13.3.2（等腰三角形的判定）练习题
一、选择题
1、等腰三角形顶角度数是120 ，则一腰上的高与底边的夹角是（）
A.30
B. 60
C.90
D.30 或60
2、已知等腰三角形一个内角为70 ，则另两个内角的度数为（）
A..55 ，55
B.70 , 40
C. 55 ，55 或70 , 40
D.以上都不对
3、如图在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D，下列结论不一定成立的是（）
A. AD=BD
B. BD=CD
C.∠BAD=∠CAD
D.∠B=∠C
4、如图，在在△ABC中，AB=AC,∠A=36 ，BD,CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中等腰三角形有（）
A. 5个
B. 4个C。3个D。2个
5、给定命题：①在△ABC中，∠A=∠B，AC=BC，则△ABC为等边三角形：②在△ABC 中，∠A=2∠B，则BC=2AC：③直角三角形中，30°角所对的边等于斜边上的中线，其中正确命题的个数是（）
A.1
B.2
C.3
D.0
（第3题）（第4题）
二、填空题
1、一个等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长是________
2、在等腰三角形ABC中，AB=2AC,三角形周长是40cm，则AB=_________
3、如图1△ABC中，AB=AC,点D,E,F分别在BC,AB,AC上，且DE=BE,DF=DC,若∠A=40°则∠EDF=_____
4、如图2在Rt△ABC中，∠ACB=90°∠BAC的平分线AD交BC于点D,DE//AC,DE交AB于点E,M为BE的中点，连接DM，在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中的等腰三角形是___________(写出一个即可)
图1 图2 图3
5、如图3 ，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是__________(写出所有的正确答案序号)
①∠BAD=∠CAD ②BD=CD
③AB+BD=AC+CD ④AB-BD=AC-CD
三、解答题
1、如图，E为等边三角形ABC的边AC上一点，∠1=∠2，CD=BE,
求证?ADE 是等边三角形
2、如图，在?ABC 中，AB=AC,D 为BC 边上一点，∠B=30 ，∠DAB=45
.
（1）求∠DAC 的度数
（2）求证DC=AB
3、如图，梯形ABCD 的周长是20cm ，∠ABC=60
，CD//AB,AC//DE,且AB=AC=AD=DE,计算?DCE 的周长。
4、如图，CE 是?ABC 的角平分线，过点E 作BC 的平行线，交AC 于点D,交外角∠ACG 的平分线于点F,求证：DE=DF
5、如图，已知点D 是AC 的中点，?DEC 是等腰三角形，DE=DC,∠BAC=∠ABC 证明：（1）BC=AD+DE, (2)AD=2
1BC
等腰三角形和直角三角形专项练习题 一、选择题 1.等腰三角形一底角为30°,底边上的高为9cm,则腰长为（ ）cm ． D.39 2.已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3．则直角三角形的面积为（ ） 3.如图，△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，AE 平分∠BAC 交BC 于E ，BD ⊥AE 于D ，DM ⊥AC 于M ，连接CD ．下列结论：①AC+CE=AB ；②CD ＝21AE ；③∠CDA=45°；④AM AB AC =定值．其中正确的有（ ） 个 个 个 个 4.等腰三角形的一个角等于20°,则它的另外两个角等于:（ ） °、140°°、140°或80°、80°°、80°°、80° 5.如图，BE 和AD 是△ABC 的高，F 是AB 的中点，则图中的三角形一定是等腰三角形的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 6.下列命题正确的是（ ） A.等腰三角形只有一条对称轴 B.直线不是轴对称图形 C.直角三角形都不是轴对称图形 D.任何一角都是轴对称图形 7.等腰三角形两边分别为35厘米和22厘米,则它的第三边长为( ) 或22cm 8.下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（) A.两条直角边对应相等 B.有两条边对应相等 C.一条边和一锐角对应相等 D.一条边和一个角对应相等 9.等腰三角形中,AB 长是BC 长2倍,三角形的周长是40,则AB 的长为( ) 或16 10.如图已知:AB ＝AC ＝BD,那么∠1与∠2之间的关系满足( ) A.∠1＝2∠2∠1＋∠2＝180° C.∠1＋3∠2＝180° ∠1－∠2＝180° 二、填空题 1. 等腰三角形的腰长是底边的4 3，底边等于12cm ，则三角形的周长为______cm. 2. 等腰三角形的底角是65°,顶角为________. 3. 等腰三角形的一个内角为100°,则它的其余各角的度数分别为_______. 4. 等腰三角形的顶角等于一个底角的4倍时,则顶角为_________度． 5. 已知如图，A 、D 、C 在一条直线上AB ＝BD ＝CD,∠C ＝40°,则∠ABD ＝_______ 6. 如图,∠P ＝25°,又PA ＝AB ＝BC ＝CD,则∠DCM ＝_______度. 第7题
