分段函数分段点可导性的一个定理及应用
作者：JIANG Hai-qin， 曹瑞成， JIANG Hai-qin， CAO Rui-cheng
作者单位：扬州职业大学,江苏,扬州,225009
刊名：
扬州职业大学学报
英文刊名：JOURNAL OF YANGZHOU POLYTECHNIC COLLEGE
年，卷(期)：2008，12(2)
被引用次数：1次
参考文献(4条)
1.张红梅支持向量机方法及其在电力系统中的应用[期刊论文]-扬州职业大学学报 2007(02)
2.张隆辉.魏国祥函数在一点可导性与在该点附近的导数的关系[期刊论文]-楚雄师范学院学报 2007(06)
3.汪维红探究分段函数的导数[期刊论文]-绥化师专学报 2004(02)
4.何彦力分段函数分段点的有关讨论及证明 1999(03)
相似文献(10条)
1.期刊论文曾艳妮分段函数在连续的分界点处可导性的另一种判定-湖北大学成人教育学院学报2005,23(5)
通常我们讨论分段函数在分界点处的可导性是通过定义(即函数在某点的左、右导数存在且相等则函数在该点可导)来讨论,本文则用分段求导的方法讨论分段函数在连续的分界点处的可导性,并且用拉格朗日中值定理证明了这种方法的正确性.事实证明用此方法比用定义法将更简单.
2.期刊论文赵芳玲分段函数可导性的一种简便判别法-西安航空技术高等专科学校学报2003,21(3)
分段函数的可导性问题是高等数学理论中的一个重点和难点,学生在平时的学习中不易掌握,本文介绍一种简单判别分段函数在分段点处的可导性的方法.
3.期刊论文程延.Chen Yan谈分段函数的可导性-新疆职工大学学报2000,8(3)
本文给出了分段函数可导性的判别方法,以及分段函数在定义或分界点处可导与不可导的几何解释.
4.期刊论文金友良关于分段函数在分界点处的可导性判定-成都教育学院学报2003,17(7)
介绍判断分段函数在分界点处可导性的一种简便方法.
5.期刊论文李天胜分段函数的连续可导性-高等数学研究2006,9(5)
讨论了分段函数的连续可导性,得到了一个分段函数具有任意阶导数的充分条件,并介绍了一个求分段函数在其分段点处n阶导数的公式
6.期刊论文李华凤.康淑卫分段函数的应用-张家口农专学报2003,19(2)
阐述了分段函数在作图、复合、连续性、可导性及积分中应注意的几个问题.
7.期刊论文叶鉴樱分段函数在高等数学教学中的几类问题-咸宁师专学报2002,22(6)
就函数的定义,函数的连续性,可导性及微分的应用几方面讨论了分段函数在高等数学学习中的重要性,并强调了在高等数学的学习中一定要认真学习概念,掌握其问题的实质.
8.期刊论文周秀君.周天刚分段函数可导性的判别方法-牡丹江教育学院学报2008,""(4)
提出了分段函数在分段点可导的简便判别方法.
9.期刊论文赵邦杰.郭瑞海对分段函数在分段点的极限、连续、可导性的研究-西南民族大学学报(自然科学版) 2003,29(4)
通过对分段函数在分段点性态的讨论,指出了分段函数在帮助学生理解高等数学一些基本慨念的作用.给出了在一定条件下,用导函数在该点的极限判定该点导数是否存在的方法.
10.期刊论文曾昭华分段函数在分段点处的可导性研究-渝西学院学报（自然科学版）2004,3(3)
通过几个实例对分段函数在分段点处是否可导、如何求分段点处的导数进行了分类讨论,从中总结了几个结论.
