高等数学上册知识点
一、 函数与极限 （一） 函数
1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；
2、 反函数、复合函数、函数的运算；
3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函
数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点；
函数)(x f 在
0x 连续 )()(lim 00
x f x f x
x =→
第一类：左右极限均存在.
间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点
5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定
理及其推论.
（二） 极限 1、 定义 1） 数列极限
εε<->?N ∈?>??=∞
→a x N n N a x n n n , , ,0lim
2） 函数极限
εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00
时，当
左极限：)(lim )(0
0x f x f x x -
→-= 右极限：)(lim )(0
0x f x f x
x +→+= )()( )(lim 000
+
-→=?=x f x f A x f x x 存在
2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤
2
）
a z y n n n n ==→∞
→∞
lim lim a x n n =∞
→lim
2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量
1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~
ααββαo +=?;
Th2 αβαβαβββαα'
'
=''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则；
3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限：
a) 1sin lim 0=→x
x x b) e x x x
x x
x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1
0 5） 无穷小代换：（0→x ） a)
x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~
b) 2
2
1~cos 1x x -
c) x e x ~1- （
a x a x ln ~1-） d) x x ~)1ln(+ （a
x x a ln ~)1(log +）
e) x x αα
~1)1(-+
二、 导数与微分 （一） 导数
1、 定义：0
00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 左导数：0
00)
()(lim )(0
x x x f x f x f x x --='-
→-
右导数：0
00)
()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+
→+ 函数
)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='?
2、 几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率.
3、 可导与连续的关系：
4、 求导的方法
1） 导数定义； 2） 基本公式； 3） 四则运算；
4） 复合函数求导（链式法则）； 5） 隐函数求导数； 6） 参数方程求导；
7） 对数求导法. 5、 高阶导数
1） 定义：??
?
??=dx dy dx d dx y d 22
2） Leibniz 公式：()∑=-=n
k k n k k n n v u C uv 0)
()()
( （二） 微分
1） 定义：)()()(00x o x A x f x x f y ?+?=-?+=?，其中A 与x ?无关. 2） 可微与可导的关系：可微?可导，且dx x f x x f dy )()(00'=?'=
三、 微分中值定理与导数的应用 （一） 中值定理
1、 Rolle 定理：若函数
)(x f 满足：
1）
],[)(b a C x f ∈； 2）),()(b a D x f ∈； 3）)()(b f a f =；
则0)(),,(='∈?ξξf b a 使.
2、 Lagrange 中值定理：若函数
)(x f 满足：
1）
],[)(b a C x f ∈； 2）),()(b a D x f ∈；
则))(()()(),,(a b f a f b f b a -'=-∈?ξξ使. 3、 Cauchy 中值定理：若函数
)(),(x F x f 满足：
1）],[)(),(b a C x F x f ∈； 2）),()(),(b a D x F x f ∈；3）
),(,0)(b a x x F ∈≠' 则)()()()()()(),,(ξξξF f a F b F a f b f b a ''=--∈?使
（二） 洛必达法则 （三） T aylor 公式 （四） 单调性及极值
1、 单调性判别法：
],[)(b a C x f ∈，),()(b a D x f ∈，则若0)(>'x f ，则
)(x f 单调增加；则若0)(<'x f ，则)(x f 单调减少.
2、 极值及其判定定理：
a) 必要条件：)(x f 在0x 可导，若0x 为)(x f 的极值点，则0)(0='x f . b) 第一充分条件：)(x f 在0x 的邻域内可导，且0)(0='x f ，则①若当0
x x <时，0)(>'x f ，当0x x >时，0)(<'x f ，则0x 为极大值点；②若当0x x <时，0)(<'x f ，当0x x >时，0)(>'x f ，则0x 为极小值点；③若在0x 的两侧
)(x f '不变号，则0x 不是极值点.
c) 第二充分条件：
)(x f 在0x 处二阶可导，且0)(0='x f ，0)(0≠''x f ，则
①若0)(0<''x f ，则0x 为极大值点；②若0)(0>''x f ，则0x 为极小值点.
