微分方程稳定性理论简介

第五节 微分方程稳定性理论简介

这里简单介绍下面将要用到的有关内容：

一、 一阶方程的平衡点及稳定性

设有微分方程

()dx

f x dt

= （1） 右端不显含自变量t ，代数方程

()0f x = （2）

的实根0x x =称为方程（1）的平衡点（或奇点），它也是方程（1）的解（奇解）

如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解()x t 都满足

0lim ()t x t x →∞

= （3）

则称平衡点0x 是稳定的（稳定性理论中称渐近稳定）；否则，称0x 是不稳定的（不渐近稳定）。

判断平衡点0x 是否稳定通常有两种方法，利用定义即（3）式称间接法，不求方程（1）的解()x t ，因而不利用（3）式的方法称直接法，下面介绍直接法。

将()f x 在0x 做泰勒展开，只取一次项，则方程（1）近似为：

0'()()dx

f x x x dt

=- （4） （4）称为（1）的近似线性方程。0x 也是（4）的平衡点。关于平衡点0x 的稳定性有如下的结论：

若0'()0f x <，则0x 是方程（1）、（4）的稳定的平衡点。 若0'()0f x >，则0x 不是方程（1）、（4）的稳定的平衡点

0x 对于方程（4）的稳定性很容易由定义（3）证明，因为（4）的一般解是

0'()0()f x t x t ce x =+ （5）

其中C 是由初始条件决定的常数。

二、 二阶（平面）方程的平衡点和稳定性

方程的一般形式可用两个一阶方程表示为

112212

()

(,)()(,)

dx t f x x dt

dx t g x x dt

?=???

?=?? （6）

右端不显含t ，代数方程组

1212

(,)0

(,)0f x x g x x =??

=? （7） 的实根0012

(,)x x 称为方程（6）的平衡点。记为00

012(,)P x x 如果从所有可能的初始条件出发，方程（6）的解12(),()x t x t 都满足

101lim ()t x t x →∞

= 20

2lim ()t x t x →∞

= （8） 则称平衡点00

012(,)P x x 是稳定的（渐近稳定）；否则，称P 0是不稳定的（不渐

近稳定）。

为了用直接法讨论方法方程（6）的平衡点的稳定性，先看线性常系数方程

11112

22122

()

()dx t a x b x dt

dx t a x b x

dt

?=+???

?=+?? （9） 系数矩阵记作

1

12

2a b A a b ??=????

并假定A 的行列式det 0A ≠

于是原点0(0,0)P 是方程（9）的唯一平衡点，它的稳定性由的特征方程

det()0A I λ-=

的根λ（特征根）决定，上方程可以写成更加明确的形式：

2120()det p q p a b q A λλ?++=?

=-+??=?

（10）

将特征根记作12,λλ，则

121,(2

p λλ=- （11）

方程（9）的解一般有形式1212t t c e c e λλ+（12λλ≠）或12()t c c t e λ+（12λλλ==） 12,c c 为任意实数。由定义（8）

，当12,λλ全为负数或有负的实部时0(0,0)P 是稳定的平衡点，反之，当12,λλ有一个为正数或有正的实部时0(0,0)P 是不稳定的平衡点

微分方程稳定性理论将平衡点分为结点、焦点、鞍点、中心等类型，完全由特征根12,λλ或相应的,p q 取值决定，下表简明地给出了这些结果，表中最后一列指按照定义（8）式得下马看花关于稳定性的结论。

由上表可以看出，根据特征方程的系数,p q 的正负很容易判断平衡点的稳定性，准则如下：若

0,0p q >> （12）

则平衡点稳定，若

0p <0q <或 （13）

则平衡点不稳定

以上是对线性方程（9）的平衡点0(0,0)P 稳定性的结论，对于一般的非线性

方程（6），可以用近似线性方法判断其平衡点00012

(,)P x x 的稳定性，在00012(,)P x x 点将12(,)f x x 和12(,)g x x 作泰勒展开，只取一次项，得（6）的近似线性方程

1212000000

112111222000000212111222

()(,)()(,)()()(,)()(,)()

x x x x dx t f x x x x f x x x x dt

dx t g x x x x g x x x x dt

?=-+-???

?=-+-?? (14)

系数矩阵记作

1

2000121

2(,)x x P x x x x f f A g g ??=∣?

?????

特征方程系数为

00120

1

2

(,)()x x P x x p f g =-+∣,det q A =

显然，00

012(,)P x x 点对于方程（14）的稳定性由表1或准则（12）、（13）决定，

而且已经证明了如下结论:

若方程（14）的特征根不为零或实部不为零，则00

012

(,)P x x 点对于方程（6）的稳定性与对于近似方程（14）的稳定性相同。

这样，00

012(,)P x x 点对于方程（6）的稳定性也由准则（12）、（13）决定。

第六节 种群的相互竞争与相互依存

当某个自然环境中只有一种生物的群体（生态学上称为种群）生存时，人们常用Logistic 模型来描述这个群数量的演变过程，即

(1)dx x

rx dt N

=- (1) x （t ）是种群在时刻t 的数量，r 是固有增长率，N 是环境资源容许的种群最大数量，在前面我们曾应用过这种模型，由方程（1）可以直接得到，0x =N 是稳定平衡点，即t →∞时x(t)→N ，从模型本身的意义看这是明显的结果。

如果一个自然环境中有两个或两个以上种群生存，那么它们之间就要存在着或是相互竞争，或是相互依存，或是弱肉强食（食饵与捕食者）的关系。这里将

从稳定状态的角度分别讨论这些关系。

一、种群的相互竞争

当两个种群为了争夺有限的食物来源和生活空间而进行生存竞争时，最常见的结局是竞争力较弱的种群灭绝，竞争力较强的种群达到环境容许的最大数量。人们今天可以看到自然界长期演变成的这样的结局，例如一个小岛上虽然有四种燕子栖息，但是它们的食物来源各不相同，一种只在陆地上觅食，另两种分别在浅水的海滩上和离岸稍远的海中捕鱼，第四种则飞越宽阔的海面到远方攫取海味，每一种燕子在它各自生存环境中的竞争力明显地强于其它几种，这里我们建立一个模型解释类似的现象，并分析产生这种结局的条件。

模型建立 有甲乙两个种群，当它们独自在一个自然环境中生存时，数量的演变均遵从Logistic 规律，记12(),()x t x t 是两个种群的数量，12,r r 是它们的固有增长率，N 1、N 2是它们的最大容量， 于是对于种群甲有

