李级数方法,对于自治系统它是一个李群方法。 另外,提出了基于Laplace变换数值反演的非线性动力学方程的求解方法。其次,基于李级数方法,提出了广义Hamilton系统及耗散广义Hamilton系统的李群积分法。 广义Hamilton系统形式是动力学系统的一种恰当表述,它揭示了力学系统内蕴的某种对称性质,它的理论研究和实际应用在力学研究中具有十分重要的意义。本文在守恒系统解析解的理论基础上给出了构造广义Hamilton系统任意高阶显式保群积分格式的方法,同时讨论了算法的具体实施过程。 对耗散广义Hamilton系统,就自治与非自治系统分别进行了讨论:对于自治系统,采用李级数方法并结合分裂合成的技巧直接进行求解;对于非自治系统,基于Magnus级数方法和Fer展开方法来构造其数值解。文中方法保持了原系统真解的典则性,因而也是稳定的。 如果更关注系统的能量性质,如Hamilton函数性质,文中用离散梯度的方法 给出了广义Hamilton系统及广义Hamilton控制系统的保持其Hamilton函数性质特征不变的数值解法。同时,本文在伪Poisson流形上研究了广义Hamilton约束系统的求解问题。 把广义Hamilton约束系统变形为无约束的广义Hamilton系统微分方程,提出了保持系统内在结构和约束不变性的李群积分方法,并就约束不变量的误差和稳定性等问题进行了理论分析和数值分析。另外通过引入拉格朗日乘子采用投影技术对广义Hamilton约束系统直接进行积分,进一步简化了积分过程。 因为本文的讨论对完整与非完整约束不加区分,一样处理,所以也适用于非完整约束的情形。然而,一般非线性动力学系统并不是都可以表示为(耗散)广义Hamilton系统的形式,即存在所谓广义Hamilton实现问题。 为此,基于经典的Magnus和Fer展开式,在耗散广义Hamilton系统的保结构算法的基础上,主要从两个不同的角度,进一步深入地研究了一般非线性动力学系统的李群积分方法:一个是在算。 第五节 微分方程稳定性理论简介 这里简单介绍下面将要用到的有关内容： 一、 一阶方程的平衡点及稳定性 设有微分方程 ()dx f x dt = （1） 右端不显含自变量t ，代数方程 ()0f x = （2） 的实根0x x =称为方程（1）的平衡点（或奇点），它也是方程（1）的解（奇解） 如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解()x t 都满足 0lim ()t x t x →∞ = （3） 则称平衡点0x 是稳定的（稳定性理论中称渐近稳定）；否则，称0x 是不稳定的（不渐近稳定）。 判断平衡点0x 是否稳定通常有两种方法，利用定义即（3）式称间接法，不求方程（1）的解()x t ，因而不利用（3）式的方法称直接法，下面介绍直接法。 将()f x 在0x 做泰勒展开，只取一次项，则方程（1）近似为： 0'()()dx f x x x dt =- （4） （4）称为（1）的近似线性方程。0x 也是（4）的平衡点。关于平衡点0x 的稳定性有如下的结论： 若0'()0f x <，则0x 是方程（1）、（4）的稳定的平衡点。 若0'()0f x >，则0x 不是方程（1）、（4）的稳定的平衡点 0x 对于方程（4）的稳定性很容易由定义（3）证明，因为（4）的一般解是 0'()0()f x t x t ce x =+ （5） 其中C 是由初始条件决定的常数。 二、 二阶（平面）方程的平衡点和稳定性 方程的一般形式可用两个一阶方程表示为 112212 () (,)()(,) dx t f x x dt dx t g x x dt ?=??? ?=?? （6） 右端不显含t ，代数方程组 1212 (,)0 (,)0f x x g x x =?? =? （7） 的实根0012 (,)x x 称为方程（6）的平衡点。记为00 012(,)P x x 如果从所有可能的初始条件出发，方程（6）的解12(),()x t x t 都满足 101lim ()t x t x →∞ = 20 2lim ()t x t x →∞ = （8） 则称平衡点00 012(,)P x x 是稳定的（渐近稳定）；否则，称P 0是不稳定的（不渐 近稳定）。 为了用直接法讨论方法方程（6）的平衡点的稳定性，先看线性常系数方程 11112 22122 () ()dx t a x b x dt dx t a x b x dt ?=+??? ?=+?? （9） 系数矩阵记作 1 12 2a b A a b ??=???? 