3、 凹凸性及其判断，拐点
1）)(x f 在区间I 上连续，若2)
()()2( ,,212121x f x f x x f I x x +<+∈?，则称)(x f 在区间I 上的图形是凹的；若2
)
()()2( ,,212121x f x f x x f I x x +>+∈?，则称)(x f 在区间I 上的图形是凸的.
2）判定定理：)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 上有一阶、二阶导数，则 a) 若0)(),,(>''∈?x f b a x ,则)(x f 在],[b a 上的图形是凹的； b) 若0)(),,(<''∈?x f b a x ,则)(x f 在],[b a 上的图形是凸的.
3）拐点：设)(x f y =在区间I 上连续，0x 是)(x f 的内点，如果曲线)(x f y =经
过点))(,(00x f x 时，曲线的凹凸性改变了，则称点))(,(00x f x 为曲线的拐点. （五） 不等式证明
1、 利用微分中值定理；
2、 利用函数单调性；
3、 利用极值（最值）. （六） 方程根的讨论
1、 连续函数的介值定理；
2、 Rolle 定理；
3、 函数的单调性；
4、 极值、最值；
5、 凹凸性. （七） 渐近线
1、 铅直渐近线：∞=→)(lim x f a
x ，则a x =为一条铅直渐近线； 2、 水平渐近线：b x f x =∞
→)(lim ，则b y =为一条水平渐近线； 3、 斜渐近线：k x
x f x =∞→)
(lim b kx x f x =-∞→])([lim 存在，则b kx y +=为一条斜 渐近线.
（八） 图形描绘
四、 不定积分 （一） 概念和性质
1、 原函数：在区间I 上，若函数)(x F 可导，且)()(x f x F ='，则)(x F 称为
)(x f 的一个原函数.
2、 不定积分：在区间I 上，函数)(x f 的带有任意常数的原函数称为)(x f 在区
间I 上的不定积分.
3、 基本积分表（P188，13个公式）；
4、 性质（线性性）.
（二） 换元积分法
1、 第一类换元法（凑微分）：[])()(d )()]([x u du u f x x x f ???=??='
2、 第二类换元法（变量代换）：[])(1d )()]([)(x t t t t f dx x f -='=?????
（三） 分部积分法：
??-=vdu uv udv
（四） 有理函数积分 1、“拆”；
2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）.
五、 定积分 （一） 概念与性质： 1、 定义：
∑?
=→?=n
i i i b
a
x f dx x f 1
)(lim )(ξλ
2、 性质：（7条）
性质7 （积分中值定理） 函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则],[b a ∈?ξ，使
))(()(a b f dx x f b
a
-=?
ξ （平均值：
a
b dx x f f b
a
-=
?)()(ξ）
（二） 微积分基本公式（N —L 公式） 1、 变上限积分：设?
=
Φx
a
dt t f x )()(，则)()(x f x =Φ'
推广：)()]([)()]([)()
()
(x x f x x f dt t f dx d x x ααβββα'-'=? 2、 N —L 公式：若)(x F 为)(x f 的一个原函数，则)()()(a F b F dx x f b
a
-=?
（三） 换元法和分部积分 1、 换元法：
??
'=β
α
??t t t f dx x f b
a
d )()]([)(
2、 分部积分法：[]??
-=b
a
b a
b
a
vdu uv udv
（四） 反常积分 1、 无穷积分：
?
?+∞→+∞
=t
a
t a dx x f dx x f )(lim )( ?
?
-∞→∞-=b
t t b
dx x f dx x f )(lim
)(
?
?
?
+∞
∞
-+∞
∞
-+=0
)()()(dx x f dx x f dx x f
2、 瑕积分：
??+→=b
t
a
t b
a dx x f dx x f )(lim )(（a 为瑕点）
??
-→=t
a
b
t b
a
dx x f dx x f )(lim )(（b 为瑕点）
两个重要的反常积分：
1)
????
?
>
-
≤
∞
+
=-
∞
+
?
1
,
1
1
,
d
1
p
p
a
p
x
x
p
a p
2)?