引证文献(1条)
1.贠小青.于颖关于分段函数在分段点处的导数的教学[期刊论文]-科技信息 2009(2)
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分段函数单调性 1．设函数若f（a）=a，则实数a的值为（） A．±1 B．﹣1 C．﹣2或﹣1 D．±1或﹣2 2．已知函数f（x）=是定义域上的单调函数，则a的取值 范围是（） A．（1，+∞）B．[2，+∞）C．（1，2） D．（1，2] 3．已知函数在（﹣∞，+∞）上单调递减，则a的取值范围是（） A．（0，1） B．（0，）C．D． 4．若函数f（x）=是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（） A．[0，2） B． C．[1，2]D．[0，1] 5．已知函数f（x）=若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围 是（） A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣1，2）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） 6．已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么实数a的取值范围是（） A．（0，3） B．（1，3） C．（1，+∞）D．
7．设a＞0且a≠1，若f（x）=为一分段函数，且在R上为增函 数，则实数a的取值范围． 8．若函数y=，则函数的单调增区间为． 分段函数单调性答案 1．设函数若f（a）=a，则实数a的值为（） A．±1 B．﹣1 C．﹣2或﹣1 D．±1或﹣2 【解答】解：由题意知，f（a）=a； 当a≥0时，有，解得a=﹣2，（不满足条件，舍去）； 当a＜0时，有，解得a=1（不满足条件，舍去）或a=﹣1． 所以实数a 的值是：a=﹣1． 故选B． 2．已知函数f（x）=是定义域上的单调函数，则a的取值 范围是（） A．（1，+∞）B．[2，+∞）C．（1，2） D．（1，2] 【解答】解：因为f（x）是定义域R上的单调函数，所以a应满足： ，解得：1＜a≤2，故选D． 3．已知函数在（﹣∞，+∞）上单调递减，则a的取值范围是（） A．（0，1） B．（0，）C．D． 【解答】解：由已知，f1（x）=（2a﹣1）x+7a﹣2在（﹣∞，1）上单减，∴2a
函数的概念和性质 考点 分段函数 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 本文就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下： 1．求分段函数的定义域和值域 例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x x x x +∈-?? =-∈??∈+∞? 的定义域、值域. 2．求分段函数的函数值 例2．已知函数2 |1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤?? =?>?+?求12[()]f f .
例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值. 4．求分段函数的解析式 例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ） 222(10) .()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤? 222(10) .()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12) .()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 2 26(12) .()3(24)x x x D f x x -≤≤?=?-<≤? y x
专题30、分段函数单调性 【例1】已知函数(2)1,1()log ,1a a x x f x x x --≤?=?>?，若()f x 在(,)-∞+∞单调递增，则实数的取值范围是_________ 【答案】(2,3] 【解析】若()f x 在(,)-∞+∞单调递增，则在R 上任取12x x <，均有12()()f x f x <，在任取中就包含12,x x 均在同一段取值的情况，所以可得要想在R 上单调增，起码每一段的解析式也应当是单调 递增的，由此可得 201a a ->??>? ，但仅仅满足这个条件是不够的。还有一种取值可能为12,x x 不在同一段取值，若也满足12x x <，均有12()()f x f x <，通过作图可发现需要左边函数的最大值不大于右边函数的最小值，代入1x =，有左段右端，即21log 103a a a --≤=?≤，综上所述可得(2,3]a ∈。 【例2】已知函数2,1()2ln ,1 x e ax x f x a x x ?-≤=?+>?在定义域(,)-∞+∞上是单调增函数，则实数a 的取值范围 是（ ） .,2e A ??-∞ ??? .,3e B ??+∞???? .,32e e C ?????? .(,)32e e D 【答案】C 【解析】由于函数2,1()2ln ,1 x e ax x f x a x x ?-≤=?+>?在定义域(,)-∞+∞上是单调增函数，2a e a ≥-，解得 a ≤
【例6】已知函数()1()1,22 x f x x =?-
分段函数的几种常见题型及解法 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 笔者就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下： 1．求分段函数的定义域和值域 例1．求函数1222[1,0]; ()(0,2);3 [2,);x x f x x x x +∈-?? =-∈?? ∈+∞?的定义域、值域. 【解析】 作图, 利用“数形结合”易知()f x 的定义域为 [1,)-+∞, 值域为(1,3]-. 2．求分段函数的函数值 例2．（05年浙江理）已知函数2 |1|2,(||1) ()1,(||1)1x x f x x x --≤?? =?>?+?求12 [()]f f . 【解析】 因为311222()|1|2f =--=-, 所以3 12 22 3 2 14[()]()1() 13 f f f =-== +-. 3．求分段函数的最值 例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值.