第2课时等腰三角形的判定精选练习含答案 一．选择题（共8小题） 1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，则图中等腰三角形共有（） A． 5个B． 6个C． 7个D． 8个 第1题第2题第4题 7．如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O为原点，P是x轴上的一个动点，假如以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（） A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 3．下列条件中不能确定是等腰三角形的是（） A．三条边都相等的三角形D．一条中线把面积分成相等的两部分的三角形 B．有一个锐角是45°的直角三角形C．一个外角的平分线平行于三角形一边的三角形4．如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于点O，给出四个条件：①OB=OC；②∠EBO=∠DCO；③∠BEO=∠CDO；④BE=CD．上述四个条件中，选择两个能够判定△ABC是等腰三角形的方法有（） A． 2种B． 3种C． 4种D． 6种 5．下列能确信△ABC为等腰三角形的是（） A．∠A=30°，∠B=60°B．∠A=50°，∠B=80° C． AB=AC=2，BC=4 D． AB=3，BC=7，周长为13 6．下列说法中：（1）顶角相等，同时有一腰相等的两个等腰三角形全等；（2）底边相等，且周长相等的两个等腰三角形全等；（3）腰长相等，且有一角是50°的两个等腰三角形全等；（4）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；错误的有（） A． 1个B．2个C． 3个D．4个 7．已知下列各组数据，能够构成等腰三角形的是（） A． 1，2，1 B． 2，2，1 C． 1，3，1 D．2，2，5 8．已知：如图，下列三角形中，AB=AC，则通过三角形的一个顶点的一条直线能够将那个三角形分成两个小等腰三角形的是（）
第1课时等边三角形的性质和判定（课堂训练） 一．选择题（共8小题） 1．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（）A． 180°B． 220°C． 240°D． 300° 2．下列说法正确的是（） A．等腰三角形的两条高相等C．有一个角是60°的锐角三角形是等边三角形 B．等腰三角形一定是锐角三角形D．三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等3．在△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC为等边三角形；②若∠A=∠B=∠C，则△ABC 为等边三角形；③有两个角都是60°的三角形是等边三角形；④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（） A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个 4．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A．25° B． 30°C．45°D． 60° 5．如图，已知D、E、F分别是等边△ABC的边AB、BC、A C上的点， 且DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB，则下列结论不成立的是（） A．△DEF是等边三角形B．△ADF≌△BED≌△CFE C．DE=AB D．S△ABC=3S△DEF 6．如图，在△ABC中，D、E在BC上，且BD=DE=AD=AE=EC，则∠BAC的度数是（）A． 30°B． 45°C． 120°D． 15° 7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A． 4cm B． 3cm C． 2cm D． 1cm 第1 题第4题第5题第7题8．已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（） A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形二．填空题（共10小题） 9．已知等腰△ABC中，AB=AC，∠B=60°，则∠A=_________度． 10．△ABC中，∠A=∠B=60°，且AB=10cm，则BC=_________cm． 11．在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则△ABC是_________三角形． 12．如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD的形状是_________ 13．如图，M、N是△ABC的边BC上的两点，且BM=MN=NC=AM=AN．则∠BAN= _________．
等腰三角形练习题 一、计算题： 1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数 设∠ABD 为x,则∠A 为2x 由8x=180° 得∠A=2x=45° 2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数 设∠A 为x, 由5x=180° 得∠A=36° 3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=70°， 求∠AFD 的度数 ∠AFD=160° 4. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数 A B C D F E F E A D B C X x x 2x 2x A B C D E x x 3x 2x 3x 2x 2x A x
设∠A 为x ∠A= 7 180 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数 设∠ADE 为x ∠EDC=∠AED －∠C=15° 6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=2 1,DE+BC=1, A B C D E x x 180°－2x 30° x －15° x －15° A