并假定A 的行列式det 0A ≠ 于是原点0(0,0)P 是方程（9）的唯一平衡点，它的稳定性由的特征方程 det()0A I λ-= 的根λ（特征根）决定，上方程可以写成更加明确的形式： 2120()det p q p a b q A λλ?++=? =-+??=? （10） 将特征根记作12,λλ，则 2013 “非线性振动” 练习题 1、简述绘制相轨线的原理及其作用。 2、用小参数摄动法求 )1(220<<=+εεωx x x x 的一阶近似解。 3、 用多尺度法或均值法求 (第三章16) )1(320<<=+εεωx x x 的一阶近似解。 4、 用多尺度法求周期激励范德波尔方程 0)0(,)0(,cos )1(220220=-+=+-=+x F A x t F x x x x ω ωωεω 的非共振解。 5、 设运动微分方程为 )1(cos 220<<+-=+εωεωt F x x x 试求0ωω≈的主共振解。 6、 简述非线性单自由度保守系统自由振动的主要特点及与线性系 统的区别。 7、 简述非线性单自由度系统在简谐激励下的强迫振动特点。 8、 简述自激振动产生的主要原因及其特点。 9、 以两自由度非线性系统为例，简述非线性多自由度系统振动的 主要特点。 10、 简述分岔和混沌的概念。（考试从中选取5题） 1、简述绘制相轨线的原理及其作用。 答：绘制相轨迹线的原理如下： 将系统的动力学方程... +(x,)=0x f x 转化为以状态变量表示的状态方程组 ..==-(x,y) y x y f （1） 在利用上式消去微分dt,得到y x 和的关系式 ,=-dy f dx y （x y ） （2） 这个式子所确定的平面（x,y ）上的各点的向量场，就构成了相轨迹族。 绘制相轨迹线的方法有两种，第一是等倾线法。等倾线法的原理如下，令方程（2）右边等于常数C ，得到(x,y)相平面内以C 为参数的曲线族 (x,y)+Cy=0f (3) (3)称作相轨迹的等倾线族，族内每一曲线上的所有点所对应的由方程（2）确定的向量场都指向同一方向。 第二种方法是李纳法。其原理如下： 适当选择单位使弹簧的系数为1，设单位质量的阻尼力为-(y)?，则有f(x,y)=x+(y)?。相轨迹微分方程为 +(y)=-dy x dx y ? （4） 在平面上做辅助曲线=-(y)x ? 。此辅助曲线即上述零斜率等倾线，过某个相点 P （x,y ）作x 轴的平行线与辅助曲线交与R 点，再过R 点作y 轴的平行线与x 轴交于S 点，连接PS ，将向量PS → 逆时针旋转90度后的方向就是方程（4）确定的相轨迹切线方向。 相轨迹线可以帮助我们定性地了解系统在不同初始条件下的运动全貌。当系统是强非线性振动的时候，近似解析法（如小参数摄动法，多尺度法）不再适用，此时可以采用相轨迹法来研究。（相轨迹线的作用） 非线性动力学主要研究非线性振动系统周期振动规律（振幅，频率，相位的变化规律）和周期解的稳定条件。其研究内容主要有：保守系统中的稳定性及轨道扩散问题；振动的定性理论；非线性振动的近似解析方法；非线性振动中混沌的控制和同步问题；随机振动系统和参数振动系统问题等。 摘要 本文给出了微分方程稳定性的概念,并举了一些例子来说明不同稳定性定义之间的区别和联系。这些例子都是通过求出方程解析解的方法来讨论零解是否稳定。在实际问题中提出的微分方程往往是很复杂的,无法求出其解析解,这就需要我们从方程本身来判断零解的稳定性。所以我们讨论了通过Liapunov稳定性定理来判断自治系统零解的稳定性，并用类似的方法讨论了非自治系统零解的稳定性。在此基础上，讨论了一阶和二阶微分方程的平衡点及其稳定性，这对其研究数学建模的稳定性模型起到很大的作用,并且利用相关的差分方程的全局吸引性研究了具时滞的单种群模型 ()()()() () .1 1N t N t r t N t cN t ττ -- = -- 的平衡点1 x=的全局吸引性,所获结果改进了文献中相关的结论。关键词：自治系统平衡点稳定性全局吸引性 Abstract In this paper,we gived the conceptions of differential equation stability. Simultaneously a number of examples to illustrate the difference between the definition of different stability and contact. These examples are obtained by analytical solution equation method to discuss the stability