函数的概念和性质 考点 分段函数 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 本文就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下： 1．求分段函数的定义域和值域 例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x x x x +∈-?? =-∈??∈+∞? 的定义域、值域. 2．求分段函数的函数值 例2．已知函数2 |1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤?? =?>?+?求12[()]f f .
例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值. 4．求分段函数的解析式 例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ） 222(10) .()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤? 222(10) .()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12) .()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 2 26(12) .()3(24)x x x D f x x -≤≤?=?-<≤? y x
分段函数的几种常见题型及解法 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 笔者就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下： 1．求分段函数的定义域和值域 例1．求函数1222[1,0]; ()(0,2);3 [2,);x x f x x x x +∈-?? =-∈?? ∈+∞?的定义域、值域. 【解析】 作图, 利用“数形结合”易知()f x 的定义域为 [1,)-+∞, 值域为(1,3]-. 2．求分段函数的函数值 例2．（05年浙江理）已知函数2 |1|2,(||1) ()1,(||1)1x x f x x x --≤?? =?>?+?求12 [()]f f . 【解析】 因为311222()|1|2f =--=-, 所以3 12 22 3 2 14[()]()1() 13 f f f =-== +-. 3．求分段函数的最值 例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值.
【解析】当0x ≤时, max ()(0)3f x f ==, 当01x <≤时, m ax ()(1)4f x f ==, 当1x >时, 5154x -+<-+=, 综上有m ax ()4f x =. 4．求分段函数的解析式 例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ） 222(10) .()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤? 222(10) .()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12) .()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 2 26(12) .()3(24)x x x D f x x -≤≤?=?-<≤? 【解析】 当[2,0]x ∈-时, 1 2 1y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下 平移 1个单位, 得解析式为11 2 2 (2)111y x x = -+-= -, 所以 ()22 ( [f x x x = + ∈-, 当[0,1]x ∈时, 21y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2 个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式2(2)1124y x x =-+-=-, 所以 1 2 ()2([0,2])f x x x = +∈, 综上可得2 22(10) ()2(02)x x x f x x +-≤≤?=?+<≤?, 故选A . 5．作分段函数的图像 例5．函数|ln | |1|x y e x =--的图像大致是（ ） y x
历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题八 分段函数（学生版） 一．选择题（共19小题） 1．（2010?天津）设函数2()2g x x =-，()4,() ()(),()g x x x g x f x g x x x g x ++??是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围 是( ) A ．(0,1) B ．1(0,)3 C ．11[,)73 D ．1[,1)7 5．（2006?山东）设12 3 2,2 ()log (1),2x e x f x x x -?的解集为( ) A ．(1，2)(3?，)+∞ B ．，)+∞ C ．(1 ，2)?)+∞ D ．(1,2) 6．（2005?山东）函数21sin(),10 (),0x x x f x e x π-?-<<=?? …若f （1）f +（a ）2=，则a 的所有可能
