数学与统计学学院
中期报告
学院: 数学与统计学学院
专业: 统计学年级:2009 题目: 分段函数的原函数与导函数学生姓名: 马颖峰学号:09063207 指导教师姓名:俞诗秋职称:副教授
2011年6月1日
目录
摘要 ........................................................................ 1 关键词 ...................................................................... 1 引言 ........................................................................ 2 1. 分段函数 ............................................................... 2 2.
分段函数的原函数 ....................................................... 2 2.1 分段函数()f x 在区间[,]a b 上连续的情形下的原函数问题 ................ 2 2.2 分段函数()f x 在区间[,]a b 上x c =点处具有第一类间断点的情形 ......... 3 2.3 分段函数()f x 在[,]a b , 上x c =处具有第二类间断点的情形[3]
(4)
3.
关于分段函数求导问题的探究 ............................................. 5 3.1 函数在分界点处不连续的情况 ......................................... 5 3.2
函数在分界点处连续的情况 (5)
结论 ........................................................................ 9 参考文献 (9)
分段函数的原函数与导函数
摘要:文章主要讨论了什么是分段函数。分段函数的原函数与导数问题。在讨论分段函数原函数
时又分为连续分段函数、具有第一类间断点的分段函数、具有第二类间断点的分段函数三种情形的原函数来分类讨论。分段函数在高等数学中既是重点也是难点,“难”在于讨论它的可导性,尤其是在求一个分段函数导函数时对分界点处的可导性判断上。由于高等数学中涉及的分段函数通常是除去分界点外各段上都是初等函数,故分段函数的导数是先按段求导,后单独讨论分界点处的导数(可能存在,也可能不存在) 。对分界点可导性的讨论,一般采用导数“增量比”形式的定义。虽然这种方法具有一般性,但是遇到解析式复杂的函数往往就不方便了。下文将分几种情况,对分段函数的求导问题进行探讨,从而得出一种通用的解题方法。
关键词：分段函数；原函数；分段函数求导
Original Function and Derived Function of Segmentation
Function
Abstract：The article mainly talked about what is a segmentation function.The original function of
segmentation function with lead few questions.Is again divided into continuous segmentation function, has the segmentation function that no 1 interrupteds a dot and have the original function of segmentation function three kinds of situations that second interrupteds a dot to categorize a discussion while talking about original function of segmentation function.The segmentation function is a point and is a crux in Gao Deng's mathematics, "difficult" lie in talk about it of can lead sex, particularly is begging a segmentation function derived function vs canning lead sex criterion of cut - off point up. Because the segmentation function involved in Gao Deng mathematics usually is remove outside each all of tops of cut - off point are elementary functions, past leading of segmentation function number is to press the segment first to beg to lead, behind talk about a leading of cut - off point number alone.(possible existence, also may nonexistent)Can lead a sexual discussion to the cut - off point, generally adopt the definition of leading the number "quotient of difference" form.Although this method has general,this method's meeting the function of analysis type complications is getting more inconvenient. The continuation will divide a few conditions, lead a question progress study to the segmentation function's begging and get the solution of a kind of universal method thus.
Key words：segmentation function；Original function；derived function
引言
分段函数是一类常见的函数.虽然在每一段上函数的表达式都不复杂，但它的连续性、可导性、原函数的存在性等问题的判断都比一般的初等函数要复杂.
1 分段函数
对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。它是一个函数,而不是几个函数：分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。分段函数一般分为两种类型：1、分界点左右的数学表达式一样，但单独定义分界点处的函数值；2、分界点左右的数学表达式不一样。
2 分段函数的原函数
分段函数12
(),,
()(),,f x a x c f x f x c x d ≤≤?=?<≤? （1）
文章以（1）为例，讨论()f x 在区间[,]a b 上的原函数问题。
2.1 分段函数()f x 在区间[,]a b 上连续的情形下的原函数问题
引理1[1]
:设 ()f x 在区间[,]a b 上连续，在[,]a b 内可导，若极限0
lim ()(0)x a f x f a →+''=+存
在，则()f x 在a 点的右导数()f a +'存在，且()(0)f a f a ++''=+。 对于左导数也有类似的结论。
引理 2[2]
：设()F x 在区间(,]a b 上具有连续的导数，且(0)F a '+存在，则(0)F a +存在。
证明：定义()g x (),.
(0),.F x a x b F a x a '≤≤?=?'+=?
则()g x 是[,]a b 上的连续函数于是()g x 的原函数一定
存在。
设它的原函数为()F x '，则()F x '在[,]a b 上一定连续。
由于()F x 为()g x 在(,]a b 上的原函数，所以当(,]x a b ∈时有()()F x c F x '=+。 令0x a →+，则得(0)(0)F a c F a '+=++，这说明(0)F a +存在。证毕。
下面考察形如（1）式的分段函数()f x 的原函数问题。若()f x 在[,]a b 上连续，就意味着1()f x 在[,]a c 上连续，2()f x 在[,]c d 上连续，且21(0)()f c f c +=。
有如下定理。
定理 设分段函数12(),,
()(),,
f x a x c f x f x c x b ≤≤?=?
<≤?在[,]a b 上连续，则
1) 存在1()f x 在[,]a c 上的一个原函数1()F x 及2()f x 在(,]c d 上的一个原函数2()F x ，使
2(0)F c +存在且21(0)()F c F c +=；
2) 12(),,
()(),,
F x a x c F x F x c x b ≤≤?=?
<≤?就是()f x 在[,]a b 上的一个原函数。
证明：1）由于1()f x 在[,]a b 上连续，所以存在原函数，设它的一个原函数为1()F x 。 同样在(,]c d 上存在2()f x 的原函数，设它的一个原函数为*2()F c ，显然，*2()F c 在(,]c d 上具
有连续的导数，且*22(0)(0)F c f c '+=+存在，由引理2知*
2(0)F c '+存在。
令**
2212()()()(0)F x F x F c F c =+-+ （2）
则2()F x 也是2()f x 在(,]c b 上的一个原函数，且21(0)()F c F c +=。 2）令12(),,
()(),.
F x a x c F x F x c x b ≤≤?=?
<≤?