1111

(1)dx x

rx dt N =- 其中因子1

1

(1)x N -

反映由于甲方有限资源的消耗导致的对它本身增长的阻滞作用，

1

1

x N 可解释为相对于N 1而言单位数量的甲消耗的供养甲的食物量（设食物总量为1）。

当两个种群在同一自然环境中生存时，考察由于乙消耗同一种有限资源对甲的增长产生的影响，可以合理地在因子1

1

(1)x N -

中再减去一项，该项与种群乙的数量2x （相对于N 2而言）成正比，得到种群甲方增长的方程

11211112

(1)dx x x

r x dt N N σ=-- (2) 这里1σ的意义是，单位数量乙（相对N 2而言）消耗的供养甲的食物量为单位数量甲（相对N 1）消耗的供养甲的食物量的1σ倍。

类似地，甲的存在也影响了乙的增长，种群乙的方程应该是

21222212

(1)dx x x

r x dt N N σ=-- (3) 对2σ可作相应的解释。

在两种群的相互竞争中1σ、2σ是两个关键指标，从上面对它们的解释可知，

1σ＞1表示在消耗供养甲的资源中，乙的消耗多于甲，因而对甲增长的阻滞作用乙大于甲，即乙的竞争力强于甲，对2σ＞1可作相应的理解。

一般地说，1σ与2σ之间没有确定的关系，但是可以把下面这种特殊情况作为较常见的一类实际情况的典型代表，即两个种群在消耗资源中对甲增长的阻作用对乙增长的阻滞作用相同，具体地说就是，因为单位数量的甲和乙消耗的供养甲方食物量之比是1：1σ，消耗的供养甲方食物量之比是2σ：1，所谓阻滞作用相同即 1：1σ=2σ：1，所以这种特殊情形可以定量地表示为

1σ2σ=1 （4）

即1σ、2σ互为倒数，可以简单地理解为，如果一个乙消耗的食物是一个甲的1σ=k 倍，则一个甲消耗的食物是一个乙的2σ=1/k 。

下面我们仍然讨论1σ、2σ相互独立的一般情况，而将条件（4）下对问题的分析留给大家讨论。

稳定性分析 为了研究两个种群相互竞争的结局，即t →∞时12(),()x t x t 的趋向，不必要解方程（2）、（3）,只需对它的平衡点进行稳定性分析。

首先根据微分方程（2）、（3）解代数方程组

1212111121212222

12(,)(1)0(,)(1)0

x x f x x r x N N x x g x x r x N N σσ?=--=??

?

?=--=??

（5）

得到4个平衡点： 11221122341212

(1)(1)

(,0),(0,),(

,),(0,0)11N N P N P N P P σσσσσσ----

因为仅当平衡点们于平面坐标系的第一象限时（12,0x x ≥）才有实际意义，所以对3P 而言要求1σ、2σ同时小于1，或同时大于1。

按照判断平衡点性的方法（见前面）计算

1

2121121111122

22221221122(1)2(1)x x x x x x r x r f f N N N A g g r x x x r N N N σσσσ??

---?????

?==?

??????

?---???

? 12(),1,2,3,4i x x P p f g i =-+ = det ,1,2,3,4i P q A i = =

将4个平衡点p 、q 的结果及稳定条件列入下表*）

注：表中最后一列“稳定条件”除了要求p>0,q>0以外，还有其他原因，见下面的具体分析。

为了便于对平衡点P 1、P 2、P 3的稳定条件进行分析，在相平面上讨论它们。

在代数方程组（5）中记

1212112

(,)10x x

x x N N ?σ=-

-= 12

122

12

(,)10x x x x N N ψσ=--= 对于1σ、2σ的不同取值范围，直线?=0和ψ=0在相平面上的相对位置不同，下面给出它们的4种情况;并对这4种情况进行分析

1、121,1σσ<>。由表1知对于11(,0)P N 有p ＞0，q ＜0，1P 稳定；1P 的稳定性还可以从t →∞时相轨线的趋向来分析，图1中 ?=0和 ψ=0两条直线将相平面（120,0x x ≥≥）划分为3个区域：

图1 121,1σσ<> 1P 稳定

112:/0,/0S dx dt dx dt >> (6) 212:/0,/0S dx dt dx dt >< (7) 312:/0,/0S dx dt dx dt << (8)

可以证明，不论轨线从哪个区域出发，t →∞时都将趋向P 1（N 1，0）。 若轨线从S 1出发，由（6）可知随着t 的增加轨线向右上方运动，必然进入S 2；

若轨线从S 2出发，由（7）可知轨线向右下方运动，那么它或者趋向1P 点，或者进入S 3，但是进入S 3是不可能的，因为，如果设轨线在某时刻t 1经直线?=0进入S 3，则d 1x (t 1)/dt =0,由方程（2）不难算出

21112

12

2d x r dx x dt N dt

σ=-

由（7）、（8）知2/dx dt ＜0, 故221/0d x dt >，表明1x (t)在t 1达到极小值，而这是不可能的，因为在S 2中1/dx dt ＞0,即1x (t)一直是增加的；

若轨线从S 3出发，由（8）可知轨线向左下方运动，那么它或者趋向1P 点，或者进入S 2，而进入S 2后，根据上面的分析最终也将趋向1P 。

12

1

12N 2/N σ2x

综上分析可以画出轨线示意图（图1），因为直线?=0上d 1x =0，所以在?=0上轨线方向垂直于1x 轴；在ψ=0上d 2x =0,轨线方向平行于1x 轴。

2、121,1σσ><，类似的分析可知22(0,)P N 稳定。

图2 121,1σσ>< 2P 稳定

3、121,1σσ<<，由表1知对于3P 点p ＞0，q ＞0，故3P 稳定，对轨线趋势的分析见图3。

图3 121,1σσ<< 3P 稳定

1

12

12/N σ2N 2x 1

1212/N σ2N 2x

4、121,1σσ>>，由表1知对于3P 点q ＜0，故3P 不稳定（鞍点），轨线或者趋向1P ，或者趋向2P ，由轨线的初始位置决定，示意图见图4，在这种情况下1P 和2P 都不能说是稳定的，正因为这样，所以1P 稳定（与初始条件无关）的条件需要加上11σ<，2P 稳定的条件加上21σ<。

图4 121,1σσ>> 3P 不稳定

结果解释 根据建模过程中12,σσ的含义，说明1P 、2P 、3P 点稳定在生态上的意义。

1、121,1σσ<>，11σ<意味着在对供养甲的资源的竞争中乙弱于甲，21σ>意味着在对供养乙的资源的竞争中甲强于乙，于是种群乙终灭绝，种群甲趋向最大容量，即12(),()x t x t 趋向平衡点11(,0)P N