of zero solution. Practical issues raised in the often very complicated differential equations, analytical solution can not be obtained, which requires us to determine from the equation itself, the stability of zero solution. So we discussed the stability theorem to determine through the stability of zero solution of autonomous systems, and use similar methods to discuss the non-zero solution of autonomous system stability. On this basis,we discuss a step and the second-step and the stability, which plays the major role to its stability of the model, and the global attractivity of the positive equilibrium 1 x=of the following delay single population model ()()()() () .1 1N t N t r t N t cN t ττ -- = -- is investigated by using the corresponding result related to a difference equation.The obtained results improve some known results in the literature. Key Words:autonomous system;equilibrium point;stability;delay;globally asymptotic stability;global attractivity 第5章定性和稳定性理论简介 在十九世纪中叶,通过Liouville等人的工作,人们已经知道绝大多数微分方程不能用初等积分法求解.这个结果对微分方程理论的发展产生了极大的影响,使微分方程的研究发生了一个转折.既然初等积分法有着不可克服的局限性,那么是否可以不求微分方程的解,而从微分方程本身来推断其性质呢?定性理论和稳定性理论正是在这种背景下发展起来的.前者由法国数学家Poincare(1854-1912)在19世纪80年代所创立,后者由俄国数学家Liapunov(1857-1918)在同年代所创立.它们共同的特点就是在不求出方程解的情况下,直接根据微分方程本身的结构与特点,来研究其解的性质.由于这种方法的有效性,近一百多年以来它们已经成为常微分方程发展的主流.本章对定性理论和稳定性理论的一些基本概念和基本方法作一简单介绍. 第一讲§5.1 稳定性（Stability）概念(5课时) 一、教学目的：理解稳定、渐近稳定和不稳定的概念；掌握零解的稳 定、渐近稳定的概念；学会判定一些简单微分方程零 解的稳定和渐近稳定性。 二、教学要求：理解稳定、渐近稳定和不稳定的概念；掌握简单微分 方程零解的稳定和渐近稳定性的判定。 三、教学重点：简单微分方程零解的稳定和渐近稳定性的判定。 四、教学难点：如何把一般解的稳定性转化为零解的稳定性。 五、教学方法：讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 六、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 七、教学过程： 1．稳定性的定义 考虑微分方程组 (,)dx f t x dt = （5.1） 其中函数(,)f t x 对n x D R ∈?和(,)t ∈-∞+∞连续，对x 满足局部Lipschitz 条件。 设方程（5.1）对初值01(,)t x 存在唯一解01(,,)x t t x ?=，而其它解记作00(,,)x x t t x = 。 现在的问题是：当01x x -很小是，差 0001(,,)(,,) x t t x t t x ?-的变化是否也很小？本章向量1 2 (,,,)T n x x x x = 的范数取 1 221n i i x x =?? = ? ?? ∑。 