则()F x 在[,]a b 上连续，当x c ≠时()()F x f x '=。 由()F x 的定义知1()()()F c f c f c -'==， 又由引理1知()F c +'存在且()()F c f c +'=， 因此()()F c f c '=。
故()F x 就是()f x 在[,]a b 上的一个原函数。证毕。 进一步，对于无穷区间(,)-∞+∞的情形定理也成立。
2.2 分段函数()f x 在区间[,]a b 上x c =点处具有第一类间断点的情形
1) 分段函数()f x 在区间[,]a b 上，除x c =点具有第一类跳跃间断点外，在其它各点处处
连续时，()f x 在x c =点处无原函数。
事实上，由于12(0),(0)f c f c -+均存在，但12(0)(0)f c f c -≠+。若()f x 在[,]a b 上有原
函数，设它的一个原函数为()F x ，
则有20
lim ()(0)x c F x f c →+'=+，10
lim ()(0)x c F x f c →-'=-均存在。
由引理1知 21()(0),()(0)F c f c F c f c +-''=+=-， 所以()()F c F c +-''≠， 故()F x 在x c =处不可导， 故()f x 在x c =点处无原函数。
（2）分段函数()f x 在区间[,]a b ]上除x c =点处具有第一类可去间断点外，在其它各点处处连续时,在x c =点处无原函数。
事实上，由于(0);(0)f c f c -+均存在且相等，但(0)(0)()f c f c f c -=+≠。 若()f x 在[,]a b 上有原函数， 设它的一个原函数为()f x ， 则()F c '存在， 但()()F c f c '≠。 所以：()f x 在x c =点处无原函数。
2.3 分段函数()f x 在[,]a b , 上x c =处具有第二类间断点的情形[3]
分段函数()f x 在区间[,]a b 上，除在x c =点处具有第二类间断点外，在其它各点处处连续时，()f x 在点x c =处是否有原函数是不确定的。
例2：函数112sin cos ,0;
()0,0.
x x f x x x
x ?
-≠?=??=? 在0x =处具有第二类间断点，其原函数为2
1sin ,0;
()0,0.
x x F x x
x ?≠?=??=? 例3：函数2
sec ,0;2
()cos ,.2
x x F x x x πππ?≤
但在
2
π
处无原函数。 以上对分段函数()f x 在其分段点x c =处连续、具有第一类间断点两种情形的原函数问题从理论上进行了研究；但对分段函数()f x 在其分段点x c =处具有第二类间断点情形的原函数问题仅给出了示例，有待于进一步作理论上的分析。
3 关于分段函数求导问题的探究
3.1 函数在分界点处不连续的情况
引理3[4]
：()f x 在点0x 处可导,则()f x 在0x 处连续。
该引理说明了连续是可导的必要条件,函数在某点处不连续则必不可导。因此,对分界点处是否可导应先判断是否连续。
例1:求分段函数1,0()0,01,0x x f x x x x +
==??->?
的导数。
解:分界点是0x =,除0x =外()1f x '=;
Q 00lim ()lim (1)1x x f x x →-
→-
=+=，00lim ()lim (1)1x x f x x →+
→+
=-=-
∴函数()f x 在0x =处不连续,故在0x =处不可导。
于是,所求分段函数的导函数为 ()1f x '=，0x ≠。
3.2 函数在分界点处连续的情况
引理4[5]
:设()f x 满足:(1)0x 处连续; (2)在00(,)U x δ可导;(3) 0
lim ()x x f x →'存在。则
()f x 在0x 处可导,且0
0()lim ()x x f x f x →''=。
证明:在0x 和0(||)x x x δ+??<之间根据拉格朗日中值定理有:
00()()
()f x x f x f x
ζ+?-'=
?，
ζ介于0x 和0x x +?之间。两边取极限:
000000
0()()
lim
lim ()lim ()lim ()()x x x x x f x x f x f f f x f x x
ζζζ?→?→→→+?-''''====? , 从而证明极限0
lim ()x x f x →'存在,且恰好就是()f x 在0x 处的导数0()f x '。
根据极限存在的充要条件,将上面证明过程中的极限变化趋势换成相应的“左”、“右”情况,于是有下面推论成立。
推论 设()f x 满足:(1)0x 处左连续;(2)在00(,)U x δ可导;(3) 0
lim ()x x f x -→'存在。则()
f x 在0x 处左导数存在,且0
0.()lim ()x x f x f x -→''=。
由推论知:对满足条件的()f x ,其导函数()f x '在分界点0x 处的左极限就是函数在该点的左导数0.()f x '；此推论中的所有“左”换成“右” ,相应结论仍成立。
另外,解题中要先根据分界点左右两侧函数表达式是否相同确定用引理2还是用推论。在此基础上对分界点处连续的分段函数求导作以下三类讨论。 Ⅰ类: ()f x '在分界点处的极限存在。[6]
例2 设3
1sin(),0
(),()0,0
x x f x f x x
x ?≠?'=??=?求。 解:由于此分段函数在分界点处左右解析式相同,宜采用引理2判断。
301
lim sin
0(0)x x f x
→==Q ，即f （x ）在x 0=处连续(满足引理2条件(1) ) ;
x 0≠ , 211
()3sin cos f x x x x x '=- (满足引理2条件(1)) ;
20011
lim lim(3sin cos )x x f x x x x
→→'-（x ）= (满足引理2条件(3) ) 。 0
(0)lim ()0x f f x →''∴==,即()f x 在0x =处可导。
故2
113sin cos ,0
()0,0
x x x f x x x
x ?-≠?'=??=?为所求。
这里有三点要注意:
（1） 例子表明满足定理条件的()f x '在分界点处的极限存在,则0()f x '一定存在(可导) 。 （2）引理2和推论均是充分条件,即在不满足三个条件之一情况下()f x 仍有可能是可导的,不能简单认为条件一旦不满足就一定不可导了。如例2中的函数改为
2
1sin ,0()0,0
x x f x x
x ?≠?
=??=? 就有0
lim ()x f x →'不存在,而它在 0x = 处的导数为0。
（3）如果遇到在分界点两侧解析式不同的分段函数,则要利用推论和导数存在的充要条件进行判断。
II 类[7]
: 由 00
lim ()lim ()x x x x f x f x -+→→''、
都存在,但不相等导致()f x '极限不存在。 例3 设2
3,1
()2,1
x x x f x x x ?+≤?=?>??,求()f x '。
解:由于此分段函数在分界点左右解析式不同,宜采用:
引理2的推论判断。容易判断()f x 在x 1=处的左、右极限都等于(1)2f =,故()f x 在x 1=处连续(满足推论条件(1) );
求出221,1
()6,1x x f x x x +?