【解析】当0x ≤时, max ()(0)3f x f ==, 当01x <≤时, m ax ()(1)4f x f ==, 当1x >时, 5154x -+<-+=, 综上有m ax ()4f x =. 4．求分段函数的解析式 例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ） 222(10) .()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤? 222(10) .()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12) .()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 2 26(12) .()3(24)x x x D f x x -≤≤?=?-<≤? 【解析】 当[2,0]x ∈-时, 1 2 1y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下 平移 1个单位, 得解析式为11 2 2 (2)111y x x = -+-= -, 所以 ()22 ( [f x x x = + ∈-, 当[0,1]x ∈时, 21y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2 个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式2(2)1124y x x =-+-=-, 所以 1 2 ()2([0,2])f x x x = +∈, 综上可得2 22(10) ()2(02)x x x f x x +-≤≤?=?+<≤?, 故选A . 5．作分段函数的图像 例5．函数|ln | |1|x y e x =--的图像大致是（ ） y x
分段函数单调性及其应用 基本理论 函数???>≤=a x x f a x x f x f ),(,),()(2 1在R 上单调递增，则)(x f 满足两个条件： （1） )(1x f 在],(a -∞上单调递增，)(2x f 在),(+∞a 上单调递增； （2） ).()(21a f a f ≤ 数学应用 1.(直接应用）已知???≥<+-=1,log ,1,4)13()(x x x a x a x f a 是),(+∞-∞上的减函数，则a 的取值范围是________________. 变式拓展：1.1若函数x a x x x f 2)(+-=在R 上单调递增，求实数a 的取值范围. 1.2已知函数.,1)(2R a a x x x f ∈+-+=求)(x f 得最小值.
2（从反方向角度考查） 设???>-≤+-=, 1,1,1,)(2x ax x ax x x f 若存在2121,,x x R x x ≠∈，使得)()(21x f x f =成立，求实数a 的取值范围. 3（从数列问题函数化角度考查） 设数列)(7, ,7,4)2(*N n n a n n n a a n ∈?? ?<+≥++-=是递增数列，则实数a 的取值范围是_______________. 4.（从“间断点”处回归函数考查） 已知函数)(0,)3()4(,0),1()(22222R a x a x a a x x a k x k x f ∈?????<-+-+≥-+=.若对任意的非零实数1x ，都存在唯一的非零实数2x ，使得)()(21x f x f =成立，求实数k 的取值范围.
历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题八 分段函数（学生版） 一．选择题（共19小题） 1．（2010?天津）设函数2()2g x x =-，()4,() ()(),()g x x x g x f x g x x x g x ++??是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围 是( ) A ．(0,1) B ．1(0,)3 C ．11[,)73 D ．1[,1)7 5．（2006?山东）设12 3 2,2 ()log (1),2x e x f x x x -?的解集为( ) A ．(1，2)(3?，)+∞ B ．，)+∞ C ．(1 ，2)?)+∞ D ．(1,2) 6．（2005?山东）函数21sin(),10 (),0x x x f x e x π-?-<<=?? …若f （1）f +（a ）2=，则a 的所有可能