专题1.3 一题多变分段函数求值或范围 【经典母题】已知函数f (x )＝?????2x －1 －2，x ≤1，－log 2（x ＋1），x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( ) A.－74 B.－54 C.－34 D.－14 答案A. 【迁移探究1】设函数f (x )＝????? ? ?? ??12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3) B ．(1，＋∞) C ．(－3,1) D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 解：法一：当a <0时，不等式f (a )<1为? ????12a －7<1，即? ????12a <8，即? ????12a －3，此时－30ax ＋1，x ≤0，若f (4)＝3，则f (x )>0的解集为( ) A ．{x |x >－1} B ．{x |－1
2．11分段函数与绝对值函数 ——随着高考命题思维量的加大,分段函数成了新的热点和亮点,单设专题,以明析强化之 一、明确复习目标 了解分段函数的有关概念；掌握分段函数问题的处理方法 二．建构知识网络 1.分段函数:定义域中各段的x 与y 的对应法则不同,函数式是分两段或几段给出的. 分段函数是一个函数,定义域、值域都是各段的并集。 2.绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数. 3.分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值,讨论奇偶性单调性等。 4.分段函数的处理方法:分段函数分段研究. 三、双基题目练练手 1.设函数f （x ）=???? ?≥--<+, 11 4,1) 1(2 x x x x 则使得f （x ）≥1的x 的取值范围为 ( ) A.（－∞，－2］∪［0，10］ B.（－∞，－2］∪［0，1］ C.（－∞，－2］∪［1，10］ D.［－2，0］∪［1，10］ 2．(2006安徽)函数2 2,0 ,0x x y x x ≥?=? -
4.（2006全国Ⅱ）函数19 1 ()n f x x n == -∑的最小值为 ( ) （A ）190 （B ）171 （C ）90 （D ）45 5.（2005北京市西城模拟）已知函数f （x ）=?? ?<-≥-), 2(2 ), 2(2 x x x 则f （lg30－lg3） =___________；不等式xf （x －1）＜10的解集是_______________. 6. （2006浙江）对R b a ∈,,记则{}? ??≥=b a b b a a b a ＜,,,max 则函数 (){}()R x x x x f ∈-+=2,1max 的最小值是 . 7. 已知函数1 3 2 (0)()(01)log (1) x x f x x x x ?<=≤≤>??,当a <0时,f {f [f (a )]}= 8.函数2 21(0) ()(0) x x f x x x ?+≥?=?-
第七节 函数的连续性与间断点 一、函数的连续性 1． 增量：变量x 从初值1x 变到终值2x ，终值与初值的差叫变量x 的增量，记作 x ?，即x ?＝1x －2x 。（增量可正可负）。 例1 分析函数2x y =当x 由20=x 变到05.20=?+x x 时，函数值的改变量。 2．函数在点连续的定义 定义１：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果自变量x 的增量 x ?=0x x -趋向于零时，对应的函数增y ?＝)()(0x f x f -也趋向于零，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。 定义２：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果函数)(x f 当 0x x →时的极限存在，即)()(lim 00 x f x f x x =→，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。 定义3：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数 ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式δ<-0x x 的一切x ，所对应的函数值 )(x f 都满足不等式：ε <-)()(0x f x f ，则称函数y ＝)(x f 在点0x 连续。 注：1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数)(x f 在点0x 连续，必须同时满足下列三个条件：（1） 函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义（函数y ＝)(x f 在点0x 有定义） ，（2） )(lim 0 x f x x →存在；（3）)()(lim 00 x f x f x x =→。 3．函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续、右连续的定义： （1）函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续?)(x f 在(]00,x x δ-内有定义，且 )()(lim 000 x f x f x x =-→（即)()0(00x f x f =-）。 （2）函数y ＝)(x f 在点0x 处右连续?)(x f 在[)δ+00,x x 内有定义，且 )()(lim 000 x f x f x x =+→（即)()0(00x f x f =+）。 显然，函数y ＝)(x f 在点0x 处连续?函数y ＝)(x f 在点0x 处既左连续又右连