(满足推论条件(2));
下面讨论x 1=处的可导性:
11lim ()lim(21)3x x f x x →-
→-
'=+=，211lim ()lim 66x x f x x →+→+
'== (满足推论条件(3))。
但1(1)lim ()3x f f x -→-
''==，1(1)lim ()6x f f x +→+
''==，
由导数存在的充要条件知(1)f '不存在。
于是2
21,1()6,1
x x f x x x +
>?为所求。
这里有两点要注意:
（1）例子表明0
lim ()x x f x -→'、0
lim ()x x f x +→'都存在,但不相等时———即()f x 在该点处左右导
数存在但不等 ———0()f x '一定不存在。
（2）如果导函数的左右极限存在且相等,则归入 I 类。
Ⅲ类[8]
:由0lim ()x x f x -→'、0
lim ()x x f x +→'中至少一个不存在导致()f x 在0x 的极限不存在。
根据引理2和推论的充分性,遇到这种情况时定理均视为失效,需改用导数定义的方法求解后才能确定0()f x '是否存在。
例4
设0
()0
x f x x ≥=<,求0()f x '。
解:由于此分段函数在分界点左右解析式不同,宜采用引理2的推论判断。容易判断()f x 在
x 0=处的左、右极限都等于(0)0f =,故()f x 在x 0=处连续(满足推论条件(1) );
求出
0()0x f x x >'=?
但由于0
lim ()lim x x f x ++
→→'==+∞,故()f x 不满足推论条件(3),
不能简单认为(0)f +'=+∞。从而换用导数定义的方法判断x 0=处的可导性:
考察000(0)lim
lim 0x x f x +→+
→'===+∞-， 即()f x 在 x 0=处右导数不存在,故()f x '不存在。
于是0()0x f x x >'=?
对Ⅱ类、Ⅲ类补充说明:这两个类别都属于()f x 极限不存在的情况,实际解题时都需要讨论其分界点处导函数的左右极限。当然,分界点左右两侧解析式相同的函数可采用先判断
lim ()x x f x →'是否存在,若存在归入Ⅰ类;否则再判断()f x '的左右极限相应地归入Ⅱ类或Ⅲ类,如
前面提到的2
1sin ,0()0,0
x x f x x
x ?≠?
=??=?就可这样处理。 最后,总结归纳分段函数求导问题的通用解法。具体步骤如下
1） 对()f x 除分界点外,按段求导[9]
。 2） 对分界点的可导性采用下图流程判断:
i. 分界点两侧解析式不同的分段函数[10]
:
a) 分界点0x 连续。0
lim ()x x f x -→'与0
lim ()x x f x +→'存在且相等则可导；存在但不相等，不可导；
至少一个不存在则要换用定义。
b) 分界点0x 不连续则不可导。 ii.
分界点两侧解析式相同的分段函数[11]:
分界点0x 连续。0
lim ()x x f x →'存在推出可导；
若0
lim ()x x f x →'不存在但0lim ()x x f x -→'与0
lim ()x x f x +→'存在但不相等,
则推出不可导；0
lim ()x x f x -→'与0
lim ()x x f x +→'至少一个不存在就换用定义。
3） 把判断出的分界点和按段求导所得的函数相融合可得分段函数的导函数[12]。
结论
文章详细的介绍了什么是分段函数，还讨论了分段函数的原函数存在性及导数的求法探究，并列举了几种求原函数和导数的求法，但是还是存在局限性，还只是停留在浅显的层次去讨论分段函数原函数和导数的问题，并没有深入去挖掘它。一些书刊中也对本论文所研究的问题进行了
研究，如：《分段函数在数学分析中的应用》[13]、《分段函数在数学分析教学中的应用》[14]
、《可
积性与原函数存在性的关系》[15]、《分段函数在高等数学中的地位和作用》[16]
可为深入研究提供参考。
参考文献
[1] Γ . M .菲赫金哥尔茨.微积分学教程[M].北京:人民教育出版社,1978. [2] [美] B . R .盖尔鲍姆. 分析中的反例[M].上海:上海科学技术出版社,1981. [3] 斐礼文. 数学分析中典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,2003. [4] 华东师范大学数学系. 数学分析[M].北京:高等教育出版社, 2002. [5] 华东师范大学数学系，数学分析(第二版)[M]，高等教育出版社 ,1991。 [6] 同济大学数学系，高等数学(第四版)[M]，高等教育出版社,1997。 [7] 丁家泰，微积分解题方法[M]，北京师范大学出版社 ,1985。 [8] 陈兰详，高等数学典型题精讲[M]，学苑出版社 ,2000。
[9] 同济大学编二佰等数学.第四版[M].北京:等教育出版社.1996
[10] 高等数学课题组编.高等数学辅导[M].武汉:华中理工大学出版社，1992.
[11] 华东师范大学数学系．数学分析(第三版)[M]。北京：高等教育出版社，2001． [12] 刘玉琏，傅沛仁．数学分析讲义(第三版)[M]．北京：高等教育出版社。1992． [13] 胡平．分段函数在数学分析中的应用[J]．青海师范大学学报，1995． [14] 张守田．分段函数在数学分析教学中的应用[J]．锦州师范学院学报。2003，24(2)：60- 62． [15] 阎彦宗。陈海鸿，岳晓红．可积性与原函数存在性的关系[J]．安庆师范学院学报．2003，
22(2)：96-98．
[16] 张永清．分段函数在高等数学中的地位和作用[J]．辽宁师范大学学报，1996，19(2)：
159-163．
导数思想在解析几何的一个简单应用 导数隶属于函数内容，看似与解析几何毫无关联。但是导数的几何意义是切线斜率，我们常用求导的方法求解函数的切线。而某些曲线方程本身是函数解析式或者曲线某一部分能够写成函数解析式，因此求曲线的切线问题也可以理解成求函数切线问题。 下面通过几道例题来说明导数在解析几何中的应用： 例1、（07安徽）过点()4,0-P 作抛物线y x G 42=：的切线，求切线方程 解：设切点2 004x Q x ?? ?? ?， 由2x y '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x 故所求切线方程为2 00 0()42x x y x x -=- 即42200x x x y -= 因为点(0)P -4，在切线上 所以2 044 x -=-，2 016x =，04x =± 所求切线方程为042=--y x 042=++y x 。 【小结】本小题也可以用常规的方法，点斜式设直线，与抛物线联立，利用0=?求出斜率，写出 直线。 （变式）在点()2,1P 处作抛物线x y G 42 =：的切线，求切线方程 解：抛物线x y G 42=：在第一象限的方程为x y 2= 由x y 1/ - =，知抛物线在P 点处的切线斜率为1- 故所求切线方程为()12:1--=-x y l 即03=-+y x 【小结】本小题的出题目的是，只有将曲线方程变形为函数解析式后，才能用求导的方法求切线。 例2、（07韶关调研）已知()2,0-M ，点A 在x 轴上，点B 在y 轴正半轴上，点P 在直线AB 上，且满足=、0=?。当A 在x 轴上移动时，设动点P 的轨迹为C 。 ⑴求C 的方程 ⑵过点()0,2-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，分别过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l 。当21l l ⊥时，求直线l 的方程。 解：⑴设()y x P , ()0,a A ()()0,0 b b B ()()y b x PB y a x AP --=-=,, ()02,2 y y b x a PB AP ==∴= 则()() ()y x AP x a MA ,2,22,-=== ()002 y y x AP MA =∴=?