如果所考虑的解的存在区间是有限区间，那么这是解对初值的连续依赖性，在第二章的定理2.7已有结论。现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间，那么解对初值不一定有连续依赖性，这就产生了Liapunov 意义下的稳定性概念。 定义 5.1 如果对于任意给定的0 ε>和00t ≥都存在0(,)0 t δδε=>, 使得只要 01x x δ -<，就有 0001(,,)(,,)x t t x t t x ?ε -< 对一切0t t ≥成立，则 称（5.1）的解01(,,)x t t x ?=是稳定的。否则是不稳定的。 定义5.2 假定01(,,)x t t x ?=是稳定的，而且存在11(0)δδδ<≤，使得只要 011x x δ-< ，就有 0001l i m ((,,) (,,))0t x t t x t t x ?→∞ -= ，则称 （5.1）的解01(,,)x t t x ?=是渐近稳定的。 为了简化讨论，通常把解01(,,)x t t x ?=的稳定性化成零解的稳定性问题.下面记00()(,,) x t x t t x =01()(,,)t t t x ??=作如下变量代换. 作如下变量代 换. 第一章非线性动力学分析方法（6学时） 一、教学目标 1、理解动力系统、相空间、稳定性的概念； 2、掌握线性稳定性的分析方法； 3、掌握奇点的分类及判别条件； 4、理解结构稳定性及分支现象； 5、能分析简单动力系统的奇点类型及分支现象。 二、教学重点 1、线性稳定性的分析方法； 2、奇点的判别。 三、教学难点 线性稳定性的分析方法 四、教学方法 讲授并适当运用课件辅助教学 五、教学建议 学习本章内容之前，学生要复习常微分方程的内容。 六、教学过程 本章只介绍一些非常初步的动力学分析方法，但这些方法在应用上是十分有效的。 1.1相空间和稳定性 一、动力系统 在物理学中，首先根据我们面对要解决的问题划定系统，即系统由哪些要素组成。再根据研究对象和研究目的，按一定原则从众多的要素中选出最本质要素作为状态变量。然后再根据一些原理或定律建立控制这些状态变量的微分方程，这些微分方程构成的方程组通常称为动力系统。研究这些微分方程的解及其稳定性以及其他性质的学问称为动力学。 假定一个系统由n 个状态变量1x ，2x ，…n x 来描述。有时，每个状态变量不但是时间t 的函数而且也是空间位置r 的函数。如果状态变量与时空变量都有关，那么控制它们变化的方程组称为偏微分方程组。这里假定状态变量只与时间t 有关，即X i ＝X i (t)，则控制它们的方程组为常微分方程组。 ),,,(2111 n X X X f dt dX ???=λ ),,,(2122 n X X X f dt dX ???=λ (1.1.1) … ),,,(21n n n X X X f dt dX ???=λ 其中λ代表某一控制参数。对于较复杂的问题来说，i f (i ＝l ，2，…n)一般是{}i X 的非线性函数，这时方程(1.1.1)就称为非线性动力系统。由于{}i f 不明显地依赖时间t ，故称方程组(1.1.1)为自治动力系统。若{}i f 明显地依赖时间t ，则称方程组(1.1.1)为非自治动力系统。非自治动力系统可化为自治动力系统。 对于非自治动力系统，总可以化成自治动力系统。 例如:)cos(t A x x ω=+ 微分方程 列微分方程常用的方法： （1）根据规律列方程 利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建立微分方程模型。 （2）微元分析法 利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。 （3）模拟近似法 在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。 一、模型的建立与求解 1.1传染病模型 （1）基础模型 假设：t 时刻病人人数()x t 连续可微。每天每个病人有效接触（使病人治病的接触）的人数为λ，0t =时有0x 个病人。 建模：t 到t t +?病人人数增加 ()()()x t t x t x t t λ+?-=?（1） 0,(0)dx x x x dt λ==（2） 解得： 0()t x t x e λ=（3） 所以，病人人数会随着t 的增加而无限增长，结论不符合实际。 （2）SI 模型 假设：1.疾病传播时期，总人数N 保持不变。人群分为两类，健康者占总人数的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。 