2、121,1σσ><，情况与1正好的相反。

3、121,1σσ<<，因为在竞争甲的资源中乙较弱，而在竞争乙的资源中甲较弱，于是可以达到一个双方共存的稳定的平衡状态3P ，这是种群竞争中很少出现的情况。

4、121,1σσ>>，请大家作出解释。

12

12/N σ2N 2x 1

生态学中有一个竞争排斥原理；若两个种群的单个成员消耗的资源差不多相同，而环境能承受的种群甲的最大容量比种群乙大，那么种群乙终将灭亡，用本节的模型很容解释这个原理。

将方程（2）、（3）改写为

1

11

21

2

111

(1)N x x dx N r x dt

N σ+=-

2

2

122

1

222

(1)N x x dx N r x dt

N σ+=-

原理的两个条件相当于

121

21221

1,1,N N

N N N N σσ==> 从这3个式子显然可得121,1σσ<>，这正是1P 稳定，即种群乙灭绝的条件。

二、种群的相互依存

自然界中处于同一环境下两个种群相互依存而共生的现象是很普遍的，植物可以独立生存。昆虫的的授粉作用又可以提高植物的增长率，而以花粉为食物的昆虫却不能离开植物单独存活，人类与人工饲养的牲畜之间也有类似的关系，这种共生现象可以描述如下。

设种群甲可以独立存在，按Logistic 规律增长，种群乙为甲提供食物，有助于甲的增长，类似于前面的方程（2），种群甲的数量演变规律可以写作（r 1、N 1、N 2的意义同前）

11211112

(1)dx x x

r x dt N N σ=-+ (9)

1σ前面的-号这里变成+号，表示乙不是消耗甲的资源而是为甲提供食物，1σ的含义是:单位数量乙（相对于N 2）提供的供养甲的食物量为单位数量甲（相对于N 1）消耗的供养甲食物量的1σ倍。

种群乙没有甲的存在会灭亡，设其死亡率为r 2，则乙单独存在时有

222/dx dt r x =- (10)

甲为乙提供食物，于是（2）式右端应加上甲对乙增长的促进作用，有

1

2222

1

/(1)x dx dt r x N σ=-- (11)

显然仅当1

2

1

x N σ>1时种群乙的数量才会增长，

与此相同乙的增长又会受到自身的阻滞作用，所以93）式右端还要添加Logistic 项，方程变为

12

2222

12

/(1)x x dx dt r x N N σ=--+ (12) 方程（9）、（12）构成相互依存现象的数学模型，下面利用平衡点的稳定性分析，讨论时间足够长以后两个种群的变化趋向。

类似于前面的作法将方程（9）、（12）的平衡点及其稳定性分析的结果列入表2

显然，2P 点稳定才表明两个种群在同一环境里相互依存而共生，我们着重分析2P 稳定的条件。。

由2P 的表达式容易看出，要使平衡点2P 有实际意义，即位于相平面第一象限 (120,0x x ≥≥)，必须满足下面两个条件中的一个：

1121221212:1,1,1:1,1,1

A A σσσσσσσσ<><><>

而由表2中2P 点的p 、q 可知，仅在条件1A 下2P 才是稳定的（而在2A 下2P 是鞍点，不稳定），图5画出了条件1A 下相轨线的示意图，其中12112

1x x

N N ?σ=-

+, 12

2

12

1x x N N ψσ=-+-。直线0?=和0ψ=将相平面（120,0x x ≥≥）划分为4个区

域：

112

:/0,/0S d x

d

t d x d t ><；

212:/0,/0

S dx dt dx dt >>；

312:/0,/0S dx dt dx dt <>；412:/0,/0S dx dt dx dt <<。从这4个区域中12/,/dx dt dx dt 的正负不难看出其相轨线的趋向如图5所示。

图5 在条件A 1下2P 稳定的相轨线

分析条件1A 的实际意义，其关键部分是2σ＞1，考虑到2σ的含义，这表示种群甲要为乙提供足够的食物维持其生长，而12σσ<1则是在2σ＞1条件下为2P 位于相平面第一象限所必需的，当然这要求1σ很小（11σ<是必要条件），注意到1σ的含义，这实际上是对乙向甲提供食物加以限制，以防止甲的过份增长。

在种群依存模型（9）、（12）中如果平衡点11(,0)P N 稳定，那么种群乙灭绝，没有种群的共存，请大家分析导致11(,0)P N 稳定的条件及在生态学上的意义。 评注 模型（9）、（12）是种群相互依存的一种类型，即种群甲可独立生存，

而种群乙不能，依存模型还有其它类型，如两种群均能独立生存，及均不能独立生存的情况，这些情况的稳态结果如何，大家可以类似讨论。

1

1212x

非线性微分方程和稳定性

第六章 非线性微分方程和稳定性 在19世纪中叶,通过刘维尔的工作,人们已经知道绝大多数的微分方程不能用初等积分方法求解.这个结果对于微分方程理论的发展产生了极大影响,使微分方程的研究发生了一个转折.既然初等积分法有着不可克服的局限性,那么是否可以不求微分方程的解,而是从微分方程本身来推断其解的性质呢?定性理论和稳定性理论正是在这种背景下发展起来的.前者由法国数学家庞加莱(Poincar é,1854-1912)在19世纪80年代所创立，后者由俄国数学家李雅普罗夫(Liapunov,1857-1918)在同年代所创立.它们共同的特点就是在不求出方程的解的情况下,直接根据微分方程本身的结构和特点,来研究其解的性质.由于这种方法的有效性,近一百多年以来它们已经成为常微分方程发展的主流.本章对定性理论和稳定性理论的一些基本概念和基本方法作一简单介绍. §6.1 引言 考虑微分方程 (,)d f t dt =x x (6.1) 其中函数(,)f t x 对n D R ∈?x 和t ∈(-∞,+∞)连续，对x 满足局部李普希兹条件. 设 方程(5.1)对初值(t 0,x 1)存在唯一解01(,,)x t t x ?=，而其它解记作00(,,)x x t t x =.现在的问题是：当01x x -很小时，差0001(,,)(,,)x t t x t t x ?-的变化是否也很小?本章向量1(,...,)T n x x =x 的范数取1 221 ()n i i x ==∑x . 如果所考虑的解的存在区间是有限闭区间，那么这是解对初值的连续依赖性，第2章的定理2.7已有结论.现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间，那么解对初值不一定有连续依赖性(见下面的例3)，这就产生了李雅普诺夫意义下的稳定性概念. 如果对于任意给定的0ε>和00t ≥都存在0(,)0t δδε=>，使得只要0x 满足