分段函数单调性 1．设函数若f（a）=a，则实数a的值为（） A．±1 B．﹣1 C．﹣2或﹣1 D．±1或﹣2 2．已知函数f（x）=是定义域上的单调函数，则a的取值 范围是（） A．（1，+∞）B．[2，+∞）C．（1，2） D．（1，2] 3．已知函数在（﹣∞，+∞）上单调递减，则a的取值范围是（） A．（0，1） B．（0，）C．D． 4．若函数f（x）=是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（） A．[0，2） B． C．[1，2]D．[0，1] 5．已知函数f（x）=若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围 是（） A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣1，2）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） 6．已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么实数a的取值范围是（） A．（0，3） B．（1，3） C．（1，+∞）D．
7．设a＞0且a≠1，若f（x）=为一分段函数，且在R上为增函 数，则实数a的取值范围． 8．若函数y=，则函数的单调增区间为． 分段函数单调性答案 1．设函数若f（a）=a，则实数a的值为（） A．±1 B．﹣1 C．﹣2或﹣1 D．±1或﹣2 【解答】解：由题意知，f（a）=a； 当a≥0时，有，解得a=﹣2，（不满足条件，舍去）； 当a＜0时，有，解得a=1（不满足条件，舍去）或a=﹣1． 所以实数a 的值是：a=﹣1． 故选B． 2．已知函数f（x）=是定义域上的单调函数，则a的取值 范围是（） A．（1，+∞）B．[2，+∞）C．（1，2） D．（1，2] 【解答】解：因为f（x）是定义域R上的单调函数，所以a应满足： ，解得：1＜a≤2，故选D． 3．已知函数在（﹣∞，+∞）上单调递减，则a的取值范围是（） A．（0，1） B．（0，）C．D． 【解答】解：由已知，f1（x）=（2a﹣1）x+7a﹣2在（﹣∞，1）上单减，∴2a
高三数学复习中对“导数的应用”的教学反思 新教材引进导数之后，无疑为中学数学注入了新的活力，它在函数的单调性、极值、最值等方面有着广泛的应用，还可以证明不等式，求曲线的切线方程等等。导数的应用一直是高考试题的重点和热点之一。本学期笔者上了一节市公开课，经课前准备和课后调查，发现学生在导数的应用中疑点较多，本文对几类常见问题进行剖析和探究，以期引起大家的注意。 问题⑴：若0x 为函数f(x)的极值点，则)(0x f '= 0吗？ 答：不一定,缺少一个条件(可导函数)。反例：函数x y =在0=x 处有极小值，而)(0x f '不存在。 正确的命题是：若0x 为可导函数f(x)的极值点，则)(0x f '= 0 问题⑵：若)(0x f '= 0, 则函数f(x)在0x 处一定有极值吗？ 答：不一定。反例：函数3x y =有)0(f '= 0，而f(x) 在0=x 处没有极值。 正确的命题是：若)(0x f '= 0,且函数f(x)在0x 处两侧的导数值符号相反，则函数f(x)在0x 处有极值. 问题⑶：在区间),(b a 上的可导函数f(x)，)(x f '>0是函数f(x)在该区间上为增 函数的充要条件吗？ 答：不一定。反例：函数3x y = 在),(∞+-∞上为增函数，而)0(f '= 0。 正确的命题是：（函数单调性的充分条件） 在区间),(b a 上，)(x f '>0是f(x)在该区间上为增函数的充分而不必要条件. （函数单调性的必要条件）函数f(x)在某区间上可导，且单调递增，则在该区间内)(x f '≥0。 另外，中学课本上函数单调性的概念与高等数学（数学分析）上函数单调性的概念不一致。数学分析上函数单调性的概念有严格单调与不严格单调之分。 问题⑷：单调区间),(b a 应写成开区间还是写成闭区间？ 答： 若端点属于定义域，则写成开区间或闭区间都可以。若端点不属于定义域，则只能写成开区间。 问题⑸：“曲线在点P 处的切线”与“曲线过点P 的切线”有区别吗？ 例1（人教社高中数学第三册第123页例3）：已知曲线33 1)(x x f =上一点P
专题30、分段函数单调性 【例1】已知函数(2)1,1()log ,1a a x x f x x x --≤?=?>?，若()f x 在(,)-∞+∞单调递增，则实数的取值范围是_________ 【答案】(2,3] 【解析】若()f x 在(,)-∞+∞单调递增，则在R 上任取12x x <，均有12()()f x f x <，在任取中就包含12,x x 均在同一段取值的情况，所以可得要想在R 上单调增，起码每一段的解析式也应当是单调 递增的，由此可得 201a a ->??>? ，但仅仅满足这个条件是不够的。还有一种取值可能为12,x x 不在同一段取值，若也满足12x x <，均有12()()f x f x <，通过作图可发现需要左边函数的最大值不大于右边函数的最小值，代入1x =，有左段右端，即21log 103a a a --≤=?≤，综上所述可得(2,3]a ∈。 【例2】已知函数2,1()2ln ,1 x e ax x f x a x x ?-≤=?+>?在定义域(,)-∞+∞上是单调增函数，则实数a 的取值范围 是（ ） .,2e A ??-∞ ??? .,3e B ??+∞???? .,32e e C ?????? .(,)32e e D 【答案】C 【解析】由于函数2,1()2ln ,1 x e ax x f x a x x ?-≤=?+>?在定义域(,)-∞+∞上是单调增函数，2a e a ≥-，解得 a ≤
【例6】已知函数()1()1,22 x f x x =?-
分段函数单调性及其应用 基本理论 函数???>≤=a x x f a x x f x f ),(,),()(2 1在R 上单调递增，则)(x f 满足两个条件： （1） )(1x f 在],(a -∞上单调递增，)(2x f 在),(+∞a 上单调递增； （2） ).()(21a f a f ≤ 数学应用 1.(直接应用）已知???≥<+-=1,log ,1,4)13()(x x x a x a x f a 是),(+∞-∞上的减函数，则a 的取值范围是________________. 变式拓展：1.1若函数x a x x x f 2)(+-=在R 上单调递增，求实数a 的取值范围. 1.2已知函数.,1)(2R a a x x x f ∈+-+=求)(x f 得最小值.