?
?
?
?
≥
∞
+
<
-
-
=
-
=
-
-
?
?
1
,
1
,
1
)
(
)
(
d
)
(
d
1
q
q
q
a
b
x
b
x
a
x
x
q
b
a q
b
a q
六、定积分的应用
（一）平面图形的面积
1、直角坐标：?-
=b
a
dx
x
f
x
f
A)]
(
)
(
[
1
2
2、极坐标：?-
=β
α
θ
θ
?
θ
?d
A)]
(
)
(
[
2
12
1
2
2
（二） 体积
1、 旋转体体积：
a)曲边梯形x b x a x x f y ,,),(===轴，绕x 轴旋转而成的旋转体的体积：
?=b
a
x dx x f V )(2π
b)曲边梯形x b x a x x f y ,,),(===轴，绕y 轴旋转而成的旋转体的体积：
?=b
a
y dx x xf V )(2π （柱壳法）
2、 平行截面面积已知的立体：?
=b
a
dx x A V )(
（三） 弧长
1、 直角坐标：[]?
'+=b
a
dx x f s 2
)(1
2、 参数方程：[][]?'+'=β
α
φ?dt t t s 2
2)()( 3、 极坐标：[][]?'+=β
α
θθρθρd s 22)()(
七、 微分方程 （一） 概念
1、 微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程. 阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.
2、 解：使微分方程成为恒等式的函数.
通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同. 特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.
（二） 变量可分离的方程
dx x f dy y g )()(=，两边积分??=dx x f dy y g )()(
（三） 齐次型方程
)(x y dx dy ?=，设x y u =，则dx du
x u dx dy +=； 或)(y x dy dx φ=，设y x v =，则dy dv y v dy dx +=
（四） 一阶线性微分方程
)()(x Q y x P dx
dy
=+ 用常数变易法或用公式：
???
???+??=?-C dx e x Q e y dx x P dx
x P )()()(
（五） 可降阶的高阶微分方程
1、
)()
(x f y n =，两边积分n 次； 2、),(y x f y '=''（不显含有y ），令p y ='，则p y '=''； 3、),(y y f y '=''（不显含有x ），令p y ='，则dy dp
p y =''
（六） 线性微分方程解的结构
1、21,y y 是齐次线性方程的解，则2211y C y C +也是；
2、21,y y 是齐次线性方程的线性无关的特解，则2211y C y C +是方程的通解；
3、*
2211y y C y C y ++=为非齐次方程的通解，其中21,y y 为对应齐次方程的
线性无关的解，*
y 非齐次方程的特解.
（七） 常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性方程：
0=+'+''qy y p y
特征方程：02
=++q pr r ，特征根：
21,r r
（八） 常系数非齐次线性微分方程 )(x f qy y p y =+'+''
1、
)()(x P e x f m x λ=
设特解)(*x Q e x y m x k λ=，其中
???????=是重根
是一个单根不是特征根
, λ, λ, λk 210 2、
()x x P x x P e x f n l x ωωλsin )(cos )()(+=
设特解[]x
x R x x R e x y m m x k ωωλsin )(cos )()
2()1(*+=，
其中 } ,max{n l m =，?????++=是特征根
不是特征根i i k ωλωλ ,1 ,0
第一讲 极限与连续 主要内容概括（略） 重点题型讲解 一、极限问题 类型一：连加或连乘的求极限问题 1．求下列极限： （1）???? ? ?+-++?+?∞→)12)(12(1 531311lim n n n Λ； （2）1 1 lim 332+-=∞→k k n k n π； （3）∑=∞ →+n k n n k k 1]) 1(1 [ lim ； 2．求下列极限： （1）???? ??++++++∞→n n n n n 22241 2411 41lim Λ； 3．求下列极限： （1）??? ? ??++++++∞→2222221 211 1lim n n n n n Λ； （2）n n n n !lim ∞ →； （3）∑ =∞ →++ n i n n i n 1 2 11 lim 。 类型二：利用重要极限求极限的问题 1．求下列极限： （1）)0(2 cos 2cos 2cos lim 2≠∞→x x x x n n Λ； （2）n n n n n n 1sin )1(lim 1+∞→+； 2．求下列极限： （1）( ) x x x cos 11 20 sin 1lim -→+； （3）) 21ln(103 sin 1tan 1lim x x x x x +→?? ? ??++； （4）2 1cos lim x x x ?? ? ?? ∞ →； 类型三：利用等价无穷小和麦克劳林公式求极限的问题 1．求下列极限： （1）) cos 1(sin 1tan 1lim 0x x x x x -+-+→； （2）)cos 1(lim tan 0x x e e x x x --→； （3）]1)3cos 2[(1lim 30 -+→x x x x ； （4）)tan 1 1(lim 220x x x -→；