微分方程稳定性分解

带有时滞的动力系统的运动稳定性 分五部分内容，第一部分是Понтрягин定理，给出解实部、虚部的形式；第二部分分析了线性系统的一般性质、特征方程重根时解的表示和解的指数估计；第三部分讨论解的存在唯一性；第四部分探讨解的表达式；第五部分给出Фрид定理。以此说明特征方程根的实部的符号可以用以判断带有时滞的线性系统的稳定性。 直接法的基本定理 一、Понтрягин定理 要讨论的常系数线性系统的滞量τ为常数，所指的滞后型与中立型系统分别为1()()n i ij j ij j j x a x t b x t τ=??=+-??∑， 1 ()()()n i ij j ij j ij j j x a x t b x t c x t ττ=??=+-+-??∑，1,2, ,i n =0τ>， 这时，相应的特征方程分别是0ij ij ij a b e λτδλ-+-=， 0ij ij ij ij a b e c e λτλτλδλ--++-=。 对0τ=的情形0ij ij ij a b e λτδλ-+-=为一代数方程1 10n n n P P λλ -+++=。 在常微分方程解的稳定性理论中，关于特征方程()0P λ=的根的实部符号这样一个问题是极其重要的。如果给了方程组的平衡态之位置及其对应的特征多项式()P λ，则欲是平衡态的位置稳定，其充要条件是特征多项式()P λ的所有根都有负实部。 但是，现在的特征方程0ij ij ij a b e λτδλ-+-=，0ij ij ij ij a b e c e λτλτλδλ--++-=已不再是代数方程，可系统的稳定性仍然与特征根的分布紧紧联系在一起，这两个特征方程的一切根i λ都有0i Re λδ≤<时，系统 1()()n i ij j ij j j x a x t b x t τ=??=+-??∑， 1 ()()()n i ij j ij j ij j j x a x t b x t c x t ττ=??=+-+-??∑，1,2, ,i n =0τ>

高等数学 简明二阶微分方程讲义

高等数学简明二阶微分方程讲义 作者：齐睿添 ————微分方程的理论帮助了很多工程学,物理学中实际 问题的解决 讨论0. 欧拉公式 欧拉公式在二阶线性齐次常系数方程通解的推导和其非齐次方程的自由项为三角函数时的求解过程中有重要的应用. 讨论1. 二阶常系数线性齐次微分方程 实际问题1. 如图，在水平光滑平面上有一物体在弹簧和阻尼器的牵拉下往复运动.阻力f的大小与物体运动速率成正比，阻力f的方向与速度方向相反（f=-cv）.

物体的位置随时间如何变化？ 设位置函数x=x(t) 已知: F弹=-kx,f=-cv 故由牛顿第二定律: 合力=-kx-cv=ma 即a+(c/m)v+(k/m)x=0 得到微分方程： 记 得到形如下式的方程（*） 这便是一个二阶常系数线性齐次微分方程. 其通解如下表所示: 特征方程

(上表的具体推导与证明详见教材P174-177) 可以发现其通解形式是符合物块运动的直观直觉的. 1）如果阻力很大，弹簧弹性弱，那么物块晃动两下很快就会停止. 这种情况下,列出方程的通解应是表中第一条或者第二条. 例如:取m=1kg, k=3, c=4, 一开始物块位置在+0.5m处, 给予它一个初速度-5 m/s. 我们依照数学习惯将时间(自变量)记为x, 将位置(因变量）记为y. 那么方程为: . 特征方程为，有两个不相等实根 通解为 把初值条件带入 求得 故该例的解为 图像

2)如果阻力很小,弹簧的弹性很强,那么物块将反复往返震荡,幅度随时间越来越小.这种情况下方程通解应是上表第三条. 例如: 取m=1kg,c=3,k=4,一开始物块位置在+0.5m处, 给予它一个初速度-5 m/s. 即为 带入初值条件 C_1=1/2, C_2=-17根号7/14 图像为

常微分方程考研讲义第三章一阶微分方程解的存在定理

第三章一阶微分方程解的存在定理 [教学目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解 的误差估计式。 2.了解解的延拓定理及延拓条件。 3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。 [教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 12学时 [教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。 [考核目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。 2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。 3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。 §1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法 微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。 例如方程

2dy y dx = 过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2y x =或更一般地，函数 2 0 0() c<1 x c y x c x ≤≤?=?-≤? 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。 解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义；如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。 1．存在性与唯一性定理： （1）显式一阶微分方程 ),(y x f dx dy = （3.1） 这里),(y x f 是在矩形域：00:||,||R x x a y y b -≤-≤ （3.2） 上连续。 定理1：如果函数),(y x f 满足以下条件：1）在R 上连续：2）在R 上关于变量y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数0L >，使对于R 上任何一对点1(,)x y ， 2(,)x y 均有不等式1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-成立，则方程（3.1）存在唯一的解()y x ?=，在区间0||x x h -≤上连续，而且满足初始条件 00()x y ?= （3.3）

微分方程稳定性理论简介

第五节 微分方程稳定性理论简介 这里简单介绍下面将要用到的有关内容： 一、 一阶方程的平衡点及稳定性 设有微分方程 ()dx f x dt = （1） 右端不显含自变量t ，代数方程 ()0f x = （2） 的实根0x x =称为方程（1）的平衡点（或奇点），它也是方程（1）的解（奇解） 如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解()x t 都满足 0lim ()t x t x →∞ = （3） 则称平衡点0x 是稳定的（稳定性理论中称渐近稳定）；否则，称0x 是不稳定的（不渐近稳定）。 判断平衡点0x 是否稳定通常有两种方法，利用定义即（3）式称间接法，不求方程（1）的解()x t ，因而不利用（3）式的方法称直接法，下面介绍直接法。 将()f x 在0x 做泰勒展开，只取一次项，则方程（1）近似为： 0'()()dx f x x x dt =- （4） （4）称为（1）的近似线性方程。0x 也是（4）的平衡点。关于平衡点0x 的稳定性有如下的结论： 若0'()0f x <，则0x 是方程（1）、（4）的稳定的平衡点。 若0'()0f x >，则0x 不是方程（1）、（4）的稳定的平衡点 0x 对于方程（4）的稳定性很容易由定义（3）证明，因为（4）的一般解是 0'()0()f x t x t ce x =+ （5） 其中C 是由初始条件决定的常数。