2（从反方向角度考查） 设???>-≤+-=, 1,1,1,)(2x ax x ax x x f 若存在2121,,x x R x x ≠∈，使得)()(21x f x f =成立，求实数a 的取值范围. 3（从数列问题函数化角度考查） 设数列)(7, ,7,4)2(*N n n a n n n a a n ∈?? ?<+≥++-=是递增数列，则实数a 的取值范围是_______________. 4.（从“间断点”处回归函数考查） 已知函数)(0,)3()4(,0),1()(22222R a x a x a a x x a k x k x f ∈?????<-+-+≥-+=.若对任意的非零实数1x ，都存在唯一的非零实数2x ，使得)()(21x f x f =成立，求实数k 的取值范围.
第19卷第5期长春师范学院学报2000年9月V ol.19 N o.5Journal of Chang Chun T eachers College Sep 2000 导数在因式分解中的应用 陈良云,徐晓宁 (东北师范大学数学系,吉林长春 130024) [摘 要]分解因式方法灵活多变,技巧性强,尤其是多元项式的因式分解更为复杂。目前,还没有一种统 一的方法可行。本文给出了多元多项式能因式分解的必要条件和操作步骤,使多元多项式的分解变得简 单。 [关键词]因式分解;导数;多元多项式 [中图分类号]O171 [文献标识码]A [文章编号]1008-178X(2000)05-0019-02引理:设f(x1,x2,……x n)为n元多项式,若存在某个x i,使f′xi(x1,x2,…,x n)与f(x1,x2,…,x i-1, 0,x i+1,…,x n)有公因式。则F(x1,x2,…,x n)=∫f′xi(x1,x2,…,x n)d x i与f(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…, x n)有公因式。 证明:令[f′xi(x1,x2,…,x n),f(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)]=d(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)。即f′xi(x1,x2,…,x n)=d(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)?h(x1,x2,…,x n);f(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…, x n)=d(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)g(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)。 则:F(x1,x2,…,x n)=∫f′xi(x1,x2,…,x n)dx i =∫d(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n) h(x1,x2,…,x n)d xi =d(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)∫h(x1,x2,…,x n)d x i 因此f(x1,x2,…,x n)与f(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)有公因式d(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)定理:若f′xi(x1,x2,…,x n)与f(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)有公因式,则f(x1,x2,…,x n)可以因式分解,且至少有公因式d(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)。 证明:若f′xi(x1,x2,…,x n)与f(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)有公因式d(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n),由引理可知∫f′x i(x1,x2,…,x n)与f(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)有公因式d(x1,x2,…,x i-1, 0,x i+1,…,x n)。而f(x1,x2,…,x n)=∫f′xi(x1,x2,…,x n)d x i+f(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)=d(x1, x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)∫h(x1,x2,…,x n)d x i+g(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n) 故n元多项式f(x1,x2,…,x n)能因式分解,且因式中含d(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)公因子。 例1.因式分解:(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2 解若把y看作变量,x看作常量。 设f(y)=(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2 则f′(y)=2(1+y)-4x2y-2x4(1-y) =2(1-x4)+(1-x2)2?2y [收稿日期]2000-04-05 [作者简介]陈云良(1973- ),男,四川邻水人,东北师范大学硕士研究生,从事基础数学研究。 ? ? 19
分段函数常见题型及解法 【解析】 3 ?求分段函数的最值 4x 3 (x 0) 例3?求函数f(x) x 3 (0 x 1)的最大值 x 5 (x 1) 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内 有不同的对应法则的函数 它是一个函数，却又常常被学生误认为是几个函数 ；它的定义域是各段函数定义域的并 集，其值域也是各段函数值域的并集 ?由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知 识的程度的考察上有较好的作用 ，时常在高考试题中“闪亮”登场，笔者就几种具体的题 型做了一些思考，解析如下： 1 ?求分段函数的定义域和值域 例1.求函数f(x) 值域? 【解析】 2x 2 x [ 1,0]; 1 x x (0,2);的定义域、 3 x [2，)； 作图， 利用“数形结合”易知f (x)的定义域为 [1，)，值域为(1,3]. 2 ?求分段函数的函数值 |x 1| 2，(|x| 例2 . ( 05年浙江理)已知函数 f(x) 1 1 x 2 (|x| 1) 1) 求f[? 因为 f(i) 11 1| 2 所以 f[f(b] f( 1 4 1 ( i) 2 13
【解析】当 X 0 时,f max (X ) f(0) 3,当 0 X 1 时，f max (X ) f(1) 4, 当 X 1 时, X 5 15 4,综上有 f max (x) 4. 4 ?求分段函数的解析式 例4 .在同一平面直角坐标系中，函数y f (X )和y g(X )的图象关于直线 y X 对 称，现将y g(x)的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移1个单位，所得 的图象是由两条线段组成的折线(如图所示) ，则函数f (x)的表达式为() 5 ?作分段函数的图像 例5?函数y e IM |X 1|的图像大致是() 2x 2 (1 X 0) A. f(x) 2 X 2 (0 X 2) 2x 2 (1 X 0) B. f(x) 2 X 2 (0 X 2) 2x 2 (1 X 2) C. f(x) X 2 1 ( 2 X 4) 2x 6 (1 X 2) D. f(x) X 2 3 (2 X 4) 【解析】 将其图象沿X 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下 平移 1 个单位 得解析式为y 今(x 2) 1 1 4 1 f(x) 2x 2 (x [ 1,0]),当 x [0,1]时, y 2x 1,将其图象沿x 轴向右平移2 个单位，再沿y 轴向下平移 1个单位, 得解析式y 2(x 2) 1 1 2x 4, 所以 f(x) 2x 2 (x [0,2]) 综上可得f(x) 2x 2 ( 1 x 0) ■2 2 (0 x 2) 故选A 当 X [ 2,0]时，y 1 x 1