求∠ABC 的度数 延长DE 到点F,使EF=BC 可证得:△ABC ≌△BFE 所以∠1=∠F 由∠2+∠F=90°, 得∠1+∠F=90° 在Rt △DBF 中, BD=21,DF=1 所以∠F =∠1=30° 7. 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值 在AC 上取一点E,使AE=AB 可证△ABD ≌△ADE 所以∠B=∠AED 由AC=AB+BD,得DE=EC, 所以∠AED=2∠C 故∠B ：∠C=2:1 二、证明题： 8. 如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于 点D 、E 求证：DE=BD+AE 证明△PBD 和△PEA C B A D E P A B C D E
等腰三角形专项训练 一、选择与填空 1、一个等腰三角形的一个角是50° ,它的一腰上的高与底边的夹角是() A． 25°B． 40°C． 25°或 40°D．不确定 . 2、.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300,则顶角的度数为（） 0或 150 00或 120 0 0 B.1200 3、有一个等腰三角形的周长为25,一边长为 11,那么腰长为 () A． 11B． 7C．14D． 7 或 11 4、等边三角形的两条高线相交所成钝角的度数是() A． 105°B． 120°C． 135°D． 150° 5 、下列命题正确的个数是() ①如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等, 那么过这点与顶点的直线必垂直于底边 ;②如果把等腰三角形的底边向两个方向延长相等的线段, 那么延长线段的两个端点与顶点距离相等; ③等腰三角形底边中线上一点到两腰的距离相等; ④等腰三角形高上一点到底边的两端点距离相等. 个个个个 6、下列图形中一定有 4 条对称轴的是（） A.长方形 B.正方形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 7、下列图形 : ①两个点 ; ②线段 ; ③角 ;④长方形 ; ⑤两条相交直线 ; ⑥三角形 , 其中一定是轴对称图形的有（） 个个个个 8、等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴有（） 条条条条或3条 9、若点 P 为⊿ ABC 内部一点，且PA=PB=PC，则点 P 是⊿ ABC的（） （ A）三边中线的交点（B）三内角平分线的交点 （ C）三条高的交点（D）三边垂直平分线的交点 10 若△ ABC两边的垂直平分线的交点在三角形的外部，则△ABC 是（） A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．都有可能 11、等腰△ ABC中， AB=AC=10，∠ A=30 °，则腰 AB 上的高等于 ___________． 12、在△ ABC中 ,AB=AC,AD⊥ BC 于 D,由以上两个条件可得_________________.( 写出一个结论即可 )
E D C B A 等腰三角形的判定和性质练习 1．在△ABC 中，AB =AC ，若∠B =56o，则∠C =__________． 2． 若等腰三角形的一个角是50°，则这个等腰三角形的底角为_____________． 3． 若等腰三角形的两边长分别为x cm 和（2x －6）cm ，且周长为17cm ，则第 三边的长为________． 4． 如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，若∠CAD =25°，则∠ABE = ，若BC =6，则CD = ． 5．△ABC 中，AB =AC ，∠ABC =36°，D ．E 是BC 上的点，∠BAD =∠DAE =∠EAC ，则图中等腰三角形有______个 6．等腰三角形一腰上的高与底边夹角为20°，则其顶角的大小为___________． 7．如图，∠ABC =50°，∠ACB =80°，延长CB 到D ，使BD =AB ，延长BC 到E ，使CE =CA ，连接AD ．AE ，则∠DAE =_______． 8．如下图，△MNP 中， ∠P =60°，MN =NP ，MQ ⊥PN ，垂足为Q ，延 长MN 至G ，取NG =NQ ，若△MNP 的周长为12，MQ =a ，则△MGQ 周长是 ． 9．△ABC 中，∠C =∠B ，D ．E 分别是AB ．AC 上的点，AE =2cm ，且DE ∥BC ，则AD =______ < 10．如图，∠AOB 是一个钢架且∠AOB =10°，为了使钢架更加牢固，需在内部添加一些 钢管EF ，FG ，GH ，…，添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管______ 根． 11．如图△ABC 中，AB =AC ，AD 、BE 是△ABC 的高，它们相交于H ，且AE=BE ． 求证：AH =2BD ． @ 12．△ABC 为非等腰三角形，分别以AB 、AC 为腰向△ABC 外作等腰直角三角形ABD 和等腰直角三角形ACE ，且∠DAB =∠EAC =90°．求证：（1）BE =CD ；（2）BE ⊥CD ． 》 13．如图，点D 、E 在ABC ?的边BC 上，AB AC =，AD AE =． 求证：BD CE = 14．如图，AB AC =，30BAD ∠=，且AD AE =．求EDC ∠的度数． — E D C B A P Q M N G