二、 二阶（平面）方程的平衡点和稳定性 方程的一般形式可用两个一阶方程表示为 112212 () (,)()(,) dx t f x x dt dx t g x x dt ?=??? ?=?? （6） 右端不显含t ，代数方程组 1212 (,)0 (,)0f x x g x x =?? =? （7） 的实根0012 (,)x x 称为方程（6）的平衡点。记为00 012(,)P x x 如果从所有可能的初始条件出发，方程（6）的解12(),()x t x t 都满足 101lim ()t x t x →∞ = 20 2lim ()t x t x →∞ = （8） 则称平衡点00 012(,)P x x 是稳定的（渐近稳定）；否则，称P 0是不稳定的（不渐 近稳定）。 为了用直接法讨论方法方程（6）的平衡点的稳定性，先看线性常系数方程 11112 22122 () ()dx t a x b x dt dx t a x b x dt ?=+??? ?=+?? （9） 系数矩阵记作 1 12 2a b A a b ??=???? 并假定A 的行列式det 0A ≠ 于是原点0(0,0)P 是方程（9）的唯一平衡点，它的稳定性由的特征方程 det()0A I λ-= 的根λ（特征根）决定，上方程可以写成更加明确的形式： 2120()det p q p a b q A λλ?++=? =-+??=? （10） 将特征根记作12,λλ，则

常微分方程讲义 (2)

常微分方程讲义（一） 课程目标： 掌握常用的常微分方程解题技巧；利用常微分方程的思想建模。上课方式： 课堂讲授、练习与考试。 课程特点： 承接高数、微积分、数学分析等课程而来，与导数、积分的关系非常紧密，在经济数学中有广泛的应用；常与其他数学工具与方法混合使用。 参考书目： 《常微分方程》，蔡燧林编著，武汉大学出版社，2003；及所有标注有“常微分方程”、“应用”、“经济数学”、“金融数学”的教材与专著。 为什么在模拟经济变化时要引入常微分方程？ 注重刻画在无穷小时间段内的变量的动态变化，实现了从“静态”向“动态”的飞跃。 微分方程比初等函数更近于现实，更真于模拟。 什么是方程？)(x y 。 f 什么是微分方程？ dy的方程； 常微分方程：含有dy、dx、 dx

偏微分方程：含有y ?、x ?、x y ??的方程。 x y ??的几何含义：割线、割线的斜率 dx dy 的几何含义：切线、切线的斜率 dx dy x y x =??→?0lim ：数学上——切线的斜率，导数 经济上——变化率，边际 例：求2x y =与x e y =的导数 应当记下来的等式： 1)'(-=n n nx x ，c x dx nx n n +=?-1 x x e e =)'(，c e dx e x x +=? x x 1 )'(ln =，C x dx x +=?ln 1 x x cos )'(sin =，?+=C x xdx sin cos x x sin )'(cos -=，?+=-C x dx x cos )sin ( x tgx 2sec )'(=，?+=C tgx xdx 2sec x ctgx 2csc )'(-=，?+=-C ctgx dx x )csc (2 0)'(=C k kx =)'( '')'(b a b a +=± '')'(ab b a ab += 2' ')'(b ab b a b a -= '')])'([(g f x g f =

第5章 定性和稳定性理论简介(常微分方程)

第5章定性和稳定性理论简介 在十九世纪中叶,通过Liouville等人的工作,人们已经知道绝大多数微分方程不能用初等积分法求解.这个结果对微分方程理论的发展产生了极大的影响,使微分方程的研究发生了一个转折.既然初等积分法有着不可克服的局限性,那么是否可以不求微分方程的解,而从微分方程本身来推断其性质呢?定性理论和稳定性理论正是在这种背景下发展起来的.前者由法国数学家Poincare(1854-1912)在19世纪80年代所创立,后者由俄国数学家Liapunov(1857-1918)在同年代所创立.它们共同的特点就是在不求出方程解的情况下,直接根据微分方程本身的结构与特点,来研究其解的性质.由于这种方法的有效性,近一百多年以来它们已经成为常微分方程发展的主流.本章对定性理论和稳定性理论的一些基本概念和基本方法作一简单介绍. 第一讲§5.1 稳定性（Stability）概念(5课时) 一、教学目的：理解稳定、渐近稳定和不稳定的概念；掌握零解的稳 定、渐近稳定的概念；学会判定一些简单微分方程零 解的稳定和渐近稳定性。 二、教学要求：理解稳定、渐近稳定和不稳定的概念；掌握简单微分 方程零解的稳定和渐近稳定性的判定。 三、教学重点：简单微分方程零解的稳定和渐近稳定性的判定。 四、教学难点：如何把一般解的稳定性转化为零解的稳定性。 五、教学方法：讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 六、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 七、教学过程：

1．稳定性的定义 考虑微分方程组 (,)dx f t x dt = （5.1） 其中函数(,)f t x 对n x D R ∈?和(,)t ∈-∞+∞连续，对x 满足局部Lipschitz 条件。 设方程（5.1）对初值01(,)t x 存在唯一解01(,,)x t t x ?=，而其它解记作00(,,)x x t t x = 。 现在的问题是：当01x x -很小是，差 0001(,,)(,,) x t t x t t x ?-的变化是否也很小？本章向量1 2 (,,,)T n x x x x = 的范数取 1 221n i i x x =?? = ? ?? ∑。 如果所考虑的解的存在区间是有限区间，那么这是解对初值的连续依赖性，在第二章的定理2.7已有结论。现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间，那么解对初值不一定有连续依赖性，这就产生了Liapunov 意义下的稳定性概念。 定义 5.1 如果对于任意给定的0 ε>和00t ≥都存在0(,)0 t δδε=>, 使得只要 01x x δ -<，就有 0001(,,)(,,)x t t x t t x ?ε -< 对一切0t t ≥成立，则 称（5.1）的解01(,,)x t t x ?=是稳定的。否则是不稳定的。 定义5.2 假定01(,,)x t t x ?=是稳定的，而且存在11(0)δδδ<≤，使得只要 011x x δ-< ，就有 0001l i m ((,,) (,,))0t x t t x t t x ?→∞ -= ，则称 （5.1）的解01(,,)x t t x ?=是渐近稳定的。 为了简化讨论，通常把解01(,,)x t t x ?=的稳定性化成零解的稳定性问题.下面记00()(,,) x t x t t x =01()(,,)t t t x ??=作如下变量代换. 作如下变量代 换.