高等数学考研复习资料，最全篇，适合于一遍，二遍复习研究细节，祝你考研数学春风得意马，突破130分大关！ 目录 一、函数与极限 ········································································错误!未指定书签。 1、集合的概念····································································错误!未指定书签。 2、常量与变量····································································错误!未指定书签。 2、函数·············································································错误!未指定书签。 3、函数的简单性态······························································错误!未指定书签。 4、反函数··········································································错误!未指定书签。 5、复合函数·······································································错误!未指定书签。 6、初等函数·······································································错误!未指定书签。 7、双曲函数及反双曲函数·····················································错误!未指定书签。 8、数列的极限····································································错误!未指定书签。 9、函数的极限····································································错误!未指定书签。 10、函数极限的运算规则 ······················································错误!未指定书签。
第三章 中值定理与导数的应用 ?????? ? ? ?? ?? ?? ??????????? ?????????????? ??必要条件求解函数的性态，充分渐近线凹凸性，拐点单调性，极值，最值—求极限—洛必达法则—应用数，求极限证明，确定无穷小的阶泰勒中值定理柯西中值定理拉格朗日中值定理罗尔定理中值定理 第一节 微分中值定理
极值:设) f在0x的某一邻域) (x U内有定义，若 (0x 对一切) ) ( (0x f≤,则 f≥)) x f ( U (0x x ( x∈有) f (0x ) 称) (x f的极f在0x取得极小（大）值，称0x是) (x 小（大）值点，极小值和极大值统称为极值，极小值点和极大值点统称为极值点。 费马引理：设) f在0x (x f'存在， (0x x=取极值，又)
则0)(0='x f 。 在0x x =取极值的必要条件：可导的极值点导数必为零。
驻点：若0)(='a f ，则称a x =为)(x f 的驻点。 可导的极值点一定为驻点，但是驻点不一定为极值点。 定理1（罗尔定理）： 条件： ①)(x f 在],[b a 上连续； ②在),(b a 可导； ③)()(b f a f = 结论： 一定存在),(b a ∈ξ，
使得0)(='ξf 。 几何意义：设AB 是 （1）定义在],[b a 上的光滑曲线)(x f y =； （2）若除端点外处处有不垂直于x 轴的切线； （3）两端点纵坐标相等 则在AB 上至少存在一点C ，其切线是水平的． 即两端点同高的连续曲线内至少有一点的切线是水平的．（如图所示）
课程配套讲义说明1、配套课程名称2013年考研数学高数中值定理及定积分公开课（汤家凤） 2、课程内容 此课程为2013年考研数学高数部分的公开课，主要讲授定积分部分。 3、主讲师资 汤家凤——主讲高等数学、线性代数。 著名考研辅导专家，南京大学博士，南京工业大学教授，江苏省大学生数学竞赛优秀指导教师。凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。 4、讲义： 6页（电子版） 文都网校 2011年5月27日