分段函数常见题型及解法 【解析】 3 ?求分段函数的最值 4x 3 (x 0) 例3?求函数f(x) x 3 (0 x 1)的最大值 x 5 (x 1) 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内 有不同的对应法则的函数 它是一个函数，却又常常被学生误认为是几个函数 ；它的定义域是各段函数定义域的并 集，其值域也是各段函数值域的并集 ?由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知 识的程度的考察上有较好的作用 ，时常在高考试题中“闪亮”登场，笔者就几种具体的题 型做了一些思考，解析如下： 1 ?求分段函数的定义域和值域 例1.求函数f(x) 值域? 【解析】 2x 2 x [ 1,0]; 1 x x (0,2);的定义域、 3 x [2，)； 作图， 利用“数形结合”易知f (x)的定义域为 [1，)，值域为(1,3]. 2 ?求分段函数的函数值 |x 1| 2，(|x| 例2 . ( 05年浙江理)已知函数 f(x) 1 1 x 2 (|x| 1) 1) 求f[? 因为 f(i) 11 1| 2 所以 f[f(b] f( 1 4 1 ( i) 2 13
【解析】当 X 0 时,f max (X ) f(0) 3,当 0 X 1 时，f max (X ) f(1) 4, 当 X 1 时, X 5 15 4,综上有 f max (x) 4. 4 ?求分段函数的解析式 例4 .在同一平面直角坐标系中，函数y f (X )和y g(X )的图象关于直线 y X 对 称，现将y g(x)的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移1个单位，所得 的图象是由两条线段组成的折线(如图所示) ，则函数f (x)的表达式为() 5 ?作分段函数的图像 例5?函数y e IM |X 1|的图像大致是() 2x 2 (1 X 0) A. f(x) 2 X 2 (0 X 2) 2x 2 (1 X 0) B. f(x) 2 X 2 (0 X 2) 2x 2 (1 X 2) C. f(x) X 2 1 ( 2 X 4) 2x 6 (1 X 2) D. f(x) X 2 3 (2 X 4) 【解析】 将其图象沿X 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下 平移 1 个单位 得解析式为y 今(x 2) 1 1 4 1 f(x) 2x 2 (x [ 1,0]),当 x [0,1]时, y 2x 1,将其图象沿x 轴向右平移2 个单位，再沿y 轴向下平移 1个单位, 得解析式y 2(x 2) 1 1 2x 4, 所以 f(x) 2x 2 (x [0,2]) 综上可得f(x) 2x 2 ( 1 x 0) ■2 2 (0 x 2) 故选A 当 X [ 2,0]时，y 1 x 1
专题1.3 一题多变分段函数求值或范围 【经典母题】已知函数f (x )＝?????2x －1 －2，x ≤1，－log 2（x ＋1），x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( ) A.－74 B.－54 C.－34 D.－14 答案A. 【迁移探究1】设函数f (x )＝????? ? ?? ??12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3) B ．(1，＋∞) C ．(－3,1) D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 解：法一：当a <0时，不等式f (a )<1为? ????12a －7<1，即? ????12a <8，即? ????12a －3，此时－30ax ＋1，x ≤0，若f (4)＝3，则f (x )>0的解集为( ) A ．{x |x >－1} B ．{x |－1
1、分段函数 1、已知函数)(x f ＝267,0,100,, x x x x x ++<≥????? ，则 )1()0(-+f f ＝（ ） A ． 9 B ． 71 10 C ． 3 D ． 1110 提示：本题考查分段函数的求值，注意分段函数分段求。 解析：0代入第二个式子，-1代入第一个式子，解得)1()0(-+f f =3，故正确答案为C. 90 2、函数||x y x x =+的图象为下图中的（ ） 提示：分段函数分段画图。 解析：此题中x ≠0，当x>0时，y=x+1,当x<0时，y=x-1, 故正确答案为C. 120 3、下列各组函数表示同一函数的是( ) ①f(x)=|x|，g(x)=???<-≥) 0()0(x x x x ②f(x)=242--x x ，g(x)=x+2 ③f(x)=2x ，g(x)=x+2 ④f(x)=1122-+-x x ，g(x)=0 ，x ∈{－1，1} A.①③ B.① C.②④ D.①④ 提示：考察是否是同一函数即考察函数的三要素：定义域、值域、对应关系，此题应注意分段函数分段解决。 解析：此题中①③正确，故正确答案为A. 120 4、设()1232,2()log 1,2 x e x f x x x -?