微分方程稳定性

目录 摘要 ............................... 错误!未定义书签。ABSTRACT ............................ 错误!未定义书签。前言 ............................... 错误!未定义书签。微分方程稳定性分析原理.................. 错误!未定义书签。捕鱼业的持续收获模型 ................... 错误!未定义书签。种群的相互竞争模型..................... 错误!未定义书签。参考文献 ............................ 错误!未定义书签。

摘要 微分方程稳定性理论是微分方程的一个重要的理论。微分方程理论就是通过一些定量的计算来研究系统的稳定性，也就是系统在受到干扰项偏离平衡状态后能否恢复到平衡状态或者是平衡状态附近的位置。用微分方程描述的物质运动的特点依赖于初值，而初值的计算或者测定不可避免的又会出现误差和干扰。如果描述这个系统运动的微分方程的特解是不稳定的，则初值的微小误差和干扰都会导致严重的后果。因此，不稳定的特解不适合作为我们研究问题的依据，只有稳定的特解才是我们需要的。本文就一阶微分方程和二阶微分方程的平衡点及稳定性进行了分析，并且建立了捕鱼业持续收获模型和两种群相互竞争模型。 【关键词】微分方程；平衡点；稳定性；数学建模

ABSTRACT Differential equation stability theory is an important theory of differential equations. Differential equation theory is to study the stability of the system by some quantitative calculation, also is the system in the disturbance of deviating from the equilibrium state after the item will return to equilibrium or is near the equilibrium position. Using differential equation to describe the characteristics of the material movement depends on the initial value, and the calculation of initial value or determination of the inevitable will appear the error and interference. If the special solution of the differential equation describing the system movement is unstable, the initial value of small errors and interference will lead to serious consequences. Therefore, special solution is not suitable for the unstable as the basis of our research question, only stable solution is we need. In this paper, the first order differential equation of second order differential equation and the balance and the stability are analyzed, and the fishing sustained yield model is established and two species and two species competing models. 【key words】Differential equations; Balance; Stability; Mathematical modeling

基础讲义(下)复习过程

2015基础讲义(下)

2015年考研数学基础班讲义(下) 武忠祥 第 七 章 微 分 方 程 考 试 内 容 概 要 （一）常微分方程的基本概念 1.微分方程 含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。简称方程。 2.微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。 3.微分方程的解 满足微分方程的函数，称为该方程的解。 4.微分方程的通解 如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则称之为微分方程的通解。 5.微分方程的特解 微分方程的不含任意常数的解，称之为特解。 6.初始条件 确定特解的一组常数称为初始条件。 7.积分曲线 方程的一个解在平面上对应一条曲线，称为该微分方程的积分曲线。 （二）一阶微分方程 1.可分离变量的方程 能表示为x x f y y g d )(d )(=的方程，称为可分离变量的方程. 求解的方法是两端积分 .d )(d )(??=x x f y y g 2. 齐次方程 能化为 ?? ? ??=x y dx dy ?的微分方程称为齐次微分方程.

求解齐次微分方程的一般方法为：令x y u = ，则u x u y '+='，从而将原方程化为u u u x -=')(?，此方程为可分离变量的方程。 3. 线性方程 形如)()(x Q y x p y =+'的方程称为一阶线性微分方程。 求解一阶线性微分方程的一般方法为常数变易法，或直接利用以下通解公式 .d e )(e d )(d )(?? ????+??=?-C x x Q y x x p x x p 4. 伯努利方程 （仅数学一要求） 形如n y x Q y x p y )()(=+'的方程)1,0(≠n ，称为伯努利方程。 求解伯努利方程的一般方法为：令n y u -=1，将原方程化为一阶线性微分方程。 5. 全微分方程（仅数学一要求） 如果方程0d ),(d ),(=+y y x Q x y x P 的左端是某个函数),(y x u 的全微分： y y x Q x y x P y x du d ),(d ),(),(+= 则称该方程为全微分方程。 此方程的通解为 C y x u =),( 求),(y x u 有以下三种方法 1）偏积分 2）凑微分 3）线积分 当),(),,(y x Q y x P 在单连通域G 内具有一阶连续偏导数时，方程 0d ),(d ),(=+y y x Q x y x P 是全微分方程的充要条件是 x Q y P ??=??

常微分方程考研讲义第三章一阶微分方程解的存在定理

常微分方程考研讲义第三章－一阶微分方程解的存在定理

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第三章一阶微分方程解的存在定理 ［教学目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法,熟练近似解的 误差估计式。 2.了解解的延拓定理及延拓条件。 3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。 [教学重难点］解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。 ［教学方法] 讲授,实践。 ［教学时间]12学时 ［教学内容]解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件,解对初值的连续性、可微性定理及其证明。 [考核目标］ 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。 2．熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。 3．利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。 §1解的存在性唯一性定理和逐步逼近法 微分方程来源于生产实践际,研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律,能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是,大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题的研究就显得十分重要,从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论,稳定性理论以及其他理论的基础。 例如方程

常微分方程讲义word版

常微分方程讲义（三） 常微分方程的初等积分解法： 1、可分离变量方程 ??=?=dx x g dy y h y h x g dx dy )() (1)()( 2、齐次方程（一般含有 x y y x 或的项） ),(y x f dx dy =，令ux y =，可消去右边的x 则)(),(u f ux x f u dx du x ==+ 例：x y xtg y xy =-' 例：3 4 4 322xy x y y x dx dy --= 例：2 2 2y x xy dx dy += 例： 1)0(,322 2=-=y y x xy dx dy 例：22y x y dx dy x -+= 3、一阶线性非齐次方程 ?+=)()(x b y x a dx dy 常数变易法 或])([)()(?+?? =-C dx e x b e y dx x a dx x a 例：e y e y dx dy x x ==-+)1(,0 例：1)1()1(++=-+n x x e ny dx dy x 例：2 11'x xy y --=

例：2 12 22sin 22sin 1x e y x dx dy y x ++=+ 4、贝努利方程 n y x b y x a dx dy )()(+= 令n y z -=1，则dx dy y n dx dz n --=)1(，代入得： )()1()()1()()(1x b n z x a n dx dz x b y x a dx dy y n n +++=?+=-- 可将伯努力方程化成一阶线性非齐次 例：)1(22y x xy dx dy += 例： xy y x dx dy -=sin 12 例：0)]ln 1([3=++-dx x xy y xdy 例：0)sin (cos 4=+-dx y x y xdy 例： 21 1y y x dx dy -+-= 当)(x b 为常数时，可直接运用常数变易法，该贝努利方程已变为一种一阶线性非齐次的特例 5、全微分方程 0),(),(=+dy y x N dx y x M 第一种情况：若 x N y M ??=?? 则??+=y y x x d x N d y M y x u 0 ),(),(),(0ηηξξ 或??+=y y x x d x N d y M y x u 0 ),(),(),(0ηηξξ 方程解为C y x u =),(，其中),(00y x 在定义域内任取 例：0=+xdy ydx 、0=±ydy xdx 例： 02 2=+-y x ydx xdy