讨论分段函数在分段点的连续性与可导性涉及分段函数概念、连续概念、导数概念，既是重点，又是难点。建议同学们认真模仿以下3道题的解答过程，注意讨论的函数是整个分段函数()f x ，而不是其中的某段函数（以下解答中标红的不要省了）；务必精准写出连续、导数定义；答题过程较长时最后要加以总结． 例1：讨论20,1,()0 1,x x e f x x ≠?-=?=?在0x =的连续性与可导性． 解： (0)1f =． 020 li l m im (1)()0x x x f x e →→=-=． 因0 lim ()(0)x f x f →=，故 ()f x 在0x =不连续，从而也不可导． 例2：讨论20,1,()0sin , x x e f x x x ≤?-=?>?在0x =的连续性与可导性． 解：先讨论连续性． (0)0f =． 因020li l m(1im )0()x x x f x e --→→=-=，且00 lim l s i m ()n 0i x x x f x ++→→==， 得0 lim ()0x f x →=． 因0 lim ()(0)x f x f →=，故 ()f x 在0x =连续． 再讨论可导性． 因021()(0)(01lim )lim 02x x x f x f f x e x --→-→-'=--==， 但00sin l ()(0)(0)im l 1im x x f x f x f x x ++ +→→==-='， 得1()(0) (1)lim 0x f x f f x →-'=-不存在，故 ()f x 在0x =不可导． 总之， ()f x 在0x =连续，但不可导．
《判断函数在x=x。处可导性的步骤》 利用知识：左右导数。 本人正读高中，知能浅薄，自行探究，若有疏漏请见谅。 【第一步】~~将原函数化成当x ＜x。与x＞x。的"分段函数".（像y=x2这样，分段之后两个式子一样的也要写出来）； 【第二步】~~将这两个式字都化成两个等价的、可用公式方便地求导的式子.（若原本很完美就省略这步）； 【第三步】~~根据求导公式对每个式子进行求导。求导过程中，只着手式子，不用看定义域怎样。定义域照抄下来； 【第四步】 分类讨论···㈠若此时y′为常数，则比较y′左是否等于y′右······························?如果y′左=y′右=这个常数，则说y=f（x）在x=x。处可导····················?如果y′左≠y′右，则说y=f（x）在x=x。处不可导 ···㈡若此时y′为含x代数式，则看当把x=x。代入时有无意义··············?有意义，则代入x=x。后比较y′左与y′右·····①相同，可导②不相同，不可导···············?无意义，不可导。 【【例题演示】】 第一题 ··············判断y=｜X|在x=0处是否可导.·············· 【第一步】y=｜X|等价于y=-x x＜0 y=x x＞0 【第二步】省略 【第三步】y′=（｜X|）′等价于y′左= -1 x＜0 y′右= 1 x＞0 【第四步】 其为常数，又由于两个常数不等，即左右导数不等，所以y=｜X|在x=0处是否不可导。 第二题 ··············判断y=x2在x=0处是否可导····（X的平方）············ 【第一步】y=x2等价于 y=x2 x＜0 y=x2 x＞0
函数的连续性与间断点 一、函数的连续性 1． 增量：变量x 从初值1x 变到终值2x ，终值与初值的差叫变量x 的增量，记作x ?，即x ?＝1x －2x 。（增量可正可负）。 例1 分析函数2x y =当x 由20=x 变到05.20=?+x x 时，函数值的改变量。 2．函数在点连续的定义 定义１：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果自变量x 的增量x ?=0x x -趋向于零时，对应的函数增y ?＝)()(0x f x f -也趋向于零，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。 定义２：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果函数)(x f 当 0x x →时的极限存在，即)()(lim 00 x f x f x x =→，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。 定义3：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式δ<-0x x 的一切x ，所对应的函数值)(x f 都满足不等式：ε<-)()(0x f x f ，则称函数y ＝)(x f 在点0x 连续。 注：1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数)(x f 在点0x 连续，必须同时满足下列三个条件：（1） 函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义（函数y ＝ )(x f 在点0x 有定义），（2） )(lim 0x f x x →存在；（3）)()(lim 00 x f x f x x =→。 