1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ★备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用． 2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P15 注意： 研究函数单调性必须先求函数的定义域， 函数的单调区间是定义域的子集 单调区间不能并！ 知识点一函数的单调性 1.单调函数的定义 1
2 2.单调性、单调区间的定义 若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间. 注意： 1、《名师一号》P16 问题探究 问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题？ (1)定义中x 1，x 2具有任意性，不能是规定的特定值． (2)函数的单调区间必须是定义域的子集； (3)定义的两种变式： 设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1
3 1212 ()() 0-<-f x f x x x ? f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． 2、《名师一号》P16 问题探究 问题2 单调区间的表示注意哪些问题？ 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； 如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 知识点二 单调性的证明方法：定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x 1、x 2∈D ，且x 1
2．11分段函数与绝对值函数 ——随着高考命题思维量的加大,分段函数成了新的热点和亮点,单设专题,以明析强化之 一、明确复习目标 了解分段函数的有关概念；掌握分段函数问题的处理方法 二．建构知识网络 1.分段函数:定义域中各段的x 与y 的对应法则不同,函数式是分两段或几段给出的. 分段函数是一个函数,定义域、值域都是各段的并集。 2.绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数. 3.分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值,讨论奇偶性单调性等。 4.分段函数的处理方法:分段函数分段研究. 三、双基题目练练手 1.设函数f （x ）=???? ?≥--<+, 11 4,1) 1(2 x x x x 则使得f （x ）≥1的x 的取值范围为 ( ) A.（－∞，－2］∪［0，10］ B.（－∞，－2］∪［0，1］ C.（－∞，－2］∪［1，10］ D.［－2，0］∪［1，10］ 2．(2006安徽)函数2 2,0 ,0x x y x x ≥?=? -
4.（2006全国Ⅱ）函数19 1 ()n f x x n == -∑的最小值为 ( ) （A ）190 （B ）171 （C ）90 （D ）45 5.（2005北京市西城模拟）已知函数f （x ）=?? ?<-≥-), 2(2 ), 2(2 x x x 则f （lg30－lg3） =___________；不等式xf （x －1）＜10的解集是_______________. 6. （2006浙江）对R b a ∈,,记则{}? ??≥=b a b b a a b a ＜,,,max 则函数 (){}()R x x x x f ∈-+=2,1max 的最小值是 . 7. 已知函数1 3 2 (0)()(01)log (1) x x f x x x x ?<=≤≤>??,当a <0时,f {f [f (a )]}= 8.函数2 21(0) ()(0) x x f x x x ?+≥?=?-
讨论分段函数在分段点的连续性与可导性涉及分段函数概念、连续概念、导数概念，既是重点，又是难点。建议同学们认真模仿以下3道题的解答过程，注意讨论的函数是整个分段函数()f x ，而不是其中的某段函数（以下解答中标红的不要省了）；务必精准写出连续、导数定义；答题过程较长时最后要加以总结． 例1：讨论20,1,()0 1,x x e f x x ≠?-=?=?在0x =的连续性与可导性． 解： (0)1f =． 020 li l m im (1)()0x x x f x e →→=-=． 因0 lim ()(0)x f x f →=，故 ()f x 在0x =不连续，从而也不可导． 例2：讨论20,1,()0sin , x x e f x x x ≤?-=?>?在0x =的连续性与可导性． 解：先讨论连续性． (0)0f =． 因020li l m(1im )0()x x x f x e --→→=-=，且00 lim l s i m ()n 0i x x x f x ++→→==， 得0 lim ()0x f x →=． 因0 lim ()(0)x f x f →=，故 ()f x 在0x =连续． 再讨论可导性． 因021()(0)(01lim )lim 02x x x f x f f x e x --→-→-'=--==， 但00sin l ()(0)(0)im l 1im x x f x f x f x x ++ +→→==-='， 得1()(0) (1)lim 0x f x f f x →-'=-不存在，故 ()f x 在0x =不可导． 总之， ()f x 在0x =连续，但不可导．