2.每位病人每天平均有效接触λ人，λ为日接触率。有效接触后健康者变为病人。 依据：患病人数的变化率=Ni(t)(原患病人数)*λs(t)(每个病人每天使健康人变为病人的人数) 建模： di N Nsi dt λ=（4） 由于 ()()1s t i t +=（5） 设t=0时刻病人所占的比例为0i ，则可建立Logistic 模型 0(1),(0)di i i i i dt λ=-=（6） 解得： 01()111kt i t e i -= ??+- ??? （7） 用Matlab 绘制图1()~i t t ，图2 ~di i dt 图形如下， 结论：在不考虑治愈情况下 ①当12i = 时di dt 达到最大值m di dt ?? ???，这时101ln 1m t i λ-??=- ??? 常微分方程的建模训练 各位同学： 欢迎大家开始《高等数学》课程的第二阶段的学习。本次辅导材料是关于建立微分方程的模型，主要目的有2个。一是开阔大家的视野，二是练习如何将一个实际问题用数学语言描述出来，也就是平时讲的建模，这是一个理工科学生的最重要的基本功之一。希望大家努力掌握之。 建立微分方程的途径主要有： 1）根据问题的性质，利用相应学科已经知道的客观规律，比如研究物体的运动，在已知外力的情况下，可运用著名的牛顿第二定律；研究热力学问题，可以用热力学定律，研究电路问题就可以用电路的基尔霍夫定律等。 2）对于一些没有明显规律可用时，可以考虑应用微元法（上学期学习积分时已经学习过），这时，需要考虑的是在自变量[,d] +的微段d x中，函数的增 x x x 量的微分表达式。 本次材料包括的题目不少，你可能没有太多的时间做。没有关系，可以边学边做，或有空时做，拳不离手，曲不离口，功夫是逐渐炼成的。要注意的是，对一个确定的问题，仅仅列出微分方程是不够的，还要有一组初始条件或边界条件，才能使微分方程的通解具体化，称为一个对应与问题本身的特解！如何列出这样的条件，也需要训练你的观察能力，因为很多题目中，这些条件常隐含在题目的叙述中。 本次练习不要求你去求解这些方程，但随着我们课堂的进度，当你学会微分方程的求解后，你再去求解它们。 好，开始吧！ 1. 有一类物质具有放射性，根据观察，放射性元素的质量随时间推移而逐渐减少，这种现象称为衰变。由实验测定，每一时刻放射性元素镭的衰变率（即质量减少的速率）与该时刻 λ>。求镭的衰变规律。 的镭的质量成正比，比例系数0 又由经验判断，镭经过1600年后，只剩下原始量的一半，求镭的质量R与时间t的函数关系。 2. 物理上把已知物体质量和外力的条件下，求物体的运动规律的问题称为动力学问题。物 s t来表示。 体的运动可用它的位移量() 已知物体质量为m的物体在外力F的作用下沿外力的方向作直线运动。试根据下列提供的外力特点，求物体的运动规律： 1）外力为地球重力； 2）外力为与其速度的平方成反比的阻力； 3）外力为与其位移成正比，但方向相反的弹性恢复力； 《从非线性动力学到复杂系统》 段法兵 系统理论博士生课程 第一讲动态系统的发展 系统是一些相互关联的客体组成的集合，动态（动力dynamical）系统是系统状态变量，比如温度、位移、价格、信号幅值等，随着时间变化的。它的描述可以用微分方程或者离散方程。 微分方程历史悠久，可追溯到牛顿、伽利略、欧拉、雅克比等人，用以描述行星的运动轨迹。研究中发现即使满足牛顿引力定律的三体运动也非常复杂，其微分方程是非线性的，非线性是指不满足叠加定律的方程，解无法利用已知函数进行描述，如果能够描述的我们称为显式解。因此，庞加莱在1880年-1910年期间，试图利用解的拓扑几何性质来解释动态系统的运动规律，发现即使确定性系统，其运动规律也会出现随机性态，非常复杂（确定性系统是指其外力是确定的不随机，只要知道初始条件和演化方程，其运动是可预先确定的）。 非线性系统运动的复杂性：李雅普诺夫研究了系统平衡点？的稳定性？问题，随后本迪尔松等发现系统的解包含（1）平衡态（静止不动）；（2）周期运动（比如行星）（3）拟周期，就是几个频率不可公约周期之和。 接着1975年Li和Yorke提出了混沌的概念，即系统的解是非周期的一种类似随机运动的现象，这其中就包含了洛伦兹提出的“蝴蝶效应”，根源在于这类非线性动力系统对于初始条件的极其敏感性，初始条件的微小变化导致了系统状态的巨大改变，从此有关非线性科学的发展异常迅速，形成了现代动力学理论，其最重要的贡献是揭示了一个简单的模型可能蕴含了无比复杂的动力学性态。 