3．函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续、右连续的定义： （1）函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续?)(x f 在(]00,x x δ-内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =-→（即)()0(00x f x f =-）。 （2）函数y ＝)(x f 在点0x 处右连续?)(x f 在[)δ+00,x x 内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =+→（即)()0(00x f x f =+）。 显然，函数y ＝)(x f 在点0x 处连续?函数y ＝)(x f 在点0x 处既左连续又右连
高考中的分段函数 云南省下关第一中学 郭润仙 分段函数既能考查函数的概念及性质,又能体现分类讨论,数形结合的数学思想方法,故成为高考命题热点之一.下面就高考中分段函数的题型及解题策略做一归纳,希望同学们能有所收获. 一. 求分段函数的函数值 已知分段函数解析式求对应的函数值,这类问题是高考数学试题最常考的题型,解决这类问题的关键就是弄清自变量所在区间,然后代入对应区间的解析式求值;若是求"层层套"的函数值,要从内到外逐层计算. 例1.(2015 理5)设函数211log (2),1, ()2,1, x x x f x x -+-，所以 22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)(log 12)9f f -+=，故选C ． 例2(2015陕西文4) 设 ，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】 例3(2015 全国课标1文10)已知函数1222,1 ()log (1),1 x x f x x x -?-≤=?-+>? ， 且()3f a =-，则(6)f a -= ( ) A.74- B.54- C.34- D.14 - 【答案】A 【解析】试题分析：∵()3f a =-，∴当1a ≤时，1 ()2 23a f a -=-=-，则121a -=- ，此
等式显然不成立，当1a >时，2log (1)3a -+=-，解得7a =， ∴(6)f a -=(1)f -=117 224 ---=- ，故选A. 二. 求分段函数的值域或最值 已知分段函数解析式求值域或最值,是高考数学试题的最基本题型.解决这类问题的关键就是求出分段函数中每一个区间对应函数值的范围或每一个区间上的最值(再进行比较),借助于图象也是解决这类问题的常用方法. 例4(2015浙江文12)已知函数，则 ， 的最小值是 ． 【答案】 例5( 2015福建理14)若函数 （ 且 ）的值域是 ，则实数 的取值范围是 ． 【答案】 三.分段函数的性质的判断与应用 1. 分段函数的单调性: 分段函数的单调性必须每一段都单调,而且要关注分段点处的情况. 2. 分段函数的奇偶性:必须对每一段的奇偶性进行单独讨论,由函数及偶性的定义,得出奇 偶性的结论,或由函数图象来判断. 例6(2014福建理7)已知函数()? ??≤>+=0,cos 0 ,12x x x x x f 则下列结论正确的是（ ） A.()x f 是偶函数 B. ()x f 是增函数 C.()x f 是周期函数 D.()x f 的值域为[)+∞-,1
分段函数的极限和连续性 例 设???????<<=<<=) 21( 1)1( 21)10( )(x x x x x f （1）求）x f (在点1=x 处的左、右极限，函数）x f (在点1=x 处是否有极限？ （2）函数）x f (在点1=x 处是否连续？ （3）确定函数）x f (的连续区间． 分析：对于函数）x f (在给定点0x 处的连续性，关键是判断函数当0x x →时的极限是否等于)(0x f ；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续． 解：（1）1lim )(lim 1 1==--→→x x f x x 11lim )(lim 1 1==++→→x x x f ∴1)(lim 1 =→x f x 函数）x f (在点1=x 处有极限． （2）)(lim 21)1(1 x f f x →≠= 函数）x f (在点1=x 处不连续． （3）函数）x f (的连续区间是（0，1），（1，2）． 说明：不能错误地认为)1(f 存在，则）x f (在1=x 处就连续．求分段函数在分界点0x 的左右极限，一定要注意在分界点左、右的解析式的不同．只有)(lim ),(lim )(lim 0 00x f x f x f x x x x x x →→→+-=才存在． 函数的图象及连续性 例 已知函数2 4)(2+-=x x x f ， （1）求）x f (的定义域，并作出函数的图象；