浅谈导数的应用 摘要：法国数学家费马为研究极值问题而引入了导数的思想，导数是我们进一步学习数学和其他自然科学的基础，是研究现代科学技术中必不可少的工具．我们要明确导数的内涵，知道运用导数思想解题的方法，从而通过提出问题的数学特征，建立导数关系的数学模型．一般地，导数思想是从构造函数利用导数函数的性质，解决不同类型的问题，导数思想在中学数学、高等数学以及我们日常生活中占有极其重要的地位，本文详细介绍导数思想的内涵和本质，使人们对导数的内容有更深的理解，以便在遇到各种问题时能够考虑到导数思想，从而优化解决问题的过程． 关键词：极限;导数;微分
Shallowly Discusses the Application of Derivative Abstract:To study extremely problems, French mathematician Fermat brought in derivative idea. Derivative is the basis for us to learn math and other natural science further, an indispensable tool in research of modern science and technology. We should understand the concept and acquire the capacity of solving problems with mathematical ideas and create derivative model according to the mathematical feature of the given problem. On average, we use specific derivative in accordance with definite trait of the various problems. The derivative idea plays an important part in middle school math, advanced math and our daily life. In this chapter, the concept and essence of derivative are introduced to deepen people's understanding in math and help to simplify people's derivative. Key words:Limit; Derivative; Differential
1、分段函数 1、已知函数)(x f ＝267,0,100,, x x x x x ++<≥????? ，则 )1()0(-+f f ＝（ ） A ． 9 B ． 71 10 C ． 3 D ． 1110 提示：本题考查分段函数的求值，注意分段函数分段求。 解析：0代入第二个式子，-1代入第一个式子，解得)1()0(-+f f =3，故正确答案为C. 90 2、函数||x y x x =+的图象为下图中的（ ） 提示：分段函数分段画图。 解析：此题中x ≠0，当x>0时，y=x+1,当x<0时，y=x-1, 故正确答案为C. 120 3、下列各组函数表示同一函数的是( ) ①f(x)=|x|，g(x)=???<-≥) 0()0(x x x x ②f(x)=242--x x ，g(x)=x+2 ③f(x)=2x ，g(x)=x+2 ④f(x)=1122-+-x x ，g(x)=0 ，x ∈{－1，1} A.①③ B.① C.②④ D.①④ 提示：考察是否是同一函数即考察函数的三要素：定义域、值域、对应关系，此题应注意分段函数分段解决。 解析：此题中①③正确，故正确答案为A. 120 4、设()1232,2()log 1,2 x e x f x x x -?
导数的应用 吴泽国 目录 [摘要] (2) 一.引言 (2) 二．导数的概念 (2) 三．导数的求法 (3) 1．显函数导数 (3) 1．1导数的四则运算： (3) 1．2复合函数与反函数求导法则 (3) 1．3基本初等函数求导公式 (3) 2．隐函数导数 (4) 3．由参数方程所确定的函数求导法 (4) 4．分段函数的导数 (4) 四．导数的性质 (4) 五．导数的应用 (5) 1．导数在函数中的应用 (5) 1．1利用导数判断函数的单调性 (6) 1．2利用导数判断函数凹凸性及拐点 (7) 1．3利用导数求函数的极值和最值 (8) 1．4利用导数知识描绘函数图形 (13) 1．5利用导数求参数问题 (15) 2．导数在曲线中的应用 (16) 3．利用导数研究方程的根 (17) 4．应用导数证明不等式 (17) 5．导数在数列中的应用 (18) 6．利用导数求极限——洛必达法则 (19) 6．1“0 ”型和“ ∞ ∞ ”型 (19) 6．2其他形式 (20) 7．物理学中的导数 (20) 8．经济学中的导数应用 (21) 结束语： (22) 参考文献： (22) （版权所有）
[摘要] 导数是新教材的一个亮点，它是连接初等数学与高等数学的桥梁，用它可以 解决许多数学问题，它是近年高考的的热点。它不仅帮助即将进入大学的高三学 生奠定进一步学习的基础，而且在解决有关问题已经成为必用工具。由于导数的 广泛应用，现已成为高考的热点知识 本文拟对导数知识的全面归纳，然后通过一些实例全面介绍导数在实际数学 中的应用，让人们全面了解导数这一工具的利用 [关键字] 导数 初等数学 高等数学 应用 一.引言 导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是高考的热点，高考对导数的考 查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，高考对这部分内容的考查将仍会以 导数的应用题为主，如利用导数处理函数的极值、最值和单调性问题和曲线的问 题等，考题不难，侧重知识之意。 高考考查导数应用主要有以下三个方面： ①运用导数的有关知识研究函数的单调性和最值问题， ②利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率。函数y=f (x )在x=x 0处的导 数，表示曲线在点P （x 0 , y 0）处的切线斜率。 ③导数在其它数学分支的应用，如在数列、不等式、排列组合等知识的综合 等。 二．导数的概念 1、定义：0'0000 ()()()()()lim lim lim x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x ?→?→→-?+?-===??- 左导数：0'0000 ()()()()()lim lim lim x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x ----?→?→→-?+?-===??- 右导数： 0'00 00()()()()()lim lim lim x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x ++++?→?→→-?+?-===??- '''()()()f x A f x f x A -+∴=?== 可以证明：可导?连续 即：可导是连续的充分条件 连续是可导的必要条件 导函数：'00()()()lim lim x x y f x x f x f x y x x ?→?→?+?-===??