公开课二：定积分理论 一、实际应用背景 1、运动问题—设物体运动速度为)(t v v =，求],[b a t ∈上物体走过的路程。 （1）取b t t t a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n t t t t t t b a -???= ， 其中)1(1n i t t t i i i ≤≤-=?-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，i n i i t f S ?≈ ∑=)(1ξ； （3）取}{max 1i n i x ?=≤≤λ，则i n i i x f S ?=∑=→)(lim 1 ξλ 2、曲边梯形的面积—设曲线)(0)(:b x a x f y L ≤≤≥=，由b x a x L ==,,及x 轴围成的区域称为曲边梯形，求其面积。 （1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -???= ， 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=?-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，i n i i x f A ?≈ ∑=)(1ξ； （3）取}{max 1i n i x ?=≤≤λ，则i n i i x f A ?=∑=→)(lim 1 ξλ。 二、定积分理论 （一）定积分的定义—设)(x f 为],[b a 上的有界函数， （1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -???= ， 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=?-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，作 i n i i x f ?∑=)(1 ξ； （3）取}{m a x 1i n i x ?=≤≤λ， 若i n i i x f ?∑=→)(lim 1 ξλ存在，称)(x f 在],[b a 上可积，极限称为) (x f 在],[b a 上的定积分，记 ? b a dx x f )(，即?b a dx x f )(i n i i x f ?=∑=→)(lim 1 ξλ。
第八章 无穷级数（数学一和数学三） 引言：所谓无穷级数就是无穷多项相加，它与有限项相加有本质不同，历史上曾经对一个无穷级数问题引起争论。例如： 历史上曾有三种不同看法，得出三种不同的“和” 第一种 0)11()11()11(=+-++-+-ΛΛ 第二种 1)11()11()11(1=-------ΛΛ 第三种 设S n =+-++-+-+ΛΛ1 )1(1111 则[]S =+-+--Λ11111 这种争论说明对无穷多项相加，缺乏一种正确的认识。 1) 什么是无穷多项相加？如何考虑？ 2) 无穷多项相加，是否一定有“和”？ 3) 无穷多项相加，什么情形有结合律，什么情形有交换律等性质。因此对无穷级数的基本概 念和性质需要作详细的讨论。 § 8.1 常数项级数 （甲） 内容要点 一、基本概念与性质 1. 基本概念 无穷多个数ΛΛ,,,,,321n u u u u 依次相加所得到的表达式ΛΛ+++++=∑∞ =n n n u u u u u 3211 称 为数项级数（简称级数）。 ∑===n k k n u S 1 123n u u u u ++++L （Λ,3,2,1=n ）称为级数的前n 项的部分和， {}),3,2,1(Λ=n S n 称为部分和数列。 n n S ∞ →lim 若不存在，则称级数∑∞ =1n n u 是发散的，发散级数没有和的概念。 （注：在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。） 2． 基本性质 （1） 如果 （2） 在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。 （3） 收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不
第三章 一元函数积分学 §3.1 不定积分 （甲） 内容要点 一、 基本概念与性质 1、 原函数与不定积分的概念 设函数f(x)和F(x)在区间I 上有定义，若()F x '= f(x)在区间I 上成立。则称F(x)为f(x)在区间I 的原函数，f(x)在区间I 中的全体原函数成为f(x)在区间I 的不定积分，记为? f(x)dx 。 其中 ? 称为积分号，x 称为积分变量，f(x)称为被积分函数，f(x)dx 称为被积 表达式。 2、 不定积分的性质 设? f(x)dx ＝F(x)＋C ,其中F(x)为f(x)的一个原函数，C 为任意常数。 则 (1)()?'dx x F ＝F(x)＋C 或? )x (d F ＝F(x)＋C (2)[ ]' ?f(x )dx = f(x) 或 d []?f(x)dx ＝f(x)dx (3)?dx )x (kf ＝k ? dx )x (f (4) []dx )x (g )x (f ?±=??±dx )x (g dx )x (f 3、原函数的存在性 设f(x)在区间I 上连续，则f(x)在区间I 上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定是初等函数，例如dx )sin(x 2 ? ，dx )x (cos 2 ? ， dx x sinx ?，dx x cosx ?，?lnx dx ， dx e 2 x ?－等被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出 来。 二、 基本积分表（略） 三、 换元积分法和分部积分法 1、 第一换元积分法（凑微分法） 设 ()f (u)du F(u)+C, x ?=?又可导， ()()()() f x x dx f x d x ????'??????????则＝()x u ?＝令?du u )(f =F(u)+C=F[()x ?]+C 这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如 流” ，也就是非常熟练地凑出微分。