常微分方程讲义和作业

第四章 常微分方程与数学模型 微积分最主要的应用可能就是微分方程了，在物理学、力学、工程技术、经济学和管理科学等实际问题中具有广泛的应用。 一、什么是微分方程 例1：含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程，例如 ()dy u x dx =，其中()y f x =为未知函数，()u x 为已知函数。满足上述方程的函数()y f x =称为微分方程的 解。求下列微分方程满足所给条件的解： （1） 2(2)dy x dx =-，20x y ==； （2）2232d x dt t =，1 1t dx dt ==，11t x ==。 二、分离变量法 ※例2：求微分方程y xy '=的通解。 解： 变形为： dy xy dx =， 分离变量：1 dy xdx y =（此时漏掉解0y =）， 两边同时积分： 1 dy xdx y =??， 得：211ln 2 y x C =+， 2 2111122 x C x C y e e e +==， 从而221112 2 2x x C y e e C e =±=，其中12C C e =±，为任意非零常数， 但0y =亦是方程的解，统一起来，方程的通解为：

212 x y Ce =，C 为任意常数。 上述求解过程比较繁琐，由于经常出现，为方便计，从分离变量后开始将求解过程简写为： 两边同时积分： 1 dy xdx y =??， 得：21ln ln 2 y x C =+， 从而 2 211ln 2 2 x x C y e e Ce == 这个过程严格说是有问题的，但比较简洁，又能得到正确的结果，所以常被采用。 例3：(1)牛顿冷却定律指出：如果物体和周围环境之间的温度相差不是很大的话，物体冷 却速度与温差成正比（同样可用于加热的情况）。命()T t 表示在时刻t 物体的温度，c T 表示周围环境的温度（假定是常数），建立微分方程并求解，得出()T t 的变化规律。 (2)清晨，警察局接到报案，街头发现一具死尸，6:30时测量体温为18℃，7:30时再测一次为16℃，室外温度为10℃（假定不变），人正常体温为37℃，请估计被害人何时死亡？（死亡时刻记为0t ，则0()37T t =，时刻6:30计算时看成6.5） 例4：人口预测 记时刻t 的人口为()P t ，当考察一个国家或一个较大地区的人口时，()P t 是一个很大的整数，为了利用微积分这一数学工具，将()P t 视为连续、可微函数．记初始时刻(0)t =的人口为0P ，假设人口增长的速度（即增长率）与t 时刻的人口数量()P t 成正比，利用下表中数据为20世纪世界人口建模，增长率是多少，建立的模型与数据相符合吗？ 解：设比例系数为μ（即增长率），则()P t 满足的微分方程为： 0,(0)dP P P P dt μ==. 解出 0 ()t P t Pe μ= ， 表明人口将按指数规律随时间无限增长(0μ>)．上式称为人口指数增长模型，也称为马尔

常微分方程 稳定性理论

§6.4 李雅普诺夫第二方法上一节我们介绍了稳定性概念,但是据此来判明系统解的稳定性,其应用范围是极其有限的. 李雅普诺夫创立了处理稳定性问题的两种方法:第一方法要利用微分方程的级数解,在他之后没有得到大的发展;第二方法是在不求方程解的情况下,借助一个所谓的李雅普诺夫函数)(x V 和通过微分方程所计算出来的导数 dt x dV ) (的符号性质,就能直接推断出解的稳定性,因此又称为直接法.本节主要介绍李雅普诺夫第二方法. 为了便于理解,我们只考虑自治系统 )(x F dt dx =n R x ∈ (6.11) 假设T n x F x F x F ))(,),(()(1 =在{} K x R x G n ≤∈=上连续,满足局部利普希茨条件,且 O O F =)(. 为介绍李雅普诺夫基本定理,先引入李雅普诺夫函数概念. 定义6.3 若函数 R G x V →:)( 满足0)(=O V ,)(x V 和 i x V ??),,2,1(n i =都连续,且若存在K H ≤<0,使在{} H x x D ≤=上)0(0)(≤≥x V ,则称)(x V 是常正(负)的;若在D 上除O x ≠外总有 )0(0)(<>x V ,则称)(x V 是正(负)定的;既不是常正又不是常负的函数称为变号函数. 通常我们称函数)(x V 为李雅普诺夫函数.易知: 函数2 22 1x x V +=在),(21x x 平面上为正定的; 函数 )(2 22 1x x V +-=在),(21x x 平面上为负定的; 函数222 1x x V -=在),(21x x 平面上为变号函数;

函数 2 1x V =在),(21x x 平面上为常正函数. 李雅普诺夫函数有明显的几何意义. 首先看正定函数),(21x x V V =. 在三维空间),,(21V x x 中, ),(21x x V V =是一个位于坐标面21Ox x 即0=V 上方的曲面.它与坐标面21Ox x 只在一个点,即原点)0,0,0(O 接触(图6-1(a)).如果用水平面 C V =(正常数)与),(21x x V V =相交,并将截口垂直投影到21Ox x 平面上,就得到一组一个套一个的闭曲线族C x x V =),(21 (图6-1(b)),由于),(21x x V V =连续可微,且 0)0,0(=V ,故在021==x x 的充分小的邻域中, ),(21x x V 可以任意小.即在这些邻域中 存在C 值可任意小的闭曲线C V =. 对于负定函数),(21x x V V =可作类似的几何解释,只是曲面),(21x x V V =将在坐标面21Ox x 的下方. 对于变号函数),(21x x V V =,自然应对应于这样的曲面,在原点O 的任意邻域,它既有在21Ox x 平面上方的点,又有在其下方的点. 定理6.1 对系统(6.11),若在区域D 上存在李雅普诺夫函数)(x V 满足 (1) 正定; (2) )(1 ) 11.5(x F x V dt dV i n i i ∑ =??=常负, (a) (b)