1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ★备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用． 2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P15 注意： 研究函数单调性必须先求函数的定义域， 函数的单调区间是定义域的子集 单调区间不能并！ 知识点一函数的单调性 1.单调函数的定义 1
2 2.单调性、单调区间的定义 若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间. 注意： 1、《名师一号》P16 问题探究 问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题？ (1)定义中x 1，x 2具有任意性，不能是规定的特定值． (2)函数的单调区间必须是定义域的子集； (3)定义的两种变式： 设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1
3 1212 ()() 0-<-f x f x x x ? f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． 2、《名师一号》P16 问题探究 问题2 单调区间的表示注意哪些问题？ 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； 如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 知识点二 单调性的证明方法：定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x 1、x 2∈D ，且x 1
集宁师范学院本科生毕业设计（论文、创作）题目申报表 设计（论文） 导数在不等式证明中的应用 题目 题目类型其它题目来源指导教师出题面向专业数学教育类 指导教师何晓霞职称副教授学位无从事专业大学数学教学 题目简介： 导数知识是数学中极其重要的部分，它的内容，思想和应用贯穿于整个数学的教学之中，是初等数学和高等数学中的一项重要内容。利用导数证明不等式是一种行之有效的好方法，它能使不等式的证明化难为易，迎刃而解。在不等式证明的种种方法中，它占有重要的一席之地，具有较强的灵活性和技巧性。掌握导数在不等式中的证明方法和技巧对学好高等数学有很大帮助。 审核意见： 审核人签名： 年月日系（院）意见： 系（院）主任（院长）签名： 年月日 题目类型－－1、为结合科研；2、为结合生产实际；3、为结合大学生科研训练计划； 4、为结合学科竞赛； 5、模拟仿真； 6、其它 题目来源－－A.指导教师出题； B.学生自定、自拟
论文 题目 导数在不等式证明中的应用 年级四专业数学与应用数学学生 姓名 学号 主要内容： 利用导数的定义证明不等式 利用中值定理证明不等式 利用函数的单调性证明不等式 利用导数的几何意义证明不等式 利用函数的最值性(极值性）证明不等式 利用泰勒公式证明不等式 利用函数的凹凸性证明不等式 利用Jensen不等式证明不等式 利用导数的不等性证明不等式 利用偏导数证明不等式 主要任务及基本要求（包括指定的参考资料）： [1]华东师范大学.数学分析[M].高等教育出版社(下册) .156.293(上册) [2]扈志明,韩云端. 高微积分教程[M]. 北京:清华大学出版社, 1998 [3]刘晓玲.不等式证明中辅助函数的构造一[J] .邯郸师专学报,2000 [4]朱士信.唐烁.宁荣健编.高等数学[M]上册.中国电力出版社,2007 [5]周晓农.导数在不等式证明中的应用[J].金筑大学学报2000.03 [6]陈秋华.也谈利用凸函数证明初等不等式[J].高等数学研究2009 [7]马德炎.常见的代数不等式的证明[J].高等数学研究2009 [8]陶伟.高等数学习题集[M].北京国家行政学院出版社2001 [9]曾捷.数学分析同步辅导及习题全解[M].中国矿业大学出版社2006 [10]李旭金.导数在不等式中的应用[J].新作文(教育教学研究),2011,(第11期). 发出任务书日期：完成期限： 指导教师签名：专业主任签名： 年月日
讨论分段函数在分段点的连续性与可导性涉及分段函数概念、连续概念、导数概念，既是重点，又是难点。建议同学们认真模仿以下3道题的解答过程，注意讨论的函数是整个分段函数()f x ，而不是其中的某段函数（以下解答中标红的不要省了）；务必精准写出连续、导数定义；答题过程较长时最后要加以总结． 例1：讨论20,1,()0 1,x x e f x x ≠?-=?=?在0x =的连续性与可导性． 解： (0)1f =． 020 li l m im (1)()0x x x f x e →→=-=． 因0 lim ()(0)x f x f →=，故 ()f x 在0x =不连续，从而也不可导． 例2：讨论20,1,()0sin , x x e f x x x ≤?-=?>?在0x =的连续性与可导性． 解：先讨论连续性． (0)0f =． 因020li l m(1im )0()x x x f x e --→→=-=，且00 lim l s i m ()n 0i x x x f x ++→→==， 得0 lim ()0x f x →=． 因0 lim ()(0)x f x f →=，故 ()f x 在0x =连续． 再讨论可导性． 因021()(0)(01lim )lim 02x x x f x f f x e x --→-→-'=--==， 但00sin l ()(0)(0)im l 1im x x f x f x f x x ++ +→→==-='， 得1()(0) (1)lim 0x f x f f x →-'=-不存在，故 ()f x 在0x =不可导． 总之， ()f x 在0x =连续，但不可导．
《判断函数在x=x。处可导性的步骤》 利用知识：左右导数。 本人正读高中，知能浅薄，自行探究，若有疏漏请见谅。 【第一步】~~将原函数化成当x ＜x。与x＞x。的"分段函数".（像y=x2这样，分段之后两个式子一样的也要写出来）； 【第二步】~~将这两个式字都化成两个等价的、可用公式方便地求导的式子.（若原本很完美就省略这步）； 【第三步】~~根据求导公式对每个式子进行求导。求导过程中，只着手式子，不用看定义域怎样。定义域照抄下来； 【第四步】 分类讨论···㈠若此时y′为常数，则比较y′左是否等于y′右······························?如果y′左=y′右=这个常数，则说y=f（x）在x=x。处可导····················?如果y′左≠y′右，则说y=f（x）在x=x。处不可导 ···㈡若此时y′为含x代数式，则看当把x=x。代入时有无意义··············?有意义，则代入x=x。后比较y′左与y′右·····①相同，可导②不相同，不可导···············?无意义，不可导。 【【例题演示】】 第一题 ··············判断y=｜X|在x=0处是否可导.·············· 【第一步】y=｜X|等价于y=-x x＜0 y=x x＞0 【第二步】省略 【第三步】y′=（｜X|）′等价于y′左= -1 x＜0 y′右= 1 x＞0 【第四步】 其为常数，又由于两个常数不等，即左右导数不等，所以y=｜X|在x=0处是否不可导。 第二题 ··············判断y=x2在x=0处是否可导····（X的平方）············ 【第一步】y=x2等价于 y=x2 x＜0 y=x2 x＞0
第二讲 分段函数及函数的单调性 一.分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． 分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论． 常见的命题类型有： (1)分段函数的函数求值问题； (2)分段函数的自变量求值问题； (3)分段函数与函数性质、方程、不等式问题． 二.函数的单调性 1.单调性的定义 自左向右看图象是 __________ 自左向右看图象是_________ 如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)_______，区间D 叫做函数y ＝f (x )的___________. 2．函数的最值 题型一分段函数的函数求值（域）问题