例子：Van der Pol（范德波尔）方程 1920年Van der Pol利用电子震荡管研究心脏的跳动问题，比如人工心脏起 第一章非线性动力学分析方法(6学时） 一、教学目标 1、理解动力系统、相空间、稳定性得概念; 2、掌握线性稳定性得分析方法; ?3、掌握奇点得分类及判别条件; ?4、理解结构稳定性及分支现象; 5、能分析简单动力系统得奇点类型及分支现象. 二、教学重点 1、线性稳定性得分析方法； ?２、奇点得判别。 三、教学难点 ?线性稳定性得分析方法 四、教学方法 讲授并适当运用课件辅助教学 五、教学建议 ?学习本章内容之前，学生要复习常微分方程得内容。 六、教学过程 本章只介绍一些非常初步得动力学分析方法，但这些方法在应用上就是十分有效得。 1、1相空间与稳定性 ?一、动力系统 在物理学中,首先根据我们面对要解决得问题划定系统，即系统由哪些要素组成。再根据研究对象与研究目得，按一定原则从众多得要素中选出最本质要素作为状态变量。然后再根据一些原理或定律建立控制这些状态变量得微分方程,这些微分方程构成得方程组通常称为动力系统。研究这些微分方程得解及其稳定性以及其她性质得学问称为动力学. 假定一个系统由n个状态变量，,…来描述。有时,每个状态变量不但就是时间t得函数而且也就是空间位置得函数。如果状态变量与时空变量都有关,那么控制它们变化得方 程组称为偏微分方程组.这里假定状态变量只与时间t有关，即X ＝X i（t),则控制它们 ｉ 得方程组为常微分方程组。 ?????（１。1．1) … 其中代表某一控制参数.对于较复杂得问题来说，(i＝l，2，…n)一般就是得非线性函数，这时方程（1．1.1）就称为非线性动力系统。由于不明显地依赖时间ｔ，故称方程组（1。1．１)为自治动力系统。若明显地依赖时间t，则称方程组（1、１、1）为非自治动力系统.非自治动力系统可化为自治动力系统. 对于非自治动力系统，总可以化成自治动力系统。 例如： 令,,上式化为 上式则就是一个三维自治动力系统。 又如: 令,则化为 它就就是三微自治动力系统、 对于常微分方程来说,只要给定初始条件方程就能求解。对于偏微分方程,不但要给定初始条件而且还要给定边界条件方程才能求解。 能严格求出解析解得非线性微分方程组就是极少得,大多数只能求数值解或近似解析解。 二、相空间 ,X2,…Ｘn）描述得系统，可以用这n个状态变量为坐标轴支由n个状态变量＝(Ｘ １ 起一个n维空间，这个n维空间就称为系统得相空间。在ｔ时刻，每个状态变量都有一个确定得值，这些值决定了相空间得一个点，这个点称为系统状态得代表点(相点），即它代表了系统t时刻得状态。随着时间得流逝,代表点在相空间划出一条曲线，这样曲线称为相轨道或轨线.它代表了系统状态得演化过程。 三、稳定性 把方程组（1。1．1)简写如下 §6.4 李雅普诺夫第二方法上一节我们介绍了稳定性概念,但是据此来判明系统解的稳定性,其应用范围是极其有限的. 李雅普诺夫创立了处理稳定性问题的两种方法:第一方法要利用微分方程的级数解,在他之后没有得到大的发展;第二方法是在不求方程解的情况下,借助一个所谓的李雅普诺夫函数)(x V 和通过微分方程所计算出来的导数 dt x dV ) (的符号性质,就能直接推断出解的稳定性,因此又称为直接法.本节主要介绍李雅普诺夫第二方法. 为了便于理解,我们只考虑自治系统 )(x F dt dx =n R x ∈ (6.11) 假设T n x F x F x F ))(,),(()(1 =在{} K x R x G n ≤∈=上连续,满足局部利普希茨条件,且 O O F =)(. 为介绍李雅普诺夫基本定理,先引入李雅普诺夫函数概念. 定义6.3 若函数 R G x V →:)( 满足0)(=O V ,)(x V 和 i x V ??),,2,1(n i =都连续,且若存在K H ≤<0,使在{} H x x D ≤=上)0(0)(≤≥x V ,则称)(x V 是常正(负)的;若在D 上除O x ≠外总有 )0(0)(<>x V ,则称)(x V 是正(负)定的;既不是常正又不是常负的函数称为变号函数. 通常我们称函数)(x V 为李雅普诺夫函数.易知: 函数2 22 1x x V +=在),(21x x 平面上为正定的; 函数 )(2 22 1x x V +-=在),(21x x 平面上为负定的; 函数222 1x x V -=在),(21x x 平面上为变号函数; 函数 2 1x V =在),(21x x 平面上为常正函数. 李雅普诺夫函数有明显的几何意义. 首先看正定函数),(21x x V V =. 在三维空间),,(21V x x 中, ),(21x x V V =是一个位于坐标面21Ox x 即0=V 上方的曲面.它与坐标面21Ox x 只在一个点,即原点)0,0,0(O 接触(图6-1(a)).