（2）求）x f (的不连续点0x ； （3）对）x f (补充定义，使其是R 上的连续函数． 分析：函数）x f (是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量x 的取值范围，给函数）x f (补充定义，使其在R 上是连续函数，一般是先求)(lim 0 x f x x →，再让)(l i m )(0 0x f x f x x →=即可． 解：（1）当02≠+x 时，有2-≠x ． 因此，函数的定义域是()()+∞--∞-,22, 当2≠x 时，.22 4)(2-=+-=x x x x f 其图象如下图． （2）由定义域知，函数）x f (的不连续点是20-=x ． （3）因为当2≠x 时，2)(-=x x f 所以4)2(lim )(lim 2 2-=-=-→-→x x f x x 因此，将）x f (的表达式改写为 ?? ???-=--≠+-=)2(4)2(24)(2x x x x x f 则函数）x f (在R 上是连续函数． 说明：要作分式函数的图象，首先应对函数式进行化简，再作函数的图象，特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致． 利用函数图象判定方程是否存在实数根
第 6 次课 2 学时
§1.9 函数的连续性与间断点 一、函数的连续性 连续性是函数的重要性态之一，在实际问题中普遍存在连续性问题，如气温的变化，物体速度的变化，动植物的生长等。这些现象在函数上的反映，就是函数的连续性问题。 1．函数的增量 一个变量u 由初值1u 变到终值2u ，终值与初值之差称为u 的增量( 或改变量)，记作 1,u u ??-2即 u=u 对于函数()y f x =，设它在0x 及0x 的某个邻域内有定义，在0x 处给自变量 x 一个增量x ?，则函数有相应的增量00((y y f x f x ??=?， +x)- ) （几何解释） 21()2 1.f x x =-??例设分别求： (1) x 由１变到1.2时， （2) x 由１变到0.8时， 的增量x 和y . 解：（略） 2．函数的连续性 如果自变量 x 的增量 x ?很小时，函数y 的增量y ? 也很小，则说明函数是随着自变量的渐变而渐变的，这时称函数是连续的。 定义 1：设)(x f y =在0x 的某邻域内有定义，如果当自变量x 在0x 的增量0x ?→时，相应函数的增量00()()0y f x x f x ?=+?-→，就称函数)(x f y =在0x 点处连续。 注 ：)(x f 在0x 点连续0lim 0x y ?→??=。 例2 ：证明函数2 ()21f x x =-在x=1 处连续。 证明：函数的定义域为(),-∞+∞，在x=1 的邻域内有定义。 ()()()()2222002:1112*1142lim lim 420()211x x x x x x y x x f x x x ?→?→→+?→??????---=?+??? ???=?+?=? ?=-= ， f(x): f(1)f(1+x) y=f(1+x)-f(1)=21+x 故 在 处连续 ． （类似可证该函数在其定义域内的任意一点处都连续。）
对高考真题中分段函数考查的分类解析 在高中数学考试大纲中，对分段函数的知识点有如下要求: (1)了解构成函数的要素会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(3)了解简单的分段函数，并能简单应用．(4)理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义; 结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．(5)会运用函数图象理解和研究函数的性质．对近年来的高考试卷分析后，重点有以下三个考点， 一、求简单的分段函数的函数值 分段函数的求解过程，常要结合分段讨论和数形结合的思想，解题完成后再进行代入检验． 例 1 (2015全国卷)设函数211log (2),1 ()2,1x x x f x x -+-， 所以22log 121 log 62(log 12)2 26f -===．故2(2)(log 12)9f f -+=，故选C. 例2 (2015山东卷)设函数31,1()2,1 x x x f x x -，所以，() (())2f a f f a =，即1a >符合题意． 当1a <时，()31f a a =-，若() (())2f a f f a =，则()1f a ≥，即311a -≥，23 a ≥ ，所以 2 13 a ≤<． 综上：a 取值范围是2[,)3 +∞． 例3 (2017全国卷)设函数1,0()2,0 x x x f x x +≤?=?的x 的取 值范围是 ． 答案：1 (,)4 -+∞
一、函数的连续性 变量的增量: 设变量u 从它的一个初值u 1变到终值u 2, 终值与初值的差 u 2u 1就叫做变量u 的增量, 记作u , 即u u 2u 1. 设函数y f (x )在点x 0的某一个邻域内是有定义的. 当自变量 x 在这邻域内从x 0变到x 0x 时, 函数y 相应地从f (x 0)变到 f (x 0 x ), 因此函数y 的对应增量为 y f (x 0 x ) f (x 0). 函数连续的定义 设函数y f (x )在点x 0 的某一个邻域内有定义, 如果当自变量的增量 x x x 0 趋于零时, 对应的函数的增量 y f (x 0x ) f (x 0 )也趋于零, 即 lim 0 =?→?y x 或)()(lim 00 x f x f x x =→, 那么就称函数y f (x )在点x 0 处连续. 注 ①0)]()([lim lim 000 =-?+=?→?→?x f x x f y x x ②设x x 0+x , 则当 x 0时, x x 0, 因此 lim 0 =?→?y x 0 )]()([lim 00 =-→x f x f x x )()(lim 00 x f x f x x =→. 函数连续的等价定义2:设函数y f (x )在点x 0的某一个邻域内有定义, 如果对于任意给定义 的正数 , 总存在着正数 , 使得对于适合不等式