八年级数学上册：等腰三角形的判定定理及推论练习（含答案） 一．选择题（共8小题） 1．如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD,CE分别为∠ABC,∠ACB的角平分线,则图中等腰三角形共有（） A．5个B．6个 C．7个 D．8个 第1题第2题第4题 7．如图,坐标平面内一点A（2,﹣1）,O为原点,P是x轴上的一个动点,如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形,那么符合条件的动点P的个数为（） A．2 B． 3 C． 4 D． 5 3．下列条件中不能确定是等腰三角形的是（） A．三条边都相等的三角形D．一条中线把面积分成相等的两部分的三角形 B．有一个锐角是45°的直角三角形C．一个外角的平分线平行于三角形一边的三角形4．如图,在△ABC中,D、E分别是AC、AB上的点,BD与CE相交于点O,给出四个条件：①OB=OC； ②∠EBO=∠DCO；③∠BEO=∠CDO；④BE=CD．上述四个条件中,选择两个可以判定△ABC是等腰三角形的方法有（） A．2种 B．3种 C．4种 D．6种 5．下列能断定△ABC为等腰三角形的是（） A．∠A=30°,∠B=60°B．∠A=50°,∠B=80° C．AB=AC=2,BC=4 D．AB=3,BC=7,周长为13
6．下列说法中：（1）顶角相等,并且有一腰相等的两个等腰三角形全等；（2）底边相等,且周长相等的两个等腰三角形全等；（3）腰长相等,且有一角是50°的两个等腰三角形全等；（4）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；错误的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．已知下列各组数据,可以构成等腰三角形的是（） A．1,2,1 B．2,2,1 C．1,3,1 D． 2,2,5 8．已知：如图,下列三角形中,AB=AC,则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（） A．①③④ B．①②③④C．①②④ D．①③ 二．填空题（共10小题） 9．用若干根火柴（不折断）紧接着摆成一个等腰三角形,底边用了10根,则一腰至少要用 _________ 根火柴． 10．如图,∠BAC=100°,∠B=40°,∠D=20°,AB=3,则CD= _________ 第10题第11题第14题第18题11．如图,△ABC是等腰三角形,且AB=AC,BM,CM分别平分∠ABC,∠ACB,DE经过点M,且DE∥BC,则图中有_________ 个等腰三角形．
等腰三角形专题训练及答案 一、计算题： 1.如图，△ABC中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A的度数 2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A的度数 3.如图，△ABC中，AB=AC，D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥BC交AC于点F，若∠EDF=70°，求∠AFD的度数
4. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求 ∠EDC 的度数 6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=, DE+BC=1, 求∠ABC 的度数 2 1
7.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，若AC=AB+BD 求∠B：∠C的值 二、证明题： 8.如图，△ABC中，∠ABC,∠CAB的平分线交于点P，过点P作DE∥AB，分别交BC、AC于点D、E求证：DE=BD+AE 9.如图，△DEF中，∠EDF=2∠E，FA⊥DE于点A，问：DF、AD、AE间有什么样的大小关系
10.如图，△ABC中，∠B=60°，角平分线AD、CE交于点O 求证：AE+CD=AC 11.如图，△ABC中，AB=AC,∠A=100°，BD 平分∠ABC,求证：BC=BD+AD 12.如图,△ABC中,AB=AC,D为△ABC外一点， 且∠ABD=∠ACD=60° 求证：CD=AB-BD
13.已知：如图，AB=AC=BD ，CE 为△ABC 中AB 边上的中线 求证：CE=CD 14. 如图，△ABC 中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC 求证：BD=ED 15. 如图，△ABC 中，AB=AC,BE=CF,EF 交BC 于 点D 求证：ED=FD 2 1
《等边三角形的判定》课后练习题 班级：__________ 姓名：__________一、填空题1.已知， 如右图，等腰△abc，ab=ac：（1）若ab=bc，则△abc为__________ 三角形；（2）若∠a=60°，则△abc为__________三角形；（3）若 ∠b=60°，则△abc为__________三角形.2.在线段、直角、等腰三 角形、直角三角形中，成轴对称图形的是__________.3.底与腰不等 的等腰三角形有__________条对称轴，等边三角形有__________条对 称轴.请你在图（1）中作出等腰△abc，等边△def的对称轴. (1) (2)4.如图（2），已知△abc是等边三角形，ad∥bc，cd⊥ad，垂足 为d、e为ac的中点，ad=de=6 cm则∠acd= （__________）°,ac=__________cm,∠dac=(__________)°，△ade 是__________三角形.5.如左下图，△abc是等边三角形，ad⊥bc， de⊥ab，垂足分别为d，e，如果ab=8 cm，则bd=__________cm，∠bde= （__________）°,be=__________cm. 6.如右上图，rt△abc 中，∠a=30°,ab+bc= cm，则ab=__________cm.二、选择题1.下列 说法不正确的是a.等边三角形只有一条对称轴b.线段ab只有一条对 称轴c.等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线d.等腰三角 形的对称轴是底边上的高所在的直线2.下列命题不正确的是a.等腰 三角形的底角不能是钝角b.等腰三角形不能是直角三角形c.若一个 三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形d.两个全等的且有 一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形 3.在