《判断函数在x=x。处可导性的步骤》 利用知识：左右导数。 本人正读高中，知能浅薄，自行探究，若有疏漏请见谅。 【第一步】~~将原函数化成当x ＜x。与x＞x。的"分段函数".（像y=x2这样，分段之后两个式子一样的也要写出来）； 【第二步】~~将这两个式字都化成两个等价的、可用公式方便地求导的式子.（若原本很完美就省略这步）； 【第三步】~~根据求导公式对每个式子进行求导。求导过程中，只着手式子，不用看定义域怎样。定义域照抄下来； 【第四步】 分类讨论···㈠若此时y′为常数，则比较y′左是否等于y′右······························?如果y′左=y′右=这个常数，则说y=f（x）在x=x。处可导····················?如果y′左≠y′右，则说y=f（x）在x=x。处不可导 ···㈡若此时y′为含x代数式，则看当把x=x。代入时有无意义··············?有意义，则代入x=x。后比较y′左与y′右·····①相同，可导②不相同，不可导···············?无意义，不可导。 【【例题演示】】 第一题 ··············判断y=｜X|在x=0处是否可导.·············· 【第一步】y=｜X|等价于y=-x x＜0 y=x x＞0 【第二步】省略 【第三步】y′=（｜X|）′等价于y′左= -1 x＜0 y′右= 1 x＞0 【第四步】 其为常数，又由于两个常数不等，即左右导数不等，所以y=｜X|在x=0处是否不可导。 第二题 ··············判断y=x2在x=0处是否可导····（X的平方）············ 【第一步】y=x2等价于 y=x2 x＜0 y=x2 x＞0
第二讲 分段函数及函数的单调性 一.分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． 分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论． 常见的命题类型有： (1)分段函数的函数求值问题； (2)分段函数的自变量求值问题； (3)分段函数与函数性质、方程、不等式问题． 二.函数的单调性 1.单调性的定义 自左向右看图象是 __________ 自左向右看图象是_________ 如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)_______，区间D 叫做函数y ＝f (x )的___________. 2．函数的最值 题型一分段函数的函数求值（域）问题
1.已知函数f (x )＝? ???? log 2x ，x >0，3x ＋1，x ≤0，则f ????f ????14的值是________． 2. 若函数f (x )= x 2+1,x ≤1lg x ,x >1，则f (f (10))=（ ） A ．lg101 B ．2 C ．1 D ．0 3.设定义在N 上的函数f （x ）满足f （n ）=???-+)] 18([13 n f f n ),2000(),2000(>≤n n 试求f （2002）的值. 4.设函数f (x )＝????? 1x ， x >1， －x －2，x ≤1，则f (f (2))＝________，函数f (x )的值域是________． 题型二 分段函数的自变量求值问题 1．已知f (x )＝?? ? x 1 2 ，x ∈[0，＋∞)， |sin x |，x ∈??? ?－π2，0，若f (a )＝1 2 ，则a ＝________. 2.已知函数f (x )＝? ???? 2x －2，x ≤0， －log 3x ，x >0，且f (a )＝－2，则f (7－a )＝( ) A ．－log 37 B ．－34 C ．－5 4 D ．－7 4 3.已知函数f (x )＝? ???? (a －1)x ＋1，x ≤1，a x －1，x >1，若f (1)＝1 2，则f (3)＝________. 题型三 分段函数与函数性质、方程、不等式问题． 1.已知函数f (x )＝????? x 2 ＋2ax ，x ≥2， 2x ＋1，x <2， 若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________． 2.已知函数f （x ）=?? ?<-≥-), 2(2 ), 2(2 x x x 则f （lg30－lg3）=___________________； 不等式xf （x －1）＜10的解集是___________________. 题型四.常见函数的单调性 一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性、单调区间。 题型五.判定函数的调性 1.f(x)图像 如图所示，请写出f(x)的单调区间