1.已知函数f (x )＝? ???? log 2x ，x >0，3x ＋1，x ≤0，则f ????f ????14的值是________． 2. 若函数f (x )= x 2+1,x ≤1lg x ,x >1，则f (f (10))=（ ） A ．lg101 B ．2 C ．1 D ．0 3.设定义在N 上的函数f （x ）满足f （n ）=???-+)] 18([13 n f f n ),2000(),2000(>≤n n 试求f （2002）的值. 4.设函数f (x )＝????? 1x ， x >1， －x －2，x ≤1，则f (f (2))＝________，函数f (x )的值域是________． 题型二 分段函数的自变量求值问题 1．已知f (x )＝?? ? x 1 2 ，x ∈[0，＋∞)， |sin x |，x ∈??? ?－π2，0，若f (a )＝1 2 ，则a ＝________. 2.已知函数f (x )＝? ???? 2x －2，x ≤0， －log 3x ，x >0，且f (a )＝－2，则f (7－a )＝( ) A ．－log 37 B ．－34 C ．－5 4 D ．－7 4 3.已知函数f (x )＝? ???? (a －1)x ＋1，x ≤1，a x －1，x >1，若f (1)＝1 2，则f (3)＝________. 题型三 分段函数与函数性质、方程、不等式问题． 1.已知函数f (x )＝????? x 2 ＋2ax ，x ≥2， 2x ＋1，x <2， 若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________． 2.已知函数f （x ）=?? ?<-≥-), 2(2 ), 2(2 x x x 则f （lg30－lg3）=___________________； 不等式xf （x －1）＜10的解集是___________________. 题型四.常见函数的单调性 一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性、单调区间。 题型五.判定函数的调性 1.f(x)图像 如图所示，请写出f(x)的单调区间
分段函数的极限和连续性 例 设???????<<=<<=) 21( 1)1( 21)10( )(x x x x x f （1）求）x f (在点1=x 处的左、右极限，函数）x f (在点1=x 处是否有极限？ （2）函数）x f (在点1=x 处是否连续？ （3）确定函数）x f (的连续区间． 分析：对于函数）x f (在给定点0x 处的连续性，关键是判断函数当0x x →时的极限是否等于)(0x f ；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续． 解：（1）1lim )(lim 1 1==--→→x x f x x 11lim )(lim 1 1==++→→x x x f ∴1)(lim 1 =→x f x 函数）x f (在点1=x 处有极限． （2）)(lim 21)1(1 x f f x →≠= 函数）x f (在点1=x 处不连续． （3）函数）x f (的连续区间是（0，1），（1，2）． 说明：不能错误地认为)1(f 存在，则）x f (在1=x 处就连续．求分段函数在分界点0x 的左右极限，一定要注意在分界点左、右的解析式的不同．只有)(lim ),(lim )(lim 0 00x f x f x f x x x x x x →→→+-=才存在． 函数的图象及连续性 例 已知函数2 4)(2+-=x x x f ， （1）求）x f (的定义域，并作出函数的图象；
（2）求）x f (的不连续点0x ； （3）对）x f (补充定义，使其是R 上的连续函数． 分析：函数）x f (是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量x 的取值范围，给函数）x f (补充定义，使其在R 上是连续函数，一般是先求)(lim 0 x f x x →，再让)(l i m )(0 0x f x f x x →=即可． 解：（1）当02≠+x 时，有2-≠x ． 因此，函数的定义域是()()+∞--∞-,22, 当2≠x 时，.22 4)(2-=+-=x x x x f 其图象如下图． （2）由定义域知，函数）x f (的不连续点是20-=x ． （3）因为当2≠x 时，2)(-=x x f 所以4)2(lim )(lim 2 2-=-=-→-→x x f x x 因此，将）x f (的表达式改写为 ?? ???-=--≠+-=)2(4)2(24)(2x x x x x f 则函数）x f (在R 上是连续函数． 说明：要作分式函数的图象，首先应对函数式进行化简，再作函数的图象，特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致． 利用函数图象判定方程是否存在实数根
分段函数 1.已知函数f （x ）＝232,1, ,1,x x x ax x +?=?≤?，则1(())9f f = A.4 B. 14 C.-4 D-14 【答案】B 【解析】根据分段函数可得311()log 299f ==-，则211(())(2)294 f f f -=-==， 所以B 正确. 3.定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ???>---≤-0 ),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为( ) A.-1 B. 0 C.1 D. 2 【解析】:由已知得2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-, (2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=, (4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=, 所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f （2009）= f （5）=1,故选C. 4.设函数2()2()g x x x R =-∈， ()4,(),(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是 （A ）9,0(1,)4??-?+∞???? （B ）[0,)+∞ （C ）9[,)4-+∞（D ）9,0(2,)4??-?+∞???? 【答案】D 【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难 题。 依题意知22222(4),2()2,2x x x x f x x x x x ?-++<-??--≥-??， 222,12()2,12 x x x f x x x x ?+<->??---≤≤??或 5.若函数f(x)=212 log ,0,log (),0x x x x >???-f(-a),则实数a 的取值范围是
学号：0801174066导数在中学数学中的应用 专业名称：数学与应用数学 年级班别： 08级1班 姓名：李松阳 指导教师：高福根 2012年05月
导数在中学数学中的应用 摘要导数具有丰富多彩的性质和特性，利用导数研究或处理中学数学问题，既可以加深对导数的理解，又可以为解决函数问题提供了有利的方法，使得函数问题得到简化,为我们解决函数问题提供了有力的工具,用导数可以解决函数中的极值和最值问题,不等式问题,还可以与解析几何相联系,可以用导数求曲线的切线，判断或论证函数的单调性。因此导数是分析和解决中学数学问题的有效工具。本文就导数的有关知识在中学数学中的应用进行了探讨。阐述了利用导数知识研究函数的单调区间、最值等问题的基本方法，以及导数为解决某些不等式的证明、方程求解和数列求和提供了捷径。同时导数知识在研究曲线的切线方面和解决实际问题中也有着广泛的应用。 关键词导数;函数;切线;不等式;恒等式;数列;方程 Derivative and its application in middle school mathematics Abstract This article focuses on the use of derivatives of the basic knowledge and theory, to solve the middle school mathematics in the function monotone, the function of the value, function and other functions of the image problem, and introduced a derivative of the inequality, identify, the series, and analytic geometry. The application of practical problems. Involved in the text of the main methods of comparison, analysis and synthesis method. Keywords derivative; function; tangent; inequality; identity; series; equation