考研数学春季强化班高数讲义
第一章 函数 极限 连续 一．函数 1． 函数的概念（定义、定义域、对应法则、值域） 2． 函数的性态 1）单调性 定义：单调增： ).()(2121x f x f x x '单调增； 2)奇偶性 定义：偶函数 );()(x f x f =- 奇函数 ).()(x f x f -=- 判定：(1）定义： (2）设)(x f 可导，则： a))(x f 是奇函数? )(x f '是偶函数； b))(x f 是偶函数? )(x f '是奇函数； (3）连续的奇函数其原函数都是偶函数； 连续的偶函数其原函数之一是奇函数。 3)周期性 定义：)()(x f T x f =+ 判定：(1)定义； (2）可导的周期函数其导函数为周期函数； (3）周期函数的原函数不一定是周期函数；
4)有界性 定义：若;)(,,0M x f I x M ≤∈?>?则称)(x f 在I 上有界。 判定：（1）定义： （2）)(x f 在],[b a 上连续)(x f ?在],[b a 上有界； （3）)(x f 在),(b a 上连续，且)0()0(-+b f a f 和存在)(x f ?在 ）（b a ,上有界； （4）)(x f '在区间I （有限）上有界)(x f ?在I 上有界； 3．复合函数与反函数 (函数分解成简单函数的复合,分段函数的复合) 4．基本的初等函数与初等函数 基本初等函数: 常数，幂函数 ,指数,对数,三角,反三角。了解它们定义域,性质,图形. 初等函数: 由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个 解析式表示的函数. 题型一 复合函数 例1设)1(-x f 的定义域为),0(],,0[>a a ，则)(x f 的定义域为 (A) ]1,1[+a (B) ]1,1[--a (C) ],1[a a - (D) ]1,[+a a 例2已知,1)]([,)(2x x f e x f x -==?且,0)(≥x ?求)(x ?及其定义域。 =)((x ?)0,)1ln(≤-x x 例3设???≥<=0,10,0)(x x x f , ? ??≤-<-=||1,2||1||,2)(2x x x x x g 试求)]([)],([x f g x g f . ( ???≤<<≤=||21||,12||1,0)]([x x x x g f 或 ???≥-<=0 ,10,2)]([x x x f g ) 题型二 函数性态
2012年考研数学一高等数学考试大纲 一、函数、极限、连续 考试内容 函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限: 函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质 考试要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系. 2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念． 4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念. 5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系． 6．掌握极限的性质及四则运算法则. 7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法． 8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．
9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型． 10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质． 二、一元函数微分学 考试内容 导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L’Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值和最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径 考试要求 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系． 2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分． 3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数． 4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数. 5．理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理． 6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．