高考中的分段函数 云南省下关第一中学 郭润仙 分段函数既能考查函数的概念及性质,又能体现分类讨论,数形结合的数学思想方法,故成为高考命题热点之一.下面就高考中分段函数的题型及解题策略做一归纳,希望同学们能有所收获. 一. 求分段函数的函数值 已知分段函数解析式求对应的函数值,这类问题是高考数学试题最常考的题型,解决这类问题的关键就是弄清自变量所在区间,然后代入对应区间的解析式求值;若是求"层层套"的函数值,要从内到外逐层计算. 例1.(2015 理5)设函数211log (2),1, ()2,1, x x x f x x -+-，所以 22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)(log 12)9f f -+=，故选C ． 例2(2015陕西文4) 设 ，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】 例3(2015 全国课标1文10)已知函数1222,1 ()log (1),1 x x f x x x -?-≤=?-+>? ， 且()3f a =-，则(6)f a -= ( ) A.74- B.54- C.34- D.14 - 【答案】A 【解析】试题分析：∵()3f a =-，∴当1a ≤时，1 ()2 23a f a -=-=-，则121a -=- ，此
等式显然不成立，当1a >时，2log (1)3a -+=-，解得7a =， ∴(6)f a -=(1)f -=117 224 ---=- ，故选A. 二. 求分段函数的值域或最值 已知分段函数解析式求值域或最值,是高考数学试题的最基本题型.解决这类问题的关键就是求出分段函数中每一个区间对应函数值的范围或每一个区间上的最值(再进行比较),借助于图象也是解决这类问题的常用方法. 例4(2015浙江文12)已知函数，则 ， 的最小值是 ． 【答案】 例5( 2015福建理14)若函数 （ 且 ）的值域是 ，则实数 的取值范围是 ． 【答案】 三.分段函数的性质的判断与应用 1. 分段函数的单调性: 分段函数的单调性必须每一段都单调,而且要关注分段点处的情况. 2. 分段函数的奇偶性:必须对每一段的奇偶性进行单独讨论,由函数及偶性的定义,得出奇 偶性的结论,或由函数图象来判断. 例6(2014福建理7)已知函数()? ??≤>+=0,cos 0 ,12x x x x x f 则下列结论正确的是（ ） A.()x f 是偶函数 B. ()x f 是增函数 C.()x f 是周期函数 D.()x f 的值域为[)+∞-,1
分段函数的极限和连续性 例 设???????<<=<<=) 21( 1)1( 21)10( )(x x x x x f （1）求）x f (在点1=x 处的左、右极限，函数）x f (在点1=x 处是否有极限？ （2）函数）x f (在点1=x 处是否连续？ （3）确定函数）x f (的连续区间． 分析：对于函数）x f (在给定点0x 处的连续性，关键是判断函数当0x x →时的极限是否等于)(0x f ；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续． 解：（1）1lim )(lim 1 1==--→→x x f x x 11lim )(lim 1 1==++→→x x x f ∴1)(lim 1 =→x f x 函数）x f (在点1=x 处有极限． （2）)(lim 21)1(1 x f f x →≠= 函数）x f (在点1=x 处不连续． （3）函数）x f (的连续区间是（0，1），（1，2）． 说明：不能错误地认为)1(f 存在，则）x f (在1=x 处就连续．求分段函数在分界点0x 的左右极限，一定要注意在分界点左、右的解析式的不同．只有)(lim ),(lim )(lim 0 00x f x f x f x x x x x x →→→+-=才存在． 函数的图象及连续性 例 已知函数2 4)(2+-=x x x f ， （1）求）x f (的定义域，并作出函数的图象；
（2）求）x f (的不连续点0x ； （3）对）x f (补充定义，使其是R 上的连续函数． 分析：函数）x f (是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量x 的取值范围，给函数）x f (补充定义，使其在R 上是连续函数，一般是先求)(lim 0 x f x x →，再让)(l i m )(0 0x f x f x x →=即可． 解：（1）当02≠+x 时，有2-≠x ． 因此，函数的定义域是()()+∞--∞-,22, 当2≠x 时，.22 4)(2-=+-=x x x x f 其图象如下图． （2）由定义域知，函数）x f (的不连续点是20-=x ． （3）因为当2≠x 时，2)(-=x x f 所以4)2(lim )(lim 2 2-=-=-→-→x x f x x 因此，将）x f (的表达式改写为 ?? ???-=--≠+-=)2(4)2(24)(2x x x x x f 则函数）x f (在R 上是连续函数． 说明：要作分式函数的图象，首先应对函数式进行化简，再作函数的图象，特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致． 利用函数图象判定方程是否存在实数根