|x x 0|< 的一切x , 对应的函数值f (x )都满足不等式 |f (x )f (x 0)|< , 那么就称函数y f (x )在点x 0处连续. 左右连续性: 如果)()(lim 00x f x f x x =- →, 则称y f (x )在点0x 处左连续. 如果)()(lim 00x f x f x x =+ →, 则称y f (x )在点0x 处右连续. 左右连续与连续的关系: 函数y f (x )在点x 0处连续?函数y f (x )在点x 0处左连续且 右连续. 函数在区间上的连续性: 在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 如果区间包括端点, 那么函数在右端点连续是指左连续, 在左端点连续是指右连续. 连续函数举例: 1. 如果f (x )是多项式函数, 则函数f (x )在区间(￥, ￥) 内是连续的. 这是因为, f (x )在( ￥, ￥)内任意一点x 0处有定义, 且 ) ()(lim 00 x P x P x x =→ 2. 函数 x x f =)(在区间[0, ￥)内是连续的. 3. 函数y sin x 在区间( ￥, ￥)内是连续的. 证明 设x 为区间( ￥, ￥)内任意一点. 则有
复习专题1—分段函数专题 不务正业收集、整理、点评 知识点梳理 一、定义：分段函数是指自变量在不同范围内，有不同对应法则的函数。 二、注意: １、分段函数是一个函数,而不是几个函数； 2、分段函数的定义域是自变量各段取值的并集; ３、分段函数的值域是各段函数值的并集。 4、解决分段函数的方法：先分后合 三、涉及的内容及相应的常用方法: １、求解析式: 利用分段中递推关系,如平移、周期、对称关系,已知其中一段的解析式,得到整个定义域的解析式； ２、求值、解不等式：注意只有自变量在相应的区间段才可以代入对应的解析式。不能确定时常需要分情况讨论; 3、单调性： 各段单调(如递增）+连接处不等关系。 （如()()() 12,(,],[,)f x x a f x f x x a ∈-∞??=?∈+∞??在Ｒ上是增函数，则()()()() 1212(,)[,)f x a f x a f a f a ?-∞↑ ??+∞↑??≤??①在上②在上③）； 4、奇偶性： 分段讨论，各段均符合相同的定义中的恒等式,才有奇偶性，否则为非奇非偶函数; 5、图像性质或变换等: 作图、赋值等，注意变量的范围限制； 6、最值： 求各段的最值或者上下界再进行比较； 7、图像： 分类讨论，如零点分段法得到各段解析式再作图； 例题讲解： 题型一、分段函数的图像。 １．作出函数()1y x x =+的图象 2. 函数ln |1|x y e x =--的图象大致是 （ D )
题型二、分段函数的奇偶性 1、判断函数(1)(0), ()(1) (0).x x x f x x x x -?的奇偶性 2、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,且当2 0,()2 3.x f x x x >=-+时求f(ｘ)的解析式。 题型三、分段函数的最值 1、（2005上海高考题)对定义域分别是 ,f g D D 的函数(),()y f x y g x ==.规定： 函数()(),,()(),(), f g f g g f f x g x x x h x f x x x g x x x D D D D D D ?∈∈?? =∈??? ∈???当且当且当且 (I ）若函数21 (),()1 f x g x x x = =-，写出函数()h x 的解析式； (II)求问题（I ）中函数()h x 的值域; 题型四、与分段函数有关的不等式与方程 1、已知1(0)()1(0)x f x x ≥?=?-
分段函数 1．设f(x)= 1232,2,log (1),2, x e x x x -?2的解集为 (A)（1，2）?（3，+∞）(B)（10，+∞）(C)（1，2）? （10 ，+∞）(D)（1，2） 2．函数 |ln ||1|x y e x =--的图像大致是（ ） 3.函数1 222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x x x x +∈- ??=-∈??∈+∞? 的定义域为________、值域为________ . 4．设,0.(),0. x e x g x lnx x ?≤=?>?则1(())2g g =__________ 5．已知sin (0),()(1)1(0). x x f x f x x π?则1111()()66f f -+的值为 . 6.设函数812(,1]()log (1,) x x f x x x -?∈-∞=?∈+∞?, 则满足方程1()4f x =的x 的值为 7．已知函数()2,166,1x x f x x x x ?≤?=?+->?? ，则()2f f -=???? ，()f x 的最小值是 ． 8.设函数?? ???>-≤++=0,0,22)(22x x x x x x f ，若2))((=a f f ，则=a . 9．已知函数221,1()lg(1),1x x f x x x x ?+-≥?=??+