高等数学考研辅导讲义 概念清楚 题型全面 方法得当 灵活熟练
多元函数微分学 一 、 二元函数 1、二元函数的解析式 例1 设2 (,),xy f x y x y = +求(,(,))f x f x x 例2.设22(,)y f x y x y x +=-，求(,)f x y 本例小结 2、二元函数的极限 例3 设22 22 22 0(,)0 0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=?，讨论(,)(0,0)P x y O →时函数极限 例4 设22242 22 0(,)0 0x y x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ，讨论(,)(0,0)P x y O →时函数极限 本例小结 例5 0x y →→ 2 1lim 1x x y x y a xy +→∞→?? + ?? ?（0a ≠常 数） 例6 22200sin lim x y x y x y →→+ 22 2200 1lim()sin x y x y x y →→++ 332200lim x y x y x y →→++
例7 00 x y →→ 22 22200 lim()x y x y x y →→+ 本例小结 3、二元函数连续；偏导存在；可微的讨论 连 续 可 微 偏导函数连续 偏导存在 （1）.函数在()00x y ，处连续?()()00 00lim x x y y f x y f x y →→=，， （2）. 函数在()00x y ，处的偏导 ()00x f x y '，=()() 00000 lim x f x x y f x y x ?→+?-?，， 或 ()00x f x y '，=()() 0000 lim x x f x y f x y x x →--，， （3）. 函数在()00x y ，处可微 ?0 (,)lim 0x f x x y y f x y f x y x f x y y ?→→''+?+?--?-?=，，，
考研数学高等数学基础讲义 目录 第一讲极限 (1) 第二讲高等数学的基本概念串讲 (9) 第三讲高等数学的基本计算串讲 (13) 第四讲高等数学的基本定理串讲 (24) 第五讲微分方程 (27) 第六讲多元函数微积分初步 (29)
1 第一讲 极限 核心考点概述 1.极限的定义 2.极限的性质 3.极限的计算 4.连续与间断内容展开 一、极限的定义 1. lim 是什么？ lim 是什么？ x →? n →∞ （1）lim 的情况： x →? ①“ x → ? ”代表六种情形： x → x , x → x +, x → x - , x → ∞, x → +∞, x → -∞ ②函数极限运算的过程性——必须保证在作极限运算的过程中函数处处有定义，否则极限过程便无从谈起，于是极限就不会存在了。比如下面这个例子： sin x sin 1 x 【例】计算lim x →0 . x sin 1 x 事实上，在 x = 0 点的任一小的去心邻域内，总有点 x = → 0（| k | 为充分大的正整数）， k π sin x s in 1 sin x s in 1 x x 使 在该点没有定义，故lim 不存在. x sin 1 x x →0 x sin 1 x （2）lim 是什么？ n →∞ 2.极限的定义 （1）函数极限的定义： lim f (x ) = A ? ?ε > 0, ?δ > 0, 当0 < x →x 0 x - x 0 < δ 时，恒有 f (x ) - A < ε 1
n n 1 2 注：趋向方式六种 （2）数列极限定义： lim x = a ? ?ε > 0, ?N > 0, 当n > N 时，恒有 x - a < ε n →∞ 注：趋向方式只有一种 【例】以下三个说法， （1）“ ?ε > 0 ，?X > 0 ，当 x > X 时，恒有件； ε f (x ) - A < e 10 ”是“ lim x →+∞ f (x ) = A ”的充要条 （ 2 ）“ ? 正整数 N ， ? 正整数 K ，当 0 < “ lim f (x ) = A ”的充要条件； x →x 0 x - x 0 ≤ K 时，恒有 f (x ) - A ≤ 1 ” 是 2N （3）“ ?ε ∈ (0,1) ， ? 正整数 N ，当n ≥ N 时，恒有| x n - a |≤ 2ε ”是“数列{x n } 收敛于a ” 的充要条件； 正确的个数为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 二、极限的性质 1.唯一性 （1） lim e x = ∞, lim e x = 0 ，（2）lim sin x 不存在（3）lim arctan x 不存在（4）lim [x ] x →+∞ x →-∞ x →0 x x →∞ x →0 不存在 1 - π e x 1 【例】设k 为常数，且 I = lim x →0 +k ? arctan 存在，求 k 的值，并计算极限 I 。 x e x +1 2