等腰三角形常用辅助线专题练习 （含答案） 1.如图：已知，点D、E在三角形ABC的边BC上， AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE。 证明：作AF⊥BC，垂足为F，则AF⊥DE。∵AB=AC，AD=AE 又∵AF⊥BC ，AF⊥DE，∴BF=CF，DF=EF （等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）。∴BD=CE. 2.如图，在三角形ABC中，AB=AC,AF平行BC于F， D是AC边上任意一点，延长BA到E，使AE=AD，连接 DE，试判断直线AF与DE的位置关系，并说明理由 解：AF⊥DE．理由：延长ED交BC于G，∵AB=AC，AE=AD ∴∠B=∠C，∠E=∠ADE ∴∠B+∠E=∠C+∠ADE ∵∠ADE=∠CDG ∴∠B+∠E=∠C+∠CDG ∵∠B+∠E=∠DGC，∠C+∠CDG=∠BGE，∠BGE+∠CGD=180°∴∠BGE=∠CGD=90°∴EG⊥BC．∵AF∥BC ∴AF⊥DE．
解法2： 过A点作△ABC底边上的高， 再用∠BAC=∠D+AED=∠2∠ADE, 即∠CAG=∠AED,证明AG∥DE 利用AF∥BC证明AF⊥DE 3.如图，△ABC中，BA=BC,点D是AB延长线上一点， DF⊥AC交BC于E,求证：△DBE是等腰三角形。 证明：在△ABC中，∵BA=BC，∴∠A=∠C，∵DF⊥AC，∴∠C+∠FEC=90°，∠A+∠D=90°，∴∠FEC=∠D ∵∠FEC=∠BED，∴∠BED=
∠D，∴BD=BE，即△DBE是等腰三角形． 4. 如图，△ABC中，AB=AC,E在AC上，且AD=AE,DE 的延长线与BC相交于F。求证：DF⊥BC. 证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵AD=AE，∴∠D=∠AED， ∴∠B+∠D=∠C+∠AED，∴∠B+∠D=∠C+∠CEF， ∴∠EFC=∠BFE=180°× 1/2 = 90°，∴DF⊥BC; 若把“AD =AE”与结论“DF⊥BC”互换，结论也成立。 若把条件“AB=AC”与结论“DF⊥BC”互换，结论依然成立。 5. 如图，AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E,AM⊥CD, A 求证：CM=MD. 证明：连接AC,AD ∵AB=AE,∠B=∠E,BC=ED ∴△ABC≌△AED(SAS)
【巩固练习】 一.选择题 1. 下列说法中： ①P是线段AB上的一点，直线l经过点P且l⊥AB，则l是线段AB的垂直平分线； ②直线l经过线段AB的中点，则l是线段AB的垂直平分线； ③若AP=PB，且直线l垂直于线段AB，则l是线段AB的垂直平分线； ④经过线段AB的中点P且垂直于AB的直线l是线段AB的垂直平分线． 其中正确的个数有（） A．1个 B．2个C．3个 D．4个 2.（2016秋?桐乡市期中）下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（） A．a=3，b=3，c=4 B．a：b：c=2：3：4 C．∠B=50°，∠C=80°D．∠A：∠B：∠C=1：1：2 3. 下列命题中正确的命题有（） ①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离 相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4. 如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC 于E，那么下列结论正确的有( ) ①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE＝DB＋CE； ③AD＋DE＋AE＝AB＋AC；④BF＝CF. A．1个B．2个C．3个D．4个 ?沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若5. 如图，D是AB边上的中点，将ABC ∠度数是（） ∠=?，则BDF 50 B A．60° B．70° C．80° D．不确定 6.在直角坐标系中，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
E D C A B F 2 1 E D C A B 图5 图5 初二数学上册第二单元等腰三角形专项练习题 一、选择题 1已知一个等腰三角形的底边长为5,这个等腰三形的腰长为x,则x 的取值范围是( ) A .0 2021中考数学专题训练：等腰三角形 一、选择题 1. 等腰三角形的两边长分别为4 cm和8 cm，则它的周长为() A.16 cm B.17 cm C.20 cm D.16 cm或20 cm 2. 如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于() A.15° B.30° C.45° D.60° 3. 如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC=8，BC=5，则△BEC的周长是() A.12 B.13 C.14 D.15 4. 已知实数x、y满足|x－4|＋y－8＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形 的周长是() A. 20或16 B. 20 C. 16 D. 以上答案均不对 5. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于() A. 6 5 B. 9 5 C. 12 5 D. 16 5 6. 如图，等边三角形OAB的边长为2，则点B的坐标为 () A .(1，1) B .(1，) C .(，1) D .( ) 7. 