平面向量练习题精心汇编
一、选择题:
1．已知平行四边形ABCD ，O 是平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，=，=，=，则向量等于 （ ） A ．++ B ．+- C ．-+ D ．--
2．已知向量a 与b 的夹角为120o
，3,a a b =+= 则b 等于( )
（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）1
3．设a ，b 是两个非零向量．下列正确的是( )
A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b
B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |
C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λa
D ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |
4．已知→a ＝(sin θ，1＋cosθ)，→b ＝(1，1－cosθ)，其中θ∈(π，3π
2
)，则一定有 （ ）
A ．→a ∥→b
B ．→a ⊥→b
C ．→a 与→b 夹角为45°
D ．|→a |＝|→b | 5．已知向量a →＝(6，－4)，b →＝(0，2),c →＝a →＋λb →，若C 点在函数y ＝sin π12
x 的图象上,实数λ＝（ ）
A ．52
B ．32
C ．－52
D ．－32
6. 已知∈Z k ，(,1),(2,4)== AB k AC ，若≤
AB ABC 是直角三角形的概率为（ ）
A ．
17 B ．27 C ．37 D ．4
7
7.将π2cos 36x y ??=+ ???的图象按向量π24??
=-- ???
，
a 平移，则平移后所得图象的解析式为( ) Ａ．π2cos 234x y ??=+- ??? Ｂ．π2cos 234x y ??
=-+ ???
Ｃ．π2cos 2312x y ??=-- ??? Ｄ．π2cos 2312x y ??
=++ ???
8.在ABC ?中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足?→?=?→?PM
AP 2,则()PA PB PC ?+
等于( )
（A ）
49 （B ）43 （C ）43- (D) 4
9
- 9.已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0
，那么（ ）
Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD =
10.△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB = a , CA = b ,
a = 1 ,
b = 2, 则CD
=（ ）
（A ）
13a + 23b （B ）23a +13b （C ）35a +45b （D ）45a +35
b
11．已知||2||0a b =≠ ,且关于x 的方程2
||0x a x a b ++?= 有实根,则a 与b 的夹角的取值范围是 ( )
A.[0,6π]
B.[,]3ππ
C.2[,
]33ππ
D.[,]6ππ
12. 设非零向量a =)2,(x x ,)2,3(x b -=,且b a ,的夹角为钝角，则x 的取值范围是（ ）
（A ）)(0,∞- （B ）) ??0,3
4
（C ）)(0,∞-
) ??0,34
（D ） ?
????-∞-31, ) ??-0,31 ) ??∞+,3
4
13.已知点O 、N 、P 在三角形ABC 所在平面内，且=,0=++NC NB NA ,则PB PA ?=?=?则点O 、N 、P 依次是三角形ABC 的( )
（A ）重心、外心、垂心 （B ）重心、外心、内心 （C ）外心、重心、垂心 （D ）外心、重心、内心
14.设(,1)A a ，(2,)B b ，(4,5)C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC
方向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为( )
（A ）453a b -= （B ）543a b -= （C ）4514a b += （D ）5414a b +=
15.（上海理14）在直角坐标系xOy 中，,i j
分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，2AB i j =+ ，3AC i k j =+
，则k 的可能值有( )
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个 二、填空题：
16．四边形ABCD 中，()()()1,2,4,1,5,3AB BC CD ==--=--
则四边形ABCD 的形状是
17.已知,a b
是两个非零向量，且a b a b ==- ，则与a a b + 的夹角为____
18.已知OFQ ?的面积为S ，且1=??→
??→?FQ OF ，若23
21<
19.若O 是ABC 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-
，则ABC 的形状为_ ___
20若D 为ABC ?的边BC 的中点，ABC ?所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++= ，设||
||
AP PD λ=
，则λ的值为__
21下列命题中：① →→→→→→→?-?=-?c a b a c b a )(；② →→→→→→??=??c b a c b a )()(；③ 2
()a b →→-2||a →
= 2
2||||||a b b →→→-?+；④ 若0=?→→b a ，则0=→a 或0=→b ；⑤若,a b c b ?=? 则a c = ；⑥22
a a = ；
⑦2a b b
a a
?=
；⑧222()a b a b ?=? ；⑨222()2a b a a b b -=-?+ 。其中正确的是_____
22函数x y 2sin =的图象按向量→
a 平移后，所得函数的解析式是12cos +=x y ，则→
a ＝________ 23.设,a
b 是两个不共线的向量，2,3,2AB a kb CB a b CD a b =+=+=-
，若,,A B D 三点共线，则k 的值为 ____________________.
24.已知a =4, b =3, (23)a b - (2)a b +
=61.在ABC 中，AB =a , CA =b , 则ABC 的内角A 的度数
是 .
25.设向量a,b,c 满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a ⊥b,若｜a ｜=1,则｜a ｜2
2
||b ++｜c ｜2
的值是 .
三、解答题:
26．已知向量)21,sin (--=→
θa m ，)cos ,2
1
(θ=→n ．
（1）当2
2
=a ，且→→⊥n m 时，求θ2sin 的值；
（2）当0=a ，且→m ∥→
n 时，求θtan 的值．
27.已知A.B.C 是△ABC 的三个内角，向量向量m=（-1，√3），n=（cosA,sinA ），且m ·n=1（1）求角A
(2)若（1+sin2B ）/(cos 2B-sin 2B)=-3,求tanC
28. 已知→a ＝(cos x ＋sin x ，sin x )，→b ＝(cos x －sin x ，2cos x ). （1）求证：向量→a 与向量→b 不可能平行；
（2）若f (x )＝→a ·→b ，且x ∈[－π4,π4
]时，求函数f (x )的最大值及最小值．
29．（已知a 、b 是两个不共线的向量，且a =（cos α，sin α）, b
=（cos β，sin β）.
（1）求证：a +b 与a －b
垂直；
（2）若α∈（4,4ππ-），β=4π
，且|a +b | = sin α.
30.如图，向量AB=（6，1），BC=(x,y)，CD=（-2，-3），
1） 若向量BC ‖DA ，求x 与y 的关系式; 2） 若满足（1）且又有向量AC ⊥BD ，求x 、y 的值及四边形ABCD 的面积。
31.设),(21a a a =，),(21b b b =，定义一种向量积：),(2211b a b
a b a =? 。已知点)s i n ,(θθp )2
1,2(=m )0,3(π=，点Q 在)(x f y =上运动，满足+?=（其中O 为
坐标原点），求)(x f y =的最大值及最小正周期分别是多少?
32.已知向量a=
)
2
3
sin ,23(c x x os
,b=)2
1sin -,21(c x x os ,且x ∈[0,π／2],求 ： （1）a·b 及a·b 的模；
（2）若f(x)=a·b-2λ|a+b|的最小值是-3/2，求实数λ的值
33．设函数f (x )＝a · b ，其中向量a ＝(2cos x , 1), b ＝(cos x ,3sin2x ), x ∈R.（1）若f(x )＝1－3且x ∈[－
3
π
，3π]，求x ；（2）若函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝(m , n) (m ﹤2
π)平移后得到函数y ＝f(x )的图象，求实数m 、n 的值.
34、设G 、H 分别为非等边三角形ABC 的重心与外心，A(0，2)，B （0，－2）且λ=(λ∈R).（Ⅰ）求点C(x ，y )的轨迹E 的方程；（Ⅱ）过点(2，0)作直线L 与曲线E 交于点M 、N 两点，设+=，是否存在这样的直线L ，使四边形OMPN 是矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.