分段函数 1.已知函数f （x ）＝232,1, ,1,x x x ax x +?=?≤?，则1(())9f f = A.4 B. 14 C.-4 D-14 【答案】B 【解析】根据分段函数可得311()log 299f ==-，则211(())(2)294 f f f -=-==， 所以B 正确. 3.定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ???>---≤-0 ),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为( ) A.-1 B. 0 C.1 D. 2 【解析】:由已知得2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-, (2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=, (4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=, 所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f （2009）= f （5）=1,故选C. 4.设函数2()2()g x x x R =-∈， ()4,(),(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是 （A ）9,0(1,)4??-?+∞???? （B ）[0,)+∞ （C ）9[,)4-+∞（D ）9,0(2,)4??-?+∞???? 【答案】D 【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难 题。 依题意知22222(4),2()2,2x x x x f x x x x x ?-++<-??--≥-??， 222,12()2,12 x x x f x x x x ?+<->??---≤≤??或 5.若函数f(x)=212 log ,0,log (),0x x x x >???-f(-a),则实数a 的取值范围是
对高考真题中分段函数考查的分类解析 在高中数学考试大纲中，对分段函数的知识点有如下要求: (1)了解构成函数的要素会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(3)了解简单的分段函数，并能简单应用．(4)理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义; 结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．(5)会运用函数图象理解和研究函数的性质．对近年来的高考试卷分析后，重点有以下三个考点， 一、求简单的分段函数的函数值 分段函数的求解过程，常要结合分段讨论和数形结合的思想，解题完成后再进行代入检验． 例 1 (2015全国卷)设函数211log (2),1 ()2,1x x x f x x -+-， 所以22log 121 log 62(log 12)2 26f -===．故2(2)(log 12)9f f -+=，故选C. 例2 (2015山东卷)设函数31,1()2,1 x x x f x x -，所以，() (())2f a f f a =，即1a >符合题意． 当1a <时，()31f a a =-，若() (())2f a f f a =，则()1f a ≥，即311a -≥，23 a ≥ ，所以 2 13 a ≤<． 综上：a 取值范围是2[,)3 +∞． 例3 (2017全国卷)设函数1,0()2,0 x x x f x x +≤?=?的x 的取 值范围是 ． 答案：1 (,)4 -+∞
复习专题1—分段函数专题 不务正业收集、整理、点评 知识点梳理 一、定义：分段函数是指自变量在不同范围内，有不同对应法则的函数。 二、注意: １、分段函数是一个函数,而不是几个函数； 2、分段函数的定义域是自变量各段取值的并集; ３、分段函数的值域是各段函数值的并集。 4、解决分段函数的方法：先分后合 三、涉及的内容及相应的常用方法: １、求解析式: 利用分段中递推关系,如平移、周期、对称关系,已知其中一段的解析式,得到整个定义域的解析式； ２、求值、解不等式：注意只有自变量在相应的区间段才可以代入对应的解析式。不能确定时常需要分情况讨论; 3、单调性： 各段单调(如递增）+连接处不等关系。 （如()()() 12,(,],[,)f x x a f x f x x a ∈-∞??=?∈+∞??在Ｒ上是增函数，则()()()() 1212(,)[,)f x a f x a f a f a ?-∞↑ ??+∞↑??≤??①在上②在上③）； 4、奇偶性： 分段讨论，各段均符合相同的定义中的恒等式,才有奇偶性，否则为非奇非偶函数; 5、图像性质或变换等: 作图、赋值等，注意变量的范围限制； 6、最值： 求各段的最值或者上下界再进行比较； 7、图像： 分类讨论，如零点分段法得到各段解析式再作图； 例题讲解： 题型一、分段函数的图像。 １．作出函数()1y x x =+的图象 2. 函数ln |1|x y e x =--的图象大致是 （ D )
题型二、分段函数的奇偶性 1、判断函数(1)(0), ()(1) (0).x x x f x x x x -?的奇偶性 2、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,且当2 0,()2 3.x f x x x >=-+时求f(ｘ)的解析式。 题型三、分段函数的最值 1、（2005上海高考题)对定义域分别是 ,f g D D 的函数(),()y f x y g x ==.规定： 函数()(),,()(),(), f g f g g f f x g x x x h x f x x x g x x x D D D D D D ?∈∈?? =∈??? ∈???当且当且当且 (I ）若函数21 (),()1 f x g x x x = =-，写出函数()h x 的解析式； (II)求问题（I ）中函数()h x 的值域; 题型四、与分段函数有关的不等式与方程 1、已知1(0)()1(0)x f x x ≥?=?-