如图，在△ ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ，交AC 于N.若△AMN 的周长为18，BC=6，则△ABC 的周长为 ( ) A .21 B .22 C .24 D .26 8. △ABC 中，AB ＝AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的内切 圆圆心，则∠AIB 的度数是( ) A. 120° B. 125° C. 135° D. 150° 9. (2019?梧州)如图，DE 是ABC △的边AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交AC 于点E ，且85AC BC ==， ，则BEC △的周长是 A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 10. 如图，在五边形 ABCDE 中，AB ＝AC ＝AD ＝AE ，且AB ∥ED ，∠EAB ＝120°， 则∠BCD 的度数为( ) 321E D C B A §2.4等腰三角形的判定定理 ------------------------------------------------------------------------------------- 【学习目标】 1. 掌握等腰三角形的判定定理. 2. 会利用等腰三角形的判定定理进行简单的推理、判断、计算和作图. 3. 探索等边三角形的判定定理. 【重难点】 重点：等腰三角形的判定定理. 难点：等边三角形的判定定理2的证明需分类讨论，是本节教学的难点. 【基础部分】 （学习程序：课前预习数学书，独立完成学习，并完成基础部分和要点部分，课内先组内对学，群学，互帮互助，然后根据疑问情况进行组间展示。） 1、等腰三角形的定义____________________________________________ 2、等边腰三角形的定义____________________________________________ 3、等腰三角形的两边长分别为6，8，则周长为 4、等腰三角形的一个角为70°，则另外两个角的度数是 5、等腰三角形的一个底角为70°则另外两个角的度数是 6、证明命题：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 (分析：即你用什么方法证出两边相等，你有几种添辅助线的方法，注意格式) 题结：我们得到等腰三角形判定定理：____________________________________________________ ___________简单地说成：_______________________________________. 7、已知△ABC 中，∠A=36°，∠C=72°，△ABC 是不是等腰三角形？说说理由。 【要点部分】 （学习程序： 课内组内讨论，对学补充，互帮互助，说说三角形全等已知什么，还缺什么？组内交流，班上展示，及时辅导有错误的同学。） 1、三个角都相等的三角形是等边三角形。（给出证明） 2、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。（给出证明） 3、如图，BD 是等腰三角形ABC 的底边AC 上的高线，DE ∥BC ，交AB 于点E. 判断△BDE 是不是等腰三角形，并证明你的判断. 新授课 等腰三角形基础练习题 一、填空题 1.一个等腰三角形可以是________三角形，________三角形，_________三角形. 2.一个等腰三角形底边上的_____、________和顶角的_________互相重合. 3.如图，已知AB=AC，∠1=∠2，BD=5cm.那么BC________. 4.如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，∠C=30°，BD=3cm，那么 BC=________. 5.“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是________________. 6.三角形一个角的平分线垂直于对边，那么，这个三角形是_____________. 7.等边三角形两条中线相交所成的钝角的度数为_________. 8.已知等腰三角形一个角为75°，那么，其余两个角的度数是_________. 9.一个等腰三角形的周长是35cm，腰长是底边的2倍.那么腰长是，底边长是 _______. 10.如图，已知AB=AC，∠ABC与∠ACB的平分线交于F点，过F点作DE∥BC，那么图中的等腰三角形有____个，它们是_________. 11.如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，那么______AB，如果D 是AB的中点，那么____是等腰三角形，_______是等边三角形. 12.如图，已知△ABC的边AB、BC的垂直平分线DE、MN交于O点，那么有OA=___=______，如果OH⊥AC，H为垂足，那么直线OH是AC的________. 13.如图，已知AB=BC=CD=CE，∠CAE=25°，那么∠CEN=_______，∠MCE=_____. 14.已知等腰三角形顶角是底角的10倍，腰长为10cm，那么这个三角形腰上的高为______. .15.在线段、角、等腰三角形、直角三角形中，轴对称图形是________. 二、选择题 1、如图1-4-21，已知∠ABC=∠C=72°，BD是△ABC的平分线，那么图中等腰三角形有（）. 等腰三角形三线合一专题训练1 例1：如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。 求证：BC=AB+DC。 变1：如图，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD边中点。求证：CE⊥BE。 变2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC. （1）求证：AE⊥BE；（2）求证：E是CD的中点；（3）求证：AD+BC=AB. 