第四节 函数的连续性及极限的应用 1.函数在一点连续的定义: 如果函数f (x )在点x =x 0处有定义， lim x x →f (x )存在，且0 lim x x →f (x )=f (x 0)，那么函数f (x )在点x =x 0处连续. 2．.函数f (x )在点x =x 0处连续必须满足下面三个条件. (1)函数f (x )在点x =x 0处有定义； (2)0 lim x x →f (x )存在； (3)0 lim x x →f (x )=f (x 0)，即函数f (x )在点x 0处的极限值等于这一点 的函数值. 如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f (x )在点x 0 处不连续.那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义． 3.函数连续性的运算: ①若f(x)，g(x)都在点x 0处连续，则f(x)±g(x)，f(x)?g(x)， ) ()(x g x f (g(x)≠0)也在点x 0处连续。 ②若u(x)都在点x 0处连续，且f(u)在u 0=u(x 0)处连续,则复合函数f[u(x)]在点x 0处连续。 4.函数f (x )在(a ，b )内连续的定义： 如果函数f (x )在某一开区间(a ，b )内每一点处连续，就说函数 f (x )在开区间(a ，b )内连续，或f (x )是开区间(a ，b )内的连续函数. f (x )在开区间(a ，b )内的每一点以及在a 、b 两点都连续，现在 函数f (x )的定义域是［a ，b ］，若在a 点连续，则f (x )在a 点的极限
存在并且等于f (a )，即在a 点的左、右极限都存在，且都等于f (a )， f (x )在(a ，b )内的每一点处连续，在a 点处右极限存在等于f (a )， 在b 点处左极限存在等于f (b ). 5.函数f (x )在［a ，b ］上连续的定义： 如果f (x )在开区间(a ，b )内连续，在左端点x =a 处有 + →a x lim f (x )=f (a )，在右端点x =b 处有- →b x lim f (x )=f (b ),就说函数f (x ) 在闭区间［a ，b ］上连续,或f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数. 6. 最大值最小值定理 如果f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，那么f (x )在闭区间［a ，b ］上有最大值和最小值 7.特别注意：函数f(x)在x=x 0处连续与函数f(x)在x=x 0处有极限的联系与区别。“连续必有极限，有极限未必连续。” 二、 问题讨论 ●点击双基 （x ）在x =x 0处连续是f （x ）在x =x 0处有定义的_________条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要 解析：f （x ）在x =x 0处有定义不一定连续. 答案：A
分段函数常见题型及解法 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 笔者就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下： 1．求分段函数的定义域和值域 例1．求函数1222[1,0]; ()(0,2);3[2,);x x f x x x x +∈-?? =-∈??∈+∞? 的定义域、值域. 【解析】 作图, 利用“数形结合”易知()f x 的定义域为 [1,)-+∞, 值域为(1,3]-. 2．求分段函数的函数值 例2．（05年浙江理）已知函数2 |1|2,(||1) ()1,(||1)1x x f x x x --≤?? =?>?+?求12[()]f f . 【解析】 因为311222()|1|2f =--=-, 所以31 222 32 14 [()]()1()13f f f =-= =+-. 3．求分段函数的最值 例3．求函数43(0) ()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值.
【解析】当0x ≤时, max ()(0)3f x f ==, 当01x <≤时, max ()(1)4f x f ==, 当1x >时, 5154x -+<-+=, 综上有max ()4f x =. 4．求分段函数的解析式 例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ） 222(10) .()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤? 222(10) .()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12) .()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 226(12) .()3(24) x x x D f x x -≤≤?=?-<≤? 【解析】 当[2,0]x ∈-时, 12 1y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下 平移 1 个单位, 得解析式为1122 (2)111y x x =-+-= -, 所以 ()22([1,0])f x x x =+∈-, 当[0,1]x ∈时, 21y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2 个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式2(2)1124y x x =-+-=-, 所以 12 ()2([0,2])f x x x =+∈, 综上可得222(10) ()2(02) x x x f x x +-≤≤?=?+<≤?, 故选A . 5．作分段函数的图像 例5．函数|ln | |1|x y e x =--的图像大致是（ ） y x