一份好的考研复习资料，会让你的复习力上加力。中公考研辅导老师为考生准备了【高等数学-无条件极值知识点讲解和习题】，同时中公考研网首发2017考研信息，2017考研时间及各科目复习备考指导、复习经验，为2017考研学子提供一站式考研辅导服务。 模块十四 多元函数微分学的应用 一、无条件极值 1、基本概念 设D 是二元函数(,)z f x y =的定义域，()000,P x y 是D 的内点，若存在0P 的邻域0()U P ，使得对任意异于0P 的点()0,()x y U P ∈均有()00,(,)f x y f x y <（或()00,(,)f x y f x y >），则称函数(,)z f x y =在点0P 处取得极大值（或极 小值），点0P 称为函数(,)z f x y =的极大值点（或极小值点），极大值点 与极小值点统称为极值点. 2、常用公式、定理 (1）极值的必要条件： 定理：设函数(,)z f x y =在00(,)x y 点具有偏导数，且在该点能够取到极值，则有0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==. (2）极值的充分条件： 定理：设函数(,)z f x y =在00(,)x y 点的某邻域内具有连续的一阶及二阶偏导数，又设0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==.令 （1）若20AC B ->，则函数(,)z f x y =在00(,)x y 点具有极值.当0A >时
取得极小值；当0A <时取得极大值. （2）若20AC B -<，则函数(,)z f x y =在00(,)x y 点不能取到极值. （3）若20AC B -=，则函数(,)z f x y =在00(,)x y 点可能有极值，也可能没有极值. 【例1】：设可微函数(,)u f x y =在点00(,)x y 取得极小值，则下列结论中正确的是（）. ()A 0(,)f x y 在0y y =处的导数等于0 ()B 0(,)f x y 在0y y =处的导数大于0 ()C 0(,)f x y 在0y y =处的导数小于0 ()D 0(,)f x y 在0y y =处的导数不一定存在 答案：().A 【例2】：设函数(,)z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点(0,0). ()A 不是(,)z f x y =的连续点；()B 不是(,)z f x y =的极值点 ()C 是(,)z f x y =的极大值点；()D (,)z f x y =的极小值点 答案：().D 【例3】：计算下列函数的极值 （1）22(,)4()f x y x y x y =---；（2）222(,)(2).x f x y e x y y =++ 答案：（1）8 极大值;（2）1e -. 【例4】：求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值. 答案：1e -极小值. 【例5】：设函数()1cos y y z e x ye =+-，证明：函数(,)z f x y =有无穷多个极大值点，而无极小值点.
第一讲 极限与连续 一、数列的极限 1、数列极限的定义 定义1：如果对0>?ε，0>?N ，使得当N n >时，总有ε<-||a x n ， 则称a 为数列{n x }的极限，记作a x n n =∞ →lim ，或a x n →（)∞→n . 2、计算数列极限常常需要用到的几个结论： )0(01 lim >=∞→p n p n ；)1|(|0lim <=∞ →q q n n ；)0(1lim 1 >=∞→a a n n ；1lim 1 =∞→n n n . 3、收敛数列的相关性质 定理1：收敛数列必有界. 定理2：如果a x n n =∞ →lim ，且0>a （或0?N ，当N n >时， 有0>n x （或0
2019年考研数学高等数学复习讲义 第一章 函数、极限、连续 §1.1 函数 （甲）内容要点 一、函数的概念 1.函数的定义 设D 是一个非空的实数集，如果有一个对应规划f ，对每一个x D ∈，都能对应惟一的一个实数y ，则这个对应规划f 称为定义在D 上的一个函数，记以y =f (x )，称x 为函数的自变量，y 为函数的因变量或函数值，D 称为函数的定义域，并把实数集 {}|(),Z y y f x x D ==∈ 称为函数的值域。 2.分段函数 如果自变量在定义域内不同的值，函数不能用同一个表达式表示，而要用两上或两个以上的表达式来表示。这类函数称为分段函数。 例如 21<1() -115 >1x x y f x x x x x +-?? ==≤≤??? 是一个分段函数，它有两个分段点，x ＝－1和x ＝1，它们两侧的函数表达式不同，因此讨论函数y =f (x )在分段点处的极限、连续、导数等问题时，必须分别先讨论左、右极限，左、右连续性和左、右导数。需要强调：分段函数一般不是初等函数，不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理。 3.隐函数 形如y =f (x )有函数称为显函数，由方程F （x ，y ）=0确定的y ＝y (x )称为隐函数，有些隐函数可以化为显函数（不一定是一个单值函数），而有些隐函数则不能化为显函数。 4.反函数 如果y =f (x )可以解出()x y ?=是一个函数（单值），则称它为f (x )的反函数，记以1()x f y -=。有时也用1()y f x -=表示。 二、基本初等函数 1.常值函数 y ＝C （常数） 2.幂函数 y x α=（α常数） 3.指数函数 x y a =（a ＞0，a ≠1常数）