变3：△ABC 是等腰直角三角形 ，∠BAC=90° ,AB=AC.⑴若D 为BC 的中点，过D 作DM ⊥DN 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证：（1）DM ＝DN 。 ⑵若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N 。问DM 和DN 有何数量关系。 (1) 已知：如图，AB=AC ，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且BE=CF ，EF 交BC 于点D ． 求证：DE=DF ． D B C F A E M N D C B A M N D C B A (2)已知：如图，AB=AC ，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且，EF 交BC 于点D ，且D 为EF 的中点． 求证：BE=CF ． D B C F A E 利用面积法证明线段之间的和差关系 1、如图，在△ABC 中，AB=AC ，P 为底边BC 上的一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，?CF ⊥AB 于 F ，那么PD+PE 与CF 相等吗？ 变1：若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD 、PE与CF的关系又怎样，请你作图，证明。 Ｆ Ｆ 1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（） A 17 B 22 C 17或22 D 13 根据等腰三角形的性质寻求规律 例1．在△ABC中，AB=AC，∠1=1 2 ∠ABC，∠2= 1 2 ∠ACB，BD与CE相交于点O，如图，∠BOC的大小 与∠A的大小有什么关系？ 若∠1=1 3 ∠ABC，∠2= 1 3 ∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？ 若∠1=1 n ∠ABC，∠2= 1 n ∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？ 等腰三角形的判定练习题 一、选择题 1、等腰三角形顶角度数是120 ，则一腰上的高与底边的夹角是（） A.30 B. 60 C.90 D.30 或60 2、已知等腰三角形一个内角为70 ，则另两个内角的度数为（） A..55 ，55 B.70 , 40 C. 55 ，55 或70 , 40 D.以上都不对 3、如图在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D，下列结论不一定成立的是（） A. AD=BD B. BD=CD C.∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C 4、如图，在在△ABC中，AB=AC,∠A=36 ，BD,CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中等腰三角形有（） A. 5个 B. 4个C。3个D。2个 5、给定命题：①在△ABC中，∠A=∠B，AC=BC，则△ABC为等边三角形：②在△ABC 中，∠A=2∠B，则BC=2AC：③直角三角形中，30°角所对的边等于斜边上的中线，其中正确命题的个数是（） A.1 B.2 C.3 D.0 （第3题）（第4题） 二、填空题 1、一个等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长是________ 2、在等腰三角形ABC中，AB=2AC,三角形周长是40cm，则AB=_________ 3、如图1△ABC中，AB=AC,点D,E,F分别在BC,AB,AC上，且DE=BE,DF=DC,若∠A=40°则∠EDF=_____ 4、如图2在Rt△ABC中，∠ACB=90°∠BAC的平分线AD交BC于点D,DE//AC,DE交AB于点E,M为BE的中点，连接DM，在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中的等腰三角形是___________(写出一个即可) 图1 图2 图3 5、如图3 ，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是__________(写出所有的正确答案序号) ①∠BAD=∠CAD ②BD=CD ③AB+BD=AC+CD ④AB-BD=AC-CD 三、解答题 1、如图，E为等边三角形ABC的边AC上一点，∠1=∠2，CD=BE, 求证?ADE是等边三角形 解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法 ——形成精准思维模式，快速解题 ◆类型一利用“三线合一”作辅助线 一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线) 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于点E，且∠ABE＝∠ABC.若BE＝1，则BC的长为________． 2．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，E是AD上一点，且EA＝EC，连接EB，求证：EB⊥AB. 二、构造等腰三角形 3．如图，在△ABC中，BP平分∠BAC，且AP⊥BP于点P，连接CP.若△PBC的面积为2，则△ABC的面积为() A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E.求证：BD＝2CE. ◆类型二 巧用等腰直角三角形构造全等 5．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 是AB 的中点，DE ⊥DF ，点E ，F 分别在AC ，BC 上．