微分方程稳定性理论简介

微分方程稳定性理论简介 1、一阶自治方程 ()()x t f x = （１） 使代数方程()0f x =的实根=x 0x 称为（1）的平衡点或奇点。0x x =也是方程（1）的解。 设x(t)是方程的解，若从0x 的 某邻域的任一初值出发都有0lim ()t x t x →+∞=，则称0x 是方程(1)的稳定平衡点（渐近稳定）；否则，称0x 是方程(1) 的不稳定平衡点。 例 dx x dt =- 判断平衡点稳定性的方法 （1） 间接法：利用定义，需要求出方程的解 （2） 直接法：不求方程的解 方程（１）的近似方程为： ))(()(00x x x f t x -'= （２） 对于一阶方程（１）与（２）的平衡点0x 的稳定性有如下结论： 若0()0f x '<，则0x 是（１）与（２）的稳定平衡点 若0()0f x '>，则0x 是（１）与（２）的不稳定平衡点 2、二阶方程 可用两个一阶方程表示为 ()(,)()(,)x t f x y y t g x y =??=? （３） 二维（平面）自治系统 使 (,)0(,) 0f x y g x y =??=? 的实根000(,)P x y 称为（３）的平衡点。同样，若存在000(,)P x y 的某个邻域的任一初值))0(),0((y x 出发，当t →+∞时 00((),())(,)x t y t x y →，则称000(,)P x y 是稳定的平衡点。 应用直接法讨论（３）的稳定性，先看线性常系数方程 ()()x t ax by y t cx dy =+??=+? （４） 二维（平面）线性自治系统

系数矩阵记做 a b A c d ??=???? ，设det 0A ≠，此时（４）有唯一平衡点0(0,0)P 。它的稳定性由（４）的特征方程 det()0A I λ-= 的根所决定。 2det()()0a b A I a d ad bc c d λλλλλ --==-++-=- 结论： 0????→???????????→???????????????????????????????????→???????→?? - （S 稳定）同号结点相异+ （U ）异号鞍点 (U)实根- (S)临界结点+ (U)重根- (S)退化结点+ (U)- (S)实部不为0焦点复根+ (U) 实部为中心（U ） 进一步，令()p a d =-+,det q ad bc A =-=，则特征方程为20p q λλ++=，特征根为 1,21 (2p λ=-± 1)240p q -> i) 0q > 0结点（S ）p >→ 0结点（U ）p <→ ii) 0鞍点（U ）q <→ 2) 240p q -= 0临界（退化）结点（S ）p >→0临界（退化）结点（U ）p <→ 3) 240p q -< 0焦点（S ）p >→0焦点（U ）p >→

常微分方程讲义(4-6)

常微分方程讲义（四、五、六） 常微分方程的初等积分解法： 1、可分离变量方程 ??=?=dx x g dy y h y h x g dx dy )() (1)()( 2、齐次方程（一般含有x y y x 或的项） ),(y x f dx dy =，令ux y =，可消去右边的x 则)(),(u f ux x f u dx du x ==+ 例：x y xtg y xy =-' 例：344322xy x y y x dx dy --= 例： 222y x xy dx dy += 例：1)0(,3222=-=y y x xy dx dy 例：2 2y x y dx dy x -+= 3、一阶线性非齐次方程 ?+=)()(x b y x a dx dy 常数变易法 或])([)()(?+?? =-C dx e x b e y dx x a dx x a 例：e y e y dx dy x x ==-+)1(,0 例：1)1()1(++=-+n x x e ny dx dy x

例：211'x xy y --= 例：212 22sin 22sin 1x e y x dx dy y x ++=+ 4、贝努利方程 n y x b y x a dx dy )()(+= 令n y z -=1，则dx dy y n dx dz n --=)1(，代入得： )()1()()1()()(1x b n z x a n dx dz x b y x a dx dy y n n +++=?+=-- 可将伯努力方程化成一阶线性非齐次 例： )1(22y x xy dx dy += 例：xy y x dx dy -=sin 12 例：0)]ln 1([3=++-dx x xy y xdy 例：0)sin (cos 4=+-dx y x y xdy 例：21 1y y x dx dy -+-= 当)(x b 为常数时，可直接运用常数变易法，该贝努利方程已变为一种一阶线性非齐次的特例 5、全微分方程 0),(),(=+dy y x N dx y x M 第一种情况：若 x N y M ??=?? 则??+=y y x x d x N d y M y x u 00),(),(),(0ηηξξ 或??+=y y x x d x N d y M y x u 00),(),(),(0ηηξξ 方程解为C y x u =),(，其中),(00y x 在定义域内任取 例：0=+xdy ydx 、0=±ydy xdx 例：02 2=+-y x ydx xdy

稳定性分析与分数阶微分方程

东华大学 2013~ 2014学年第II 学期研究生期末考试试题 考试学院：理学院 考试专业：基础数学应用数学 考试课程名称：稳定性分析与分数阶微分方程 学号姓名得分 （考生注意：答案必须写在答题上，写在本试题纸上一律不给分）[试题部分] 一、根据所学知识，概述Lyapunov第二方法的核心思想和基本理 论。 二、针对某一类问题或某个模型，运用Lyapunov第二方法进行 稳定性分析。 三、综述分数阶微积分的三种定义方式及其性质和联系。 四、谈谈你对分数阶微分方程研究的认识和看法。 要求：1. 第二题结合每人曾经报告过的文献来完成； 2. 用电子文档打印，并提交电子文件。

一、根据所学知识，概述Lyapunov 第二方法的核心思想和基本理论 李雅普诺夫（Lyapunov ）提出了两种方法，分析运动的稳定性: 第一方法包含许多步骤，包括最终用微分方程的显式解来对稳定性近行分析，是一个间接的方法。 第二方法不是求解微分方程组，而是通过构造李雅普诺夫函数（标量函数）来直接判断运动的稳定性，因此又称为直接法。 李雅普诺夫直接法（也称第二方法）是整个稳定性理论的核心方法，李雅普诺夫1892年提出的稳定性理论、渐近稳定性定理及两个不稳定性定理，奠定了运动稳定性的基础，被誉为稳定性的基本定理。目前仍是研究非线性、时变系统最有效的方法，是许多系统控制律设计的基本工具。 李雅普诺夫第二方法的核心思想： 以二维自治系统为例，李雅普诺夫直接法借助于一个V 函数，利用方程右端的信息来探测解的稳定性的原始几何思想。 考虑方程 ?????==),(),(21222111 x x f dt dx x x f dt dx 0)0,0()0,0(21==f f 其中21,f f 连续，保证解的唯一性. 设),()(21x x V x V =是K 类函数，且],[)(1 21+∈R R C x V ,此方程的解 T t x t x t x ))(),(()(21=的信息是未知的，但它的导数满足 )),(),,((),(2122112. 1. x x f x x f x x =的信息是已知的，因为21,f f 是已知函数. 姑且把任意解)(t x 代入)(x V 得到))((:)(t x V t V =. 粗略的说，平凡解的稳定性（包括渐近稳定性、稳定、不稳定）是由解)(t x “走近”原点，“不远离”原点，“远离”原点来决定的，而这些信息分别等价于 ))((t x V 是t 的下降、不增、上升函数。由于],[)(121+∈R R C x V ，后者又分别等价于 0)) ((,0))((,0))((>≤