如果用水平面 C V =(正常数)与),(21x x V V =相交,并将截口垂直投影到21Ox x 平面上,就得到一组一个套一个的闭曲线族C x x V =),(21 (图6-1(b)),由于),(21x x V V =连续可微,且 0)0,0(=V ,故在021==x x 的充分小的邻域中, ),(21x x V 可以任意小.即在这些邻域中 存在C 值可任意小的闭曲线C V =. 对于负定函数),(21x x V V =可作类似的几何解释,只是曲面),(21x x V V =将在坐标面21Ox x 的下方. 对于变号函数),(21x x V V =,自然应对应于这样的曲面,在原点O 的任意邻域,它既有在21Ox x 平面上方的点,又有在其下方的点. 定理6.1 对系统(6.11),若在区域D 上存在李雅普诺夫函数)(x V 满足 (1) 正定; (2) )(1 ) 11.5(x F x V dt dV i n i i ∑ =??=常负, (a) (b) 微分方程稳定性理论简介 1、一阶自治方程 ()()x t f x = （１） 使代数方程()0f x =的实根=x 0x 称为（1）的平衡点或奇点。0x x =也是方程（1）的解。 设x(t)是方程的解，若从0x 的 某邻域的任一初值出发都有0lim ()t x t x →+∞=，则称0x 是方程(1)的稳定平衡点（渐近稳定）；否则，称0x 是方程(1) 的不稳定平衡点。 例 dx x dt =- 判断平衡点稳定性的方法 （1） 间接法：利用定义，需要求出方程的解 （2） 直接法：不求方程的解 方程（１）的近似方程为： ))(()(00x x x f t x -'= （２） 对于一阶方程（１）与（２）的平衡点0x 的稳定性有如下结论： 若0()0f x '<，则0x 是（１）与（２）的稳定平衡点 若0()0f x '>，则0x 是（１）与（２）的不稳定平衡点 2、二阶方程 可用两个一阶方程表示为 ()(,)()(,)x t f x y y t g x y =??=? （３） 二维（平面）自治系统 使 (,)0(,) 0f x y g x y =??=? 的实根000(,)P x y 称为（３）的平衡点。同样，若存在000(,)P x y 的某个邻域的任一初值))0(),0((y x 出发，当t →+∞时 00((),())(,)x t y t x y →，则称000(,)P x y 是稳定的平衡点。 应用直接法讨论（３）的稳定性，先看线性常系数方程 ()()x t ax by y t cx dy =+??=+? （４） 二维（平面）线性自治系统 系数矩阵记做 a b A c d ??=???? ，设det 0A ≠，此时（４）有唯一平衡点0(0,0)P 。它的稳定性由（４）的特征方程 det()0A I λ-= 的根所决定。 2det()()0a b A I a d ad bc c d λλλλλ --==-++-=- 结论： 0????→???????????→???????????????????????????????????→???????→?? - （S 稳定）同号结点相异+ （U ）异号鞍点 (U)实根- (S)临界结点+ (U)重根- (S)退化结点+ (U)- (S)实部不为0焦点复根+ (U) 实部为中心（U ） 进一步，令()p a d =-+,det q ad bc A =-=，则特征方程为20p q λλ++=，特征根为 1,21 (2p λ=-± 1)240p q -> i) 0q > 0结点（S ）p >→ 0结点（U ）p <→ ii) 0鞍点（U ）q <→ 2) 240p q -= 0临界（退化）结点（S ）p >→0临界（退化）结点（U ）p <→ 3) 240p q -< 0焦点（S ）p >→0焦点（U ）p >→第二章动力学系统的微分方程模型
微分方程建模案例
微分方程稳定性分解
3.1 微分方程模型的建模步骤
非线性动力学——LORENZ方程实验报告
非线性动力学系统一般形式及其广义哈密顿体系下的几何积分方法
微分方程稳定性理论简介
非线性动力学练习题
常微分方程平衡点及稳定性研究38112
第5章 定性和稳定性理论简介(常微分方程)
第一章 非线性动力学分析方法
数学建模之微分方程建模与平衡点理论
常微分方程的建模训练
《从非线性动力学到复杂系统》
第一章 非线性动力学分析方法
常微分方程 稳定性理论
微分方程稳定性理论简介
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