求证：DE ＝DF . ◆类型三 等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等 6．(2017·郑州校级月考)如图，过等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于点E ，Q 为BC 延长线上一点，且P A ＝CQ ，连 接PQ 交AC 于点D .若△ABC 的边长为6，则 DE 的长为【方法8】( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．不能确定 7．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝108°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D .求证：BC ＝AB ＋CD . 参考答案与解析 1．2 2．证明：过点E 作EF ⊥AC 于点F .∵EA ＝EC ，∴AF ＝FC ＝12 AC .∵AC ＝2AB ，∴AF ＝AB .∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝∠F AE .又∵AE ＝AE ，∴△ABE ≌△AFE (SAS)，∴∠ABE ＝∠AFE ＝90°，∴EB ⊥AB . 等腰三角形典型例题练习 一．选择题（共2小题） 1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为（） A ．5cm B ． 3cm C ． 2cm D ． 不能确定 2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD 和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论： ①AE=BD ②CN=CM ③MN∥AB 其中正确结论的个数是（） A ．0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 二．填空题（共1小题） 3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF 的面积与△ABC的面积之比等于_________． 三．解答题（共15小题） 4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证 DE=DF． 5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说 明DE=BD+EC． 6．＞已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断 △ABC是什么三角形？并说明理由． 7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE． （1）∠E等于多少度？ （2）△DBE是什么三角形？为什么？ 8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD． 9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证： DF=EF． 10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线 于E， 求证：BD=2CE． 等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 1．已知等腰三角形的一个底角为50°，则其顶角为________． 2．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝6cm，AD平分∠BAC，则BD＝________cm. 第2题图第3题图 3．如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为() A．35° B．45° C．55° D．60° 4．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为() A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或65° 5．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB＝AD＝DC，∠BAD＝40°，求∠C的度数． 6．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE＝AF. 求证：DE＝DF. 第2课时等腰三角形的判定 1．在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝70°，则△ABC为() A．等腰三角形B．直角三角形 C．等腰直角三角形D．钝角三角形 2．已知△ABC中，∠B＝50°，∠A＝80°，AB＝5cm，则AC＝________． 3．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，请你再添加一个条件，使其可以确定△ABC为等腰三角形，则添加的条件是________． 第3题图第4题图 4．如图，已知△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD为∠ABC的平分线，则图中共有________个等腰三角形． 5．如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E，F，且DE＝DF.求证：AB＝AC. 6．如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，FG平分∠EFD交直线AB于点G. 求证：△EFG是等腰三角形．2021年中考数学专题训练：等腰三角形(含答案)
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